Phuong trinh

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh-bmt
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
1
Lôøi noùi ñaàu
Trong caùc kì thi tuyeån sinh Ñaïi hoïc, phöông trình chöùa caên laø moät trong nhöõng phaàn quan troïng naèm trong caáu truùc ñeà thi moân Toaùn.
Ña soá caùc baøi ñöôïc ra thöôøng laø phöông trình caên thöùc khoâng maãu möïc neân khoâng coù ñònh höôùng hay phöông phaùp giaûi cuï theå.
Tuy nhieân, ñoái vôùi töøng baøi toaùn thì vaãn coù theå tìm ra caùc phöông phaùp giaûi, caùc maáu choát ñeå nhaän bieát ñöôïc nhöõng yeâu caàu ñeå giaûi moät baøi phöông trình.
Vì theá, moät soá daïng thöôøng gaëp trong chuyeân ñeà sau tuy khoâng ñuû taát caû caùc daïng nhöng noù ñaõ mang phaàn lôùn caùc daïng toaùn vaø caùc phöông phaùp giaûi , coù theå giuùp taêng kó naêng nhaän bieát ñöôïc nhöõng maáu choát cuûa moät baøi toaùn vaø nhöõng ñònh höôùng trong giaûi baøi taäp.
ÔÛ phaàn phöông trình, taäp trung saâu vaøo phöông trình voâ tæ, ngoaøi ra coøn coù moät soá baøi toaùn phöông trình chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái, phöông trình baäc cao vaø moät soá daïng khoâng maãu möïc khaùc vôùi caùc phöông phaùp giaûi nhö ñaët aån phuï, ñöa veà heä, ñaùnh giaù,..…
Hy voïng chuyeân ñeà seõ ñem laïi nhöõng kó naêng vaø phöông phaùp giaûi toát hôn cho caùc baøi toaùn phöông caên thöùc khoâng maãu möïc ñeå phuïc vuï cho kì thi tuyeån sinh ñaïi hoïc.

2
A . LYÙ THUYEÁT
* CAÙC PHÖÔNG PHAÙP THÖÔØNG SÖÛ DUÏNG:
- Bieán ñoåi töông ñöông : ÔÛ phöông phaùp naøy ta thöïc hieän caùc pheùp ñôn
giaûn nhö coäng, trö,ø nhaân, chia, luyõ thöøa, khai caên, log, nhaân lieân hôïp ...
ñeå giaûi tröïc tieáp baøi toaùn.
VD:
 
       
  2 2
2 2 4 2
2 2 2 2 16 2 2 8 8
17
4 16 64 16 68
4
x x x
x x x x x x x
x x x x x tm
    
          
        
- Duøng haèng ñaúng thöùc hoaëc caùc coâng thöùc coù saün: Söû duïng caùc coâng
thöùc vaø haèng ñaúng thöùc coù saün bieàn ñoåi veà caùc daïng phöông trình
ñôn giaøn hôn, caùc coâng thöùc thöôøng söû duïng laø:
     
     
2 2 2 3 3 3
3 3 2 2 1 2
2 ; 3
; ... n n n n n
a b a b ab a b a b ab a b
a b a b a ab b a b a b a a b b  
       
         
VD:
 
    2 2
2 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1
x x x x x
x x
x
x x x x vn
x
      
      
  
              
  
- Coäng, tröø, nhaân, chia 2 veá vôùi cuøng moät soá : Sau khi thöïc hieän caùc
pheùp toaùn vôùi moät soá thích hôïp phöông trình coù theå giaûi tröïc tieáp
hoaëc söû duïng caùc phöông phaùp khaùc.
- Ñöa veà tích : Ñaây laø caùch khaù phoå bieán trong caùc baøi taäp, noù coù daïng :
     
 
 
 
1
2
1 2
0
0
. .... 0
...
0
n
n
f x
f x
f x f x f x
f x
 

 
  

 

3
VD:
 
   
 
 
    
   
          
   
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
2 2 1
; 1 2;
* 0
* 2; :
1 1 2 2 2 1 2 1 2 4
9
2 2 2 1 4 2 4 4 1
8
* ; 1 : 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4
9
2 2 2 1 4 2 4 4 1
8
x
x x x x x
x
x tm
x
x x x x x x x
x x x x x x x x l
x x x x x x x x
x x x x x x x x n
   
                

 
          
             
                 
              
- Ñöa veà toång : Ta ñöa veà toång caùc bình phöông hoaëc moät soá lôùn hôn 0
ñeå ñaùnh giaù nghieäm
 
1 2
2 2
2 2 2
1 2 1 2
2 2
0 0
... 0 ... 0
0 0
n n nm
m m
a b a b
a a a a a a
a b q q ptvn
    
        
    
VD:
 
   
   
2
2
2 2
3 2 1 4 0 1
4 4 2 1 0
2 1 1 0 2
x x x x
x x x x
x x x
     
      
       
- Ñaët aån phuï toaøn phaàn : khi nhìn thaáy nhöõng moái lieân heä giöõa caùc
phaàn töû trong phöông trình, ta ñaët aån phuï roài töø caùc lieân heä ñöa veà
phöông trình theo aån môùi ñôn giaûn hôn
VD:
 
  
  
2
2
2
1
3 1 2 2 2 5 3 9 2 1 2
3
3 1 2 0
2 2 3 1 2 3
3 2 2 3 1 2
x x x x x x
t x x
t x x x
t x x x
 
           
 
    
     
     
Khi ñoù phöông trình trôû thaønh :

4
 
    
 
2 2
2
2 2 2
3
3 9 12 0
4
* 3
3 1 2 3
2 3 2 3 1 2 9 2 5 3 3 3
1
2 5 3 3 4 11 7 0 7
4
t
t t t t
t l
t
x x
x x x x x x x
x
x x x x x
x
 
        
  

    
           
 
          
 

- Ñaët aån phuï khoâng toaøn phaàn : Gioáng nhö ñaët aån phuï toaøn phaàn, ta ñaët
aån phuï nhöng khoâng ñöa toaøn boä pt veà aån môùi maø chæ ñöa moät soá
phaàn töû lieân quan, sau ñoù söû duïng tam thöùc hoaëc ñaùnh giaù ñeå giaûi.
VD:   2 2 4 x x 1  2x  2x 1
Ñaët:
 
     
   
     
 
2
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1
1 4 1 1 2 1 2 1
4 1 2 2 1 2 4 1 2 1 0
1
4 1 8 2 1 4 3 2
2 1
* 2 1
1 4
1 2 1
3 4 0 3
t x t
x x x x
x t t x t x t x
t l
x x x
t x
t x
x
x x x
x x
  
      
          

         

  
 
 
      
  
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : 4
3
x 
- Ñaët nhieàu aån trong moät phöông trình ñöa veà tích hoaëc toång : Phöông
phaùp naøy cho pheùp ta ruùt goïn tính phöùc taïp cuûa phöông trình, khi ñoù
caùc aån môùi seõ taïo ra moät phöông trình hoaëc heä ñôn giaûn hôn. Tuy
nhieân khoâng phaûi baøi naøo cuõng laøm ñöôïc caùch naøy.
VD: Giaûi phöông trình :
     2
x 1 x 3  2 x 3  2x  2 x 1 1

5
Ñaët
 
2
2 2
1 0 1
3 2 3
a x a x
b x b x
      
 
       
Phöông trình (1) trôû thaønh :
     
2 2
2 2 2 2
0 0 0
2 2
2 0
1 3 5
a b a b a b
a b b a
a b a b a b a b
a b x x x
        
     
         
      
- Ñöa veà heä phöông trình: Sau khi ñaët caùc aån nhö treân ta ñöa veà heä.
Thöôøng thì seõ coù theâm moät phöông trình theå hieän moái lieân quan giöõa
caùc aån, coäng vôùi phöông trình ban ñaàu ta ñöôïc heä môùi.
VD: 3 2 3 2 x 1 18 x  5
Ñaët
3 2 3 2
3 3
3 2 3 2
1 1
19
18 18
a x a x
b a
b x b x
     
    
     
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh heä :
 
  
 
3 3 3 3
3 2 2
2
3 2
5 5
19 5 19
2 15 75 144 0 3 2 9 48 0
3
2 9 48 0
* 3 18 3 3
a b a b
b a b b
b b b b b b
b
b b vn
b x x
     
 
      
         
 
 
   
      
Vaäy phöông trình coù nghieäm x  3
- Löôïng giaùc hoaù: Neáu ñieàu kieän nghieäm x1;1 ta nghó ñeán phöông
phaùp löôïng giaùc hoaù, ñaët x = sint (hoaëc cost)
VD: Giaûi pt :
     
 
2
2 3 3 2 1
1 1 1 1 1
3 3
1 1
x
x x x
x
         
 
  
Ñaët ; x  cost;0  t  sint  0
Phöông trình (1) trôû thaønh :

6
   
  
2
2 3 3
3 3
2 sin
1 1 cos 1 cos 1 cos
3 3
2 sin
2 1 sin 2 cos sin
2 2 3 3
2 sin
2 2 cos sin cos sin 1 cos sin
2 2 2 2 2 2 3
1 1
2 sin 6 cos 1 0 cos
6 6
t
t t t
t t t
t
t t t t t t t
t t t x
        
 
 
      
 
      
          
     
       
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát 1
6
x 
- Phöông phaùp ñoái laäp : Noùi caùch khaùc laø chöùng minh bñt lieân quan roài
ñaùnh giaù
   
   
   
   
   
: :
1/
2 /
3/
4 /
pt f x g x cm
f x g x
f x g x
f x A g x
f x A g x



 
 
5/ cm: f x&g x coù moät ñieåm chung
VD:
  2 2
2 2
2 2
15 3 2 8 1
7 2
15 8 3 2 3 2
15 8 3
x x x
x x x x x
x x
    
 
           
    
Ñaët f x VT; g x VP
Deã thaáy VT giaûm treân 2
;
3
 
 
 
, VP taêng treân 2
;
3
 
 
 
neân ñoà thò haøm
f x&g x coù duy nhaát moät ñieåm chung.
Deã thaáy x 1laø nghieäm cuûa 1 .
Vaäy 1 coù nghieäm duy nhaát x 1
- Phöông phaùp haøm soá : söû duïng tính ñôn ñieäu ta cm phöông trình coù
nghieäm duy nhaát roài nhaåm nghieäm ñaëc bieät, hoaëc khaûo saùt haøm tìm
mieàn nghieäm

7
- Phöông phaùp ñoà thò : cm nghieäm duy nhaát hoaëc xaùc ñònh khoaûng giao
nhau giöõa 2 ñoà thò
- Phöông phaùp tam thöùc: thöôøng söû duïng vôùi pp ñaët aån khoâng toaøn phaàn
sau ñoù tìm moái lieân heä môùi giöõa aån ban ñaàu vaø aån phuï.
- Phöông phaùp vector: Söû duïng tính chaát vector ñaùnh giaù nhö :
1/ ;" "
0 _ _ 0
2 / ;" "
ab a b a b
a or b
a b a b
a b
   
  
     
 
Ñöa phöông trình veà caùc bieåu thöùc daïng : 2 2 a b ,choïn caùc vector roài
duøng caùc baát ñaúng thöùc treân.
VD: Giaûi pt:
2 2
2 2 1 3 1 3
1 1 2 2
2 4 2 4
x x x x x x
   
                
   
Xeùt 2 vector:
 
2
2
1 3 1 3
;
2 2 2 4
1 3 1 3
;
2 2 2 4
1; 3 2
a x a x
b x b x
a b a b
   
             
   
             
     
Ta coù:
2 2
1 3 1 3
2
2 4 2 4
1 3
" " 2 2 1 0
1 3
2 2
a b a b x x
x
a b x
x
   
             
   

       
 
- Ñaùnh giaù: Thöïc chaát laø toång hôïp nhieàu phöông phaùp treân nhö duøng
bñt, duøng tính chaát toång caùc bình phöông, duøng haøm, duøng ñieàu kieän
tröïc tieáp trong quaù trình giaûi ñeå ñaùnh giaù vaø choïn nghieäm hoaëc
chöùng minh voâ nghieäm

8
B . BAØI TAÄP
1/
           
 
 
    
   
 
    
   
2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 2 1 ; 2 0 1;
* 0
* 1; :
1 1 2 2 2 1 2 1 2 4
4 2 2 1
9
4 4 8 4 4 1 8 9
8
* ; 2 :
1 1 2 2 1 2 2 1 2 4
4 2 2 1
4 4 8 4 4 1 0 9
x x x x x x
x n
x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x
x x x x x x x
x x x
x x x x vn
          

 
          
    
         
  
             
     
        
2/
       
   
   
   
   
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1
2 1 3 1 0 2 2 1 2 6 2 0
2
2 2 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 2 1 1
2 1 2 1 1 1
2 1 1 2 1 2
1
* 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 0
2 2
1
* 2 2 2 3 1 1 2 3 2 2 0
2 2
x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x x x x
x
x
x x x x x
x
 
            
 
             
    
 
    
 
              
  
 
             
  
3/

9
   
 
 
2 2
2 2
2
2 2
3 1 3 1 1
3
3:
1 1 1 1
1 1 1
3 3 3 1
3 1 1 9 2 2
x x x x
x l
x
x x x x
x x x x x
x x x x x
    
  
  
         
    
          
4/
x2  x 5  5x  5
Ñieàu kieän
Ñaët
5/: (*)

10
Ñaët
Do ñoù (*)
Laáy (1) tröø (2) ta coù:
Vậy (*)
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù 3 nghieäm
6/
(*)
Ñaët
(*)

11
Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm
7/  x 
8/
ÑK :
 x 11 01 x  2
(TM)
 x 11 0x  2
(TM)
9/

12
Ñieàu kieän
10/   2 2 x 3 10 x  x  x 12 (*)
Ñieàu kieän
(*)      2  x 3 10 x  x 3 x  4
 
  2
3
10 4
x n
x x l
  

   
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát
11/   3 2 x 1 x 1 x 1
Ñaët
 
 
3
3 2
3 2
2 1
1 1
1 0 1
u x u v
u u
v x v u v
     
     
      

13
3 2
0 2
2 0 1 1
2 10
u x
u u u u x
u x
   
 
       
 
    
12/ (*)
Ñaët
Phöông trình trôû thaønh (*)
(*)
Vaäy ta coù
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát
13/

14
    
 
3 3 3 3
3 2 3
2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 16
4 3 16 4 1 16
x x x x x x x
x x x x
          
   
Giải (**) : Đặt
(**)
Thay vaøo ta coù
vaäy phöông trình coù 5 nghieäm phaân bieät
14/ (*)
Ñ K :

15
(*)
*) Với
thì :
(loaïi) *
laø nghieäm *
(*)
Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät
15/

16
   
 
 
 
3 2 3
3 3 2
3 3
3
3 3 2
3 2 3 2
2 4 7 3 28 0 7
2 2 4
' 7 3
3 3 2 7
2 1 3 18
1 3
3 2 7
2 1 2 2 9
* 3 0
3 3
3 18 3
* 0
2 7 2 7
x x x x x x
f x VT
x
f x x
x x x
x
x x x
x x x
x x
x
x x
       

  
       
  
  
     
  
  
  
 
  
 
 f ' xnghòch bieán f x  0coù nghieäm duy nhaát.
Deã thaáy x  8 laø nghieäm.
Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát x  8
16/ 1
5
x
 
  
 
17/
Ñaët ta coù phöông trình .

Vôùi t=2x ta coù phöông trình hay .
vaäy phöông trình voâ nghieäm
18/
Ñieàu kieän:
Ñaët

17
Phöông trình trôû thaønh
+ vôùi
ta coù phöông trình
(vn)
+ Vôùi
ta coù phöông trình
(thoaû maõn)
Vaäy phöông trình coù nghieäm
19/
Ñieàu kieän
Ñaët
phöông trình trôû thaønh

18
(vô lí vì
)
Từ
(thoaû maõn ñk)Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm
20/
Bieán ñoåi pt veà daïng:
Laïi coù
vaø
vaäy
. Daáu ñaúng thöùc khi: x=11;y=5.
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm (x=11;y=5).
21/
Ñ K

19
Ta coù
vaäy phöông trình ñaõ cho coù 2 nghieäm
22/
Ñieàu kieän
Pt ñaõ cho 2 2 4x  y  y  2  4x  y
Deã thaáy VT coøn VP do ñoù ta suy ra VT=VP=0 ,ñieáu naøy cuõng ñoàng
nghóa vôùi:

20
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm .
23/
Ñaët ta có:
Vì neân coù . Töø ñoù coù caùc tröôøng hôïp
0, 0, 1
0, 1, 0 1
1, 0, 0
a b c
a b c x
a b c
   

    

   
24/
 
 
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 4 2
12 12
12 0
12
12
12
12 2 1
12 12
4
2 1 1 0 1 12 0
3
x x x
x x
a a b x
x a b x
x b x
b a x b a x
b x x
x
x
b b b b x x
x
    

          
       
       
   
 
             
  
25/
Vieát phöông trình veà daïng:
Khi x=1 phöông trình voâ nghieäm
Khi x khaùc1 ta coù phöông trình

21
Ñaët
ta coù phöông trình:
. Giaûi phöông trình ñöôïc
+vôùi t=7 có:
coù nghieäm: x=2; x=4.
+vôùi
ta coù phöông trình:
. Pt voâ nghieäm.
Vậy PT có nghiệm: x=2; x=4.
26/
27/
Đk:
ñaët
phöông trình
(loại)
Vaäy
(đk:
)

22
(tmđk)
Vaäy
27/
Ñieàu kieän x  0
        
     2
6 1 4 2 2 6 1 4 2 8 2 3 2 8 2 3
6 1 4 2 8 2 3 8 8 2 0
pt x x x x x x x x
x x x x x x
           
        
1
2
 x  ( thoaû maõn)
28 /
Ñaët
hoặc
* vôùi thì
* vôùi thì
phöông trình coù 2 nghieäm vaø
29/
Ñ K

23
ñaët
(thoaû maõn)
30/:
Ñk
 
2 2 2 2
2 4 2 4 2
0
2 6 1 2 1 6 1 1
6 1 2 1 4 0
x
pt x x x x x x
x x x x x

         
       
31/ 3
4
1
16 1
2
x   x 
3 3
4 4
2
4
1 1 1
16 1 16 1
2 8 2
1 1 1 1
16 1
2 2 4 2 2
1
2
x x x x
x
x x x x
x
 
         
 
    
                   
 
32/
Aùp duïng bñt coâ si
Do ñoù
33/

24
Ñk
ñaët
phöông trình ñaõ cho trôû thaønh
Vì
vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát
34/:
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
Töø ñoù suy ra pt coù nghieäm
35/

25
Ta coù x=0 laø nghieäm. Vôùi x khaùc 0 :
hoặc x=-1.
Vaäy phöông trình coù nghieäm
36/
ñieàu kieän
(thoaû maõn ñieàu kieän)
37/
(*) (ĐKXĐ:
)
Ñaët
. Khi ñoù

26
*
thì pt (*) voâ nghieäm
*
thì
(TM (*))
*
thì
(loại)
Vaäy pt coù nghieäm duy nhaát x = -1.
38/
(*)
Ñaët
. Khi ñoù(*) trôû thaønh:
* vôùi
thì
* vôùi
thì
và
.

27
39/ x3-3x2+2 ( 2) 6 0 ( 2) 3 x   x  x  
3 4 0
(1) 6 12 8 9 12 4
( 2) 3 4 ( 2 )
)
3
- 2
( 2) 3 2 (x
( 2) 1 3( 1)
( 2) 1 3( 1)
( 2) 1 9( 1)
( 2) 2 ( 2) 1 9( 1)
3 2
3 2 2
3
3
3
3
2
2
3
3 3 2
   
      





     
   





    
   

   
 
 
      
x x
x x x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x x t
Xét y=x3 - 3x2+4=0
Y’=3x2-6
Xét hàm y’(x) tren [-2/3,+  )
Vậy VT  2( 2 1)  0 (Vô nghiệm)
(2) <=> x3+6x2+12x+8=9x2 +24x/+16
 x3-3x2-12x-8=0
<=> (x-1)(x2-2x+8)=0
<=>x=1
x
y’
y
-2/3 2 +


- +
2( 2 1)
40/
Ta coù neân coù
coù phöông trình: a+b=1+ab hay: (a-1)(b-1)=0.
TH1: a=1: x-2=1 hay: x=3

28
TH2: b=1:
. Phöông trình voâ nghieäm vì
. Vaäy phöông trình coù nghieäm duy nhaát x=3
41/
Ñ K
42/
Ñ k
ñaët
Töø ñaây ta coù
Thay
vaøo (2) ta coù

29
Vaäy taäp nghieäm phöông trình laø
43/
Ta coù Pt ->
    
 
2 2
2
2
2 37 20 4 2 2
37 19 6
x
x x x x x
x x vn
 
        
  
44/
Ñaët ->phöông trình töông ñöông heä
Vì neân coù x=y thay vaøo (1) ta
coù nghieäm cuûa phöông trình
45/
laø nghieäm (1).
Vôùi thì neân veá traùi lôùn hôn 1
Vôùi thì neân veá traùi nhoû hôn 1
Vaäy laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (1).

30
46/
(1)
Veá traùi
.
Veá phaûi
Vaäy 2 veá pt ñeàu baéng 5 khi vaø chæ khi
Keát luaän
47/
:
Ñieàu kieän
+ vôùi
, phöông trình (1) trôû thaønh
Do
vôùi moïi
neân phöông trình (2) voâ nghieäm
+Vôùi

31
Keát hôïp ñieàu kieän , ta coù 2 nghieäm x 1 5; x 1 13
48/
Roõ raøng x=0 khoâng laø nghieäm
Chia caû 2 veá cho ta ñöôïc
Đặt
Ta có:
   3 2
3
2 0 1 2 0 1
1 1 1 5
1 1
2
t t t t t t
x x x
x x
         

       
49/
ñieàu kieän x>=1 hoặc -1<=x<0 .
Chia 2 veá cho ta ñöôïc
Ñaët ta coù t =1 hoaëc t=-3 (loaïi vì t>=0).
Giaûi hoặc x=
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø và x=
50/
ÑK:

32
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
Giaûi (1) ta coù x=0.
Giaûi (2) ta coù x=1.
51/
Phöông trình töông ñöông vôùi
Giaûi(1) ta coù
(voâ nghieäm)
Giaûi (2) ta coù:x=0.
HOÏC – HOÏC NÖÕA – HOÏC MAÕI

33

Phuong trinh

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (11)

Similar to Phuong trinh

Similar to Phuong trinh (20)

More from phongmathbmt

More from phongmathbmt (20)

Phuong trinh