1. PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
)3 5 2a x x+ −
2 2
) 10 9b x xy y− +
Câu 2: a) Tìm các hằng số a và b sao cho 3
x ax b+ + chia cho 1x + thì dư 7, chia cho 3x −
thì dư 5− .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số:
3
4 2
2
3 1
n n
n n
+
+ +
là phân số tối giản.
Câu 3: Cho 0ax by cz+ + = . Rút gọn biểu thức:
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )bc y z ca z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
+ +
Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2
2 1x
y+ = .
b) Giải phương trình: 2
2 (8 1) (4 1) 9x x x− − = .
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao
cho
AM CN
MD NB
= . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ
đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng: HN // BD.
b) Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF.
Câu 6: a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn
1 1 1
x y z
+ = . Hỏi
x y+ có là số chính phương không ? Vì sao ?
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 60; 100z x y z≥ + + = . Tìm giá trị lớn nhất
của A xyz= .
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o híng dÉn chÊm giao lu hSG líp 8
ĐỀ CHÍNH THỨC

2. vÜnh têng n¨m häc 2010-2011
M«n: to¸n
Câu Nội dung trình bày Điểm
1
(2đ)
a) (1đ) ( ) ( )2 2
3 5 2 3 6 2 2 3 1x x x x x x x+ − = + − − = + − 1đ
b) (1đ) ( ) ( )2 2 2 2
10 9 9 9 9x xy y x xy xy y x y x y− + = − − + = − − 1đ
2
(2đ)
a) (1đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )3
1 7 3 5x ax b x P x x Q x+ + = + + = − −
Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được:
8;3 32
10; 2
a b a b
a b
− = − + = −
⇒ = − = −
0,5đ
0,5đ
b) (1đ) Gọi
( )
( ) ( )
3 4 2
3 4 2
2
4 2 4 2
22 4 2
2 , 3 1
2 2
1
3 1 3 1
1 2 1 1
d n n n n
n n d n n d
n d
n n d n n d
n n n d d d
= + + +
 + +
⇒ ⇒ ⇒ + 
+ + + + 
⇒ + − + ⇒ ⇒ =
M M
M
M M
M M
Vậy phân số
3
4 2
2
3 1
n n
n n
+
+ +
tối giản với mọi số nguyên n.
0,5đ
0,5đ
3
(1đ) Ta có:
2 2 2 2 2 2
0 2( ) 0(1)ax by cz a x b y c z bcyz acxz abxy+ + = ⇒ + + + + + =
Ta lại có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
2( ) 0(2)
B bc y z ca z x ab x y
bcy bcz caz acx abx aby bcyz acxz abxy
= − + − + −
= + + + + + − + + =
Từ (1) và (2) suy ra
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
B ax b c by a c cz a b a x b y c z
a x b y c z a b c
= + + + + + + + +
= + + + +
Do đó
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )bc y z ca z x ab x y
A a b c
ax by cz
− + − + −
= = + +
+ +
0,5đ
0,5đ
4

3. (2đ) a) (1đ) Ta có:
( ) ( )
( )
2
2 1 2 1 1
1 2
( ) 2 2 2 2 1 2
1 2
1 3
2 3
x x
m
m n n m n
n
y y y
y
m n
y
n x
m y
−
+ = ⇒ = + −
 + =
⇒ > ⇒ − = − =
− =
= = 
⇒ ⇒ 
= = 
0,5đ
0,5đ
b) (1đ) 2 2
2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72x x x x x x− − = ⇔ − − =
Đặt 8x – 1 = y ta có:
( ) ( )2 2
1 1 72 9
1
2
3
1
4
y y y y
x
y
x
+ − = ⇔ =

=
⇔ = ± ⇔ 
 = −

0,5đ
0,5đ
5
(2đ)
I
K
Q
H
F
E
O
A B
D
C
M
N
G
a) (1đ) Theo định lí Ta-let ta có: / /
DH DM BN
HN BD
HC MA NC
= = ⇒ (theo
định lí Ta-let đảo)
0,5đ
0,5đ
b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và
AC. Ta có: / /
MG AO BO NQ
GQ MN
GH OC OD QH
= = = ⇒
Gọi K là giao điểm của HO và GQ.
Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ.
Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF.
0,5đ
0,5đ
6

4. (1đ)
a)( 0,5đ) Ta có:
( ) ( ) ( ) 21 1 1
z x y xy x z y z z
x y z
+ = ⇒ + = ⇔ − − =
Gọi ( ), 1d x z y z z d x d y d d= − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =M M M
Do đó x – z và y – z đều là số chính phương.
Đặt
( )
( ) ( ) ( )
2
22
2
22 2
( , )
2 2
x z k
k m N z km z km
y z m
x y x z y z z k m km k m
 − =
∈ ⇒ = ⇒ =
− =
⇒ + = − + − + = + + = +
Vậy x + y là số chính phương.
0,25đ
0,25đ
b) (0,5đ) Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
60; 100 60
60 60 0 3600 60 0
60 60
60
60 60 60 15.40 24000
4
z x y z y
y z y z yz
yz y z
x y z
A xyz x y z
≥ + + = ⇒ <
⇒ − − ≤ ⇒ − + + ≤
⇒ ≤ + −
+ + −
⇒ = ≤ + − ≤ = =
(áp dụng bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra khi
60
60 60
100 20
, 0
z
x x y z z
x y z x y
x y
=
 = + + − =
⇔ 
+ + = = =
 ≥
Vậy Max A = 24000
60
20
z
x y
=
⇔ 
= =
0,25đ
0,25đ
Trần mạnh Cường
GV : THCS Kim Xá –VT- Vĩnh Phúc