ウェーブレット変換の基礎と応用事例：連続ウェーブレット変換を中心に

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ウェーブレット変換の基礎と応用事例
― 連続ウェーブレット変換を中心に―
橘亮輔
2007.3.1

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目次
概要
 ウェーブレット変換の基本的なアイディア
 時間－周波数解析
 2次元（画像）のウェーブレット変換
連続ウェーブレット変換
 歴史
 変換と逆変換
 具体例
フーリエ変換との比較
 畳み込み・相互相関・内積と周波数特性
 窓付きフーリエ変換とウェーブレット変換
連続ウェーブレット変換の応用事例
離散ウェーブレット変換の概要
 冗長性の排除と直交変換
 多重解像度解析
まとめと展望

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ウェーブレット変換とは
ウェーブレット変換は信号の特性を解析する手段のひとつ
フーリエ変換（FT）
 正弦波の足し合わせ
 基本的に無限であることを仮定
 定常的な信号を解析するのには有用だが，非定常なものには良
くない
短時間（窓付き）フーリエ変換（STFT）
 逆変換が存在しない
ウェーブレット変換（WT）
 ウェーブレット（wavelet; 局在波）の足し合わせ
 逆変換が存在する
 「時間―周波数」解析
 不規則，間欠的，非定常な信号の解析
ウェーブレットの例

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ウェーブレット変換の基本的なアイディア
周波数
フーリエ変換ウェーブレット変換
スケール
元信号
シフト

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2つの操作：シフトとスケーリング
元のウェーブレット（マザーウェーブレット）
に対して，2種類の操作を行う。
 平行移動（シフト，トランスレーション）
 拡大縮小（スケーリング，ダイレーション）
様々な幅，様々な時間位置のウェーブレッ
ト群をつくる
 幅が広いウェーブレットはゆっくりと変化す
る成分（低周波数）。
 幅が狭いウェーブレットは微細な変動成分
（高周波数）。
平行移動（shift,
translation）
拡大縮小（scaling, dilation）
マザーウェーブレット

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ウェーブレット変換の計算
スケールa，シフトbのウェーブレットと元
信号の類似をみる
 相関が高ければ変換係数は高い値に
 様々なa, bについて行う
連続ウェーブレット変換（CWT）
 a, bが連続値
離散ウェーブレット変換（DWT）
 a, bが離散値（主に2のべき乗）
フーリエ変換とフーリエ級数の関係と同
じ
逆変換可能
 変換係数を各ウェーブレットに掛けて足
し合わせる
x(t)
t
信号

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時間ー周波数解析
変換された係数はa,b二次元平面上にマッピングされる
スカログラム（scalogram = scale + gram）
スケール（周波数）
シフト（時間）
a2
a1
b1 b2

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時間解像度と周波数解像度
各スケールにおいて時間分解能と周波数分解能の大きさがトレードオフ
高い周波数ほど：時間分解能↑ ／周波数分解能↓
 詳細は後ほど，フーリエ変換と比較しながら説明
時間
周波数
窓付きフーリエ変換
窓幅：小
(wideband)
窓幅：大
(narrowband)
ウェーブレット変換
窓幅はスケールに
よって異なる

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スカログラムの例
「あい」
スケール（周波数）
シフト（時間）
スペクトログラム
wideband
narrowband
CWT（複素モルレー）の絶対値振幅

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2次元ウェーブレット変換（画像）
変換は3次元になる．
 2つのシフトパラメタ
 1つのスケールパラメタ
 「場所－周波数解析」
 局所的な空間周波数が分
かる
スケール
シフトx シフトy

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ここまでのまとめ
ウェーブレット（局在波）の足し合わせに分解する
 スケーリング（拡大縮小）とシフト（平行移動）
パラメタが連続的なものをCWT，離散的なものをDWT
 フーリエ変換とフーリエ級数の関係と同じ
時間－周波数解析
 時間と周波数の両方に「無理なく」分解．スカログラム
 スケールによって時間－周波数分解能が異なる
 高い周波数ほど，時間Good，周波数Bad
画像の場合は「場所－周波数解析」
 3次元の変換

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本発表のゴール
道具として利用するための，はじめの一歩
 数学的基礎の紹介
 利点と制約
 勘を掴む
 応用事例の紹介
数学的・工学的な視点を広げる
 フーリエ変換とは異なる視点を持つこと
 時間―周波数解析の展望
 生体モデルとしての可能性

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参考文献
図説ウェーブレット変換ハンドブック／朝倉書店／新他訳／2005，Addison, 2002
 広く浅く偏りなく。CWTについてもしっかり取り上げている。前半を理論，後半を応用事例を大量に
集めてきて紹介。
ウェーブレット入門―数学的道具の物語―／BBハバード著
 物語としてのウェーブレット。本文は読み物として進むが，補足は数学的に充実させている。
Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms / Prentice-Hall / Burrus, 1998
 DWTの数学の基本を体系的に説明。2次元はあまり扱わない。DWTの理論は主にMallatと
Doubeciesの体系による。
ウェーブレットによる信号処理と画像処理／共立出版／中野他／1999
 理論は浅く。Ｃプログラム掲載。比較的新しい応用も。意味不明な比喩が気になる。
最新ウェーブレット実践講座入門と応用／ソフトバンク／戸田／2005
 Ｃプログラムリストを中心に進めていく。ほとんどがプログラム

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目次
概要
 歴史
 具体例
まとめと展望

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歴史
ウェーブレット変換に似たアイディアはもともと数多くあった。
1980年代中ごろ，現在の手法。ただし広まらず。
1990年代初頭から，理論体系と実践。
様々なルーツが考えうるが，ジャン・モルレーMorletはよく引き合いに出される。
 仏大手石油会社勤務の地球物理学者。地中の石油を見つける探査業務のために
独自にウェーブレットを作り出した。
 はじめは窓付きフーリエを使っていたが，窓幅決定が手間であった。そこで，周波
数に応じて窓幅を変えるというＷＴを提唱した。CWT。1981年ごろ．
その後，理論的に整備。ステファン・マラーMallatが画像処理や信号処理の分
野と結び付け，2進DWTに理論的な体系を与えた。1986年ごろ
 現在ではDWTが良い体系を持っている。数学的に強固な体系が構築された。
 画像圧縮（JPEG2000），
数学的に体系だっているのはDWT。圧縮，通信。解説書はDWTが多い。
実環境の信号解析ではCWTのほうが有効である場合が多い。実践的。

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マザーウェーブレットのscalingとshift
マザーウェーブレット：
スケールa，シフトbのウェーブレット：
スケーリングに対してエネルギー
を一定にするための補正
大
小
a
• aを大きくすればマザーウェーブレットは引き伸ばされる。したがってより大まか変
動を解析するのに適したウェーブレットとなる
• bを大きくすれば，時間が正の方向に平行移動する（遅延する）。

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連続ウェーブレット変換（CWT）
連続ウェーブレット変換の式
 x(t) : 元信号
 Wψ[ . ]：ウェーブレットψに基づいたウェーブレット変換
 T(a, b) : ウェーブレット変換係数
 a : スケールパラメータ
 b : シフトパラメータ
 ψa,b : スケールa, シフトbのウェーブレット
 * は複素共役を表す
a, bが連続的な実数

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逆連続ウェーブレット変換（ICWT）
 aとbについての二重積分
 T(a, b) : 変換係数
CWTの結果ウェーブレット
 Cψ : マザーウェーブレットの種類によって変わる定数（後で説明）
ウェーブレット変換逆変換

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具体的に…
マザーウェーブレットの種類は色々ある
 メキシカンハット（mexican hat）
 複素モルレー（complex Morlet）
 ハール（Haar）
 メイエ－ルマリエ
・・・

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例）メキシカンハットウェーブレット
マザーウェーブレットψ(t)がメキシカンハット
 ガウス関数の二階微分
 実数関数なので複素共役は考えない。
マザーウェーブレット
ウェーブレット
ウェーブレット変換

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メキシカンハットCWT
シフトb
スケールa

24
メキシカンハットICWTとフィルタリング
T(a, b) ICWT x(t)

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例）複素モルレーウェーブレット
包絡がガウス曲線で，キャリアが複素サイン
包
絡
実
部
虚部
ガウス曲線複素サイン
 σ : 包絡線の幅（1がよく使われる）
 ω0 : 複素サインの角周波数（5, 6, πなどが使われる）

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複素モルレーCWT
実部
虚部
絶対値
（振幅）
位相
complex Morlet (σ =1, ω0=π)
元信号

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複素モルレー，Matlab GUI demo

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ウェーブレットの条件
元信号は自乗可積分
アドミッシブル条件: 逆変換が存在する条件
マザーウェーブレッ
トのフーリエ変換
マザーウェーブレットは不連続点を持っていてもよい

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CWTのまとめ
ウェーブレット変換の体系が明確になったのは80年代以降である
CWT，ICWTに必要な数学的表記
マザーウェーブレットは色々提案されている
 メキシカンハットと複素モルレーの例
 目的に応じて使えばよい
ウェーブレット変換が可能な条件

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理論背景

31
目次
概要
 歴史
 具体例
まとめと展望

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フーリエ変換とウェーブレット変換
ウェーブレット
フーリエ
内積
どちらも積分変換＝変換核を軸にパラメタを変換する
 ウェーブレット変換： ψa,b ウェーブレット
 フーリエ変換： eiwt (= coswt + isinwt) 複素サイン波
元信号と「変換核」との内積

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相互相関，畳込み
ウェーブレット変換を相互相関や畳込みとしても考えることができる
相互相関関数
畳込み積分

スケールaのウェーブレット
をψaとする
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CWTを畳み込みで考える
（相互相関）
（畳み込み）
→元信号とスケールaのウェーブレットψaとの相互相関関数
→ψaの複素共役の左右反転したものを畳み込んでいる．

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インパルス応答としてのウェーブレット
ウェーブレットをFIRフィルタのインパル
ス応答としてみる。
 ウェーブレットが偶関数（左右対称）の
場合は，畳込み積分とまったく同じ。
constant-Qバンドパスフィルタバンクで
ある。
 スケールaが連続値＝中心周波数が
連続的に変化する。

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短時間フーリエ変換との比較
複素モルレーウェーブレット変換
 ω0を固定して，全体のスケールを変える
包絡キャリア
ガウス窓付き短時間フーリエ変換
 時間窓長を固定して，周波数ωを変える
窓変換核

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CWTの冗長性
CWTは冗長な表現である
 隣り合ったスケールに同じ情報が入る＝通過帯域が重なっている
 そもそも変換後に次元数が増える
サイン波の線
スペクトル周波数
中心周波数が連続
的に変化するBPF
真実
CWT
見え方
冗長な表現
周波数
時間

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CWTの冗長性と隆線抽出法
CWTはスケールとシフトの両面で冗長で
ある。
 １つのウェーブレットで符号化された情報の
大部分が隣のウェーブレットによってまた
符号化される，という風に互いに部分的に
重なり合っている。
 本質的な情報のみを残して単純化しても再
構成可能であることが多い。
隆線（ridge）抽出法
 スケルトン化とも言う。
冗長な表現
隆線抽出
ICWT

39
隆線抽出の例－Matlab Demo

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フーリエ変換との比較のまとめ
WTは積分変換である
 元信号と変換核との内積
 フーリエ変換は複素サイン波を変換核
 ウェーブレット変換はウェーブレットを変換核
WTは相互相関，あるいは畳み込みと見なすことも可能
 ウェーブレットをインパルス応答としてみる
 Q値一定の中心周波数が異なるバンドパスフィルタ
ガウス窓付き短時間フーリエ変換との比較
 STFTは窓長固定
 WTは相似性を固定
CWTは冗長な表現である
 隆線抽出法

41

42
目次
概要
 歴史
 具体例
まとめと展望

44
応用事例(2) ー建材の共振特性

45
応用事例(3) ー耳音響放射
Cochlear maturation and otoacoustic emissions in preterm infants: a time-frequency approach
Tognola G et al. (2005). Hearing Res. 199: 71-80

46
応用事例(4) ー聴覚末梢モデル
初期聴覚はフーリエ分析器とみなすよりも，ウェーブレット分析器と見
なしたほうが自然である
 PattersonのGammatoneモデル
 IrinoのGammachirpモデル

47

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目次
概要
 歴史
 具体例
 冗長性の排除とウェーブレットの離散化
 直交変換
まとめと展望

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冗長性の排除とDWT
CWTは冗長であった
 変換パラメタ（スケールとシフト）が連続値
 スケールおよびシフトの両面でウェーブレットの特性が重なり合っていた。
 変換パラメタが離散値，対象の信号は連続時間（≒フーリエ級数展開）
離散ウェーブレット変換（DWT）へ
 冗長性が低く（あるいは無く）効率的な符号化が可能
 伝送，圧縮，画像処理などに頻出
実用的なDWTを実現する三つのトピック
 重なりを減らすには？ → 2進離散ウェーブレット
 パラメタを離散化しつつ，情報を完全に保存するには？ → 直交変換

50
2進離散ウェーブレットの導入
パラメタを離散化
2のべき乗でスケールが変わ
るウェーブレット
 マザーウェーブレットψ(t)
 スケールパラメタ: j
 シフトパラメタ: k
 共に整数
 jが大→縮まる
 kが大→遅延する
, t t k j j
j k    
( ) 2 (2 ) /2


t b
 
1
t a b  


a
a
( ) ,
k
b j   2
j a   2 k
a

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離散ウェーブレット変換
変換パラメタは離散だが，扱う信号は連続である．
 あえて「連続時間ウェーブレット級数展開」というべきかも知れない

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直交変換
パラメタを離散化しつつ，情報を完全に保存するには，どんなウェーブ
レットがよいのか？→直交変換（展開）を導入
直交変換とは…
 変換の過程での冗長性を排除し，また完全な再構成を可能にする。
 すなわち，信号の情報全体は繰り返されず一回ずつ符号化される。
 変換する基底（basis）が直交している（orthogonal）。
 さらに基底のノルムが1だと正規直交基底（orthonomal basis）
x
y
ey
ex
(2, 3)
p
q
ey
ex
(1, 2)
eq ep

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直交ウェーブレットである条件
正規直交であるための条件
1

j l k m
j k l m  
, , , j l k m


(  , 
)
(  , 
)
 
0
L2(R)上の任意の関数f(t)に対して展開するdj,kが存在する
そんなウェーブレットはあるのか？
 ハールウェーブレットは直交ウェーブレットであるになる
 直交でかつ滑らかウェーブレットは「奇跡的に偶然的に」発見された（Mayer）
 後に多重解像度解析理論によって，数学的に整備され，任意に作れるように
なった。
 実践的には誰かが考えたものを利用すればいい。

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例）直交ハールウェーブレット
直交符号（Walsh code）
ウォルシュ・アダマール変換

55
直交ハールウェーブレットによるDWT

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JPEGとウェーブレット
現行のJPEGは離散コサイ
ン変換（DCT）
JPEG-2000では離散ウェー
ブレット変換（DWT）
現行のJPEGは圧縮率を高
めた際にブロック歪が発生し
やすい。これは，画像を複数
のブロック（現行JPEGは
8×8ピクセル）に分けて
DCTを行うため
ウェーブレット変換はブロッ
ク単位ではなく画面全体に
対して処理．ブロック歪は生
じない。
現行JPEG JPEG-2000

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DWTのまとめ
CWTは冗長性が高いため離散化
 パラメタの離散化
 直交変換の導入
直交ウェーブレット
 構成方法は本発表では明らかにしていない
 ハールウェーブレットは直交ウェーブレットであった
DWTは通常，2進離散直交ウェーブレット変換のことを指す
紹介していないが非常に重要な事柄
 スケーリング関数
 多重解像度解析と
 サブバンド符号化とマラーの高速アルゴリズム
 シフト不変性とマッチング追跡
 画像の圧縮

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まとめと展望
CWTを中心に，WTを紹介した
WTは自然な表現である
 周波数とは繰り返しを記述する尺度である
 繰り返すためには長さが必要＝周期．「瞬時周波数」は矛盾する言葉
 高い周波数では周期が短くてすむし，低い周波数は長くなる
 WTは周波数によって時間窓長が変わる→自然
WTは柔軟な表現である
 解析対象とする信号の形状に合わせてマザーウェーブレットを選択
 局在波なので，一部を変えると他が変わる，といったことはない
CWTは信号を「観察する」道具である
 冗長な分，少しの違いにロバストな表現．観察に適している．
DWTは信号を「簡潔にする」道具である

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