פיתוח יחידות הוראה במתמטיקה אינדוקציה ד"ר צייכנר אורית

1. ‫אינדוקציה‬
‫ממוחשבות‬ ‫הוראה‬ ‫יחידות‬ ‫לבניית‬ ‫סדנה‬
‫מרצה‬:‫ד‬"‫צייכנר‬ ‫אורית‬ ‫ר‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

2. ‫אינדוקציה‬
‫עקרון‬
‫האינדוקציה‬‫הוכחות‬/‫תרגילים‬
‫באינדוקציה‬
‫של‬
‫עם‬
‫שימוש‬
‫ב‬..
1.‫תכונות‬
‫התחלקות‬
4.‫זהויות‬
‫טריגונומטריות‬
2.‫נוסחאות‬
‫נסיגה‬
‫של‬
‫של‬
‫הנחיות‬
‫למורה‬
‫הנחיות‬
‫לתלמיד‬
‫דף‬
‫משימה‬
3.‫אי‬
‫שוויונות‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

3. ‫האינדוקציה‬ ‫עקרון‬
•‫אינדוקציה‬ ‫צריך‬ ‫בכלל‬ ‫למה‬?
•‫הבאה‬ ‫הטענה‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫רוצים‬ ‫שאנו‬ ‫נניח‬
‫נכונה‬:‫הביטוי‬‫לכל‬ ‫ראשוני‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬n‫טבעי‬.
•‫שעבור‬ ‫לב‬ ‫נשים‬n=1,2,3,…,10‫המספרים‬ ‫את‬ ‫נקבל‬
11,13,17,23,31,41,53,67,83,101‫ראשוניים‬ ‫שכולם‬.
•‫של‬ ‫הצבה‬ ‫אך‬,n=11‫למשל‬,‫שאינו‬ ‫מספר‬ ‫תיתן‬
‫ראשוני‬(‫זה‬ ‫במקרה‬(‫נכונה‬ ‫שהטענה‬ ‫אף‬ ‫על‬ ‫ולכן‬
‫כללי‬ ‫באופן‬ ‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ‫מקרים‬ ‫עשרה‬ ‫עבור‬.
2
11n n 
2
11
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

4. ‫האינדוקציה‬ ‫עקרון‬
•‫ע‬ ‫כללית‬ ‫טענה‬ ‫להוכיח‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫כי‬ ‫ראינו‬"‫מקרים‬ ‫מספר‬ ‫בדיקת‬ ‫י‬.
‫שכזו‬ ‫טענה‬ ‫נוכיח‬ ‫איך‬ ‫אז‬?
‫התשובה‬ ‫היא‬ ‫אינדוקציה‬!!!
•‫האינדוקציה‬ ‫שלבי‬:
‫א‬)‫עבור‬ ‫הטענה‬ ‫נכונות‬ ‫בדיקת‬‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬.‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬
‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫והלאה‬ ‫שממנו‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫הוא‬.‫כך‬,
‫למשל‬,‫לכל‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫אם‬n‫הוא‬ ‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬ ‫אז‬ ‫טבעי‬
n=1.
‫ב‬)‫האינדוקציה‬ ‫הנחת‬-‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫שהטענה‬ ‫נניח‬n=k(‫את‬ ‫נרשום‬
‫כשבמקום‬ ‫הטענה‬n‫נציב‬k.)
‫ג‬)‫עבור‬ ‫הטענה‬ ‫את‬ ‫מוכיחים‬n=k+1‫על‬ ‫בהסתמך‬‫האינדוקציה‬ ‫הנחת‬.
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

5. ‫ודומינו‬ ‫אינדוקציה‬ ‫על‬
•‫הדומינו‬ ‫באפקט‬ ‫משתמשת‬ ‫באינדוקציה‬ ‫הוכחה‬.‫כדי‬
‫תיפולנה‬ ‫השנייה‬ ‫אחרי‬ ‫אחת‬ ‫שמסודרות‬ ‫דומינו‬ ‫שאבני‬
‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫שני‬ ‫להתקיים‬ ‫חייבים‬ ‫כולן‬:
(1‫בסיס‬ ‫נכונות‬ ‫לבדיקת‬ ‫שמקבילה‬ ‫הראשונה‬ ‫האבן‬ ‫נפילת‬
‫האינדוקציה‬.
(2‫הבאה‬ ‫האבן‬ ‫נפילת‬ ‫את‬ ‫תגרור‬ ‫כלשהו‬ ‫במקום‬ ‫אבן‬ ‫נפילת‬
‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫שאם‬ ‫לכך‬ ‫מקביל‬ ‫וזה‬n=k‫היא‬
‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫גם‬ ‫תהיה‬n=k+1.
•‫לחץ‬ ‫הדומינו‬ ‫אפקט‬ ‫להדגמת‬‫כאן‬.
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

6. ‫דוגמא‬
•‫כי‬ ‫נראה‬n(n+1)‫לכל‬ ‫זוגי‬n‫טבעי‬.
•‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬ ‫בדיקת‬:‫עבור‬n=1‫הביטוי‬
1(1+1)=2‫זוגי‬ ‫ולכן‬.
•‫עבור‬ ‫הטענה‬ ‫נכונות‬ ‫נניח‬n=k‫ש‬ ‫נניח‬ ‫כלומר‬
k(k+1)‫זוגי‬.
•‫עבור‬ ‫הטענה‬ ‫נכונות‬ ‫נוכיח‬n=k+1‫ש‬ ‫נוכיח‬ ‫כלומר‬
(k+1)((k+1)+1)‫זוגי‬.
‫הוכחה‬:
(k+1)((k+1)+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)
‫עפ‬ ‫זוגי‬"‫האינדוקציה‬ ‫הנחת‬ ‫י‬ ‫של‬ ‫ככפולה‬ ‫זוגי‬2
+‫זוגי‬ ‫זוגי‬ ‫זוגי‬= •‫מש‬"‫ל‬
‫התחלקות‬ ‫לתכונות‬ ‫עבור‬‫המושגים‬ ‫למפת‬
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

7. ‫אי‬‫שוויונות‬
•‫אי‬ ‫מתקיים‬ ‫עבורו‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫הטבעי‬ ‫המספר‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫השוויון‬‫לכל‬ ‫באינדוקציה‬ ‫אותו‬ ‫והוכח‬n‫טבעי‬
‫הנ‬ ‫מהמספר‬ ‫החל‬"‫ל‬.
•‫פתרון‬:
‫נציב‬ ‫אם‬n=1,2,3,4‫הנ‬ ‫השוויון‬ ‫שאי‬ ‫נקבל‬"‫רק‬ ‫מתקיים‬ ‫ל‬
‫עבור‬) n=4‫מקבלים‬ ‫אנו‬ ‫אז‬81>49)‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬ ‫לכן‬
‫יהיה‬n=4.
•‫עבור‬ ‫האינדוקציה‬ ‫הנחת‬n=k:) (
•‫צ‬"‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫שהטענה‬ ‫ל‬n=k+1:
2
3 1 3
n
n  
= =
=
=
=
=
4k 2
3 1 3
k
k  
2 1
3( 1) 1 3 3 3kk
k

    
‫מילים‬ ‫כמה‬...
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

8. ‫אי‬‫שוויונות‬
•‫אם‬ ‫לכן‬ ‫השוויון‬ ‫אי‬ ‫נובע‬ ‫האינדוקציה‬ ‫מהנחת‬
‫השוויון‬ ‫אי‬ ‫גם‬ ‫בהכרח‬ ‫אז‬ ‫השוויון‬ ‫אי‬ ‫את‬ ‫נוכיח‬
‫יתקיים‬.
•‫אי‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫שמספיק‬ ‫נקבל‬ ‫סוגריים‬ ‫פתיחת‬ ‫לאחר‬
‫השוויון‬
•‫כש‬ ‫מתקיים‬ ‫זה‬ ‫שוויון‬ ‫אי‬ ‫כי‬ ‫לראות‬ ‫קל‬
2
3(3 1) 3 3k
k   
2 2
3( 1) 1 3(3 1)k k   
2
3( 1) 1 3 3k
k    
4k 
2
6 6 1 0k k  
‫המושגים‬ ‫למפת‬
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

9. ‫התחלקות‬ ‫תכונות‬
•‫שלכל‬ ‫באינדוקציה‬ ‫הוכח‬n‫ב‬ ‫מתחלק‬ ‫הביטוי‬ ‫טבעי‬-6‫שארית‬ ‫ללא‬.
•‫פתרון‬:‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬:‫ו‬ ‫נקבל‬-0‫ב‬ ‫מתחלק‬-6‫שארית‬ ‫ללא‬.
•‫כלומר‬ ‫עבור‬ ‫נכונות‬ ‫נניח‬:‫מס‬'‫שלם‬.‫עבור‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫כי‬ ‫ונראה‬
•‫צ‬ ‫כלומר‬"‫ל‬:‫מס‬'‫שלם‬.‫ונקבל‬ ‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫נפתח‬:
•‫השמאלי‬ ‫השבר‬(‫שהתקבלו‬ ‫השברים‬ ‫שני‬ ‫מבין‬)‫מס‬ ‫הוא‬'‫הנחת‬ ‫לפי‬ ‫שלם‬
‫האינדוקציה‬.‫ונקבל‬ ‫בלבד‬ ‫הימני‬ ‫השבר‬ ‫את‬ ‫נפתח‬:‫להוכיח‬ ‫נותר‬
‫מס‬ ‫הוא‬ ‫שקיבלנו‬ ‫שהשבר‬'‫זוגי‬.‫אכן‬,‫עוקבים‬ ‫מספרים‬ ‫שני‬ ‫מכפלת‬(k+1,k)‫תמיד‬
‫זוגית‬ ‫יוצאת‬,‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ ‫כולו‬ ‫השבר‬ ‫ולכן‬.
•‫ראינו‬ ‫שלם‬ ‫הימני‬ ‫השבר‬ ‫של‬ ‫להיותו‬ ‫נוסף‬ ‫נימוק‬‫פה‬
3
n n
( 1)n3
1 1 0 
n k
3
6
k k

1n k    
3
1 1
6
k k  

   
3 3 2 3 2
1 1 3 3 1 1 3 3
6 6 6 6
k k k k k k k k k k         
  
2
3 3 3 ( 1) ( 1)
6 6 2
k k k k k k  
 
‫מילים‬ ‫כמה‬...
‫המושגים‬ ‫למפת‬
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

10. ‫נסיגה‬ ‫נוסחאות‬
•‫הנסיגה‬ ‫כלל‬ ‫באמצעות‬ ‫מוגדרת‬ ‫סדרה‬,.
‫הוא‬ ‫הכללי‬ ‫שהאיבר‬ ‫הוכח‬.
•‫פתרון‬:‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬:‫וכן‬ ‫נקבל‬
‫עבור‬ ‫נכונות‬ ‫נניח‬:‫צ‬"‫עבור‬ ‫ל‬:
1 1a 
1 6 2n na a n   
2
3 1na n n  
 1n 
1 1a 
2
1 3 1 1 1 1a     
n k1n k  2
3 1ka k k  
2
1 3( 1) ( 1) 1ka k k     
2
1
2 2
2
6 2 3 1 6 2
3 6 3 1 1 3( 2 1) ( 1) 1
3( 1) ( 1) 1
k ka a k k k k
k k k k k k
k k
         
            
    
•‫עפ‬"‫נקבל‬ ‫האינדוקציה‬ ‫והנחת‬ ‫הנסיגה‬ ‫כלל‬ ‫י‬:
‫מילים‬ ‫כמה‬...
‫המושגים‬ ‫למפת‬
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

11. •‫להזכירך‬,‫אופנים‬ ‫בשני‬ ‫סדרה‬ ‫להגדיר‬ ‫ניתן‬:‫האיבר‬ ‫לפי‬
‫לקבל‬ ‫ניתן‬ ‫כיצד‬ ‫שמראה‬ ‫נסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫לפי‬ ‫או‬ ‫הכללי‬
‫לו‬ ‫הקודם‬ ‫מהאיבר‬ ‫איבר‬.
•‫לדוגמא‬:‫היא‬ ‫הכללי‬ ‫האיבר‬ ‫נוסחת‬ ‫חשבונית‬ ‫בסדרה‬:
‫נסיגה‬ ‫כלל‬ ‫לפי‬ ‫או‬:‫כאשר‬
‫נתון‬ ‫הראשון‬ ‫האיבר‬.‫הבאים‬ ‫אינדוקציה‬ ‫בתרגילי‬
‫המוגדרת‬ ‫סדרה‬ ‫של‬ ‫הכללי‬ ‫האיבר‬ ‫נוסחת‬ ‫את‬ ‫נוכיח‬
‫עפ‬"‫נסיגה‬ ‫כלל‬ ‫י‬.
1 ( 1)na a n d  1n na a d  
‫נסיגה‬ ‫לנוסחאות‬ ‫חזור‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

12. •‫מתחלק‬ ‫מסוים‬ ‫ביטוי‬ ‫כי‬ ‫להוכיח‬ ‫אפשר‬ ‫אינדוקציה‬ ‫באמצעות‬
‫שארית‬ ‫ללא‬ ‫נתון‬ ‫במספר‬.
‫לכל‬ ‫כי‬ ‫להוכיח‬ ‫נוכל‬ ‫למשל‬ ‫כך‬n‫הביטוי‬ ‫טבעי‬
‫ב‬ ‫מתחלק‬-3‫שארית‬ ‫ללא‬.
1
2 5n n

‫התחלקות‬ ‫לתכונות‬ ‫חזור‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

13. •‫אינדוקציה‬ ‫באמצעות‬ ‫שוויונות‬ ‫אי‬ ‫להוכיח‬ ‫אפשר‬!!!
‫שוויונות‬ ‫לאי‬ ‫חזור‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

14. ‫טריגונומטריות‬ ‫זהויות‬
•‫שלכל‬ ‫הוכח‬n‫מתקיים‬ ‫טבעי‬
•‫פתרון‬:‫האינדוקציה‬ ‫בסיס‬:‫הנחת‬ ‫מקבלים‬ ‫האגפים‬ ‫בשני‬
‫ל‬ ‫האינדוקציה‬:
•‫צ‬"‫ל‬ ‫ל‬:
‫ש‬ ‫האינדוקציה‬ ‫הנחת‬ ‫על‬ ‫בהסתמך‬ ‫להוכיח‬ ‫מספיק‬:
 : n 
‫מילים‬ ‫כמה‬...
 sin sin 1
sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 2
sin
n n
n
 
   

 
    
( 1)n
n k
1n k 
sin2
 sin sin 1
sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 2
sin
k k
k
 
   

 
    
 
   sin 1 sin 2
sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 2 sin 2 2
sin
k k
k k
 
    

  
      
 
 
   sin sin 1 sin 1 sin 2
sin 2 2
sin sin
k k k k
k
   

 
    
  
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

15. ‫טריגונומטריות‬ ‫זהויות‬-‫המשך‬
•‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫את‬ ‫נפתח‬,‫בזהויות‬ ‫נעזר‬,
.‫נקבל‬:
sin2 2sin cos  
    1
cos sin sin sin
2
        
 
 
   
 
 
     
sin sin 1 sin sin 1 sin 2 2 sin
sin 2 2
sin sin
sin sin 1 2sin( 1) cos( 1) sin
sin
sin 1 (sin 2cos( 1) sin )
sin
sin 1 (sin sin( 2) sin ) sin 1 sin 2
sin sin
k k k k k
k
k k k k
k k k
k k k k k k
     

 
    

   

     
 
     
   
    
 
  
 
      
 
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

16. •‫זהויות‬ ‫להוכיח‬ ‫אפשר‬ ‫אינדוקציה‬ ‫באמצעות‬
‫טריגונומטריות‬!!!
•‫המתייחסות‬ ‫הטריגונומטריות‬ ‫הזהויות‬ ‫את‬ ‫טוב‬ ‫לדעת‬ ‫עליכם‬
‫זויות‬ ‫לשתי‬.‫את‬ ‫למצוא‬ ‫תוכלו‬ ‫ששכחתם‬ ‫למקרה‬
‫הרלבנטיות‬ ‫הזהויות‬‫כאן‬
, 
‫טריגונומטריות‬ ‫לזהויות‬ ‫חזור‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

17. ‫לתלמיד‬ ‫הנחיות‬ ‫דף‬
•‫השונים‬ ‫ויישומיה‬ ‫אינדוקציה‬ ‫על‬ ‫נלמד‬ ‫זו‬ ‫בפעילות‬.
‫בזוגות‬ ‫תתבצע‬ ‫העבודה‬.‫האינדוקציה‬ ‫עקרון‬ ‫על‬ ‫תחילה‬ ‫קראו‬.‫סוגי‬ ‫על‬ ‫קראו‬
‫ופתרו‬ ‫המשימה‬ ‫לדף‬ ‫גשו‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫שסיימתם‬ ‫ולאחר‬ ‫השונים‬ ‫האינדוקציה‬
‫המתאימה‬ ‫הפעילות‬ ‫את‬‫ורק‬‫הבא‬ ‫הנושא‬ ‫על‬ ‫וקרא‬ ‫למצגת‬ ‫חזור‬ ‫מכן‬ ‫לאחר‬.
‫הערה‬:‫המשימה‬ ‫שבדף‬ ‫לפעילויות‬ ‫בהתאמה‬ ‫ממוספרים‬ ‫השונים‬ ‫הסוגים‬.
‫בונוס‬ ‫שאלות‬ ‫ישנן‬ ‫המשימה‬ ‫בדף‬ ‫שימו‬.‫יקבל‬ ‫הבונוס‬ ‫שאלות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫שיפתור‬ ‫הזוג‬
‫צ‬'‫ופר‬.
‫מס‬ ‫לתא‬ ‫הפתרונות‬ ‫את‬ ‫להגיש‬ ‫נא‬'5‫לתאריך‬ ‫עד‬12.05.08
‫המגישים‬ ‫שמות‬ ‫את‬ ‫להוסיף‬ ‫לשכוח‬ ‫לא‬!
‫והעשרה‬ ‫נוספת‬ ‫לקריאה‬:
.1‫ויקיפדיה‬
.2‫אפס‬ ‫אלף‬
‫המושגים‬ ‫למפת‬
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬

18. ‫למורה‬ ‫הנחיות‬ ‫דף‬
•‫נושא‬:‫אינדוקציה‬
•‫נושא‬ ‫תתי‬:‫עקרון‬‫האינדוקציה‬,‫בנושאים‬ ‫תרגילים‬ ‫סוגי‬
‫הבאים‬:‫התחלקות‬ ‫תכונות‬,‫נסיגה‬ ‫נוסחאות‬,‫שוויונות‬ ‫אי‬,
‫טריגונומטריות‬ ‫זהויות‬.
•‫היעד‬ ‫קהל‬:‫י‬ ‫כיתה‬"‫ב‬5‫יח‬"‫מתמטיקה‬ ‫ל‬.
•‫מטרות‬:
.1‫ממוחשבת‬ ‫בסביבה‬ ‫בלימוד‬ ‫יתנסה‬ ‫התלמיד‬.
.2‫עקרון‬ ‫את‬ ‫יפנים‬ ‫התלמיד‬‫של‬ ‫בעוצמתו‬ ‫ויכיר‬ ‫האינדוקציה‬
‫ומגוונים‬ ‫שונים‬ ‫תרגילים‬ ‫סוגי‬ ‫להוכחת‬ ‫זה‬ ‫מתמטי‬ ‫כלי‬.
‫המושגים‬ ‫למפת‬
‫דף‬
‫משימה‬
‫במתמטיקה‬ ‫הוראה‬ ‫יחידת‬ ‫פיתוח‬-
‫אנדוקציה‬,‫ד‬"‫אורית‬ ‫צייכנר‬ ‫ר‬