ejercicios resueltos de cinematica

1. Mecánica Vectorial - Dinámica
Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno
PROBLEMAS SEMANA 1
Problema 01: Cuando un tren se desplaza a lo largo de una vía recta a 𝟐 𝒎 𝒔
⁄ , comienza
a acelerarse con una aceleración 𝒂 = 𝟔𝟎𝒗−𝟒
en donde 𝒗 está en 𝒎 𝒔
⁄ . Determine su
velocidad 𝒗 y la posición 𝟑 𝒔 después de la aceleración.
Datos
𝒗𝟎 = 𝟐 𝒎 𝒔
⁄
aceleración 𝒂 = 𝟔𝟎𝒗−𝟒
donde 𝒗 está en 𝒎 𝒔
⁄
𝟑 𝒔 después de la aceleración, determine su
velocidad 𝒗 =? ? ? ? y la posición 𝒔 =? ? ? ?
Solución
Hallando la velocidad 𝒗
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
⟹ 𝒅𝒗 = 𝒂
⏟
𝟔𝟎𝒗−𝟒
𝒅𝒕
𝒅𝒗 = 𝟔𝟎𝒗−𝟒
𝒅𝒕
𝒅𝒗
𝒗−𝟒
= 𝟔𝟎𝒅𝒕
𝒗𝟒
𝒅𝒗 = 𝟔𝟎𝒅𝒕
∫ 𝒗𝟒
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝟎
= 𝟔𝟎 ∫ 𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝟏
𝟓
[𝒗𝟓]𝒗𝟎
𝒗
= 𝟔𝟎[𝒕]𝟎
𝒕
𝟏
𝟓
(𝒗𝟓
− 𝒗𝟎
𝟓
) = 𝟔𝟎𝒕
𝒗𝟓
− 𝒗𝟎
𝟓
= 𝟑𝟎𝟎𝒕
𝟑 𝒔 después
𝒗𝟓
− 𝟐𝟓
= 𝟑𝟎𝟎(𝟑)
𝒗 = 𝟑. 𝟗𝟐𝟓 𝒎 𝒔
⁄
Hallando posición 𝒔
Utilizando la siguiente relación
𝒂
⏟
𝟔𝟎𝒗−𝟒
𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
𝟔𝟎𝒗−𝟒
𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
𝟔𝟎𝒅𝒔 =
𝒗
𝒗−𝟒
𝒅𝒗
𝟔𝟎𝒅𝒔 = 𝒗𝟒
𝒗𝒅𝒗
𝟔𝟎𝒅𝒔 = 𝒗𝟓
𝒅𝒗
Integrando ecuación anterior
𝟔𝟎 ∫ 𝒅𝒔
𝒔
𝟎
= ∫ 𝒗𝟓
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝟎
𝟔𝟎𝒔 =
𝟏
𝟔
(𝒗𝟔
− 𝒗𝟎
𝟔
)
𝟑 𝒔 después
𝒔 =
𝟏
𝟑𝟔𝟎
(𝟑. 𝟗𝟐𝟓𝟔
− 𝟐𝟔)
𝒔 = 𝟗. 𝟗𝟕𝟔 𝒎

2. Mecánica Vectorial - Dinámica
Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno
Problema: El trineo de retroimpulso que se
muestra en la figura parte del reposo y acelera con
𝒂 = (𝟑𝟎 + 𝟐𝒕) 𝒎 𝒔𝟐
⁄ hasta que su velocidad es de
𝟒𝟎𝟎 𝒎/𝒔. En ese momento frena y su aceleración
es 𝒂 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒗𝟐
𝒎 𝒔𝟐
⁄ hasta que su velocidad
disminuye a 𝟏𝟎𝟎 𝒎/𝒔. ¿Qué distancia total recorre el trineo?
Datos
Fase de aceleración
𝒗𝟎 = 𝟎
𝒂 = (𝟑𝟎 + 𝟐𝒕) 𝒎 𝒔𝟐
⁄
𝒗𝟏 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎/𝒔
Fase de desaceleración
𝒗𝟏 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎/𝒔
𝒂 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒗𝟐
𝒎 𝒔𝟐
⁄
𝒗𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎/𝒔
Hallar distancia total 𝒅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =? ? ?
Solución
Fase de aceleración
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
⟹ 𝒅𝒗 = 𝒂
⏟
(𝟑𝟎+𝟐𝒕)
𝒅𝒕
𝒅𝒗 = (𝟑𝟎 + 𝟐𝒕)𝒅𝒕
Integrando
∫ 𝒅𝒗
𝒗
𝟎
= ∫(𝟑𝟎 + 𝟐𝒕)𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝒗 = 𝟑𝟎𝒕 + 𝒕𝟐 (𝟏)
𝒗 =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
⟹ 𝒅𝒔 = 𝒗
⏟
𝟑𝟎𝒕+𝒕𝟐
𝒅𝒕
𝒅𝒔 = (𝟑𝟎𝒕 + 𝒕𝟐)𝒅𝒕
∫ 𝒅𝒔
𝒔𝟏
𝟎
= ∫(𝟑𝟎𝒕 + 𝒕𝟐)𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝒔𝟏 = 𝟏𝟓𝒕𝟐
+
𝒕𝟑
𝟑
(𝟐)
En (1) cuando 𝒗 = 𝒗𝟏 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎 𝒔
⁄
𝟒𝟎𝟎 = 𝟑𝟎𝒕 + 𝒕𝟐
𝒕(𝟑𝟎 + 𝒕) = 𝟒𝟎𝟎
𝒕 = 𝟏𝟎 𝒔
En (2)
𝒔𝟏 = 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟐
+
𝟏𝟎𝟑
𝟑
⟹ 𝒔𝟏 = 𝟏𝟖𝟑𝟑. 𝟑𝟑 𝒎
Fase de desaceleración
𝒂𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
−𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒗𝟐
𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
−𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒅𝒔 =
𝒗
𝒗𝟐
𝒅𝒗
−𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝒅𝒔 =
𝒅𝒗
𝒗
Integrando
−𝟎. 𝟎𝟎𝟑 ∫ 𝒅𝒔
𝒔𝟐
𝒔𝟏=𝟏𝟖𝟑𝟑.𝟑𝟑
= ∫
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝟐=𝟏𝟎𝟎
𝒗𝟏=𝟒𝟎𝟎
−𝟎. 𝟎𝟎𝟑(𝒔𝟐 − 𝟏𝟖𝟑𝟑. 𝟑𝟑) = [𝑳𝒏𝒗]𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
−𝟎. 𝟎𝟎𝟑(𝒔𝟐 − 𝟏𝟖𝟑𝟑. 𝟑𝟑) = 𝑳𝒏𝟏𝟎𝟎 − 𝑳𝒏𝟒𝟎𝟎
𝒔𝟐 = 𝒅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝟐𝟗𝟓. 𝟒𝟐𝟖 𝒎
𝒔𝟏 = 𝟏𝟖𝟑𝟑. 𝟑𝟑 𝒎
𝟎 𝒔𝟐 = 𝟐𝟐𝟗𝟓. 𝟒𝟐𝟖 𝒎

3. Mecánica Vectorial - Dinámica
Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno
PROBLEMA: La partícula viaja a lo largo de una recta de una pista recta de modo que la
gráfica de 𝒔 − 𝒕 describe su posición. Trace la gráfica de 𝒗 − 𝒕 para el mismo intervalo.
Datos
Dado grafico 𝒔 − 𝒕 realizar el grafico 𝒗 − 𝒕
Tramo 1: 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟔 𝒔
𝒔 = 𝟎. 𝟓𝒕𝟑
𝒗 =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
(𝟎. 𝟓𝒕𝟑)
𝒗 = 𝟏. 𝟓𝒕𝟐 (𝟏)
Para 𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝒗 = 𝟏. 𝟓 ∗ 𝟎𝟐
= 𝟎
Para 𝒕 = 𝟔 ⟹ 𝒗 = 𝟏. 𝟓 ∗ 𝟔𝟐
= 𝟓𝟒 𝒎 𝒔
⁄
Tramo 2: 𝟔 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏𝟎 𝒔
𝒔 = 𝟏𝟎𝟖
𝒗 =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
(𝟏𝟎𝟖)
𝒗 = 𝟎 (𝟐)
Tabulando
t 0 1 2 3 4 5 6 6.01 7 8 9 10
v 0.000 1.500 6.000 13.500 24.000 37.500 54.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Graficando
-10.000
0.000
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
0 2 4 6 8 10 12
v

4. Mecánica Vectorial - Dinámica
Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno
PROBLEMA: Se proporciona la gráfica de 𝒂 − 𝒔 de
un “jeep” que viaja a lo largo de una carretera recta
de los primeros 𝟑𝟎𝟎 𝒎 de su movimiento. Trace la
gráfica de 𝒗 − 𝒔. Cuando 𝒔 = 𝟎, 𝒗 = 𝟎
Solución
Nos dan el grafico 𝒂 − 𝒔
Análisis de grafica 𝒂 − 𝒔
Tramo 1: 𝟎 ≤ 𝒔 ≤ 𝟐𝟎𝟎 𝒎
𝒂 − 𝟎
𝒔 − 𝟎
=
𝟐 − 𝟎
𝟐𝟎𝟎 − 𝟎
𝟐𝟎𝟎𝒂 = 𝟐𝒔
𝒂 = (𝟎. 𝟎𝟏𝒔) 𝒎 𝒔𝟐
⁄ (𝟏)
Tramo 2: 𝟐𝟎𝟎𝒎 ≤ 𝒔 ≤ 𝟑𝟎𝟎 𝒎
𝒂 − 𝟐
𝒔 − 𝟐𝟎𝟎
=
𝟎 − 𝟐
𝟑𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎(𝒂 − 𝟐) = −𝟐𝒔 + 𝟒𝟎𝟎
𝒂 = −𝟎. 𝟎𝟐𝒔 + 𝟒 + 𝟐
𝒂 = (𝟔 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒔) 𝒎 𝒔𝟐
⁄ (𝟐)
Análisis de grafica 𝒗 − 𝒔
𝒂𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗 (𝟑)
Tramo 1: 𝟎 ≤ 𝒔 ≤ 𝟐𝟎𝟎 𝒎
𝒂
⏟
(𝟎.𝟎𝟏𝒔)
𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
𝟎. 𝟎𝟏𝒔𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
Integrando
𝟎. 𝟎𝟏 ∫ 𝒔𝒅𝒔
𝒔
𝟎
= ∫ 𝒗𝒅𝒗
𝒗
𝟎
𝟎. 𝟎𝟏
𝒔𝟐
𝟐
=
𝒗𝟐
𝟐
𝟎. 𝟎𝟏𝒔𝟐
= 𝒗𝟐
𝒗 = 𝟎. 𝟏𝒔 (𝟒)
Cuando 𝒔 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎
𝒗 = 𝟎. 𝟏 ∗ 𝟐𝟎𝟎 ⟹ 𝒗 = 𝟐𝟎 𝒎 𝒔
⁄
Tramo 2: 𝟐𝟎𝟎𝒎 ≤ 𝒔 ≤ 𝟑𝟎𝟎 𝒎
En (3)
(𝟔 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒔)𝒅𝒔 = 𝒗𝒅𝒗
Integrando
∫(𝟔 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒔)𝒅𝒔
𝒔
𝟐𝟎𝟎
= ∫ 𝒗𝒅𝒗
𝒗
𝟐𝟎
[𝟔𝒔 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒔𝟐]𝟐𝟎𝟎
𝒔
=
𝟏
𝟐
[𝒗𝟐]𝟐𝟎
𝒗
𝟔𝒔 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒔𝟐
− (𝟔 ∗ 𝟐𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟐𝟎𝟎𝟐) =
𝟏
𝟐
(𝒗𝟐
− 𝟐𝟎𝟐)
𝟔𝒔 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒔𝟐
− 𝟖𝟎𝟎 =
𝟏
𝟐
(𝒗𝟐
− 𝟐𝟎𝟐)
𝟏𝟐𝒔 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒔𝟐
− 𝟏𝟔𝟎𝟎 = 𝒗𝟐
− 𝟐𝟎𝟐
𝒗𝟐
= 𝟏𝟐𝒔 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒔𝟐
− 𝟏𝟐𝟎𝟎
𝒗 = √𝟏𝟐𝒔 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒔𝟐 − 𝟏𝟐𝟎𝟎 (𝟓)
Cuando 𝒔 = 𝟑𝟎𝟎 𝒎
𝒗 = √𝟏𝟐 ∗ 𝟑𝟎𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟐 ∗ 𝟑𝟎𝟎𝟐 − 𝟏𝟐𝟎𝟎
𝒗 = 𝟐𝟒. 𝟒𝟗 𝒎 𝒔
⁄

5. Mecánica Vectorial - Dinámica
Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno
Tabulando y graficando
s v
0 0
20 2
40 4
60 6
80 8
100 10
120 12
140 14
160 16
180 18
200 20
200.001 20.000100
220 21.725561
240 22.978251
260 23.832751
280 24.331050
300 24.494897
0
5
10
15
20
25
30
0 50 100 150 200 250 300 350
v

6. Mecánica Vectorial - Dinámica
Ing. Arturo Huber Gamarra Moreno
PROBLEMAS SEMANA 2-1
Problema: La velocidad de una partícula viene dada por
𝐯 = [𝟏𝟔𝒕𝟐
𝒊 + 𝟒𝒕𝟑
𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌] 𝒎 𝒔
⁄ , donde t es en segundos. Si la partícula está en el origen
cuando 𝒕 = 𝟎 , determine la magnitud de la aceleración de la partícula cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔 . Además,
¿cuál es la posición coordenada (𝒙, 𝒚, 𝒛) de la partícula en este instante?
Datos
𝐯 = [𝟏𝟔𝒕𝟐
𝒊 + 𝟒𝒕𝟑
𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌] 𝒎 𝒔
⁄
donde t es en segundos
cuando 𝒕 = 𝟎 ⟹ 𝒓 = 𝟎
cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔 hallar: 𝒂 =? ? ? ? y cuando 𝒓 =
(𝒙, 𝒚, 𝒛) =? ? ?
Solución
Magnitud de aceleración (𝒂)
𝐚 =
𝐝𝐯
𝒅𝒕
𝐚 =
𝐝
𝒅𝒕
[𝟏𝟔𝒕𝟐
𝒊 + 𝟒𝒕𝟑
𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌]
𝐚 = [𝟑𝟐𝒕 𝒊 + 𝟏𝟐𝒕𝟐
𝒋 + 𝟓 𝒌] 𝒎 𝒔𝟐
⁄
Cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔
𝐚 = [𝟑𝟐 ∗ 𝟐 𝒊 + 𝟏𝟐 ∗ 𝟐𝟐
𝒋 + 𝟓 𝒌] 𝒎 𝒔𝟐
⁄
𝐚 = [𝟔𝟒 𝒊 + 𝟒𝟖 𝒋 + 𝟓 𝒌] 𝒎 𝒔𝟐
⁄
Magnitud
𝒂 = √𝟔𝟒𝟐 + 𝟒𝟖𝟐 + 𝟓𝟐
𝒂 = 𝟖𝟎.𝟏𝟓𝟔 𝒎 𝒔𝟐
⁄
Posición coordenada (𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝐯 =
𝐝𝐫
𝒅𝒕
⟹ 𝒅𝐫 = 𝐯𝐝𝐭
𝒅𝐫 = [𝟏𝟔𝒕𝟐
𝒊 + 𝟒𝒕𝟑
𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌]𝐝𝐭
Integrando
∫𝒅𝐫
𝒓
𝟎
= ∫[𝟏𝟔𝒕𝟐
𝒊 + 𝟒𝒕𝟑
𝒋 + (𝟓𝒕 + 𝟐) 𝒌]𝐝𝐭
𝒕
𝟎
𝐫 = [
𝟏𝟔
𝟑
𝒕𝟑
𝒊 + 𝒕𝟒
𝒋 + (𝟐.𝟓𝒕 + 𝟐𝒕) 𝒌] 𝒎
Cuando 𝒕 = 𝟐 𝒔
𝐫 = [
𝟏𝟔
𝟑
∗ 𝟐𝟑
𝒊 + 𝟐𝟒
𝒋 + (𝟐. 𝟓 ∗ 𝟐 + 𝟐𝒕) 𝒌]
𝐫 = [𝟒𝟐.𝟔𝟕 𝒊 + 𝟏𝟔 𝒋 + 𝟗 𝒌] 𝒎
Luego
𝒓 = (𝒙,𝒚, 𝒛) = (𝟒𝟐.𝟔𝟕;𝟏𝟔;𝟗)𝒎