1. Примеры решения задач.
1. С каким ускорением летит самолет, если на него действуют четыре си-
лы: по вертикали – сила тяжести 200 кН и подъемная сила 210 кН; по горизон-
тали – сила тяги двигателя 20 кН и сила лобового сопротивления воздуха 10 кН
(рис. 2.1 а)? Как направлено ускорение?
Дано: mg 200 кН, Fпод. 210 кН, Fтяги 20 кН, Fсопр. 10 кН.
Найти: а , .
Рис. 2.1 а) Рис. 2.1 б)
Результирующая вертикальных сил равна
F1 Fпод. mg 210 кН – 200 кН = 10 кН.
Результирующая горизонтальных сил равна
F2 Fтяги Fсопр. 20 кН – 10 кН = 10 кН.
Результирующая всех сил равна диагонали квадрата, построенного на сторонах
F1 и F2 (рис. 2.1 б).
Fрез. F12 F22 100 100 кН 14,1 кН
По II закону Ньютона
Fрез . 14,1 кН 9,8 м/с 2
F рез . g
а 0,69 м/с 2 .
m mg 200 кН
Направление ускорения совпадает с направлением результирующей силы
F 10 кН
tg 1 1 , β 45o .
F2 10 кН
Ответ: а 0,69 м/с 2 , направлено ускорение под углом 45o к горизонту.
2. Шахтная клеть в покое весит 2500 Н. С каким ускорением опускается клеть,
если ее вес уменьшается до 2000 Н?
Дано: P 2500 Н , P 2000 Н .
1
Найти: a.
На клеть действуют сила тяжести mg и сила натяжения каната T (рис.
2.2). Предположим, что ускорение a направлено вниз.
Вес – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда клеть в
покое, модули веса P и силы тяжести mg равны: P mg .
Когда клеть движется, модули веса P и силы натяжения T равны: P T .
1 1
Запишем II закон Ньютона в проекциях на
вертикальную ось y :
19
2. mg T ma или P P ma ,
1
откуда
PP P
a 1
, m .
m g
Следовательно,
(P P1 )g 500 Н 9,8 м/с 2
a 2,0 м/с 2 .
P 2500 Н Рис.2.2.
2
Ответ: a 2,0 м/с .
3. С какой силой давит на дно шахтной клети груз массой 100 кг, если клеть
движется с ускорением 0,245 м/с 2 ? Клеть движется вверх, ускорение направлено
1) вверх; 2) вниз. Ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с 2 .
Дано: m 100 кг , а 0,245 м/с 2 , g 9,8 м/с 2 .
Найти: Fдавл.1 - для ускоренного движения; Fдавл.2 - для замедленного дви-
жения.
На груз, лежащий на полу шахты, действуют две силы: mg - сила тяже-
сти и N1 – сила нормальной реакции опоры.
1) Рассмотрим ускоренное движение клети вверх
(рис.2.3). Направим ось y вертикально вверх и запишем
второй закон Ньютона в проекциях на эту ось:
N1 mg ma .
Опора (дно клети) и груз взаимодействуют, поэтому Fдавл.1 –
сила давления груза на дно клети по третьему закону Нью-
тона равна по модулю N – силе реакции опоры, а по на-
правлению эти силы противоположны и приложены к раз-
Рис. 2.3 ным телам.
Fдавл.1 N1 ; Fдавл.1 N1 .
Итак, Fдавл.1 N1 m(g a) .
Вычислим Fдавл.1: Fдавл.1 100 кг 9,8 0,245 м/с 2 1004,5 Н 1004 Н .
2) Рассмотрим замедленное движение вверх (рис.
2.4). Направим ось y вертикально вниз и запишем второй
закон Ньютона в проекциях на эту ось:
mg N 2 ma .
Третий закон Ньютона выполняется и в этом случае.
Fдавл.2 N 2 m(g a) .
Вычислим Fдавл.2 :
Рис. 2.4 Fдавл .2 100 кг 9,8 0,245 м/с 2 955,5 Н 956 Н .
Ответ: 1004H, 956 Н .
4. Брусок массой 400 г движется горизонтально под действием силы
1,4 H. Коэффициент трения 0,20. В некоторой точке скорость бруска 4,0 м/с.
Какой будет его скорость на расстоянии 3,0 м от этой точки?
20
3. Дано: m 400 г, F 1,4 Н , 0,2 0, 1 4,0 м/с , s 3,0 м .
Найти: 2 .
На брусок действует 4 силы: сила тяги - F , тяжести -
mg , трения - Fòð и реакция опоры - N (рис. 2.5).
Запишем II закон Ньютона в проекциях на ось x :
F Fòð ma (1)
Проектируя векторы сил и ускорения на ось y , получим:
Рис. 2.5. N mg 0, N mg .
Найдем силу трения: Fтр μN μmg .
Из уравнения (1) найдем ускорение
F μmg F
F μmg ma, a μg .
m m
Движение бруска равноускоренное: 2 12 2as ,
2
откуда
F
υ 2 υ1 2s
2
μ g ;
m
1,4 Н
2 16 м 2 / с 2 2 3,0 м 0,20 9,8 м/с 2 5,0 м/с .
0,400 кг
Ответ: 2 5,0 м/с .
5. Груз массой 100 кг равномерно перемещают по горизонтальной по-
верхности, прилагая силу под углом 30 o к горизонту. Найти значение этой си-
лы в двух случаях: когда груз тянут и когда его толкают. Коэффициент трения
равен 0,030. В каком случае можно прикладывать меньшую силу?
Дано: m 100 кг , α 30 o , 0,030 .
Найти: F1 , F2 .
1) Груз тянут (см. рис. 2.6). В этом случае сила F1
направлена вверх от горизонтали. При равномерном
движении тела результирующая всех сил равна нулю
и результирующие всех проекций сил на оси x и y
равны нулю.
Рис.2.6. F1 cos Fòð 0, F1 sin N mg 0 .
Т. к. Fòð N , а N mg F1 sin ,
Fòð mg F1 sin .
Тогда F1 cos mg F1 sin 0 .
Решая уравнение, находим F1 :
F1 cos F1 sin mg ;
21
4. mg 0,030 100 кг 9,8 м/с 2
F1 ; F1 33 Н .
cos sin 0,866 0,030 0,5
2) Груз толкают (см. рис. 2.7). В этом случае сила F2 направлена вниз от
горизонтали.
F2 cos Fòð 0 ; N mg F2 sin 0 ; (1)
N mg F2 sin ;
Fòð N mg F sin .
Подставим силу трения в выражение (1):
F2 cos mg F2 sin 0 ;
Рис.2.7.
F2 cos F2 sin mg ;
mg 0,03 100 кг 9,8 м/с 2
F2 ; F2 35 Н .
cos sin 0,866 0,03 0,5
Ответ: F1 33 Н , F2 35 Н . Когда груз тянут, прикладывают меньшую
силу.
6. Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под дей-
ствием силы 294 Н, направленной под углом 30 o к горизонту. Коэффициент
трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.
Дано: F 294 Н , m 45 кг , 0,1, α 30 o .
Найти: а .
На груз действуют 4 силы (рис.2.8): F - си-
ла тяги; N - сила нормальной реакции опоры;
mg - сила тяжести; Fòð - сила трения. Вектор
ускорения a направлен параллельно горизон-
тальной плоскости направо. Запишем второй за-
кон Ньютона для тела в векторной форме:
Рис.2.8. F N mg Fòð ma .
Направим ось x горизонтально, ось y - вертикально и спроектируем векторы
сил и ускорения на эти оси.
Второй закон Ньютона в проекциях на выбранные направления запишется в
виде:
Fcosα Fтр ma (1)
Fsin N mg 0 (2)
Найдем силу реакции опоры
N mg Fsin
Сила трения равна
Fтр μN μ(mg Fsinαs .
Из уравнения (1) найдем ускорение
22
5. Fcosα Fтр Fcosα μmg μFsinα F(cosα μsinα)
a μg.
m m m
Вычислим ускорение
294 Н (0,87 0,1 0,5)
a 0,1 9,8 м/с2 5,0 м/с 2 .
45 кг
2
Ответ: а 5,0 м/с .
7. Крыша дома наклонена под углом 20 o к горизонту. Удастся ли челове-
ку пройти вверх по обледенелой крыше, если коэффициент трения равен 0,03?
Дано: α 20 o , μ 0,03 .
Найти: Поднимется ли человек по обледенелой крыше?
На человека, идущего по крыше, действуют
три силы (рис. 2.9): сила тяжести - mg , реак-
ции опоры - N и сила трения - Fòð . Т.к. нога
человека на обледенелой крыше скользит
вниз, сила трения направлена вверх.
Найдем проекции силы тяжести mg на ось
x - mgsin и ось y - mgcos . Человек
сможет подняться по крыше при условии:
Рис.2.9.
mgsin Fòð .
В данном случае N mgcos α ; Fòð μN ; Fòð μmgcos α .
Следовательно, mgsin mgcos , tg , tg 20 o 0,364 0,03 .
Ответ: человеку не удастся пройти вверх по обледенелой крыше.
8. Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением 0,2 м/с 2 . Найти
силу тяги, если уклон (h/l = sin) равен 0,02 и коэффициент трения 0,04.
Дано: m 4 т, а 0,2 м/с 2 , sinα h/l 0,02 , 0,04 .
Найти: Fтяги .
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на
оси x и y (см. рис. 2.10):
Fòÿãè mg sin Fòð òà ;
N mg cos 0 .
Т. к. Fòð N mg cos , получим
Fòÿãè m( g(sin cos ) a ) .
Рис.2.10.
cos 1 sin 2 1 0,0004 0,9998 1.
Fтяги 4 10 3 кг 9,8 м/с 2 0,02 0,04 1 0,2 м/с 2 3,2·103 Н = 3,2 кН.
Ответ: Fтяги 3,2 кН .
9. Два груза с массами m1 и m2 связаны между собой нитью, перекинутой
через блок, укрепленный в вершине двух плоскостей, на которых лежат грузы.
23
6. Плоскости составляют с горизонтам углы и . Правый груз находится ниже
левого на величину h . Через время t после начала движения оба груза оказа-
лись на одной высоте. Определить отношение масс грузов, если коэффициент
трения между грузами и плоскостями равен .
Дано: m1 , m2 , , , h , t , .
Найти: т1 т2 .
На каждый груз действуют по
четыре силы (рис. 2.11). Запи-
шем второй закон Ньютона в
проекциях на оси x и y для
первого тела:
m1 g sin T Fтр.1 т1а ;
N1` m1 g cos 0 .
Сила трения равна
Fòð .1 N1 m1 g cos .
Рис. 2.11.
Подставив выражение для силы трения во второй закон Ньютона, получим:
m1 g sin α T μ m1 g cosα m1a . (1)
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y для второго тела:
T m2 g sin Fтр.2 т2 а ; N 2` m2 g cos 0 .
Найдем силу трения второго тела о плоскость и подставим выражение для нее
во второй закон Ньютона:
Fтр .2 μN 2 μm2 g cos β ;
T m2 gsin m2 gcos m2 a . (2)
Силы натяжения нити по модулю равны в соответствии с третьим законом
Ньютона. Чтобы исключить силы натяжения нитей сложим (1) и (2) уравнения:
m1gsin m2 gsin m1gcos m2 gcos m1a m2a . (3)
Тела движутся с одинаковым ускорением и за одно и то же время проходят оди-
at 2 at 2
наковый путь s . Поэтому h s sin s sin (sin sin ) ,
2 2
2h
откуда найдем ускорение a .
(sin sin ) t 2
В уравнение (3) подставим выражение для ускорения и перенесем слагаемые с
m1 в левую сторону уравнения, а слагаемые с m2 - в правую.
2h
m1 g sin m1 g cos m1
t sin sin
2
2h
m2 m2 g sin m2 g cos .
t sin sin
2
Найдем отношение масс грузов:
24
7. m1 gt 2 (sin sin )(sin cos ) 2h
.
m2 gt 2 (sin sin )(sin cos ) 2h
Это ответ.
10. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы
массами m и 2 m . С каким ускорением движутся грузы и какова сила натяже-
ния нити?
Дано: m , 2m .
Найти: a , T.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на верти-
кальную ось для каждого из двух тел (см. рис. 2.12).
2mg T 2ma ; T mg ma .
Сложим оба уравнения
2mg T T mg 2ma ma ; mg 3ma .
Получим
g g 4mg
a ; T mg ma mg m .
3 3 3
g 4mg Рис. 2.12.
Ответ: a , T .
3 3
11. Найти натяжение нити Т в устройстве, изображенном на рисунке
2.13. Массы тел соответственно равны m1 100 г и m2 300 г . Блоки невесо-
мые, нить нерастяжимая. Найти ускорение грузов.
Дано: m1 100 г , m2 300 г .
Найти: Т , а1 , а2 .
Рис.2.13. Рис.2.14.
Тело m1 поднимается. Подвижный блок с телом m2 опускается. Тела
движутся с различными ускорениями. Если первое тело поднимется на высоту
h1 , второе опустится за это же время на высоту h2 h1 2 . Пройденные пути
прямо пропорциональны ускорениям: h at 2 . Поэтому a2 a1 2 . На каж-
2
25
8. дое из движущихся тел действуют по две силы: сила тяжести и сила натяжения
нити. Силы изображены на рисунке 2.14 с учетом третьего закона Ньютона. Ес-
ли по условиям задачи движется несколько связанных тел, второй закон Нью-
тона необходимо записывать для каждого тела.
Закон в векторной форме для первого и второго тела:
T m1 g m1a1 ; m2 g 2T m2 a2 .
В проекциях на ось y получим: T m1 g m1a1 ; m2 g 2T m2 a1 / 2 .
Найдем T , решая систему двух уравнений:
T m1 g m a 2 2m
1 1 1;
m2 g 2T m2 a1 m2
Tm2 m1m2 g 2m1m2 g 4Tm1 ; T m2 4m1 3m1m2 g ;
3m1m2 g
T .
4m1 m2
3 0,1 кг 0,3 кг 9,8 м/с2
Вычислим силу натяжения нити: T 1,26 Н .
4 0,1 кг 0,3 кг
T 1,26 Н
Найдем ускорение первого груза: a1 g 9,8м/с 2 2,8 м/с 2 .
m1 0,1 кг
Найдем ускорение второго груза:
а 2,8 м/с2
а2 1 1,4 м/с2 .
2 2
2 2
Ответ: 1,26 Н , 2,8 м/с , 1,4 м/с .
12. На рисунке 2.15 m1 2,0 кг и m2 3,0 кг .
Нить, связывающая тела m1 и m2 , выдерживает на-
грузку не более 4,0 Н . Разорвется ли эта нить, если
масса груза m3 1,0 кг ? Разорвется ли нить, если гру-
Рис.2.15.
зы m1 и m2 поменять местами?
Дано: m1 2,0 кг , m2 3,0 кг , Tmax 4,0 Н , m3 1,0 кг.
Найти: T1 , T1' .
Изобразим силы, действующие на грузы m1 , m2 , m3 (рис. 2.16). Запишем
второй закон Ньютона для 1-го и 2-го тела в проекциях на горизонтальную ось,
для 3-го тела в проекциях на вертикальную ось.
T1 m1a ; T2 T1 m2a ;
m3 g T2 m3a .
26
9. Сложим три уравнения и найдем a:
m3 g m1 m2 m3 a ;
m3 g
a .
m1 m2 m3
Подставив это выражение в первое уравнение,
получим
m1m3 g
T1 ;
m1 m2 m3
Рис.2.16.
2 кг 1 кг 9,8 м/с 2
T1 3,3 Н .
2 3 1 кг
Т1 3,3 Н 4,0 Н Т max - нить не разорвется.
Если поменять местами 1-ое и 2-ое тела, то T1' m2 a , а ускорение то же
самое. Следовательно,
m2 m3 g 3 кг 1 кг 9,8 м/с 2
T1' ; T1' 4,9 Н .
m1 m2 m3 6 кг
Т1' 4,9 Н 4,0 Н Т max - нить разорвется.
Ответ: в первом случае нить не разорвется, во втором случае – разорвется.
13. Трактор массой 10 т проходит по мосту со скоростью 10 м/с. Какова
сила давления трактора на середину моста, если мост; 1) плоский; 2) выпуклый
с радиусом кривизны 200 м; 3) вогнутый с таким же радиусом кривизны.
Дано: m 10 т, 10 м/с , R = 200 м.
Найти: 1) F1 (мост плоский); 2) F2 (выпуклый); 3) F3 (вогнутый).
1) На трактор действуют 4 силы: тяжести mg , реакции
опоры N , силы тяги Fòÿãè и трения Fòð (рис. 2.17). Ско-
рость трактора постоянна по модулю, а при движении по
плоскому мосту не изменяет своего направления. Согласно
Рис.2.17. первому закону Ньютона силы компенсируются
mg N , Fòÿãè Fòð .
По третьему закону Ньютона сила реакции моста равна по модулю силе давле-
ния автомобиля на мост. А их направления противоположны.
F1 N mg 10 103 êã 9,8 ì/ñ 2
98 êÍ .
2) При движении по выпуклому мосту (рис. 2.18) скорость трактора из-
меняется по направлению, т.е. трактор имеет центростремительное ускорение.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось y :
2
mg N maö ; àö .
R
27
10. Используя третий закон Ньютона, найдем
2
F2 N m g ,
R
2 2
3 9,8 м/с2 100 м / с 93 кН .
F2 10 10 кг
200 м
Рис.2.18.
3). Для вогнутого моста (рис. 2.19)
m 2 2
N mg g
; F3 N m
R R
2 100 м / с
2 2
F3 10 10 кг 9,8 м/с
3
103 кН .
200 м
Рис.2.19.
Ответ: F1 98 кН , F2 93 кН , F3 103 кН .
14. Чему равна сила давления автомобиля на выпуклый мост в 26 м от его
середины, если масса автомобиля с грузом 5 т, скорость 54 км/ч, а радиус кри-
визны моста 50 м?
Дано: l 26 м , т 5 103 кг , 54 км/ч 15 м/с , R 50 м .
Найти: Fдавл .
На автомобиль, движущийся по выпуклому
мосту (рис.2.20), действуют сила тяжести mg и
сила реакции опоры N . Запишем второй закон
Ньютона в проекциях на ось, направленную по ра-
диусу к центру:
mgcos N = maц (1)
Центростремительное ускорение определится по
формуле
Рис.2.20. 2
aц .
R
Угол между радиусом окружности и силой тяжести равен центрально-
му углу, который опирается на дугу длиной l . Центральный угол найдем по
формуле
l 26 м
0,52 рад .
R 50 м
180o
Переведем радианы в градусы: 0,52 рад 29,8o 30o . По
3,14 рад
28
11. третьему закону Ньютона модули силы реакции моста и силы давления автомо-
биля на мост равны:
Fдав N .
Поэтому из уравнения (1) найдем N , подставив в него выражения для aц и .
m 2 2
Fдав N mg cos 30
o
m g cos 30 .
o
R R
Вычислим силу давления автомобиля на мост:
Fдав 5 103 кг 9,8 м/с2 0,866 152 м 2 /с2 /50 м 19934 Н 20 кН .
Ответ: 20 кН .
15. Вычислить первую космическую скорость для Марса ( R 3400 км,
g 0 3,6 м/с 2 ).
Дано: R 3400 км, g 0 3,6 м/с 2 .
Найти: .
Сила, действующая на искусственный спутник
(рис. 2.21), определяется
mМ
по закону всемирного тяготения: F .
R2
По II закону Ньютона F maц , (1)
2
где ац - центростремительное ускорение.
R
тМ 2 2 M
Следовательно, m , (2)
R2 R R
Найдем массу Марса M и подставим в (2):
mM R 2 g0
Рис.2.21. 2 mg0 ; M ;
R
R 2 g0
2
R g0 ;
R
Rg0 3400 103 м 3,6 м/с2 35 102 м/с 3,5 км/с .
Ответ: 3,5 км/с.
16. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на по-
люсе. Плотность вещества планеты 3 103 кг/м3 . Определить период обращения
планеты вокруг собственной оси.
Дано: 3 103 кг/м3 ; Pэ Рп / 2 .
Найти: Т - период обращения планеты.
Вес – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. По треть-
ему закону Ньютона на тело действует сила реакции опоры, по модулю равная
29
12.
весу и направленная противоположно. Кроме силы реакции опоры N на тело
действует сила притяжения тела к планете Fт (рис.2.22).
Запишем второй закон Ньютона для тела находящегося на экваторе:
m 2
Fт N э maц . (1)
R
Так как через полюс проходит ось вра-
щения планеты, тело, находящееся на полю-
се, не вращается. Следовательно,
Fт Nп 0 . (2)
Из уравнений (1) и (2) найдем силы реакции
опоры:
m 2
N э Fт Pэ ; (3)
R
Nп Fт Pп 2Рэ . (4)
Рис.2.22
Разделим уравнение (3) на уравнение (4):
Fт m 2 / R Рэ 1
.
Fт 2 Рэ 2
Преобразуем полученное уравнение: 2 Fт 2m / R Fт ; Fт 2m / R . (5)
2 2
Учтем закон всемирного тяготения: Fт mM / R . Тело, находящееся на эк-
2
ваторе, вращается вместе с планетой со скоростью, которая равна длине окруж-
ности деленной на время одного оборота, т.е. период:
2 R
.
T
Подставим FT и в уравнение (5):
mM 2m 4 2 R 2
.
R2 RT 2
4
Масса планеты равна M R . Тогда
3
3
4 R 3 2 4 2 R
2
.
3R T2
После сокращения величин найдем период обращения планеты:
6
T .
Вычислим период:
30
13. 6 3,14
T 0,94 108 с 2 9,7 103 с 2 ч 42 мин .
3
6,67 1011 м 3 103 кг
кг с 2 м3
Ответ: 2 ч 42 мин .
17. Груз массой 0,5 кг описывает окружность в горизонтальной плоско-
сти; при этом шнур длиной 50 см, на котором подвешен груз, описывает боко-
вую поверхность конуса и образует с вертикалью угол 60 o . Определить угло-
вую скорость вращения груза и центростремительную силу. Разорвется ли
шнур при этом движении, если допустимая сила натяжения шнура 12 Н?
Дано: m 0,5 кг , l 50 см , 60 , Tmax 12 Н .
o
Найти: , Fц . Разорвется ли шнур?
На вращающийся груз действуют 2 силы: сила тяжести
mg и сила натяжения нити T (рис. 2.23). Результи-
рующая этих двух сил Fц направлена по радиусу к
центру окружности. По II закону Ньютона:
Fц maц m 2 R . (1)
Из треугольника сил следует
Fц mg tg . (2)
Радиус окружности R выразим через длину шнура:
R l sin .
Рис.2.23 Учитывая уравнения (1) и (2), найдем угловую ско-
рость :
g tg g sin g
.
R cos l sin l cos
9,8 м/с 2
Вычислим : 6,3 рад/с .
0,5 м 0,5
Найдем центростремительную силу: Fц 0,5 кг 9,8 м/с 1,732 8,5 Н .
2
Чтобы определить разорвется ли шнур, необходимо вычислить силу натяжения
mg 0,5 кг 9,8 м/с 2
нити T . Из треугольника сил следует: T 9,8 Н .
cos 0,5
Ответ: 6,3 рад/с , Fц 8,5 Н , т.к. Т 9,8 Н 12 Н - шнур не ра-
зорвется.
18. Закругление железнодорожного пути расположено в горизонтальной
плоскости. Какого радиуса должно быть закругление, рассчитанное на скорость
72 км/ч, если наружный рельс поднят над внутренним на 10,2 мм? Ширина ко-
леи 1520 мм, g 9,8 м/с 2 .
31
14. Дано: 72 км/ч 20 м/с , h 10,2 10 3 м , l 1520 мм 1,524 м ,
g 9,8 м/с2 .
Найти: R .
На поезд действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры N
(рис.2.24). Результирующая этих сил F направлена горизонтально по радиусу
окружности к ее центру и сообщает поезду центростремительное ускорение.
Запишем второй закон Ньютона:
F maц (1)
Рис.2.24.
Известно, что ац R , а из рисунка видно, что F mg tg . Угол мал,
2
т.к. l больше h примерно в 150 раз. Поэтому tg sin h/l. Подставим по-
лученные выражения в уравнение (1):
mgh m 2
.
l R
2l
Откуда найдем радиус закругления R : R .
gh
400 м 2 / с 2 1,524 м
Вычислим R : R 2 3
6,098 103 м 6,1 км .
9,8 м / с 10,2 10 м
Ответ: 6,1 км .
19. К кронштейну АВС (рис. 2.25) подвешен груз
87 Н. Угол 30 . Определить силы упругости в стержнях ВС
o
и АС. Как будут изменяться эти силы с увеличением угла ?
Дано: mg 87 Н , 30 .
o
Найти: FBC , FAC , FBC f , FAC f .
Силу тяжести груза mg перенесем вдоль линии действия силы в
точку C (рис. 2.26). Разложим ее на две составляющие силы: F1
растягивает стержень AC , F2 сжимает стержень ВC . Рис.2.25
Найдем F1 и F2 .
32
15. mg 87 Н
F2 ; F2 100 Н .
cos cos 30o
F1 mg tg ; F1 87 Н tg 30o 50 Н .
Силы упругости в стержнях по III закону Ньютона равны по
модулю и противоположны по направлению силам F1 и F2 .
FBC F2 ; FAC F1 .
Силы упругости в стержнях при увеличении угла будут
Рис.2.26. возрастать, т.к. cos уменьшается, а tg возрастает.
87
Ответ: FBC 100 Н , FAC 50 Н , FBC , FAC 87tg .
cos
20. Концы балки, длина которой 10 м и масса 10 т, лежат на двух опорах.
На расстоянии 2 м от левого конца на балке лежит груз массой 5 т. Определить
силы реакции опор.
Дано: l 10 м , т 10 т, l1 2 м , т1 5 т.
Найти: N1 , N 2 .
На балку с грузом действуют 4 силы
(рис. 2.27): сила тяжести балки mg , сила
тяжести груза m1 g и силы реакции опор
N1 и N 2 . Точку опоры O1 примем за
центр вращения и запишем правило момен-
тов относительно этой точки. Сила N1 не
создает вращающий момент относительно
Рис.2.27. O1 , т.к. плечо этой силы равно нулю.
Силы m1 g и m2 g вращают балку по часовой стрелке, моменты этих сил возь-
мем со знаком «плюс». Сила N 2 вращает балку вокруг O1 против часовой
стрелки и момент силы N 2 возьмем со знаком «минус».
l
m1 gl1 mg N 2l 0 .
2
Найдем N 2 :
m gl mgl / 2 m gl mg
N2 1 1 1 1 ;
l l 2
5 103 кг 9,8 м/с 2 2 м 10 103 кг 9,8 м/с 2
N2 59 кН .
10 м 2
Сумма всех сил, действующих на тело, находящееся в состоянии равновесия,
равна нулю.
m1 g mg N1 N 2 ;
N1 m1g mg N 2 m1 mg N 2 .
33
16.
N1 5 103 кг 10 103 кг 9,8 м/с2 59 103 Н 88 кН .
Ответ: N1 88 кН , N 2 59 кН .
21. Однородная балка массой 500 кг и дли-
ной 5 м удерживается в горизонтальном положе-
нии опорами В и С. Опора В находится на рас-
стоянии 2 м от точки С. В точке Е подвешен груз
массой 250 кг. Расстояние АЕ равно 0,5 м
(рис.2.28). Определить направление и величину
реакций опор в точках В и С. Рис.2.28.
Дано: m 500 кг ; l 5 м ; l1 2 м ; т1 250 кг ; l2 0,5 м .
Найти: N1 , N 2 (величину и направление).
На балку с грузом действуют силы тяжести
балки mg , груза m1 g и силы реакции опор
N1 , N 2 (рис. 2.29). Сила давления балки в
опоре В направлена вертикально вниз, а сила
реакции опоры N1 направлена вертикально
вверх по третьему закону Ньютона. Сила дав-
Рис.2.29. ления балки на опору С направлена верти-
кально вверх. В соответствии с III законом
Ньютона сила реакции опоры N 2 направлена вертикально вниз.
Балка будет находиться в равновесии, если алгебраическая сумма моду-
лей моментов всех сил, действующих на балку, относительно любой оси вра-
щения равна нулю.
Пусть горизонтальная ось вращения проходит через точку С перпендику-
l
лярно балке. Определим плечи сил относительно этой оси. Плечо силы mg ,
2
плечо силы m1 g l l2 , плечо силы N1 l1 , плечо силы N 2 0. Сила N 2
проходит через ось вращения С и не создает относительно этой оси вращающий
момент. Сила N1 вращает балку относительно оси С по часовой стрелке. Ее
момент будем считать положительным. Силы mg и m1 g вращают балку про-
тив часовой стрелки. Их моменты считаем отрицательными. Запишем правило
моментов:
N1l1 mgl / 2 m1 g l l2 0 .
Откуда
m1 g l l2 mgl / 2 g m1 l l2 ml / 2
N1 .
l1 l1
Вычислим N1 :
9,8 м/с 2 250 кг 4,5 м 500 кг 2,5 м
N1 11637,5 Н 11,6 кН .
2м
34
17.
Силу реакции опоры N 2 можно найти двумя способами.
1) Векторная сумма всех сил, действующих на балку с грузом, равна нулю, если
балка находится в равновесии. Но алгебраическая сумма проекций всех сил на
какую-либо ось также должна быть равна нулю. Т.к. в данной задаче все силы
направлены вертикально, достаточно выбрать одну вертикальную ось, направ-
ленную, например, вверх. Тогда N1 mg m1 g N 2 0 .
Откуда N 2 N1 g m1 m .
Вычислим N 2 :
N 2 11637,5 Н 9,8 м/с 2 250 500 кг 4287,5 Н 4,3 кН .
2) Ось вращения, горизонтальную, перпендикулярную балке, проведем через
точку В. Запишем правило моментов относительно оси В:
N 2l1 mgl / 2 l1 m1g l l1 l2 0 .
Сила N1 не создает вращающий момент относительно оси В, т.к. проходит че-
рез ось вращения и плечо этой силы равно нулю.
mg l / 2 l1 m1 g l l1 l2
Найдем N 2 : N2 .
l1
Вычислим N 2 :
500 кг 9,8 м/с 2 2,5 2 м 250 кг 9,8 м/с 2 5 2 0,5 м
N2 4287,5 Н 4,3 кН .
2м
Ответ: 11,6 кН - направлена вверх, 4,3 кН - направлена вниз.
22. Стержень длиной L и массой m1 нижним концом шарнирно соединен
со стенкой. С вертикалью стержень образует постоянный угол благодаря го-
ризонтально натянутой проволоке, которая соединена со стержнем на расстоя-
нии l от шарнира. Груз m2 подвешен к верхней точке стержня. Найдите натя-
жение T горизонтальной проволоки (рис. 2.30).
Дано: L , m1 , , l , m2 .
Найти: T .
Рис. 2.30. Рис. 2.31.
Пусть ось вращения стержня проходит через точку O горизонтально и
перпендикулярно стержню (рис. 2.31). Нарисуем три силы, действующие на
35
18.
стержень с грузом: m1 g , m2 g , T . Сила реакции опоры стержня N о стенку
проходит через ось вращения и не создает относительно этой оси вращающий
момент. Плечи трех сил относительно точки O :
L
d1 sin , d 2 L sin , d3 l cos . Запишем правило моментов
2
относительно точки O :
m1 gd1 m2 gd 2 Td3 0 .
Подставим в это уравнение выражения для плеч
L
m1 g sin m2 gL sin T l cos .
2
Отсюда найдем силу натяжения T :
m gL tg
T 1 m2 .
2 l
m gL tg
Ответ: T 1 m2 .
2 l
23. Определить положение центра тяжести однородного диска радиуса
R , из которого вырезано отверстие радиуса r R 2 . Центр выреза находится
на расстоянии R 2 от центра диска.
Дано: R , r R 2 , d R 2 .
Найти: x - расстояние от центра диска до центра тяжести фигуры с выре-
зом.
Пусть m1 масса маленького диска, который
будет вырезан, m2 - масса фигуры с вырезом. На
рисунке 2.32 изобразим эти фигуры и их силы тя-
жести. Плечи этих сил относительно точки O -
R 2 и x . По правилу моментов относительно
центра большого диска
m1gR / 2 m2 gx .
Т.к. диск однородный, массы фигур можно найти
как произведение плотности материала диска на Рис.2.32.
объем фигур.
R2 2 R2 3R 2
m1 h ; m2 R
h h.
4 4
4
R2
Здесь - плотность материала диска, - площадь маленького диска,
4
3R 2
- площадь большого диска с вырезом, h - толщина диска.
4
36
19. R2 R 3R 2 R R
Тогда h h x . После сокращения получим: 3x , x .
4 2 4 2 6
Ответ: x R / 6 .
24. Однородный шар массой m и радиусом R
висит, как показано на рисунке 2.33. Расстояние от
точки крепления нити к стене до точки касания ша-
ра со стеной равно 2 R . Определить силу натяжения
нити T и силу реакции стены N .
Дано: m , R , l 2R .
Найти: T , N .
На шар действуют три силы: сила тяжести mg , си-
ла реакции стены N , сила натяжения нити T . Из
рисунка 2.34 следует, что Рис.2.33.
mg
Ty mg T cos ; T ;
cos
2R 2 5mg
cos ; T ;
4R R
2 2 5 2
R 1 mg
N Tx mg tg ; tg ; N .
2R 2 2
5mg mg
Ответ: T ; N .
2 2
Рис.2.34.
37
