Dowód twierdzenia, że w czworokącie przeciwne boki są sobie równe, wtedy gdy jest to równoległobok

1. Dowód Twierdzenia (WKW) W czworokącie przeciwne boki są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy ten czworokąt jest równoległobokiem

2. Część 1. => Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: Gdzie | AB |=| CD | i | BC |=| AC |

3. Trójkąty ABD i BCD są przystające (bbb), a więc możemy zapisać następujące równości: <DAB = <BCD = α <ABC = <CDA = β 1

4. Z faktu, że ABCD jest czworokątem mamy, że: α + β + α + β = 360 o i dalej α + β = 180 o β = 180 o - α 2

5. Opuśćmy wysokości z wierzchołków A i C na przedłużenia boków (odpowiednio) CD i AB . Zaznaczmy punkty przecięcia się wysokości i przedłużeń boków i opiszmy je jako E i F . 3

6. 4 Z 2 i 3 wynika, że: <ADE = <CBF = α <EAD = <FCB = 90 o - α

7. 5 Z 4 i z faktu, że: <ADE + <DEA = <CBF + <BFC = 90 o – α + α = 90 o Jasno wynika, że czworokąt AFCE jest prostokątem, a więc boki AB i CD są względem siebie równoległe. Po opuszczeniu wysokości z wierzchołków A i C na boki BC i AD i przeprowadzeniu analogicznego rozumowania Dojdziemy to faktu, że odcinek BC jest równoległy do AD . Czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych, a więc jest równoległobokiem .

8. Część 2. <= Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: Gdzie AB || CD i BC =|| AC

9. 1 Korzystając z własności trójkąta, kątów i prostych równoległych przeciętych dowolną prostą otrzymamy: <DAB = <BCD = α <ABD = <CDB = β <BDA = <DBC = γ

10. 2 Trójkąty ABD i BCD są przystające (kkk), a więc ich odpowiednie boki są sobie równe. Możemy więc zapisać: | AB |=| CD | | BC |=| AC | Dowiedliśmy, że przeciwne boki dowolnego równoległoboka są sobie równe Dowód skończony