1. 93
HYDROCARBON PROCESSING
№ 5 • май 2007Т Е Х Н О Л О Г И И
НЕФТЕГАЗОВЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД РАСЧЕТА
КОЭФФИЦИЕНТА
ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ТРЕНИЯ
В. Нанда имар, Mangalore Refinery and Petrochemicals Ltd., Ман ал р , Индия
Решение равнения Ко лбр а с использованием W-ф н ции Ламберта и ал оритмы расчета
где e/d – относительная шероховатость стенок
трубы.
Основной трудностью при использовании
уравнения Коулбрука, хотя оно и обеспечивает
высокую точность, является то, что расчет f пред
ставляет собой итеративный процесс. Современ
ные компьютеры легко обеспечивают требуемую
скорость вычислений и устойчивость к сбоям, од
нако интересно проверить, можно ли такие урав
нение решить аналитическими методами.
W функция Ламберта. Эта функция F(w) опре
деляется как обратная функция от wew
:
F(w) = wеw
, (4)
т.е. функция W( ) определяется как
Х = W(х)еW(x)
. (5)
Эта функция имеет много значений, но для
w> 1/eфункцияимеетединственноеивеществен
ное значение, называемое главным значением.
Уравнения, включающие экспоненциальные
функции, могут быть решены с использованием
W функция. Общая стратегия при этом заключа
ется в перемещении всех неизвестных в одну сто
рону уравнения, чтобы оно было похоже на зави
симость вида хех
, в точке которой W функция
обеспечивает решение. Уравнение Коулбрука
может быть представлено в форме уравнения (4)
с небольшими усилиями.
Коэффициент трения можно определить ана
литически следующим образом:
f = A2
/[- W (-А/Cе-AB/C
) -АВ/С]2
, (6)
где A = 1/0,86; B = (ε/D)/3,7; C = 2,51/NRe.
(3)
улбрука для коэффициента трения f считаетсяточ
ной для всех практических задач. Она имеет вид:
Для расчета течений любых жидкостей расчет
коэффициента гидравлического трения является
важным этапом определения потерь давления и,
следовательно, расчета производительности насо
са, размеров арматуры и насосов и т.д. В большин
стве опубликованных работ можно найти много
методов расчета перепада давления в потоке жид
кости. Используются различные способы от но
мограммдляконкретныхжидкостейсуниверсаль
ными диаграммами, подобными диаграмме Муди,
до эмпирических зависимостей.
Инженеры технологи часто сталкиваются с
трудностями при расчете систем с течением жид
кости. Определение размеров насосов это наибо
лее общий пример таких расчетов. Расчет паде
ния давления в потоке несжимаемой жидкости
это одно из самых активных применений мето
дов гидродинамики. В этой статье рассматрива
ются особенности расчета падения давления из
за трения.
РАСЧЕТ
ПАДЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ
Уравнение Дарси для падения давления из за
трения имеет следующий вид.
DP = fLv2
/2gD (1)
где ΔP – падение давления, м вод. ст; v – средняя
скорость потока, м/с; L – длина участка трубы, м;
D – диаметр сечения трубы, м; f – гидравличес
кий коэффициент трения, (безразмерный); g –
9,81 м/c2
.
Все параметры уравнения Дарси заданы или
имеются на этапе проектирования, за исключени
ем коэффициента гидравлического трения f. Для
ламинарного течения он рассчитывается просто.
f = 64/NRe, (2)
где NRe – число Рейнольдса.
Для турбулентного течения коэффициент тре
ния f не выражается в явной форме. Формула Ко

fN
+
/d
=-
f Re
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ε 2,51
3,7
ln0,86
1
,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. 94
HYDROCARBON PROCESSING
№ 5 • май 2007 Т Е Х Н О Л О Г И И
НЕФТЕГАЗОВЫЕ
Можно показать, что уравнение (6) дает толь
ко одно значение f для диапазона относительных
шероховатостей и чисел Рейнольдса, которые
предполагаются для случая турбулентного тече
ния. Точный расчет, особенно экспоненциально
го члена W функции Ламберта, может привес
ти к некоторым трудностям при больших числах
Рейнольдса (≥ 107
) и относительной шероховато
сти (≥ 0,02). Фактически это ничего не сделает с
функциями, однако может привести к тому, что
компьютер будет округлять большие значения
или будет рассматривать их как бесконечность.
Эту проблему можно решить с использованием
специальных библиотек данных с многократно
проверенной точностью, подобных GMP. Вооб
ще говоря, программа, представленная в конце
этой статьи, дает точное решение для значений
NRe (ε/D) Ј 1000. Более высокие значения этой ве
личины обычно не встречаются при дозвуковых
течениях несжимаемой жидкости, для которых
модель Коулбрука является справедливой.
Вычисление W функции Ламберта можно вы
полнить с помощью инженерных прикладных
программ. Для случаев, когда отсутствует соот
ветствующая встроенная функция, W функ
цию можно вычислить с помощью рекуррентно
го соотношения. Небольшая программа на
языке python позволяет эффективно вычислить
функцию без потери точности. Значения аргу
мента функции были проверены при прогоне
подпрограммы python на компьютере с процес
сором Pentium IV (версия 2.3.5) для значений до
2 х 1084
.
Исходная итеративная зависимость для W име
ет вид:
wj+1 = wj - wj e wj
–x/[e wj
(wj + 1) –
/(wj + 2) (wj e wj
– x)/(2wj + 2)]. (7)
W (x) = wj в конце достаточного числа итера
ций (обычно 100).
Программа на языке python имеет следующий
вид:
# lambert.py
import math
class Error(exception):
pass
def W(x)
prec =1e-16
w = 0
for i in range (100)
wTimesExpW + w*math.exp(w)
wPlusOneTimesExpW = (w+1)*
w*math.exp(w)
if prec >abs((x-wTimesExpW)/
wPlusOneTimes –ExpW):
break
else
w=w-(wTimesExpW-x/
(wPlusOneTimesExpW-
- (w+2)*(wTimesExpW-x)/
(2*w+2))
return float(w)
Это самый простой и понятный метод вычис
ления f c использованием заданных значений
чисел Рейнольдса и относительной шероховатос
ти.
Следующаяпрограмма(наязыкеpython)позво
ляет сделать это для диапазона NRe ≥ 106
и значе
ний ε/D от 0 до 0,01. Выводимые данные записы
ваются в виде электронной таблицы для дальней
шего использования. На рисунке показан график
с результатами расчетов. Для переходной облас
ти NRe инженеры используют другую зависимость
для f в виде f(NRe). Эта отдельная зависимость не
рассматривалась в программе.
# Colebrook.py
# Colebrook equation
# This script calculates the value of friction factor
(этот с рипт рассчитывает значение оэффици-
ента трения. – Прим. пер.)
import lambert
import math
from win32com.client import Dispatch
x|App.Visible = 1
x|App.Workbooks.Add()
#definition of coefficients
A = -1,162790698
ED = [0, 1e-4, 2e-4, 5e-4, 1e-3, 2e-3, 5e-3,
1e-2] # relative roughness (относительная шеро-
ховатость. – Прим. пер.)
Графи изменения оэффициента идравличес о о трения,
расчетные данные
Отн. шероховатость
Число Рейнольдса
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. 95
HYDROCARBON PROCESSING
№ 5 • май 2007Т Е Х Н О Л О Г И И
НЕФТЕГАЗОВЫЕ
NRe = [10, 50, 100, 500, 1e3, 2e3, 5e3, 1e4, 2e4,
3e4, 4e4, 5e4, 1e5, 2e5, 5e5, 6e5, 7e5, 8e5, 9e5,
1e6]
j = 1
for E_by_D in ED:
i = 1
x|App.ActiveSheet.Cells(i,j).
Value = E_by_D
for Re in NRe
i = i+1
if Re < 2100: # laminar region
(ламинарная область. – Прим. пер.)
f = 64.0/Re
x|App.ActiveWork.ActiveSheet.Cells
(i,j).Value = f
else: # turbulent region
(т рб лентная область. – Прим. пер.)
B =E_by_D/3.7
C =2.51/Re
x = math.exp(A*B/C+math.log(C))
z = -A/x
w = lambert.W(z)
f = A**2/(-w-A*B/C)**2
x|App.ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells
(i,j).Value = f
j = j+1
x|App.ActiveWorkbook.Close(SaveChanges=1)
x|App.Quit()
del x|App
Расчетные данные показывают (см. рис.) увели
чение f в переходной области NRe. Это интересное
явление свидетельствует, что изменение f связано
сначаломотрывапограничногослоя.Значенияfдля
переходной области, полученные с помощью дру
гих эмпирических зависимостей, меньше по срав
нению со значениями, полученными с помощью
уравнения (3) в диапазоне NRe = 2100 ÷ 4000. Для
чисел Рейнольдса выше 5000 несколько спорная
форма уравнения (6) лучше подходит для вычис
лений с помощью компьютера. Поскольку в боль
шинстве случаев в этой области имеет место тур
булентноетечение,использованиеэтогоуравнения
можетувеличитьточностьконструкторскихрасче
тов.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Python это объектно ориентированный язык
с открытым исходным кодом, который очень под
ходит для научных и инженерных расчетов. Под
робно этот язык описывается на сайте www/
python.org.
2. GMP это совокупность GNU библиотек ма
тематических данных с многократно увеличен
ной точностью. Точность и размер чисел с плава
ющей запятой произвольной длины могут быть
рассчитаны без ухудшения точности. URL: http:
//www.swox.com/gmp.
3. Из уравнения Коулбрука следует, что при бо
лее высоких значениях NRe значение коэффици
ента трения приближается к значению компонен
ты сопротивления, которая получается для ε/D >0:
lim f = [-0,86 ln (ε/D)/3,7)]2
NRe ®Ґ
Для ε/D = 0 уравнение (6) принимает более про
стую форму
f = -A2
/[-W(-A/C)]2
,
которая сходится к нулю при приближении NRe к
бесконечности.
Перевел В. Клепинин
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Constantinides, A. and N. Mostoufi, «Numerical Methods for
Chemical Engineer with Matlab Application», Prentice Hall
International, Series, 2000.
2. Corles, et al., «On the Lambert W function», Adv. Computational
Maths, 5, pp. 329–359, 1996 postscript.
3. Python code for Lambert function: http://en.wikipedia.org/wiki/
Lambert’s_W_function.
4. Sonnad, J.R. and C. T. Goudar, «Explicit factor correlation for pipe
flow analysis», Hydrocarbon Processing, June 2005, pp. 103–105.
В. Нандакимар, сотрудник Mangalore Refinery
and Petrocemicals Ltd, дочерней компании Oil
and Natural Gas Corp. Ltd. Он выполняет оценку
новых проектов, заводских объектова, а также
анализ технологических процессов переработ
ки. М р Нандакимар имеет 12 летний опыт
работы на различных перерабатывающих уста
новках. Он получил диплом инженера химика в Университете
Калькутты.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»