ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ПЕРВАЯ . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ГЛАВА 1. УГЛЫ. http://geometria.advandcash.biz/?p=27

1. К Н И Г А П Е Р В А Я .
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
Г Л А В А L
УГЛЫ.
10. Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми,
выходящими из одной и той же точки. Эта точка называется вер­
шиной угла, а две полупрямые — его сторонами.
Угол обозначается той же буквой, что и его вершина, помещён­
ной между двумя другими буквами, которые служат для обозначе­
ния его сторон; перед буквами часто ставится специальный знак.
Если, впрочем, фигура содержит только один
угол, имеющий данную вершину, то буква,
обозначающая эту вершину, будет вполне доста­
точна для обозначения угла. Так, угол, обра­
зованный полупрямыми АВ, АС (черт. 8), будет
обозначаться: 2. ВАС, или проще А.
Два угла называются равными по определе-
А 8 нию равных фигур (п. 3), если их можно приве-
Черт. 8. сти в совпадение, накладывая один на дру­
гой.
Два равных угла ВАС и ВГАГСГ могут быть наложены один
на другой двумя различными способами, а именно: или так, что
сторона АГВТ совпадает со стороной АВ и А!С со стороной ЛС,
или наоборот. От одного способа совмещения можно перейти к дру­
гому, перевёртывая один из углов и накладывая
его на самого себя, например, перемещая
угол ВАС так, чтобы сторона АВ приняла поло­
жение, ранее занимаемое ЛС, и обратно.
11. Два угла называются прилежащими
друг к другу, если они имеют общую вершину,
одну общую сторону и расположены по раз­
ные стороны от этой общей стороны.
Если два угла £АОВ и ВОС—приле- Черт.9.
жащие (черт. 9), то угол АОС называется сум­
мою этих двух углов. Сумма нескольких углов не зависит от по­
рядка слагаемых.
Чтобы сравнить два угла, их перемещают таким образом, чтобы
они имели общую вершину, одну общую сторону и чтобы они были
расположены по одну сторону от их общей стороны.
Пусть даны два угла АОВ и £ ЛОС, расположенные таким
образом, Если при вращении вокруг точки О мы встретим стороны

2. ГЛАВА I. УГЛЫ 27
в порядке ОЛ, ОВ, ОС (черт. 9), то угол АОС равен сумме углов
АОВ и ВОС в этом случае говорят, что он больше угла АОВ, а
этот последний меньше угла АОС; если, напротив (черт. 10), поря­
док таков: О А, ОС, ОВ, то угол АОВ больше угла АОС. Угол БОС,
от прибавления которого к одному из двух данных углов полу­
чается другой угол, есть разность этих двух углов.
Наконец, в случае промежуточном, когда ОВ совпадает с ОС,
оба угла равны (см. предыдущий пункт).
Внутри всякого угла ВАС существует полупрямая AM, которая
делит этот угол на две равные части. Она называется биссектрисой
угла. Полупрямые, выходящие из Л и располо­
женные внутри угла ВАМ, образуют с АВ угол
меньший, чем с ЛС; обратное имеет место для
полупрямых, расположенных внутри угла MAC.
Некоторый угол тзывгетсяу двоенным,у троен­
ным и т. д. углом по отношению к данному углу,
если он представляет собой сумму двух, трёх Черт.10.
и т. д. углов, равных этому углу. Этот по­
следний называется при этом половиной, третью и т. д. первого.
П р и м е ч а н и е . Очевидно, величина угла не зависит от вели­
чины его сторон, которые мы должны всегда предполагать неогра­
ниченно продолженными.
12. Если мы имеем угол, образованный двумя
полупрямыми О А и ОВ (черт. 11), и если продол­
жить О А за точку О, проведя О Л', и то же самое
сделать с ОВ, проведя ОВТ, то образуется новый
угол А'ОВ
Вертикальными углами называются два угла,
АОВ, А'ОВ таких, что стороны одного
являются продолжениями сторон другого.
Черт. И. Теорема. Два вертикальных угла равны
между собой.
В самом деле, перевернём угол ВОАг и наложим его на самого
себя (черт. 11). Сторона ОВ займёт положение ОЛ', и, с другой
стороны, сторона ОАг займёт первоначальное положение стороны ОВ;
полупрямая ОЛ, как продолжение ОЛ', пойдёт по ОВ как по про­
должению ОВ. Угол АОВ займёт тогда положение угла АгОВг,
следовательно, эти два угла равны.
13. Всякая полупрямая, выходящая из центра окружности, пере­
секает эту окружность в одной и только в одной точке.
Всякий угол АОВ (черт. 5), имеющий вершину в центре О
окружности (центральный угол), определяет на этой последней
дугу АВ, ограниченную точками пересечения окружности со сторо­
нами угла. Эта дуга во всяком случае меньше, чем полуокружность,
как в этом можно убедиться, принимая за концы полуокружности
точку Л и точку, ей диаметрально противоположную.
Обратно, зсякую дугу, меньшую полуокружности, можно, рас-

3. 28 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
сматривать как отсекаемую центральным углом; этот угол образован
радиусами, проведёнными в концы данной дуги.
Теорема. На одной и той же окружности или на равных
окружное тях:
1°. равным дугам (меньшим полуокружности) соответствуют
равные центральные углы, и обратно;
2°. неравным дугам (меньшим полуокружности) соответствуют
неравные центральные углы, и большей дуге соответствует боль­
ший центральный угол
3°. если некоторая дуга(меньшая полуокружности) есть сумма
двух других дуг, то и соответствующий ей центральный угол будет
суммой центральных углов, соответствующих двум другим дугам.
1°, 2°. Пусть АВ, АС (черт. 5) — две дуги одной и той же окруж­
ности, выходящие из одной точки А в одном и том же направлении
(п. 8). Два центральных угла АОВ, АОС будут при этом рас­
положены так, как это было сказано в п. 11. Полупрямые О А, О В,
ОС следуют в том же порядке, как точки Л, В, С на окружности.
Кроме того, если прямые ОВ и ОС совпадают, то это же имеет
место для точек В и С, и обратно.
3°. Так как для построения суммы двух дуг (п. 8а) эти дуги распола­
гают так, как расположены дуги АВ, БС(черт. 5), то центральный угол
АОС, соответствующий сумме дуг, будет суммой двух центральных уг­
лов £ АОВ и ВОС, которые будут прилежащими друг к другу.
На этом основании, чтобы сравнить различные углы, можно из
их вершин, как из центров, описать окружности одним и тем же
раз навсегда выбранным радиусом и сравнить дуги, отсекаемые на
этих окружностях.
Деление угла на две или больше равные между собой части
сводитсяк делению на равные части дуги, отсекаемой сторонами
угла на окружности, имеющей центр в вер­
шине угла.
14. Говорят, что две прямые вз
перпендикулярны, если из четырёх углов,
которые они образуют, два угла, прилежа-
А щих друг к другу, равны между собой. На­
пример, прямая ЛОЛ' (черт. 12) перпенди­
кулярна к прямой ВОВ', если углы, обоз­
наченные на чертеже номерами 1 и 2, меж­
ду собой равны. В этом случае все четы-
Черт. 12. ре угла при точке О будут между со­
бой равны, потому что £ 3 и £4
(черт. 12) соответственно равны 1 и А2 как вертикальные.
Угол, стороны которого перпендикулярны между собой, назы­
вается прямым.
Теорема. В данной плоскости через точку, взятую на пря­
мой, можнопровести к этой прямой перпендикуляр и притом
только один.

4. ГЛАВА I. УГЛЫ 29
Пусть через точку О требуется провести перпендикуляр к данной
прямой, проходящей через эту точку. Достаточно провести из.точки О,
как из центра, окружность, которая пересечёт данную прямую в точ­
ках А и А' (черт. 12), и разделить на две равные части точкой В
полуокружность АВА'. ОВ будет искомым перпендикуляром; и обратно,
перпендикуляр к АА', проходящий через точку О, должен делить
на две равные части полуокружность АВА'.
Следствие. Мы видим, что прямой угол от­
секает на окружности, имеющей центр в вершине
угла, дугу, равную четверти этой окружности.
Все прямые углы равны между собой, так как
на равных окружностях, имеющих центры в вер­
шине каждого из них, они отсекают равные дуги.
15. Если через одну точку провести Черт. 13.
несколько полупрямых, то сумма всех после­
довательных углов (Z. АОВ, ВОС, COD, DO А, черт. 13), обра­
зованных таким образом около этой точки, равна четырём прямым.
Действительно, сумма дуг, отсекаемых этими углами на окружно­
сти, имеющей своим центром данную точку, равна полной окруж­
ности.
Если через точку, лежащую на прямой,
провести по одну сторону от этой прямой
несколько полупрямых (черт. 14), то сум­
ма образованных таким образом углов
равна двум прямым, так как сумма дуг,
отсекаемых этими углами, равна полуокруж­
ности.
или несколько углов при одной и той же
каждый является прилежащим к предыду-
Черт. 14.
если дваОбратно
вершине, из которых
щему (А АОС, Л COD, £DOE, /ЕОВ,
черт. 14), составляют в сумме два прямых, то
крайние стороны этих углов лежат на одной
прямой линии.
В самом деле, эти крайние стороны пересе­
кают окружность, имеющую центр в общей
вершине углов, в двух диаметрально противо­
положных точках, так как дуга, заключённая
между ними, составляет полуокружность.
15а. Теорема. Биссектрисы четырёх уг­
лов, образованных двумя пересекающимися
прямыми, образуют две бесконечные прямые,
перпендикулярные между собой.
т}
Черт. 15.
Пусть АА' и ВБ' (черт. 15)а—две прямые, которые пересекаются
в точке О и образуют углы АОВ, БОА', А'ОБ', В О А, биссектри­
сами которых служат От, On, От!, On'; я утверждаю;
1) что От и От'являются продолжениями одна другой, так же
как Ол и Оп'

5. 30 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
2) что полученные таким образом две прямые взаимно перпен­
дикулярны.
Прежде всего От перпендикулярна к On, так как два угла АОВ
и ВО А! в сумме составляют два прямых, а потому их половины-------------------
тОВ и ВОп,— дают в сумме один прямой. Но, применяя то же
самое рассуждение к углам ВОАг и А'ОВ мы видим, что прямая От!
перпендикулярна к On. Следовательно, От! является продолжением
От и точно так же Опг есть продолжение On.
16. Острым углом называется угол, меньший прямого; тупым —
угол, больший прямого.
Два угла называются дополнительными, если их сумма равна
прямому углу, и пополнительными, если их сумма равна двум
прямым.
17. Отношением двух величин одного и того же рода называется
число, которое показывает, сколько раз одна величина содержит
другую величину или какую-либо р-ую часть другой величины
(р — целое), и какую именно.
Например, если, разделив отрезок АВ на 5 равных частей, мы
увидим, что одна из этих частей ровно три раза содержится в от­
резке ВС, то мы скажем, что отношение ВС к АВ равно
Если же, напротив, пятая часть отрезка АВ не содержится целое
число раз в отрезке ВС, например, если она в этом отрезке содер-
3
жится больше чем 3 раза и меньше чем 4 раза, то будет прибли-
ВС * *
женным значением отношения , причём это будет значение, взя­
тое с точностью до -g- по недостатку (значение с точностью до
у, взятое по избытку, будет —).
Отношение этих двух величин а и b одного рода равно отно­
шению двух других величин а ЬТ одного рода (но не обязательно
того же рода, как первые), если, каково бы ни было я, значение
1
первого отношения, взятое с точностью до —, равно значению
1
второго отношения, взятому с точностью до —.
Мера данной величины по отношению к определённой величине
такого же рода, принятой за единицу, есть отношение данной
величины к этой единице.
Можно доказать следующие свойства:
1°. Дее величины, имеющие одну и ту же меру по отношению
к одной и той же единице, равны.
2°. Отношение двух величин одного и того же рода равно
отношению чисел, служащих их мерой по отношению к одной
и той же единице,

6. глава i. углы 31
3°. Отношение двух чисел равно частному этих двух чисел.
Теорема. В одной окружности или равныхокружностях
отношение двух центральных углов равно отношению двух дуг,
которые заключены между их сторонами.
Пусть1) даны (черт. 16) две дуги АВ и CD окружности О. Раз­
делим центральный угол АОВ, например, на три равные части и
предположим, что одна из этих частей содержится в угле COD
больше чем 4 раза, но меньше чем 5 раз; тогда с точностью до
L COD 4
величина отношения ■ есть
L. AUn о
Но, деля угол АОВ на три равные части, мы в то же время
разделили дугу АВ на три равные части (п. 13). Если бы треть
угла АОВ могла уложиться 4 раза, но не
5 раз в угле COD, то это показывало бы,
что треть дуги АВ могла бы уложиться
в дуге CD 4 раза, но не 5 раз.
Значения двух отношений, измеренные
1
с точностью до у, равны; совершенно так
же равны между собой значения двух от­
ношений, взятые с точностью до для
любого значения п теорема, таким об­
разом, доказана. Черт.16.
Следствие. Если принять за единицу
угла центральный угол, который заключает между сторонами
дугу, принятую за единицу, то всякий центральный угол имеет
ту же меру, как и дуга, заключённая между его сторонами.
Это предложение сводится к предыдущему, так как мера величины
есть отношение этой величины к своей единице.
Предполагая, как мы это будем делать в последующем, что на
каждой окружности за единицу дуг принимается дуга, заклю­
чённая между сторонами центрального угла, принятого за еди­
ницу углов, можно предыдущее следствие сформулировать так: цент­
ральный угол измеряется дугой, заключённой между его сторо­
нами.
18. Только что установленные определения позволяют нам ввести
одно важное соглашение.
*) Теорема становится очевидной, если Допустить следующее арифме­
тическое предложение (Т а н н е р и, Курс арифметики, гл. XIII, п° 493): Две
величины пропорциональны, если: 1) одному и тому же значению первой
соответствует всегда одно и то же значение второй и 2) сумме двух
значений первой величины соответствует сумма двух соответствующих
значений второй величины. Эти два условия здесь выполнены (п. 13).
Доказательство в тексте лишь воспроизводит для данного частного слуА
чая доказательство общей арифметической теоремы.

7. 32 Книга первая, прямая линия
Прежде всего мы можем предположить, что все величины, о кото­
рых мы будем говорить, измерены определённо выбранной единицей,
для каждого рода величин; далее, что во всех равенствах, которые
мы будем писать, количества, входящие в ту и другую часть равен­
ства, представляют собой не самые величины, а лишь меры этих величин.
Таким образом, мы можем написать целый ряд равенств, которые
без этих предположений не имели бы никакого смысла. Например,
можно приравнять друг другу две разнородные величины, если имеет­
ся равенство двух чисел, которые их измеряют; смысл равенства в
этом случае совершенно ясен. Мы сможем точно так же писать
произведение двух каких-либо величин, так как произведение двух
чисел уже определено, и т. д.
Впрочем, когда мы будем писать, как до сих пор, равенство
двух величин одного и того же рода, — это равенство будет иметь
точно такой же смысл, как и раньше, так как равенство двух
величин и равенство их мер сводится одно к другому (п. 17).
На основании этого соглашения возможно написать, если АВ —
некоторая дуга и О — центр окружности:
АОВ ~ дуге АВ.
Во всяком случае очень важно подчеркнуть, что это равенство
существенно предполагает, что единица угла и единица дуги выбраны
так, что указанное выше условие удовлетворено.
18а. Окружность обычно делится на 360 равных частей, назы­
ваемых градусами, каждый из которых содержит 60 минут; каж­
дая минута в свою очередь делится на 60 секунд. При этом дуги
измеряются в градусах, а следовательно, и углы тоже измеряются
в градусах. Число градусов, минут и секунд, заключающееся в угле,
равно числу градусов, минут и секунд дуги, отсекаемой этим углом
на окружности, имеющей центр в вершине угла; прямой угол соот­
ветствует четверти окружности, или 90 градусам. Отсюда следует,
что мера центрального угла не зависит от радиуса окружности, на
которой отсчитываются дуги, так как выбранная угловая единица
(градус) по величине не зависит от этого радиуса, а именно состав­
ляет одну девяностую часть прямого угла.
Для записи величины углов (или дуг) в градусах, минутах и
секундах пользуются следующими обозначениями: угол в 87 гра­
дусов, 34 минуты и 25 секунд записывается так: 87°34'25".
Введение десятичной системы во всех других видах измерений
приводит к установлению другого способа подразделения окруж-'
ности, при котором она делится не на 360, а на 400 равных частей,
называемых градами. Град, очевидно, несколько меньше градуса
и составляет сотую часть прямого угла.
Град подразделяется также по принципу десятичной системы: строго
говоря, нет необходимости давать этим подразделениям специальные
названия, они пишутся просто по принципу десятичной нумерации.

8. ГЛАВА 1. УГЛЫ 33
Таким образом, можно говорить об угле 3°,5417 (т. е. 3 града
и 5417 десятитысячных).
Однако сотую часть града часто называют десятичной минутой
и обозначают её значком ' (вместо значка ', обозначающего шестидеся­
теричную минуту, т. е. шестидесятую долю градуса); точно так же
сотая часть десятичной минуты (десятитысячная часть града) представ­
ляет собой десятичную секунду, обозначаемую знаком". Таким обра­
зом, предыдущий угол по этой системе может быть написан так:
3°64Ч7
360° 9
Один град составляет -щ-, или а градуса, или 54'. Один гра­
дус составляет 1° 11', 1 . . . (или иначе ~ града).
19. Теорема. Через точку, взятую вне прямой, можно про­
вести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.
1°. Возможно провести перпендикуляр. Пусть даны точка О и
прямая ХУ (черт. 17). Повернём полуплоскость, содержащую точку О,
около прямой ХУ, как около оси, так, q
чтобы она совместилась с другой полу­
плоскостью. Точка О попадёт в &.
Соединим их прямой ООг.
Эта прямая пересечёт ХУ, так как
она соединяет две точки, расположен­
ные по разные стороны от прямой ХУ.
Пусть I— точка пересечения. Углы 04 X
и О1Х—прямые, так как угол ОЧХ
представляет собой то положение,
которое принимает угол OIX, когда
одну из полуплоскостей совмещают с Черт.17.
другой путём вращения около ХУ.
Следовательно, две прямые ХУ и 00Т перпендикулярны.
2°. Можно провести только один перпендикуляр. Пусть ОМ —
какой-либо перпендикуляр к ХУ, проведённый через точку О; продол­
жим эту прямую на длину МО", равную ОМ. Если мы совместим
снова одну из полуплоскостей с другой, прямая МО пойдёт по МО",
так как углы О MX и О” MX равны как прямые, а так как МО” = МО,
то точка О попадёт в точку О"; следовательно, точка О" совпадёт
с точкой О', и прямая 00" совпадёт с ООг.
19а. Точка называется симметричной с данной точкой О относи­
тельно прямой ХУ, если она лежит на продолжении перпендикуляра,
проведённого к прямой ХУ через точку О, на расстоянии, равном
длине этого перпендикуляра. Из предыдущего следует, что точка,
;имметричная с точкой О, представляет собой то положение, кото-
оое занимает точка О после поворота (п. 19, 1°) около оси ХУ.
ссли дана какая-нибудь фигура, можно построить симметричные
2 Элементарная геометрия, ч. I

9. 34 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
точки для каждой точки этой фигуры. Совокупность симметричных
точек образует новую фигуру, которая называется симметричной
с первой фигурой. Отсюда видно, что для получения фигуры,
симметричной с данной фигурой относительно прямой ХУ, можно
повернуть плоскость, в которой лежит фигура, вокруг ХУ так, чтобы
каждая полуплоскость, определяемая этой прямой, совместилась
с другой полуплоскостью, и отметить новое положение, занятое
данной фигурой. Отсюда следует:
Теорема. Две симметричные плоские фигуры равны.
Следствие. Фигура, симметричная прямой линии, — прямая
линия.
Если какая-либо фигура совпадает со своей симметричной относи­
тельно прямой ХУу то говорят, что она симметрична относительно
этой прямой, или, иначе, что она имеет эту прямую осью симметрии.
20. Чтобы совместить фигуру F с фигурой F, ей симметричной,
мы должны выполнить такое движение, при котором фигура выйдет
из своей плоскости. Следует заметить, что *)
невозможно достигнуть совмещения без
такого движения; это происходит оттого,
что направление вращения обратно в обеих
фигурах. Объясним, что следует понимать
под этим выражением.
церТ Прежде всего заметим, что плоскость
фигуры делит пространство на две области.
Назовём одну из этих областей для краткости областью, располо­
женной над плоскостью, другую — под плоскостью.
Допустим, что на фигуре F имеем угол ВАС, который можно
рассматривать как образованный полупрямой, перемещающейся внутри
угла из положения АВ в положение АС (черт. 18). При взгляде на
плоскость сверху мы будем говорить об этом угле, что он имеет
отрицательное или положительное направление, смотря по тому,
представляется ли вращение этой полупрямой происходящим по
часовой стрелке или в обратном направлении2).
Положим для определённости, что имеет место последний случай.
Тогда наблюдатель, лежащий на АВ ногами в сторону Л, а головой
по направлению к В и смотрящий под плоскость, увидит сторону АС
слева от себя; следовательно, если, оставаясь расположенным вдоль
по АВ, он посмотрит на сторону ЛС, то окажется, что часть прост­
ранства, находящуюся под плоскостью, он увидит справа от себя.
Ясно, что при взгляде на плоскость снизу можно повторить всё
вышеизложенное, заменяя слово „над" словом „под" и обратно. Так
как наблюдатель, расположенный вдоль по АВ и смотрящий на ЛС,
J) В общем случае. Прим. ред. перевода.
2) Заметим, что для того, чтобы указать направление вращения, следует
принимать во внимание порядок, в котором рассматриваются стороны угла.
Так, угол ВАС имеет противоположное направление по отношению к
углу сАв.

10. ГЛАВА I. УГЛЫ 35
будет необходимо иметь верх плоскости слева, если низ плоскости
находится от него справа, и обратно, то направление вращения
меняется в зависимости от того, смотрим ли мы на плоскость
с одной или с другой стороны плоскости1).
Предположим теперь, что некоторый угол произвольно переме­
щается в своей плоскости, не выходя из неё. Наблюдатель, участву­
ющий в этом движении, не изменит своего положения по отношению
к верху и низу плоскости, так что направление вращения остаётся
неизменным при всяком перемещении, не выводящем фигуры из её
плоскости.
Чтобы показать, что такое движение не может совместить фигуру F
с симметричной ей фигурой F достаточно поэтому показать, что
направление вращения противоположно в обеих фигурах. Действи­
тельно, мы видели, что переход от F к Fr можно осуществить враще­
нием плоскости около оси ХУ так, чтобы она совпала сама с собой
(п. 19а). При этом повороте точки, расположенные над плоскостью,
оказываются под плоскостью, и обратно. Направление какого-либо
угла фигуры F при взгляде снизу будет то же, что и направление
угла с ним симметричного при взгляде сверху. Таким образом, при
взгляде с одной и той же стороны направление углов будет про­
тивоположным.
20а. П р и м е ч а н и я : I. Ясно, что, точно так же как и угол, дуга
может иметь направление положительное или отрицательное, что за­
висит/конечно, от порядка, в котором мы рассматриваем концы дуги.
И. Иногда говорят, что плоскость ориентирована, если на ней
указано положительное направление углов. На основании предыдущего
ориентировать плоскость — значит указать, которую из двух областей
пространства мы будем называть расположенной над плоскостью.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Если точка М — середина отрезка АВ, то расстояние СМ равно
полуразности отрезков СЛ и СВ, если точка С лежит на самом отрезке,
и полусумме С А и СВ, если точка С взята на продолжении АВ (доказать).
2. Если ОМ — биссектриса угла АОВ, то угол СОМ равен полуразности
углов СОА и СОВ, если полупрямая ОС лежит внутри L АОВ; и дополняет
эту полуразность до двух прямых углов, если полупрямая ОС лежит внутри
угла АОВ', вертикального к углу АОВ. Он равен полусумме углов СОА
и СОВ, если эта полупрямая расположена внутри одного из двух других
углов ВО А' или АОВ', образованных данными прямыми (доказать).
3. Из точки О выходят четыре полупрямые О А, ОВ, ОС, OD (следую­
щие одна за другой в том порядке, как они перечислены), причём Z АОВ =
= /. COD и Z ВОС =Z DO А) доказать, что О А и ОС суть продолжения
одна другой и точно так же ОВ и OD.
4. Если четыре последовательные полупрямые О А, ОВ, ОС, OD таковы,
что биссектрисы углов АОВ и COD и точно так же биссектрисы углов ВОС
и AOD образуют одну прямую, то четыре полупрямые представляют попарно
продолжения одна другой (доказать).
*) Совершенно так же, как надпись, просвечивающая через лист, кажется
с обратной стороны листа перевёрнутой справа налево.
2*

11. 36 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Г Л А В А I I .
ТРЕУГОЛЬНИКИ.
21. Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная
отрезками прямых линий (черт. 19). Эти последние образуют стороны
многоугольника. Их концы образуют вершины многоугольника.
Однако мы будем, вообще говоря, называть многоугольниками
только части плоскости, ограниченные одним контуром, который можно
описать одним росчерком пера. Таким образом, часть плоскости, ко­
торая заштрихована на чертеже 21, не будет являться для нас много­
угольником. Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из
прямых, полученных неограниченным продолжением каждой его сто­
роны, не пересекает многоугольника. В противном случае (черт. 20)
он называется вогнутым.
Многоугольники классифицируют по числу сторон. Простейшими
многоугольниками будут: многоугольник с тремя сторонами, или
треугольник, многоугольник с четырьмя сторонами, или четырёх­
угольник, многоугольник с пятью сторонами, или пятиугольник,
многоугольник с шестью сторонами, или шестиугольник. Мы будем
ещё рассматривать многоугольники с 8, 10, 12, 15 сторонами, назы­
ваемые соответственно восьмиугольником, десятиугольником, две­
надцатиугольником, пятнадцатиугольником.
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий
две непоследовательные вершины многоугольника.
Пр и м е ч а н и е . Иногда, с несколько более общей точки зрения, на­
зывают многоугольником любую замкнутую ломаную линию, стороны ко­
торой могут пересекаться между собой (как на черт. 22). В этом последнем
случае, когда ломаная линия не ограничивает единственной площади, можно
назвать эту ломаную несобственным многоугольником. Наоборот, мы ска­
жем, что имеется многоугольник в собственном смысле, если мы хотим
указать, что мы имеем случай, изображённый на чертежах 19 или 20, а не
случай, изображённый на чертеже 22. (

12. ГЛАВА II. ТРЕУГОЛЬНИКИ 37
22. Среди треугольников в частности различают:
Равнобедренный треугольник. Так называется треугольник с двумя
равными сторонами. Вершину, общую этим двум сторонам, назы­
вают просто вершиной треугольника, а сторону, расположенную
против неё, — основанием.
Равносторонний треугольник, или треугольник с тремя равными
сторонами.
Прямоугольный треугольник, или треугольник с одним прямым
углом. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотену­
зой; стороны, образующие прямой угол, —
катетами *).
22а. Высотой треугольника называется
перпендикуляр, опущенный из вершины на
противоположную сторону; медианой назы­
вается отрезок, соединяющий вершину с се­
рединой противоположной стороны.
23. Теорема. Во всяком равнобедрен­
ном треугольнике углы, лежащие против
равных сторон, равны между собой.
Пусть треугольник ABC — равнобедренный (черт. 23). Перевернём
угол ВАС и наложим его на самого себя (п. 10) так, чтобы сторона
АВ пошла по АС, и обратно.
Так как АВ и АС равны, точка В займёт положение точки С,
и наоборот. Следовательно, угол ABC совместится с углом АСВ, так
Д что эти два угларавны.
Обратная теорема. Если в треугольнике
два угла равны, то треугольник равнобедренный.
Пусть ABC—треугольник, в котором В= Z.C.
Перевернём этот треугольник так, чтобы сторона ВС
наложилась на самоё себя (п. 5), точка В перешла в
точку С, и обратно. Так как угол ABC равен
углу АСВ, то сторона В А пойдёт по СЛ, и обрат­
но: С А — по В А. Точка А, как точка пересечения
В А и С А, сохранит своё прежнее положение, и сторона АВ займёт
положение АС.
Следствие. Равносторонний треугольник будет в то же время
и равноугольный (т. е. все его углы будут равны), и обратно.
Теорема. Во всяком равнобедренном треугольнике биссектриса
угла при вершине перпендикулярна к основанию и проходит через
его середину.
Пусть AD—Абиссектриса угла А в равнобедренном треуголь­
нике ABC (черт. 24).
Если перевернуть угол ВАС и наложить его на самого себя, то
эта биссектриса не изменит своего положения, и то же самое будет
х) Определение катетов добавлено при переводе: во французском языке
соответствующий термин не употребляется, и в оригинале каждый раз
говорится: „стороны, образующие прямой уголм. Прим. ред. перевода.

13. 38 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
иметь место для точки D, в которой биссектриса пересекает основа­
ние. Так как DB будет совмещено с DC и угол ADB с углом ADC,
д то мы будем иметь DB — DC и £ ADB= £ ADC.
П р и м е ч а н и е . Во всяком треугольнике ЛВС
можно рассматривать четыре прямые:
1°. биссектрису угла А;
2°. высоту, выходящую из точки А;
_ 3°. медиану, выходящую из той же точки;
о О С 4°. перпендикуляр к стороне ВС в её середине.
Черт. 24. Вообще эти четыре прямые будут отличны друг от
друга (см. упражнение 17). Предыдущая теорема пока­
зывает, что в равнобедренном треугольнике они все сливаются в одну
прямую, которая является осью симметрии треугольника (п. 19а).
Эта теорема может быть также сформулирована иначе, а именно:
высота равнобедренного треугольника является в то же время его бис­
сектрисой и медианой; или еще: медиана равнобедренного треугольника
является в то же время его высотой и биссектрисой; перпендикуляр
к основанию в его середине проходит через вершину треугольника и яв­
ляется биссектрисой угла при вершине.
Следствие. В равнобедренном треугольнике высоты, выходящие из
концов основания, между собой равны; то же самое имеет место для
медиан, выходящих из тех же вершин, и для биссектрис углов при этих
точках, так как эти прямые попарно симметричны.
24. Следующие предложения, известные под названием признаков
равенства треугольников, дают необходимые и достаточные условия
для того, чтобы два треугольника
были равны.
Первый признак равенства. Два
треугольника равны, если они име­
ют по равной стороне и прилежа­
щие к этим сторонам углы тогой В
другого треугольника соответ- церт25
ственно равны друг другу.
Пусть даны два треугольника ABC и А!ВГСГ (черт. 25), в коА
торых ВС = ВГСГ; £В=1'ВГ; £ С=£С.
Наложим угол В1 на равный ему угол В так, чтобы сторона В> А*
приняла направление В А, а сторона ВГСГ—направление ВС. Так как
ВГСГ — ВС, то точка С совпадёт с С, а так как угол С равен углу С>
то сторона С'Аг примет направление СА. Вследствие этого точка А
как точка пересечения прямых В1 А1 и С'А обязательно попадёт
в точку пересечения прямых В А и СА, т. е. в точку А. Совпадение
треугольников, таким образом, доказано.
Второй признак равенства. Два треугольника равны, если
они имеют по равному углу и заключающие эти углы сто­
роны того и другого треугольника соответственно равны друг
другу.
Пусть даны два треугольника ABC и АГВГС в которых / / А;
АВ = АГВ' АС= АГСГ (черт. 25).
Наложим угол А на равный ему угол А так, чтобы сторона А!В'
рриняла направление АВ п сторона АГСГ—направление АС. Так как

14. ГЛАВА il. ТРЕлГОЛЬНИКЙ 39
ABf — АВ, то точка Вг попадёт в точку В; точно так же точка С
попадёт в С. ВГСГ совпадёт, таким образом, с ВСУ и совмещение
треугольников будет полное.
Третий признак равенства. Два треугольника равны, если они
имеют по три соответственно равные стороны.
Пусть даны два треугольника ABC и А!ВГС стороны которых
соответственно равны между собой. Расположим второй треугольник
таким образом, чтобы сторона В'СГ совпала с равной ей стороной ВС
и оба треугольника лежали по одну и ту же сторону от ВС. Пусть
ВСАХ — новое положение треугольника ВГСГА Я утверждаю, что
точка Ах совпадёт с точкой А. Это было бы оче- ЛЛ,
видно, если бы прямая ВА! приняла направление В А
или прямая С А! приняла направление СА. Если же
это было бы не так, то мы имели бы два равнобед­
ренных треугольника ВААХ и СААг (черт. 26), и пер­
пендикуляр к отрезку AAt в его середине должен
был бы пройти через точки В и С (п. 23, мелкий
шрифт), иначе говоря, совместиться с прямой ВС. Это невоз­
можно, так как точки А и Ах лежат по одну сторону от ВС, и
потому ВС не может пройти через середину отрезка ААХ. Точки
А и Аг не могут быть, таким образом, различными, и два треуголь­
ника совпадают между собой.
П р и м е ч а н и я . I. Для того чтобы доказать, что точка Ах сов­
падёт с точкой А, мы смотрим, что произошло бы, если бы эти две
точки были различны; и приходя в этом случае к явно ошибочному за­
ключению, мы утверждаем, что этого быть не может.
Этот метод рассуждения называется доказательством от против­
ного и часто применяется при доказательствах.
II. В треугольнике имеется шесть главных элементов: три
угла и три стороны. Мы видим, что достаточно установить равен­
ство трёх из этих элементов (выбранных надлежащим образом)
в двух треугольниках, чтобы иметь возможность утверждать, что
треугольники равны, и в частности, что равны три остальных эле­
мента.
III. Два равные треугольника (или вообще два многоугольника)
могут отличаться друг от друга направлением вращения (п. 20).
В этом случае они могут быть наложены друг на друга только с по­
мощью движения, выводящего один из них из плоскости. Напротив,
если направление вращения одинаково, то два многоугольника могут
быть приведены к совмещению простым скольжением в плоскости,
как мы эго увидим дальше.
25. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол,
образованный одной стороной и продолжением следующей стороны.
Теорема. Всякий внешний угол треугольника больше каждого
из внутренних углов, к нему не прилежащих.
Пусть имеется треугольник ABC, в котором построен внешний
угол В1 АС (черт. 27).

15. 40 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
С
Черт. 27.
Я утверждаю, что этот угол больше, например, внутреннего угла С.
Чтобы это доказать, я провожу медиану BD, которую продолжаю на
длину DE, равную ей самой. Точка Е находится внутри угла В1 АС,
который будет больше угла ЕАС.
А этот последний равен углу С,
так как два треугольника DAE
и DCB равны как имеющие по
равному углу, заключённому меж­
ду соответственно равными сто­
ронами. Действительно, углы при
точке D равны как вертикальные;
AD=DC и BD = DE по построе­
нию. Следовательно, внешний
угол В1 АС больше внутреннего
угла С, что и требовалось доказать.
Внешний угол ВАС будет
пополнительным для внутреннего
угла А. Угол С, будучи меньше угла ВГАС, в сумме с углом А даёт
величину, меньшую двух прямых. Наша теорема может быть сфор­
мулирована так: сумма двух углов треугольника меньше двух
прямых. В частности треугольник не может
иметь более одного прямого или тупого угла.
Теорема. Во всяком треугольнике против
большей стороны лежит и больший угол.
Пусть в треугольнике ABC (черт. 28) А/Г> АС.
Мы докажем, что А СА> Z. В. Для этого мы от­
ложим на АВ отрезок AD = AC. По предположе­
нию отрезок DC расположен внутри первоначаль­
ного угла С, а следовательно, угол ACD меньше угла С. Но в равно­
бедренном треугольнике ACD угол ACD равен углу ADC, который
больше угла В, как это следует из предыдущей теоремы, приме­
нённой к треугольнику DCB. Теорема, таким образом, доказана.
Обратно, большему углу соответствует1) и большая сторона.
Это положение, очевидно, равносильно предыдущему.
26. Теорема. Во всяком треугольнике любая сторона меньше
суммы двух других сторон.
В треугольнике ABC продолжим АВ на длину AD = АС (черт. 29).
Требуется доказать, что BC<ABD*).
Проведя CD, мы видим, что угол D равен углу ACD (п. 23) и,
следовательно, меньше угла BCD.
Искомое неравенство вытекает, таким образом, из предыдущей
теоремы, применённой к треугольнику BCD.
*) Стороной, соответствующей данному углу треугольника, называется
сторона, ему противолежащая.
2) Теорема очевидна, если ВС — не самая большая из' сторон тре­
угольника.

16. ГЛАВА II. ТРЕУГОЛЬНИКИ 41
Следствия: I. Во всяком треугольнике любая сторона больше
разности двух других.
Действительно, неравенство ВС<ААВ -|- АС даёт после вычитания
АС из обеих частей:
ВС—АС<СЛВ.
II. Каковы бы ни были три точки А, В, С, каждое из рассто­
яний ВС, С А, АВ равняется самое боль- п
шее сумме двух других и самое меньшее
их разности, причём равенство может
иметь место только, если три точки
расположены на одной прямой.
Теорема. Прямолинейный отрезок
короче всякой ломаной линии, имею­
щей с ним общие концы.
Если ломаная линия составлена из
двух отрезков, то теорема сводится к
предыдущей.
Пусть теперь ломаная линия ABCD состоит из трёх отрезков
(черт. 30). Соединив В с D, получим
AD<AAB--BD,
и так как BD ВС -f- CD, то
AD < АВ -|- BD < АВ -f- ВС -f- CD.
Теорема, таким образом, доказана для линии, состоящей из трёх
отрезков; совершенно так же убедимся последовательно в справедли-
Q вости теоремы для ломаных линий, со­
ставленных из 4, 5 и т. д. отрезков. Тео­
рема оказывается справедливой при всяком
D числе отрезков, образующих ломаную
С линию.
Черт. 30. *14.Периметром многоугольника или ло­
маной линии называется сумма всех сторон.
Теорема. Периметр выпуклой ломаной меньше периметра
любой ломаной, объемлющей данную и имеющей с ней общие
концы.
Пусть ACDB — выпуклая ломаная линия и ACrDEFB — объем­
лющая её ломаная (черт 31). Продолжим стороны АС и CD в одном
и том же направлении ACDB, т. е. сторону АС за точку С, а сто­
рону CD — за точку D. Эти продолжения пересекут объемлющую
линию соответственно в точках О и И.
Путь ACDB короче пути АСИВ, так как они имеют общую часть
ACD, а остающаяся часть DB первого короче остающейся части DHB
второго. В свою очередь, путь АСНВ меньше, чем AGD’EFB, так

17. 42 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
как, отбрасывая общие части ЛС, НВ, получим отрезок СИ, который
короче ломаной линии CGD'E'FH.
Наконец, точно так же AGDEFB меньше ACD'E'F'B, так как
АО меньше ACG.
Таким образом, имеем:
ACDB < АСНВ < AGD'E'F'B < ACD'E'F'B.
Следствие. Периметр выпуклого многоугольника меньше пери­
метра замкнутой ломаной линии, которая объемлет его со всех
сторон.
Пусть (черт. 32) имеем выпуклый многоугольник ABCDE и лома­
ную линию A'B'C'D'E'F'GA', которая объемлет его со всех сторон.
Черт. 31. Черт. 32.
Продолжим сторону АВ в обоих направлениях до пересечения с объ­
емлющей линией в точках М> N; мы видим, что линия AEDCB мень­
ше AMBA'G'NB (по предыдущей теореме), так что многоугольник
AEDCBA имеет периметр меньший, чем многоугольник NMBA'G'N.
Л
Черт. 33.
А этот в свою очередь по длине меньше данной объемлющей линии,
так как часть MBAGNу них общая, a MN <A MCf Df Ef Ff N.
28. Теорема. Если два треугольника имеют по неравному
углу, заключённому между соответственно равными сторонами,
то третьи стороны неравны и против большего угла лежит
и большая сторона.
Пусть даны треугольники ABC и А'В'Св которых АВ — А'В
АС = АС, Л А А' (черт. 33). Я хочу доказать, что ВС больше
ВС'.

18. ГЛАВА И. ТРЕУГОЛЬНИКИ 43
Наложим треугольник А'ВГСТ на треугольник ABC так, чтобы две
равные их стороны АГВГ и АВ совпали. Так как угол А' меньше угла А,
то сторона А'С' займёт положение AD внутри угла ВАС. Проведём
биссектрису АЕ угла DAC; эта прямая точно так же лежит внутри
угла ВАС. Следовательно, точки В и С лежат по разные стороны
от неё, и прямая АЕ должна пересечь сторону ВС в некоторой точке Е,
расположенной между В и С. Если мы проведём DE, то увидим, что
два треугольника АСЕ и ADE равны как имеющие по равному углу
(углы при Л), заключённому между двумя соответственно равными
сторонами (АЕ общая, AC—A'C'—AD) отсюда следует равенство
сторон DE и ЕС. Далее неравенство BD < л В Е E D , вытекающее из
треугольника BDE, даёт нам
BD < BE -f ЕС или BD < ВС.
Обратная теорема. Если две стороны одного треугольника
соответственно равны двум сторонам другого, а третьи стороны
неравны между собой, то углы, противолежащие этим сторонам,
также неравны и против большей стороны лежит и больший угол.
Это положение равносильно предыдущему.
П р и м е ч а н и е . Предыдущая теорема ни в какой мере не предпола­
гает доказанным третий признак равенства треугольников (п. 24). Наобо­
рот, она даёт для него новое доказательство.
Если, в самом деле, одновременно с АВ = А'В' и АС = А'С' имеем
ВС = В'С то необходимо, чтобы углы при точках А, А' в двух треуголь­
никах были равны, так как иначе стороны ВС и В'С' были бы неравны
между собой, как мы только что видели. Но если Z. А = L А то два
треугольника равны (второй признак равенства).
УПРАЖНЕНИЯ.
5. Доказать, что треугольник равнобедренный:
1°. если его биссектриса является в то же время и высотой;
2°. если его медиана является в то же время и высотой;
3°. если его биссектриса является в то же время и медианой.
6. На стороне ОХ некоторого угла отложены два отрезка О А и ОВ,
а на другой стороне угла ОХ' два отрезка OA1, OB’, соответственно рав­
ные первым, и концы отрезков накрест соединены между собой: А с В',
г. А' с В. Доказать, что точка /, в которой пересекаются прямые АВ'
и А'В, лежит на биссектрисе данного угла.
7. Если две стороны треугольника неравны между собой, то медиана,
заключённая между ними, образует с меньшей из этих сторон угол боль­
ший, чем с другой стороной (доказать, пользуясь построением, аналогичным
построению п. 25).
8. Если соединить точку, взятую в плоскости треугольника, с тремя
вершинами, то сумма полученных отрезков больше полупериметра треуголь­
ника; если точка взята внутри треугольника, то она меньше его периметра
(доказать).
8а. Если соединить точку, взятую в плоскости многоугольника, со
всеми его вершинами, то сумма полученных отрезков больше полупери­
метра многоугольника (доказать).
9. Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника заключается между
его полупериметром и периметром (доказать).

19. 44 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
10. Точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника есть
точка плоскости, которая имеет наименьшую возможную сумму расстояний
до его четырёх вершин (доказать).
11. Медиана треугольника меньше полусуммы сторон, её заключающих,
и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны
(доказать).
12. Сумма медиан треугольника больше полупериметра и меньше пе­
риметра (доказать).
13. Найти на данной прямой точку, сумма расстояний которой до двух
заданных точек наименьшая. Рассмотреть два случая: когда обе точки
находятся по одну и ту же или по разные стороны от прямой.
Свести первый случай ко второму (пользуясь симметрией части фигуры
относительно данной прямой).
14. (Задача о биллиарде.) Даны прямая XY и две точки А, В по одну
и ту же сторону от этой прямой; найти на этой прямой точку М такую,
чтобы угол АМХ был бы равен углу BMY.
Получается та же точка, что и в предыдущем упражнении.
15. Найти на данной прямой такую точку, чтобы разность расстояний
её от двух заданных точек была наибольшей. Рассмотреть два случая,
когда обе точки находятся по одну и ту же или по разные стороны от
прямой.
вая треугольник ОО'А, в котором ОО'О A -f- О'А, мы видим,
что 00' можно заменить через ЮН и О A-^ОА — через 20А.
Отсюда следует, что
2°. Пусть даны две такие наклонные О А и ОВ, что НА = НВ.
Эти две наклонные будут равны как симметричные относительно
прямой ОН.
3°. Пусть даны две'такие наклонные О А и ОС, что НСА>НА
(черт. 34). Предположим сначала, что точки Л и С находятся по
ГЛА В А III.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ.
29. Теорема. Если из одной точки, взятой вне прямой, про­
вести к этой прямой перпендикуляр и несколько наклонных, то:
1°. перпендикуляр короче всякой наклонной;
2°. две наклонные, основания которых одинаково удалены от
О основания перпендикуляра, равны;
X
Е
от основания перпендикуляра.
1°. Пусть даны перпендикуляр ОН
и наклонная О А, проведённые из точ­
ки О к прямой XY (черт. 34). Продол­
жим отрезок ОН на равную ему длину
НО' точка Ог симметрична с точкой О
относительно прямой XY, так что отре­
зок О'А равен отрезку О А как от­
резок, с ним симметричный. Рассматри-
3°. из двух наклонных длиннее та,
основание которой дальше отстоит
Черт. 34.
20Л>20Я, или 0#<0А.

20. ГЛАВА III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ 45
одну сторону от И. Тогда точка А лежит внутри треугольника ОО'С.
Следовательно, мы будем иметь (п. 27):
OA-f 0'А<0С + 0'С.
Но, как мы видели выше, О А равно О'А и ОС равно О'С. Деля
почленно на два, получим, как раньше,
О А < ОС.
Если рассматривать наклонную ОВ менее удалённую, чем ОС, но
лежащую по другую сторону от точки //, то достаточно отложить
в направлении НС отрезок НА —ИВ: наклонная О А будет равна ОВ
(2°) и будет меньше ОС, как мы только что видели.
30. Обратная теорема. Если две наклонные равны, то их
основания одинаково удалены от основания перпендикуляра, так как
иначе они были бы неравны; если две наклонные неравны, то та
из них, которая длиннее другой, дальше отстоит от основания
перпендикуляра.
Следствие. Из данной точки О к данной прямой ХУ нельзя
провести более двух наклонных, имеющих одну и ту же длину.
Действительно, основания этих наклонных должны быть равноуда­
лены от основания И перпендикуляра на прямую ХУ; но одно и
то же расстояние может быть отложено на прямой ХУ от точки Н
только двумя способами.
31. Расстоянием точки от прямой называется длина перпенди­
куляра, опущенного из этой точки на прямую. Предыдущая теорема
показывает, что этот перпендикуляр действительно представляет со­
бой кратчайший путь от точки до прямой.
32. Теорема. 1°. Любая точка, лежащая на перпендикуляре
к данному отрезку, проходящем через его середину, одинаково
удалена от обоих концов этого отрезка.
2°. Всякая точка, не расположенная на этом перпендикуляре,
неодинаково удалена от двух концов отрезка.
1°. Пусть М — точка, расположенная на перпендикуляре в сере­
дине О отрезка АВ (черт. 35). Отрезки МА,
MB равны как наклонные, одинаково отстоящие
от основания перпендикуляра МО.
2°. Пусть М! — точка, не лежащая на пер­
пендикуляре в середине отрезка АВ, напри­
мер, расположенная с той же стороны от пер­
пендикуляра, где находится точка В. В таком
случае и основание перпендикуляра О', опу­
щенного из точки М' на прямую, будет лежать Черт.35.
от перпендикуляра в середине отрезка с той
же стороны, где находится точка В (иначе оба перпендикуляра пере­
секлись бы и через точку пересечения можно было бы провести
два перпендикуляра к АВ).

21. 46 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Следовательно, будем иметь
0гАл>0'Ву откуда (п. 29) М'АЛ>М'В.
П р и м е ч а н и я : I. Можно было бы доказать эту вторую часть
теоремы иначе, доказав предложение, ей равносильное: всякая точка,
одинаково удалённая от А и В, лежит на перпендикуляре к от­
резку АВ, восставленном в его середине. Это предложение вытекает
из обратной теоремы п. 30 (основания двух равных наклонных равно­
удалены от основания перпендикуляра) или ещё из свойства равно­
бедренного треугольника (п. 23, примечание). Однако следует за­
метить, что наш способ доказательства имеет то преимущество, что
он показывает, какое из двух расстояний больше в том случае,
когда они неравны.
II. Предложение, которое мы только что сформулировали (всякая
точка, одинаково удалённая от А и В, лежит на перпендикуляре
к отрезку АВ, проходящем через его середину), является обратным
по отношению к первой части предыдущей теоремы. Таким образом,
мы имеем здесь два способа доказательства обратной теоремы. Первый
состоит в повторении первоначального рассуждения в обратной по­
следовательности. Это то, что мы сделали в предыдущем примечании.
В первоначальном рассуждении (доказательство предыдущей теоремы,
1°) мы исходили из предположения, что точка М лежит на перпен­
дикуляре к отрезку АВ, проходящем через его середину, или что МА
и MB были равноудалены от основания перпендикуляра, а отсюда
мы делали вывод, что они равны. Теперь же мы исходили из того,
что точка М одинаково удалена от А и В или что обе наклонные
равны, и делали заключение, что они одинаково удалены от перпен­
дикуляра.
Второй способ доказательства обратной теоремы состоит в том,
чтобы доказать то, что называется противоположным предложением.
Так называется предложение, в котором условие противоположно
условию первоначального предложения, а заключение противоположно
первоначальному заключению. Таким образом, вторая часть преды­
дущей теоремы является предложением, противоположным первой
её части, и равносильна обратной ей теореме.
Мы встретим в дальнейшем (см., например, п. 41) третий способ
доказательства обратных теорем.
33. Воспользуемся теперь определением п. 1а. На основании этого
определения предыдущая теорема может быть сформулирована так:
Теорема. Геометрическое место точек, одинаково удалённых
от двух данных точек, есть перпендикуляр, восставленный
в середине отрезка, соединяющего эти точки.
Действительно, фигура, образованная точками, одинаково удалён­
ными от А и В, есть перпендикуляр к отрезку АВ, проходящий
через его середину.
Заметим, что для того, чтобы в этом убедиться, необходимо
доказать:

22. ГЛАВА IV. РАВЕНСТВО ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 47
1°. что любая точка перпендикуляра удовлетворяет данному
условию,
2°. что всякая точка, удовлетворяющая данному условию, лежит
на перпендикуляре, или, что сводится к тому же самому, что всякая точ­
ка, не расположенная на перпендикуляре, не удовлетворяет условию.
Необходимость в таком доказательстве, состоящем из двух час­
тей, представляется во всех задачах, касающихся отыскания гео­
метрических мест.
УПРАЖНЕНИЯ.
16. Если два прямоугольных треугольника таковы, что катеты первого
треугольника соответственно меньше катетов второго, то и гипотенуза
первого треугольника меньше гипотенузы второго (доказать).
17. Если углы В и С треугольника ABC — острые и стороны АВ, АС
неравны, то линии, выходящие из вершины А, следуют в таком порядке:
большая сторона, медиана (см. упражнение 7, гл. II), биссектриса, высота,
меньшая сторона (доказать).
18. В неравнобедренном треугольнике отрезок биссектрисы от вершины
до противолежащей стороны меньше, чем медиана, выходящая из той же
вершины.
Г Л А В А IV.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА.
34. К прямоугольным треугольникам применимы, само собой ра­
зумеется, признаки равенства произвольных треугольников. Например,
два прямоугольных треугольника равны, если они имеют соответ­
ственно равные катеты (второй признак равенства произвольных
треугольников).
Кроме разобранных ранее признаков равенства треугольников,
существуют два других, которые приложимы
только к прямоугольным треугольникам.
Первый признак равенства. Два прямо­
угольных треугольника равны, если они
имеют равные гипотенузы и по одному
равному острому углу.
Пусть (черт. 36) даны два прямоуголь­
ных треугольника ABC и А'В'С, в которых
ВС — В'С /_В==/тВг.
Наложим второй треугольник на пер­
вый так, чтобы их равные углы В и В1
совпали. Тогда ВГС пойдёт по направлению ВС, и так как эти
два отрезка равны, точка С попадёт в точку С. При этом ВГАГ
пойдёт по направлению В А, и, следовательно, СГАГ должна пойти по
направлению перпендикуляра, опущенного из точки С на ВА,
т. е. по направлению СА.
Второй признак равенства. Два прямоугольных треугольника
равны, если они имеют по равной гипотенузе и по одному рав­
ному катету.

23. 48 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и А'В'С,
в которых ВС = ВГС, АВ = А’В'. Наложим второй треугольник
на первый так, чтобы совместились равные стороны АВ и А'В'.
Сторона АГСГ пойдёт по направлению АС. Мы будем иметь теперь
две наклонные из точки В к прямой АС, а именно ВС и новое поло­
жение стороны ВГС, которые по условию будут равны и, следовательно
(п. 30), одинаково удалены от основания перпендикуляра. Таким обра­
зом, А'С = АС, откуда и следует равенство двух треугольников.
35. Теорема. Если два прямоугольных треугольника имеют
по равной гипотенузе и по неравному острому углу, то стороны,
противолежащие неравным углам, неравны, и против большего
угла лежит большая сторона.
Пусть даны треугольники ABC и АТВТСГ (черт. 37), в которых
ВС = В'С'; Z£> LB Я ут­
верждаю, что АСА> А'С.
Чтобы в этом убедиться,
отложим на продолжении сто­
роны АС равный ей отрезок
AD и точно так же на про­
должении стороны А'С'—рав-
Черт. 37. ный ей отрезок А'В'. Мы бу­
дем иметь прежде всего
(п. 29) ВВ = ВС = В'С = ВГВ'. Кроме того, в равнобедренном тре­
угольнике ВВС медиана В А будет также биссектрисой, так что угол
ВВС будет в два раза больше первоначального угла В. Точно
так же угол В'В'С будет в два раза больше первоначального
угла В так что мы будем иметь /_ВВСА> /_ВГВГС.
Два треугольника ВВС и В'В'С' будут иметь тогда по неравному
углу, заключённому между соответственно равными сторонами,
откуда следует, что ВСА>В'С, а следовательно, АСА ' С ' .
36. Теорема. Биссектриса угла есть геометрическое место
точек, расположенных внутри угла и одинаково удалённых от
сторон угла.
Доказательство, как мы объяснили раньше (п. 33), состоит из
двух частей.
1°. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково
удалена от сторон угла.
Пусть даны угол ВАС и точка М (черт. 38), лежащая на биссек­
трисе этого угла. Если из точки М опустим на стороны угла перпен­
дикуляры MB и ME, то два прямоугольных треугольника АМВ,
АМЕ будут равны как имеющие общую гипотенузу и равные острые
углы (при вершине А). Следовательно, перпендикуляры MB и ME
будут равны.
2°. Любая точка, расположенная внутри угла, но не на бис­
сектрисе, неодинаково удалена от двух сторон угла.
Пусть дана точка М'у расположенная, например, между биссек­
трисой и стороной АС.

24. ГЛАВА V. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ 49
При этом угол ВАМ будет больше угла МГАС. Следовательно,
если мы опустим на АВ и АС перпендикуляры MD' и М'Е то два
прямоугольных треугольника AMD' и АМЕ будут иметь общую
гипотенузу и неравные углы при вершине А;
следовательно, МП будет (п. 35) больше ME.
Точно так же, как для теоремы п. 32, мы
могли бы доказать вместо противоположного
предложения, данного в 2°, обратную тео­
рему: Всякая точка, расположенная внутри
угла и одинаково удалённая от его сторон,
лежит на биссектрисе.
Для этого пришлось бы, повторяя в обрат­
ной последовательности первоначальные рас- Q
суждения, рассмотреть точку М (черт. 38), ко­
торая по предположению одинаково удалена
от АВ и ЛС, и применить к двум прямо­
угольным треугольникам AMD, АМЕ, в кото- Черт. 38.
рых гипотенуза — общая и MD = ME, вто­
рой признак равенства (п, 34). Таким образом, мы доказали бы
равенство углов при Л, откуда и следовало бы, что AM есть бис­
сектриса.
Но таким путём мы не смогли бы узнать, которое из двух рас­
стояний больше в том случае, когда они неравны.
Следствие. Геометрическое место точек, одинаково удалённых
от двух прямых, состоит из двух биссектрис (п. 15 а) углов,
образованных этими прямыми.
УПРАЖНЕНИЯ.
19. Доказать, что если две высоты треугольника равны, то треуголь­
ник — равнобедренный.
20. Доказать более общее предложение, что во всяком треугольнике
большей стороне соответствует меньшая высота *).
Г Л А В А V .
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ.
37. Если две прямые линии пересечены одной и той же секущей
(черт. 39), то эта секущая образует с данными прямыми восемь углов,
перенумерованных на чертеже, взаимное расположение которых
характеризуется следующими названиями:
*) Высотой (медианой, биссектрисой), с о о т в е т с т в у ю щ е й данной
стороне, называется высота (медиана, биссектриса), проведённая из проти­
волежащей вершины. Прим. ред. перевода.

25. 50 КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Два угла, такие как /_3 и /5, находящиеся между двумя дан­
ными прямыми и по разные стороны от секущей, называются вну­
тренними накрестлежащими.
Два угла, такие как 3 и Z. расположенные между двумя
данными прямыми, но по одну сторону от секущей, называются
внутренними односторонними.
Два угла, такие как и /.2, расположенные по одну сторону
от секущей и обращённые — один к части плоскости, заключённой
между двумя прямыми, другой к части плоскости, внешней по отно­
шению к данным прямым, на­
зываются соответственны­
ми.
38. Параллельными прямы-
o' ми называются две прямые,
лежащие в одной и той же пло­
скости, которые, сколько бы
их ни продолжать в обе сто­
роны, не пересекаются между
собой.
Теорема. Две прямые ли­
нии, пересечённые одной и
той же третьей, парал-
Черт. 39. лельны:
1 °. если внутренние одно­
сторонние углы являются пополнительными углами*); или
2°. если внутренние накрестлежащие углы равны; или
3°. если соответственные углы равны.
1°. Если две прямые пересекались бы с той или другой стороны
от секущей, то они образовали бы треугольник, в котором (п. 25)
сумма двух внутренних односторонних углов должна была бы быть
меньше, чем два прямых.
Два других случая сводятся к первому:
2°. Если внутренние накрестлежащие углы 3 и 5 равны, то
это сводится к тому, что /, 3 является пополнительным для 6,
иначе говоря, к тому, что внутренние односторонние углы являются
пополнительными.
3°. Если соответственные углы и /2 равны, то Z.3 и Z.6
снова будут пополнительные, так как /_3 будет пополнительным
для 2.
Этой теоремой приходится пользоваться для доказательства па­
раллельности двух прямых.
Следствие. В частности, две прямые, перпендикулярные к одной
и той же третьей и лежащие в одной плоскости, парал­
лельны.
]) Если Z 3 и Z 6 (черт. 39) пополнительные, то и Z 4 и L 5 пополни­
тельные, так как сумма этих четырёх углов равна четырём прямым.