1. Phạm Viết Sĩ
Đại cương về vectơ 7.Cho hai vectơ và ≠ .Tìm điều kiện của và để:
1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng a) = + b) =
AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành 8.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ + nằm trên
2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác đường phân giác của góc AOB
a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC 9. Chứng minh rằng : = ⇔ trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng
b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh nhau
OK = IH 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các
3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và
và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh rằng : N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng :
DM = MN = NB a) + = +
4.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB b) = +
Chứng minh rằng GE = 0 11.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O
5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho:
Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1 = + ; = + ; = +
điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF | b)Chứng minh rằng + + =
Các phép toán vectơ 12.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối
1.Rút gọn các biểu thức sau: xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD điểm O bất kỳ ta có : + + = + +
b)+ – + + + 13.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An. Bạn
c) + + – + – + Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn.
2. Chứng minh rằng Chứng minh rằng : ++...+=
a) + = + 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD
b) + = + a)Chứng minh rằng + = 2
c) + + = + b)Xác định điểm M sao cho + + 2=
d) + + = + + = + + c)Xác định điểm N sao cho +++=
e) + + + = + + 15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là
3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng : trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành
+ = + 16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn:
4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ =
,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + = 17.Cho tam giác ABC
5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao a)Xác định điểm I sao cho : + 2 =
cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng b)Xác định điểm K sao cho : + 2 =
+ + + 18.Cho tam giác ABC
6.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ + , a)Tìm điểm M thoả mãn : – + =
+ , – b)Tìm điểm N thoả mãn : = + +
-1-

2. Phạm Viết Sĩ
c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + = a) + + =
d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – 2 = b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + 2 = 31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau:
f)Tìm điểm P thoả mãn : – + 2 = =3;=3;=3
19.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn: a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – ∀O
4= + + b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
20.Cho lục giác ABCDEF .Tìm điểm O thoả mãn : 32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
+++ ++ = Chứng minh rằng : = +
21.Cho tam giác ABC 33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K
a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4 – = ; + 2= là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK
b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2| a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và
22.Cho hai điểm phân biệt A,B b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng
a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả: 34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C.
2+3= ;–2+ = ;–3= a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho
b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng : = t+ (1 – t) thì ∀ điểm M ta đều có : = t+ (1 – t)
= + ; = 2– ;= – + b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t) ⇔ A, B, C thẳng hàng
23.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S sao cho 35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng
+ + = ;2+ + = ;+ 3+ 2 = minh rằng điểm M ∈d ⇔ có số α sao cho: = α+ (1 – α)
– + = ; 5– 2– = Với điều kiện nào của α thì M ∈ đoạn thẳng AB
24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng + = + 36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC,
25.Cho lục giác đều ABCDEF , M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng CA theo các tỉ số m, n, p ≠ 1. Chứng minh rằng :
++=++
a)M, N, P thẳng hàng ⇔ m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt)
26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm BC, CA ,AB
b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song ⇔ m.n.p = – 1(định lý Xêva)
Chứng minh rằng : + + =
37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao
27.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,
cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN
BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ
a)Chứng minh rằng : = +
Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE
b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = +
28.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’
38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ
a)Chứng minh rằng : + + = 3
= – 3+ 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm
39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho
29.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh
BM = MC , CN = NA , AP = BP
AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng
a)Chứng minh rằng : = (2+ ) ; = (2+ )
trọng tâm
= (2+ )
30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh
b)Chứng minh rằng : + + =
rằng :
40*.Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng
-2-

3. Phạm Viết Sĩ
+ + + + = Kết luận gì về ba điểm O, H ,G
41*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC 50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng
,CA ,AB .Đặt = ; = .Tính các vectơ ; ; theo các vectơ và minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng
42* Cho tam giác ABC .Đặt = ;= . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho = m ; = n. 51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi :
Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy tính vectơ theo hai vectơ và = +3
43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định
a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ theo các vectơ 52*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi:
và = k ; = k ; = k (k ≠ 1)
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng : a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3
a + b+ c= b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1) = k – với O là một điểm tuỳ ý
44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB c)Chứng minh rằng ∀ k ≠ 1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên 53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định
cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng = . Suy ra hai tam giác ADE và bởi + k = ; + k = (k ≠ – 1).Gọi O là trung điểm MN
BFG có diện tích bằng nhau a)Chứng minh rằng : = ( + ) và = ( + )
45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng nếu b)Từ đó chứng minh : + k = .Kết luận gì về ba điểm O , I , J ?
cho trước một điểm M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N nằm trên c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi + k = và + k =
cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ
46*.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, 54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ
B’, C’ sao cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B. Gọi M = AA’  BB’; = + + 2có độ dài nhỏ nhất
N = AA’  CC’; P = BB’  CC’ 55*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho
a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’ = kvà = k.Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN
b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP 56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng :
47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác. a) + + = b) = (+ )
Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng : 57.Cho ba vectơ ;; có độ dài bằng nhau và
+ + = + + = .Tính các góc AOB ;BOC ;COA
48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý 58.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M a)Chứng minh rằng : + + = 3
b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: = , = , =
+ 2 = và = 3 Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm
49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam 59.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng
giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O AB,BC,CA theo cùng một tỉ số k ≠ 1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và
a) Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành MNP có cùng trọng tâm
b) Chứng minh rằng + + = 2 60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 =
và + + = và + 3 = . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác
c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3 ABC
-3-

4. Phạm Viết Sĩ
61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t ∈ R,lấy các điểm A’, 71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’. Chứng
B’ ,C’ sao cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t minh rằng :
thay đổi a) tanB. + tanC. = 0
62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng ∀điểm M ta b) tanA. + tanB. + tanC. =
luôn luôn tìm được 3 số α, β, γ sao cho: α + β + γ = 1 và 72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3 = ,
= α+ β+ γ.Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số α, β, γ 2=
bằng bao nhiêu? a) Tính theo và
63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần b) Gọi I và J là hai điểm thỏa = α , = β
lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ Tính , theo , α , β
Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3 73.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC sao cho = ,G là trọng tâm tam giác
64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích ABC, MG cắt đường thẳng AB tại N.Tính
theo và 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa
65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi: a) = b) + 2 – 3 =
=2;5=2
a)Tính và theo và
b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng Toạ độ trên trục
c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x 1.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 2,– 3,1
Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng a)Tính , – 2 ,
66. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và b)Tìm toạ độ trung điểm I của AB
K là các điểm đối xứng với A qua B c)M là điểm đối xứng với A qua B, N là điểm đối xứng với M qua A .Tìm N
a)Chứng minh rằng: 3= 5 – 2.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C lần lượt có toạ độ là 1,– 3,5
b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2 a)Tìm toạ độ điểm D sao cho = 3
c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng b)Tìm toạ độ điểm M sao cho + + = 0
67.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho = 3 ,N là điểm sao cho = 3, L là c)Tìm toạ độ điểm N sao cho 2 – + 5 = 0
điểm sao cho = x . Xác định x để M,N,L thẳng hàng 3.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C và I là trung điểm BC,chứng minh rằng :
68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn = – 2 và N là điểm thỏa = x – a) + = 2
a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng b) . = 2 – 2
b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số c) 2 + 2 = 2(2 + 2 )
69.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa d) 2 – 2 = 2.
= – 4.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C,D , chứng minh rằng :
a)Chứng minh rằng : = – a) . + . + . = 0
b)Chứng minh rằng B ,I ,J thẳng hàng b) AB2. + AC2. + AD2. + .. = 0
c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài toán 5.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B lần lượt có toạ độ là – 1, 2
70.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AB ,F là a)Tìm toạ độ các điểm C,D sao cho : = – 2 và = 2
điểm trên cạnh AC sao cho AF = AC. Chứng minh rằng E,D,F thẳng hàng b)Gọi I,J là trung điểm của AB và CD ,chứng minh rằng
-4-

5. Phạm Viết Sĩ
2 2 2 2
AB + CD = 4IJ ; IA = . ; .= . 14.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường
thẳng AB và CD song song
15.Cho 4 điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5). Chứng minh rằng: hai
Tọa độ Oxy đường thẳng AB và CD song song
16.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3)
1.Cho = (1;3), = (2;– 5), = (4;1) a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác
a)Tìm tọa độ vectơ = 2 – + 3 b)Tìm tọa độ điểm D sao cho = – 3 +
b)Tìm tọa độ vectơ sao cho + = – c)Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE
c)Tìm các số k và h sao cho = k + h 17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB lần lượt có trung điểm là M(– 2;1)
2.Cho = 2– 3 và = k + 4. Tìm các giá trị của k để hai vectơ và cùng phương ,N(1;– 3) ,P(2;2)
3.Cho các vectơ = (– 1;4),= (2;– 3),= (1;6) Phân tích theo và a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C
4.Cho 3 vectơ = (m;m) , = (m – 4;1) , = (2m + 1;3m – 4). b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng nhau
Tìm m để + cùng phương với
5.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không?Nếu cùng phương thì có Đề kiểm tra
cùng hướng không?
a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15)
c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3) Đề 1(CB)
e) = (0;5) , = (3;0) 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau:
6.Cho các vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1) a) + + + b) + + c) –
Tìm các số x,y sao cho x.+ y. + 7 = 2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2). ,BC ,CD ,DA. Chứng minh rằng:
a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC a) = b= +
b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD 3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm các cạnh
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành AB ,BC ,CA. Chứng minh rằng: + + =
8.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) 4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5)
a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Đề 2(CB)
b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình 1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O
hành a) Chứng minh rằng: =
9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: + = + 0
tâm G nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh C 2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm của BC ,K là trung điểm của BI
10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1), Chứng minh rằng: = +
trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C 3.Cho tam giác đều ABC cá cạnh bằng 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB
11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng song song với Ox,A là điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B
12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng Đề 3 (NC)
13.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng
-5-

6. Phạm Viết Sĩ
1. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN
rằng : vuông góc nhau . Tính cosA
a) + = 11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11
b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm a)Tính .
2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm A b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho
và B cắt trục Ox tại M và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN AN = 4.Tính .
Đề 4(NC) 12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :
1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = .Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho = 2 , = ; = . = OM2 – OA2
a)Hãy biểu thị các vectơ ,, qua các vectơ và 13.Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính .
b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng và .
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A ∈ Ox và điểm B ∈ 14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng :
Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB a) . = IA2 – IB2
b) . = (AB2 + AC2 – BC2)
Tích vô hướng c) . = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2)
1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng : 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :
  2 2  2  2 2   2    2  2
a+b − a − b  a + b − a−b  a+b − a−b  MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
.=  = = 16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:
     
2.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vô hướng .( + ) và suy ra góc a) . b). c) . + . + .
giữa hai vectơ và + d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2 + b2 + c2)
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính e)Tính AG theo a ,b ,c
a) . b). c) . 17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :
4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính: . + . + .= 0
a). b). c) . 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên
o
5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90 ,tính . (O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng :
6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120 o a) . = .
a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính . b) . = .
7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 c) . + .= 4R2
a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A 19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý
b)Tính . a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0
c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính . b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui
8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o 20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu
Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvuông góc nhau của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ⊥BD
o
9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60 .Trên tia AC lấy điểm M 21.Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD.
và đặt = k.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC Chứng minh rằng : AN ⊥ DM
-6-

7. Phạm Viết Sĩ
22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC, M 32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:
và N lần lượt là trung điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM ⊥ MN (.) + (.) +(.) =
23.Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b 33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM =
Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân
a) AC ⊥ BD b) IA ⊥ IB với I là trung điểm CD 34.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên
24.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o . Gọi L là chân đường dây cung đó. Chứng minh rằng 2.= MA(MA – MA’)
phân giác trong của góc A 35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các
a)Tính . góc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120o .Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt
b)Tính theo và ⇒ độ dài của AL đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng:
c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL ⊥ BM MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’
25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120 o 36*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua
a) Tính BC và . đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB
b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại
c)Tìm x để AN ⊥ BM D.Tính diện tích tam giác đó.
26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại
2 2 2
AB – BC + CD – DA = 2.2 M.Tính diện tích tam giác đó.
27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
Chứng minh rằng : . = BC 2 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :
28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực a) + = +
tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC. b) . = .
Chứng minh rằng HK ⊥ IJ c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2
28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc nhau tại S. Gọi d) MA2 + . = 2.
38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH
M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM ⊥ A’B’
Chứng minh rằng :
29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn : I
a) (+ ).= 0
a) . = .
b) (+ + ).= 0
b) MA2 + . + . = 0
c) + + = D
c) MA2 = . H
d) + + =
d) (+ ).(+ ) = 0
39.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh
A
e) ( – ).(2 – ) = 0 E
BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN
30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng ∆, H là hình chiếu của A trên
a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và
∆.Với mỗi điểm M trên ∆, ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2. Tìm quĩ
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AMB ⊥ CN
tích các điểm N C
40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một
31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,gọi P
điểm tuỳ ý trên đường tròn . Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
là trung điểm đoạn thẳng AD.
b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh
Chứng minh rằng MP ⊥ BC ⇔ .= .
-7-
F
G

8. Phạm Viết Sĩ
41*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)
thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng : Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A
ˆ ˆ ˆ
a) cos MOA 1 + cos MOA 2 + …+ cos MOA 6 = 0 50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)
2 2 2 2 a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b) MA1 + MA2 + …+ MA6 là một hằng số ( = 12R )
b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H
42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm bất
51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và
kỳ trên đường tròn
D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân
a)Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)
b)Chứng minh rằng : MA2 + 2. = 3R2
a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác
c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC
b)Tính góc B của tam giác ABC
43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC
53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M
a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của góc A
thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ nhất của
44*. Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng:
54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng
(.)+ (.)+ (.) =
minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn
45.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120o nội tiếp trong đường
55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5).
tròn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC
Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn
a)Tính .
b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và
c)Chứng minh rằng IE ⊥ CD
46.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
AC, BD, BC và AD. Đặt = , = , =
a)Chứng minh rằng : = ( + – ) ; = ( + – )
b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB ⊥ CD.Điều ngược lại có đúng không?
47.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a ,b ,c. Gọi D là trung điểm AB và I là
điểm thỏa + 3 – 2 =
a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành
b)Tính . theo a ,b ,c
c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng :
MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2
d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức
MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ nhất
48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng :
2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2.
c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2 + MB2 = 3MC2
-8-