Определение НОД. Формирование навыка нахождения наибольшего общего делителя. Отработка умений решать задачи на использование НОД чисел.

1. НОД. Взаимно простые числаНОД. Взаимно простые числа
1

2. ввести понятия наибольшего общего делителя;ввести понятия наибольшего общего делителя;
 формировать навык нахождения наибольшегоформировать навык нахождения наибольшего
общего делителя;общего делителя;
отрабатывать умение решать задачи наотрабатывать умение решать задачи на
использование НОД чисел;использование НОД чисел;
обобщить имеющиеся у учащихся знания ообобщить имеющиеся у учащихся знания о
наибольшем общем делителе натуральных чисел, онаибольшем общем делителе натуральных чисел, о
взаимно простых числах.взаимно простых числах.
ввести понятия наибольшего общего делителя;ввести понятия наибольшего общего делителя;
 формировать навык нахождения наибольшегоформировать навык нахождения наибольшего
общего делителя;общего делителя;
отрабатывать умение решать задачи наотрабатывать умение решать задачи на
использование НОД чисел;использование НОД чисел;
обобщить имеющиеся у учащихся знания ообобщить имеющиеся у учащихся знания о
наибольшем общем делителе натуральных чисел, онаибольшем общем делителе натуральных чисел, о
взаимно простых числах.взаимно простых числах.
2

3. 3
Решите уравнения, записывая только ответы.
84 : л = 14; л = 6
84 : т = 7; т = 12
84 : е = 21; е = 4
84 : л = 4; л = 21
84 : ь = 3; ь = 28
84 : д = 28; д = 3
84 : е = 6; е = 14
84 : и = 12; и = 7
Расположите ответы в порядке возрастания.
Назовите, какое слово получилось. Дайте определение
делителя натурального числа.
33 44 66 77 1212 1414 2121 2828
дд ее лл ии тт ее лл ьь

4. 4

5. 5
875875 55
175175 55
3535 55
77 77
11
Назовите наибольший делитель,
отличный от самого числа. Как его найти?

6. 6
23762376 22
11881188 22
594594 22
297297 22
9999 33
3333 33
1111 1111
11
Назовите наибольший делитель,
отличный от самого числа. Как его найти?

7. 7
56255625 33
18751875 33
625625 55
125125 55
2525 55
55 55
11
Назовите наибольший делитель,
отличный от самого числа. Как его найти?

8. 8
Для каждой пары чисел: 18 и 9; 10 и 7; 15 и 20; 14 и 35; 48 и 36;
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
18: 1, 2, 3, 6, 9,18.18: 1, 2, 3, 6, 9,18.
9: 1, 3, 9.9: 1, 3, 9.
10: 1, 10.10: 1, 10.
7: 1, 7.7: 1, 7.
15: 1, 3, 5, 15.15: 1, 3, 5, 15.
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
14: 1, 2, 7, 14.14: 1, 2, 7, 14.
35: 1, 5, 7, 35.35: 1, 5, 7, 35.
48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9,12, 18, 36.36: 1, 2, 3, 4, 6, 9,12, 18, 36.
Выделите их наибольший общий делитель.

9. Этот способ удобен, когда количество делителей,Этот способ удобен, когда количество делителей,
хотя бы у одного из чисел, невеликохотя бы у одного из чисел, невелико (способ 1).(способ 1).
9
наибольшее натуральное число, на котороенаибольшее натуральное число, на которое
делятся без остатка числа а иделятся без остатка числа а и bb, называют, называют
наибольшим общим делителемнаибольшим общим делителем этих чисел.этих чисел.
Обозначают:Обозначают: НОД (48; 36) = 12НОД (48; 36) = 12
Запишем НОД для чиселЗапишем НОД для чисел
НОД (18; 9) = 9,НОД (18; 9) = 9,
НОД (10; 7) = 1,НОД (10; 7) = 1,
НОД (15; 20) = 5,НОД (15; 20) = 5,
НОД (14; 35) = 7,НОД (14; 35) = 7,
НОД (48; 36) = 12.НОД (48; 36) = 12.

10. 10
Способ 2.Способ 2.
1. Разложите числа на простые множители.1. Разложите числа на простые множители.
2424 22
1212 22
66 22
33 33
11
6060 22
3030 22
1515 33
55 55
11
2. Выпишите общие простые множители.2. Выпишите общие простые множители.
3. Найдите произведение полученных простых3. Найдите произведение полученных простых
множителей.множителей.
НОД(24;60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.НОД(24;60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3; 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 524 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3; 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

11. 11
5050 22
2525 55
55 55
11
175175 55
3535 55
77 77
11
50 = 2 ∙ 5 ∙ 5; 175 = 5 ∙ 5 ∙ 750 = 2 ∙ 5 ∙ 5; 175 = 5 ∙ 5 ∙ 7
НОД(50;175) = 5 ∙ 5= 25НОД(50;175) = 5 ∙ 5= 25

12. 12
675675 33
225225 33
7575 33
2525 55
55 55
11
875875 55
175175 55
3535 55
77 77
11
675 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5; 875 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7675 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5; 875 = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7
НОД(675;875) = 5 ∙ 5= 25НОД(675;875) = 5 ∙ 5= 25

13. 13
79207920 22
39603960 22
19801980 22
990990 22
495495 33
165165 33
5555 55
1111 1111
11
594594 22
297297 33
9999 33
3333 33
1111 1111
11
НОД(7920;594) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 = 198НОД(7920;594) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 = 198
7920 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 117920 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11
594 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11594 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11

14. 14
Чтобы найтиЧтобы найти наибольший общий делительнаибольший общий делитель
несколькихнескольких натуральных чисел, надо:натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в каждое разложение2) из множителей, входящих в каждое разложение
подчеркнуть общие множители;подчеркнуть общие множители;
3) найти произведение подчеркнутых множителей.3) найти произведение подчеркнутых множителей.
Если все данные числаЕсли все данные числа делятся на одно из них,делятся на одно из них, тото
это числоэто число и является наибольшим общими является наибольшим общим
делителем данных чисел.делителем данных чисел.

15. Что нужно сделать, чтобы ответитьЧто нужно сделать, чтобы ответить
на вопрос задачи?на вопрос задачи?
Что нужно сделать, чтобы ответитьЧто нужно сделать, чтобы ответить
на вопрос задачи?на вопрос задачи?
32 яблока 40 груш40 груш
НОД (32; 40) = 8.НОД (32; 40) = 8.
Ответ: 8 наборов.Ответ: 8 наборов.
15
В одной корзине 32 яблока, в другой корзине 40 груш. Какое наибольшееВ одной корзине 32 яблока, в другой корзине 40 груш. Какое наибольшее
количество одинаковых наборов можно составить, используя этиколичество одинаковых наборов можно составить, используя эти
фрукты.фрукты.
Найти наибольшее число, наНайти наибольшее число, на
которое делятся числа 32 и 40, токоторое делятся числа 32 и 40, то
есть найти ихесть найти их наибольший общийнаибольший общий
делитель.делитель.
Найти наибольшее число, наНайти наибольшее число, на
которое делятся числа 32 и 40, токоторое делятся числа 32 и 40, то
есть найти ихесть найти их наибольший общийнаибольший общий
делитель.делитель.

16. 16
35: 1, 5, 7, 3535: 1, 5, 7, 35
88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 8888: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88
Для каждой пары чисел: 35 и 88; 25 и 9; 5 и 3; 7 и 8;
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
НОД (35; 88) = 1.НОД (35; 88) = 1.
НОД (25; 9) = 1;НОД (25; 9) = 1;
НОД( 5; 3) = 1;НОД( 5; 3) = 1;
НОД (7; 8) = 1.НОД (7; 8) = 1.
Выделите их наибольший общий делитель.
25: 1, 5, 2525: 1, 5, 25
9: 1, 3, 99: 1, 3, 9
5: 1, 55: 1, 5
3: 1, 33: 1, 3
7: 1, 77: 1, 7
8: 1, 88: 1, 8

17. 17
НОД (35; 88) = 1НОД (35; 88) = 1 НОД (25; 9) = 1НОД (25; 9) = 1
НОД( 5; 3) = 1НОД( 5; 3) = 1 НОД (7; 8) = 1НОД (7; 8) = 1

18. Древние греки придумали замечательный способ,Древние греки придумали замечательный способ,
позволяющий искать наибольший общий делитель двухпозволяющий искать наибольший общий делитель двух
натуральных чисел без разложения на множители. Он носилнатуральных чисел без разложения на множители. Он носил
название «Алгоритма Евклида».название «Алгоритма Евклида».
Он заключается в том, что наибольшим общимОн заключается в том, что наибольшим общим
делителем двух натуральных чисел является последний,делителем двух натуральных чисел является последний,
отличный от нуля, остаток при последовательном деленииотличный от нуля, остаток при последовательном делении
чисел.чисел.
18
Положим, требуется найти НОД (455; 312), ТогдаПоложим, требуется найти НОД (455; 312), Тогда
455 : 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 ∙ 1 + 143455 : 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 ∙ 1 + 143
312 : 143 = 2 (ост. 26), 312 = 143 ∙ 2 + 26312 : 143 = 2 (ост. 26), 312 = 143 ∙ 2 + 26
143 : 26 = 5 (ост. 13), 143 =26 ∙ 5 + 13143 : 26 = 5 (ост. 13), 143 =26 ∙ 5 + 13
26: 13 = 2 (ост. 0), 26 = 13 ∙ 226: 13 = 2 (ост. 0), 26 = 13 ∙ 2
Последний делитель или последний, отличный от нуляПоследний делитель или последний, отличный от нуля
остаток 13 будет искомым НОД (455; 312) = 13.остаток 13 будет искомым НОД (455; 312) = 13.

19. Как узнать, сколько ребят было на елке?Как узнать, сколько ребят было на елке?
123 апельсина82 яблока
19
Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки.Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки.
Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока.Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока.
Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсиновСколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов
и сколько яблок было в каждом подарке?и сколько яблок было в каждом подарке?
Найти НОД чисел 123 и 82.Найти НОД чисел 123 и 82.Найти НОД чисел 123 и 82.Найти НОД чисел 123 и 82.Количество апельсинов и яблокКоличество апельсинов и яблок
должно делиться на одно и то жедолжно делиться на одно и то же
наибольшее число.наибольшее число.
НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.
123 : 41 = 3 (ап.)123 : 41 = 3 (ап.)
82 : 41 = 2 (ябл.)82 : 41 = 2 (ябл.)
Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.
Сколько ребят -?Сколько ребят -?
Сколько яблок - ?Сколько яблок - ?
Сколько апельсинов -?Сколько апельсинов -?

20. 20
НайдитеНайдите наибольший общий делительнаибольший общий делитель числителя ичислителя и
знаменателя дробей.знаменателя дробей.
2020
3030
88
2424
2424
6060
1515
3535
1313
2626
88
99

21. Найти НОДНайти НОД чиселчисел
424 и 477.424 и 477.
Найти НОДНайти НОД чиселчисел
424 и 477.424 и 477.
НОД (424; 477) = 53,НОД (424; 477) = 53,
значит, 53 пассажира взначит, 53 пассажира в
одном автобусе.одном автобусе.
424 : 53 = 8 (авт.) - в лес.424 : 53 = 8 (авт.) - в лес.
477 : 53 = 9 (авт.) - на озеро.477 : 53 = 9 (авт.) - на озеро.
8 + 9 = 17 (авт.)8 + 9 = 17 (авт.)
Ответ: 17 автобусов, 53 пассажира вОтвет: 17 автобусов, 53 пассажира в
каждом.каждом. 21
Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, сДля поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с
одинаковым числом мест в каждом автобусе. 424 человека поехали в лес, а 477одинаковым числом мест в каждом автобусе. 424 человека поехали в лес, а 477
человек - на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека нечеловек - на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не
осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров былоосталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было
в каждом автобусе?в каждом автобусе?
424424 22
212212 22
106106 22
5353 5353
11
477477 33
159159 33
5353 5353
11

22. Какое число называютКакое число называют общим делителемобщим делителем данныхданных
натуральных чисел?натуральных чисел?
Какое число называютКакое число называют наибольшим общим делителемнаибольшим общим делителем
двухдвух натуральных чисел?натуральных чисел?
Какие числа называют взаимно простыми?Какие числа называют взаимно простыми?
Как найти наибольший общий делительКак найти наибольший общий делитель несколькихнескольких
натуральныхнатуральных чисел?чисел?
Если числаЕсли числа взаимно простыевзаимно простые, то какому числу равен их, то какому числу равен их
наибольший общий делитель?наибольший общий делитель?
Верно ли: «Если числа простые, то они взаимноВерно ли: «Если числа простые, то они взаимно
простые»? Ответ обоснуйте.простые»? Ответ обоснуйте.
22