Ingeniería de control: Tema 1b. Análisis de la respuesta en frecuencia

w w w . m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional
de México
Instituto Tecnológico
de Matamoros
CONTROL II
TEMA I: ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA

Interpreta gráficas y aplica métodos de respuesta
a la frecuencia para analizar sistemas de control y
dispositivos utilizados en eléctrica y electrónica.
Competencia Específica

SUBTEMAS
1.1 Introducción a la respuesta a la frecuencia.
1.2 Uso de los fasores para determinar la respuesta
a una frecuencia de un sistema.
1.3 Respuesta a la frecuencia a partir de polos y
ceros.
1.4 Gráfica logarítmica de Bode.
1.5 Margen de fase y margen de ganancia.
1.6 Estabilidad utilizando el criterio de Nyquist.

1.1 Introducción a la Respuesta en
Frecuencia
La Respuesta en la frecuencia se define como la
respuesta en estado estable de un sistema ante
una entrada senoidal, la respuesta se monitorea
sobre un intervalo de frecuencias.
La respuesta en estado estable es la que
permanece después de que todos los transitorios
han decaído a cero.
Si a un sistema estable se le aplica una entrada
senoidal, la salida es también una senoidal, la cual,
puede tener diferente magnitud y fase.

El cociente:
Magnitud =
Ampltud de la salida
Amplitud de la entrada
También se llama ganancia o razón de amplitud.
El corrimiento entre la senoidal de salida con
respecto a la senoidal entrada se le llama fase.
La variación de la magnitud y la fase con la
frecuencia se denomina respuesta en frecuencia
del sistema.

El análisis de la respuesta en frecuencia
proporciona información primordial sobre el
sistema o planta a controlar, en relación a su
comportamiento dinámico, permitiendo su
optimización por inspección de los resultados, tal
que:
• Se puede saber si un sistema es o no estable.
• En qué grado es estable y qué correcciones
debemos efectuar para mejorar su estabilidad.
• Para contrarrestar su inestabilidad, por medio de
una variación de la señal de entrada en un cierto
rango de frecuencias

Repaso de números complejos
Un número complejo se puede representar en su
forma rectangular como: z = x + jy.
Gráficamente se representa como sigue.

En forma polar: z = rθ = r(cosθ + jsenθ)
Donde la magnitud: r = x2 + y2
Y la fase: 𝜃 = tan−1 𝑦
𝑥
Los signos de x e y se deben tomar en cuenta al
momento de calcular la tangente, de manera que:
Valor de x Valor de y Grados
+ + Entre 0 y 90
- + Entre 0 y 180
- - Entre 180 y 270
+ - Entre 270 y 360

1.2 Uso de los fasores para determinar
la respuesta a una frecuencia.
La función de transferencia de lazo abierto G(s) de
un sistema de control puede representarse como:
G s =
Y(s)
X(s)
=
K s + z1 s + z2 … (s + zm)
s + p1 s + p2 … (s + pn)
Donde: K es la ganancia; z1, z2, …, zm son los ceros y
p1, p2, …, pm son los polos.
Para una entrada senoidal:
x t = Xm sin ωt
Donde Xm es la amplitud de la señal de entrada y
 es la frecuencia angular en rad/seg.

Aplicando la Transformada de Laplace tenemos:
X s =
Xm ω
s2 + ω2
La salida está dada por:
Y s = G s X s =
K s + z1 s + z2 … (s + zm)
s + p1 s + p2 … (s + pn)
Xm ω
s2 + ω2
Esta ecuación se puede resolver aplicando
fracciones parciales.
El resultado tiene la forma:
Y(s) = Términos transitorios + Términos en estado estable
Los primeros desaparecen con el tiempo
quedando solo los términos de estado estable, la
solución que se obtiene es:

y t = Xm G(jω) sin(ωt + )
La salida en estado estable es senoidal con la
misma frecuencia angular  que la entrada, pero
con diferente amplitud, la cual, está dada por el
producto de Xm con G(jω) (magnitud de la
función de transferencia G(s)). Asimismo, su
desplazamiento de fase  (si esta existe) es
diferente respecto a la entrada.
En una función de transferencia G(s), cuando s se
reemplaza por j se denomina función de
respuesta en frecuencia o función de
transferencia senoidal.

EJEMPLO 1:
Considere un sistema con retroalimentación
unitaria cuya función de transferencia en lazo
abierto, G(s), está dada por:
G s =
1
s + 2
Encuentre las expresiones de magnitud y fase
para este sistema.
SOLUCIÓN:
Sustituyendo s = j tenemos:
G jω =
1
jω + 2
Como no es evidente la magnitud y fase tenemos:

G jω =
1
2 + jω
2 − jω
2 − jω
=
2 − jω
22 + ω2
=
2 − jω
ω2 + 4
G jω =
2
ω2 + 4
− j
ω
ω2 + 4
Magnitud:
G jω =
2
ω2 + 4
2
+
ω
ω2 + 4
2
=
𝜔2 + 4
𝜔2 + 4 2
G jω =
1
𝜔2 + 4
Fase:
 = tan−1
−
𝜔
ω2+4
2
ω2+4
→  = tan−1
−𝜔
2

EJEMPLO 2:
Para el sistema del ejemplo anterior elabore una
tabla donde muestre los valores de magnitud y
fase para las frecuencias angulares  = 0, 2 10, 100,
1000, …,  rad/seg.
SOLUCIÓN:
Del ejemplo anterior:
G jω =
1
𝜔2 + 4
 = tan−1
−𝜔
2
 0 2 10 100 1000 … 
G jω 0.5 0.353 0.098 0.0099 0.00099 … 0
 0 -45 -78.7 -88.85 -89.88 … -90

EJEMPLO 3:
Cual es la magnitud y fase de salida en estado
estable de un sistema que esta sujeto a una
entrada senoidal de: x t = 2 sin 3t + 60° , si éste
tiene como función de transferencia:
G s =
4
s + 1
SOLUCIÓN:
Sustituyendo s = j tenemos:
G jω =
4
jω + 1
G jω =
4
1 + jω
1 − jω
1 − jω
=
4 − 4jω
12 + ω2
=
4 − 4jω
ω2 + 1

G jω =
4
ω2 + 1
− j
4ω
ω2 + 1
Magnitud:
G jω =
4
ω2 + 1
2
+
4ω
ω2 + 1
2
=
16 𝜔2 + 1
𝜔2 + 1 2
G jω =
4
𝜔2 + 1
Fase:
 = tan−1
−
4𝜔
ω2+1
4
ω2+1
→  = tan−1
−𝜔
Finalmente:
y t = 2
4
𝜔2 + 1
sin(3t + 60° + tan−1 −𝜔 )
y t = 2.53 sin(3t − 11.565°)

1.3 Respuesta en frecuencia a partir de
polos y ceros.
Consideremos una función de transferencia, G(s),
de varios polos y ceros:
G s =
K s + z1 s + z2 … (s + zm)
s + p1 s + p2 … (s + pn)
El procedimiento general es:
1. Graficar las posiciones de cada polo y cada cero.
2. Marcar la posición s = j.
3. Dibujar líneas de cada polo y cada cero al punto
s = j.
4. Medir las longitudes y los ángulos de cada línea.

5. La función de respuesta en frecuencia es entonces:
G jω =
K(producto longitudes de las líneas de los ceros
producto longitudes de las líneas de los polos
G jω
= ángulos líneas de los ceros − ángulos líneas de los polos

EJEMPLO 4:
Dada la función de transferencia, G(s), para un
sistema definido por:
G s =
s 𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 2
Determinar la salida cuando se aplica en la
entrada una señal x t = 10 sin 2t
SOLUCIÓN:
Tenemos 2 ceros: z1=0 y z2=-2
Se requiere encontrar la ubicación de los dos
polos:
Utilizando Matlab:

Por tanto la función de transferencia se puede
escribir como:
G s =
s + 0 s + 2
s + 1 − j s + 1 + j
Sustituimos s=j y =2 y obtenemos la magnitud:
G jω =
j2 + 0 jω + 2
j2 + 1 − j j2 + 1 + j
=
0 + j2 2 + j2
1 + j 1 + 3j

G jω =
2 22 + 22
12 + 12 12 + 32
=
2 8
2 10
= 1.265
Ahora obtenemos la fase:
G jω =
0 + j2 2 + j2
1 + j 1 + 3j
Definimos los ángulos de los ceros con  y los
ángulos de los polos con .
1 = tan−1
2
0
= 90° 2 = tan−1
2
2
= 45°
𝜃1 = tan−1
1
1
= 45° 𝜃2 = tan−1
3
1
= 71.565°
Entonces:
𝐺 𝑗𝜔 = 90° + 45° − 45° − 71.565° = 18.435°

Por tanto:
G jω =
Y(jω)
X(jω)
→ Y jω = X jω G(jω)
x t = 10 sin 2t → X(jω) = 100°
Entonces:
Y(jω) = 10 1.265 = 12.65
Y j = 0° + 18.435° = 18.435°
Finalmente:
Y jω = 12.6518.435°
y t = 12.65 sin 2t + 18.435°

En Simulink:

1.4 Características de la respuesta en
frecuencia en forma gráfica
La función de transferencia senoidal, es una
función compleja de la frecuencia  y se
caracteriza por su magnitud y su ángulo de fase
con la frecuencia como parámetro. Por lo general
se usan tres representaciones gráficas de las
funciones de transferencia sinusoidales:
1. Diagrama de Bode o Gráfica Logarítmica.
2. Diagrama de Nyquist o Gráfica Polar.
3. Diagrama de Nichols o Gráfica de Magnitud
Logarítmica contra la fase.

1.4.1 Diagrama de Bode o Gráfica
Logarítmica
Un diagrama de Bode está formado por dos
gráficas: una es la gráfica de la magnitud
logarítmica de la función de transferencia
sinusoidal, y la otra es la gráfica del ángulo de fase;
ambas se dibujan contra la frecuencia en escala
logarítmica.
La representación común de la magnitud
logarítmica de G(j) es: 20log G(jω . La unidad
utilizada en esta representación para la magnitud
es el decibelio, por lo general abreviado dB.

En la representación logarítmica, se dibujan las
curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala
logarítmica para la frecuencia y la escala lineal
para cualquier magnitud (en dB) o el ángulo de
fase (en grados).
La ventaja principal de utilizar el diagrama de
Bode es que la multiplicación de magnitudes se
convierte en suma. Además, cuenta con un
método simple para dibujar una curva
aproximada de magnitud logarítmica, la cual, se
basa en aproximaciones asintóticas (líneas rectas).

Para un sistema, que tiene una función de
transferencia que involucra varios términos,
conviene dibujar las curvas de la respuesta en
frecuencia considerando la aportación de cada
uno de los factores básicos que contiene.
FACTORES BÁSICOS DE G(j)H(j)
1. Factores de ganancia: 𝐊 ∓𝟏
2. Factores de integral y derivada: 𝐣𝛚 ∓𝟏
3. Factores de primer orden: 𝟏 + 𝐣𝛚𝐓 ∓𝟏
4. Factores cuadráticos: 𝟏 + 𝟐
𝐣𝛚
𝛚𝐧
+
𝐣𝛚
𝛚𝐧
𝟐 ∓𝟏

Factores de ganancia: 𝐊 ∓𝟏
a) G jω = K−1
=
1
K
Magnitud Logarítmica:
G(jω) dB = 20 log
1
K
= −20 log K ∀𝜔
Fase:
G jω = tan−1
0
1
K
= tan−1
0 = 0° ∀ω
Ejemplo: Si G(jω) =
1
5
el diagrama de Bode es:
G(jω) dB = 20 log
1
5
= −20 log 5 = −13.98dB ∀𝜔

G(j) = tan−1
0
1
5
= tan−1
0 = 0° ∀𝜔
Desarrollo en Matlab:

b) G jω = K+1
= K
G(jω) dB = 20 log K ∀𝜔
Fase:
G(j) = tan−1
0
K
= tan−1
0 = 0° ∀𝜔
Ejemplo: Si G(jω) = 5 el diagrama de Bode es:
G(jω) dB = 20 log 5 = 13.98dB ∀𝜔
G(j) = tan−1
0
5
= tan−1
0 = 0° ∀𝜔

El efecto de variar la ganancia K en la función de
transferencia es subir o bajar la curva de
magnitud logarítmica de la función de
transferencia en una cantidad constante sin
afectar la curva de fase.

Factores de integral y derivada: 𝐣𝛚 ∓𝟏
a) G jω = jω −1
=
1
jω
=
−j
ω
G(jω) dB = 20 log
1
ω
= −20 log ω
Fase:
G(j) = tan−1
−1
𝜔
0
= −90° ∀𝜔
Ejemplo: Si G(jω) =
1
jω
el diagrama de Bode es:
G(jω) dB = −20 log ω

G(j) = −90° ∀𝜔
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
G(jω) dB 40 20 0 -20 -40 -60

b) G jω = jω +1
= jω
G(jω) dB = 20 log ω
Fase:
G(j) = tan−1
ω
0
= +90° ∀𝜔
Ejemplo: Si G(jω) = jω los diagramas de Bode son:
G(jω) dB = 20 log ω
G(j) = +90° ∀𝜔
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
G(jω) dB -40 -20 0 20 40 60

Factores de primer orden: 𝟏 + 𝐣𝛚𝐓 ∓𝟏
a) G jω = 1 + jωT −1
=
1
1+jωT
Frec. corte ωc =
1
T
G(jω) =
1
1 + jωT
1 − jωT
1 − jωT
=
1 − jωT
1 + ω2T2
G jω =
1
1 + ω2T2
− j
ωT
1 + ω2T2
G jω =
1
1 + ω2T2
2
+
ωT
1 + ω2T2
2
=
1 + ω2T2
1 + ω2T2 2
G jω =
1
1 + ω2T2

G(jω) dB = 20 log
1
1 + ω2T2
= −20log 1 + ω2T2
Fase:
G(j) = tan−1
−ωT
1+ω2T2
1
1+ω2T2
= tan−1
−ωT = − tan−1
ωT
Ejemplo: Grafique el Diagrama de Bode para un
sistema definido por: G(𝑠) =
1
1+0.1s
G jω =
1
1 + j0.1ω
ωc =
1
0.1
= 10 rad/s
G(jω) dB = 20 log
1
1 + 0.1𝜔 2
= −20 log 1 + 0.1𝜔 2

G(j) = tan−1
−ωT = − tan−1
0.1ω
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
G(jω) dB -4.34x10-6 -4.34x10-4 -0.0432 -3.01 -20.04 -40
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
𝐆(𝐣𝛚 -0.0572 -0.572 -5.71 -45 -84.3 -89.4

b) G jω = 1 + jωT +1
= 1 + jωT Frec. corte ωc =
1
T
G jω = 1 + ω2T2
G(jω) dB = 20 log 1 + ω2T2
Fase:
G(j) = tan−1
ωT
1
= tan−1
ωT
sistema definido por: G 𝑠 = 1 + 0.1s
G jω = 1 + j0.1ω ωc =
1
0.1
= 10 rad/s
G(jω) dB = 20 log 1 + 0.1𝜔 2

G(j) = tan−1
ωT
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
G(jω) dB 4.34x10-6 4.34x10-4 0.0432 3.01 20.04 40
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
𝐆(𝐣𝛚 0.0572 0.572 5.71 45 84.3 89.4

Factores cuadráticos: 𝟏 + 𝟐
𝐣𝛚
𝛚𝐧
+
𝐣𝛚
𝛚𝐧
𝟐 ∓𝟏
a) G jω = 1 + 2
jω
ωn
+
jω
ωn
2 −1
=
1
1−
ω2
ωn2 +j2 ω
ωn
Magnitud:
G jω =
1
1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2
Magnitud logarítmica:
𝐺(𝑗𝜔) 𝑑𝐵 = 20 log
1
1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2

𝐺(𝑗𝜔) 𝑑𝐵 = −20 log 1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2
Fase:
G jω = tan−1
−2
ω
ωn
1 −
ω2
ωn
2
= − tan−1
2
ω
ωn
1 −
ω2
ωn
2
sistema definido por: G(s) =
1
1+0.2s+s2
G jω =
1
1 + 0.2jω + jω 2
→
𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
= 𝑗𝜔 2
→ 𝜔𝑛 = 1
→ 2
𝑗𝜔
𝜔𝑛
= 0.2𝑗𝜔 → 2 = 0.2 →  =
0.2
2
= 0.1

G jω =
1
1 + 0.2jω + jω 2
=
1
1 − ω2 + j0.2ω
G(jω) dB = −20 log 1 − ω2 2 + 0.2ω 2
G jω = − tan−1
0.2ω
1 − ω2
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
G(jω) dB 8.51x10-4 0.0855 13.979 -39.91 -79.99 -119.99
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
𝐆(𝐣𝛚 -0.114 -1.157 -90 -178.84 -179.88 -179.98

De manera general, si 1, este factor cuadrático
se expresa como un producto de dos factores de
primer orden con polos reales. Si 01, este factor
cuadrático es el producto de dos factores
complejos conjugados.
La forma de las curvas de magnitud y fase
dependen tanto de n como de .
Cerca de la frecuencia =n, hay un pico de
resonancia. El factor de amortiguamiento relativo
 determina la magnitud de este pico de
resonancia.

Si 01 la curva de magnitud
presenta un pico de
resonancia. A medida que 
disminuye el pico de
resonancia aumenta.
Para 1 la gráfica ya no
presenta pico de resonancia.
Después del corte la curva
presenta una pendiente de -
40dB/dec.
Para el caso de la fase, si  es
pequeña la curva presenta
cambios bruscos cerca de
=n. Si 1 los cambios son
menos bruscos por lo que la
curva es mas suave.

b) G jω = 1 + 2
jω
ωn
+
jω
ωn
2 +1
= 1 −
ω2
ωn
2 + j2
ω
ωn
Magnitud:
G jω = 1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2
𝐺(𝑗𝜔) 𝑑𝐵 = 20 log 1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2

Fase:
G jω = tan−1
2
ω
ωn
1 −
ω2
ωn
2
sistema definido por: G(s) = 1 + 0.2s + s2
G jω = 1 + 0.2jω + jω 2
→
𝑗𝜔
𝜔𝑛
2
= 𝑗𝜔 2
→ 𝜔𝑛 = 1
→ 2
𝑗𝜔
𝜔𝑛
= 0.2𝑗𝜔 → 2 = 0.2 →  =
0.2
2
= 0.1

G jω = 1 + 0.2jω + jω 2
= 1 − ω2
+ j0.2ω
G(jω) dB = 20 log 1 − ω2 2 + 0.2ω 2
G jω = tan−1
0.2ω
1 − ω2
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
G(jω) dB -8.51x10-4 -0.0855 -13.979 39.91 79.99 119.99
 (rad/s) 0.01 0.1 1 10 100 1000
𝐆(𝐣𝛚 0.114 1.157 90 178.84 179.88 179.98

El comportamiento de magnitud y fase dependen
de  y n.
Después de =n la curva de magnitud presenta
una pendiente de +40dB/dec
En la curva de fase en =n presenta un desfase
de +90 y después de esa frecuencia tiende a
+180.

Procedimiento general para graficar
diagrama de Bode en papel
semilogarítmico.
1. Reescribir la función de transferencia senoidal
G(j)H(j) como producto de factores básicos.
En caso de que alguno de los factores no tenga
la forma del factor básico, se debe trabajar
algebraicamente para dicha forma.
2. Identificar las frecuencias de corte asociadas a
los factores básicos de primer orden y
cuadráticos, en el caso de éstos últimos
identificar también .

3. Dibujar las curvas de magnitud y fase
asociadas a cada uno de los factores básicos
haciendo el análisis individual para cada uno
de ellos y considerando las frecuencias de
corte de los factores de primer orden y
cuadráticos.
4. La curva total de magnitud y fase será la
superposición de los efectos de cada una de las
curvas individuales.

EJEMPLO 1:
Un sistema de control con retroalimentación
unitaria tiene la siguiente F.T. de lazo abierto:
G s =
5 s2
+ 0.2s + 1
s 0.01s + 1
Encuentre el Diagrama de Bode para este
sistema.
SOLUCIÓN:
Sustituimos s=j para formar la F.T. senoidal
G jω =
5 jω 2
+ 0.2jω + 1
jω 0.01jω + 1
Se observa que los factores cuadráticos y de
primer orden tienen la forma del factor básico.

Factores básicos identificados:
1. Factor de ganancia: K=5
2. Factor de integral:
1
jω
3. Factor de primer orden:
1
1+j0.01ω
4. Factor cuadrático: 1 + 0.2jω + jω 2
Análisis de la magnitud logarítmica:
1. 5 dB = 20 log 5 = 13.979dB ∀ω
2.
1
jω dB
= −20 log ω
3.
1
1+j0.01ω dB
= −20 log 1 + 0.01ω 2 → ωc =
1
0.01
= 100

4. 1 + 0.2jω + jω 2
dB = 20 log 1 − ω2 2 + 0.2ω 2
→
jω
ωn
2
= jω 2
→ ωn = 1
→ 2
jω
ωn
= 0.2jω → 2 = 0.2 →  =
0.2
2
= 0.1
Tabla 1: Magnitudes logarítmicas en dB
 0.1 1 10 100 1000
1 13.979 13.979 13.979 13.979 13.979
2 20 0 -20 -40 -60
3 -4.34x10-6 -4.34x10-4 -0.0432 -3.01 -20.04
4 -0.0855 -13.979 39.914 79.999 119.999
Total 33.893 -4.34x10-4 33.849 50.968 53.938

Análisis de la fase
1. 5 = 0° ∀ω
2. 
1
jω
= −90° ∀ω
3. 
1
1+j0.01ω
= − tan−1
0.01ω
4.  1 + 0.2jω + jω 2
= tan−1 0.2ω
1−ω2
Tabla 2: Ángulos de fase en grados
 0.1 1 10 100 1000
1 0 0 0 0 0
2 -90 -90 -90 -90 -90
3 -0.0573 -0.573 -5.71 -45 -84.3
4 1.157 90 178.84 179.88 179.98
Total -88.9 -0.573 83.13 44.88 5.58

Análisis en Matlab:
G s =
5 s2
+ 0.2s + 1
s 0.01s + 1

EJEMPLO 2:
Un sistema de control con retroalimentación
unitaria tiene la siguiente F.T. de lazo abierto:
G s =
s + 1
s s + 3 𝑠2 + 5
Encuentre el Diagrama de Bode para este
sistema.
SOLUCIÓN:
Sustituimos s=j para formar la F.T. senoidal
G jω =
jω + 1
jω jω + 3 jω 2 + 5
Se observa que 2 factores del denominador no
tienen la forma del factor básico.

G jω =
jω + 1
(3)(5)jω
jω + 3
3
jω 2 + 5
5
=
jω + 1
15jω
1
3
jω + 1
jω 2
5
+ 1
Una vez realizado lo anterior se observan 5
factores básicos:
1. Factor de ganancia: K =
1
15
2. Factor de integral:
1
jω
3. Factor de primer orden: 1 + jω → 𝜔𝑐 =
1
1
= 1
4. Factor de primer orden:
1
1+j
1
3
ω
→ 𝜔𝑐 =
1
1
3
= 3
5. Factor cuadrático: 1
1+
𝑗𝜔 2
5
→
𝑗𝜔 2
5
=
𝑗𝜔
5
2
→ 𝜔𝑛 = 5
→  = 0

Análisis de la magnitud logarítmica:
1.
1
15 dB
= 20 log
1
15
= −20 log 15 = −23.52dB ∀ω
2.
1
jω dB
= −20 log ω
3. 1 + jω dB = 20 log 1 + ω2
4.
1
1+j
1
3
ω
dB
= −20 log 1 +
1
3
ω
2
5.
1
1+
jω 2
5 dB
= −20 log 1 −
ω
5
2 2
= −20 log 1 −
ω2
5

Tabla 1: Magnitudes logarítmicas en dB
 0.1 1 𝟓 3 5 10 100 1000
1 -23.52 -23.52 -23.52 -23.52 -23.52 -23.52 -23.52 -23.52
2 20 0 -6.99 -9.54 -13.98 -20 -40 -60
3 0.0432 3.01 7.78 10 14.15 20.04 40 60
4 -4.82x10-3 -0.4575 -1.918 -3.01 -5.77 -10.83 -30.46 -50.45
5 0.0174 1.938  1.938 -12.04 -25.575 -66.016 -106.02
Total -3.464 -19.03  -24.132 -41.16 -59.88 -120.04 -179.99

Análisis de la fase:
1. 
1
15
= 0° ∀ω
2. 
1
jω
= −90° ∀ω
3.  1 + jω = tan−1
ω
4. 
1
1+j
1
3
ω
= − tan−1 1
3
ω
5. 
1
1+
jω 2
5
= − tan−1 0
1−
ω2
5
=
0 0 ≤ ω < ωn
−90° ω = ωn
−180° ω > ωn

Tabla 2: Ángulos de fase en grados
 0.1 1 𝟓 3 5 10 100 1000
1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90
3 5.71 45 65.9 71.56 78.7 84.3 89.43 89.94
4 -1.91 -18.43 -36.7 -45 -59.04 -73.3 -88.3 -89.83
5 0 0 -90 -180 -180 -180 -180 -180
Total -86.2 -63.43 -150.8 -243.44 -250.34 259 -268.9 -270
-446.2 -423.43 -420.8

Análisis en Matlab:
G s =
s + 1
s s + 3 𝑠2 + 5

Sistemas de fase mínima y fase no
mínima
Las funciones de transferencia que no tienen
polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s
son funciones de transferencia de fase mínima,
mientras que las que tienen polos y/o ceros en el
semiplano derecho del plano s son funciones de
transferencia de fase no mínima.
Consideremos 2 sistemas cuyas funciones de
transferencia senoidales están dadas por:
G1 jω =
1 + jωT
1 + jωT1
, G2 jω =
1 − jωT
1 + jωT1
, 0 < T < T1
Las configuraciones de polos y ceros son:

Las dos funciones de transferencia sinusoidales
tienen la misma característica de magnitud, pero
tienen diferente característica de ángulo de fase.
Magnitud:
G1(jω) = G2(jω) =
1 + ωT 2
1 + ωT1
2
G1(jω) 𝑑𝐵 = G2(jω) 𝑑𝐵 = 20 log 1 + ωT 2 − 20 log 1 + ωT1
2

Fase:
G1 jω = tan−1
𝜔𝑇 − tan−1
𝜔𝑇1
G2 jω = −tan−1
𝜔𝑇 − tan−1
𝜔𝑇1
Características de fase de G1(s) y G2(s)

Básicamente, los dos sistemas analizados difieren
uno del otro en el factor:
G jω =
1 − jωT
1 + jωT
Cuya magnitud es:
G(jω) =
1 + ωT 2
1 + ωT 2
= 1
Y el ángulo de fase es:
G jω = −tan−1
ωT − tan−1
ωT = −2 tan−1
(ωT)
Las situaciones de fase no mínima surgen de dos
formas distintas. Una es cuando el sistema incluye
uno o más elementos de fase no mínima. La otra
aparece cuando un lazo interior es inestable.

Para un sistema de fase mínima, el ángulo de fase
en = se convierte en 90(q-p), donde p y q son
los grados de los polinomios del numerador y el
denominador de la función de transferencia,
respectivamente.
Para un sistema de fase no mínima, el ángulo de
fase en = difiere de 90(q-p).
En cualquier sistema, la pendiente de la curva de
magnitud logarítmica en = es igual a -20(q-p)
dB/década.
Los sistemas de fase no mínima son lentos en su
respuesta. En la mayor parte de los sistemas de
control, debe tenerse cuidado para evitar un
retardo de fase excesivo.

Retardo de transporte
El retardo de transporte tiene un comportamiento
de fase no mínima y tiene un retardo de fase
excesivo sin atenuación en altas frecuencias. Estos
retardos de transporte aparecen normalmente en
los sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.
Se define matemáticamente como:
G jω = e−jωT
Por Euler tenemos:
G jω = e−jωT
= cos ωT − j sin ωT
De manera que la magnitud es:
G(jω) = cos2ωT + sin2ωT = 1 = 1

En dB tenemos:
G(jω) dB = 20 log 1 = 0
La fase:
G jω = −tan−1
sin ωT
cos ωT
= −tan−1
tan ωT = −ωT
Pero este resultado está en radianes. Para pasarlo
a grados sólo tenemos que considerar que 1 rad =
57.3. Por tanto:
G jω = −57.3(ωT) (grados)
El retardo de transporte en Matlab se puede
definir con cualquiera de los siguientes
comandos:
InputDelay.- Especifica retardos en la entrada
OutputDelay.- Especifica retardos en la salida

IODelay.- Especifica retardos para cada par
entrada/salida.
EJEMPLO 1:
Grafique las trazas del Bode del siguiente retardo
de transporte:
G s = e−s
→ G jω = e−jω
SOLUCIÓN
G(jω) dB = 20 log 1 = 0 dB ∀ω
Fase:
G jω = −57.3(ω)
 (rad/s) 0.1 1 10 100
𝐆(𝐣𝛚 -5.73 -57.3 -573 -5730

En Matlab:
Se observa un retraso de fase excesivo en la traza
de Bode de fase.

EJEMPLO 2:
Un sistema de primer orden contiene un retardo
de transporte y está definido por:
G s =
5𝑒−3.4𝑠
𝑠 + 1
→ G jω =
5e−j3.4ω
jω + 1
Obtenga el diagrama de Bode.
SOLUCIÓN
G(jω) dB = 20 log 5 + 20 log 1 − 20 log 1 + 𝜔2
G(jω) dB = 20 log 5 − 20 log 1 + 𝜔2
 (rad/s) 0.1 1 10 100
G(jω) dB 13.936 10.969 -6.064 -26.021

Fase:
G jω = 0° − 57.3 3.4ω − tan−1
ω
Solución en Matlab:
 (rad/s) 0.1 1 10 100
𝐆(𝐣𝛚 -25.19 -239.82 -2032.5 -19571.43

Veamos ahora la diferencia en la respuesta al
escalón del sistema de primer orden sin retardo y
con retardo.

1.4.2 Diagramas Polares o de Nyquist
El diagrama polar de una función de transferencia
sinusoidal G(j) es una gráfica de la magnitud de
G(j) con respecto su ángulo de fase en
coordenadas polares, cuando  varía de cero a
infinito.
Por tanto, el diagrama polar es el lugar
geométrico de los vectores G( j) G( j) cuando
 varía de cero a infinito.
El diagrama polar se denomina, a menudo,
diagrama de Nyquist.
Cada punto en el diagrama polar de G(j)
representa el punto terminal de un vector para un
valor determinado de .

En el diagrama polar es importante mostrar la
graduación de la frecuencia del lugar geométrico.
Figura: Ejemplo de diagrama polar.
Una ventaja de utilizar un diagrama polar es que
representa, en una sola gráfica, las características
de la respuesta en frecuencia de un sistema en el
rango de frecuencia completo.

Una desventaja es que el diagrama no indica en
forma clara la contribución de todos los factores
individuales de la función de transferencia en lazo
abierto.
Factores de integral y derivada: 𝐣𝛚 ∓𝟏
a) G jω = jω −1
=
1
jω
=
−j
ω
Magnitud y fase:
G(jω) G j =
1
ω
 − 90°
 0 1 2 … 10 … 
G jω 𝐺(𝑗𝜔) -90 1-90 0.5-90 … 0.1-90 … 0-90

La traza polar coincide con el eje imaginario
negativo.
b) G jω = jω +1
= jω
Magnitud y fase:
G(jω) G j = ω90°
 0 1 2 … 10 … 
G jω 𝐺(𝑗𝜔) 090 190 290 … 1090 … -90

La traza polar coincide con el eje imaginario
positivo.
Factores de primer orden: 𝟏 + 𝐣𝛚𝐓 ∓𝟏
a) G jω = 1 + jωT −1
=
1
1+jωT
Magnitud y fase:
G(jω) G j =
1
1 + ωT 2
 − tan−1
ωT

 0 1/T 2/T … 10/T … 
G jω 𝐺(𝑗𝜔) 10 0.7071
-45
0.45-
63.43
… 0.1-
84.3
… 0-90
La traza polar de este factor es un semicírculo que
inicia en el punto (1,0) y conforme  varía de 0 a 
termina en el origen. El centro se ubicaría en 0.5
sobre el eje real y el radio es de 0.5.

b) G jω = 1 + jωT +1
= 1 + jωT
Magnitud y fase:
G(jω) G j = 1 + 𝜔𝑇 2 tan−1
ωT
 0 1/T 2/T … 10/T … 
G jω 𝐺(𝑗𝜔) 10 1.4142
45
2.236
63.43
… 10.0584.3 … 90
La traza polar de este factor es
la mitad superior de una recta
que inicia en el punto (1,0) en el
plano complejo y es paralela al
eje imaginario positivo.

Factores cuadráticos: 𝟏 + 𝟐
𝐣𝛚
𝛚𝐧
+
𝐣𝛚
𝛚𝐧
𝟐 ∓𝟏
a) G jω = 1 + 2
jω
ωn
+
jω
ωn
2 −1
=
1
1−
ω2
ωn2 +j2 ω
ωn
Magnitud y fase:
G(jω) G j
=
1
1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2
 − tan−1
2
ω
ωn
1 −
ω2
ωn
2

 0 0.1n n … 10n … 
G jω 𝐺(𝑗𝜔)
 = 0.1
10 1-
1.157
5-90 … 0.01-
178.84
… 0-
180
 = 0.5
10 1-
5.767
1-90 … 0.01-
174.23
… 0-
180
 = 1
10 1-
11.42
0.5-
90
… 0.0099-
168.57
… 0-
180

La forma exacta de un diagrama polar depende
del valor del factor de amortiguamiento relativo ,
pero la forma general del diagrama es igual tanto
para el caso subamortiguado (1<<0) como para el
caso sobreamortiguado (>1).
En el diagrama polar, el punto de frecuencia cuya
distancia al origen es la máxima, corresponde a la
frecuencia de resonancia r. El valor pico de G(j)
se obtiene como el cociente entre la magnitud del
vector en la frecuencia de resonancia r y la
magnitud del vector en =0.

b) G jω = 1 + 2
jω
ωn
+
jω
ωn
2 +1
= 1 −
ω2
ωn
2 + j2
ω
ωn
Magnitud y fase:
G jω 𝐺(𝑗)
= 1 −
ω2
ωn
2
2
+ 2
ω
ωn
2
 tan−1
2
ω
ωn
1 −
ω2
ωn
2
 0 0.1n n … 10n … 
 = 0.1
10 0.99
1.157
0.590 … 99178.84 … 180
 = 0.5
10 0.99
5.767
190 … 99174.23 … 180
 = 1
10 1.0111
.42
290 … 101168.57 … 180

Figura: Traza polar factor cuadrático 1 + 2
jω
ωn
+
jω
ωn
2 +1
Debido a que la parte imaginaria de G(j) es
positiva para >0 y aumenta de forma monótona,
además de que la parte real de G(j) disminuye de
forma monótona a partir de la unidad, la forma
general del diagrama polar de G(j) es la que
aparece en la figura anterior. El ángulo de fase
está entre 0 y 180.

EJEMPLO 1:
Considere un sistema con la siguiente función de
transferencia de segundo orden:
G s =
1
s(Ts + 1)
Bosqueje la traza polar de esta función de
transferencia.
SOLUCIÓN:
G jω =
1
jω(jωT + 1)
=
1
−ω2T + jω
G jω =
1
−ω2T + jω
−ω2
T − jω
−ω2T − jω
=
−ω2
T − jω
ω4T2 + ω2

G jω =
−ω2
T
ω2 ω2T2 + 1
− j
ω
ω2 ω2T2 + 1
G jω =
−T
ω2T2 + 1
− j
1
ω ω2T2 + 1
 0 1/T 2/T … 10/T … 
G jω −T − j
−
𝑇
2
− 𝑗
𝑇
2
−
𝑇
5
− 𝑗
𝑇
10
…
−
𝑇
101
− 𝑗
𝑇
1010
… −0 − 𝑗0
Se observa que la traza polar es
asintótica para una línea vertical
que pasa por el punto (-T,0).

Retardo de transporte
Dada la función de transferencia:
G jω = e−jωT
= cos ωT + j sin ωT
Cuya magnitud y ángulo de fase están dadas por:
G(jω) G jω = 1 − 57.3T
Como la magnitud siempre es unitaria y el ángulo
de fase varía en forma lineal con , la traza polar
es un circulo unitario cuando  varía de 0 a .

EJEMPLO 2:
Un sistema de primer orden contiene un retardo
de transporte y está definido por:
G s =
𝑒−0.5𝑠
𝑠 + 1
→ G jω =
e−j0.5ω
jω + 1
Bosqueje la traza polar.
SOLUCIÓN
Magnitud:
G(jω) =
e−j0.5ω
jω + 1
=
e−j0.5ω
jω + 1
=
1
1 + 𝜔2
Fase:
G j = −57.3 0.5ω − tan−1
ω = −28.65ω − tan−1
ω

Magnitud y fase:
𝐺(𝑗𝜔) G j =
1
1 + 𝜔2
 −28.65ω − tan−1
ω
 0 1 2 5 10 … 
𝐺(𝑗𝜔) G j 10° 0.7071
− 73.62°
0.4472
− 120°
0.1961
− 222°
0.0995
− 371°
… 0 − °

Formas generales de las trazas polares
Los diagramas polares de una función de
transferencia de la forma:
donde n > m, (grado del polinomio del
denominador mayor que el del numerador),
tendrá las formas generales siguientes:
1. Para =0 (sistemas de tipo 0): el punto inicial
del diagrama polar (=0) es finito y está sobre
el eje real positivo. La tangente del diagrama
polar en =0 es perpendicular al eje real. El
punto terminal (=), está en el origen, y la
curva es tangente a uno de los ejes.

2. Para =1 (sistemas de tipo 1): el término j del
denominador contribuye -90 al ángulo de fase
total de G(j). En =0, la magnitud de G(j) es
infinita y el ángulo de fase se convierte en -90.
En bajas frecuencias, el diagrama polar es
asintótico hacia una línea paralela al eje
imaginario negativo. En =, la magnitud se
vuelve cero y es tangente a uno de los ejes.
3. Para =2 (sistemas de tipo 2): el término (j)2
del denominador contribuye -180 al ángulo de
fase total de G(j). En =0, la magnitud de G(j)
es infinita y el ángulo de fase es igual a -180.
En bajas frecuencias, el diagrama polar es
asintótico hacia una línea paralela al eje real
negativo. En =, la magnitud se vuelve cero y
la curva es tangente a uno de los ejes.

Las formas generales de las partes de baja
frecuencia de los diagramas polares de los
sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2 se muestran en la
siguiente figura:
Otras formas complicadas de las curvas de
diagramas polares se deben a la dinámica del
numerador, es decir, a las constantes de tiempo
del numerador de la función de transferencia.

Trazas polares en Matlab
El comando nyquist de MATLAB calcula la
respuesta en frecuencia para sistemas en tiempo
continuo, lineales e invariantes en el tiempo.
La orden nyquist(num,den) dibuja el diagrama de
Nyquist de la función de transferencia:
G s =
num(s)
den(s)
EJEMPLO 3
Considere un sistema con la siguiente función de
transferencia en lazo abierto:
G s =
1
s2 + 0.8s + 1
Encuentre el diagrama de Nyquist con MATLAB.

Si se quiere dibujar el diagrama de Nyquist
usando los rangos determinados de forma
manual, por ejemplo de -2 a 2 en el eje real y de -2
a 2 en el eje imaginario, debe introducirse la orden
siguiente en el programa:
v=[–2 2 –2 2];
axis(v);
o, combinando estas dos líneas en una,
axis([–2 2 –2 2]);
Advertencia. Si se dibuja un diagrama de Nyquist,
en el que una operación de MATLAB implica
«dividir entre 0», el diagrama de Nyquist puede
resultar erróneo.

Por ejemplo:
Al encontrar en Matlab las trazas de Bode del
Ejemplo 1 que se resolvió en papel.
G s =
1
s(Ts + 1)
, 𝑇 = 1 → G s =
1
s(s + 1)
Diagrama de
Nyquist erróneo
que despliega
Matlab

Este error puede corregirse especificando el
axis(v). Por ejemplo, si se introduce en el
programa la orden de axis
v=[–2 2 –5 5]; axis(v)
se obtiene un diagrama de Nyquist correcto, pero
incluirá los lugares geométricos para >0 y <0. Si
se desea dibujar el diagrama de Nyquist sólo para
la región de frecuencia positiva (>0), se necesita
usar la orden:
[re,im,w]=nyquist(num,den,w)

Programa de Matlab
Gráfica obtenida

1.4.3 Diagramas de magnitud
logarítmica respecto de la fase
Un diagrama de magnitud logarítmica respecto
de la fase, es una traza donde se grafica la
magnitud logarítmica (en dB) con respecto al
ángulo de fase (en grados) o margen de fase para
un rango de frecuencia de interés. [El margen de
fase es la diferencia entre el ángulo de fase real  y
-180; es decir, -(-180)=180+.] La curva se gradúa
en función de la frecuencia .
Estos diagramas de la magnitud logarítmica con
respecto a la fase también se denominan
diagramas de Nichols y básicamente se trata de la
combinación de las dos trazas de Bode en una.

Diagramas de magnitud logarítmica respecto a
la fase de algunas funciones sencillas
1. Factor de integral: G jω =
1
jω
2. Factor de primer orden: G jω =
1
1+jωT
 (rad/s) 0.1 1 10
G(jω) dB 20 0 -20
𝐆(𝐣𝛚) -90 -90 -90
 (rad/s) 0.1/T 1/T 10/T
G(jω) dB -0.0432 -3.01 -20.04
𝐆(𝐣𝛚) -5.71 -45 -84.3

3. Factor cuadrático: G jω = 1 + 2
jω
ωn
+
jω
ωn
2 −1
4. Retardo de transporte: G jω = e−jωT
 (rad/s) 0.1n n 10n
G(jω) dB 0.0713 4.44 -39.92
𝐆(𝐣𝛚) -3.47 -90 -176.53
 (rad/s) 0.1/T 1/T 10/T
G(jω) dB 0 0 0
𝐆(𝐣𝛚) -5.73 -57.3 -573
=0.3

Trazas de Nichols en Matlab
El comando nichols(num,den) de MATLAB calcula
el diagrama de magnitud logarítmica respecto de
la fase de una función de transferencia:
G s =
num(s)
den(s)
Otra opción para este tipo de trazas es dibujar el
diagrama sólo para la región de frecuencia
positiva (>0) utilizando la orden:
[re,im,w]=nichols(num,den,w)
Esta opción permite calcular la magnitud y fase
para una representación en lazo cerrado con
retroalimentación unitaria.

EJEMPLO 1
Encuentre la traza de Nichols para un sistema
cuya función de transferencia de lazo abierto está
dada por:
G s =
1
s 0.2s2 + 1.2s + 1
Bosqueje la traza en papel y compruebe en
Matlab.
SOLUCIÓN:
G jω =
1
jω 0.2 jω 2 + 1.2jω + 1
El sistema tiene 2 factores, uno de integral y el
otro cuadrático. Analicemos el factor cuadrático:

jω
ωn
2
= 0.2 jω 2
= 0.2𝑗𝜔
2
=
𝑗𝜔
5
2
→ 𝜔𝑛 = 5
2
jω
ωn
= 1.2jω →
2
ωn
= 1.2 →  =
1.2 5
2
= 1.34
G(jω) dB = −20 log ω − 20 log 1 − 0.2ω2 2 + 1.2ω 2
Fase:
G jω = −90° − tan−1
1.2ω
1 − 0.2ω2
 (rad/s) 0.1 1 5 10 100
G(jω) dB 19.94 -3.73 -15.93 -41.85 -92.4
𝐆(𝐣𝛚) -96.85 -146.3 -180 -237.7 -266.56

En Matlab:
19.94
-3.73
-15.93
-41.85
-92.4
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
-270 -225 -180 -135 -90 -45 0
Magnitud,
dB
Ángulo de fase, grados
Diagrama de Nichols

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