Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc.pdf

B GIÁO D
Ộ ỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI H C BÁCH KHOA HÀ N I
Ọ Ộ
---------------------------------------
NGÔ TRƢỜNG MINH
ĐIỀ Ể Ậ ỐI ƢU CHO
U KHI N C N T
H PHI TUY N KHÔNG D NG CÓ RÀNG BU C
Ệ Ế Ừ Ộ
Chuyên ngành: ĐIỀ Ể
U KHI N VÀ T NG HÓA
Ự ĐỘ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ Ậ
THU T
ĐIỀ Ể
U KHI N VÀ T NG HÓA
Ự ĐỘ
HÀ NỘI - 2015

Luận văn tố ệ Chuyên ngành: Điề ể
t nghi p u khi n&Tự Động Hóa
Ngô Trƣờ – 13BĐKTĐH
ng Minh
M C
ỤC LỤ
M C..........................................................................................................................
ỤC LỤ
L ..............................................................................................................
ỜI CAM ĐOAN
CHƢƠNG 1: TỔ Ệ Ừ
NG QUAN H KHÔNG D NG.........................................................1
1.1 u v h phi tuy n không d ng. .............................................................1
Giới thiệ ề ệ ế ừ
1.2 ng tính ch ng h n hình ..................................................................2
Nhữ ấ ộ
t đ ọ ể
c đi
CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀ Ể Ậ ỐI ƢU CHO HỆ
U KHI N C N T
KHÔNG D .............................................................................................................16
ỪNG
2.1 m c ............................................................................16
Đặ ể
c đi ủa bài toán tối ƣu
2.2 Xây d ng bài toán t ..................................................................................21
ự ối ƣu
2.3 i bài toán phi tuy n không d ng............................................22
Phƣơng pháp giả ế ừ
2.4 Hàm Hamilton và tính ch n phân..............................................................24
ất biế
2.5 Lagrange và hàm Hamilton. ...............................................................32
Thừa số
2.6 i bài toán ràng bu c Arthur E. Bryson &Yu-Chi Ho ............41
Phƣơng pháp giả ộ
2.6.1 B ng th c ràng bu u khi n.
ấ ẳ
t đ ứ ộc về các biến điề ể ......................................41
2.6.2 B u khi n và bi n tr ng thái
ất phương trình ràng buộc của điề ể ế ạ ................44
2.6.3 B ng th c ràng bu a các bi n tr ng thái
ấ ẳ
t đ ứ ộc về chức năng củ ế ạ ...............45
CHƢƠNG 3 BÀI TOÁN HỆ Ế Ừ
PHI TUY N KHÔNG D NG.......................................50
3.1 L i thi u ....................................................................................................50
ời giớ ệ
3.2 i quy t v ..............................................................................................51
Giả ế ấn đề
3.3 K c a bài toán .........................................................................................56
ết quả ủ
3.4 d .................................................................................................................62
Ví ụ
3.5 K n.............................................................................................................63
ết luậ
K VÀ BÀN LU N..........................................................................................64
ẾT QUẢ Ậ
TÀI LIỆ Ả
U THAM KH O..............................................................................................65

ng Minh
Danh m c hình v
ụ ẽ
Hình 1.1 Cấ ủ ệ ế
u trúc mô hình c a h phi tuy n Hamerstein ...............................................3
Hình 1.2 Tìm nghi m h
ệ ệ phương trình (1.3) bằng phương pháp đồ ị
th ..........................4
Hình 1.3 Điề ện để ể
u ki ki m tra tính ổn định....................................................................8
Hình 2.1: Sơ đồ ệ ống điề ể
h th u khi n..............................................................................16
Hình 2.2 Nghiệ ối ưu địa phương/ toàn cụ
m t c...............................................................17
Hình 2.3 Mô hình động cơ điệ ộ ề ừ độ ậ
n m t chi u kích t c l p............................................19
Hình 2.4 Minh h a công th n phân
ọ ức biế ........................................................................25
Hình 2.5 Các đường đồ ứ
ng m c và vector gradient........................................................39
Hình 2.6 Cho m t bài toán tìm th i gian ng n nh t (barchistochorone) v i m t b
ộ ờ ắ ấ ớ ộ ất
đẳ ứ ế ạ ị ộ
ng th c có bi n tr ng thái b ràng bu c.....................................................................47
Hình 2.7 Tìm th i gian ng n nh t (barchistochorone) v
ờ ắ ấ ới 1
tan
2
 v i m t vài giá tr
ớ ộ ị
/
h l , bi n tr ng thái b ràng bu c
ế ạ ị ộ ..................................................................................49

ng Minh
LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Ngô Trƣờng Minh
H c viên l p cao h u khi n và t ng hóa 2013B i h
ọ ớ ọc điề ể ự độ – trƣờng đạ ọc
Bách khoa Hà Nội.
Xin cam đoan: đề “
tài Điề ể ậ ối ưu cho hệ ế ừ
u khi n c n t phi tuy n không d ng
có ràng bu c
ộ ” do thầ TS. Đào Phƣơng Nam hƣớ ẫ ủ
y giáo ng d n là c a riêng tôi.
“Tôi cam đoan rằ ạ ừ ế ả ả ừ
ng, ngo i tr các k t qu tham kh o t các công trình khác
nhƣ đã ghi rõ trong luận văn, các công việ ận văn này là do chính
c trình bày trong lu
tôi th c hi n n i dung nào c a lu c n l y m
ự ện và chƣa có phầ ộ ủ ận văn này đƣợ ộp để ấ ột
b ng c p ng này ho
ằ ấ ở trƣờ ặ ờng khác”.
c trƣ

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 1
C 1: T NG QUAN H KHÔNG D
HƢƠNG Ổ Ệ ỪNG
1.1 u v h phi tuy .
Giới thiệ ề ệ ến không dừng
Thƣờng xu hƣớng đơn giả ấn đề ỉ ứ ệ ừ
n hóa v là ch nghiên c u h d ng, tuy nhiên
có nh u khi n không th c h không d ng. Ví d
ững bài toán điề ể ể tránh đƣợ ệ ừ ụ: điều
khi i (không ph ng th ng).
ển xe bám đƣờng đi khi đƣờng đi thay đổ ả ờ
i đƣ ẳ
L ch s nghiên c u: u khi n h phi tuy n luôn là v
ị ử ứ Phân tích và điề ể ệ ế ấn đề thời
s s quan tâm c a nh c k t h
ự, thu hút đƣợc ự ủ ững ngƣời làm trong lĩnh vự ỹ thuậ ệ
thong. Nh ng h p h lý thuy
ững phƣơng pháp phân tích và tổ ợ ệ thống trên cơ sở ết
các h u khi n phi tuy n g n a trong các
ệ thống điề ể ến đã đƣa con ngƣời đế ần hơn ữ
ứ ụ ự ế cũng nhƣ khả năng nâng cao đƣợ ất lƣợ ệ ố
ng d ng th c t c ch ng cho các h th ng
điề ể ệ ạ ế ầ ố ữ ế ự ễ
u khi n hi n t i. Nó chính là chi c c u n i gi a lý thuy t và th c ti n. Chính
vì th , ngay t khi lý thuy u khi c khai sinh, m ng lý thuy t các h
ế ừ ết điề ển đƣợ ả ế ệ
thống điề ể ến đã khẳng định đƣợ ị ủ ều phƣơng
u khi n phi tuy c v trí c a mình. Nhi
pháp phân tích và điề ể ệ ến đã ra đờ ể
u khi n h phi tuy i và phát tri n song song cùng
lý thuy u khi n tuy
ết điề ể ến tính cơ bản. Đó là các phƣơng pháp phân tích mặt
ph u khi n h Wiener,
ẳng pha, phƣơng pháp phân tích và điề ể ệ Hammerstein, hệ
phƣơng pháp cân bằng điề ết Lyapunov hay phƣơng ph p điề
u hòa, lý thuy á u
khi (Tài li u [1] trang 3)
ển trƣợt. ệ
Đặ ệ ững năm gần đây ớ ự ợ ủ ề ọ
c bi t trong nh , v i s tr giúp c a nhi u ngành khoa h c
khác nhau, chuyên ngành ph u khi n h phi tuy ng
ân tích và điề ể ệ ến đã có nhữ
bƣớ ả ọ ề ặ ất lƣợ ả ế ẫ ứ ụ ề
c nh y v t v m t ch ng, c trong lý thuy t l n ng d ng. N n móng
cho s c t
ự ể ề ặ ết trƣớ ể ể đến là phép đổ ụ
phát tri n v m t lý thuy c tiên có th k i tr ọa độ
vi phôi xây d ng trên n n hình h o ra kh u, phân
ự ề ọc vi phân, đã tạ ả năng nghiên cứ
tích h phi tuy ng t n d ng các k t qu u khi n tuy
ệ ến theo hƣớ ậ ụ ế ả đã có của điề ể ến
tính…Bên cạ ự ể ề ất lƣợng trên, trƣờng phái phân tích và điề
nh s phát tri n v ch u
khi n h phi tuy c b sung thêm nhi u k thu h u ích
ể ệ ến kinh điển cũng đã đƣợ ổ ề ỹ ật ữ
khác r t g n v ng d t gain scheduling, k u khi
ấ ầ ới ứ ụng, nhƣ kỹ thuậ – ỹ thuật điề ển

d báo theo mô hình (Model Predictiv Control - ng th , lý
ự MPC)… Không nhữ ế
thuy t các h u khi n phi tuy ng d ng thành công cho
ế ệ thống điề ể ến đã còn đƣợc ứ ụ
l ng phi tuy
ớp đối tƣợ ế ất độ ọc đặ ệt nhƣ các hệ ụ độ
n có tính ch ng h c bi th ng, các
h h i ti p ch t tham s , h S n b to l n c a chuyên ngành phân
ệ ồ ế ặ ố ệ tiêu tán… ự tiế ộ ớ ủ
tích và điề ể ệ ế ầ ả ứ ụ ự ễ
u khi n h phi tuy n c n ph i nhanh chóng ng d ng vào th c ti n.
Đó cũng là điề ả ận văn này ới tên đề tài là “ Điề
u mà tác gi khi trình bày lu v u
khi n c n t phi tuy n không d ng có ràng bu .
ể ậ ối ƣu cho hệ ế ừ ộc”
Đây là mộ ật điề ể ả ồ ựng bài toán theo phƣơng pháp
t lu u khi n có ph n h i xây d
g u khi n t c áp d ng h phi tuy
ần đúng cho hệ điề ể ối ƣu. Đƣợ ụng cho đối tƣợ ệ ến
không d ng có th i gian ràng bu c t i h u khi n cho h b
ừ ờ ộ ớ ệ điề ể ệ ất phƣơng trình.
Đây là mộ ậ ề ể ệ ả ệ ố ễ ạ ẫn đế ự
t lu t đi u khi n có hi u qu khi h th ng có nhi u lo n d n s sai
l u khi mô hình không b n v ng.
ệch so với giá trị đặt ban đầ ề ữ
1.2 ng tính ch ng h n hình
Nhữ ất độ ọc điể
T t nhiên chúng ta khó có th tìm hi ng t i m c tr l i h
ấ ể ểu sâu đƣợc đối tƣợ ớ ứ ả ờ ết
đƣợ ấ ả ữ ỏ ề ất lƣợng độ ọ ủ
c t t c nh ng câu h i v ch ng h c c a nó, tuy nhiên có m t s
ộ ố
câu h n v n hình c ng nói riêng và h ng nói
ỏi cơ bả ề chất lƣợng điể ủa đối tƣợ ệ thố
chung mà b t c m t bài toán phân i tr l
ấ ứ ộ tích nào cũng phả ả ời đƣợc, đó là các câu
h :
ỏi về
- m tr ng thái cân b m tr ng thái d ng
Điể ạ ằng và điể ạ ừ
- nh c t i nh m cân b
Tính ổn đị ủa hệ ạ ững điể ằng đó
- ng c a h n s và tính nh c
Khả năng tự dao độ ủ ệ cũng nhƣ tầ ố, biên độ ổn đị ủa
các dao động này
- Có hay không hi ng h n lo n trong h
ện tƣợ ỗ ạ ệ
- Có hay không khả năng phân nhánh trong hệ
- ng tính ch ng h
Và nhữ ất khác nhƣ bậc tƣơng đối, tính độ ọc không …
Điể ạ ằng và điể ừng. Đƣơng nhiên, sẽ ả ế
m tr ng thái cân b m d hoàn h o n u ta có
đƣợ ế ậ ề ất độ ọ ủ ệ ố ộ
c các k t lu n v tính ch ng h c c a h th ng cho toàn b không gian
trạ ủ ạ
ng thái (không gian vector c a tr ng thái x ) Song r t có th
ấ ể là điều đó là

không th c hi c. N i ch p nh n kh o sát tính
ự ện đƣợ ếu nhƣ vậy, ngƣời ta đành phả ấ ậ ả
chấ ủ ệ ộ ố ạng thái đặ
t c a h trong m t s vùng tr c bi t mang tính ch n hình và
ệ ất điể
m n c a nh m tr ng thái cân b
ột trong các vùng đó là lân cậ ủ ững điể ạ ằng và điểm
trạ ừ ệ
ng thái d ng. (Tài li u [1] trang 35)
Định nghĩa 1.1: Xé phi tuy n d ng
t hệ ế ừ
( , )
( , )
d x
f x u
dt
y g x u




 

Khi đó
a) Điể ạ ằ
m tr ng thái cân b ng e
x m tr ng thái mà t
(equilibrium point) là điể ạ ại đó
và n u không b kích thích (
ế ị 0
u  ) h s i tr
ệ ẽ không thay đổ ạng thái. Nhƣ vậy
điể ạ ằ
m tr ng thái cân b ng e
x s chính là nghi m c a :
ẽ ệ ủ
0
( , ) 0
u
d x
f x u
dt 
 
(1.1)
b) m tr ng thái d ng
Điể ạ ừ d
x ng thái mà t i m t kích thích c
là điểm trạ ại đó và vớ ộ ố
định d
u u
 c, h s i tr m tr ng
cho trƣớ ệ ẽ không thay đổ ạng thái. Nhƣ vậy điể ạ
thái dừng d
x m c
là nghiệ ủa : ( , ) 0
d
u u
d x
f x u
dt 
  (1.2)
Ví dụ: Xác định điểm trạ ừ ệ
ng thái d ng cho h Hammerstein
Hình 1.1 C u trúc mô hình c phi tuy n Hamerstein
ấ ủa hệ ế
Xét h phi tuy n Hamerstein có c . s khâu tuy n tính
ệ ế ấu trúc nhƣ hình vẽ Giả ử ế
v i hàm truy n G(s) có G(0) là h u h n. Do khâu phi tuy
ớ ề ữ ạ ến là khâu tĩnh nên các
trạng thái x c a h ng thái c a khâu tuy n tính
ủ ệ Hamerstein cũng chính là trạ ủ ế
G(s). Gi s h ng thái d ng
ả ử ệ đang ở trạ ừ d
x , t c là ng v i tín hi u vào
ứ ứ ớ ệ ( ) d
t
 


xác định cho trƣớ ẽ
c, s có 0
d
d x
dt
 . u có bên trong h là
Khi đó các tín hiệ ệ e(t),
u(t) y(t)
và xác l p t i các giá tr d ng
cũng sẽ ậ ạ ị ừ , ,
d d d
e u y và gi a chúng có quan
ữ
h :
ệ ( )
d d
u f e
 , (0)
d d
y G u
 và d d d
e y

 
( )
d d
u f e
  và (0)
d d d
e G u

  (1.3)
Giả ệ phƣơng trình (1.3) ta đƣợ ệ
i h c nghi m (ud, ed) c a bài toán. Hình 1.2
ủ
minh h a cách tìm nghi m b . Nghi m (u
ọ ệ ằng phƣơng pháp đồ thị ệ d, ed) c a bài
ủ
toán xác định điể ừ ệ Hammerstein chính là giao điể ủa hai đồ ị
m d ng cho h m c th
u = f(e) và (0)
d
e G u

 
S m d y, tùy thu c vào h
ố các điể ừng cũng là số các giao điểm đó. Nhƣ vậ ộ ệ
mà c là khâu phi tuy
ụ thể ến tĩnh và vào khâu tuyến tính động cũng nhƣ vào tín
hiệu đầu cho trƣớc ( )
t d
 
 , bài toán có th vô nghi m (h
ể ệ ệ không có điểm
tr i
ạ ừ ứ ớ
ng thái d ng ng v ( )
t d
 
 ), song cũng có thể ộ ều điể
có m t hay nhi m
trạ ừ
ng thái d ng.
Hình 1.2 Tìm nghi m h
ệ ệ phương trình (1.3) bằng phương pháp đồ thị
Tiêu chuẩ ổn đị ệ ừ
n xét tính nh cho h không d ng
Xét tính nh c a h không d ng, cân b ng t i g c và có mô hình không
ổn đị ủ ệ ừ ằ ạ ố
b kích thích, không d ng có mô hình:
ị ừ ( ,t)
d x
f x
dt
 với (0, ) 0
f t  , 0
t
  thỏa

mãn m u ki
ọi điề ện đầu 0
( ) 0
x t x 
  c hi
.Để thự ện đƣợc điều này, ngƣời ta đƣa
th t s m sau:
êm vào mộ ố ệ
khái ni (Tài li u [1] trang 80)
ệ
Định nghĩa 1.2:
a) c
Hàm thự ( ), 0
r r
  c g i là thu c l p K n
đƣợ ọ ộ ớ ếu nó đơn điệu tăng và
(0) 0
  N u còn có
ế lim ( )
r
r


 thì hàm ( )
r
 p
đƣợc gọi là thuộc lớ K
b) Hàm nhi u bi
ề ến ( , )
V x t c g i là h p th c n u t i hai hàm
đƣợ ọ ợ ứ ế ồn tạ 1 2
,
 thuộc
l p K sao cho
ớ 1 2
( ) ( , ) ( )
x V x t x
 
 
c) Hàm th u gi
ực, đơn điệ ảm ( ), 0
z z
  thỏa lim ( ) 0
z
z


 hu p L
đƣợc gọi là t ộc lớ
d) Hàm c, liên t c
thự ụ ( , )
z t
 với , 0
z t  s c g i là thu c l p KL n u khi
ẽ đƣợ ọ ộ ớ ế t
c nh thì nó thu p K và khi c nh thì nó thu p L
ố đị ộc lớ z ố đị ộc lớ
e) Hàm th c, liên t c
ự ụ ( , )
z t
 với , 0
z t  s c g i là thu c l p KL
ẽ đƣợ ọ ộ ớ ∞ n u khi
ế t
c nh thì nó thu p K
ố đị ộc lớ ∞ và khi c nh thì nó thu c l p L
z ố đị ộ ớ
Ngoài ra, đị ể ệ ự ị
nh lý Lyapunov có phát bi u:cho h t tr
( )
d x
f x
dt
 ,
n
x và (0) 0
f  . Gọi ( )
V x a mãn
thỏ (1.4)
- Xác định dƣơng, tức là ( ) 0
V x  , ( ) 0
V x  và ( ) 0
V x  (1.5)
- Đơn điệu tăng theo x và có lim ( )
x
V x

  (1.6)
Ký hiệu:
d.n
( )
W( ) ( ) ( )
f
dV V x
t f x L V x
dt x

   

ký hiệu đạo hàm Lie. Khi đó:
a) N u
ế
W( )
t lân c n
xác định dƣơng trong mộ ậ

c a g c thì h nh ti
ủ ố ệ là ổn đị ệm
c n t i g c t v i mi n nh
ậ ạ ố ọa độ ớ ề ổn đị . N u có thêm
ế n
  thì h nh
ệ là ổn đị
tiệ ậ ụ
m c n toàn c c (GAS global asymptotically stable).
–
b) Khi W( ) 0
x  , x 
  ( xác định bán dương) thì h nh t .
ệ là ổn đị ại gốc tọ ộ
a đ

Ta còn nh n th y khi h nh ti c n ho nh, thì ho c s có
ậ ấ ệ đã ổn đị ệm ậ ặc ổn đị ặ ẽ
( ) 0
x t  ho c nó s l i trên m ng m
ặ ẽ ở ạ ột đƣờng đồ ức nào đó bao gốc
0
( 90 )
 ,
n g
ếu nhƣ nó không tiến về ốc tọa, nên cũng sẽ luôn có lim 0
t
dV
dt

 . Suy ra:
Định lý (LaSalle): Xét h phi tuy n không b kích thích và cân b ng t i g
ệ ế ị ằ ạ ốc
mô t b u [1] trang 80)
ả ởi (tài liệ
( ,t)
d x
f x
dt
 với (0, ) 0
f t  , 0
t
  . (1.7)
Ký hiệu ( , )
V x t a mãn (hàm h p th c):
là hàm trơn thỏ ợ ứ
1 2
( ) ( , ) ( )
x V x t x
 
  với 1 2
, K
  và 0
t t
  8)
(1.
Và là m t mi n h
ộ ề ở nào đó chứa gốc tọa độ, cũng nhƣ:
( , ) ( , ) W( , )
f
dV V V V
f x t L V x t x t
dt t x t
  
     
  
9)
(1.
a) N u
ế W( , ) 0
x t  v i m
ớ ọi x 
 và v i m
ớ ọi 0
t t
 thì h i
ệ ẽ ổn đị ạ
s nh t 0
t .
b) N u
ế W( , ) ( )
x t x

 với 0
,
x t t

   và K
 thì h m c i
ệ ẽ ổn đị ệ
s nh ti ậ ạ
n t 0
t
v i mi n nh
ớ ề ổn đị và khi đó hàm V( , )
x t s i là .
ẽ đƣợc gọ Hàm Lyapunov
c) c
N u h nh ho
ế ệ ổn đị ặ ổn đị ệ
nh ti m cậ ẽ
n thì s luôn có limW( , ) 0
t
x t


Chứng minh: (Tài li u [1] trang 81)
ệ
a) T 9) ta suy ra hàm
ừ (1. V( , )
x t không tăng theo t . V i có v i m
ậy cũng phả ớ ọi
0 : 0
0 0 0
Bây gi ta ch n m t s
ờ ọ ộ ố dƣơng  tùy ý. Vì 1 2
( ), ( )
r r
  c l p K nên luôn
thuộ ớ
t n t i m t h ng c
ồ ạ ộ ằ ố dƣơng 0
( , )
t
  khác th a mãn
ỏ 1 2
( ) ( )
  
 . Gọi ( )
x t là một
qu o tr u
ỹ đạ ạng thái có điể ầ
m đ 0
0
( )
x t x 
  thỏa mãn 0 0
( , )
x t
 
 . V y thì:
ậ
1 2 0 0
( ) ( ) V( ,t ) V( (t),t)
x x
   
  

Nói cách khác, qu o tr ng thái
ỹ đạ ạ ( )
x t đi từ 0
x không th ra ngoài lân c n
ể ậ 
đƣợ ữ ế ớ
c n a, vì n u không, v i x 
 ta sẽ ợc điề ị
thu đƣ u ngh ch lý:
1 1
( , ) ( x ) ( )
V x t   
  V y h nh t
ậ ệ ổn đị ại 0 (đ.p.c.m)
b) Với W( , ) ( ) 0
x t x

  thì h nh. Ngoài ra, khi
ệ là ổn đị 0
x  thì với ( ) 0
x
 
hay ( , ) ( ) 0
f
L V x t x

  v n ph i có góc
ẫ ả
0
90
 nên qu o tr ng thái
ỹ đạ ạ ( )
x t
v n c ng m c c
ẫ ắt các đƣờng đồ ứ ủa V( , )
x t t có
ừ ngoài vào trong. Do đó ta sẽ
thêm lim ( ) 0
t
x t

 .
c) Vì h nh nên có
ệ ổn đị x 
 . Do V( , )
x t không tăng theo t nên V( , )
x t cũng
b n, hay
ị chặ
0
W( , )dt limV( , )
t
t
x t x t


 
 là m t s h u h n. V y, theo nh lý
ộ ố ữ ạ ậ đị
Barbalat, c tích phân vô h n h i t i d u tích phân ph i ti
ần để ạ ộ ụ là hàm dƣớ ấ ả ến
v u ph i ch ng minh.
ề 0, ta có điề ả ứ
Đƣơng nhiên đị ụng đƣợ ệ ừ ớ
nh lý LaSalle hoàn toàn áp d c cho h không d ng v i
mô hình (1.7), còn g i là h b t bi n theo i gian. V y nên tiêu chu
ọ ệ ấ ế thờ ậ ẩn
Lyapunov (đị ỉ ột trƣờ ợ ủa đị
nh lý 1.7) ch là m ng h p riêng c nh lý LaSalle và trong
nhi u tài li ng h p b n c a LaSalle
ề ệu, đƣợc gọi là trƣờ ợ ất biế ủ
Tiêu chu nh lý LaSalle ch u ki u này nói
ẩn Lyapunov và đị ỉ là điề ện đủ. Điề
r ng n u ta c m t hàm Lyapunov cho h thì v n không nh
ằ ế không tìm đƣợ ộ ệ ẫ ổn đị
(không tìm đƣợc không có ngĩa là nó không tồ ạ ỉ ớ ứ
n t i). Ch t i khi ta ch ng minh
đƣợ ằ ự ự ồ ạ ớ ể ẳng định đƣợ
c r ng th c s không t n t i hàm Lyapunov thì m i có th kh c
là hệ ổn đị
không nh.
M c dù không kh c h (1.7) có nh hay không khi ta không
ặ ẳng định đƣợ ệ ổn đị
tìm ra đƣợ ộ
c m t hàm Lyapunov ( , )
V x t c ta có th
ụ thể, song hoàn toàn tƣơng tự ể
đƣa ra mộ ề ện đủ để ể ổn đị ủ ệ
t đi u ki ki m tra tính không nh c a h (1.7)

Hình 1.3 Điề ệ ể ể ổ ị
u ki n đ ki m tra tính n đ nh
Xét m t hàm
ộ ( , )
V x t h p th c có vector gradient luôn ch t trong ra ngoài
ợ ứ ỉ ừ
trong toàn bộ ạ ếu đạ
không gian tr ng thái n
Hình 1.3 o hàm
( , ) 0
f
dV V
L V x t
dt t

  

10)
(1.
Của ( , )
V x t tính d c theo qu o tr ng thái c a h (1.7) là s
ọ ỹ đạ ạ ủ ệ ố dƣơng thì quỹ
đạ ạ ủ ệ ẽ ả ắt các đƣờng đồ ứ ủ
o tr ng thái c a h s ph i luôn c ng m c c a ( , )
V x t theo
hƣớ ừ ẽ ả ế ớ
ng t trong ra ngoài, do đó nó s ph i ti n t i . Suy ra:
Đị ệ ẽ ổn đị ạ
nh lý: h 7) s
(1. không nh Lyapunov t i 0 n u t n t i hàm h p ph
ế ồ ạ ợ ức
( , )
V x t o hàm (1.10 . (Tài li u [1] trang 82)
và đạ ) của nó xác định dƣơng ệ
Khác v i tiêu chu n Lyapunov nh lý 1.47) mà
ớ ẩ (đị ở đó hàm ( )
V x chỉ ầ ỏ
c n th a
mãn hai tích ch t (1.5) và (1.6) thì nh lý LaSalle, hàm
ấ ở đị ( , )
V x t ph i là hàm
ả
h p th c, túc là th a mãn 8). Ta có th d dàng th u ki n h p th c (1.8
ợ ứ ỏ (1. ể ễ ấy điề ệ ợ ứ )
chứa đự ả hai điề ện (1.5) và (1.6), nhƣng điều ngƣợ ạ
ng luôn c u ki c l i thì không.
Điề ẫ ớ ệ ế ỉ ử ụ ộ
u này d n t i vi c n u ch s d ng m t hàm ( )
V x a mãn (1.5) và (1.6)
thỏ
cho h không d ng (1.7) thay cho h p th c (1.9) khi áp d
ệ ừ ợ ứ ụng đính lý LaSalle sẽ
r d n nh ng k sai l m.
ất có thể ẫn đế ữ ết quả ầ
Ví dụ ệ ự ị ừ
: Xét h t tr , không d ng:
( )
( )
dx d t x
dt dt t



Dễ thấy ngay đƣợ ệ ỹ đạ ạ
c h có qu o tr ng thái:

2
0 ( ) ( )
dx d d x
x x t c t
dt dt dt

  

 
    
 
 
, c là h ng s
ằ ố
Do đó nếu hàm ( )
t
 b n v 0, h s nh (không
ị chặn nhƣng không tiế ề ệ ẽ ổn đị ổn
đị ệ ậ ọ ộ nhƣ vậ
nh ti m c n). Ch n m t hàm y và th a mãn thêm:
ỏ
2
0
( ) ,
t
d t
  


Thì hàm :
2
2
1 2
0
( , ) ( )
( )
t
x
V x t dt
t
  


 


 là xác định dƣơng (nhƣng không hợp
thức). Với hàm xác định dƣơng này ta có:
2 2
2 2 2
1
4
0
2 ( / ) 2 ( / )
( )
t
dV x dx dt x d dt
dt x x
dt
  
  

 

    
 
 

Xác đị ệ ỉ ổn đị ứ ổn đị ệ ậ
nh âm, song h ch là nh ch không nh ti m c n.
Tƣơng tự ế ạ ọn hàm xác định dƣơng (không hợ ứ
, n u ta l i ch p th c)
2
2
2 2
0
( , ) ( )
( )
t
x
V x t dt
t
 

  Thì tuy r o hàm c
ằng đạ ủa nó:
2 2
2 2 2
2
4
0
2 ( / ) 2 ( / )
( )
t
dV x dx dt x d dt
dt x x
dt
  
 


  

Là xác định dƣơng nhƣng hệ ạ ổn đị
l i nh.
Ổn đị ệ ận đề ổn định theo hàm mũ. ệ
nh ti m c u và (Tài li u [1] trang 83)
V i tiêu chu n Lyapunov cho h t , d ng nh lý LaSalle cho h
ớ ẩ ệ ự trị ừ hay đị ệ
không t , không d ng (1.7) ta có th ki c tính nh ti m c n t
ự trị ừ ể ểm tra đƣợ ổn đị ệ ậ ại
0
c a m t h phi tuy n nói chung, tuy nhiên l i v n không bi c d ng ti
ủ ộ ệ ế ạ ẫ ết đƣợ ạ ến
về 0 c o tr ng thái t do
ủa quỹ đạ ạ ự ( )
x t c k t lu
ủa nó, do đó cũng không thể ế ận đƣợc
v ng nh c a nó, ch ng h n v n không th bi c nó
ề chất lƣợ ổn đị ủ ẳ ạ ẫ ể ết đƣợ ổn định
nhanh hay ch m, có u hay không ho c khi ti n v
ậ ổn định đề ặc trƣớ ế ề 0 có khi nào

nó r m g c t c ph i ta
ời xa điể ố ọa độ hay không … Để khắ ục nhƣợc điểm này ngƣờ
đã đƣa ra mộ ẩn để đánh giá chất lƣợ ổn đị ủ ệ nhƣ:
t vài tiêu chu ng nh c a h
- H 7 nh càng nhanh n u nó có giá tr
ệ (1. ) ổn đị ế ị W( )
x với 0
x  càng l n, vì
ớ
khi đó góc cắt gi a qu o tr ng thái t do
ữ ỹ đạ ạ ự ( )
x t và đƣờng đồ ứ
ng m c cao
(nếu ( )
x t càng c t vuông góc v ng m c, nó s n v 0 càng
ắ ới đƣờng đồ ứ ẽ tiế ề
nhanh).
- H u có
ệ là ổn định đều theo nghĩa nế 1 2
t t
 thì cũng có 1 2
( ) ( )
x t x t
 khi giá trị
W( , )
x t là đơn điệu theo t .
Song nh ng tiêu chu a ch y u vào d ng hàm h p th
ữ ẩn đánh giá này, do dự ủ ế ạ ợ ức
V( , )
x t đƣợ ọ ỉ mang tính đị ể đƣợ ọi là đã đánh
c ch n, nên ch nh tính và không th c g
giá đúng chấ ợ ổn đị ủ ệ
t lƣ ng nh c a h .
Mong mu n có nh ng tiêu chu ng nh h phi tuy
ố ữ ẩn đánh giá chất lƣợ ổn đị ệ ến
m t cách th ng nh i tính nh c a h
ộ ố ất và chính xác, ngƣời ta đã so sánh vớ ổn đị ủ ệ
tuy nh xem qu o tr ng thái t do c a h tuy n tính nh có
ến tính, xác đị ỹ đạ ạ ự ủ ệ ế ổn đị
nh t t ra nh ng khái ni và ch ng nh cho h
ững đặc điểm gì để ừ đó đặ ữ ệm ất lƣợ ổn đị ệ
phi tuy n nói chung.
ế
Xét hệ ế ổn đị ệ ậ ớ ị
tuy n tính nh (ti m c n) v i mô hình không b kích thích:
d x
Ax
dt
 , là ma tr n b n ( có t giá tr riêng n m bên trái tr o)
A ậ ề ất cả ị ằ ục ả
Khi đó nghiệm 0
( ) At
x t e x
 với 0 (0)
x x
 là tr u, s có các tính ch
ạng thái đầ ẽ ất
sau:
- Luôn có
 0
( )
x t x

 với K
 và 0
t
  , vì 0 0 0
( ) At At
x t e x e x x

   trong
đó At
e
 là s th
ố ực dƣơng hữ ạ ề
u h n (vì b
A n).

- N u t t c các giá tr riêng c là nh ng s c thì s
ế ấ ả ị ủa A ữ ố thự ẽ có 0
( ) ( , )
x t x t


với KL
 và 0
t
  , vì khi 1 2
t t
 thì 1 2
At At
e e

Tƣơng ứ ệ ến ngƣời ta cũng có các định nghĩa về ấ ợ
ng, trong h phi tuy ch t lƣ ng
qu o tr ng thái t do c a m phi tuy n
ỹ đạ ạ ự ủ ột hệ ế ổn định nhƣ sau:
Định nghĩa 1.3: Xét h phi tuy n không d ng, cân b ng t i g c và có mô
ệ ế ừ ằ ạ ố
hình không b kích thích (1.7 s (Tài li u [1] trang 84)
ị ). Khi đó hệ ẽ đƣợc gọi là: ệ
a) ổn định đề ạ
u t i 0
t (uniformly stabil) n u t n t i mi n
ế ồ ạ ề và hàm K
 để có
0
( ) ( )
x t x

 v i m
ớ ọi 0
t t
 và 0
0
( )
x t x 
 
b) nh toàn c c t
ổn đị ụ ại 0
t n u nó u v i mi nh
ế ổn định đề ớ ền ổn đị là toàn bộ
không gian tr ng thái và
ạ K
 
 .
c) Ổn đị ệ ận đề ạ
nh ti m c u t i 0
t n u t n t i mi n
ế ồ ạ ề chứ ố ọa độ ề ổ ị
a g c t (mi n n đ nh)
và hàm KL
 để có:
0 0
( ) ( , )
x t x t t

  v i m
ớ ọi 0
t t
 và 0
0
( )
x t x 
 
d) nh ti m c u toàn c c t
Ổn đị ệ ận đề ụ ại 0
t n u nó nh ti m c u v i mi n
ế ổn đị ệ ận đề ớ ề
ổn định là toàn bộ ạ
không gian tr ng thái và KL
 

e) Ổn định theo hàm mũ tại 0
t n u nó nh ti m c u toàn c c và th a mãn
ế ổn đị ệ ận đề ụ ỏ
0
( )
0 0
0
( , ) b t t
x t t x e
   
  với ,b
 là hai số dƣơng và 0
0
( )
x t x 
 
f) Ổn đị ục theo hàm mũ nế ổn định theo hàm mũ, có
nh toàn c u nó là toàn bộ
không gian tr ng thái.
ạ
Trong định nghĩa trên ta có đề ậ ớ ệ ổn đị ạ
c p t i khái ni m nh t i 0
t . Đây là khái
ni c b sung thêm cho h không d ng (1.7) và th
ệm ổn định Lyapunov đƣợ ổ ệ ừ ực
chất đƣợc xác đị ở ời điể
nh th m 0
t theo nghĩ ệ ừ ẽ ổn đị
a: H không d ng (1.7) s nh
đề ế ớ ọ
u n u v i m i 0
 và v i m
ớ ọi 0
t b t k bao gi n t
ấ ỳ ờ cũng tồ ại ( )
 chỉ ụ
ph

thuộc (chứ ụ ộ
không ph thu c 0
t ) sao cho qu o tr ng thái t do
ỹ đạ ạ ự ( )
x t c a nó v
ủ ới
điề ện đầ
u ki u 0
0
( )
x t x 
  , luôn thỏa mãn: 0 0
( ) ( ) ,
x x t t t
  
    
Rõ ràng h c l i thì
ệ đã ổn định đều thì cũng sẽ ổn định Lyapunov, song ngƣợ ạ
không ph sau:
ải lúc nào cũng đúng. Ta xét ví dụ
Ví d : Xét h không d ng có mô hình không b kích thích: (Tài li u [1] trang
ụ ệ ừ ị ệ
85)
1
dx x
dt t



H này có qu o tr ng thái t do:
ệ ỹ đạ ạ ự
0
0
1
( ) ( )
1
t
x t x t
t



Thỏa mãn 0
( ) ( )
x t x t
 khi 0
t t
 (bị ặ
ch n) và
8
lim ( ) 0
t
x t

 , nên nó là nh
ổn đị
tiệ ậ ục) theo nghĩa Lyapunov, song lạ ổn định đề ớ
m c n (toàn c i không u, vì v i
mọi 0
 ta không xác định đƣợc không phụ thuộc 0
t .
Đị ệ ế ị ằ ạ ố ả ở
nh lý: Xét h phi tuy n không b kích thích và cân b ng t i g c mô t b i
(1.7). Ký hiệu ( , )
V x t a mãn: (Tài li u [1] trang 85)
là hàm trơn thỏ ệ
1 2
( ) ( , ) ( ), 0
x V x t x t
 
   
3
( , ) ( ), 0
V V
f x t x t
t x

 
    
 
V i m
ớ ọi x thuộ ậ
c lân c n n
x x
 
  
 . Khi đó hệ ẽ
s :
a) Ổn định đề ế
u n u 1 2
( ), ( )
r r K
   và 3( ) 0
r
  khi [0, )
r 

b) nh ti m c u n u
Ổn đị ệ ận đề ế 1 2
( ), ( )
r r
  và 3( )
r
 đề ữ ộ ớ
u là nh ng hàm thu c l p K
khi [0, )
r 


c) Ổn đị ệ ận đề ụ ế
nh ti m c u toàn c c n u 1 2
( ), ( )
r r
  và 3( )
r
 là nh ng hàm thu
ữ ộc
l p
ớ K và không phụ thuộc 
d) u
Ổn định theo hàm mũ nế ( ) a
i i
r k r
  khi [0, )
r 
 và 0
a  v i
ớ 1,2,3
i 
e) Ổn đị ệ ậ ục theo hàm mũ nế
nh ti m c n toàn c u không ph thu
ụ ộc và c) đúng
v i m
ớ ọi 0

Chứng minh: Do hàm ( , )
V x t v i các tính ch u ki n
ớ ất đã nêu trên thỏa mãn điề ệ
(1.8) và (1.9) c nh lý LaSalle v i m
ủa đị ớ ọi 0 0
t  nên ta có ngay kh nh a).
ẳng đị
Khẳng định b) đƣợc suy ra t k t qu c nh lý LaSalle vì
ừ ế ả ủa đị 3
( )
x
 là xác định
dƣơng. Khẳng đị ể ớ ệ ổn định đề
nh c) là hi n nhiên. V i d) thì h u và có
0
( ) at
x t m x e
 v i m
ớ ọi 0
x 
 và là m p
m ột số dƣơng thích hợ
Đị ệ ệ
nh lý Khalil: Xét h (1.7). ký hi u ( , )
V x t là hàm trơn thỏ ệ
a mãn: (Tài li u
[1] trang 86)
a ( , )
k k
x V x t b x
  với a,b,k >0 và t

N u có :
ế k
( , ) c
f
V
L V x t x
t

  

với 0,
c x 
  và t
 (1.11)
Thì h (1.7) s u (1.11) còn th a mãn
ệ ẽ ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ. Nế ỏ
v i m ng s
ớ ọi hằ ố dƣơng thì tính ổn định đó sẽ ụ
là toàn c c.
Chứng minh:
Từ (1.11) ta có ( , ) c ( , )
k
dV V V c
f x t x V x t
 
     
 
hay ( , )
dV c
V x t
 
Nhƣng do nên điề ện đầ
b, c>0 u ki u 0
0 0 0 0
( ( ), ) ( ), )
V x t t V x t V
  ta cũng sẽ có
nghiệm ( ), )
V x t của bất phƣơng trình vi phân trên thỏa mãn:
0 0
/ )( ) / )( )
0 0
( , ) e ( , ) e
k
c b t t c b t t
V x t V V x t b x
   
  

0 0
1/
/ )( ) ( / )( )
0
0
e ( )
k
k k
c b t t c bk t t
b
a x b x x t x e
a
   
 
    
 
Đị ần và đủ để ệ ừ ớ
nh lý Lipschitz : C h không d ng (1.7) v i vector hàm ( , )
f x t
thỏ ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ tồ ạ
a mãn Lipschitz, n t i hàm ( ,t)
V x sao
cho:
2 2
2
( , ) , 0
( , ) 0, , 0
( , )
, 0
f
a x V x t b x a b
V
L V x t c x c x t
t
V x t
d x d
x



  


      



 
 



(1.12)
Chứng minh:
Điề ện đủ đƣợ ột cách hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở ầ ứ
u ki c suy ra m ph n ch ng
minh đị ẳ ạ ừ
nh lý Khalil. Ch ng h n t (1.12) ta có ngay:
0 0
( ) ( )
2
0 0
0
( , ) V( ,t )
c c
t t t t
b b
dV c
V V x t x e b x e
dt b
   
     với 0 0
( )
x x t

Suy ra:
0 0
( ) ( )
2 2
2
0 0
( ) ( , ) ( )
c c
t t t t
b b
b
a x t V x t b x e x t x e
a
   
   
Chuy u ki n c n, ta ph i ch r ng n u qu o tr ng thái t do
ển sang điề ệ ầ ả ỉ ằ ế ỹ đạ ạ ự ( )
x t
c (1.7) th a mãn:
ủa hệ ỏ
0
( )
0
( ) p t t
x t q x e 
 với 0, 0
p q
  và 0 0
( )
x x t
 
Thì s t n t i hàm
ẽ ồ ạ ( ,t)
V x có ba tính chất nêu trong (1.12). Và để làm đƣợc
điề ẽ ử ụ ạ ệ
u này, ta s s d ng l i ký hi u ( )
f
x

 chỉ ệ ủa phƣơng trình vi phân
nghi m c
(1.7) t i th
ạ ời điểm ứ ớ điề ện ban đầ
ng v i u ki u ( )
x x t
 tùy ý nhƣng cho trƣớc.
Cùng vớ ệu đó, ta xây dự hàm xác định dƣơng.
i ký hi ng

2
( , ) ( )
t T
f
t
V x t x d
 

 

Có T>0 là h ng s i gian tùy ch n. T t r ng h
ằ ố thờ ọ ừ giả thiế ằ ệ là ổn định (địa
phƣơng) theo hàm mũ ở đây ta phải có:
( ) ( )
( ) ,
L t f p t
x e x q x e x
 
 
   
    
Trong đó ằ ố ủ
L là h ng s Lipschitz c a vector hàm ( , )
f x t i. Rõ
, định nghĩa bở
ràng hàm ( ,t)
V x này th a mãn b nh ng v
ỏ ất phƣơng trình thứ ất trong (1.12) ứ ới:
2/ 2
2
1 1
,
2 2
T pT
e e
a b q
L p
 
 
 
Tiế ục, ta tính đạ ủ
p t o hàm c a hàm ( ,t)
V x theo t sẽ đƣợc:
2 2 2
2 2
( ,t)
( ) ( ) (1 )
f f pT
t T t
dV x
x x q e x
dt


      
S u ki n th c th a mãn v
ẽ thấy điề ệ ứ hai trong (1.12) là đƣợ ỏ ới
2 2
1 pT
c q e
  .
Cuối cùng, khi tính đạ ủ
o hàm c a ( , t)
V x theo 1 2
( , ,... )T
n
x x x x
 ta sẽ có:
( )
( )
1
( )
( , t)
2 ( )
f
t T n
i
f
i
i
k k
t
x
V x
x d
x x

 




 
 


Trong đó ( )
( ) , 1,2,...,
f
i
x i n

  là ký hi u ch ph n t c
ệ ỉ ầ ử thứ i ủa ( )
f
x

 . Ký
hi u ti p
ệ ế ( ),A ( )
ki ki
Q q a
  là hai ma tr n ki u
ậ ể n n
 có các phầ ử
n t ,
ki ki
q a là:
( )
( ) ( ,t)
,
f
i k
ki ki
k i
x f x
q a
x x

 
 
 
thì do: ( )
k t
dQ
AQ Q e 

   trong đó A k


Nên : ( )( )
( ,t)
2
t T
k p t
t
V x
q xe d
x



 


  với
( )
2 ( 1)
k p T
q e
d
k q





C N T
HƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CẬ ỐI ƢU CHO
H KHÔNG D
Ệ ỪNG
2.1 m c a bài toán t
Đặc điể ủ ối ƣu
a) Khái niệm
M t h u khi c thi t k làm vi c t t nh t là h luôn
ộ ệ điề ển đƣợ ế ế ở chế độ ệ ố ấ ệ ở trạng
thái t t tiêu chu n ch c giá tr c c tr
ối ƣu theo mộ ẩ ất lƣợng nào đó (đạt đƣợ ị ự ị).
Trạ ối ƣu có đạt đƣợ ộ
ng thái t c hay không tùy thu c vào yêu c u ch t ra,
ầ ất lƣợng đặ
vào s hi u bi t v u ki n làm
ự ể ế ề đối tƣợng và các tác động lên đối tƣợng, vào điề ệ
vi u khi
ệc của hệ điề ển…
Hình 2.1 h u khi n
: Sơ đồ ệ thống điề ể
-
Trong đó:  u vào
:tín hiệu đầ
- u u khi n
: Tín hiệu điề ể
- y : tín hi u ra
ệu đầ
- e z

  u sai l
: tín hiệ ệch
- 1 2
,
n n u nhi u
: tín hiệ ễ
Chỉ ất lƣợ ủ ộ ệ ố ể đƣợc đánh giá theo sai lệ
tiêu ch ng Q c a m t h th ng có th ch
c u khi n y so v i tr s mong mu n
ủa đại lƣợng đƣợc điề ể ớ ị ố ố  , lƣợng quá điều
khi n (tr s c
ể ị ố ực đại max
 so v i tr s xác l p
ớ ị ố ậ  (∞) tính theo phần trăm), thời
gian quá độ… hay theo mộ ỉ ố ợp trong điề ệ ệ ất đị
t ch tiêu h n h u ki n làm vi c nh nh
nhƣ hạ ế ề ấ ốc độ ốc… Do đó việ ọ ộ ật điề ể
n ch v công su t, t , gia t c ch n m t lu u khi n

và cơ cấu điề ển để đạt đƣợ ế độ ệ ối ƣu cón tùy thuộc vào lƣợ
u khi c ch làm vi c t ng
thông tin ban đầu mà ta có đƣợc.
Ở đây chúng ta có thể ấy đƣợ ự ệ ủ ất lƣợ ối ƣu khi ợ
th c s khác bi t c a ch ng t lƣ ng
th i (
ông tin ban đầu thay đổ Hình 2.2)
Hình 2.2 Nghi m t c
ệ ối ưu địa phương/ toàn cụ
Khi tín hiệu điề ể ớ
u khi n u gi i hạ ề
n trong mi n [u1, u2], ta có đƣợ ị ối ƣu
c giá tr t
c Q
ự ạ
c đ i *
1 c tiêu ch ng J ng v i tín hi u khi n u
ủa chỉ ấ ợ
t lƣ ứ ớ ệu điề ể *
1 .
Khi tín hi u khi n u không b ràng bu c b u ki n u
ệu điề ể ị ộ ởi điề ệ 1 ≤ u ≤u2, ta có
giá tr t Q
ị ối ƣu *
2 Q
> *
1 ng v
ứ ới u2
*
. Nhƣ vậ ị ối ƣu thự ự ờ
y giá tr t c s bây gi Q
là *
2.
T t mi n [u
ổng quát hơn, khi ta xét bài toán trong mộ ề m , un] nào đó và tìm
đƣợ ị ối ƣu
c giá tr t Q*
1 t c b
thì đó là giá trị ối ƣu cụ ộ. Nhƣng khi bài toán không
có điề ệ ộc đố ớ ị ối ƣu là
u ki n ràng bu i v i u thì giá tr t Q*
= extremum (Q*
i) v Q
ới *
i
là các giá trị ối ƣu cụ ộ ị
t c b , giá tr Q*
chính là giá tr t
ị ối ƣu toàn cục.
Điề ệ ồ ạ ự ị
u ki n t n t i c c tr :
- o hàm b c m Q ng 0 :
Đạ ậ ột của theo u phải bằ


= 0
- o hàm b c hai c Q theo u t m c
Xét giá trị đạ ậ ủa ại điể ực trị:
2 

2
> 0 m c là giá tr c u
: điể ực trị ị ực tiể
2 

2
< 0 m c là giá tr c i
: điể ực trị ị ự ạ
c đ

b) u ki n thành l p bài toán t
Điề ệ ậ ối ƣu
Để ậ ối ƣu ầu đầ ệ ố ải có đặ
thành l p bài toán t thì yêu c u tiên là h th ng ph c tính
phi tuy n có c .
ế ực trị
Bƣớ ọ ệ ậ ộ ệ ối ƣu là xác đị ỉ ấ
c quan tr ng trong vi c thành l p m t h t nh ch tiêu ch t
lƣợ ệ ụ cơ bả ở đây là bảo đả ự ị ủ ỉ ất lƣợ
ng Q. Nhi m v n m c c tr c a ch tiêu ch ng Q.
Ví d ng h t i ng nhanh thì yêu c i v là nhanh
ụ nhƣ khi xây dự ệ ố ƣu tác độ ầu đố ới hệ
chóng chuy n t ng thái này sang tr ng thái khác v i th nh
ể ừ trạ ạ ớ ời gian quá độ ỏ
nh c ti u hóa th
ất, nghĩa là cự ể ời gian quá độ. Hay khi tính toán động cơ tên lửa
thì ch tiêu ch c kho ng cách l n nh t v ng nhiên li
ỉ ất lƣợng vƣợt đƣợ ả ớ ấ ới lƣợ ệu đã
cho.
Chỉ ất lƣợ ụ ộ ệ ệu điề ể
tiêu ch ng Q ph thu c vào tín hi u ra x(t), tín hi u khi n u(t)
và th u khi n t nh tín hi u khi n u(t) làm
ời gian t. Bài toán điề ể ối ƣu là xác đị ệu điề ể
cho ch tiêu ch t c c tr v i nh u ki n h n ch nh nh c a u
ỉ ất lƣợng J đạ ự ị ớ ững điề ệ ạ ế ất đị ủ
và x .
Chỉ ấ ợng J thƣờ ạng nhƣ sau:
tiêu ch t lƣ ng có d
 =  





,



,



0
Trong đó L là mộ ếm hàm đố ớ ệ ệu điề ể ờ
t phi i v i tín hi u x, tín hi u khi n u và th i
gian t.
Ví d : V u khi n m t chi u kích t c l p
ụ ề bài toán điề ển động cơ điệ ộ ề ừ độ ậ 
kt =
const v i tín hi u khi n ph n ng i
ớ ệu điề ển u là dòng điệ ầ ứ u và tín hi u ra x là góc
ệ
quay c a tr
 ủ ụ ộng cơ.
c đ
Ta có phƣơng trình cân b ng moment c
ằ ủa động cơ:
 
   =  


(2.1)
 =


(2.2)

Hình 2.3 t chi u kích t p
Mô hình động cơ điện mộ ề ừ độc lậ
Trong đó kM = CM = const; M
q là moment quán tính;  là t góc; là
ốc độ 
góc quay. s b qua ph t trên tr c
Giả ử ỏ ụ ải ụ động cơ (Mc = 0) thì :
 
 = 
2 

2
(2.3)
N u xét theo i t:
ế thờ gian tƣơng đối bằng cách đặ  
= 


 
Thì (2.3) có d ng:
ạ
2 

2
= 
 (2.4)
Từ đó ta có :
2

2 =  (2.5)
V ng thái c n là m
ậy phƣơng trình trạ ủa động cơ điệ ột phƣơng trình vi phân
c p hai.
ấ
 Bài toán t ng nhanh ( th i gian t i thi u) :
ối ƣu tác độ ờ ố ể
Tím lu u khi n u(t) v u ki n h n ch
ật điề ể ới điề ệ ạ ế 


 1 để động cơ quay từ ị
v
trí ban đầ ốc độ đề ằng 0 đế ị ố
u có góc quay và t u b n v trí cu i cùng có góc quay
b ng
ằ 0 và t b ng 0 v i m ng th i gian ng n nh
ố ộ
c đ ằ ớ ột khoả ờ ắ ất.
Vì cầ ờ
n th i gian ng t nên ch tiêu ch
ắ ấ
n nh ỉ ất lƣợ ẽ
ng Q s là:
 =  





,


,

 
=

0
Rõ ràng t i có L[x(t), u(t),t] = 1.
ừ phƣơng trình trên ta phả

Nhƣ vậy, đố ớ ối ƣu tác độ ỉ ất lƣợ
i v i bài toán t ng nhanh thì ch tiêu ch ng Q có
d ng:
ạ =
  1 =
 

0
 Bài toán năng suấ ối ƣu:
t t
Năng suấ ở đay đƣợc xác đị ở
t nh b i góc quay l n nh t c
ớ ấ ủa động cơ trong thời
gian T nh tiêu ch ng J có d ng:
ất định. Khi đó chỉ ấ ợ
t lƣ ạ
 =  




,



,



0
=   0 =  

0




Do đó L[x(t), u(t),t] = 


=  
( ) và ta có ch tiêu ch ng Q i v i bài
ỉ ất lƣợ đố ớ
toán năng suất tối ƣu nhƣ sau:  =  

0




 Bài toán năng lƣợ ố ể
ng t i thi u:
T ng trong h ng:
ổn hao năng lƣợ ệ thố  =  


0

D n áp: U
ự ằng điệ
a vào phƣơng trình cân b u = iuRu + ke
Và phƣơng trình cân bằng moment: 
   =  


Ta tính đƣợc :  =  


0
 =
 



  0+  


2


0
Để ợc năng lƣợ ố ể ỉ ầ ự ể ủ
có đƣ ng tiêu hao là t i thi u, ta ch c n tìm c c ti u c a J:
 =  





,



,



0
=   0 =  

2

0

Mà dòng điệ ầ ứ
n ph n ng iu u khi n u. Vì v y ch
ở đây chính là tín hiệu điề ể ậ ỉ
tiêu ch i thi
ấ ợ đố ớ ợ ố
t lƣ ng Q i v i bài toán năng lƣ ng t ể ạ
u có d ng:  =  

2

0

c) Tối ƣu hóa tĩnh và động
Chúng ta c n phân bi t hai d ng bài toán t ng.
ầ ệ ạ ối ƣu hóa tĩnh và tối ƣu hóa độ
T c vào th i v i bài toán
ối ƣu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộ ời gian. Còn đố ớ
t ng thì th t bi n mà chúng ta c n ph i xem xét
ối ƣu hóa độ ời gian cũng là mộ ế ầ ả
đến.

2.2 Xây d ng bài toán t u
ự ối ƣ
a) T u ki n ràng bu c
ối ƣu hóa không có điề ệ ộ
M t hàm ch tiêu ch c là m t hàm
ộ ỉ ất lƣợng vô hƣớng L(u) = 0 đƣợc cho trƣớ ộ
c a m u khi n hay m t vector quy nh u
ủ ột vector điề ể ộ ết đị  
. Chúng ta cần
chọ ị ủa u sao cho L(u) đạ ị ỏ ấ
n giá tr c t giá tr nh nh t.
Để ả ối ƣu, ta viế ỗ ở ộng cho độ ế ủ
gi i bài toán t t chu i Taylor m r bi n thiên c a
L(u) nhƣ sau:  
= 

 +
1
2



 
+ (3) (2.6)
V côi là s h ng th 3. Grad c a L theo u là m t vector m c
ới O(3) có thể ố ạ ứ ủ ộ ột:

 


= 
 
/ 1
 
/ 2

 
/ 
 (2.7)
Và đạ ấ ủ ộ ậ
o hàm c p 2 c a L theo u là m t ma tr n m x m

 
2

2 = (

2 




) (2.8)
Luu c g i là ma tr n u n.
đƣợ ọ ậ ố
M m c c tr ho m d ng xu t hi n khi bi n thiên dL v i thành ph
ột điể ự ị ặc điể ừ ấ ệ ế ớ ần
thứ ấ ế ề ớ ọ ến thiên du trong quá trình điề ể ậy, để
nh t ti n v 0 v i m i bi u khi n. Vì v có
c :
ực trị thì
Lu = 0 (2.9)
Giả ử đang ở ạ ể ự ị
s t i đi m c c tr , có Lu 2.9) . m c c tr thành
= 0 nhƣ ( Để điể ự ị trở
điể ự ể ầ
m c c ti u, chúng ta c n có:
 =
1
2



 
+ (3) (2.10)
Là xác đị dƣơng ớ ọ ế
nh v i m i bi n thiên du . Điều này đƣợc đả ả ế
m b o n u ma
trậ ố
n u n Luu là xác định dƣơng:
Luu >0 (2.11)

N u L
ế uu là xác m c c tr m c i, còn n u L
định âm thì điể ự ị chính là điể ực đạ ế uu là
không xác định thì điể ự ị chính là điể ự ế
m c c tr m yên ng a. N u Luu nh
là bán xác đị
thì chúng ta s n thành ph n b 2 c lo
ẽ xét đế ầ ậc cao hơn trong ( .) để xác định đƣợ ại
c m c .
ủ ể
a đi ực trị
b) T hóa v u ki n ràng bu c
ối ƣu ớ ề
i các đi ệ ộ
Cho hàm ch tiêu ch ng L(x,u), v u khi n u R
ỉ ất lƣợng vô hƣớ ới vector điề ể  n
.
Bài toán đƣa ra là chọ ỉ ất lƣợng L(x,u) đạ ị ỏ
n u sao cho hàm ch tiêu ch t giá tr nh
nh ng th u ki n ràng bu
ất và thỏa mãn đồ ờ ề
i các phƣơng trình đi ệ ộc.
,u) = 0 (2.12)
f(x
Vector tr nh t m t giá tr c b ng m i quan
ạng thái x đƣợc xác đị ừ ộ ị u cho trƣớ ằ ố
h (2.12), vì th là m g ng, R
ệ ế f ột hệ ồm n phƣơng trình vô hƣớ f  n
.
Để tìm điề ệ ần và đủ ủ ị ự ểu, đồ ờ ỏ
u ki n c c a giá tr c c ti ng th i th a mãn (x,u) = 0,
f
ta c n làm chính u tiên ta khai tri i d ng
ầ xác nhƣ trong phần trƣớc. Đầ ển dL dƣớ ạ
Taylor, sau đó xác đị ạ ố ứ ấ ứ
nh h ng s th nh t và th hai.
2.3 i i bài toán phi tuy n không d
Phƣơng pháp g ả ế ừng
a) Phƣơng pháp biế ệ
n phân (Tài li u [2] trang 165)
Biế ) là phƣơng pháp đƣợ ự ừ điề ệ ầ
n phân (variation c xây d ng t u ki n c n cho
nghi m t
ệ ối ƣu ( )
u t 
c a bài toán t ng, liên t
ủ ối ƣu độ ục, phát biểu nhƣ sau:
Bài toán 2.1: Cho h liên t c mô t b
ệ ụ ả ởi: ( , , )
d x
f x u t
dt
 3)
(2.1
trong đó vector
( )
f
trơn theo
V i
ớ
1 ( )
( )
n
n
x t
x
x t
 
 
 
 
 
 
  bi n tr ng thái c
là vector của n ế ạ ủa hệ

1 ( )
( )
m
m
u t
u
u t
 
 
 
 
 
 
  là vector củ ệu điề ể
a m tín hi u khi n
1( , , )
( , , )
( , , )
n
f x u t
f x u t
f x u t





 h ng
là vector của n phƣơng trình mô tả ệ thố
B i các u ki n ràng bu
ậc n vớ điề ệ ộc:
- T p
ậ m
U   là mộ ậ ở trong không gian điề ể
t t p con h u khi n m

- ng th x y ra quá trình t
Khoả ời gian T ả ối ƣu là cố định cho trƣớc.
- u
Điểm đầ 0
(0)
x x
 là c là b .
có thể ố định cho trƣớc, song cũng có thể ất kỳ
- m cu
Điể ối ( ) T
x T x
 là c là b .
có thể ố định cho trƣớc, song cũng có thể ất kỳ
Hãy xác đị ệu điề ể ối ƣu
nh tín hi u khi n t ( )
u t U

 ho c b u khi n ph n h
ặ ộ điề ể ả ồi
trạ ối ƣu
ng thái t ( , )
u u x t

 , đƣa hệ đi từ (0)
x tới T
x trong kho ng th i gian sao
ả ờ T
cho hàm chi phí cho b
Q ởi
0
( , ) ( ) ( , , )
T
T
Q x u x g x u t dt

 
 v u trúc d ng và:
ới cấ ừ
( )
T
T T
x c x
  trong đó 1 2
( , ,..., )T
n
c c c c
 là vector h t giá tr
ằng cho trƣớc đạ ị
nh nh
ỏ ất, tức là để có:
0
( , ) min
T
T T
Q c x g x u dt
  
 14)
(2.
Đây chính là hệ đƣợ ổ ế m các điề ệ
trong bài toán (2.1) c b sung chi ti t thê u ki n
v m tr ng thái u
ề điể ạ đầ 0
x m tr ng thái cu
, điể ạ ối T
x , kho ng th i gian x y ra quá
ả ờ ả
trình t và v ràng bu c a tín hi u khi n
ối ƣu T ề ộc U ủ ệu điề ể . Trong bài toán trên
ta s ng h c ti n là h có c u
ẽ không xét đén trƣờ ợp ít có ý nghĩa thự ễ ệ ả điểm đầ 0
x và
điể ố
m cu i T
x b .
ất kỳ
Ý tƣở ủ ến phân để ả ể đƣợ ắt nhƣ
ng chính c a bi gi i bài toán 2.1 có th c tóm t
sau:

- T gi
ừ ả thiết ( )
u t 
là tín hi u khi n t
ệu điề ể ối ƣu ( )
x t 
là qu o tr ng thái t
ỹ đạ ạ ối
ƣu, ngƣờ ự ộ ệu điề ể ộ ệ ỏ
i ta xây d ng m t tín hi u khi n khác có m t sai l ch nh so
với nó là:
( ) ( ) ( )
u t u t t


  trong đó ( )
t
 là r t nh
ấ ỏ và tùy ý. 15)
(2.
- p , ta gi t qu o tr ng thái
Tiế theo ả thiế ỹ đạ ạ ( )
x t do ( )
u t ta th
ọ ệ
ra cho h ống
cũng chỉ ộ ệ ấ ỏ ớ ỹ đạ ạ ối ƣu
có m t sai l ch r t nh so v i qu o tr ng thái t ( )
x t 
, tức
là: ( ) ( ) ( )
x t x t t


  cũng có ( )
t
 r 16)
ất nhỏ (2.
Giả ế này luôn đƣợ
thi t c th c là
ỏ ế ệ ừ ứ
a mãn n u h (2.13) là d ng t :
( , )
d x
f x u
dt
 17)
(2.
Và vector hàm ( , )
f x u liên tục theo x và u
- i cùng, t u ki n ph a tín hi u khi n t
Cuố ừ điề ệ ải có củ ệu điề ể ối ƣu:
0 0
( , ) ( , )
T T
T T
T T
Q c x g x u dt c x g x u dt Q
  

    
  18)
(2.
Ta xác đị ấ ủ ề ể ối ƣu
nh tính ch t c a đi u khi n t ( )
u t 
, g n phân.
ọi là tính chất biế
2.4 Hàm Hamilton và tính ch t bi n phân
ấ ế
a) Biến đồ ạng thái và điề ệ ầ ệ
ng tr u ki n c n (Tài li u [2] trang 166)
Xét bài toán t u
ối ƣu (2.1). Ký hiệ ( )
u t 
là nghi m t
ệ ối ƣu của bài toán đó và

là qu o tr ng thái t g ng. Ký hi u ti p
ỹ đạ ạ ối ƣu tƣơn ứ ệ ế là tín hi u
ệu điề
khi c bi n phân t
ển đƣợ ế ừ ( )
u t

theo công th c (2.15
ứ )và ( )
x t là quỹ o tr ng thái
đạ ạ
tƣơng ứ ỏa mãn điề ệ ế ển nhiên khi đó ta ấ
ng nó th u ki n bi n phân (2.16). Hi có b t
đẳ ứ ọ ụ ỹ đạ ạ
ng th c (2.18 minh h
). Hình (2.4) a tr c quan hai qu o tr ng thái ( )
x t 
và

( )
x t . T hình minh h c quan h gi u
ừ ọa đó ta rút ra đƣợ ệ ữ ể
a và đi m trạng thái đầ 0
x
và cuối T
x :
nhƣ sau
- N u
ế 0
x i có
là cố định và cho trƣớc thì phả (0) 0
 
- N u
ế 0
x không c nh, ng h n b ràng bu
ố đị chẳ ạ ị ộc 0 0
x S
 , thì có th s
ể ẽ có
(0) 0
 
- N u
ế T
x i có
là cố định và cho trƣớc thì phả ( ) 0
T
 
- N u
ế T
x không c nh, ch ng h n b ràng bu
ố đị ẳ ạ ị ộc T T
x S
 , thì có th s
ể ẽ có
( ) 0
T
 
Hình 2.4 h a công th n phân
Minh ọ ức biế
V i các ký hi t kho ng th i gian i s
ớ ệu nhƣ trên thì sau cùng mộ ả ờ T không đổ ẽ
có :
0 0
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
T T
T T
T T
Q
T
T
x
Q Q c x g x u dt c x g x u dt
c T g x u g x u dt


  

 
     
  
 

B i v y, t b ng th c (2.18) và phân tích chu i Taylor ta x x p x
ở ậ ừ ất đẳ ứ ỗ ẽ ấ ỉ đƣợc
thành :

0
0 ( ) ,
T
T T
Q
f f
g g d
c T p dt p
x u dt x u

     
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
   
 
 
 

0 , ,
0 , ,
0 ( )
( ) , ,
T
T
Q
x u x u
T
T
x u x u
g g
c T dt
x u
g g g g g g
c T dt
x u x x u u
   
  
   
   
   
 
 
   
 
 
 
 
 
     
    
 
     
 


19)
(2.
Cũng nhƣ :
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n n
g g g g g g g g
x x x x u u u u
  
      
 
  
       
  
Là các ký hiệ ủ ề ế
u Jacobi c a hàm nhi u bi n ( , )
g x u .
Hoàn toàn tƣơng tự, nhƣ mô hình trạ ủ ệ ta cũng có
ng thái (2.17) c a h :
, ,
( , ) ( , )
x u x u
f f
d dx dx
f x u f x u
dt dt dt x u

   
   

     
       
 
f f
x u
 
 
 
 
 
v u
ới ký hiệ
, ,
,
x u x u
f f f f
x x u u
   
   
 
   
trong đó
1 1 1 1
1 1
1 1
,
n m
n n n n
n m
f f f f
x x u u
f f
x u
f f f f
x x u u
   
  
  
   
  
 
  
 
  
   
  
  
   
  
 
     
 
Là ký hi u c a các ma tr n Jacobi c a vector hàm
ệ ủ ậ ủ ( , )
f x u . Từ đây ta suy ra
đƣợc :
0 0,
T
f f f f
d d
p p
dt x u dt x u
 
   
   
 
   
       
 
 
   
 
20)
(2.
K p chung (2.19) và (2.20 i v n :
ết hợ ) lạ ới nhau ta đi đế
0
0 ( ) ,
T
T T
Q
f f
g g d
c T p dt p
x u dt x u

     
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
   
 
 
 


Và khi áp dụ ứ
ng công th c tích phân toàn phân, s c v
ẽ đƣợ ớ ọ
i m i vector p :
0
0
0 ( )
T
T
T
T T T T
Q
f d p f f
g
c T p p p dt
u u dt x u
    
  

 
   
  

 
       
   
   
   
 
   
 

Nhƣng do ( )
p t là tùy ý nên ta có th n :
ể chọ
T
T
d p f g
p
dt x x
 
 
  
 
21)
(2.
Thỏ ề ệ
a mãn đi u ki n biên :



0
0
0 l¯ bÊt kú
(0)
tïy ý nÕu l¯ cè ®Þnh cho trí
nÕu x
p
x
22)
(2.



T
T
0 l¯ bÊt kú
( )
tïy ý nÕu l¯ cè ®Þnh cho trí
nÕu x
p T
x
23)
(2.
Khi đó, nế ế ợ ớ ề ệ ể
u k t h p thêm v i đi u ki n hi n nhiên (hình 2.4)
- N u
ế 0
x nh thì luôn có
là cố đị (0) 0
 
- N u
ế T
x nh thì luôn có
là cố đị ( ) 0
T
 
Ta sẽ đƣợ ọi trƣờ ợ
c trong m ng h p :
0
( ) 0
T
T T
c T p
 
 
0
0
T
T
Q
f
g
p dt
u u
 


 
 


 
   
 
 
 
 
 
 
 24)
(2.
Vector ( )
p t nh theo (2.21) th u ki n biên (2.22) và (2.23
xác đị ỏa mãn các điề ệ )
đƣợ ọ ến đồ ạ
c g i là vector bi ng tr ng thái.
Cuố ế ử ụ ệ
i cùng, n u s d ng ký hi u hàm Hamilton :
( , , ) ( , ) ( , )
T
H x u p p f x u g x u
  25)
(2.
Thì điề ệ ế ẽ ở thành phƣơng trình nhƣ
u ki n bi n phân(2.24) s tr Euler-Lagrange
sau :

0
0
T
Q
H
dt
u
 


  

 v u
ới ký hiệ
,
x u
H H
u u  
 
 

 
26)
(2.
Cũng nhƣ mô hình (2. ứ ủ ến đồ ạ ẽ ở
17) và công th c (2.21) c a bi ng tr ng thái s tr
thành :
,
T T
p
x H H
u p t x
    
  
  
   
 
   
 
 
27)
(2.
Định lý 2.1 u ki n c n) : N u
(điề ệ ầ ế ( )
u t 
là nghi m c a bài toán 2.1 không b
ệ ủ ị
ràng buộc, tức là có m
U   , thì nó ph i th a mãn : (Tài li u [2] trang 169)
ả ỏ ệ
0
T H
u




khi 0 t T
  28)
(2.
Trong đó ( , , )
H x u p là hàm Hamilton (2.25) và ( )
p t xác định theo (2.27)
Chứng minh :
Giả ử điề ẳng định trong đị ứ
s u kh nh lý là sai, t c là
,
x u
H H
u u  
 
 

 
không
đồ ấ ằ ộ ả ờ
ng nh t b ng không trong toàn b kho ng th i gian 0 t T
  . V y thì khi
ậ
chọn :
T
H
u
 

 

  

 
với  là m t s nh tùy ch n,ta s có t (2.26)
ộ ố dƣơng đủ ỏ ọ ẽ ừ
điều vô lý sau :
0
0 0
T
Q
H
dt
u
 


   


Ví dụ 2.1 : Cho h b c nh t có mô hình :
ệ ậ ấ dx
x u
dt
  (Tài li u [3] trang 90)
ệ
Hãy tìm ( )
u t 
đƣa hệ đi từ (0) 4
x  n
đế (2) 0
x  và làm cho

 
2
2 2
0
1
min
2
T
Q x u dt

  
 Nhƣ vậy,đây là có điểm đầu, điể
bài toán 2.1 m
cuố ố đị Để ả ụng phƣơng pháp biế
i c nh, và
T=2 c =0. gi i bài toán ta áp d n phân
v :
ớ ớc nhƣ sau
i các bƣ
- L p hàm Hamilton theo (2.25)
ậ : 2 2
1 1
( , , ) ( )
2 2
H x u p p x u x u
   
- nh quan h
Xác đị ệ ( , )
u u x p

 từ 0
H
p u
u

  

c
đƣợ u p


- Thay quan h c vào (2.27) ta có :
ệ tìm đƣợ
1 1
1 1
x x x
d
A
p p p
dt
    
 
    

     với
1 1
1 1
A




- c :
Giải hệ phƣơng trình vi phân trên ta đƣợ
1 2
1 2
1 2
3 4
( )
( )
s t s t
s t s t
x t k e k e
p t k e k e
  

 

trong đó 1 2
,
s s là nh ng giá tr riêng c a ma tr n , t
ữ ị ủ ậ A ức
là nghi m c a :
ệ ủ 1 2
det( ) 0 2, 2
sI A s s
     
- Các h s
ệ ố 1 2
,
k k nh t u ki n biên
đƣợ ị
c xác đ ừ điề ệ (0) 4
x  , (2) 0
x  nhƣ sau
1 2 1 2 2
2 2 2 2
2
1 2
4 0,014
( ) 0,014 4,014
4,014
0
t t
k k k
x t e e
k
k e k e

 
  


    
 

 
 

- Thay nghiệm ( )
x t c vào mô hình c s
tìm đƣợ ủa hệ ẽ đƣợc ( )
u t 
t :
ối ƣu
2 2
( ) 0,004 6,852
t t
dx
u t x e e
dt


    
b) a hàm Hamilton d c theo qu o t
Tính chất củ ọ ỹ đạ ối ƣu
Quay l c ng th i gian
ại bài toán 2.1 ủa phƣơng pháp biến phân, trong đó khả ờ
c x y ra quá trình t là h u h n ho c vô h n. (Tài
ố định cho trƣớc T ả ối ƣu có thể ữ ạ ặ ạ
liệu [2] trang 172)
Phƣơng pháp biến phân (định lý 2.1) đã chỉ ằ ệ
ra r ng nghi m ( )
u t 
tối ƣu của
bài toán th a mãn (2.
ỏ 28 :

,
0T
x u
H H
u u  
 
 
 
 
V i hàm Hamilton (2.
ớ 25) ( , , ) ( , ) ( , )
T
H x u p p f x u g x u
 
Và p là bi ng tr ng thái, t c là nghi m c
ến đồ ạ ứ ệ ủa phƣơng trình Euler –
Lagrange (2.27) :
T
p H
dt x
  

 
 

 
thỏa mãn điề ệ
u ki n biên (2.22) và (2.23)
Đị ớ ế ụ
nh lý 2.2 : xét v
bài toán 2.1 i phi m hàm m c tiêu (2.14) có 0
c  . Khi
đó, dọ ỹ đạ ối ƣu
c theo qu o t ( ) , ( )
u t x t
 
hàm Hamilton (2. :
25) tối ƣu
( ) ( , , )
H t H x u p
 

 luôn th a mãn : là h ng s v
ỏ ằ ố ới 0 t T
  ng nh
, đồ ất
b ng 0, t
ằ ức là 0,
H t

  khi là vô h m cu
T ạn và điể ối T
x .
là bất kỳ
Chứn minh :
g
a) Điều này đƣợ ự ế ừ
c suy tr c ti p t 28) và (2.27)
(2.
, , ,
, ,
0
x u x u x u
T
T
x u x u
d p
dH H du H d x H
dt u dt x dt p dt
d p d p
H d x H d x d x dp
x dt p dt dt dt dt dt
     
   

 


  
  
  
  
 
 
 
     
 
 
     
b) Do T
x b t k nên có
ấ ỳ ( ) 0
p T  . Do T   nh lý Barbalas, t tính
nên theo đị ừ
h i t c a tích phân vô h
ộ ụ ủ ạn
0
( , )
g x u dt

 
 ta suy đƣợc
lim ( , ) ( ( ) , ( ) ) 0
t
g x u g x T u T
   

  t c là có
ứ ( ) 0
H T

 .K t h p thêm v i k
ế ợ ớ ết
lu i ch
ận a) ta đƣợc điề ả
u ph ứng minh.
Tiế ấ ừ
p theo, xu t phát t :

T T
f
H g g
p p F
x x x x

  
   
   
với
1 1
1
1
n
n n
n
f f
x x
f
F
x
f f
x x
 
 
 
 
 

 

  
 
 
 
 
 

  

Ta sẽ ớ
có v i (2.27):
T T
T
dp H g
F p
dt x x
  
 
    
  
 
  
29)
(2.
Và đó là phƣơng trình vi phân xác đị ến đồ ạ
nh bi ng tr ng thái ( )
p t . Tƣơng tự
t :
ừ
T T
f
H g g
p p G
x x x x

  
   
   
với
1 1
1
1
m
n n
m
f f
x x
f
G
x
f f
x x
 
 
 
 
 

 

  
 
 
 
 
 

  

Ta cũng sẽ ớ
có v i (2.28) khi u u

 :
0
T T
u
g
p G
u 

 

30)
(2.
Hai công th c (2.29) và (2.30) t o thành thu nh tín hi
ứ ạ ật toán xác đị ệu điều
khi n
ể ( )
u t 
t i d ng b u khi n ph n h i tr ng thái
ối ƣu dƣớ ạ ộ điề ể ả ồ ạ ( ) ( , )
u t u x t

 của
bài toán 2.1 gồm các bƣớc nhƣ sau :
c 1 29 có nghi
Bƣớ :Giải phƣơng trình (2. ) để ệm ( , , )
p p x u t
 thỏa mãn điều
ki n biên (2.22) và (2. )
ệ 27
c 2 :Thay nghi
Bƣớ ệm ( , , )
p p x u t
 tìm đƣợc vào phƣơng trình (2. ) để
30 xác
đị ộ điề ể
nh b u khi n ( ) ( , )
u t u x t

 tối ƣu.
c) So sánh v Lagrange
ới phƣơng trình Euler –
D y r ng v i quan h 17) và hàm m c tiêu (2.14
ễ thấ ằ bài toán 2.1 ớ ệ (2. ụ ) đặc
bi t :
ệ

d x
u
dt
 và
0
( , )
T
Q g x u dt
 31)
(2.
S thành bài toán, khi
ẽ trở T
x là c c ho c khi
ố định cho trƣớ ặ T
x là b t k , ta s
ấ ỳ ẽ
có dọ ỹ đạ ối ƣu
c theo qu o t :
- Hàm Hamilton : ( , ,t) ( , )
T
H x u p u g x u
 
- ng tr ng thái :
Biến đồ ạ
T
d p H g
dt x x
 
  
 
- u ki n bi n phân :
Điề ệ ế 0
T T
T H g g
p p
u x u
  
    
  
Suy ra, khi có ,
x x u u
 
  ,t c o t :
ứ là dọc theo quỹ đạ ối ƣu, ta cũng có
0
T
T
d p g d g g
dt x dt u x
 
  
   
 
  
 
Và điều này tƣơng đƣơng với : ( , ) ( , , )
u z g x u L x z t
  
  
Hơn thế ữ ở đây còn thấ
n a y :
( , , )
T L x z t
p
z



đã giữ vai trò nhƣ biến đồng
trạ ở phƣơng trình Euler –
ng thái Lagrange
Trong trƣờ ợ ở ờ ợ ) có điể ạ
ng h p bài toán 2.1 trƣ ng h p riêng (2.31 m tr ng thái
cuối T
x là b t k thì t u ki n biên (2.23) c
ấ ỳ ừ điề ệ ủa ( )
p t ta cũng có dọ ỹ
c theo qu
đạ ối ƣu
o t ,
x u
 
:
0 ( )
T T
t T
g
p T
u 

 

2.5 a s Lagrange và hàm Hamilton.
Thừ ố
T m c c tr , dL v i giá tr nh t b ng 0 v i m i s biên thiên c a du
ại điể ự ị ớ ị thứ ấ ằ ớ ọ ự ủ
khi d b y chúng ta c n có:
f ằng 0. Nhƣ vậ ầ
dL = LT
udu + LT
xdx = 0 (2.32)

và: df = fudu + fx dx = 0 (2.33)
T (2.12 c x t giá tr bi c xác
ừ ) ta xác định đƣợ ừ ị u đã có, độ ến thiên dx đƣợ
đị ở ừ ị ến thiên du đã có. Nhƣ vậ ậ
nh b i (2.33) t giá tr bi y, ma tr n Jacobi fx không
k d và:
ỳ ị
 
= 
1

 (2.34)
Thay dx vào (2.32) ta đƣợc:  =



 




1


 (2.35)
Đạ ủ ứ ố đƣợ ởi phƣơng trình:
o hàm riêng c a L theo u ch a hàm s f c cho b




=0
= 



 




1



=   






 (2.36)
Với 


= 


1

ng:
. Lƣu ý rằ




=0
=  (2.37)
Để ầ ứ ấ ủ ằ ớ ị
thành ph n th nh t c a dL b ng không v i giá tr du tùy ý khi df = 0 ta
c n có :
ầ   






 = 0 (2.38)
Đây là điề ệ ầ ể ị ự ểu. Trƣớc khi tìm điề ệ ủ
u ki n c n đ có giá tr c c ti u ki n đ , chúng
ta sẽ ột vài phƣơng pháp để ợ
xét them m có đƣ c (2.38)
Viết ( i d
2.32) và (2.33) dƣớ ạng:



= 







 




= 0 (2.39)
H nh m m d ng, và ph i có m t k
ệ phƣơng trình tuyến tính này xác đị ột điể ừ ả ộ ết
quả 





 u này ch x y ra n u ma tr n h s (n + 1) x (n + m) có
. Điề ỉ ả ế ậ ệ ố
h ng nh a ma tr n tuy n tính v
ạ ỏ hơn n + 1 . Có nghĩa là các hang củ ậ ế ới nhau để
t n t i m t vector có n s h
ồ ạ ộ  ố ạng nhƣ sau:

1 
= 







 

= 0 (2.40)
Hay : 


+ 


 = 0 (2.41)


+ 

 = 0 (2.42)

Giả ợ
i (1.17) ta đƣ c  :


=  


 (2.43)
Và thay vào (2.42 2.38
) để có đƣợc ( ).
Vector   R
n
c g i là th a s Lagrange, và nó s là công c h u ích cho
đƣợ ọ ừ ố ẽ ụ ữ
chúng ta sa u thê a th a s
u này. Để hiể m ý nghĩa củ ừ ố Lagrange ta xét 0
du  , từ
(2.22 2.23) ta kh
) và ( ử dx để đƣợc:
 
= 



1
 (2.44)
Vì v y:
ậ 



=0
= (



1
)
=  (2.45)
Do đó đạ ủ ớ ến điề ể
-  là o hàm riêng c a L v i bi u khi nu là h ng s . u này
ằ ố Điề
nói lên tác d ng c a hàm ch tiêu ch ng v i bi u khi i khi
ụ ủ ỉ ất lƣợ ớ ến điề ển không đổ
điề ện thay đổ
u ki i.
Nhƣ là mộ ứ ba để tìm đƣợ ển them để ử ụ
t cách th c (2.38), ta phát tri s d ng cho
các phân tích trong các ph n sau. K t h u ki n và hàm ch tiêu ng
ầ ế ợp điề ệ ỉ chất lƣợ
để tìm ra hàm Hamilton.
H(x,u, ) = L (x,u) + 
T
f(x,u) (2.46)
V R
ới   n
là th a s nh. Mu n ch
ừ ố Lagrange chƣa xác đị ố ọn , ,
x u λ để có đƣợc
điể ừ ến hành các bƣớ
m d ng, ta ti c sau.
Độ ế ủa H theo các độ ế ủ
bi n thiên c bi n thiên c a , ,
x u λ đƣợ ết nhƣ sau:
c vi
 
= 

 
+ 

 
+ 

 (2.47)
Lƣu ý rằng:  =



= ( , )
   (2.48)
Giả ử ọ ị ủ ỏ
s chúng ta ch n các giá tr c a u th a mãn:
 = 0 (2.49)

Sau đó ta xác định x v i giá tr c u ki n ràng
ớ ị ủa u đã có bằng phƣơng trình điề ệ
buộc ( , ) 0
f x u  . Trong trƣờ ợp này hàm Hamilton tƣơng đƣơng vớ
ng h i hàm
chỉ ất lƣợ
tiêu ch ng.


=0 =  (2.50)
N u
ế 0
f  , ta sẽ tìm đƣợc dx theo du t (2.34). Ta không nên xét m i quan
ừ ố
h gi
ệ ữa du và dx n ti n trong vi n
để thuậ ệ ệc chọ  sao cho:
Hx = 0 (2.51)
Sau đó, từ ) độ ế
(2.45 bi n thiên dH không ch a thành ph n
ứ ầ dx. Điều này
mang l :
ại kết quả 


=  + 


= 0 (2.52)
Hay 

= 



1
N u gi nguyên (2.39) và .51) thì:
ế ữ (2
  
= = 

 (2.53)
Vì H = L, để ợc điể ừ ả ặt điề ệ
có đƣ m d ng ta ph i áp đ u ki n:
 = 0 (2.54)
Tóm l u ki n c m c c ti u c a L(x, u) th
ại, điề ệ ần để có đƣợc điể ự ể ủ ỏa mãn điều
ki n ràng bu (x,u) = 0 g m có:
ệ ộc f ồ



= = 0
 (2.55a)


=  + 

 = 0 (2.55b)


=  + 


 = 0 (2.55c)
V i H(x, u, ) xác nh b i (2.46 ng dùng là t
ớ  đị ở ). Cách thƣờ ừ 3 phƣơng trình đã
cho xác đị ứ ự tƣơng ứng. So sánh 2 phƣơng trình (
nh x, và u theo th
 t 2.55b) và
(2.55 ng v 2.41 2.42
c) ta thấy chúng tƣơng ứ ới hai phƣơng trình ( ) và ( ).

Trong nhi u ng d n giá tr c , tuy nhiên
ề ứ ụng, chúng ta không quan tâm đế ị ủa 
ta v n ph c t bi n trung gian cho phép chúng ta
ẫ ải đi tìm giá trị ủa nó vì đó là mộ ế
xác định các đạ ợ ầ ị ỏ ấ ủ
i lƣ ng c n tìm là u, x, và giá tr nh nh t c a L.
Ƣu điể ủ ừ ố ể ắt nhƣ sau ự ế, hai đạ
m c a th a s Lagrage có th tóm t : trên th c t i
lƣợ ải là hai đại lƣợ ến thiên độ ậ ớ
ng dx và du không ph ng bi c l p v i nhau, theo
(2.34). B t th a s b nh , chúng ta ch n sao cho dx và
ằng cách đƣa ra mộ ừ ố ất đị  ọ 
du có th ng bi p v i nhau.
ể đƣợc xem là hai đạ ợ
i lƣ ến thiên độc lậ ớ
L o hàm riêng c a H l t theo các bi rong (2.55
ấy đạ ủ ần lƣợ ến nhƣ t ), nhƣ thế ta
s ng.
ẽ có đƣ c đi
ợ ểm dừ
Khi đưa ra ố ể ế ị ỏ
thừa s Lagrage, chúng ta có th thay th bài toán tìm giá tr nh
nh t cuat L(x, u) v u ki n ràng bu c f (x, u), thành bài toán tìm giá tr
ấ ới điề ệ ộ ị nhơ
nh a hàm Hamilton H(x, u
ất củ  u ki n ràng bu
) không có điề ệ ộc.
Điề ệ đã ( ) xác đị ột điể ừ ẽ ế ụ ứng minh đây
u ki n 2.55 nh m m d ng. Ta s ti p t c ch
là điể ự ểu nhƣ đã thự ệ ần trƣớ
m c c ti c hi n trong ph c.
Viết chuỗ ở ộng cho độ ế ủ
i Taylor m r bi n thiên c a L và f nhƣ sau:
 = 










+
1
2







 

 





+ 0(3) (2.56)
 = 

 




+
1
2







 


 




+ 0(3) (2.57)
Với : 
 
2

Để đƣa hàm Hamilton, ta sử ụng các phƣơng trình sau :
d

1 




= 









+
1
2






 
 



+ 0(3)
(2.58)
Bây gi m d ng ta c n có ng th i thành ph n th
ờ, để có đƣợc điể ừ ầ f = 0, và đồ ờ ầ ứ
nh t c a dL b ng 0 v i m i s bi n thiên c a dx, du. Vì = 0 nên d u
ấ ủ ằ ớ ọ ự ế ủ f f = 0 và điề
này đòi hỏi Hx = 0và Hu 2.
= 0 nhƣ trong ( 55).

Để tìm điề ện đủ cho điể ự ểu, chúng ta xét đế ầ ứ
u ki m c c ti n thành ph n th hai.
Đầ ầ ố ệ ữ ả ử ằ
u tiên, ta c n xem m i quan h gi a dx và du trong (2.58). Gi s r ng chúng
ta đang ở điể ự ị
m c c tr nên H x = 0, Hu = 0 và d (2.57) ta có:
f = 0. Sau đó, từ
  
= 
1

 + 0(2) 59)
(1.
Thay vào (2.58) ta đƣợc:
 =
1
2











 
 



1



+ 0(3) (2.60)
Để đả ảo đây là điể ự ể ải dƣơng vớ ọ ự
m b m c c ti u, dL trong (2.60) ph i m i s
bi n thiên c c m b o n u ma tr n u n v i f luôn b ng 0 là
ế ủa du. Điều này đƣợ đả ả ế ậ ố ớ ằ
xác định dƣơng.



 


 = 









 
 



1



 (2.61)
=   





 


1

 + 








1


N u ki n ràng bu
ếu điề ệ ộc (x,u) 0
f  v i m i x, u thì (2. c rút l i thành
ớ ọ 61) đƣợ ạ
uu
L 2.11). N u (2.61 nh âm (ho nh) thì
ở phƣơng trình ( ế ) là xác đị ặc không xác đị
điể ừ ẽ là điể ự ạ ặ ể ự
m d ng s m c c đ i (ho c đi m yên ng a).
a) Ví dụ
T n ràng bu c
ối ƣu hóa không có điều kiệ ộ
Ví d Không
ụ 1.1: gian toàn phƣơng.
Cho u R
 2
và : 


=
1
2



11 
12

12 22

 + 

1 
2 
 (1)

1
2

 
+  (2)
Điể ự ị đƣợc xác đị ở
m c c tr nh b i:

 = + = 0
  (3)

=  1
 (4)
V i u
ớ *
bi u khi n t
dung để chỉ ến điề ể ối ƣu.

Loại m c
c a
ủ điể ực trị ợ ị ằ ậ
đƣ c xác đ nh b ng cách xét ma tr n hessian

 =  (5)
Điểm u*
là c c ti u n u L
ự ể ế uu > 0 (q11 > 0 và q11q22 - 
12
2 > 0 m c
). Là điể ực
đạ ế
i n u Luu < 0 (q11 < 0 và q11q22 - 
12
2 > 0 ). N u
ế 

< 0 , thì u *
m yên
là điể
ng N u
ựa. ế 

+ 0 m u
thì điể *
m k d , chúng ta không th
là điể ỳ ị ể xác định đƣợc
đó là cự ể ực đạ ừ
c ti u hay c i t Luu.
B ng cách thay (4) vào (2) ta s c giá tr c a hàm ch tiêu ch
ằ ẽ tìm đƣợ ị ủ ỉ ất lƣợng
nhƣ sau:
* * 1 1 1
1
1
( )
2
1
2
T T
T
L L u S Q QQ S S Q S
S Q S
  

 
 

(6)
Giả ử cho L nhƣ sau:
s
 
1 1
1
0 1
1 2
2
T
L u u u
 
 
 
 
(7)
t
Khi đó giá trị ối ƣu sẽ là:
* 2 1 0 1
1 1 1 1
u

    
  
    

    
(8)
Là m t c c tiêu, vì L
ộ ự uu >0. T (6) ta th y r ng giá tr nh t c a L là
ừ ấ ằ ị ỏ nhấ ủ
* 1
2
L  
Các đƣờng đồ ứ ủa L(u) trong (7) đƣợ ẽ ớ
ng m c c c v , v
trên Hình 2.4 i
 
1 2
T
u u u
 . Các mũi tên là gradient.
1 2
1 2
2 1
u
u u
L Qu S
u u

 
  
 
 
 
(9)
Ta bi t r ng gradient luôn luôn vuông góc v ng m c và có
ế ằ ới các đƣờng đồ ứ
hƣớ ớng tăng L(u).
ng là hƣ

Ở đây chúng ta dung dấu “*” để ỉ ị ối ƣu củ ấ
ch giá tr t a u và L c n tìm. Tuy
nhiên ta thƣờ ỏ ấu “*”.
ng b qua d
Hình 5 ng m c và vector gradient
2. Các đường đồ ứ
T n ràng bu c
ối ƣu hóa có điều kiệ ộ
Ví dụ ớ ề ệ ộ ế
1.2: Không gian toàn phƣơng v i đi u ki n ràng bu c tuy n tính.
Giá s hàm ch c cho b i ví d 1.1 v ng vô
ử ỉ tiêu chất lƣợng đƣợ ở ụ ới các đại lƣợ
hƣớng u1, u2 c thay th b ng x, u
đƣợ ế ằ
   
1 1
1
( , ) 0 1
1 2
2
x x
L x u x u
u u
   
 
   
   
(1)
V i u ki n ràng bu
ớ điề ệ ộc:
( , ) 3 0
f x u x
   (2)
Hàm Hamilton s là:
ẽ
2 2
1
( 3)
2
T
H L f x xu u u x
 
       (3)
V là m u ki m d ng theo (2.17
ới  ộ ạ ợng vô hƣớng. Điề
t đ i lƣ ện để có điể ừ ) là:
3 0
H x
    (4)
0
H x u
 
    (5)

2 1 0
H x u
     (6)
Giả ợ
i (4), (5), (6) ta đƣ c: x =3, u = -2, - m d ng là
 = 1. Điể ừ
*
( , ) (3, 2)
x u   (7)
Để xác định (7) là điể ự ể ậ ố
m c c ti u, tìm ma tr n u n theo (1.37)
2
f
uu
L  (8)
N u
ế 0
f
uu
L  , vì thế
*
( , ) (3, 2)
x u   là điểm cự ể
c ti u.
Các đƣờng đồ ứ ủ
ng m c c a ( , )
L x u , u ki n ràng bu c v
điề ệ ộc (2) đƣợ ẽ ở Hình
2.4
Grad của ( , )
f x u trong hệ ọ ộ ợ ết nhƣ sau:
t a đ (x,u) đƣ c vi
1
0
x
u
f
f
   

   
 
 
(9)
Đƣợ ẽ
c v trong Hình 2.4 Và grad của ( , )
L x u :
2 1
x
u
L x u
L x u

   

   
 
 
 
(10)
T m c u (3, -2), grad
ạ ể
i đi ực tiể ( , )
L x u s .
ẽ có giá trị
1
0
x
u
L
L
   

   
 
 
(11)
Biế ằ tƣơng đƣơng vớ ại điể ừng. Có nghĩa là
t r ng grad và grad
f L i nhau t m d
điể ự ể ấ ện khi điề ệ ộc (2) là đƣờ ế ế ủ
m c c ti u xu t hi u ki n ràng bu ng ti p tuy n c a các
đƣờng đồ ứ ủ ển hƣớ ọc theo đƣờ ẳ ẽ
ng m c c a L. Di chuy ng d ng th ng = 0 s
f làm
tăng giá trị ủ
c a L.
Ta tìm đƣợ ị ủ ại điể ự ể ằ
c giá tr c a L t m c c ti u b ng cách thay 3, 2
x u
   vào
(1), ta đƣợc L*
= 0,5.

Vì  -1, gi nguyên giá tr - u ki n ràng bu ch
= ữ ị u = 2, thay đổi điề ệ ộc df (dị
chuy ng th ng trong v phía ph i) s v -
ển đƣờ ẳ Hình 2.4 ề ả ẽ làm tăng L(x, u) ới dL =
df = df.
2.6 gi i bài toán ràng bu c Arthur E. Bryson &Yu-Chi Ho
Phƣơng pháp ả ộ
2.6.1B ng th c ràng bu u khi
ấ ẳ
t đ ứ ộc về các biế ề
n đi ển.
Giả ử ất đẳ ứ ộ
s , thay b ng th c ràng bu c ( , ) 0
C u t  , chúng ta có b ng th
ất đẳ ức
ràng bu (Tài li
ộc tƣơng ứng sau : ệ ụ
u [4] m c 3.8 trang 108)
( , ) 0
C u t  (2.62)
N u chúng ta nh
ế đị nghĩa
0 T
H f L

  bi u th c
khi đó từ ể ứ
0
0 0
( ) ( )
f
t
T
t
H
J t x t udt
u
   

 

 chúng ta có
0 0
0 0
( , , , )
f f
t t
u
t t
J H udt H x u t dt
   
 
 63)
(2.
Mà ta l i có:
ạ
, ( )
f
T T T
x x f x t t
f L t
   
   
 64)
(2.
Chúng ta đã giả ế ằ ờ ố đị ị ằ ộ
thi t r ng th i gian là c nh, không b r ng bu c và không
ph u ki n biên. Vì v
ụ thuộc vào điề ệ ậy ( )
u t s c gi c, chúng ta ph i có
ẽ đƣợ ản ƣớ ả
0
J
  thỏa mãn đƣợ ấ ả các điề ệ
c t t c u ki n ( )
u t
 . Do đó, tạ ấ ả các điể
i t t c m 0
C 
là tối ƣu u c tính sau
có các thuộ
0 0
0
u
H H u
 
  0
u
C C u
 
  65)
(2.
M 65 nói r ng
ột cách khác để giải thích rõ hơn (2. ) là để ằ 0
H
 đó phải đƣợc
thỏ ậ ủ
a mãn trên t p c a u
 . Th c t , trong m t công b l n nói r
ự ế ộ ố ớ ằng “ 0
H phải
đƣợ ọ ối đa trên tấ ả ậ ợ
c rút g n t t c các t p h p u có th b
ể” là đúng. Tuyên ố này đƣợc
McShane (1939) và Pontryagin (1962) công bố, nó đƣợ ết đến nhƣ là
c bi

“nguyên lý tố ểu”. ộ ứ ặ ủ ố
i thi M t minh ch ng nghiêm ng t c a các tuyên b , có tính
đế ự thay đổ ủ ế ảnh hƣở ấ ữ ộ ủ ế ị
n s i c a các bi n ng nh t và nh ng ràng bu c c a thi t b
chấp hành đƣợ ậ ậ ỉ xét đế
c trình bày trong Pontryagin (1962). L p lu n trên ch n các
trƣờ ợ ộ ở ế
ng h p không có ràng bu c thi t bị ấ
ch p hành.
Các ti p c n khác c 65), N :
ế ậ ủa phƣơng trình (2. ếu chúng ta định nghĩa
T T
H f L C
 
   66)
(2.
Các điề ệ ầ ế ề
u ki n c n thi t v H là :
0
T T
u u u u
H L f C
 
    7)
(2.6
Mà là giống nhƣ 0 T
H L f C
u u u u
 
   
   
   
V i các yêu c u b g
ớ ầ ổ sun
0, 0
0, 0
C
C

 


 

(2.68)
Tính thích nghi c a các h s khi chúng ta có
ủ ệ ố  0
C  có th c gi i thích
ể đƣợ ả
nhƣ yêu cầ ủ
u c a các vector gradient
0 T
u u u
H f L
 
 y ch
đƣợc thay đổi nhƣ vậ ỉ
có th b u ki n ràng bu c. Quy nh s d ng
ể ằng cách thay đổi các điề ệ ộ ết đị ử ụ H ho c
ặ
0
H là m t s l a ch n tinh t c i thi t k . Nó có th d dàng bi i d
ộ ự ự ọ ế ủa ngƣờ ế ế ể ễ ến đổ ễ
dàng và không gây ra b t k s nh m l gi i quy t m t v c , ràng
ấ ỳ ự ầ ẫn. Để ả ế ộ ấn đề ụ thể
bu u ki n cung không b gi i h n và ph i có s liên k t v
ộc và điề ệ ị ớ ạ ả ự ế ới nhau để đáp
ứng đƣợ ấ ả điề ệ ầ ại các điể ủ ộc và điề
c t t c các u ki n c n. T m giao nhau c a ràng bu u
ki n cung không b gi i h n, ph u khi c ,
ệ ị ớ ạ ải điề ển đƣợ u , có th liên t c ho
ể ụ ặc
không liên t c: n u nó là không liên t c g i là góc.
ụ ế ục, các điểm giao nhau đó đƣợ ọ
(Danh pháp xu t hi n t s không liên, t các bi n i gian c a m t s ho
ấ ệ ừ ự ục ế thờ ủ ộ ố ặc
t t c bi n tr ng thái). Góc có th x y ra t i b t k y ra
ấ ả các ế ạ ể ả ạ ấ ỳ điểm nào, nhƣng xả
nhi m giao nhau c a ràng bu u ki n cung không b gi
ều hơn tại các điể ủ ộc và điề ệ ị ới
h n. t p nh s t n t
ạ Dƣờng nhƣ không có mộ hƣơng pháp tiên nghiệm để xác đị ự ồ ại

c a các góc. N u
ủ ế ( )
u t là liên t c trên m m giao nhau, nó có tính ch t liên
ụ ột điể ấ
tục của , /
H u
   và H mà ( )
t
 m giao nhau.
là liên tụ ể
c trên các đi
 
2
2
2
0
1
2 2
T
a
J x T u dt
   69)
(2.
( )
x g t u

 ( )
g t hàm s theo th i gian 70)
ố ờ (2.
( ) 1
u t  71)
(2.
Hàm Hamiltonian nhƣ sau:
  
2
1 2
1
1 1
2
T
H u gu u u
  
      72)
(2.
   2
0
T
x
H
t T a x T

 
  
 
73)
(2.
   
0 2
0
0
0
u
H u a g t x T



   




1
1 1
1
u
u
u
 
  

(2.74)
Diễ ả ộ
n gi i m t cách tƣờ ủ
ng minh c a
0
u
H , chúng ta có
2
( ) ( )
opt
u Sat a g t x T
 
    75)
(2.
Và ( )
x T t
đƣợc tính ừ phƣơng trình bao hàm
 
sgn
Sat






1
1




      
0
2
0
T
t
x T x g t Sat a g t x T dt
 
   
 76)
(2.
Sau đó chúng :
ta có
 
  
 2
1
1
0
a g t x T
t


 




1 2
t t t
 

 
  
 2
2
1
0
a g t x T
t

 




3 4
t t t
 
Và:    
   
2
2
1 0
1 0
a g t x T
a g t x T
 
  
2.6.2 B u khi n và bi ng thái
ất phương trình ràng buộc của điề ể ến trạ
Thay các điề ệ ộ ở phƣơng trình
u ki n ràng bu c ( , , ) 0
C x u t  ,gi s chúng ta có
ả ử
b ng sau: (Tài li u [4] m c 3.10 trang 117)
ất phƣơng trình ràng buộc tƣơng ứ ệ ụ
 
, , 0
C x u t  77)
(2.
V c gi i quy trong m c 3.8. Chúng ta
ấn đề này đƣợ ả ết tƣơng tự nhƣ vấn đề ụ
định nghĩa:
T
H L f C
 
   78)
(2.
Mà:
0
0









0
0
C
C


(2.79)
Và các phƣơng trình Euler – ở
lagrange tr thành
T
T x x x
x T
x x
L f C
H
L f
 



  
  

 


0
0
C
C


(2.80)
Chú ý h s h n ch
ệ ố ạ ế x
C
 ),mà bi n này không xu
trong phƣơng trình (2.80 ế ất
hi n trong ph n s m 2.6.1 u ki nh
ệ ầ ử lý ở ục . Điề ện xác đị (t)
u là:
0
u u T u u
H L f C
 
    81
(2. )
Cho 0
C  , chúng ta có 0
 và (2.81) sẽ xác định đƣợc ( )
u t . Cho 0
C  ,
k t h 77) và (2.80 nh
ế ợp phƣơng trình (2. ) xác đị (t), (t)
u  ; ( )
t
 là c n thi t cho
ầ ế
(2. ).
80

Để ả ế ộ ấn đề ụ ể, các điề ệ ộ ị
gi i quy t m t v c th u ki n ràng bu c và không b ràng
bu c ph c k t h p ch t ch v u ki n c n thi t.
ộ ải đƣợ ế ợ ặ ẽ ới nhau để thỏa mãn các điề ệ ầ ế
Nhƣ trong phầ điể ể ặ ứ
n 2.6.1 các m giao nhau có th ho c không có góc, t c là
nh u khi n vector là không liên t
ững nơi mà các điề ể ục.
2.6.3B ng th c ràng bu a các bi ng thái
ấ ẳ
t đ ứ ộc về chức năng củ ến trạ
B ng th c c a bi n tr ng thái ràng bu c, gi s chúng ta có có b
ất đẳ ứ ủ ế ạ ộ ả ử ất
phƣơng trình ràng ộc tƣơng ứ ệ ụ
bu ng sau: (Tài li u [4] m c 3.11 trang 118)
( , ) 0
S x t  81)
(2.
Để đơn giả ẽ
n, chúng ta s có ,
S u ng.
là vô hƣớ
Nhƣ trong phần trƣớ ấ
c, chúng ta l y t ng th 81)
ổ ời gian trong phƣơng trình (2.
và thay thế ( , , )
f x u t cho x
 c m t bi u th c ph
, cho đến khi chúng ta có đƣợ ộ ể ứ ụ
thuộc vào u m t cách rõ ràng. N u
ộ ế q o hàm th c yêu c u,
là đạ ời gian gian đƣợ ầ
chúng ta g i (2.81)
ọ th
q o hàm theo th i gian c
là đạ ờ ủa S , nó đóng vai trò nhƣ
( , , )
C x u t :
nhƣ trong . Lúc đó hàm Hamilton sẽ
ph n 2.6.2
ầ là
( )
T q
H L f S
 
   82)
(2.
Mà: ( )
0
q
S  n m trên biên c a gi n ràng bu
ằ ủ ới hạ ộc, 0
S  83)
(2.
0
 i biên gi i ràng bu
ra khỏ ớ ộc, 0
S  84)
(2.
Các phƣơng trình Euler – ố ệ ớ ớ
Lagrange gi ng h t v i (2.80) và (2.81), v i ( )
q
S
thay th cho
ế C .
M u ki n c n thi ng t i hàm ch
ột điề ệ ầ ết ảnh hƣở ớ ức năng  ,nhƣ trong phần
3.6.2, là:
( ) 0
t
  trên 0
S  , n u h n ch
ế ạ ế J 85)
(2.
Vì điề ể ủ
u khi n c a ( , )
S x t c b o hàm th i gian
thu đƣợ ằng cách đạ ờ th
q c a nó,
ủ
không có h u h n s gi cho h ng tren ranh gi i ràng bu c, n ng d
ữ ạ ẽ ữ ệ thố ớ ộ ếu đƣờ ẫn

n m vào biên gi i c a ràng bu c các ràng bu c ti p tuy
ằ ớ ủ ộc không đáp ứng đƣợ ộ ế ến
sau:
(1)
( 1)
( , )
( , )
.
( , ) 0
.
.
( , )
q
S x t
S x t
N x t
S x t

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 86)
(2.
Hiể ế ế ộc tƣơng tự ụ ệc xác đị
n nhiên, các ti p tuy n ràng bu áp d ng cho vi nh
ngoài biên gi i ràng bu
ớ ộc.
Phƣơng trình (2. ể ễn dƣớ ạ ộ ậ ợp các điề ệ ớ
86) bi u di i d ng m t t p h u ki n biên gi i,
nằm phía trong đƣờng tròn nhƣ chúng ta đã xem xét trong các phần trƣớc. Do đó
ảnh hƣở ủ
ng c a hàm ( )
t
 , nói chung, không liên t c t m giao nhau gi
ụ ại các điể ữa
cung ràng bu c.
ộ ị ộ
c và cung không b ràng bu
Để ậ ệ ể ọn tùy ý điể ắt đầu và điể ế ỏ
thu n ti n, chúng ta có th ch m b m k t thúc th a
mãn điề ện biên bên trong. Do đó
u ki s

 và H là không liên t c t m b
ụ ại điể ắt
đầu, 1
t t
 và liên t c t m k t thúc. N u chúng ta g i s ng
ụ ại điể ế ế ọ ố lƣợ q trong
(2.86) là m t vectosr
ộ ( , )
N x t , các “ điề ệ ảy” tại các điểm đầu đƣợ
u ki n nh c cung
c p b i:
ấ ở
1 1
1
( ) ( )
( )
T T T N
t t
x t
  

   

và 1 1
1
( ) ( ) T N
H t H t
t


   

Nhƣ trong các điể ắt đầ ế ể ặ ể
phần 3.6.1 m b u và k t thúc có th ho c không th là
“góc”, những nơi mà điề ể ụ
u khi n vector không liên t c.
Lƣu ý trong bất đẳ ứ ộ ến điề ể ột trƣờ ợp đặ
ng th c ràng bu c, bi u khi n là m ng h c
bi t c a bi n tr ng thái trong b
ệ ủ ế ạ ất phƣơng trình ràng buộc trong đó 0
q  . Không
t n t i vector
ồ ạ N ng h p, không có s n trong
trong các trƣờ ợ ự gián đoạ s

 hoặc
H tại 1
t t
 .

Phƣơng pháp tiế ậ ặp khó khăn vớ ế ạ ộ
p c n khác g i bi n tr ng thái ràng bu c bao
g m (a) c gi m s ng các bi n tr ng thái t
ồ Việ ả ố lƣợ ế ạ ừ n tới n q
 trên cung tròn ràng
bu c ho c (b) ti n g n
ộ ặ ế ầ ( , )
S x t c ti p vào hàm Hamiltonian
thay trƣợ ế
( )
( , , )
q
S x u t
.
Ví d : (barchistochorone)
ụ Cho m t bài toán tìm th i gian ng n nh
ộ ờ ắ ất với điểm
đầ ớ ể ố ộ ấ ẳ ứ ế ạ ị ộ
u t i đi m cu i trong m t b t đ ng th c có bi n tr ng thái b ràng bu c. Cho
1/2 1/2
(2 ) cos , (2 ) sin , (0) (0) 0
x gy y gy x y
 
   
 
Hình 2.6 t bài toán tìm th i gian ng n nh t (barchistochorone) v
Cho mộ ờ ắ ấ ới một
b ng th n tr ng thái b ràng bu c
ấ ẳ
t đ ức có biế ạ ị ộ
Trong đó x là kho ng cách tr c n m ngang, y là kho ng cách tr ng,
ả ụ ằ ả ục đứ g là
gia t c tr ng và
ố ọng trƣờ  là góc t o b i tr c n m ngang so v a qu
ạ ở ụ ằ ới đƣờng đi củ ỹ
đạo, tìm ( )
t
 có th i gian nh nh
ờ ỏ ất để đạt đƣợc x l
 v i ràng bu c là
ớ ộ
tan
y x h

  , với  và h là không đổi.
Đây là mộ ấn đề ần đầu đƣợc đƣa ra vớ ế ạ ị ộ
t v l i bi n tr ng thái b ràng bu c trong
b ng th c, t
ất đẳ ứ ừ tan 0
S y x h

    u khi c bi n
không điề ển đƣợ ế  và
1/2
(2 ) sec sin( )
S gy   
 
 không ch a bi u khi n. Trên
ứ ến điề ể 0
S  , 0
S 
 có
nghĩa là  
 .

Giải pháp để ả ị ộ
gi i bài toán không b ràng bu c
 
 
/ (2 / ) 1 ( / 2) tan
h l    
   là nhƣ sau:
 
2
t t

 
  ,
1/2
4
g
l


 
 
 
2
2 sin2 2
, sin
2
x t y
t t
l l

 
 
 
  
 
 
1/2
f
l
t
g

 
 
 
= th i gian ng n nh t
ờ ắ ấ
/
x g
 
  , u ctn t
g

 
  , :
Mà ta lại có 
f x y
dt x y
   
 
1 variational
x y
H x y
 
    Hamiltonian = 0
Giải pháp cho bài toán có ràng buộc    
 
/ 2 / 1 / 2 tan
h l    
  
 
 
 

1
2
2
f
t
t
t t


 










1
1 2
2
0
f
t t
t t t
t t t
 
 
 
Mà ta lại có :
 
1/2 1/2
1 2
/ 2
,
2 2
ctn
g g ctn
hcnt l hctn
    
 

 
  
 
 
   

 
 
 
1
1
/ 2
,
t
 


 2 2
/
f
t t  
 
  
1/2 1/2
2 2
2
f
h
t l hctn ctn ctn ctn
g g

     
   
 
     
 
   
 
   
=minimum final
time
   
1 2 0
tan
x y
t t
   
     ,    
1 1 0
y y
t t
  
   
Ta lại có:  
0 2 1
/
ctn g
   
 
chú ý 0 0
  và 1 2
t t
 nhƣ    
 
/ 2 / 1 / 2 tan
h l    
  
 
 

1 0
x y
H x y
 
    , 0 f
t t
 
Hình dƣớ ấ ả ớ
i cho th y các gi i pháp v i 1
tan
2
 s giá tr c
ố ị ủa /
h l
Hình 2.7 T i gian ng n nh t (barchistochorone) v
ìm thờ ắ ấ ới 1
tan
2
 với một vài
giá trị /
h l , bi n tr ng thái b c
ế ạ ị ràng buộ

Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc.pdf

Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc.pdf

Similar to Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc.pdf (20)

More from Man_Ebook

More from Man_Ebook (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc.pdf