.ความสัมพันธ
ดังท ไดกล าวไวว า เราใชค อันดับ
),(
ba
แทนความสัมพันธระหว าง
a
และ
b
จงกล าวว าความสัมพันธ คอ เซตของค อันดับท เปนสับเซตของผลคณคารทเชยน
บทนยาม
ให
A
และ
B
เปนเซต ความสัมพันธจาก
A
ไป
B
คอ สับเซตของ
A B
แทนดวย
r
(นั นคอ
r
เปนความสัมพันธจาก
A
ไป
B
ก ต อเม อ
r A B
)
จากนยามขางตน ถา
r
เปนความสัมพันธแลว เราอาจเขยนแทน
( , )
x y r
ดวย
xry
(เอกซ มความสัมพันธอารก ับวาย) และเขยนแทน
( , )
x y r
ดวย
xry
(เอกซ ไม มความสัมพันธอารก ับวาย)
ตัวอยาง 3.1
ให
}3,2,1{
A
และ
}4,3,2{
B
ความสัมพันธ “เท าก ับ” คอ
)}3,3(),2,2{(
ถาให
r
แทนความสัมพันธ “เท าก ับ” จาก
A
ไป
B
จะไดว า
r
)2,2(
หรอ
22
r
ในการเขยนเซตของความสัมพันธ อาจเขยนแบบแจกแจงสมาชกหรอเขยนแบบบอกเง อนไขก ได ดังตัวอย างต อไปน
ตัวอยาง 3.2
A
{ , , }2 4 8
และ
B
{ , , }1 3 5
ให
r
1
คอ ความสัมพันธ “มากกว า” จาก
A
ไป
B
จะได
r
1
21 4 3 85
{( , ),( , ),( , )}
Relation & Function
Kasemsun Rutamorn
ความสัมพันธและฟังก ชัน
อ.เกษมสันต รทธ อมร3
ตัวอยาง 3.3
}0|{
x x A
และ
}0|{
x x B
ให
r
2
คอ ความสัมพันธ “เปนรากท สองท ไม เปนลบ” จาก
A
ไป
B
จะได
}|),{(
2
x y B A y xr
ขอสังเกต
ให
A
และ
B
เปนเซตใดๆ
1.เน องจาก
B A
ดังนั น
เปนความสัมพันธจาก
A
ไป
B
2.เน องจาก
B A B A
ดังนั น
B A
เปนความสัมพันธจาก
A
ไป
B
3.เน องจากความสัมพันธ
r
เปนสับเซตของ
B A
ดังนั น ถา
A
และ
B
เปนเซตจาก ัด มสมาชก
n
ตัว และ
m
ตัวตามลาดับแลว
mn B An
)(
จะได จานวนความสัมพันธ
r
จานวนสับเซตของ
B A
mn
2
ตัวอยาง 3.4
ก าหนดให
}2,1{
A
และ
}3,2{
B
จงหาความสัมพันธทั งหมดจาก
A
ไป
B
วธทา
ให
r
เปนความสัมพันธจาก
A
ไป
B
จะได
)}3,2(),2,2(),3,1(),2,1{(
B A
จานวนความสัมพันธ
r
ทั งหมด คอ
1622
422
จะไดความสัมพันธจาก
A
ไป
B
ดังน
1.
1
r
2.
)}2,1{(
2
r
3.
)}3,1{(
3
r
4.
)}2,2{(
4
r
5.
)}3,2{(
5
r
6.
)}3,1(),2,1{(
6
r
7.
)}2,2(),2,1{(
7
r
8.
)}3,2(),2,1{(
8
r
9.
)}2,2(),3,1{(
9
r
10.
)}3,2(),3,1{(
10
r
11.
)}3,2(),2,2{(
11
r
12.
)}3,2(),3,1(),2,1{(
12
r
13.
)}3,2(),2,2(),2,1{(
13
r
14.
)}3,2(),2,2(),3,1{(
14
r
15.
)}2,2(),3,1(),2,1{(
15
r
16.
)}3,2(,)2,2(),3,1(),2,1{(
16
r
ในกรณเปนความสัมพันธภายในระหว างเซตเดยวก ัน เราจะใหนยามดังน
บทนยาม
ถา
r A A
แลว จะกล าวว า
r
เปนความสัมพันธใน
A
ตัวอยาง 1.3.3
ให
}3,2,1{
A
ให
r
แทนความสัมพันธ “เท าก ับ” ใน
A
จะได
)}3,3(),2,2(),1,1{(
r
หมายเหต
ในกรณท ความสัมพันธเปนสับเซตของจานวนจรง (
r R R
) สามารถละการเขยน
R R y x
),(
ได โดยเปนท เขาใจร วมก ันว า ความสัมพันธดังกล าวเปนความสัมพันธในเซตของจานวนจรง และในบางครั ง อาจเขยนเฉพาะสมการหรออสมการในเง อนไขของเซตเพ อบรรยายลักษณะของความสัมพันธก ได ดังตัวอย างต อไปน
Relation