física

1. Centro de Gravidade,
Centro de Massa e
Centroide
Profª Fernanda Mazuco Clain
Universidade Federal do Rio Grande – FURG
Mecânica Geral

2. Cargas pontuais
• Cargas pontuais são abstrações de cargas
distribuídas em domínios com dimensões
características pequenas comparadas com as do
elemento estrutural ao qual estão aplicadas ou de
representação de um sistema resultante equivalente
de forças distribuídas.
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3. Centro de Gravidade (G), Centro
de Massa (CM) e Centroide (C)
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4. Sistema de Partículas
Mecânica Geral – FURG
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5. Sistema de Partículas
• As partículas com pesos W1, ..., Wn podem ser
substituídas por uma força resultante WR localizada
no centro de gravidade (G):
• Força resultante:
Σ F = WR = Σ W
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6. Sistema de Partículas
• Centro de Gravidade:
Σ My = ҧ
𝑥.WR = ෤
𝑥1.W1+෤
𝑥2.W2+෤
𝑥n.Wn
Σ Mx = ത
𝑦.WR = ෤
𝑦1.W1+෤
𝑦2.W2+෤
𝑦n.Wn
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7. Sistema de Partículas
• Centro de Gravidade:
• Rotacionando o sistema em torno de x:
Mecânica Geral – FURG
z
x
y
z
x
y
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8. Sistema de Partículas
• Centro de Gravidade:
Σ Mx = ҧ
𝑧.WR = ǁ
𝑧1.W1+ ǁ
𝑧2.W2+ ǁ
𝑧n.Wn
Mecânica Geral – FURG
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9. Sistema de Partículas
• Centro de Gravidade:
WR = Σ W
ҧ
𝑥.WR = ෤
𝑥1.W1+෤
𝑥2.W2+෤
𝑥n.Wn
ത
𝑦.WR = ෤
𝑦1.W1+෤
𝑦2.W2+෤
𝑦n.Wn
ҧ
𝑧.WR = ǁ
𝑧1.W1+ ǁ
𝑧2.W2+ ǁ
𝑧n.Wn
ഥ
𝒙 =
𝜮෥
𝒙.𝑾
𝜮𝑾
ഥ
𝒚 =
𝜮෥
𝒚.𝑾
𝜮𝑾
ത
𝒛 =
𝜮෤
𝒛.𝑾
𝜮𝑾
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10. Corpo Rígido
• Número infinito de partículas:
WR = ‫׬‬ dW
ഥ
𝒙 =
‫׬‬ ෥
𝒙.𝒅𝑾
‫׬‬ 𝒅𝑾
ഥ
𝒚 =
‫׬‬ ෥
𝒚.𝒅𝑾
‫׬‬ 𝒅𝑾
ത
𝒛 =
‫׬‬ ෤
𝒛.𝒅𝑾
‫׬‬ 𝒅𝑾
Mecânica Geral – FURG
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11. Corpo Rígido
• Como: W = γ V ⁖ dW = γ.dV
ഥ
𝒙 =
‫׬‬ ෥
𝒙.𝜸𝒅𝑽
‫׬‬ 𝜸𝒅𝑽
ഥ
𝒚 =
‫׬‬ ෥
𝒚.𝜸𝒅𝑽
‫׬‬ 𝜸𝒅𝑽
ത
𝒛 =
‫׬‬ ෤
𝒛.𝜸𝒅𝑽
‫׬‬ 𝜸𝒅𝑽
• Para um corpo homogêneo: γ = Cte
ഥ
𝒙 =
‫׬‬ ෥
𝒙.𝒅𝑽
‫׬‬ 𝒅𝑽
ഥ
𝒚 =
‫׬‬ ෥
𝒚.𝒅𝑽
‫׬‬ 𝒅𝑽
ത
𝒛 =
‫׬‬ ෤
𝒛.𝒅𝑽
‫׬‬ 𝒅𝑽
Mecânica Geral – FURG
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12. Placa plana homogênea
• Centroide (C) e baricentro (G) coincidem:
dV = e .dA
e = espessura
ഥ
𝒙 =
‫׬‬ ෥
𝒙.𝒅𝑨
‫׬‬ 𝒅𝑨
ഥ
𝒚 =
‫׬‬ ෥
𝒚.𝒅𝑨
‫׬‬ 𝒅𝑨
ത
𝒛 =
‫׬‬ ෤
𝒛.𝒅𝑨
‫׬‬ 𝒅𝑨
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13. Arame com área constante
• Centroide (C) e baricentro (G) coincidem:
dV = A.L
A = área da seção transversal
ഥ
𝒙 =
‫׬‬ ෥
𝒙.𝒅𝑳
‫׬‬ 𝒅𝑳
ഥ
𝒚 =
‫׬‬ ෥
𝒚.𝒅𝑳
‫׬‬ 𝒅𝑳
ത
𝒛 =
‫׬‬ ෤
𝒛.𝒅𝑳
‫׬‬ 𝒅𝑳
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14. Corpos Compostos
• Um corpo pode ser dividido em corpos com
centroide e/ou baricentro conhecido
• Dessa forma, cada parte pode ser tratada como uma
partícula
ഥ
𝒙 =
𝜮෥
𝒙.𝑾
𝜮𝑾
ഥ
𝒚 =
𝜮෥
𝒚.𝑾
𝜮𝑾
ത
𝒛 =
𝜮෤
𝒛.𝑾
𝜮𝑾
Mecânica Geral – FURG
x
y
+
_
= 1 2 3
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15. Exemplos
9.9 – Hibbeler. 12ª Ed. Determine a área e o centroide
(x, y) da área.
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16. Exemplos
9.9 – Hibbeler. 12ª Ed. Determine a área e o centroide
(x, y) da área.
Mecânica Geral – FURG
y
y
~
x
~
dx dA
y
~ = _y_
2
x
~ = x
dA= y.dx
16

17. Exemplos
9.9 – Hibbeler. 12ª Ed. Determine a área e o centroide
(x, y) da área.
Mecânica Geral – FURG
y
y
~
x
~
dx dA
17

18. Exemplos
9.9 – Hibbeler. 12ª Ed. Determine a área e o centroide
(x, y) da área.
Mecânica Geral – FURG
y
y
~
x
~
dx dA
18

19. Exemplos
9.26 – Hibbeler. 12ª Ed. Determine a área e o
centroide (x, y) da área.
Mecânica Geral – FURG
19

20. Exemplos
9.26 – Hibbeler. 12ª Ed. Localize o x do centroide da
área.
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y1-y2
x
~ y
~
dx
𝒚𝟏 = 𝒙 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐
𝒅𝑨 = (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐). 𝒅𝒙
𝐝𝐀 = ( 𝒙 − 𝒙𝟐). 𝒅𝒙
x
~ = x
20

21. Exemplos
9.26 – Hibbeler. 12ª Ed. Localize o x do centroide da
área.
Mecânica Geral – FURG
y1-y2
x
~ y
~
dx
21

22. Exemplos
5.6 – Beer. 10ª Ed. Determine a área e o centroide (x,
y) da área.
Mecânica Geral – FURG
22

23. Exemplos
5.6 – Beer. 10ª Ed. Determine a área e o centroide (x,
y) da área.
Mecânica Geral – FURG
23

24. Exemplos
5.9 – Beer. 10ª Ed. Determine a área e o centroide (x,
y) da área.
Mecânica Geral – FURG
24

25. Exemplos
5.9 – Beer. 10ª Ed. Determine a área e o centroide (x,
y) da área.
Mecânica Geral – FURG
25

26. Exemplos
5.9 – Beer. 10ª Ed. Determine a área e o centroide (x,
y) da área.
Mecânica Geral – FURG
26

27. Exemplos
Mecânica Geral – FURG
27
Determine a área e o centroide (x, y) das áreas.