phuong-phap-giai-bai-toan-rut-gon-bieu-thuc-chua-can-tuyet-chieu-on-thi-vao-10.pdf

Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com
- Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 1
Ph-¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n rót gän biÓu thøc chøa c¨n

...
I. Rót gän biÓu thøc:
- Mét sè h»ng ®¼ng thøc hay dïng:
     
     
   
2 2
1 1 1 ; 4 2 2
1 1 1 ; 1 1 1
4 4 2 ; 6 9 3
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x
       
         
       
- Nhí khi ®æi dÊu:
A A
B B
 

hoÆc



A A
B B
Mét sè bµi gi¶i mÉu:
Bµi 1. Rót gän biÓu thøc :
2 x 1 x 2 x 1
P
x 2 2 x x x x 2
   
  
  
   
   
  
   
Bµi lµm:
§kx®: ;
x 0 x 4
  (Dßng nµy ®Ó c¸ch ra, rót gän
xong míi ghi vµo cho ®Çy ®ñ).
 
 
    
 
   
 
 
:
:
:
:
.
2 x 1 x 2 x 1
P
x 2 2 x x x x 2
2 x 1 x 2 x 1
P
x 2 x x 2
x x 2
x 2 x 2 x x 1
2 x x 1
P
x x 2 x x 2
x 1 x 4 x x
P
x x 2 x x 2
x x 2
x 1
P
x 4
x x 2
x 1
P
x 4
   
  
  
   
   
  
   
   
  
 
  
 
 
 
 
  
 
   
 

 
   

 








B×nh luËn: Ta nhËn thÊy ë bµi to¸n nµy viÖc ph©n
tÝch mÉu thµnh nh©n tö lµ ®¬n gi¶n nh-ng ph¶i ®æi
dÊu ®Ó ®-îc mÉu chung hîp lÝ. (dßng thø 2: võa kÕt
hîp ®æi dÊu mÉu ®ån thêi ®æi dÊu ph©n thøc vµ
ph©n tÝch thµnh nh©n tö, cã lÏ nªn t¸ch lµm 2 b-íc)
Bµi 2.Rót gän biÓu thøc :
x 2 x 4 x
P x
1 x
x 1 x 1
 
 
 
  
 
   

 
   
Bµi gi¶i:

 
  
 
  
  
:
:
:
:
 
 
 
  
 
   

 
   
   
   
   
 
   
 
 
   
  
  

  
   

  
x 2 x 4 x
P x
1 x
x 1 x 1
x 2 x x 1 4 x x
P
x 1 x 1
x 1 x 1
4 x x x 1
x 2 x x
P
x 1 x 1 x 1
2 x 4 x x x
P
x 1 x 1 x 1
  
  
  
:
.
 

  
 


  



2 x 4 x
P
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
2 x
P
x 1 2 x 2 x
x 1
P
x 2
§kx®: ; ;
x 0 x 1 x 4
  
B×nh luËn: ë bµi to¸n nµy viÖc ph©n tÝch mÉu
dùa vµo h»ng ®¼ng thøc
  
1 1 1
x x x
    vµ viÖc ®æi dÉu ë
mÉu cña ngoÆc thø hai lµ tiÕn hµnh ®æi dÊu
mÉu ®ång thêi ®æi dÊu tö.
Bµi 3. Rót gän biÓu thøc
3 3 5 2 1
: 1
4
2 2 2
x x x x x
P
x
x x x
   
 
   
   

  
   
Bµi gi¶i.
   
  
  
  
 
  
3 3 5 2 1
: 1
4
2 2 2
3 3 5 2 1 2
:
2 2 ( 2)( 2) 2
3 2 2 3 5 1
:
2
2 2
3 6 2 3 5 1
:
2
2 2
1
:
2
2 2
1 2
.
2 2
x x x x x
P
x
x x x
x x x x x x
P
x x x x x
x x x x x x x
P
x
x x
x x x x x x x
P
x
x x
x x x
P
x
x x
x x x
P
x
x x
   
 
   
   
   

  
   
   
   
  
   
   
    
   
     


 
     


 
 


 
 

  1
2
x
P
x



§kx®: ;
x 0 x 4
 

Bµi 4. Rót gän biÓu thøc :
x 3 x 2 x 2 x
P 1
x 2 3 x x 5 x 6 x 1
   
  
   
   
   
    
   
Bµi gi¶i:
:
:
( ).( )
( )( ) ( )( )
:
( ).( )
( )
:
( ).( )
( ).(
   
  
   
   
   
    
   
   
    
  
   
   
    
   
      

  
    

  
    

 
x 3 x 2 x 2 x
P 1
x 2 3 x x 5 x 6 x 1
x 3 x 2 x 2 x 1 x
P
x 2 x 3 x 3 x 2 x 1
x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 1
P
x 3 x 2 x 1
x 9 x 4 x 2 1
P
x 3 x 2 x 1
x 9 x 4 x 2
P
x 3 x 2
:
)
.( )
( ).( )


 
 



1
x 1
x 3
P x 1
x 3 x 2
x 1
P
x 2
§Kx®: 0; 4; 9
x x x
  
B×nh luËn: Bµi to¸n nµy ®· sö dông 2 kü thuËt
trong viÖc t¸ch mÉu thµnh nh©n tö kÌm theo ®æi
dÊu mÉu, bªn c¹nh ®ã trong qu¸ tr×nh rót gän tö
còng sö dông nh÷ng h»ng ®¼ng thøc quen
thuéc. Em h·y t×m xem nh÷ng b×nh luËn trªn
n»m ë nh÷ng dßng nµo?
Bµi 5. Rót gän biÓu thøc
1 2 1
1 1 1
1 2 1
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
1 2 1
1 ( 1)( 1) 1
1 ( 2) ( 1)( 1)
( 1)( 1)
1 2 ( 1)
( 1)( 1)
1 1
( 1)( 1)
( 1)( 1)
x x x
P
x x x x x
x x x
P
x x x x x x x
x x
P
x x x x x x
x x x x x
P
x x x
x x x x
P
x x x
x x
P
x x x
x x
P
x x x
P
  
  
   
  
  
      
 
  
     
      

  
     

  
  

  


  
 
1
( 1)( 1)
1
x x
x x x
x
P
x x
 

  


 
§kx®: 0; 1
x x
 
B×nh luËn:
á bµi to¸n nµy cã thÓ nhËn thÊy nh÷ng kü thuËt:
- Ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö råi rót gän ph©n
thøc (ph©n thøc ®Çu tiªn)
- Sö dông h»ng ®¼ng thøc
  
1 1 1
x x x x x
    

II. Çc c©u hái phô cña bµi to¸n rót gän:
Çc c©u hái phô cña bµi to¸n rót gän chØ ®-îc tÝnh ®iÓm khi c©u hái rót gän cã kÕt qu¶ chÝnh x¸c. ChÝnh
v× vËy viÖc rót gän ®óng lµ ®iÒu ®Çu tiªn ph¶i lµm. Hy väng r»ng kh«ng ai lµm sai c©u a. B©y giê chóng ta
cïng nhau t×m hiÓu çc c©u hái sau c©u a cã thÓ lµ nh÷ng d¹ng nµo?
1. D¹ng 1:TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt gi¸ trÞ cña x:
Nãi chung c©u hái nµy çc b¹n ®Òu lµm ®óng, cã thÓ chØ ra mét sè d¹ng cho cña x:
     
 
  
 
2 2 2
2
2
4 2 3 3 1 ; 6 2 5 5 1 ; 7 4 3 2 3
2 2 3
2 4 2 3
4 2 3 3 1
4 3
2 3 2 3 2 3
3 5 6 2 5 5 1
2 4 2
x x x
x
x
           
 
      

  
 
  
    
 
 
L-u ý: C©u hái nµy chØ cho ®iÓm tèi ®a khi kÕt qu¶ cña P ®· ®-îc khö mÉu hoÆc trôc c¨n thøc (Tóm l¹i lµ
ë mÉu kh«ng cã c¨n).
Bµi 1. TÝnh gi¸ trÞ cña



x 1
P
x 4
biÕt  
x 4 2 3
Bµi gi¶i:
 
2
x 4 2 3 3 1
   
Thay vµo P ta cã:
 
 
 
2
2
3 1 1 3 3 5
3 1 1 3
P
3 25
3 1 4 3 5
3 1 4
3 5 3 3 5 3
P
22 22
  
 
   

  
 
  
 

Bµi 2.TÝnh gi¸ trÞ cña
1
x
P
x


biÕt 

2
x
2 3
Bµi gi¶i:
 
    

2
2
x 4 2 3 3 1
2 3
thay vµo P ta cã:
 
  
  
2
4 2 3 3 2
4 2 3 4 2 3 4 2 3
3 1 1 3 2 3 2 3 2
3 1 1
4 3 8 6 4 3 2
2
3 4 1
P
P
 
  
   
    
 
  
   
 
Cã thÓ lµm ®¬n gi¶n vµ nhanh h¬n, em h·y thö xem!

Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña
1
2
x
P
x



biÕt
3 5
2
x


Bµi gi¶i:
2
3 5 6 2 5 5 1
2 4 2
x
 
  
    
 
 
thay vµo P ta cã
  
  
2 2
5 1 5 1
1 : 2
2 2
5 1 5 1 5 1 2 5 1 4
1 : 2 :
2 2 2 2
5 1 5 5 5 1 2
: .
2 2 2 5 5
5 1 5 5
5 1 5 5 5 5 5
5 25
5 5 5 5 5 5
10 6 5 5 3 5
20 10
P
P
P
P
P
   
   
 
   
  
   
   
   
   
   
   
   
     
   
   
   
   
  
 

 
   
  

  
  
 

B×nh luËn:
§«i khi c¸ch viÕt biÓu thøc còng quan träng kh«ng
kÐm. ë bµi nµy ta thÊy x cã d¹ng ph©n thøc. ChÝnh
v× thÕ nªn viÕt theo kiÓu Tö : MÉu ®Ó biÓu thøc
kh«ng cång kÒnh gióp chóng ta kh«ng bÞ xo¾n!
2. D¹ng 2:T×m x biÕt P = a (a lµ mét gi¸ trÞ thùc)
B¶n chÊt cña c©u hái nµy lµ gi¶i ph-¬ng tr×nh (chøa c¨n). VËy ph¶i chó ý ®iÒu g×:
- Qui ®ång vµ bá mÉu (v× ®©y lµ gi¶i ph-¬ng tr×nh) nÕu cã.
- §Æt x t
 vµ ®õng quªn ®Æt ®iÒu kiÖn cho t.
- T×m ®-îc t tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®· ®¾t.
- T×m x th«ng qua t.
Bµi 1. Cho



x 1
P
x 2
víi §kx®: ; ;
x 0 x 1 x 4
   .T×m x biÕt  
P x
Bµi gi¶i:

        

x 1
P x x x 3 x 1 0
x 2
§Æt x t
  
; ;
t 0 t 1 t 2
  
   
2
t 3t 1 0
=13>0, Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
( )
  



  



3 13
t
2
3 13
t loai
2
Víi ( )
3 13 3 13 11 3 13
t x x tmdk
2 2 2
    
     
VËy


11 3 13
x
2
Bµi 2. Cho



x 1
P
x 4
§kx®: ;
x 0 x 4
  . T×m x biÕt:  
 
P x 4 2x
Bµi gi¶i:

   

           

x 1
P x 4 2x x 4 2x x 1 2x 2x x 1 0
x 4
§Æt x t
  
;
t 0 t 2
  Pt
( )



    
  

2
t 1
2t t 1 0 1
t loai
2
Víi t = 1 ( )
x 1 x 1 tmdk
   
3. D¹ng 3: T×m x biÕt ; ; ;
P a P a P a P a
    (a lµ mét gi¸ trÞ thùc)
B¶n chÊt cña c©u hái nµy lµ gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (chøa c¨n). VËy ph¶i chó ý ®iÒu g×:
- Khi gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh chØ ®-îc phÐp bá mÉu khi x¸c ®Þnh ®-îc dÊu cña mÉu vµ chiÒu cña bÊt ph-¬ng
tr×nh.
- NghiÖm t×m ®-îc ph¶i ®-îc kÕt hîp víi nh÷ng ®iÒu kiÖn ®· ®Æt.
Bµi 1.Cho



x 3
P
x 2
, §kx®: ; ;
x 0 x 1 x 4
   .T×m x biÕt P>1
Bµi gi¶i:
 
  
 
       
  

        

x 3 x 2
x 3 x 3
P 1 1 1 0 0
x 2 x 2 x 2
1
0 x 2 0 x 2 x 4
x 2
KÕt hîp ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh ta cã:
 




0 x 4
x 1
Bµi 2.Cho



x 1
P
x 3
, §kx®: ; ;
  
x 0 x 1 x 9 .T×m x biÕt P P

Bµi gi¶i:
1
0 0
3
x
P P P
x

    

Ta cã       
x 0 x 0 x 1 1 0
§Ó
1
0 3 0 3 9
3
x
x x x
x

       

KÕt hîp ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:
 




0 x 9
x 1
4. D¹ng 4: So s¸nh P víi mét sè a
Ph-¬ng ph¸p: XÐt hiÖu P - a.
- NÕu P - a > 0  P >a
- NÕu P - a <0  P <a
Bµi 1. Cho
2
1
x
P
x


§kx®: ;
 
x 0 x 1. So s¸nh P víi 2
Bµi gi¶i:
XÐt
 
2 2 1
2 2
2 2 2 2
1 1 1
x x
x
P P P
x x x
  
        
  
Ta cã       
x 0 x 0 x 1 1 0

2
2 0
1
P
x

   

víi mäi x tho¶ m·n ®kx®
2
P
  víi mäi x tho¶ m·n ®kx®
VËy P < 2 víi mäi x tho¶ m·n ®kx®.
Bµi 2. Cho
1
x x
P
x
 
 §kx®: ;
 
x 0 x 1. So s¸nh P víi 3
Bµi gi¶i:
XÐt
 
2
1
1 1 3 2 1
3 3 3
x
x x x x x x x
P P
x x x x

      
       
Ta cã  
; ;
     
2
x 0 x 1 x 1 0 x 0
 
2
1
3 0 3
x
P P x
x

       tm®kx®
Bµi 3. Cho
1
1
x x
P
x
 


§kx®: ;
 
x 0 x 1. So s¸nh P víi P
Bµi gi¶i: Ta cã
2
1 1 3 1 3
1 2 . 0
2 4 4 2 4
x x x x x x
 
          
 
 
tm ®k x®
Mµ       
x 0 x 0 x 1 1 0
1
0
1
x x
P
x
P P
 
  

 
5. D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn:
Qua 3 vÝ dô sau, c¸c em phÇn nµo sÏ hiÓu ®-îc ph-¬ng ph¸p gi¶i vµ kiÓu cña d¹ng bµi th-êng gÆp.
Bµi 1. Cho
3
1
P
x


§kx®: ;
 
x 0 x 1. T×m x Z
 ®Ó P Z

Bµi gi¶i:
Ta cã
3
1
P
x


, ®Ó P Z
 1
x   ¦(3)={-3;-1;1;3}
Ta cã b¶ng sau:
1
x  -3 -1 1 3
x -4 -2 0 2
x   0 4
VËy x{0;4}
Bµi 2. Cho
3 2
2
x
P
x



§kx®: ; ;
  
x 0 x 4 x 9. T×m x Z
 ®Ó P Z

Bµi gi¶i:
Ta cã
4
3
2
P
x
 

, ®Ó P Z
 2
x   ¦(4)={-4;-2;-1;1;2;4}
Ta cã b¶ng sau:
2
x  -4 -2 -1 1 2 4
x -2 0 1 3 4 6
x  0
(lo¹i)
1 9
(lo¹i)
16 36
VËy x{1;16;36}

6. D¹ng 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P
Bµi 1. Cho
3
2
P
x


§kx®: ;
 
x 0 x 4. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P.
Bµi gi¶i:
Ta cã
     
 

 

 
x 0 x 0 x 2 2
1 1
2
x 2
3 3
2
x 2
3
P
2
3
2
max
P
  khi x = 0.VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ
3
2
khi x = 0.
Bµi 2. Cho
5 13
3
x
P
x



§kx®: ;
 
x 0 x 9. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Bµi gi¶i:
Ta cã
2
5
3
P
x

 

     
 

 
 

 
   

 
x 0 x 0 x 3 3
1 1
3
x 3
2 2
3
x 2
2 2
5 5
3
x 2
13
P
3
min
13
3
P
  khi x = 0. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ
13
3
khi x = 0.
Bµi 3. Cho
1
x x
P
x
 
 §kx®: 
x 0 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Bµi gi¶i:
Ta cã
1 1
1 1
P x x
x x
     
V× x > 0 nªn
1
0; 0
x
x
  . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè
1
0; 0
x
x
  :

1 1
2 .
1
2
1
1 2 1
1
x x
x x
x
x
x
x
P
 
  
    
 
min
1
P
  khi
1
1
x x
x
   . VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = 1 khi x = 1.
Bµi 4. Cho
2
2
x
P
x


§kx®: 
x 4 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Bµi gi¶i:
Ta cã  
8 8
2 4 2 2 8
2 2
P x x
x x
      
 
V× x >4 nªn   8
2 2 0; 0
2
x
x
  

. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè :   8
2 2 0; 0
2
x
x
  

   
 
 
 
8 8
2 2 2 2 2 .
2 2
8
2 2 8
2
8
2 2 8 8 8
2
16
x x
x x
x
x
x
x
P
   
 
   

     

 
min
16
P
  khi    
2 2 2 4 16
8
2 2 2 4 16
0( )
2 2 2 0
x x x
x x x
x l
x x x
 
   

         
  

     
 
 
. VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = 16 khi x = 16.
7. D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó P tho¶ m·n mét ®¼ng thøc, mét bÊt ®¼ng thøc:
Bµi 1. Cho
2
2
x
P
x


§kx®:





4
x
0
x
.
T×m m ®Ó cã 1 gi¸ trÞ x tho¶ m·n:    
P x 2 x m 2x x m 1
     
Bµi gi¶i
      
( )
           



 
 

P x 2 x m 2x x m 1 x 1 2x m 1 0
x 1 tmdk
m 1
x
2
§Ó cã 1 gi¸ trÞ x th×:
m 1
1
2 m 3
m 1
0 m 1
2
m 9
m 1
4
2







 

   


 
 

 


. VËy m < 1 hoÆc m=3; hoÆc m = 9

Bµi 2. Cho
4
3
x
P
x


Đkxđ: 0: 4 ; 9
x x x
  
Tìm m để phương trình 3 2
P m x
   có hai nghiệm phân biệt.
Bµi gi¶i.
3 2
P m x
      
11 3 6 0 1
x m x m
     
Đặt t x
 0; 2; 3
t t t
   pt trở thành :
Pt   
2
11 3 6 0
t m t m
     (2)
Để pt(1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt khác 2 và 3
Điều này xảy ra khi:
0
0
0
2; 3
b
a
c
a
t t



 


 

  


Giải ra được m>29
Bµi 3. Cho
3
2


P
x
Đkxđ: 0: 4 ; 9
  
x x x
T×m m ®Ó víi mäi x > 9 ta cã:  
. .
 
   
 
x P x 2 2m 1 4x
Bµi gi¶i. (B¶n chÊt lµ t×m m ®Ó x>9 lµ tËp con cña tËp nghiÖm BPT trªn)
   
. .
 
      
 
x P x 2 2m 1 4x x 2m 1 1
§Ó bpt ®óng víi mäi x>9
 

     
  

   
     
   
    
   
  
  
 


2m 1 0
2m 1 0 2m 1 0 2m 1 0
1
x 1 1 10 18m
2m 1 9 9 0 0
2m 1 2m 1 2m 1
x 9



 
 
   
 
 
  


1
m
2m 1 0 1
2
m
5
10 18m 0 2
m
9
Bµi 4. Cho 1
 
P x Đkxđ: 0: 4
 
x x
T×m m ®Ó cã x tho¶ m·n  
1 .
x P x m
  
Bµi gi¶i.
 
2
2
1 5
1 . 1 0 0
2 4
1 5
(1)
2 4
x P x m x x m x m
x m
 
            
 
 
 
   
 
 
Ta cã
2
1 1 1 1
x 0 x 0 x x
2 2 2 4
 
        
 
 
(2)
Tõ (1) vµ (2):
5 1
1
4 4
m m
   

Rót gän biÓu thøc trong ®Ò thi
(Trích trong các đề thi môn Toán vào lớp 10 TP. Hà Nội
và một số đề thi vào THPT Chuyên Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội)

Bµi 1 (2008).
1
:
1
x x
P
x x x x
 
 
 
 
 
 
a. Rót gän P. b.TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 4 c. T×m x ®Ó P=
13
3
Bµi 2 (2007).
3 6 4
1
1 1
x x
P
x
x x

  

 
a. Rót gän P b. T×m x ®Ó
1
2
P 
Bµi 3 (2006).
  
3 2 1 1
:
1 1 1
2 1
a a a a
P
a a a
a a
 
    
 
  
 
 
  
   
 
a. Rót gän P b. T×m a ®Ó
1 1
1
8
a
P

 
Bµi 4 (2005).
1 5 x 4 2 x x
P :
x 2 2 x x x x 2
   
 
  
   
   
  
   
a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt
3 5
x
2


c. T×m m ®Ó cã x tháa m·n: 1
2 

 mx
x
mx
P
Bµi 5 (2004).
1 x 1 1 x
P x :
x x x x
 
 
 
  
 
   

   
a. Rót gän P. b. TÝnh P biÕt
2
x
2 3


c. T×m x tháa m·n: P x 6 x 3 x 4
   
Bµi 6 (2003).
4 x 8x x 1 2
P :
4 x
2 x x 2 x x
   

  
   
   

 
   
a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña x ®Ó P = -1
c. T×m m ®Ó víi mäi gi¸ trÞ x > 9 ta cã:  
3 1
m x P x
  
Bµi 7 (2002).
x 2 x x 4
P x :
1 x
x 1 x 1
 
 
 
  
 
   

 
   
a. Rót gän P. b. T×m çc gi¸ trÞ cña x tháa m·n P < 0
c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
Bµi 8 (2001).
 
x 4 3 x 2 x
P :
x 2 x x 2
x x 2
   
 
 
  
 
 
 
 
  
 
a. Rót gän P. b. TÝnh çc gi¸ trÞ cña P biÕt 5
2
6 

x
c. T×m çc gi¸ trÞ cña n ®Ó cã x tháa m·n:  
1
x P x n
  
Bµi 9 (2000).
x 1 1 2
P :
x 1
x 1 x x x 1
   
  
   
  
  
 
 
a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó P > 0.

c. T×m çc sè m ®Ó cã çc gi¸ trÞ cña x tháa m·n: P. x m x
 
Bµi 10 (1999).
3
2x 1 1 x 4
P : 1
x 1 x x 1
x 1
 
 
 
  
   
  
 

 
a. Rót gän P. b. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn d-¬ng.
Bµi 11 (1998).
x x 26 x 19 2 x x 3
P
x 2 x 3 x 1 x 3
  
  
   
a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x 7 4 3
  c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
Bµi 12 (1997)
2 4 2 2
1 1 1
 
  
   
a a
P
a a a a a
a. Rót gän P b. TÝnh P khi 3 2 2
a  
Bµi 13 (1996). Cho 2 4 5 4
1 1 1
:
1 1 1
x x
A
x x x x x
 
 
 
 
    
 
a. Rót gän A ®Ó chøng minh r»ng A = x 2
- x - 2 . b. T×m x ®Ó A= 4.
c. T×m GTNN cña A
Bµi 14 (1995). Cho 1 : 1
1 1
a a a a
B
a a
   
 
  
   
   
 
   
a. Rót gän B. b. T×m a ®Ó B < 1
c. T×m a ®Ó B nguyªn vµ tÝnh B theo a võa t×m ®-îc.
Bµi 15 (1994). Cho
   
2 2
a b b a a b
P
b a
a b a b
  
  

 
a. Rót gän P. b. TÝnh P biÕt a =2, b= 8
Bµi 16 (1993).
3
1 1
1 1 1
x x
P
x x x x x

  
    
a. Rót gän P b. T×m x ®Ó P > 0
Bµi 17 (1992).
 
2
:
1 1
1 1
a b
a a b
P
ab ab
ab ab
 

  
 
 
 
 
 
a. Rót gän P
b. Cho 6
a b
  . T×m a, b ®Ó P ®¹t GTNN vµ GTNN ®ã lµ bao nhiªu ?
Bµi 18 (Ams 2005). Cho
x x 1 x x 1 x 1
P
x x x x x
  
  
 
a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó
9
P
2

2
x 1 x 1 1 x
P
2
x 1 x 1 2 x
  
 
  
  
  
 
  
a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó 2

x
P
2
x x 2x x 2(x 1)
P
x x 1 x x 1
  
  
  
a. Rót gän P. b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. c. T×m x ®Ó
P
x
Q
2
 nhËn gi¸ trÞ
nguyªn.
x 1 x 2 x 1
P
x 1 x x 1 x x 1
  
  
   

a. Rót gän P. b. T×m Max
2
Q x
P
 
x 2 x 3 x 2 x
P : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
   
  
   
   
   
    
   
1 5
P 2
 
2x 2 x x 1 x x 1
P
x x x x x
  
  
 
a. Rót gän P. b. So s¸nh P víi 5.
c. Víi mäi gi¸ trÞ x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc
P
8
chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ
nguyªn.
Bµi 24 (Ams 1999). Cho :
x 3 x 2 x 2 x
P 1
x 2 3 x x 5 x 6 x 1
   
  
   
   
   
    
   
a. Rót gän P. b. T×m x ®Ó P <0 c. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th×
P
1
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 25 (Ams 1998). Cho 




























1
1
1
1
:
1
1
1
1
xy
x
xy
x
xy
xy
x
xy
xy
x
P
a. Rót gän P. b. Cho 6
1
1


y
x
. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A.
 
1
2
2
3
2
3
3











x
x
x
x
x
x
x
x
P
4
15

P
Bµi 27 (HN 2009). Cho biểu thức:
x 1 1
A
x 4 x 2 x 2
  
  
với x  0 và x  4
a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x = 25 c) Tìm x để
1
A
3
 
Bµi 28 (HN 2010).Cho biểu thức
x 2 x 3x 9
A
x 9
x 3 x 3

  

 
với x 0;x 9
 
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để
1
A
3

c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bµi 29 (CN 2010) Cho biểu thức
x 2x x 1 2
P :
9 x
3 x x 3 x x
   

  
   
   

 
   
a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. b)Tìm giá trị của x để P
4
3
 
Bµi 30 (CN 2009)
3
3 2
3 2
3
3
3
3
3 2
3
2
4
2
2
2
2
:
2
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A


























Víi x  8; x -8; x  0. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A kh«ng phô thuéc vµo x.
Bµi 31 (CN 2007) : 1
2
1
.
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2








 




















x
x
x
x
x
x
x
P

a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa vµ rót gän P. b. T×m x ®Ó P 
2
2
Bµi 32 (CN 2006) : 1
1
2
1
1
:
1
1 
























x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa vµ rót gän biÓu thøc P.
b. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc Q = P - x nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 33 (CN 2005) :
1
2
1
2
1
1
1
2




















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
M
a. H·y t×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M.
b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã cña
M?
Bµi 34 (CN 2004)
1
1
1
1
1
2









x
x
x
x
x
x
x
A
a. T×m x ®Ó A cã nghÜa. H·y rót gän A. b. TÝnh A víi x = 33 - 2
8
c. Chøng minh r»ng A <
3
1
Bµi 35 (CN 2002) :
1
1
:
2
2
1
1
1
2
3
9
3



















x
x
x
x
x
x
x
P
a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa, khi ®ã h·y rót gän P.
b. T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó
P
1
lµ sè tù nhiªn? c. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 - 3
2
Bµi 36 (CN 2011) :
y
x
xy
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A
3
3
3
3
:
.
1
1
2
1
1

























a)Rót gän A b) T×m x ; y biÕt
1
xy ;A 5
36
 
Bµi 37 (HN 2011) :
x 10 x 5
A
x 25
x 5 x 5
  

 
với x 0;x 25
 
a. Rót gän A b.Tính giá trị của A khi x = 9 c.Tìm x để
1
A
3

Bµi 38 (HN 2012) :
a) Cho biểu thức
4
2
x
A
x



. Tính giá trị biểu thức A khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức
4 16
:
4 4 2
x x
B
x x x
  
 
 
  
 
(với 0; 16
x x
  )
c) Với các biểu thức A, B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức
B.(A-1) là số nguyên.
Bµi 39 (HN 2013) : Với x>0, cho hai biểu thức
2 x
A
x

 và
x 1 2 x 1
B
x x x
 
 

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 64.
2) Rút gọn biểu thức B. 3) Tìm x để
3
2
A
B


Bµi 40 (HN 2014) :
1) Tính giá trị của biểu thức
1
1
x
A
x



khi x= 9.
2) Cho biểu thức
2 1 1
.
2 2 1
x x
P
x x x x
 
 
 
 
  
 
với x 0; 1
x x
 
a) Chứng minh rằng
1
x
P
x

 b) Tìm x để 2 2 5
P x
 
Bµi 41 (HN 2015) : Cho
3 1 5 2
; 0; 4
4
2 2
x x x
P Q x x
x
x x
  
    

 
1) Tính giá trị của P khi x = 9
2) Rút gọn Q
3) Tìm x để biểu thức
P
Q
đạt giá trị nhỏ nhất
Bµi 42 (CN 2015) :Cho
 
2
. 2
2 8 2
x x
x x
P
x x x x
 
  
 
  
 
 
  
 
 
. Tìm điều kiện của x để A
có nghĩa và rút gọn A.
Bµi 43. Cho:
1
2
.
1
2
1
1
2
1



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
a. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó A cã nghÜa. b. TÝnh x nÕu
5
6
6 

A
c. Chøng tá r»ng
3
2

A lµ bÊt ®¼ng thøc sai.
Bµi 44.Cho
1
1
2
2








a
a
a
a
a
a
a
a
M
Rót gän biÓu thøc: P = 1
1 

 a
M
Bµi 45.Cho biÓu thøc: 






















xy
y
xy
xy
x
xy
y
x
y
xy
x
xy
A
2
2
:
2
2
1
1. Rót gän A.
2. T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh A = m - 1 cã nghiÖm x, y tho¶ m·n 6

 y
x
Bµi 46 .Cho biÓu thøc: 2
1
:
1
x
x
x
x
x
x
x
P





1. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa vµ h·y rót gän P.
2. T×m çc sè nguyªn x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc
1
2 2



x
x
P
Q còng lµ sè nguyªn.
Bµi 47.Cho biÓu thøc: 

























1
2
)
1
)(
(
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
M
1. T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó M cã nghÜa, khi ®ã h·y rót gän M.
2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc (2000 - M) khi x  4
3. T×m çc sè nguyªn x ®Ó gi¸ trÞ cña M còng lµ sè nguyªn.

Bµi 48.Cho biÓu thøc:
1
1
:
2
2
1
1
1
2
3
9
3



















x
x
x
x
x
x
x
P
a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa, khi ®ã h·y rót gän P.
b. T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó
P
1
lµ sè tù nhiªn?
c. TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 - 3
2
Bµi 49.Cho biÓu thøc
1
1
1
1
1
2









x
x
x
x
x
x
x
A
1. T×m x ®Ó A cã nghÜa. H·y rót gän A.
2. TÝnh A víi x = 33 - 2
8
3. Chøng minh r»ng A <
3
1
Bµi 50.Cho biÓu thøc:
1
2
1
2
1
1
1
2




















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
M
a. H·y t×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M.
b. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã cña
M?
Bµi 51.Cho biÓu thøc: 1
1
2
1
1
:
1
1 
























x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa vµ rót gän biÓu thøc P.
b. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc Q = P - x nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 52.Cho biÓu thøc: 1
2
1
.
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2








 




















x
x
x
x
x
x
x
P
1. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa vµ rót gän P.
2. T×m x ®Ó P 
2
2
Bµi 53. cho biÓu thøc
3
3 2
3 2
3
3
3
3
3 2
3
2
4
2
2
2
2
:
2
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A


























Víi x  8; x -8; x  0. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A kh«ng phô thuéc vµo x.

phuong-phap-giai-bai-toan-rut-gon-bieu-thuc-chua-can-tuyet-chieu-on-thi-vao-10.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (12)

Similar to phuong-phap-giai-bai-toan-rut-gon-bieu-thuc-chua-can-tuyet-chieu-on-thi-vao-10.pdf

Similar to phuong-phap-giai-bai-toan-rut-gon-bieu-thuc-chua-can-tuyet-chieu-on-thi-vao-10.pdf (20)

phuong-phap-giai-bai-toan-rut-gon-bieu-thuc-chua-can-tuyet-chieu-on-thi-vao-10.pdf