Линейные системы

1. Линейные системы
Множество называется вещественной (комплексной) линейной системой или векторным
пространством, если для каждых двух элементов x и y определена их сумма x+y –
элемент того же множества – и для любого элемента x и вещественного (комплексного)
числа  определено произведение x, являющееся также элементом множества E, причем,
эти операции удовлетворяют следующим условиям (аксиомам):
1. (x+y)+z = x+(x+z) (ассоциативность сложения)
2. x+y = y+x (коммутативность сложения)
3. В E существует элемент 0, что для любого x0 будет 0x=0.
4. (+ )x = x + x
5. (x+y ) = x + y (дистрибутивность)
6. ( )x = (xy) ассоциативность умножения
7. x = x.
Вычитание x-y = x+(-1)y
Примеры.
En - совокупность векторов n-мерного евклидова производства.
x + y = {1+1, 2+2, …, n+n}
x = {1, 2, …, n}
En- вещественная линейная система.
Линейная зависимость и независимость.
Система элементов nxxx ,...,, 21 называется линейно независимой, если соотношение вида


n
k
kk x
1
0 возможно лишь при 1 = 2 = …. = k = 0 .
В противном случае элементы x1, x2,…,xn называются линейно зависимыми.
Бесконечная система элементов называется линейно независимой, если любой конечный
набор различных элементов этой системы линейно независим.
Линейно независимая система {xa} называется алгебраическим базисом линейной
системы E, если всякий элемент xE может быть представлен в виде линейной
комбинации конечного числа элементов из {xa}

2. x=
n
i
i i
x
1

Т.к. алгебраический базис является линейно независимой системой, то указанное
представление элемента x определяется единственным образом.
Всякая линейная система обладает алгебраическим базисом. Любые два алгебраических
базиса линейной системы E имеют одно и то же кардинальное число . Это кардинальное
число называется размерностью линейной системы E.
Линейная система E называется конечномерной , если ее размерность есть натуральное
число n. В этом случае алгебраический базис состоит из n элементов e1, e2,…, en и обычно
называется просто базисом.
x 

n
i
ii exE
1

i - координаты элемента x в базисе {ei}
В случае бесконечного X, линейная система E называется бесконечномерной.