Xấp Xỉ Phân Phối Chuẩn Đối Với Dãy Biến Ngẫu Nhiên Unordered Martingale Bằng Phương Pháp Stein, các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com

1. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH
XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY
BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED
MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2015

2. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Dũng
Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi
Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào
ngày 27 tháng 6 năm 2015.
Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

3. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
1
M— U
1. Lþ do chån • t i
X¡c su§t l mºt bº ph“n cıa to¡n håc nghi¶n cøu c¡c hi»n
t÷æng ng¤u nhi¶n. Nâi mºt c¡ch ⁄i kh¡i th… hi»n t÷æng ng¤u
nhi¶n l hi»n t÷æng ta khæng th” nâi tr÷îc nâ x£y ra hay khæng
x£y ra khi thüc hi»n mºt lƒn quan s¡t. Tuy nhi¶n, n‚u ti‚n h nh
quan s¡t kh¡ nhi•u lƒn mºt hi»n t÷æng ng¤u nhi¶n trong nhœng
ho n c£nh nh÷ nhau, th… trong nhi•u tr÷íng hæp ta câ th” rót
ra ÷æc nhœng k‚t lu“n khoa håc v• hi»n t÷æng n y.
Ng y nay lþ thuy‚t x¡c su§t l l¾nh vüc to¡n håc câ cì sð lþ
thuy‚t ch°t ch‡ v câ nhi•u øng döng trong c¡c l¾nh vüc ho⁄t ºng
kh¡c nhau cıa con ng÷íi tł ¥m nh⁄c tîi v“t lþ, tł v«n håc tîi thŁng
k¶ x¢ hºi, tł cì håc tîi thà tr÷íng chøng kho¡n, tł dü b¡o thíi ti‚t tîi
kinh t‚, tł næng håc tîi y håc.
Lþ thuy‚t x¡c su§t trong nßa ƒu th‚ k 20 ¢ câ nhœng th nh
tüu v÷æt b“c trong vi»c l“p cæng thøc v chøng minh c¡c ành lþ
giîi h⁄n cŒ i”n nh÷: Lu“t sŁ lîn, ành lþ giîi h⁄n trung t¥m, Lu“t
loga l°p cho tŒng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p. Ph÷ìng ph¡p cŒ
i”n chı y‚u düa v o ph†p bi‚n Œi Fourier. T§t c£ c¡c ành lþ •u
li¶n quan ‚n tŒng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p. Tuy nhi¶n quan h»
phö thuºc th÷íng xu§t hi»n nhi•u hìn trong ¡p döng v b›t ƒu
÷æc nghi¶n cøu nhi•u tł n«m 1950. Trong tr÷íng hæp khæng
ºc l“p th… ph÷ìng ph¡p Fourier r§t khâ ¡p döng v sü ch‰nh x¡c
cıa x§p x¿ r§t khâ t…m ra.
Trong c¡c ành lþ giîi h⁄n cıa lþ thuy‚t x¡c su§t th… ành lþ giîi
h⁄n trung t¥m âng vai trÆ quan trång trong nghi¶n cøu thŁng k¶ v
øng döng. Tuy nhi¶n b i to¡n thŁng k¶ nâi chung khæng cho ph†p
chóng ta nhi¶n cøu vîi cï m¤u lîn væ h⁄n, ch‰nh v… v“y b i to¡n
x§p x¿ ph¥n phŁi chu'n cho ph†p chóng ta ÷îc l÷æng ÷æc cï m¤u
cƒn thi‚t ” chóng ta câ th” ¡p döng ÷æc ành l‰ giîi h⁄n trung t¥m.
N«m 1970, Charler Stein ¢ giîi thi»u mºt

4. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
2
ph÷ìng ph¡p x§p x¿ ph¥n phŁi chu'n mîi v ÷æc gåi l ph÷ìng
ph¡p Stein. C¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu chı y‚u Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u
nhi¶n ºc l“p. Trong • t i n y chóng tæi thi‚t l“p mºt sŁ k‚t qu£ v•
x§p x¿ ph¥n phŁi chu'n Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n hi»u
unordered martingale. C¡c k‚t qu£ n y l mð rºng cıa c¡c k‚t qu£
Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p.
Vîi nhœng lþ do tr¶n, tæi d÷îi sü hØ træ cıa gi¡o vi¶n
h÷îng d¤n TS. L¶ V«n Dông quy‚t ành lüa chån • t i: "X§p x¿
ph¥n bŁ chu'n Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n unordered martin-gale
b‹ng ph÷ìng ph¡p Stein".
2. Möc ‰ch nghi¶n cøu
Thi‚t l“p mºt sŁ k‚t qu£ v• x§p x¿ ph¥n bŁ chu'n Łi vîi d¢y
bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l¥p. Mºt sŁ i”m cŁ g›ng ÷a v o trong lu“n v«n
l :
+ Tr…nh b y v›n t›t c¡c k‚t qu£ cì b£n nh§t cıa x¡c su§t
cŒ i”n.
+ Giîi thi»u ph÷ìng ph¡p Stein.
+ Thi‚t l“p mºt sŁ k‚t qu£ cıa b§t flng thøc Berry Essence
Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p .
+ Thi‚t l“p mºt sŁ k‚t qu£ v• x§p x¿ ph¥n bŁ chu'n Łi vîi
d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n unordered martingale.
3. Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu
3.1 Łi t÷æng nghi¶n cøu
Łi t÷æng nghi¶n cøu: B§t flng thøc Berry Essence Łi vîi
d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n.

5. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
3
3.2. Ph⁄m vi nghi¶n cøu
Ph⁄m vi nghi¶n cøu cıa • t i l bi‚n ng¤u nhi¶n v h m ph¥n
phŁi, t‰nh ºc l“p, ph÷ìng ph¡p Stein, b§t flng thøc Berry
Essence.
4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu
Thu th“p c¡c b i b¡o khoa håc v t i li»u cıa c¡c t¡c gi£
nghi¶n cøu li¶n quan ‚n ph÷ìng ph¡p Stein, b§t flng thøc Berry
Essence Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n unordered martingale.
Tham gia c¡c buŒi seminar cıa thƒy h÷îng d¤n ” trao Œi
c¡c k‚t qu£ ang nghi¶n cøu.
5. âng gâp cıa • t i
TŒng quan c¡c k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ ¢ nghi¶n cøu li¶n
quan ‚n ph÷ìng ph¡p Stein, b§t flng thøc Berry Essence Łi vîi
d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n unordered martingale.
Chøng minh chi ti‚t c¡c ành l‰, h» qu£ nh‹m l m cho
ng÷íi åc d„ d ng ti‚p c“n v§n • ÷æc • c“p.
6. C§u tróc lu“n v«n
Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, lu“n v«n gçm câ bŁn ch÷ìng:
Ch÷ìng 1 tr…nh b y mºt sŁ lþ thuy‚t x¡c su§t.
Ch÷ìng 2 tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì b£n cıa ph÷ìng
ph¡p Stein.
Ch÷ìng 3 tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cì b£n cıa b§t flng
thøc Berry Essence.
Ch÷ìng 4 tr…nh b y nhœng ki‚n thøc cıa b§t flng thøc Berry
Essence Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n unordered martingale.

6. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
4
CH×ÌNG 1
KI N THÙC CÌ S—
1.1. KH˘NG GIAN X C SU T
1.1.1. Ph†p thß
1.1.2. Khæng gian m¤u
1.1.3. ⁄i sŁ v - ⁄i sŁ
1.1.4. - ⁄i sŁ Borel
1.1.5. º o x¡c su§t
Mºt h m t“p hæp P : F ! R ÷æc gåi l º o x¡c su§t n‚u tho¢
m¢n 3 i•u ki»n sau:
+ Vîi måi A 2 F, 0 P(A) 1.
+ P( )=1.
+ N‚u A1,A2 ,... ,An ,... æi mºt khæng giao nhau
(Ai Ai = ; vîi måi i 6= j) th…
1 1
[ X
P( An) = P(An):
n=1 n=1
Khi â mØi phƒn tß cıa F ÷æc gåi l bi‚n cŁ v P(A) ÷æc gåi
l x¡c su§t x£y ra bi‚n cŁ A.
Bº ba ( ; F; P) gåi l khæng gian x¡c su§t.
1.2. BI N NG U NHI N
1.2.1. Bi‚n ng¤u nhi¶n
Gi£ sß ( ; F; P) l khæng gian o ¢ cho.

7. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
5
ành ngh¾a 1.1. H m thüc X
gi¡ trà tr¶n R gåi l h m F- o ÷æc
= X(!) x¡c ành tr¶n l§y
ho°c bi‚n ng¤u nhi¶n n‚u
f! : X(! ) 2 Bg=X 1(B) 2 F vîi mØi B 2 B(R):
— ¥y B(R) l - ⁄i sŁ c¡c t“p Borel cıa tröc thüc R.
1.2.2. Kh¡i ni»m hƒu ch›c ch›n
Hai bi‚n ng¤u nhi¶n X v Y ÷æc gåi l b‹ng nhau hƒu ch›c ch›n
(h.c.c) n‚u tçn t⁄i t“p N 2 F sao cho P(N) = 0 v X(!) = Y (!) vîi ! 2=
N. Khi â ta vi‚t X = Y (h:c:c). Mºt c¡ch tŒng qu¡t, ta nâi mºt t‰nh
ch§t n o â x£y ra hƒu ch›c ch›n tr¶n n‚u nâ x£y ra b¶n ngo i mºt
t“p N câ x¡c su§t khæng. Khi
X = Y (h:c:c) ta b£o X t÷ìng ÷ìng vîi Y v vi‚t X Y .
1.3.H MPH NPH¨IX CSUTCÕABIN NG UNHI N
Gi£ sß X l bi‚n ng¤u nhi¶n x¡c ành tr¶n( ; F; P) nh“n gi¡
trà tr¶n R = ( ;+ ).
1.3.1. ành ngh¾a
H m ph¥n phŁi x¡c su§t cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X (k‰ hi»u
l F(x)) ÷æc x¡c ành bði cæng thøc sau:
FX (x) = P(X < x); x 2 R (1.1)
Nh“n x†t 1.1. Theo ành ngh¾a, h m ph¥n phŁi cıa X l thu
hµp cıa º o x¡c xu§t P
X
tr¶n lîp c¡c kho£ng ( ; x), x 2 R.
Tł â, h m ph¥n phŁi F (x) FX (x) câ c¡c t‰nh ch§t sau:
(i) ìn i»u: x y ) F (x) F (y),
(ii) li¶n töc tr¡i, câ giîi h⁄n ph£i t⁄i måi i”m,

8. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
(iii) F ( ) := limx! F (x) = 0,

9. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
6
F (+1) := limx!+1F (x) = 1.
Ng÷æc l⁄i, n‚u h m sŁ F (x) b§t ký câ ba t‰nh ch§t tr¶n
th… tçn t⁄i mºt º o x¡c su§t tr¶n (R; B(R)) sao cho:
F (x) = ( ; x), x 2 R.
Tł â, n‚u l§y X : R ! R l ¡nh x⁄ çng nh§t th… X l bi‚n ng¤u
nhi¶n tr¶n khæng gian x¡c su§t (R; B(R); ) sao cho:
F (x) = FX (x):
º o x¡c su§t sinh bði h m F (x) cÆn ÷æc gåi l º o
Lebesgue-Stieltjes sinh bði F.
Tł t‰nh ch§t li¶n töc cıa x¡c su§t, ta câ
1
FX (x + 0) FX (x) = limn!+1jFX (x + ) FX (x)j;
n
1
FX (x + 0) FX (x) = limn!1Pjx X < x + j;
n
1 1
n
FX (x + 0) jx X < x + nj);
FX (x) = P(
=1
FX (x + 0) FX (x) = P(X = x):
Do â, h m FX (x) li¶n töc t⁄i x0 khi v ch¿ khi
P(X = x0) = 0
Tł ành ngh¾a h m ph¥n phŁi, ta cÆn câ
P(a X < b) = FX (b) FX (a);
P(a X b) = FX (b + 0) FX (a);
P(a < X < b) = FX (b) FX (a + 0);
P(a < X b) = FX (b + 0) FX (a + 0);
vîi a b b§t ký.
Do â, n‚u FX (x) li¶n töc t⁄i a v b th… bŁn x¡c su§t tr¶n
tròng nhau.

10. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
7
1.3.2.C¡c d⁄ng ph¥n phŁi
H m ph¥n phŁi FX (x) ÷æc gåi l ríi r⁄c n‚u nâ câ d⁄ng
i:
X
i
F (x) = pi; (1.2)
x <x
trong â pi > 0,
P
i pi = 1 v S = fxi: 1 i 1g l t“p con
khæng qu¡ ‚m ÷æc cıa R.
H m ph¥n phŁi FX (x) ÷æc gåi l li¶n töc tuy»t Łi n‚u câ
mºt h m Borel f(x) 08x sao cho
x
F (x) =
Z
f(t)dt; x 2 R: (1.3)
D„ th§y
+1
Z
f(t)dt = 1;
f(x) ÷æc gåi l h m m“t º x¡c su§t.
1.4. C C THAM S¨ C TR×NG CÕA BI N NG U NHI N
1.4.1.Ký vång to¡n
Cho bi‚n ng¤u nhi¶n X x¡c ành tr¶n khæng gian x¡c su§t (
; F; P), kh£ t‰ch Lebesgue. Ký vång cıa X, k‰ hi»u l E(X), ÷æc
x¡c ành bði
Z
E(X) = XdP:
+ N‚u Bi‚n ng¤u nhi¶n ríi r⁄c X câ b£ng ph¥n phŁi x¡c
su§t

11. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
8
X x1 x2 ... xn::: ...
P p1 p2 ... pn::: ...
X
th… E(X) = xkpk:
k
+ N‚u Bi‚n ng¤u nhi¶n li¶n töc X câ h m m“t º x¡c su§t f(x)
th…:
+1
Z
E(X) = xf(x)dx:
1.4.2.Ph֓ng sai
Cho Bi‚n ng¤u nhi¶n X, sŁ V ar(X) = E(X E(X))
2
÷æc gåi l
ph÷ìng sai cıa Bi‚n ng¤u nhi¶n X:
+ N‚u Bi‚n ng¤u nhi¶n ríi r⁄c X câ b£ng ph¥n phŁi x¡c
su§t
X x1 x2 ... xn::: ...
P p1 p2 ... pn::: ...
th… V ar(X) =
X
kx2
kpk Xk
x
k
p
k
!
2 :
+ N‚u Bi‚n ng¤u nhi¶n li¶n töc X câ h m m“t º f(x) th…
: +1
x2f(x)dx
0 +1
xf(x)dx
12
:
V ar(X) =
Z Z
A
@
1.4.3. º l»ch ti¶u chu'n
º l»ch ti¶u chu'n cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X, k‰ hi»u (X)
p
÷æc x¡c ành bði cæng thøc: (X) = V ar(X):

12. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
9
1.4.4.Ph¥n phŁi chu'n
Bi‚n ng¤u nhi¶n X ÷æc gåi l câ ph¥n phŁi chu'n vîi c¡c
tham sŁ a;
2
( > 0) (cÆn vi‚t X N (a;
2
)), n‚u h m m“t º cıa nâ câ
d⁄ng
1 (x a)
2
f(x) = p e ; x 2 R:
2
2
2
Ph¥n phŁi N (0; 1) cÆn ÷æc gåi l ph¥n x
2
phŁi chu'n ch‰nh
t›c. Khi â, h m m“t º x¡c su§t ’(x) = p
1
e ; h m ph¥n
2
2
phŁi x¡c su§t
1
R
x
t
2
(x) = p e dt.
2
2
1.5. KÝ V¯NG I U KI N
ành ngh¾a 1.2. Gi£ sß ( ; F; P) l khæng gian x¡c su§t,
G l - ⁄i sŁ con cıa F, X l bi‚n ng¤u nhi¶n kh£ t‰ch. Ký vång i•u
ki»n cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X vîi G ¢ cho l bi‚n ng¤u nhi¶n M thäa
m¢n c¡c i•u ki»n sau:
a) M l G- o ־c.
b) M thäa m¢n flng thøc
R R
A M(!)P(d!) = A X(!)P(d!), A 2 G (1:4).
M cÆn ÷æc kþ hi»u l E(XjG) ho°c EG
X.
1.6. MARTINGALE
ành ngh¾a 1.3. Gi£ sß N = 0; 1; :::; N, (!; F; P) l khæng
gian x¡c su§t, F0 F1 :::: Fn Fn+1 F. Khi â,
fXn; Fn; n 2 Ng l :
martingale tr¶n, n‚u
i) Xn l Fn o ־c;

13. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
ii) EjXnj < 1; 8n 2 N;

14. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
10
iii) vîi n = 1; 2; :::;
E(XnjFn 1) Xn 1,(h.c.c).
martingale d÷îi, n‚u câ c¡c i•u ki»n (i), (ii), v (iii’) vîi n = 1;
2; ::::
E(XnjFn 1) Xn 1, (h.c.c).
martingale, n‚u câ c¡c i•u ki»n (i), (ii), v (iii ) vîi n =
1; 2; ::::
E(XnjFn 1) = Xn 1, (h.c.c).
N‚u thay i•u ki»n (iii ) bði i•u ki»n E(XnjFn 1) = 0 vîi måi n
1 th… (Xn; n 1) ÷æc gåi l hi»u martingale Łi vîi Fn.

15. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
11
CH×ÌNG 2
PH×ÌNG PH P STEIN
2.1. ÀNH LÞ GI˛I H N TRUNG T M
Cho (Xn; n 2 N ) l d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n câ ký vång 0 v
ph֓ng sai 2
hœu h⁄n. °t Sn = X1 + X2 + ::: + Xn. K‰ hi»u
Fn(x) v (x) lƒn l÷æt l h m ph¥n phŁi x¡c su§t cıa bi‚n ng¤u p
nhi¶n Sn= n v bi‚n ng¤u nhi¶n chu'n t›c. ành lþ giîi h⁄n trung t¥m
cŒ i”n nâi r‹ng: n‚u (Xn; n 2 N ) l d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p, còng
ph¥n phŁi x¡c su§t th… Fn(x) hºi tö ‚n (x)
khi n ! 1 vîi måi x 2 R.
TŁc º hºi tö cıa ành lþ giîi h⁄n trung t¥m ÷æc Berry[2] v
Esseen[5] ch¿ ra r‹ng
1
supx2RjFn(x) (x)j = O(n2 ) khi n ! 1:
2.2. NHÚNG KI N THÙC CÌ B N CÕA PH×ÌNG PH P
STEIN
Cho Z l bi‚n ng¤u nhi¶n câ ph¥n bŁ chu'n t›c Z N(0; 1).
K‰ hi»u: Cbd l t“p nhœng h m li¶n töc tuy»t Łi,
f : R! R vîi Ejf0
(Z)j < 1.
BŒ • 2.1. Cho W l bi‚n ng¤u nhi¶n thüc. Khi â, W câ ph¥n
bŁ chu'n t›c khi v ch¿ khi
Ef0
(W ) = EfW f(W )g; 8f 2 Cbd: (2.1)
BŒ • 2.2. H m fz ÷æc x¡c ành bði (2:3) th…
!fz(!) l h m t«ng theo !: (2.6)
Hìn nœa, 8 !; u; v thüc, th…

16. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
j!fz(!)j 1; j!fz(!) ufz(u)j 1; (2.7)

17. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
12
f0
(!)
j
1; f0
(!) f0
(v)
j
1; (2.8)
j z j z
p
z
0 < fz(!) min(
2 1
; ): (2.9)
4 jzj
p
j(!+u)fz(!+u) (!+v)fz(!+v)j (j!j+
2
)(juj+jvj): (2.10)
4
BŒ • 2.3. Cho h m h b§t ký, li¶n töc tuy»t Łi , h: R ! R.
Nghi»m fh tŒng qu¡t cıa ph÷ìng tr…nh Stein ÷æc cho ð (2:5)
thäa m¢n:
kfhk min(
r
kh(:) Eh(Z)k; 2kh
0
k); (2.11)
2
kfh
0
k min(2kh(:) Eh(Z)k; 4kh0
k); (2.12)
kfh
00
k 2kfh
0
k: (2.13)

18. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
13
CH×ÌNG 3
B T NG THÙC BERRY ESSENCE ¨I V˛I D YBI NNG
UNHI N ¸CL P
3.1. NG THÙC STEIN ¨I V˛I D Y BI N NG UNHI N ¸CL P
Cho 1; 2; :::; n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p thäa m¢n
E i = 0, vîi 1 i n, sao cho
Pn
E i
2
= 1 ,ð ¥y i khæng
i=1
y¶u cƒu ph£i câ ph¥n bŁ giŁng nhau.
n
Xi
W (i)
= W i;
W := i v (3.1)
=1
K
i
(t) := Ef
i
(I
f0 t ig
I
f i t<0g
)g:
(3.2)
Ta câ Ki(t) 0, 8t. Th“t v“y:
E i n‚u i t < 0
Ki(t) = E i n‚u 0 t i
) Ki(t) 0:
v
Z 1
Ki(t)dt =
Z 1
Ef i(If0 t ig
I
f i t<0g
)gdt;
Z
1 Ki(t)dt =
( i
i E i
i
dt n‚u 0
i
t i
0
E dt n‚u t < 0
R 0
R
Z 1
Ki(t)dt = E i
2
;
Z 1
jtjKi(t)dt =
Z 1
jtjEf i(If0 t ig
I
f i t<0g
)gdt;
Z 1
jtjKi(t)dt = E
Z 1
jtjf i(If0 t ig
I
f i t<0g
)gdt;

19. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
14
(
Z 1
jtjKi(t)dt =
Ef
R i
t idtg
Ef 0 i t idtg
Z 1
jtjKi(t)dt =
1
2Ej ij3:
R 0
V“y:
Z 1
Ki(t)dt = E 2
Z
1
i
jtjKi(t)dt = 2Ej ij3
: (3.3)
1
Cho h l h m o ÷æc, Ejh(Z)j < 1, v f = fh l nghi»m
cıa ph÷ìng tr…nh Stein (2.4):
f
0
(!) !f(!) = h(!) Eh(Z):
Möc ‰ch: ÷îc l÷æng
Eh(W ) Eh(Z) = Eff0
(W ) W f(W )g:
V… i ºc l“p vîi W
(i)
vîi mØi 1 i n, n¶n:
n
X
i
EfW f(W )g = Ef if(W )g;
=1
n
Xi
[f(W ) f(W (i)
)]g do E i = 0; 8i;
EfW f(W )g = Ef i
=1
Ef i
Z
0 i
n f0(W (i) + t)dtg;
EfW f(W )g = i= 1
X
n Z 0
EfW f(W )g = Ef i i f0
(W (i)
+ t)dtg;
=1
X
i
Z 1
n
Xi
Ef f0
(W (i)
+ t) i(If0 t ig If i t<0g)dtg;
EfW f(W )g =
=1

20. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
15
n Z 1
EfW f(W )g =
Xi
Eff0
(W (i)
+ t)Ki(t)gdt: (3.4)
=1
M°t kh¡c ta câ:
n Z 1 n = 1;
i=1 Ki(t)dt = i=1 Ei 2
X X n Z 1
) Ef0(W ) = Ef0(W ) Ki(t)dt;
X
i=1
n Z 1
X
Ef
0
(W ) = Eff
0
(W )gKi(t)dt: (3.5)
i=1
Tł (3:4) v (3:5)
n Z 1
X
Eff
0
(W ) W f(W )g = Eff
0
(W ) f
0
(W
(i)
+ t)gKi(t)dt:
i=1
(3.6)
Ph÷ìng tr…nh (3:4) v (3:6) câ vai trÆ ch‰nh trong chøng
minh x§p x¿ chu'n tŁt. (3:4) v (3:6) óng c£ vîi t§t c£ nhœng h m
f li¶n töc tuy»t Łi, bà ch°n. (3:6) ÷æc gåi l flng thøc Stein Łi vîi
d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p.
3.2. B T NG THÙC BERRY ESSENCE ¨I V˛ID YBI NNG
UNHI N ¸CL P
Möc ‰ch: ÷îc l÷æng Eh(W ) Eh(Z) vîi:
+C¡c lîp bi‚n ng¤u nhi¶n W kh¡c nhau.
+Z N(0; 1).
+h: h m trìn, thäa m¢n:
kh
0
k := supxjh
0
(x)j < 1: (3.7)
ành lþ 3.1. Gi£ sß tçn t⁄i sao cho, vîi h m h b§t ký thäa

21. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
16
m¢n i•u ki»n Lipschitz •u
jEh(W ) Eh(Z)j kh
0
k (3.8)
th…:
dW (L(W ); N(0; 1)) := suph2Lip(1)jEh(W ) Eh(Z)j : (3.9)
Trong â Lip(1) = fh : R ! R; kh
0
k 1g;
1
dK (L(W ); N(0; 1)) := supzjP (W z) (z)j 2 : (3.10)
2
ành lþ 3.2. Cho 1; 2; :::; n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p
n 3 sao cho
E i = 0v Ej 1j < 1vîi mØi 1 i n, v
thäa m¢n:
P
i=1
E
2
= 1.
Khii
â ta câ
n
kFW
Xi
k1 3 Ej ij
3
;
=1
v
v
k
FW 1 2 3 n E i
j
3
:
k u i=1 j
u
X
Tr÷íng hæp °c bi»t, ta câ t
n
EjW j r 3 i=1 Ej ij 3:
2
X
ành lþ 3.3. Cho 1; 2; :::; n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p
thäa m¢n: E i = 0 vîi måi 1 i n v sao cho
Khi â ành lþ 3:1 câ th” ¡p döng vîi
=4(4 2+3 3);
Pn
E i
2
= 1. i=1
(3.11)

22. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
17
vîi
n n
Xi X
2 =
E
i
2I
fj ij>1g
v
3
= Ej
i
j3I
fj ij 1g
:
(3.12)
=1 i=1
ành lþ 3.4. Cho X1; X2; :::; Xn l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n ºc
l“p, câ EXi = 0 v EXi
2
< 1 , vîi mØi 1 i n
n n
Xi X
Sn := Xi v B2 := EX2
n i
=1 i=1
i = Xi=Bn v W = Sn=Bn:
Khi â i l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p thäa m¢n
( i=1
E i
=
Bn
2
i=1
EXi
E i = 1
EXi = 0
n
Bn
1 n 2
2
P P P
v 3 n
X¡c ành 2
i=1 i.
v bi‚n ng¤u nhi¶n W =
nh÷ trong ành lþ
= 1:
3:3.
3.3. B T NG THÙC BERRY ESSENCE ¨I V˛I D Y BI N
NG U NHI N PHÖ THU¸C ÀA PH×ÌNG
(LD1) Cho mØi i 2 J, 9Ai J sao cho j v Ac l ºc l“p.
(LD2) Cho mØi i 2 J, 9Ai Bi J sao cho j ºc l“p vîi Ac v Ai ºc l“p
vîi Bic . P P
X¡c ành
i
=
j2Ai j
v
i
=
j2Bi j
.
ành lþ 3.5. ành lþ 3:1 câ th” ¡p döng vîi:
1. N‚u (LD1) thäa m¢n
X
X
= 4Ej f i i E( j i)gj + Ej i i
2
j: (3.16)
i2J i2J

23. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
18
2. N‚u (LD2) thäa m¢n
X
X
= 2 (Ej i i ij + jE( i i)jEj ij) + Ej i i
2
j: (3.17)
i2J i2J

24. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
19
CH×ÌNG 4
B T NG THÙC BERRY ESSENCE ¨I V˛I D Y BI N NG
U NHI N UNORDERED MARTINGALE
4.1. UNORDERED MARTINGALE
ành ngh¾a 4.1. D¢y bi‚n ng¤u nhi¶n (Xn; n 2 N ) x¡c
ành tr¶n khæng gian x¡c su§t ( ; F; P ). °t Fn = (Xi : i 6= n): D¢y
(Xn) ÷æc gåi l unordered martingale n‚u thäa m¢n hai i•u ki»n:
(i) E(jXnj) < 1 vîi måi n;
(ii) E(Xn=Fn) = Xn 1 vîi måi n > 1.
ành ngh¾a 4.2. D¢y bi‚n ng¤u nhi¶n (Xn; n 2 N ) x¡c
ành tr¶n khæng gian x¡c su§t ( ; F; P ). °t Fn = (Xi : i 6= n): D¢y
(Xn) ÷æc gåi l hi»u unordered martingale n‚u thäa m¢n hai i•u
ki»n:
(i) E(jXnj) < 1 vîi måi n;
(ii) E(Xn=Fn) = 0 vîi måi n 1.
Nh÷ v“y, n‚u ( n) l d¢y hi»u unordered martingale th…
d¢y Xn = 1 + ::: + n l d¢y unordered martingale. Kh¡i ni»m hi»u
unordered martingale tr¶n ÷æc Choi v Klass ÷a ra trong b i b¡o
[3]. Kh¡i ni»m n y ÷æc chóng tæi mð rºng nh÷ sau:
ành ngh¾a 4.3. Cho m l sŁ nguy¶n khæng ¥m. D¢y
bi‚n ng¤u nhi¶n (Xn; n 2 N ) ÷æc gåi l hi»u m-unordered
martingale n‚u thäa m¢n hai i•u ki»n:
i) E(jXjj) < 1 8j;
ii) Vîi mØi i 1, E(Xj=Fi) = 0 vîi måi j = i+ 1; :::; i+m trong â
Fj l - ⁄i sŁ sinh bði c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n f i; j ig
v f j; j > i + mg.
Nh÷ v“y mºt d¢y nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n hi»u unordered
martingale l hi»u 0- unordered martingale.

25. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
20
4.2. NG THÙC STEIN ¨I V˛I D Y BI N NG U NHI N HI U
UNORDERED MATINGALE
Trong phƒn n y chóng tæi thi‚t l“p flng thøc Stein Łi vîi
d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n hi»u unordered martingale v k‚t qu£ thu
÷æc ho n to n t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hæp d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n ºc
l“p.
Cho 1; 2; ::: n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n hi»u unordered
n
martingale sao cho
P
ni=1 E i
2
= 1. °t
Xi
W := i;
=1
W (i)
:= W i;
K
i
(t) := Ef
i
(I
f0 t ig
I
f i t<0g
)g:
Vîi h l h m li¶n töc tuy»t Łi sao cho Ejh(Z)j < 1, gåi f = fh l
nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Stein. Ta câ
n
n n
Xi X
E[W fh(W )] = E[( i)fh(W )] = E[ ifh(W )]
=1 i=1
E[W fh(W )] =
X
E[ i(f(W ) f(W (i)
))](doE( ijFi) = 0; 8i)
i=1
n
X
E[W fh(W )] =
i=1
n
X
E[W fh(W )] =
i=1
n
X
E[W fh(W )] =
Z
i
E[ i f0
(W (i)
+ t)dt]
0
Z 0
E[ i f
0
(W
(i)
+ t)dt]
i
Z
1
E[ fh
0
(W (i)
+ t) i(I0 t i I t 0)dt]
i=1
Z 1
n
Xi
E[fh
0
(W (i)
+ t)]Ki(t)dt:
E[W fh(W )] =
=1

26. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
21
Ta l⁄i câ
n
K
i n = 1
i=1
Z 1 (t)dt = i=1
Ei2
X X
n¶n
n Z 1
Efh
0
(W ) = Efh
0
(W ) Ki(t)dt
X
Z
1
i=1
Ef0
(W ) = n E f0
(W ) K (t)dt:
h =1 f h g i
Xi
Do â,
E[fh
0
(W ) W fh(W )] = n Z 1 Effh
0
(W ) fh
0
(W (i)
+ t)gKi(t)dt:
i=1
X
V… v¥y ta câ:
Eh(W ) Eh(Z) = [f0
(W ) W f(W )]
n Z 1
Xi
Eff
0
(W ) f
0
(W
(i)
+ t)gKi(t)dt:
Eh(W ) Eh(Z) =
=1
flng thøc tr¶n công ÷æc chóng tæi gåi l flng thøc Stein
Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n hi»u unordered martingale.
4.3. B T NG THÙC BERRY ESSENCE ¨I V˛I D Y BI N NG
U NHI N HI U UNORDERED MARTINGALE
ành lþ 4.4. Cho 1; 2; :::; n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n
unordered martingale thäa m¢n: Ej 1j
3
< 1 vîi mØi 1 i n,
v n

27. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
P
i=1 E i
2
= 1. °t W = 1 + ::: n.

28. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
22
Khi â ta câ
n
kFW
Xi
k1 3 Ej ij
3
=1
v
2
v
k
F
W 1 3 n E i
j
3:
k u i=1 j
u X
t
ành lþ 4.5. Cho 1; 2; :::; n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n hi»u
unordered martingale thäa m¢n
P
n
i=1 E i
2
= 1. Khi â
kFW k1 4(4 2 + 3 3)
v
p
kFW k1 2
vîi 4(4 2+2 3)
n n
2
=E
i2I
fj ij>1g
v
3
= E
j ij3I
fj ij 1g
:
i=1 i=1
X X
H» qu£ 4.1. Cho X1; X2; :::; Xn l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n
hi»u
unordered martingale thäa m¢n EXi
2
< 1. °t
n n
X Xi
Sn := Xi v Bn
2
:= EXi
2
:
i=1 =1
N‚u 8" > 0,
1
n
Xi
B2 EfXi
2IfjXij>"Bngg ! 0; khi n ! 1
n =1
th… j n n j ! ! 1
z
z) (z) 0; khi n :
sup P(S =B

29. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
23
ành lþ 4.6. Cho 1; 2; :::; n l nhœng bi‚n ng¤u nhi¶n
°t P
i=1 i
hi»u m-unordered martingale thäa m¢n n E 2
= 1. Vîi mØi i,
X
Ai = fi + 1; ::::i + mg; i = j:
j2Ai
Khi â
kFW k1 ;
v p
kFW k1 2 ;
vîi X
X
= 4Ej f i i Ef i iggj + Ej i i
2
j;
i2J i2J
trong â W = 1 + ::: + n.

30. TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO 0973.287.149
Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0973.287.149 –
Luanvanmaster.com
24
KTLUN
C¡c ành lþ giîi h⁄n trong Lþ thuy‚t x¡c su§t nâi chung v
ành lþ giîi h⁄n trung t¥m nâi ri¶ng âng vai trÆ quan trång trong
ph¡t tri”n lþ thuy‚t v thüc h nh x¡c su§t thŁng k¶. Łi vîi d¢y bi‚n
ng¤u nhi¶n khæng thäa m¢n i•u ki»n ºc l“p v còng ph¥n phŁi
x¡c su§t th… tŁc º hºi tö cıa ành lþ trung t¥m âng vai trÆ cŁt
y‚u trong c¡c b i to¡n thŁng k¶.
Vi»c nghi¶n cøu B§t flng thøc Berry - Essen b‹ng ph÷ìng
ph¡p Stein ¢ ÷æc nhi•u t¡c gi£ nghi¶n cøu, °c bi»t l nhâm nghi¶n
cøu cıa gi¡o s÷ Louis Chen ( ⁄i håc QuŁc gia Singapore). Trong • t
i n y chóng tæi ¢ thi‚t l“p ÷æc mºt sŁ k‚t qu£ v• tŁc º hºi tö cıa ành
l‰ giîi h⁄n trung t¥m Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n nhi¶n hi»u
unordered martingale b‹ng ph÷ìng ph¡p Stein.
Do thíi gian v tr…nh º cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n ch¿ mîi
dłng l⁄i ð møc t…m hi”u v chøng minh c¡c ành lþ, bŒ • v ÷a ra
÷æc mºt sŁ k‚t qu£ mîi v• ph÷ìng ph¡p Stein Łi vîi d¢y bi‚n ng¤u
nhi¶n unordered martingale.
Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n lu“n v«n ch›c ch›n khæng
tr¡nh khäi thi‚u sât, v… v“y tæi r§t mong nh“n ÷æc nhœng þ
ki‚n âng gâp cıa thƒy cæ v b⁄n b–.