1. Inequality Techniques

2. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0

3. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0
p2  q2
e.g. i 1995 Prove pq 
2

4. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0
p2  q2
e.g. i 1995 Prove pq 
2
p2  q2
 pq
2

5. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0
p2  q2
e.g. i 1995 Prove pq 
2
p2  q2 p 2  2 pq  q 2
 pq 
2 2

6. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0
p2  q2
e.g. i 1995 Prove pq 
2
p2  q2 p 2  2 pq  q 2
 pq 
2 2
 p  q 2

2

7. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0
p2  q2
e.g. i 1995 Prove pq 
2
p2  q2 p 2  2 pq  q 2
 pq 
2 2
 p  q 2

2
0

8. Inequality Techniques
To prove x  y, it can be easier to prove x  y  0
p2  q2
e.g. i 1995 Prove pq 
2
p2  q2 p 2  2 pq  q 2
 pq 
2 2

 p  q2
2
0
p2  q2
  pq
2

9. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac

10. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0

11. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0

12. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab

13. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc

14. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc

15. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc

16. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
1
b) If a  b  c  1, prove ab  ac  bc 
3

17. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
1
b) If a  b  c  1, prove ab  ac  bc 
3
a  b  c  a  b  c   2ab  ac  bc 
2 2 2 2

18. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
1
b) If a  b  c  1, prove ab  ac  bc 
3
a  b  c  a  b  c   2ab  ac  bc 
2 2 2 2
 a  b  c   2ab  ac  bc   ab  ac  bc
2

19. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
1
b) If a  b  c  1, prove ab  ac  bc 
3
a  b  c  a  b  c   2ab  ac  bc 
2 2 2 2
 a  b  c   2ab  ac  bc   ab  ac  bc
2
3ab  ac  bc   a  b  c 
2

20. ii 1994 a) Prove a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
a  b 2  0
a 2  2ab  b 2  0
 a 2  b 2  2ab
a 2  c 2  2ac
b 2  c 2  2bc
2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2ac  2bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
1
b) If a  b  c  1, prove ab  ac  bc 
3
a  b  c  a  b  c   2ab  ac  bc 
2 2 2 2
 a  b  c   2ab  ac  bc   ab  ac  bc
2
3ab  ac  bc   a  b  c 
2
3ab  ac  bc   1
1
ab  ac  bc 
3

21. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3

22. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc

23. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0

24. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0

25. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0
a 3  ab 2  ac 2  a 2b  a 2 c  abc  a 2b  b 3  bc 2  ab 2  abc  b 2 c
 a 2 c  b 2 c  c 3  abc  ac 2  bc 2  0

26. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0
a 3  ab 2  ac 2  a 2b  a 2 c  abc  a 2b  b 3  bc 2  ab 2  abc  b 2 c
 a 2 c  b 2 c  c 3  abc  ac 2  bc 2  0
a 3  b 3  c 3  3abc  0

27. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0
a 3  ab 2  ac 2  a 2b  a 2 c  abc  a 2b  b 3  bc 2  ab 2  abc  b 2 c
 a 2 c  b 2 c  c 3  abc  ac 2  bc 2  0
a 3  b 3  c 3  3abc  0
a  b  c   abc
1 3 3 3
3

28. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0
a 3  ab 2  ac 2  a 2b  a 2 c  abc  a 2b  b 3  bc 2  ab 2  abc  b 2 c
 a 2 c  b 2 c  c 3  abc  ac 2  bc 2  0
a 3  b 3  c 3  3abc  0
a  b  c   abc
1 3 3 3
3
1 1 1
let a  a , b  b , c  c
3 3 3

29. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0
a 3  ab 2  ac 2  a 2b  a 2 c  abc  a 2b  b 3  bc 2  ab 2  abc  b 2 c
 a 2 c  b 2 c  c 3  abc  ac 2  bc 2  0
a 3  b 3  c 3  3abc  0
a  b  c   abc
1 3 3 3
3
1 1 1
let a  a , b  b , c  c
3 3 3
1 1 1
1
a  b  c   a 3 b 3 c 3
3

30. 1
c) Prove a  b  c   3 abc
3
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc
a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  0
a  b  c a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc   0
a 3  ab 2  ac 2  a 2b  a 2 c  abc  a 2b  b 3  bc 2  ab 2  abc  b 2 c
 a 2 c  b 2 c  c 3  abc  ac 2  bc 2  0
a 3  b 3  c 3  3abc  0
a  b  c   abc
1 3 3 3
3
1 1 1
let a  a , b  b , c  c
3 3 3
1 1 1
1
a  b  c   a 3 b 3 c 3
3
1
a  b  c   3 abc
3

31. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n

32. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1

33. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1
1  x 1  y 1  z   8
1  x  y  xy  z  xz  yz  xyz  8

34. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1
1  x 1  y 1  z   8
1  x  y  xy  z  xz  yz  xyz  8
1
 x  y  z   3 xyz
3

35. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1
1  x 1  y 1  z   8
1  x  y  xy  z  xz  yz  xyz  8
1
 x  y  z   3 xyz
3
x  y  z  33 xyz

36. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1
1  x 1  y 1  z   8
1  x  y  xy  z  xz  yz  xyz  8
1
 x  y  z   3 xyz
3
x  y  z  33 xyz
xy  yz  xz  33  xy  yz  xz 

37. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1
1  x 1  y 1  z   8
1  x  y  xy  z  xz  yz  xyz  8
1
 x  y  z   3 xyz
3
x  y  z  33 xyz
xy  yz  xz  33  xy  yz  xz 
xy  yz  xz  33 x 2 y 2 z 2

38. Arithmetic Mean  Geometric Mean
a1  a2    an n
 a1a2  an
n
d) Suppose 1  x 1  y 1  z   8, prove xyz  1
1  x 1  y 1  z   8
1  x  y  xy  z  xz  yz  xyz  8
1
 x  y  z   3 xyz
3
x  y  z  33 xyz
xy  yz  xz  33  xy  yz  xz 
xy  yz  xz  33 x 2 y 2 z 2
xy  yz  xz  3 xyz 
2
3

39. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8

40. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3

41. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3
1  3 xyz  3 xyz    xyz   8
2 3
3 3 3

42. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3
1  3 xyz  3 xyz    xyz   8
2 3
3 3 3
1  3 xyz   8
3

43. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3
1  3 xyz  3 xyz    xyz   8
2 3
3 3 3
1  3 xyz   8
3
1  3 xyz  2

44. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3
1  3 xyz  3 xyz    xyz   8
2 3
3 3 3
1  3 xyz   8
3
1  3 xyz  2
3 xyz  1

45. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3
1  3 xyz  3 xyz    xyz   8
2 3
3 3 3
1  3 xyz   8
3
1  3 xyz  2
3 xyz  1
xyz  1

46. 1  x  y  z  xy  xz  yz  xyz  8
1  3 xyz  3 xyz   xyz  8
2
3 3
1  3 xyz  3 xyz    xyz   8
2 3
3 3 3
1  3 xyz   8
3
1  3 xyz  2
3 xyz  1
xyz  1
Inequalities Sheet
Exercise 10D
Note: Cambridge 8H (Book 1); 28