1. МБОУ «СОШ № 10»
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ФАКУЛЬТАТИВНОМУ КУРСУ
«МАТЕМАТИКА»
для учащихся 6 классов
Миасс, 2012
2. Предисловие
Дорогие ребята!
Роль математики в современной жизни
чрезвычайно важна: ни одна финансовая операция,
ни один экономический анализ, ни одно
исследование в любой области науки невозможны
без знания математики.
Данный курс не заменяет, а дополняет обучение
в обычной школе.
Основная цель данного пособия - помочь развить
не только навыки решения задач, но и логическое
мышление.
Курс не рассчитан на беглое чтение: для развития
навыков решения задач каждый раздел должен быть
досконально изучен, отработаны разобранные
решения задач. Многие задачи существенно
отличаются от обычных школьных, хотя для их
решения вполне хватает знаний, полученных из
школьного учебника, но необходимы
сообразительность, внимание и аккуратность.
Вы же должны проявить терпение, трудолюбие и
настойчивость в учебе.
Желаю успеха!
Учитель высшей квалификационной категории
Золотько Л.И.
2
3. ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
1.1 Математические модели……………………………..4
1.2 Делимость произведения чисел……………………7
1.3 Делимость суммы и разности чисел………………8
1.4 Чётность при решении задач……………………….10
1.5 Признаки делимости чисел…………………………11
Глава 2. ЯЗЫК И ЛОГИКА
2.1 Высказывания…………………………………………13
2.2 Общие утверждения…………………………..……...15
2.3 «Хотя бы один»………………………...……………...17
2.4 О доказательстве общих утверждений……………19
2.5 Введение обозначений……………………………….22
2.6 Равносильность предложений……………………...24
2.7 Определения…………………………………………..26
Глава 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
3.1 Задачи на части и проценты…………………….....29
3.2 Сложный процентный рост…………………...…….31
3.3 Задачи на совместную работу…………………..…32
3.4 «Многоэтажные» дроби……………………………..33
3.5 Свойства и преобразования пропорций………….35
3.6 Зависимости между величинами……………….....36
3.7 Пропорциональное деление………...…………..…39
Глава 4. ЕЩЕ НЕМНОГО ЛОГИКИ
4.1 Понятие отрицания…………………………………..40
4.2 Отрицание общих высказываний………………....43
4.3 Отрицание высказываний о существовании…....45
4.4 Понятие логического следования………………...48
4.5 Отрицание следования…………………..…………49
4.6 Обратное утверждение………………………..……51
4.7 Следование и равносильность………………..…..53
4.8 Следование и свойства предметов………………55
3
4. Глава 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ………..…........56
Глава 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
1.1 Математические модели
№ 1. Составь выражения для ответа на вопросы задач:
1) Автомобиль проходит расстояние х км за 2 ч, а автобус – за 3 ч.
На сколько скорость автобуса меньше скорости автомобиля?
2) За х р. можно купить 3 м ситца или 2 м полотна. На сколько
рублей 1 м полотна дороже 1 м ситца?
3) Бассейн, вмещающий х м3 воды, наполняется через большую
трубу за 2 ч, а через маленькую – за 3 ч. На сколько скорость
заполнения бассейна через маленькую трубу меньше, чем через
большую?
4) Мастер может сделать х одинаковых деталей за 2 ч, а его ученик
– за 3 ч. На сколько производительность мастера больше
производительности ученика?
Что ты замечаешь? Составь задачу с другими величинами,
имеющую такую же математическую модель.
№ 2. Среди данных задач найди задачи, математические модели
которых совпадают:
1) Расстояние от села Михайловка до деревни Зайцево а км, а от
деревни Зайцево до города – в 2 раза больше. Грузовик проехал от
села Михайловка до города через Зайцево со скоростью b км/ч.
Сколько времени он был в пути?
2) Ширина прямоугольника а м, а длина – в 2 раза больше. Длину
уменьшили на b м. Чему стала равна площадь прямоугольника?
3) За b ч работы один автомат закрывает а банок, а другой – в 2 раза
больше. Сколько банок закроют они вместе за 1 ч, если будут
работать с той же производительностью?
4) Во дворе гуляют а мальчиков, а девочек – в 2 раза больше. Для
игры все дети разбились на команды по b человек в каждой.
Сколько получилось команд?
4
5. № 3. Найди выражение, которое является правильным
переводом задачи на математический язык.
а) Из с м шёлка сшили 7 одинаковых платьев. Сколько метров
шёлка потребуется на 12 таких платьев?
1) (с:7):12; 2) ( с : 7 ) ⋅12; 3) 12:(с:7); 4)
( с ⋅ 7 ) ⋅12.
б) Вертолёт пролетел за 3 ч d км. За сколько часов он пролетит с
той же скоростью n км?
1) n:(d:3); 2) ( d : 3) ⋅ n; 3) (d:3):n; 4) n : ( d ⋅ 3).
в) В одном альбоме х марок наклеено на 10 страниц поровну. В
другом альбоме наклеено y марок и на каждой странице на 4 марки
меньше, чем в первом альбоме. Сколько страниц занято марками во
втором альбоме?
1) (x:10-4):y; 2) x:10+y:4; 3) (x-y-4):10; 4) y:(x:10-4).
№ 4. Построй математическую модель задачи и найди ответ:
1) Квартира состоит из 3 комнат общей площадью 42 м 2. Первая
комната по площади в 2 раза меньше второй, а вторая – на 3 м 2
больше третьей. Чему равна площадь каждой комнаты в этой
квартире?
2) За книгу, ручку и тетрадь Саша заплатил 270 р. Ручка в 3 раза
дороже тетради и на 25 р. дешевле книги. Сколько стоит тетрадь?
3) Мотоциклист проехал расстояние между двумя городами, равное
980 км, за 4 дня. В первый день он проехал на 80 км меньше, чем во
второй день, в третий день – половину расстояния, пройденного за
первые два дня, а в четвёртый день – оставшиеся 140 км. Какое
расстояние проехал мотоциклист в третий день?
4) Периметр четырёхугольника равен 46 дм. Первая его сторона в 2
раза меньше второй и в 3 раза меньше третьей стороны, а четвёртая
сторона на 4 см больше первой стороны. Чему равны длины сторон
этого четырёхугольника?
№ 5. Построй математическую модель задачи, обозначая одну
из неизвестных величин буквой х, и найди ответ:
5
6. 1) Турист предполагал пройти маршрут длиной 60 км с некоторой
скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость на маршруте
оказалась на 1 км/ч меньше, и турист прибыл в конечный пункт на 2 ч
позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошёл турист свой
маршрут?
2) Увеличив скорость прохождения дистанции с 250 м/мин до 300
м/мин, спортсмен стал пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Чему
равна длина дистанции?
3) Машинистке надо перепечатать рукопись. Она рассчитала, что,
печатая в час 8 страниц, она закончит работу на 4 ч раньше, чем если
будет печатать в час по 6 страниц. Сколько страниц в рукописи?
4) Спортсменов сначала построили в ряды по 6 человек, а затем
переставили в ряды по 4 человека. При этом число рядов увеличилось
на 2. Сколько было спортсменов?
5) Отцу 29 лет, а дочери 5 лет. Через сколько лет отец будет втрое
старше дочери?
6) Бабушке 61 год, а внуку 17 лет. Сколько лет назад бабушка была
старше внука в 5 раз?
7) На одном складе было 120 т угля, а на другом 96 т. С первого
склада ежедневно вывозили по 6 т угля, а со второго – по 3 т. Через
сколько дней на обоих складах угля оказалось поровну?
8) В одном баке 46 л машинного масла, а в другом 72 л. Из первого
бака ежедневно берут по 3 л масла, а из второго – по 1 л. Через
сколько дней во втором баке останется в 6 раз больше масла, чем в
первом?
№ 6. Переведи на математический язык высказывание тремя
разными способами:
1) m на 5 больше, чем n; 3) a на 9 меньше, чем b;
2) c в 7 раз меньше, чем d; 4) x в 3 раза больше, чем y.
№ 7. Обозначая цифру десятков двузначного числа буквой х, а
цифру единиц – буквой y, запиши на математическом языке условие
задачи:
1) Найти двузначное число, которое в 2 раза больше суммы своих
цифр.
7. 2) Найти двузначное число, которое на 26 больше произведения своих
цифр.
3) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то
получится число на 18 большее, чем исходное. Какое число задумано?
4) Если цифры задуманного двузначного числа поменять местами, то
получится число на 27 меньшее, чем исходное. Какое число задумано?
№ 8. Продолжи каждый из рядов на 4 числа, сохраняя
закономерность:
1) 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0… 3) 1, 9, 3, 11, 5, 13…
2) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7… 4) 5, 6, 15, 12, 25, 18…
№ 9. Сколько различных чисел можно составить из цифр 5, 4, 7, 0,
если цифры в записи числа не повторяются?
№ 10. Какой цифрой оканчивается произведение 21 множителя,
каждый из которых равен n, если n=5, 6, 4, 2, 3? А если множителей
1221?
1.2 Делимость произведения чисел
№ 11. Не вычисляя произведения, установи, делится ли оно на
данное число.
1) 508 ⋅12 на 3; 4) 45 ⋅ 26 ⋅ 36 на 15;
2) 85 ⋅ 3719 на 5; 5) 210 ⋅ 29 на 3 и на 29;
3) 2510 ⋅ 74 на 37; 6) 3800 ⋅ 44 ⋅ 18 на 11, 100 и 9.
№ 12. Подбери три значения х так, чтобы произведение:
1) 3х делилось на 5; 3) 9х делилось на 6;
2) 12х делилось на 7; 4) 8х делилось на 14.
№ 13. Докажи или опровергни утверждение:
1) Если число делится на произведение двух чисел, то оно делится и
на каждое из этих чисел.
2) Если число делится на два других числа, то оно делится и на их
произведение.
7
8. 3) Если произведение двух чисел делится на данное число, то и
каждый множитель делится на это число.
№ 14. Какие делители произведения 3 ⋅ 25 ⋅ 62 ты можешь назвать?
№ 15. Как можно произведение делить на число? Раздели на 9
произведение:
1) 28 ⋅ 9 ⋅ 35 ; 3) 76 ⋅ 512 ⋅ 360 ; 5) 4500 ⋅ 7 ⋅ 398 ;
2) 18 ⋅ 752 ⋅ 800 ; 4) 155 ⋅ 810 ⋅ 34 ; 6) 83 ⋅ 63000 ⋅ 98 .
№ 16. Найди значение частного:
1) (12abc ) : 4 ; 4) ( 45xyz ) : 9 ; 7) ( 270mnkt ) : 3 ;
2) (12abc ) : 12 ; 5) ( 45xyz ) : 45 ; 8) ( 270mnkt ) : 270
;
3) (12abc ) : b, b ≠ 0 ; 6) ( 45 xyz ) : x, x ≠ 0 ; 9)
( 270mnkt ) : k , k ≠0
№ 17. Выполните деление:
1) (12 xy ) : ( 2 x ) ; 2) (14ab ) : ( 7b ) ; 3) ( 45mn ) : ( 5m ) ; 4) ( 24cd ) : ( 6d ) .
Какое условие здесь необходимо указать?
№ 18. Запишите все делители произведений 6ab; 8xyz.
№ 19. На вопрос: «Сколько среди двузначных чисел таких, у
каждого из которых сумма цифр равна 9?» - Стёпа Верхоглядкин стал
перебирать все двузначные числа подряд, отбирая нужные ему.
Покажи ему более краткий способ решения этой задачи.
№ 20. Жители города А говорят только правду, жители города Б –
только ложь, а жители города В – попеременно
правду и ложь. Дежурному по пожарной части из
одного из этих городов по телефону сообщили:
- У нас пожар, приезжайте скорее!
- Где? – спросил дежурный.
- В городе В, - ответили ему.
8
9. Куда должна ехать пожарная машина, если пожар в одном из этих
городов действительно был?
1.3 Делимость суммы и разности чисел
№ 21. Определи истинность высказывания:
1) 4500+25 делится на 5; 3) 888888 − 19 ⋅ 320 делится на 8;
2) 13000-26 делится на 13; 4) 171717 + 2 ⋅ 34 делится на 17.
№ 22. Какими способами можно делить сумму и разность на
число?Найди частное:
1) (9a+24b):3; 3) (4mn-96):2; 5) (68a-4b+36):4;
2) (60x-48y):6; 4) (49+7dc):7; 6) (20xy+45-5k):5
№ 23. Каким может быть НОД:
а) двух соседних чисел; б) двух последовательных нечётных чисел;
в) двух последовательных чётных чисел?
№ 24. Объясни, почему выражение не делится на 5:
1) 450 +14; 2) 121-35; 3) 5х-96; 4) 5551+25y.
№ 25. Определи истинность высказываний:
1) 49+63 делится на 7; 5) 77+88+99 делится на 11;
2) 930-754 делится на 10; 6) 222222-56 делится на 111;
3) 3637+72 делится на 36; 7) 15015015-60 делится на 15;
4) 3637+71 делится на 36; 8) 252525+624 делится на 25.
№ 26. К задуманному числу прибавили 3, сумму умножили на 4, а
затем прибавили 5. Может ли результат равняться 666 666?
№ 27. а) Даны 2008 чётных чисел. Является ли их сумма простым
числом?
б) Даны 2008 нечётных чисел. Является ли их сумма простым числом?
№ 28. Приведи контрпример, опровергающий утверждение:
9
10. 1) Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма не
делится на это число.
2) Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма
делится на это число.
Сравни оба утверждения. Закончи предложение так, чтобы
получилось истинное высказывание: «Если ни одно слагаемое не
делится на данное число, то…»
№ 29. Сколько чисел от 1 до 100 таких, каждое из которых делится
на 3, но в своей записи не имеет ни одной тройки?
№ 30. Определи, какие цифры надо поставить вместо букв А и Б,
чтобы получилось верное равенство: АБ ⋅ А ⋅ Б = БББ .
1.4 Чётность при решении задач
№ 31. Что можно сказать о двух числах, если известно, что:
а) их сумма чётна; г) их сумма нечётна;
б) их произведение чётно; д) их произведение нечётно;
в) их сумма и произведение е) их сумма и произведение
чётны; нечётны?
№ 32. В последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … каждое
число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Каких
чисел больше среди первых 12 чисел этой последовательности –
чётных или нечётных? Чётным или нечётным является число, стоящее
в последовательности под номером: а) 15; б) 96; в) 100?
№ 33. Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали на 7,
или на 9 частей. Некоторые из образовавшихся частей разорвали или
на 7, или на 9 частей и так несколько раз. Можно ли после нескольких
таких операций получить 100 частей?
№ 34. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается
прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько
ходов получить 4 равных числа?
10
11. № 35. В 6 коробочках лежат деньги. В первой 1 р., во второй 2 р., в
третьей 3 р. и т.д., в шестой 6 р. За один ход разрешается в любые две
коробочки добавить по 1 р. Можно ли за несколько ходов уравнять
суммы в коробочках?
№ 36. Какие из фигур, изображённых на рисунке, нельзя
нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по линии
дважды?
№ 37. Экскурсоводу нужно выбрать маршрут по залам музея так,
чтобы обойти все залы, не проходя ни через одну дверь дважды. Где
нужно начать и где закончить осмотр? Найдите один из возможных
маршрутов.
1
№ 38. Вода при замерзании увеличивается на своего объёма. На
11
какую часть своего объёма уменьшается лёд при обратном
превращении в воду?
№ 39. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили, какова масса
пойманной рыбы, он сказал: «Я думаю, что хвост её весит 1 кг, голова
– столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище – сколько
голова и хвост вместе». Какова масса этой рыбы?
№ 40. Разделив некоторое целое число на 15, Боря получил в
остатке 8, а разделив его на 20, он получил в остатке 17. Покажи, что
Боря ошибся.
11
12. 1.5 Признаки делимости чисел
№ 41. Запиши:
а) Наименьшее пятизначное число, кратное 10, сумма цифр которого
равна 12.
б) Наибольшее семизначное число, кратное 1000, сумма цифр
которого равна 15.
№ 42. При каких значениях переменных x и y значение выражения
12x+45y:
а) делится на 2; в) делится на 2 и на 5;
б) не делится на 5; г) не делится ни на 2, ни на 5.
№ 43. Какие остатки получаются при делении числа 27628: а) на 10;
б) на 100; в) на 1000; г) на 2; д) на 5? Как решить эту задачу, не
производя деления?
№ 44. Из чисел от 1 до 252 выбросили все числа, делящиеся на 2, но
не делящиеся на 5, и все числа, делящиеся на 5, но не делящиеся на 2.
Сколько осталось чисел?
№ 45. Ковбой Джо зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски
за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табака и 9 коробок
непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал
с него 14 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен
пересчитал и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен
пытался его обсчитать?
№ 46. 1) Между какими двумя последовательными числами,
кратными 3, заключено каждое из чисел: 317, 523, 619? Какие
получаются остатки при делении этих чисел на 3?
2) Найди остатки от деления на 3 чисел: 25966, 527408, 1387915.
№ 47. Какую цифру можно приписать к числу 3 слева и справа для
того, чтобы полученное трехзначное число делилось на 12?
12
13. № 48. Найди дробь, у которой числитель меньше знаменателя и
которая не изменится, если её запись перевернуть «вверх ногами».
№ 49. Из дома в школу Саша вышел на 3 мин позже своей сестры,
но шёл в 1,5 раза быстрее неё. Через сколько минут он её догнал?
№ 50. Докажи, что если к трёхзначному числу приписать справа
(или слева) то же самое число, то полученное шестизначное число
будет кратно 11.
Глава 2. ЯЗЫК И ЛОГИКА
2.1 Высказывания.
№ 51. Среди данных предложений найди высказывания укажи в них
тему и рему:
а) Когда заканчиваются летние г) Каир – столица Египта.
каникулы? д) Сумма пяти и восемнадцати.
б) Учебный год в России е) Трижды восемь – двадцать
начинается 1 сентября. восемь.
в) Какая красота!
№ 52. Найди в высказываниях тему и рему. Какие из этих
высказываний истинны, а какие – ложны?
а) В каждом январе 31 день.
б) В каждом феврале 28 дней.
в) Следующий день после воскресенья – вторник.
г) В неделе 7 дней.
д) В слове «определение» 6 слогов.
е) Слово «дерево» является глаголом.
ж) В слове «учащийся» окончанием является «ся».
з) Сумма всех десяти цифр равна 45.
и) Всякое трёхзначное число больше 100.
к) Существует наибольшее пятизначное число.
л) Существует наибольшее натуральное число.
м) Существует наименьшее натуральное число.
13
14. 8
н) На рис. закрашено квадрата.
15
№ 53. Придумай одно истинное и одно ложное высказывание.
Приведи пример предложения, которое высказыванием не является.
№ 54. Определи истинность высказываний и запиши их с помощью
знаков > < ≥ ≤:
, , ,
а) 3 меньше 5. г) 3 не больше 5.
б) 3 больше 5. д) 3 больше или равно 5.
в) 3 меньше или равно 5. е) 3 не меньше 5.
№ 55. Определи истинность высказываний. Прочитай
высказывания третьего столбика разными способами:
1) 12+17=29; 5) 12+17=28; 10) 12 +17 ≤ 29;
2) 12 +17 ≠ 29; 6) 12 +17 ≠ 28; 11) 12 +17 ≥ 28;
3) 12+17>29; 7) 12+17>28; 12) 12 + 17 ≤ 28.
4) 12+17<29; 8) 12+17<28;
9) 12 +17 ≥ 29;
№ 56. Истинными или ложными высказываниями становятся
следующие предложения при указанных значенияx x и y?
а) 12x-35y=1 при x=3, y=1; г) x+2y<649 при x=8, y=320;
б) 14x-26y>27 при x=6, y=3; д) 5 x − 6 y ≥ 28 при x=8, y=2;
в) 2x-y=1 при x=14, y=5; е) 3 x + y ≤ 210 при x=60, y=25.
№ 57. Какие из следующих высказываний истинны? Как можно их
доказать или опровергнуть?
а) Муж и жена имеют одинаковую фамилию.
б) В начальной школе учителя всегда женщины.
в) У каждого человека есть родители.
г) Император Пётр Великий перенёс столицу России из Москвы во
Владимир.
д) Президент Российской Федерации – высшая государственная
должность в России.
е) Картину «Богатыри» написал художник В.М.Васнецов.
ж) Строки «Москва, Москва!.. Люблю тебя, как сын, как русский, -
сильно, пламенно и нежно!» принадлежат М.Ю.Лермонтову.
14
15. з) По крайней мере у трёх великих немецких композиторов-классиков
фамилии начинаются с буквы «Б».
№ 58. Когда «послезавтра» станет «вчера», то «сегодня» будет так
же далеко от воскресенья, как тот день, который был «сегодня», когда
«вчера» было «завтра». Какой сегодня день недели?
№ 59. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой кошке
досталось 5 галет, а каждой собаке - 6. Сколько было собак и сколько
кошек?
№ 60. Может ли быть верным равенство К ⋅ О ⋅ Т = У ⋅ Ч ⋅ Е ⋅ Н ⋅ Ы ⋅ Й ,
если в него вместо букв поставить цифры от 1 до 9?
2.2 Общие утверждения
№ 61. Какие из следующих утверждений являются общими
утверждениями?
1) Человек существует не изолированно, а находится в тесной связи с
миром природы.
2) Некоторые виды растений и животных занесены в Красную книгу.
3) Продолжительность жизни звезды зависит от её массы.
4) Все планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца в
одном направлении.
5) Некоторые созвездия названы именами животных.
6) У каждой реки есть исток.
7) Все реки впадают в Каспийское море.
8) Некоторые произведения А.С.Пушкина написаны в прозе.
9) Голос любого человека имеет свои особенности звучания.
10) В некоторых аккордах звуки располагаются по терциям.
11) Блок-схемы задают последовательность операций в программе.
12) В некоторых странах весной стрелки часов переводят на час
вперёд.
15
16. № 62. Приведи примеры истинных и ложных общих высказываний
из области математики, русского языка, географии, астрономии,
спорта, жизни класса.
№ 63. Приведи контрпример к каждому из следующих
утверждений:
а) Все натуральные числа больше единицы.
б) Любое натуральное число делится на 2.
в) Всякое число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 5.
г) Все города России находятся в Европе.
д) Все города Европы находятся в России.
е) В каждом месяце не меньше 30 дней.
ж) Существительные, оканчивающиеся буквой «е», всегда среднего
рода.
з) В русском языке подлежащее в предложении всегда является
существительным.
№ 64. Четверо ребят – Игорь, Серёжа, Миша и Юра – играли во
дворе в футбол и разбили окно.
- Кто разбил окно? – спросила тётя Даша.
- Окно разбил или Юра, или Миша, - сказал
Серёжа.
- Я окно не разбивал, - возразил Юра.
- Это сделал Миша, - сказал Игорь.
- Нет, Игорь, ты ошибся, - заметил Миша.
- Ну что, задали они тебе задачу? – подытожил
дядя Вася. – Могу ещё добавить, что трое из этих футболистов всегда
говорят только правду. А вот четвёртого я плохо знаю.
Кто разбил окно? С кем из ребят дядя Вася был мало знаком?
№ 65. На некотором острове отдельными
селениями живут два племени, «правдолюбы» и
«лжецы». «Правдолюбы» всегда говорят только
правду, а «лжецы» - всегда только неправду.
Жители одного племени бывают в селении
другого племени, и наоборот. В одно из селений
16
17. попал путешественник, но не знает, в какое. Он задал один вопрос
первому встречному и сразу установил, где он находится. Что он
спросил?
№ 66. Рассудительная Оля записала некоторое трёхзначное число,
затем нашла сумму его цифр и записала результат, дальше нашла
сумму цифр последнего числа и записала результат. Все эти три числа
можно записать так:
Восстанови запись чисел, которую выполнила Оля.
№ 67. Наблюдательный Юра заметил, что если в двузначное число,
выражающее расстояние в километрах, которое он сегодня проехал,
вставить нуль между цифрами десятков и единиц, то получится число,
в 9 раз большее исходного. Какое расстояние сегодня проехал Юра?
№ 68. В 5 ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из
каждого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько
яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в
каждом ящике?
№ 69. Учитель проверил работы трёх учеников – Андрея, Виталия и
Сергея, но работ с собой не взял. Ученикам же он сказал так: «Все вы,
ребята, написали работы на разные оценки: 3, 4 и 5. У Сергея оценка
не 5, У Виталия оценка не 4, а вот у Андрея – 4». Оказалось, что
ребята действительно получили разные оценки. Но учитель ошибся в
том, кто какую оценку получил, и только одному ученику назвал её
правильно. Какую оценку получил каждый из учеников за
контрольную работу?
№ 70. В числе 92 574 063 зачеркни три цифры так, чтобы
оставшиеся 5 цифр в той же последовательности образовывали: 1)
наибольшее число; 2) наименьшее число.
2.3 «Хотя бы один»
№ 71. Среди приведённых ниже высказываний найди общие
утверждения, высказывания типа «хотя бы один» и высказывания,
не относящиеся к этим двум видам утверждений.
1) Можно найти существительное, состоящее из 7 различных букв.
2) В доме может быть больше 10 этажей.
17
18. 3) Некоторые люди носят очки.
4) У кошки 4 ноги.
5) Иногда шторм длится более 5 дней.
6) Есть люди, которые не умеют плавать.
7) Некоторые медведи зимой не спят.
8) Акулы – хищные рыбы.
9) Вороны иногда остаются зимовать в городе.
10) В пустыне сахара иногда идёт дождь.
11) На Южном полюсе температура воздуха всегда отрицательная.
12) Император Франции Наполеон I умер в 1815 году.
№ 72. Придумай различные способы формулировки высказываний:
1) Все птицы имеют крылья. 2) Некоторые птицы не умеют летать.
№ 73. Докажи следующие утверждения:
1) Некоторые числа больше семи.
2) Существуют числа, кратные пяти.
3) Можно найти число, при делении которого на 6 получится 9.
4) Сумма двух правильных дробей может быть неправильной дробью.
5) Число, делящееся на 12, может не делиться на 8.
6) Существует трёхзначное число, большее 995.
7) Некоторые делители числа 28 – нечётные числа.
8) Существует число, кратное одновременно 8 и 12.
№ 74. Правильно ли проведено доказательство утверждений?
1)Все натуральные числа делятся на 7: например, 14:7=2.
2) Существуют чётные числа, кратные 3: например, 26 кратно 3.
3) В русском языке некоторые глаголы начинаются с буквы «и»:
например, «игрушка» начинается с буквы «и».
4) Все имена существительные в русском языке состоят из 5 букв:
например, существительное «книга» состоит из 5 букв.
№ 75. Докажи или опровергни утверждения:
1) Все числа кратны десяти.
2) Любое число, оканчивающееся цифрой 3, делятся на 3.
18
19. 3) Сумма цифр двузначного числа не может быть больше
произведения его цифр.
4) Существует натуральное число х такое, что 18-4х=6.
5) Некоторые решения неравенства 2 < x ≤ 7 являются чётными
числами.
6) Каждый делитель числа 10 является делителем числа 12.
№ 76. Витя нашёл такое наименьшее из возможных натуральных
чисел, при умножении которого на 2 получается точный квадрат, а
при умножении на 3 – точный куб. Какое это число?
№ 77. Прекрасная принцесса Турандот дала принцу Калафу такое
задание: разложить все 28 косточек домино в 4 кучки так, чтобы
суммы очков в кучках были четырьмя последовательными простыми
числами. Если принц выполнит задание, то прекрасная Турандот
станет его женой, а если нет – ему отрубят голову. Помоги принцу
справиться с заданием!
№ 78. Докажи или опровергни утверждение: «Разность между
трёхзначным числом и суммой его цифр всегда делится на 9».
№ 79. Разгадай ребусы:
№ 80. Загадка-анекдот:
По Шотландии в одном купе едут два пассажира. Один из них,
поглядев в окно, удивился.
- Смотрите! – воскликнул он. – В Шотландии, оказывается, овцы
чёрные!
- Отнюдь нет, - ответил попутчик. – В Шотландии есть хотя бы одна
овца, у которой хотя бы один бок чёрный. Кто из них лучше знает
математику?
2.4 О доказательстве общих утверждений
19
20. № 81. Докажи методом перебора следующие утверждения:
1) При делении на 9 любого числа из множества {20, 56, 101} в
остатке получается 2.
2) Все числа из множества {273, 343, 1505} делятся на 7.
3) Число 37 является делителем всех чисел из множества {222, 333,
555}.
4) Все числа из множества {1001, 10011001, 10011001} кратны 7, 11 и
13.
5) Каждая фигура на рис. имеет ось симметрии.
6) Все фигуры, изображённые на рис., можно начертить одним
росчерком.
№ 82. Докажи или опровергни следующие утверждения:
1) Все летние месяцы состоят из 31 дня.
2) Каждая звонкая согласная русского алфавита имеет парную глухую
согласную
3) При переводе в неправильную дробь любого смешанного числа из
7 11 8 5
множества 2 ;4 ;5 ;13 в числителе получается 83.
8 18 15 6
22 42 58 94
4) Все элементы множества ; ; ; удовлетворяют
9 19 27 23
4 1
неравенству 2 ≤ х ≤ 3 .
31 9
5) Уравнение х(х-5)(х-7)(х+11)=0 имеет натуральные корни.
6) Между числами 200 и 220 имеется 6 чисел, кратных 3.
7) В множестве чисел от 40 до 50 каждое число имеет больше двух
делителей.
8) 49 шаров можно уложить в виде квадрата так, как показано на рис.
для 4, 9, 16 шаров:
20
21. 9) 100 шаров можно уложить в виде равностороннего треугольника
так, как показано на рис. для 6, 10, 15 шаров:
№ 83. Придумай высказывание общего вида об элементах конечного
множества. Докажи или опровергни его методом перебора.
№ 84. Любую из звёздочек в записи 5*5*5*5 можно зачеркнуть или
поставить вместо неё знак умножения. Какое из полученных
числовых выражений имеет наибольшее значение?
№ 85. По конституции Федерации Бусирия каждая из входящих в её
состав 12 республик должна иметь свой, отличный от других флаг,
состоящий из трёх продольных или трёх поперечных полос различных
цветов – красного, жёлтого или синего. Может ли тринадцатая
республика войти в состав Федерации?
№ 86. Пифагор Самосский (около 570 – 490 гг. до н.э.)
Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того
учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, -
отвечал Пифагор. – Половина моих учеников
изучает прекрасную математику, четверть
исследует тайны вечной природы, седьмая часть
упражняет силу духа, храня в сердце учение.
Добавь ещё к ним трёх юношей, из которых
Теон превосходит прочих своими
способностями. Столько учеников веду я к
рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?
21
22. № 87. В семье шестеро детей, причём возраст каждого ребёнка в
годах выражается числом, делящимся только на само себя и на
единицу. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и на 14 лет
старше самого младшего. Сколько лет младшему?
№ 88. Перемножив 4 простых последовательных числа, Нина
получила в результате число, цифра единиц которого 0. Какие числа
она перемножила и какой получила результат?
№ 89. Чтобы войти в замок Арифмос, надо набрать шифр: записать
последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых
простых чисел натурального ряда. В полученном многозначном числе,
не переставляя цифры, вычеркнуть половину цифр так, чтобы
оставшиеся выражали: а) наименьшее возможное число; б)
наибольшее. Какие это числа?
№ 90. Барон Мюнхаузен утверждал, что ему удалось найти такое
натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552.
Покажи, что он сказал неправду.
2.5 Введение обозначений
№ 91. Докажи, что сумма пяти последовательных натуральных
чисел делится на 5.
№ 92. Докажи, что для натуральных чисел верны утверждения:
а) Сумма двух чётных чисел - число чётное.
б) Сумма любых двух соседних чисел – число нечётное.
в) Разность чётного и нечётного числа – число нечётное.
г) Произведение любых двух соседних чисел – число чётное.
№ 93. Заполни пробелы так, чтобы получившиеся утверждения
были верны на множестве натуральных чисел. Докажи их.
а) Сумма чётного и нечётного числа – число ______________________
б) Сумма любых двух нечётных чисел – число ____________________
в) Разность любых двух нечётных чисел – число __________________
г) Произведение чётного и нечётного числа – число _______________
22
23. № 94. Докажи или опровергни следующие утверждения на
множестве натуральных чисел:
а) Если разность двух чисел чётна, то их сумма чётна.
б) Если разность двух чисел нечётна, то их сумма нечётна.
в) Если сумма двух чисел чётна, то они оба чётны.
г) Если сумма двух чисел чётна, то они оба нечётны.
д) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них чётно.
е) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них нечётно.
№ 95. Заполни пробелы и докажи получившиеся утверждения:
1) Если делимое увеличить в 3 раза, а делитель оставить без
изменения, то частное...
2) Если делимое уменьшить в 2 раза, а делитель оставить без
изменения, то частное..
3) Если делитель увеличить в 2 раза, а делимое оставить без
изменения, то частное...
1) Если делимое и делитель разделить на одно и то же число,
отличное от нуля, то частное…
№ 96. Докажи, что:
1) Если каждое из двух чисел делится на 3, то их сумма делится на 3.
2) Если одно из двух чисел делится на 5, то и их произведение делится
на 5.
3) Если одно из чисел делится на 4, а другое нет, то их сумма не
делится на 4.
1) Если одно из чисел делится на 6, а другое нет, то их разность не
делится на 6.
№ 97. Из арифметики Л.Ф.Магницкого (1703 г.)
Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, т.к. хочу
отдать тебе в учение своего сына?». Учитель ответил: «Если придёт
ещё учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четвёртая
часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается,
сколько было у учителя учеников?
№ 98. Расшифруй ребус (АР)М=МИР.
23
24. № 99. При каких натуральных n число 8n+3 делится на 13?
№ 100. Дед вдвое сильнее бабки, бабка втрое сильнее внучки,
внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее кошки,
кошка вшестеро сильнее мышки. Дедка, бабка, внучка, Жучка и кошка
вместе с мышкой могут вытащить репку, а без мышки - не могут.
Сколько надо позвать мышек, чтобы они смогли сами вытащить
репку?
2.6 Равносильность предложений
№ 101. Запиши с помощью знака равносильности признаки
делимости на 9 и на 5. Прочитай полученные утверждения разными
способами.
№ 102. Докажи с помощью контрпримера, что следующие
утверждения не являются равносильными:
а) «Все кошки четвероногие» и «Все четвероногие – кошки».
б) «Число х делится на 2» и «Число х оканчивается на 2».
в) «Число х делится на 7» и «Число х оканчивается на 7».
г) «Число а делится на b» и «Число b делится на а».
д) «Сумма чисел а и b делится на с» и «Одно из чисел а и b делится на
с».
е) «Произведение аb делится на с» и «Одно из чисел а и b делится на
с».
ж) «х2-1=3» и «х+2=7».
з) «y-3<1» и « y ≤ 4 ».
№ 103. Какие из следующих утверждений верны?
1) a − b = c ⇔ c + a = b . 2) a − b = c ⇔ c + b = a .
3) Число х в 2 раза больше y ⇔ x = y + 2 . 4) Число х в 2 раза больше y
⇔ x = 2y .
2
5) Число d составляет числа k ⇔ d = k : 2 ⋅ 7 .
7
6) Число m составляет 30% числа n ⇔ m = n : 100 ⋅ 30 .
7) Число 5 принадлежит пересечению множеств А и В ⇔5 ∈ А и 5 ∈В.
24
25. 8) Число 5 принадлежит объединению множеств А и В
⇔5 ∈А или 5 ∈В.
9) Прямые l и p параллельны ⇔ Прямые l и p не имеют общих точек.
10) Прямые l и p перпендикулярны ⇔ Прямые l и p пересекаются.
11) 3(х+1)=2х+5 ⇔ 3х+3=2х+5. 12) 4х+3=7 ⇔ х=1.
№ 104. Используя знак равносильности, запиши решения уравнений:
1) 2a-3=25; 3) (80-c):8=7;
2) 34+18:b=43; 4)k+4k+6k=55.
№ 105. Запиши в виде равенств утверждения, равносильные
следующим:
1) Число а на 3 больше числа b.
2) Число c на 9 меньше числа d.
3) Число x в 4 раза больше числа y.
4) Число z в 5 раз меньше числа k.
5) При делении числа а на число b получается в частном с и в остатке
r.
№ 106. В следующих предложениях поменяй местами тему и рему
и определи, получится ли после этого равносильное предложение:
а) Все деревья имеют корни.
б) Всякое натуральное число, делящееся на 2, является чётным.
в) Всякое натуральное число, оканчивающееся на 5, делится на 5.
г) Дробь является неправильной, если она больше или равна 1.
№ 107. Океанологи, проводя исследования в специально
огороженной части водоёма, выловили сетью 80 рыбин, пометили их
и снова выпустили. На второй день они поймали 80 рыбин, среди
которых оказалось 5 помеченных. Сколько всего рыбин в запруде,
если помеченная рыба равномерно распределяется с остальной?
№ 108. В сказочной стране Пера-Терра среди прочих обитателей
проживают Карабасы и Барабасы. Каждый Карабас знаком с девятью
Барабасами, а каждый Барабас знаком с десятью Карабасами. Кого в
этой стране больше – Карабасов или Барабасов?
25
26. № 109. Тётушке Маше на 3 года меньше, чем Саше вместе с его
ровесником Пашей. Сколько лет было Саше в то время, когда тётушке
Маше было столько, сколько сейчас Паше?
№ 110. Сравни дроби:
41 411 200200201 300300301
а) и ; б) и .
61 611 200200203 300300304
2.7 Определения
№ 111. Прочитай определения и назови определяемые понятия.
1) Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.
2) Ломаной называется фигура, которая состоит из точек плоскости и
последовательно соединяющих их отрезков таких, что никакие два
отрезка с общим концом не лежат на одной прямой.
3) Каждый из отрезков, составляющих ломаную, называется звеном
ломаной, а концы этих отрезков – вершинами ломаной.
4) Замкнутая ломаная линия без самопересечений называется
многоугольником, а её звенья - сторонами многоугольника.
5) Четырёхугольником называется многоугольник с 4 сторонами.
6) Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все
углы прямые.
7) Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны
равны.
8) Многоугольник называется правильным, если у него все стороны
равны и все углы равны.
№ 112. Ответить на вопрос «Что такое?» на математическом
языке означает дать соответствующее определение. Что такое:
1) квадрат числа; 3) неправильная дробь; 5) час;
2) километр; 4) минута; 6) двузначное число?
№ 113. Прочитай определения и назови определяемые понятия и
понятия, на которых основываются эти определения. Сделай
чертежи.
1) Лучом называется часть прямой, ограниченная только одной
точкой. Эта точка принадлежит лучу и называется его началом.
26
27. 2) Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя
лучами с общим началом.
1
3) Градус – это угол, равный части развёрнутого угла.
180
№ 114. Отгадай по рис. значения математических терминов и
сформулируй свои варианты соответствующих определений:
а) Какие из прямых, изображённых на рис., являются касательными
к окружности, а какие – секущими?
б) На каких рис. изображён треугольник, вписанный в окружность, а
на каких – окружность, вписанная в треугольник?
в) На каких рис. изображён треугольник, описанный вокруг
окружности, а на каких – окружность, описанная вокруг
треугольника?
№ 115. На рис. изображена группа людей, связанных семейными
отношениями. Горизонтальные отрезки обозначают отношение
«муж – жена», а все остальные отрезки – отношение «дети –
родители». Заполни пропуски в предложениях:
1) Полина – мать … 9) Юрий – муж … 17) Ирина – свекровь …
27
28. 2) Юрий – отец … 10) Ирина – жена … 18) Семён – свёкор …
3) Иван – сын … 11) Пётр – дед … 19) Иван – зять …
4) Ольга – дочь … 12) Мария – бабушка ...20) Полина – невестка …
5) Дмитрий – внук … 13) Олег – дядя … 21) Олег – деверь …
6) Наташа – внучка …14) Вера – тётя … 22) Сергей – шурин …
7) Сергей – брат … 15) Михаил – тесть … 23) Вера – золовка …
8) Анна – сестра … 16) Елена – тёща … 24) Ольга – свояченица…
Определения:
Тесть – отец жены. Золовка – сестра мужа.
Тёща – мать жены. Свояченица – сестра жены.
Свёкор – отец мужа. Зять – муж дочери или муж
Свекровь – мать мужа. сестры.
Деверь – брат мужа. Невестка – жена сына или жена
Шурин – брат жены. брата.
№ 116. В одном классе обучается меньше чем 50 учащихся. На
1
улице Циолковского проживает учащихся этого класса, на
7
28
29. 1 1
Ильмен-Тау - , на пр. Макеева - и на улице Октября –
3 2
остальные ученики. Сколько учеников проживает на улице Октября?
№ 117. «Ну, погоди!» - зарычал Волк, заметив в 30 м Зайца, и
бросился за ним, когда тому оставалось бежать до места укрытия 250
м. Догонит ли Волк Зайца, если он пробегает за минуту 600 м, а Заяц –
550 м?
№ 118. Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами
так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?
№ 119. В коробке лежат 7
костяшек домино из одного
комплекта, но границ между
ними не видно. Нарисуй, где
проходят границы между
костяшками, и объясни свой ответ.
№ 120. Докажи истинность высказывания:
1 1 1
1) 1 + + + ... + < 4;
2 3 16
Глава 3. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
3.1 Задачи на проценты
№ 121. При выдаче наличных рублей по дорожным чекам American
Express, выписываемых в долларах, банк удерживает 2% в качестве
комиссионных. Какую сумму получит клиент в рублях, если он
предъявит чеки на 400 долларов и курс обмена составит 33,5 р. за
доллар?
№ 122. Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты
налогов и процентов по кредитам, составляющим в сумме 25% от
начисленной зарплаты, работник получил 12000 р.?
29
30. № 123. Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на
18%, а затем на 20% и составила 3280 р. Какой была цена на эти
фотоаппараты в начале месяца?
№ 124. В 10-х классах учится 100 человек. Успеваемость составляет
85% от количества учеников. Сколько процентов составит
успеваемость в случае, если: а) придут ещё 10 двоечников; б) придут
10 отличников? Ответ округли с точностью до десятых.
№ 125. В двух магазинах были одинаковые цены. В одном магазине
их сначала понизили на 15%, а потом повысили на 10%, а в другом –
сначала повысили на 10%, а потом понизили на 15%. В каком
магазине выгоднее купить товар?
№ 126. Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом
растворе содержится 12 г соли, а во втором – 15 г соли. Чему равна
концентрация этих растворов? Какой будет концентрация, если эти
растворы смешать?
№ 127. Смешали 200 г 10%-го сахарного сиропа и 300 г 20%-го
сахарного сиропа. Чему равна концентрация полученной смеси?
№ 128. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов
воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация соли
в ней увеличилась до 20%?
№ 129. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг
морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3% до 2%?
№ 130. Сколько надо заплатить за квартиру, если квартплата
составляет 1400 р., пеня – 0,1% от суммы квартплаты за день
просрочки и квартплата просрочена: а) на 5 дней; б) на 30 дней, в) на
120 дней?
30
31. 3.2 Сложный процентный рост
№ 131. Какая сумма будет на срочном счёте вкладчика через 4 года,
если банк начисляет доход в размере 10% годовых и внесённая сумма
равна 2000 р.?
№ 132. Банк начисляет 8% годовых, а внесённая сумма равна 5000
р. Какая сумма будет на счёте клиента банка через 5 лет при
начислении банком: а) простых процентов; б) сложных процентов?
№ 133. Какая сумма будет на срочном вкладе через 3 года, если на
него положены 2000 р. под 5% годовых?
№ 134. Первый срочный вклад равен 8000 р. под 10% годовых, а
второй – 7500 р. под 20% годовых. На каком из вкладов через 3 года
сумма будет больше и на сколько?
№ 135. Какой капитал надо вложить в паевой инвестиционный
фонд под 20% годовых, чтобы через 3 года получить вместе с
процентами 100000 р.? Ответ округли до тысяч.
№ 136. Начальный капитал клиента банка составил 25000 р.
Годовая процентная ставка банка 8%. Каким станет вклад через 2
года, если банк начисляет: а) простые проценты; б) сложные
проценты?
№ 137. В 1993 г. инфляция в России составляла 30% в месяц
(т.е.цены каждый месяц увеличивались на 30% от последнего
значения). На сколько процентов возросли цены за 4 месяца? Во
сколько раз увеличились цены за это время? Ответ округли до целых.
№ 138. За последние 3 года товарооборот фирмы снижается
ежегодно на 20% от товарооборота предыдущего года. На сколько
всего процентов снизился её товарооборот за эти 3 года?
31
32. № 139. Коммерческий банк выплачивает доход вкладчикам, исходя
из следующих годовых процентных ставок: 3 месяца – 4%; 6 месяцев
– 8,5%; 12 месяцев – 18%.
1) Какую сумму должен выплатить банк по вкладу, равному 2000 р.,
если договор заключён : а) на 3 мес.; б) на 6 мес.; в) на 12 мес.
2) Сколько процентов годового дохода можно получить, если в
течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его
действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3
месяца? Ответ округли до сотых.
№ 140. Имеются 4 куска проволоки длиной 18 см каждый. Как из
них сделать каркасную модель параллелепипеда с размерами 8 см, 4
см и 6 см, не разрезая этих кусков?
3.3 Задачи на совместную работу
№ 141. В городе есть искусственный водоём. Одна из труб может
заполнить его за 4 ч, вторая – за 8 ч, а третья – за 24 ч. За сколько
времени наполнится водоём, если открыть сразу 3 трубы?
№ 142. Два пешехода вышли одновременно из двух посёлков
навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 ч, а
1
другой – за 4ч. Через сколько времени они встретятся?
2
1
№ 143. Бассейн заполняется через 2 трубы за 3 ч. Если открыть
3
одну первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько времени
наполнится бассейн через одну вторую трубу?
№ 144. Чтобы выкачать из цистерны нефть, поставили два насоса
различной мощности. Если бы действовали оба насоса, то цистерна
оказалась бы пуста через 12 мин. Оба действовали в течение 4 мин.,
после чего работал только второй насос, который через 24 мин.
выкачал всю оставшуюся нефть. За сколько минут каждый насос,
действуя один, мог бы выкачать всю нефть?
32
33. № 145. К ванне проведены два крана. Через один кран ванна может
1
наполниться за 12 мин., а через другой – в 1 раза быстрее. За
2
5
сколько минут наполнится ванны, если открыть сразу оба крана?
6
№ 146. Две машинистки напечатали рукопись за 6 ч. Одна из них
работает в 3 раза быстрее, чем другая. За сколько дней могла бы
напечатать эту рукопись каждая машинистка, работая отдельно?
№ 147. Первый насос может выкачать всю воду из котлована за 36
ч, а второй – в 2 раза быстрее. После того как они, работая вместе,
1
выкачали всей воды, второй насос сломался, и остальную воду
3
выкачал один первый насос. За сколько времени была выкачана вся
вода из этого котлована?
1 1 1 1
№ 148. Найди произведение: 1 − ⋅ 1 − ⋅ 1 − ⋅ ... ⋅ 1 − .
4 9 16 225
№ 149. Дано натуральное число а. Что больше:
а +1 а а +1 а +3
а) или ; б) или ?
а а +1 а а +2
№ 150. Задача-анекдот.
Одну даму спросили, сколько ей лет. Она ответила: «35 … без суббот
и воскресений». Сколько лет даме?
3.4 «Многоэтажные» дроби
3
№ 151. Что может означать запись 2 ? Какой ответ здесь
3
возможен?
№ 152. Найдите значение выражения:
33
35. № 158. Найди ошибку в рассуждении:
«Рассмотрим верное равенство: 35+10-45=42+12-54. В каждой части
этого равенства вынесем за скобки общий множитель:
5 ⋅ ( 7 + 2 − 9 ) = 6 ⋅ ( 7 + 2 − 9) . Разделим обе части полученного равенства
на множитель (7+2-9). Получим: 5=6».
№ 159. На одном заводе работают 3 друга: слесарь, токарь и
сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семёнов. У слесаря нет ни
братьев, ни сестёр, он самый младший из друзей. Семёнов старше
токаря и женат на сестре Борисова. Назови фамилии слесаря, токаря и
сварщика.
№ 160. В одном месяце три среды пришлись на чётные числа.
Какого числа в этом месяце будет второе воскресенье?
3.5 Свойства и преобразования пропорций
№ 161. Составь из равенства пропорцию и сделай все
перестановки её членов, не нарушающие эту пропорцию:
1 1
а) 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ; б) 4 ⋅ 0,5 = 2 ⋅1 ; в) 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 ; г) ab=xy.
3 2
№ 162. Составь пропорцию из данных чисел и сделай все
перестановки её членов, не нарушающие эту пропорцию:
1 1
а) 2; 3; 4; 6: б) 3; 5; 12; 20; в) 0,5; 4; 1,6; 0,2; г) ; ;5;8 .
5 8
№ 163. Докажи равносильность пропорций и определи, при каких
значениях переменных данные утверждения истинны:
a c a+b c+d a c b−a d −c
1) = ⇔ = ; 3) = ⇔ = ;
b d b d b d b d
a c a −b c −d a c a c
2) = ⇔ = ; 4) = ⇔ = ;
b d b d b d a+b c+d
35
36. a c a c a c a c
5) = ⇔ = ; 6) = ⇔ = .
b d a −b c −d b d b−a d −c
№ 164. Пользуясь свойствами, установленными в предыдущем
задании, составь из данной пропорции шесть производных
пропорций:
3 15 4 12 m k
1) = ; 2) = ; 3) n = p .
2 10 5 15
№ 165. В книгах новгородских писцов XV в. упоминаются такие
меры жидких тел: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг стало
известно, что бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками
кваса, а 19 бочек, насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью
бочками и восемью вёдрами. Могут ли историки на основании этих
данных определить, сколько насадок содержится в бочке?
№ 166. Найди сумму чисел: 0,01+0,02+0,03+…+0,98+0,99.
№ 167. Продолжи ряд на 2 числа, сохраняя закономерность:
а) 0,2; 0,3; 0,5; 0,8; 1,2… б) 3,7; 3,5; 4,1; 3,1; 4,5; 2,7…
№ 168. Купленные в подарок игрушки (сумочка, кукла, машинка и
бегемот) уложили в 4 коробки по одной игрушке в каждую. Узнай,
что в какую коробку положили, если известно, что все коробки
разных цветов и:
1) машинка и бегемот не в красной коробке;
2) коробка с куклой находится между синей коробкой и коробкой с
сумочкой;
3) в зелёной коробке не сумочка и не машинка;
4) жёлтая и зелёная коробки находятся около коробки с бегемотом.
№ 169. В детский сад ходят 367 детей. Докажи, что хотя бы у двоих
из них дни рождения в один и тот же день.
№ 170. В контрольной работе по математике Вовочка сделал 10
ошибок, а остальные ребята – не больше. Докажи, что по крайней
мере 4 учеников сделали одинаковое число ошибок (быть может, и
нуль), если известно, что в классе 34 человека.
3.6 Зависимости между величинами
36
37. № 171. Составь формулу, устанавливающую зависимость:
1) числа n купленных тетрадей от их цены а, если стоимость всей
покупки равна 600 р.; 2) времени t набора рукописи на компьютере от
производительности q, если в рукописи 240 страниц; 3) массы m соли
в растворе от массы M раствора, если концентрация раствора 30%.
№ 172. Две машины едут по одному шоссе со скоростями v1 и v2
(v1>v2). Сейчас расстояние между ними равно s0. Составь формулу
зависимости расстояния d между машинами от времени движения t,
если машины движутся: 1) навстречу друг другу; 2) в
противоположных направлениях; 3) вдогонку; 4) с отставанием.
Вырази из этих формул величины t и v1.
№ 173. При отправлении телеграммы оплата производится так: за
подачу телеграммы оплачивается 18 р. и дополнительно за каждое
слово 1,1 р. Составь формулу зависимости стоимости С телеграммы
от числа n слов в ней.
№ 174. Составь формулу, устанавливающую зависимость между:
1) объёмом V куба и его ребром a;
2) площадью S прямоугольного треугольника и его катетами a и b;
3) диаметром d и радиусом r окружности;
4) длиной стороны a квадрата, его периметром P и площадью S;
5) площадью полной поверхности S куба и его ребром a;
6) площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда
и его измерениями a, b, c.
№ 175. Ниже приведён график зависимости расхода бензина В л для
автомобиля «Лада» от пройденного расстояния s км. Заполни таблицу
и составь формулу зависимости В от s.
37
38. № 176. На рис. изображены графики полёта двух самолётов,
вылетевших из аэропорта Внуково в одном направлении.
1) В какое время самолёты вылетели с аэродрома и вернулись
обратно?
2) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них?
Чему равна продолжительность этих остановок?
3) С какой скоростью летели самолёты на всех участках пути?
4) На каком расстоянии от Внуково были они в 12 ч, в 14 ч 20 мин, в
16 ч 40 мин? Где были самолёты в это время – на земле или в воздухе?
5) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Внуково?
№ 177. Производительность трубы, через которую вода поступает в
бассейн, равна 2 м3/мин. Составь формулу зависимости налитой воды
V м3 от времени работы трубы t мин. Заполни таблицу и построй
график этой зависимости.
38
39. № 178. а) Раздели фигуру А на 9 равных по площади фигур.
б) Покажи, как разделить фигуру В на 8 равных по площади фигур
шестью отрезками.
№ 179. Три купчихи – Олимпиада Петровна, Виктория Карповна и
Поликсена Фёдоровна – сели пить чай. Олимпиада Петровна и
Виктория Карповна выпили вдвоём 11 чашек, Виктория Карповна и
Поликсена Фёдоровна – 15, а Олимпиада Петровна и Поликсена
Фёдоровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Сколько чашек чая выпила каждая из них?
№ 180. Числовые головоломки.
1) Какой цифрой оканчивается произведение: 101 ⋅102 ⋅103 ⋅ ... ⋅109 ?
2) Какой цифрой оканчивается произведение 33 множителей, каждый
из которых равен 3? Как записать это произведение с помощью лишь
трёх троек?
3) Что надо поставить вместо звёздочки в записи 4*5, чтобы получить
число, большее четырёх, но меньшее пяти?
3.7 Пропорциональное деление
№ 181. В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Его
передали двум бригадам, в одной из которых 8 человек, а в другой – 7.
Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при
пропорциональном распределении заказа между работниками?
39
40. № 182. Отрезок MN разделён точками К и Т в отношении 1:2:3,
причём самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой
большой. Чему равна длина всего отрезка?
№ 183. При посадке фруктовых садов в центральных районах
России рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых
деревьев относилось как 10:3:7. Сколько деревьев каждого вида
следует посадить на прямоугольном участке размером 180 м х 80 м,
если под каждое дерево выделяют участок 45 м2?
№ 184. Лиственные деревья занимают 40% площади лесного
участка. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причём
их площади относятся как 2:3. Определи площадь всего участка, если
сосновый лес занимает на 54 га меньше, чем еловый.
№ 185. В трёх шестых классах школы 108 учащихся. Число
учащихся 6А относится к числу учащихся 6Б как 4:5, а число
учащихся 6В равно среднему арифметическому числа учащихся 6А и
6Б. Сколько учеников в каждом из шестых классов?
№ 186. Для изготовления фарфора берут глину, гипс и песок в
следующих отношениях: масса гипса относится к массе глины как
1:25, а масса песка относится к массе гипса как 2:1. Сколько этих
материалов надо взять, чтобы изготовить 56 кг фарфора?
№ 187. Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найди длины
сторон этого треугольника, если АВ относится к ВС как 3:4, а ВС
относится к АС как 2:3.
№ 188. Трём победителям соревнований по большому теннису
присуждены денежные премии общей суммой 15 млн. р. При этом
2
вторая премия составила 60% первой и относится к третьей как 1 :
3
. Чему равны размеры этих премий?
40
41. № 189. Задача из «Счётной мудрости» (XVII в.).
«Идёт корабль по морю, на нём мужеска пола и женска 120 человек.
Найму дали 120 гривен. Мущины дали по 4 алтына, а женщины дали
по 3 алтына с человека. Сколько мужеска полу было и женска
порознь? (1 гривна равнялась 10 коп., а алтын – 3 коп.)».
№ 190. Вася и Петя, поссорившись, разбежались с одинаковыми
скоростями в противоположных направлениях. Через 5 мин Вася
спохватился, повернул назад и, увеличив скорость, побежал догонять
Петю. Во сколько раз увеличил скорость Вася, если он догнал Петю
через 5 мин после того, как повернул назад?
Глава 4. ЕЩЕ НЕМНОГО ЛОГИКИ
4.1 Понятие отрицания
№ 191. Построй отрицания высказываний с помощью слов
«Неверно, что», а затем перефразируй их в более простой форме.
Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.
1) Луна – спутник Земли. 8) Арбуз – это овощ или фрукт.
2) В лесу растут мухоморы. 9) В среду по расписанию есть
3) Мухомор – несъедобный уроки математики и истории.
гриб. 10) В буфет не привезли ни
4) В Москве водятся булочек, ни коржиков.
крокодилы. 1
11) Дроби 0,5 и не равны.
5) Амазонка длиннее Нила. 2
6) Джомолунгма ниже 12) Площадь прямоугольника
Эвереста. равна произведению его длины
7) На Земле 7 или 8 материков. и ширины.
№ 192. Докажи, что высказывание является ложным, и построй
его отрицание:
1) Число 0 является натуральным.
2) Число 1 – простое.
3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.
4) Сумма 18 ⋅ 947 + 456 кратна 9.
5) Число 53535353 делится на 3 или на 5.
41
42. 6) Корнями уравнения х2+2=18 являются числа 0 и 4.
7) Дробь 8,9 больше или равна 9.
8) Неправильная дробь меньше 1
№ 193. Используя закон исключённого третьего, докажи, что
отрицания построены неверно.
№ 194. Проверь по диаграмме Эйлера-Венна истинность
высказываний. Для ложных высказываний построй отрицания.
а) 8,2 принадлежит множеству А;
б) 8,2 принадлежит множеству В;
в) 3 не принадлежит множеству С;
г) 3 не принадлежит множеству В;
д) А не является подмножеством В;
е) С – подмножество В;
ж) пересечение множеств А и В пусто;
з) Объединение множеств А и В равняется множеству В.
№ 195. Шифр устроен следующим образом: каждой цифре
сопоставлено 3 буквы, а знаку * - 2 буквы и пробел, как указано в
таблице:
Попробуй расшифровать следующую запись:
61551491*2*6561*051*51516566.
42
