Indici di tendenza centrale: moda, media, mediana

1. INDICI DI TENDENZA CENTRALE
MODA
MEDIA
MEDIANA
Gruppo Statistica A cura di Monica Terenghi
1 IRRE Lombardia

2. Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un
fenomeno statistico, i dati possono essere:
 organizzati in una tabella
insieme tabella tabella
di dati unità stat./ modalità/
statistici modalità frequenze
Gruppo Statistica
2 IRRE Lombardia

3. Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un
fenomeno statistico, i dati possono essere:
 rappresentati mediante un grafico
tabella
dati
statistici
Gruppo Statistica
3 IRRE Lombardia

4. Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un
fenomeno statistico, i dati possono essere:
 elaborati e sintetizzati in un unico dato
tabella indice
dati centrale
statistici
Gruppo Statistica
4 IRRE Lombardia

5. L’indice centrale fornisce
un’unica informazione
La sintesi dei dati deve conservare l’informazione
più significativa
indice
tabella centrale
dati (un’unica
informazione
statistici ricca
da conservare
(tante informazione)
informazioni)
Gruppo Statistica
5 IRRE Lombardia

6. L’indice centrale deve descrivere
come si è manifestato il fenomeno
L’informazione da conservare è quindi legata alle
modalità del carattere indagato
tabella
dati indice
sintesi delle centrale
statistici
modalità
(tante
modalità)
Gruppo Statistica
6 IRRE Lombardia

7. INDICI CENTRALI PER
CARATTERI QUALITATIVI
 1° CASO
il carattere si manifesta con modalità sempre
diverse
(o con ripetizioni non significative)
NON ESISTE UN MODO PER STABILIRE
UN INDICE DI TENDENZA
Gruppo Statistica
7 IRRE Lombardia

8. Esempio 1: quattro amici alla domanda “quale sport
preferisci?” hanno dato quattro risposte diverse.
u.s. modalità
Andrea
NON ESISTE
Barbara informazione un indice
da conservare
???
centrale
Carlo
Diego
Gruppo Statistica
8 IRRE Lombardia

9. INDICI CENTRALI PER
CARATTERI QUALITATIVI
 2° CASO
il carattere si manifesta con modalità
che a volte si ripetono
Si può descrivere il fenomeno
conservando solo l’informazione relativa
alla modalità più
frequente, la MODA
Gruppo Statistica
9 IRRE Lombardia

10. Esempio 2: tra i 4 corsi offerti da un centro
sportivo, 25 ragazzi hanno optato per uno di essi
secondo la seguente tabella:
modalità frequenza
7
MODA
4 modalità con
frequenza max
12
2
Gruppo Statistica
10 IRRE Lombardia

11. INDICI CENTRALI PER
CARATTERI QUALITATIVI
 3° CASO
il carattere, pur se qualitativo, si manifesta
con modalità ordinabili
Si può descrivere il fenomeno
conservando solo l’informazione relativa
alla modalità che occupa la posizione
centrale, la MEDIANA
Gruppo Statistica
11 IRRE Lombardia

12. Esempio 3: tra i 25 dipendenti di una ditta, il titolo di
studio risulta così distribuito:
modalità frequenza
ordinate
Lic. elemen. 1 MEDIANA
modalità con
Lic. media 10 posizione centrale Diploma
(la 13a)
Diploma 8
Laurea 6
Gruppo Statistica
12 IRRE Lombardia

13. Si perdono le informazioni relative ai singoli
titoli di studio; si conserva solo il titolo di
studio centrale
modalità frequenza modalità frequenza
ordinate
Max il
diploma 12
Lic. elemen. 1
mediana: Sicuramente
Lic. media 10 diploma il diploma 1
Almeno il
Diploma 8
diploma 12
Laurea 6
Gruppo Statistica
13 IRRE Lombardia

14. INDICI CENTRALI PER
CARATTERI QUANTITATIVI
E’ evidente che anche in questo caso è possibile
calcolare:
 a volte la MODA (se il carattere si manifesta
con modalità che si ripetono)
 sempre la MEDIANA (un carattere quantitativo
ha modalità ordinabili)
Gruppo Statistica
14 IRRE Lombardia

15. Esempio 1: in un condominio con 25 appartamenti, il
numero di occupanti ogni singolo appartamento è
così distribuito:
modalità frequenza
ordinate
7 MODA
modalità con
4 frequenza max
12
2
Gruppo Statistica
15 IRRE Lombardia

16. Esempio 2: dopo una gara tra 5 concorrenti viene
compilata la classifica
u.s. mod.
giocat. punti
MEDIANA
Barbara 8 informazione da
Enza 8
conservare: 7
punteggio centrale
Andrea 7
Carlo 6
Diego 2
Gruppo Statistica
16 IRRE Lombardia

17. ALTRI INDICI CENTRALI PER CARATTERI
QUANTITATIVI: LE MEDIE
Le modalità
sono espresse da numeri.
E’ possibile allora eseguire un’operazione
opportunamente scelta e ottenere
una grandezza che dipenda dalle modalità.
Gruppo Statistica
17 IRRE Lombardia

18. Calcolare una MEDIA significa:
 Sintetizzare le modalità di un carattere quantitativo
in modo da conservare una grandezza che da esse
dipenda.
tabella
grandezza MEDIA
dati
da conservare
statistici
Gruppo Statistica
18 IRRE Lombardia

19. Esempio 1: si vuole valutare il profitto medio in
matematica di uno studente che in 5 prove abbia
riportato i seguenti voti:
u.s. mod.
PROVA VOTO
prima 7
voto medio
seconda 8 grandezza da
m?
terza 6 conservare?
quarta 2
quinta 8
Gruppo Statistica
19 IRRE Lombardia

20. Il voto medio può essere calcolato in modo
che, sostituito ai singoli voti, esso non alteri il
punteggio totale raggiunto dallo studente
u.s. mod.
PROVA VOTO
prima 7
grandezza da voto medio
seconda 8 conservare m?
terza 6 7+8+6+2+8
quarta 2
quinta 8
Gruppo Statistica
20 IRRE Lombardia

21. La media che conserva la SOMMA è la
MEDIA ARITMETICA
u.s. mod.
PROVA VOTO
voto medio
prima 7
seconda 8 7+8+6+2+8 = 7 8 6 2 8
m+m+m+m+m m
terza 6 5
quarta 2 6,2
quinta 8
Gruppo Statistica
21 IRRE Lombardia

22. Si perdono le informazioni portate dai singoli
voti; si conserva il punteggio totale
u.s. mod. u.s. mod.
PROVA VOTO PROVA VOTO
prima 7 prima 6,2
seconda 8 media aritmetica: seconda 6,2
6,2 terza 6,2
terza 6
quarta 2 quarta 6,2
quinta 8 quinta 6,2
totale 31 totale 31
Gruppo Statistica
22 IRRE Lombardia

23. Esempio 2: si vuole valutare lo spigolo del cubo avente
la stessa capacità di un parallelepipedo delle seguenti
dimensioni:
c m
a
b m
grandezza da m
conservare?
u.s. mod.
spigolo cm m sarà una media
a 12 delle dimensioni del
b 9 parallelepipedo
c 2
Gruppo Statistica
23 IRRE Lombardia

24. Lo spigolo del cubo deve essere calcolato in modo da
conservare il volume del parallelepipedo
c m
a
b m
grandezza da
conservare m
u.s. mod. 12 x 9 x 2
spigolo cm spigolo medio
a 12 m?
b 9
c 2
Gruppo Statistica
24 IRRE Lombardia

25. La media che conserva il PRODOTTO è
la MEDIA GEOMETRICA
c m
a
b m
12 x 9 x 2 = m
mxmxm
u.s. mod.
spigolo cm
spigolo medio
a 12 m = 3 (12x9x2)=6
b 9
c 2
Gruppo Statistica
25 IRRE Lombardia

26. Si perdono le informazioni relative ai singoli
spigoli; si conserva il volume
c c
a a
b b
media geometrica: u.s. mod.
u.s. mod.
6 spigolo cm
spigolo cm
a 12 a 6
b 9 b 6
c 2 c 6
volume 216 cm3 volume 216 cm3
Gruppo Statistica
26 IRRE Lombardia

27. PRINCIPALI TIPI DI MEDIA
t ip o d i M E D I A g ra n d e z z a d a c on se rva re form u la m = .....
x1 x 2 ..... x n m m ..... m x1 x 2 ..... x n
A RIT M ET ICA m
n
x 1 x 2 ..... x n m m ..... m
G EO M ET RICA
n
m x 1 x 2 ..... x n
1
A RM O N ICA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
..... ..... m .....
x1 x2 xn m m m n x1 x2 xn
2 2 2 2 2 2
Q U A D RA T ICA
2 2 2
x1 x2 ..... x n m m ..... m x1 x2 ..... x n
m
n
Gruppo Statistica
27 IRRE Lombardia

28. Confronto tra
MODA, MEDIA e MEDIANA
In una ditta dove euro/mese frequenza
lavorano 50 23.000 1
persone, gli 9.400 1
stipendi mensili 6.500 2
sono ripartiti 2.600 3
2.200 19
secondo la
1.700 22
tabella a fianco
1.300 2
Gruppo Statistica
28 IRRE Lombardia

29. Il proprietario, un operaio e il commercialista
della ditta fanno le seguenti affermazioni:
La paga La paga La paga
media è di media è di media è di
2.700 euro 1.700 euro 2.200 euro
Gruppo Statistica
29 IRRE Lombardia

30. Chi di loro sta affermando il falso?
La paga La paga La paga
media è di media è di media è di
2.700 euro 1.700 euro 2.200 euro
Gruppo Statistica
30 IRRE Lombardia

31. Nessuno!
In realtà tutti hanno una “ragione”
La paga La paga La paga
media è di media è di media è di
2.700 euro 1.700 euro 2.200 euro
Gruppo Statistica
31 IRRE Lombardia

32. Cosa intende il proprietario dicendo che la
paga media è di 2.700 euro?
Se sommo gli euro/mese frequenza
stipendi di 23.000 1
tutti e divido Media aritmetica =
9.400 1
per 50
135.000 : 50 =
ottengo 2.700 6.500 2
2.600 3 2.700
2.200 19
1.700 22
1.300 2
135.000 50
Gruppo Statistica
32 IRRE Lombardia

33. Cosa intende l’operaio dicendo che la paga
media è di 1.700 euro?
La maggior euro/mese frequenza
parte dei 23.000 1
dipendenti
9.400 1
guadagna
moda = 1.700
1.700 euro 6.500 2
2.600 3
2.200 19
1.700 22
1.300 2
Gruppo Statistica
33 IRRE Lombardia

34. Cosa intende il commercialista dicendo che la
paga media è di 2.200 euro?
Chi guadagna euro/mese fr. pos.
2.200 euro è a 23.000 1 1°
mediana =
metà classifica
rispetto agli 9.400 1 2° Stipendio
altri stipendi 6.500 2 3°-4° in 25-26ma
2.600 3 5°-7° posizione=
2.200 19 8°-26° 2.200
1.700 22 27°-48°
1.300 2 49°-50°
Gruppo Statistica
34 IRRE Lombardia