1. Khảo sát hàm số
Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 3 .
Vậy m £ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +¥) .
2 x 2 - 3x + m
Câu 13. Cho hàm số y = (2).
x -1
Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .
2x2 - 4x + 3 - m f (x)
· Tập xác định: D = R {1} . y ' = 2
= .
( x - 1) ( x - 1)2
Ta có: f ( x ) ³ 0 Û m £ 2 x 2 - 4 x + 3 . Đặt g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 Þ g '( x ) = 4 x - 4
Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) Û y ' ³ 0, "x Î (1;2) Û m £ min g( x )
[1;2]
Dựa vào BBT của hàm số g( x ), "x Î (-¥; -1] ta suy ra m £ 1 .
Vậy m £ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .
x 2 - 2mx + 3m2
Câu 14. Cho hàm số y = (2).
2m - x
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (-¥;1) .
- x 2 + 4mx - m 2 f (x)
· Tập xác định: D = R { 2m} . y ' = 2
= . Đặt t = x - 1 .
( x - 2m) ( x - 2m)2
Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) Û y ' £ 0, "x Î (-¥;1) Û í2m > 1
ì
î g(t ) £ 0, "t < 0 (i)
éD ' = 0 ém = 0
ê ìD ' > 0 ê ìm ¹ 0 ém = 0
(i) Û ê ï Û êï Ûê
ê íS > 0 ê í 4m - 2 > 0 ëm ³ 2 + 3
êïP ³ 0
ëî ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0
ëî
Vậy: Với m ³ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (-¥;1) .
x 2 - 2mx + 3m2
Câu 15. Cho hàm số y = (2).
2m - x
Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +¥) .
- x 2 + 4mx - m 2 f (x)
· Tập xác định: D = R { 2m} . y ' = = . Đặt t = x - 1 .
( x - 2m)2 ( x - 2m)2
Khi đó bpt: f ( x ) £ 0 trở thành: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 £ 0
Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥) Û y ' £ 0, "x Î (1; +¥) Û í2m < 1
ì
î g(t ) £ 0, "t > 0 (ii )
éD ' = 0 ém = 0
ê ìD ' > 0 ê ìm ¹ 0
(ii) Û ê ï Û êï Û m £2- 3
ê íS < 0 ê í 4m - 2 < 0
êïP ³ 0
ëî ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0
ëî
Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +¥)
Trang 8