A diszkalkulia egy gyakori formája, amely a diszlexiával azonos idegrendszeri alapon jön létre, elkerülhető megfelelő tanítási módszerekkel. Ha a mennyiség és szám fogalom kialakult, csupán a relációk, téri-irányok viszonyai, a részletek észlelésének instabilitása okozza a számolásban a zavarokat. A következmény a gyenge számolási képesség, és emiatt a matematika terén való lemaradás, ami sokszor további teher a diszlexiás tanuló számára.

2. 1
Inklúzió Európában a tudás és a technológia
segítségével
A matematika tanítása diszlexiás diákoknak
Útmutató

3. 2
Inclusion in Europe through Knowledge and Technology
Project no: KA201-2015-012
This project is funded with support from the European Commission. This course Handbook
reflects the views of the research partners and the Commission cannot be held responsible
for the information contained herein.

4. 3
Tartalom
Inklúzió Európában a tudás és a technológia segítségével .............................................................4
Felkészülés az inkluzív tanításra..........................................................................................................4
Útmutatók és online anyagok.............................................................................................................5
Bevezető ehhez az útmutatóhoz...................................................................................................6
A diszlexiás diákokra specializált matematika tanítás....................................................................6
A tanulás szintjei és a diszlexiás diák ..................................................................................................6
A diszlexia típusai és kapcsolata a diszkalkulia egy típusához............................................................7
A diszkalkulia jellemzői .......................................................................................................................9
A tanulási zavarokkal járó kihívások .............................................................................................9
A gyenge oldalak...............................................................................................................................10
A vizsgálat .........................................................................................................................................10
A megfelelő tanítási módszerek leírása....................................................................................... 10
Vizuális és verbális segítség ..............................................................................................................11
Tapasztalat és becslés szavakhoz kötve............................................................................................12
Tanulási technikák és technológiák a diszlexiás tanulók inkluzív matematika tanításában............ 13
„Mindennapi eszközök” modell........................................................................................................14
Technológiai eszközök ......................................................................................................................15
Gondolkodás és számolás.................................................................................................................19
Videók....................................................................................................................................... 19
Szakirodalmi források ................................................................................................................ 19

5. 4
Inklúzió Európában a tudás és a technológia segítségével
Kevés információ, gyakorlat és oktatási segédanyag érhető el a speciális igényű tanulók
különböző tantárgyak terén történő tanításához. Bizonyos esetekben az anyagot
szakosodott iskolákban vagy más zárt környezetben használják belső körökben. Más
esetekben a tudás tanárról tanárra száll munkahelyi tréningeken, de nem lesz közkincs.
Hiányoznak az anyagok például az anyanyelv tanítás, az idegen nyelvek tanítása, a
matematika és a zene tanítása hatékonyabbá tételéhez
’INCLUTECH’ Európai Uniós projektünkben azt a célt tűztük ki, hogy továbbfejlesszük,
kipróbáljuk és terjesszük a bevált gyakorlatokat a befogadó tanítás technológiák területén.
Felkészülés az inkluzív tanításra
A projekt során kidolgozott anyagokkal két célcsoport – a diszlexiával küzdő diákok és a
vak/gyengén látó diákok – tanításához nyújtunk gyakorlati útmutatásokat. Ez a két
célcsoport megjeleníti az inkluzív tanítás szempontjából jellegzetes kétféle tanulót: a nem
nyilvánvaló és a nyilvánvaló eltéréseket.
Nem nyilvánvaló eltérések: Atipikus fejlődésnek nevezzük az olyan nem mindig nyilvánvaló
és egzaktul nem mindig azonosítható, intelligenciától független különlegességeket, amelyek
gyakran együtt, és különböző kombinációkban jelennek meg, és bizonyítottan hasonló
idegrendszeri folyamatok különböző eltérésein alapulnak:
 Neurológiai alapú teljesítményzavarok egy része:
o tanulási zavar, tanulási nehézség (diszlexia, diszkalkulia, diszgráfia),
o kontrollzavarok (figyelemzavar, hiperaktivitás zavar, impulzus kontrol zavar)
 Autizmus spektrum zavarok egy része
Az atipikus fejlődés a populációnak megközelítőleg 25%-át érinti. A diszlexiások aránya
nehezen állapítható meg az azonosítás nehézsége miatt, de nagyjából 10-15 % körülire
tehető. Az azonosított fogyatékosság esetén előfordul a szegregáció, de legtöbbször
integráltan tanulnak ezek a diákok.
Nyilvánvaló eltérések: A fogyatékosság miatt speciális ellátást kívánó tanulók általában
könnyen azonosíthatók, és legtöbbször szegregált ellátásban részesülnek. Egyre többen
kerülnek azonban a többségi oktatásba integrálásra.
A törvény szerinti fogyatékosságok csoportjai:
 Mozgássérült
 Autista
 Értelmi fogyatékos, mentálisan sérült
 Beszédhibás, beszédfogyatékos
 Gyengénlátó, aliglátó
 Vak
 Nagyothalló
 Siket
 Siketvak

6. 5
A 2011-es felmérés szerint a népesség 4,9 %-a tartozik a fogyatékossággal élők közé. A
megváltozott mozgásszervi képességűek a legnagyobb egyértelmű fogyatékossággal élő
csoport. A hazai arányuk 2,6 %. A második legnagyobb fogyatékossági csoport a gyengén
látók, a populáció 0,8 %-át teszik ki. A vakok aránya 0,1 %.
A törvényi SNI-BTM megkülönböztetés nem tudományos, hanem fejlődésbeli
lehetőségek szerinti megkülönböztetés:
 SNI - az akadály egész életben megmarad
 BTM - az akadály megfelelő eljárásokkal megelőzhető, feloldható
Esetleges ellátás: A pedagógusok sem az atipikus fejlődésű, sem a megváltozott
képességű tanulók tanítására nincsenek felkészülve. Lényegében a tanulókon tanulják
meg jól-rosszul a bánásmódot.
Maga a hivatalos tanítási gyakorlat egyáltalán nem veszi figyelembe a különleges tanítási
igényű diákokat. Ami azt jelenti, hogy a folyamatban jó eséllyel kárt szenved mind maga
az integrált tanuló, mind a többi tanuló és a pedagógus is.
Az inkluzív szemlélet még csak nyomokban lelhető fel, és amíg a gyakorlati módszertani
lehetőségek nem adottak, addig ez így is marad.
Inkluzív módszertan: Projektünkben a diszlexiás, valamint a vak és gyengénlátó tanulók
inkluzív ellátásán keresztül ismertetünk módszertani lehetőségeket. Ezek lényege, hogy
miközben támogatják a különleges ellátást igénylő diákok tanulását, minden más
tanulónak is hasznosak.
A különlegeseknek is megfelelő, és a mindennapi osztálytermi gyakorlatban használható
eljárások és technikák az ősidők óta használt eszközöktől kezdve a 21. században
megjelent módszereken keresztül felölelik a széles lehetőségeket, amelyek már
rendelkezésre állnak az inkluzív tanítás megvalósításához.
Az atipikus fejlődésbe tartozók inkluzív ellátását a diszlexia, a fogyatékossághoz tartozó
eltérésekkel élő tanulók inkluzív ellátását a vak és gyengénlátó tanulók tanításán
keresztül mutatjuk be.
A projekt részletes útmutatót és gyakorlati példákat ad közre négy alapvető
készségterület inkluzív tanításának támogatásához: anyanyelv, idegen nyelv,
matematika, zene.
Útmutatók és online anyagok
 A program csomag útmutató füzetekből, online elérhető anyagokból és egy „SMART
E-learning” online tanfolyamból áll.
 Külön anyagok állnak rendelkezésre a diszlexiás, a vak és a gyengénlátó diákok
tanításához. Mindez angolul letölthető a http://www.diszlexia.hu és http://lexam.eu
weboldalakról.
 A diszlexiás diákok inkluzív tanításához készült INCLUTECH anyagok magyarul is
elérhetők.

7. 6
Bevezető ehhez az útmutatóhoz
A diszlexia hátterében a szokásostól eltérő információfeldolgozási mód azonosítható, amelynek
vannak előnyei és hátrányai. A fő jellemzője a problémának a holisztikus információ feldolgozás
erőssége és a módszeres feldolgozás lassabb kialakulása, instabilitása.
Ha a diszlexiás tanulóknak a problémájával foglalkozunk, lényeges szem előtt tartani, hogy a diszlexia
leggyakoribb eseteiben a problémát nem csupán a fonológiai nehézségek okozzák. Általános az
információ feldolgozásbeli eltérés, vagyis a probléma megjelenhet az írás-olvasás készségeken kívül
is, mint például a számolás.
A megfelelő matematika tanítási gyakorlatok segítik elkerülni a számolási nehézségek kialakulását és
így sikeressé tehetik a diszlexiás tanulókat, miközben minden más diáknak is legmegfelelőbb tanulási
lehetőséget biztosítják.
A következő részben a diszlexia és a diszkalkulia, vagyis a számolás és matematikai tények
tanulásának nehézségei, hasonlóságait és különbözőségeit elemezzük. A fogalmak tisztázása
irányítottabb, és így hatékonyabb beavatkozást tesz lehetővé.
Az ebben az útmutatóban közreadott tanítási és tanulási módszerek bizonyítottan hatékonyak, és az
inkluzív tanulás/tanítás megvalósításában jelentős szerepük van.
A diszlexiás diákokra specializált matematika tanítás
A diszlexiás diákok 40-60 %-ánál számolási zavarok is jelentkeznek. Nehéz az együtt járás arányát
megbecsülni, mert nagyon sok tekintetben az alkalmazott tanítási módszerektől is függ az
előfordulások gyakorisága. megfelelő eljárásokkal megelőzhető a diszkalkulia kialakulása még a
diszlexiás diákok esetében is.
A diszlexiás diákok sikeresek lehetnek bármely tantárgyban, ha a tanítás az idegrendszernek
legmegfelelőbb módszereket alkalmazza. Az agy a megfelelő ingerkörnyezetben hatékonyabban
működik. Ráadásul tanítás nélkül is folyamatosan tanul az agy, sőt, sokszor a tanulásnak a túl sok
tanítás az akadálya.
A tanulás szintjei és a diszlexiás diák
A valódi tanulás természetes folyamat, amely szabad explorációval kezdődik, és csak utána
következnek az iskolából ismert tanulási formák, végül a magasabb szintű feldolgozás.
Az emberi agy tehát háromféleképpen három szinten dolgozik, háromféle tanulási módon:
 Általános exploráció
 Lépésről lépésre történő feldolgozás, a szabályok megnevezése és használat
 Átfogó megértés
Az első szinten nincsen szükség szekvenciális feldolgozásra. Ez a szint csupán a tárggyal, témával való
ismerkedés. Ha a tanulás szabad kalandozással kezdődik, a tanuló kapcsolatba kerülhet az anyaggal,
anélkül, hogy helyes válaszokat kelljen adnia, vagy teljesítményt elérnie. Ez azt jelenti, hogy

8. 7
szorongás nélkül próbálgathatja magát, és kialakulhat az érdeklődés, amely majd segíti a tanulás
következő, megterhelőbb fázisában.
A diszlexiás agy kiváló az ilyen típusú tanulásra, mert kifejezetten a kalandozásra való. Ebben igazán
hatékony. Ezért ilyen tanulással indítani kész siker az atipikus fejlődésű diákok esetében. Ugyanakkor
mindenki számára előnyös, ha a tanuláshoz nem kapcsolódik szorongás.
A kihívás mindenki számára, de főképpen a diszlexiás tanulók számára, a második típusú tanulás,
amikor az ismereteknek a rendszerezése, módszeres feldolgozása és gyakorlása következik. Segít
ebben a fogalmak, szabályok tisztázása, és egyéb módszertani megoldások. Ez az a tanulási mód
ugyanis, amelyet a leginkább szükséges megfelelő tanítási módszerekkel facilitálni bármely tanuló
esetén, de főképpen az atipikus fejlődésű tanulók esetén.
Az útmutatóban ezt a folyamatot segítő hatékony módszereket és példákat adunk közre, ezzel
egyszerre segítve az atipikus és tipikus fejlődésű diákok tanulását. Ehhez hozzátartozik, hogy
folyamatosan szem előtt tartjuk, hogy a legjobb tanulás a szabad kalandozással indul, különösen az
atipikus fejlődésű tanulóknál.
A tanulás harmadik szintje és formája nem tanítható, inkább csak megalapozható. Az ismerteknek
egy saját fogalommá, saját rendszerré való alkotása a tanulás és információ feldolgozás legmagasabb
formája. Ehhez a belátásos gondolkodáshoz, holisztikus tudás alkotásához szükséges, hogy
meglegyen a szabad kalandozás során kialakult személyes tapasztalat, és a módszeres tanulás során
szerzett stabil szabályok és tudás.
A diszlexiás tanulóknak előnyös a harmadik tanulási szint is, mert a holisztikus feldolgozás az
erősségeik közé tartozik. Ez azt jelenti, hogy ha egy diszlexiás diák sikeresen túl van a második, a
tanulásnak középső szakaszán, a legmagasabb teljesítményekre is képessé bármely területen, így
matematikában is.
Számos matematikus gyenge számolási képességekkel ért el kiemelkedő eredményeket. Ilyen
például az IBM kutatója, a fraktál geometria kidolgozója, Benoit Mandelbrot.
A diszlexiás agy nem jobb vagy rosszabb mint másoké, csak jobban tud holisztikus helyzetben
működni, és kevésbé képes az ingerekhez adaptálódni, a rutinokat követni. Mindez jelenthet előnyt
is hátrányt is, tehát sajátosságnak tekinthető. Ahhoz, hogy a legtöbbet kihozhassuk ezekből a
diákokból, meg kell érteni a tanulásukat.
A diszlexia típusai és kapcsolata a diszkalkulia egy típusához
Bár a diszlexia és diszkalkulia kapcsolata már ismert, de a két problématerület hasonlóságai és
különbségek, valamint a találkozási pontjaik nem eléggé.
A diszlexia leggyakoribb formája az olvasási készség kialakulásának zavaraiban, majd a későbbiekben
még felnőtt korban is a helyesírási gyengeségben mutatkozik meg, miközben megfelelő tanulási
környezet esetén az olvasási készség kialakulhat. Több diszlexiás költő és író is bizonyítja (például az
ír költő, William Butler Yeats), hogy nem képtelenségről, csak tanulási zavarokról van szó, és egy
diszlexiás tanuló nagy könyvolvasóvá válhat.
Ugyanakkor van a diszlexiának egy ritka formája, amikor az egyén nem képes a betűknek a
hangokhoz kötésére. Ez a „mély diszlexia”, amelyet gyakran neveznek súlyos vagy fonológiai
diszlexiának. A fent említett enyhébb diszlexia, amely neurológiai eltérésen alapul, de a környezeti
hatások függvényében válik zavarrá, a „felszíni diszlexia”.

9. 8
A diszlexia típusa attól függ, hogy az olvasás tanulásnak melyik fázisában akad el a tanuló a
neurológiai eltérés miatt. Három fő fázisa van az olvasási készség fejlődésének (Frith, 1985):
(1) A logografikus szinten, ahogy a neve is jelzi, a szavakat képként jegyzi meg az agy. Még
nincsen betű-hang megfelelés, csak szimbólumként kezeli a gyerek a szavak képeit.
Mély/súlyos/fonológiai diszlexia estén ezen a szinte akad el az olvasásfejlődés, és a személy
nem tudja összekötni a betűket a beszédhangokkal, mert a fonológiai modul (Fodor, 1983),
amely erre képessé tenné, nem működik megfelelően. Ezek a tanulók nem tudnak álszavakat
elolvasni, csak azokat a szavakat, amelyeket az emlékezetükben megjegyeztek képekként.
(2) Az alfabetikus olvasási szinten a graféma-fonéma egyeztetés megjelenik. A tanuló már képes
bármely szót kibetűzni. A felszíni diszlexia esetén a betűk és a szavak egymásutánisága, a
hangok és betűk megkülönböztetése nem stabil. Bár a tanuló képes a betű-hang
megfeleltetésre, de az észlelés nem elég precíziós, a szavak képe változik, ezért a mentális
lexikonban nem tudnak megragadni. Így az olvasás megmarad a betűzésnél.
(3) Az ortografikai szinten a tanuló már bír megfelelő fonológiai tudatossággal és a szavak képe
a mentális lexikonban stabilan tárolódik. Ezért nem kell betűzni, az azonosított betűk alapján
kikeresi az agy a mentális lexikonból a szavakat.
Gyakorlati példa:
Attól függően tudja olvasni az alábbi szöveget valaki, hogy melyik olvasási szinten van.
Teszt szöveg:
Egy anlgaii etegyem ktuasátai szenirt nem szímát melyin serenrodbn vnanak a bteűk egy szbóan, az
etegyeln ftonos dloog, hogy az eslő és az ultosó bteuk a hölyeükn lneegyek. A tböbi bteu lheet tljees
össze-vabisszásagn, mgiés porbléma nlkéül oalvsahtó a szveög. Eennk oka, hogy nem ovalusnk el
mniedn btűut mgaát, hneam a szót eszgébéen.
 A fenti szöveget az tudja elolvasni, aki ortografikai szinten olvas
 Alfabetikus szinten betűzgetés és találgatás történik egy ilyen szöveg esetén
 Logografikus szinten, minthogy nem talál értelmes szóképeket, nem tud semmit sem tenni
ezzel a szöveggel.
A diszlexia előfordulása 15% körül van, míg a mély/súlyos/fonológiai diszlexia csak 3% körüli. A
gyakoriság becslése nagyon bizonytalan, mert különböző lehet a diszlexia megjelenése és súlyossága.
Számos kompenzációs technikával sokan megoldják az olvasás tanulását, és ilyenkor nem is derül
fény a diszlexiára.
A mély diszlexia könnyen azonosítható a fonológiai tudatosság hiánya vagy nagyon alacsony volta
miatt. Sajnos ebben az esetben a legjobb tanítási módszerekkel sem tud megtanulni valóban olvasni
az egyén. Lényegében szóképekként tudja összerakni a szövegből az értelmet. Az ő esetükben a
segítő technikáknak különösen nagy szerepe van az inkluzív tanulás támogatásában.

10. 9
A felszíni diszlexiával számolási zavar is együtt járhat. Ugyanazon idegrendszeri érési folyamatok
játszanak szerepet a sikeres számolási művelet végzés, mint az ortografikai szintű olvasás esetén. Ha
a matematika tanítása nem a diszlexiás agynak megfelelő, elég jó eséllyel kialakul a számolás zavara.
A diszkalkulia egyik formáját ugyanazon idegrendszeri eltérések okozzák, mint amelyek a felszíni
diszlexiát. Emellett azonban van a diszkalkuliának is mélyebb, súlyosabb formája, amelyet a
mennyiség és szám fogalom kialakulásának hiánya okoz, és más neurológiai zavarra vezethető vissza.
A diszkalkulia jellemzői
A diszkalkulia súlyosabb formájára az jellemző, hogy az egyén nem képes arra, hogy a mennyiségek
számokkal való összekötésére. A számfogalom hiánya miatt a számolási műveleteket sem tudja
megoldani. Alapvető zavarok mutatkoznak a számokkal kapcsolatos minden helyzetben:
 Számokat tartalmazó tények megtanulása (például dátumok) és megadása.
 Az idő megnevezése, idő betartása.
 Mennyiségek, árak, pénzösszegek megértése
Azonban a diszkalkulia sokkal gyakoribb formája, amely a diszlexiával azonos idegrendszeri alapon
jön létre, elkerülhető megfelelő tanítási módszerekkel. Ha a mennyiség és szám fogalom kialakult,
csupán a relációk, téri-irányok viszonyai, a részletek észlelésének instabilitása okozza a számolásban
a zavarokat. A következmény a gyenge számolási képesség, és emiatt a matematika terén való
lemaradás, ami sokszor további teher a diszlexiás tanuló számára.
A legjellemzőbb hibák, amelyet a diszlexiás tanulók elkövetnek a számolás során:
 számok, mennyiségek, matematikai jelek összekeverése
 műveletek összekeverése
 a szekvenciák, tér-irány viszonyok tévesztése
 matematikai fogalmak félreértése, összekeverése
 feladatok félreértése
Ha a tanulónak az alapvető mennyiség-szám fogalom megvan, a zavarok jól csökkenthetők
terápiákkal, de a legjobb megoldás a kezdetektől megfelelő tanítást adni, hogy a zavarok ne
alakuljanak ki. Az inkluzív megoldások erre is kiterjednek.
A tanulási zavarokkal járó kihívások
Minden tanuló más, és mindenkinek megvannak azok a jellemzői, amelyek segítenek a tanulásában,
és a leghatékonyabb tanítási mód erre épül. A különleges tanulók azért jelentenek nagyobb kihívást,
mert érzékenyebbek a tanulási környezetre. Így számukra a nem megfelelő tanítás nagyobb
nehézségeket okoz, mint a többi tanulónak.
A különleges tanulók tanítása a sokféleséggel való megküzdést jelenti, mert a különlegesség nem
homogén, eltérő gyökerei és megjelenési formái vannak. Nem csak a többségtől, hanem egymástól is
nagyon különböznek. Ezért a személyre szabott tanítás az esetükben nem lehetősége, hanem
szükséges eljárás.

11. 10
A gyenge oldalak
A következő területek lehetnek a számolás tanulása szempontjából problémásak:
 Téri-idői orientáció
 Continuity of counting
 Helyi érték megértése
 Mennyiségek megértése
 Számolási műveletek: összeadás, kivonás, szorzás, osztás
 Szöveges feladatok megoldása
 Matematikai-logikai szabályok megértése
 Számmemória
Ezeken a feladatokon keresztül megállapítható, hogy a tanuló:
• érti-e és képes-e használni a matematika nyelvét, és
• érti-e a matematikai jeleket.
A tanuló vizsgálatakor megállapítható, hogy
 megvan a stratégiája, de nem hatékony, vagy
 megvan a hatékony stratégiája, de még lassú bizonytalan, vagy
 megvan a stratégiája, és ez már automatikus, hatékony.
A vizsgálat
A számolási képességek többféle részképességre épülnek, ezért lényeges megállapítani nem csupán
a számolási képességek szintjét, hanem a részképességek meglétét is.
A számolási zavarok különbözőek attól függően, hogy melyik részképességben vannak gyengeségek.
Ezért a megfelelő ellátás, hasonlóan a diszlexiához, az egyén képesség szerkezetének felrajzolásával
kezdődik, amely nem csupán a zavarokat azonosítja, hanem az erős oldalakat is. A tanulásban
ugyanis a meglévő erősségekre tud építeni a tanuló, és a tanításnak is ezekre kell fókuszálni.
A diszkalkulia vizsgálatok általában a zavarok azonosítására irányulnak, ezért ezeket érdemes
kiegészíteni egyéb képességvizsgálatokkal. A kognitív profil tesztek a legalkalmasabbak erre,
minthogy teljes képet adnak a képességszerkezetről.
A profil vizsgálatok különösen lényegesek a diszlexiás tanulók esetében, mert a zavarok mellett jelzik
azokat a kompenzációs technikát is, amelyek adaptívak, és az ezekre épülő tanítás megelőzheti a
további zavarok, így például a diszkalkulia kialakulását.
A megfelelő tanítási módszerek leírása
A legjobb tanítási módszerek az információ feldolgozás minél több csatornáját is használják,
miközben a tanulás szintjeit is betartják. Így helyet adnak a szabad kalandozásnak,
próbálkozásoknak, ezután tiszta szabályokat adnak, és lehetőséget, időt a gyakorlásra, hogy a tudás
a biztos alapokról aztán magasabb szinteket is elérhessen.

12. 11
A matematika inkluzív tanításában két fő csoportja is van a hatékony segítségnek:
1. Percepciós alapú: vizuális és verbális segítség
2. Aktivitás alapú: tapasztalat és becslés
Vizuális és verbális segítség
A vizuális reprezentáció, vagyis a matematikai fogalmak belső képekben való megjelenítése az első
„agyi eszköz” a jó matematikához. Különösen a jobb agyféltekéjüket erősebben használó tanulók
számára jelent komoly támogatást a számolásban minden vizuális támogatás.
A matematika tanulásában a másik meghatározó elem a tiszta fogalmak használata. A zavarokat
sokszor az okozza, hogy a részletek és viszonyok tekintetében kevésbé kiélezett információ
feldolgozással a lényeges alapok homályosak maradnak. Ettől kezdve pedig bizonytalan talajra épül
minden további tanulás.
A matematika tanulásának nagyon fontos része a matematikai fogalmak tisztázása. A részletek és
viszonyok tekintetében hiányos fogalmak veszélyeztetik a megértést. Homályos fogalmakkal nem
lehet gondolkodni. A matematikai kifejezések, fogalmak és műveletek tanulásában a szavaknak nagy
jelentősége van. A matematika egy különlegesen tiszta nyelv, amelyet a mindennapokban használt
nyelvre le lehet fordítani. Ha pedig ez már megy, majd sikeres lesz a mindennapi helyzeteknek a
matematika nyelvére törtnő lefordítása is, ami a matematikai gondolkodás lényege.
A vizualitás és verbalitás összekötésével érhető el a legnagyobb haszon.
1. példa
A számegyesen segíti a számolást. Vizuális, és láthatóvá teszi egy nagyon fontos pont helyét: a
nulláét.
A számolás tanítása használhatja ezt a nagyon egyszerű eszközt. A matematikai érzék fejlesztésére
kiváló alap, segíti a számfogalom megértését, érzékelteti a számok szerepét.
A számegyenes ilyen használatával, anélkül, hogy a negatív számokról tanulnának a gyerekek a
matematika tanulásának kezdetén, személyre szabottabb lesz a tanítás. Sok kisdiáknak a
számfogalom megértését segíti ez a vizuális megjelentés, de lehetnek olyanok, akik a negatív
számokra tudnak már rácsodálkozni. Ha pedig lépcsőn is kipróbálhatják a gyerekek, hogy mit jelent a
pincébe és az emelet felé haladni, akkor a gyakorlati tapasztalatot is megkapták. A hőmérő ismét
majd azoknak a gyerekeknek tűnik fel, akiknek az érdeklődési köre erre is kiterjed.

13. 12
Az inkluzív tanítás lényege, hogy többet ad és kevesebbet vár el, mint a szokványos tanítás, amely
szűk sávban jelöli ki, hogy mit kell tudnia a tanulónak.
2. példa
A törtszámok tanulására rengeteg tapasztalat áll rendelkezésre, mégis sokszor zavaros a gyerekek
fejében. Ez azért van, mert a szavak értelmét nem hangsúlyozza eléggé a tanítás. Pedid a szavak
beszédesek:
A tört azt jelenti, hogy valamit egyforma darabokra törtünk. Mint egy csokoládé szeletet. Fontos,
hogy tudjuk, hány darabra törtünk egy egészet, tehát ezt meg kell neveznünk: úgy hívjuk hogy
nevező. Ez kerül a matematikai megjelenítés esetén alapként alulra a tört számban. Itt ez négy.
Utána megszámoljuk, hogy hány darabot veszünk a négy részre tört egészből. Ez a számláló. Itt a
példában ez három.
¾ =
A nevezőtől elválasztjuk egy vonallal a számlálót, és felülre írjuk.
Egy pizzára is lefordítható a tört, ami tehát azt jelenti, hogy valamit egyenlő
részekre osztunk, és megnevezzük hogy hány részre osztottuk, majd
megszámláljuk, hogy mennyit vettünk ezekből.
Minél többféle módon érdemes ugyanazokkal a kifejezésekkel kitisztítani a fogalmakat.
Logikus és érthető formában kell, hogy tanulják a diákok a matematika nyelvét:
1. A számláló van felül, hogy tudjuk, hány darabunk van.
2. A törtvonal a következő.
3. A nevező alul van, mert a tört úgy kezdődött, hogy a nevezőben meghatározott darabokra
törtük az egészet.
3. példa
LEGO darabokat bármely életkorban lehet használni a
számoláshoz, mint a vizuális megjelenítés, és a nyelvi
fogalomtisztázás eszköze. Íme példa a törtekkel való
műveletvégzés gyakorlásához:
Tapasztalat és becslés szavakhoz kötve
Az emberi agy a legjobban valódi, kézzelfogható tapasztalatokkal tud a legjobban dolgozni. A
matematika a mintázat megtalálása és leírása. A tanításnak támogatnia kell a tanulót ebben a

14. 13
folyamatban. A mintázat, az összefüggések megtalálása a matematika nyelvének használata a „józan
észen” alapul. Ezt támogatja minden tapasztalat és becslés, és ezek védenek a nagyobb hibák
elkövetésétől.
4. példa
A mértékegységek könnyebben megjegyezhetők, ha értelmezhető szavakhoz kötődnek:
 a „deka” azt jelenti, hogy tízszeres - 10x – egy nulla
 a „kiló” azt jelenti, hogy ezerszeres - 1000x – három nulla
A deka tehát tízszeres mértéket jelen, a kiló ezerszeres mértéket jelent.
A valós tapasztalat segíti a becslést is
A szavak a megjegyzést segítik, de tapasztalat nélkül csak lógnak a levegőben a kifejezések. A becslés
és tapasztalás ad gyökeret az ismereteknek.
A becslés a mintázat észlelése. A pontos részletek nélküli általános megközelítés a mennyiségek
megismerésének szöveges és vizuális összekötése lehet. A bevásárláskor sok mennyiségi tapasztalat
szerezhető, de még hasznosabb, ha ez konkrét mennyiségekkel mértékekhez köthető.
5. példa
1 kilogramm kenyér = 1000 gramm:
10 dekagramm vaj = 100 gramm:
A tanuló könnyen emlékszik, milyen mennyiségek ezek.
Egyéb segítő mértékeket is érdemes sok méréssel, tapasztalattal felépíteni. A legjobb eredmény
akkor várható, ha a tanuló a saját becslésre használt eszközeit találja meg.
A szöveges feladatok ebből a szempontból nagy jelentőségűek. Miközben gyakorolhatja a tanuló a
mindennapi helyzeteknek a matematika nyelvére történő lefordítását, konkrét tapasztalatokhoz is
kötheti: Fél kilogrammos kenyérre 20 dekagramm vajat kentünk. Milyen súlyos lesz az óriás
szendvicsünk?
Tanulási technikák és technológiák a diszlexiás tanulók inkluzív matematika
tanításában
Bármilyen eszköz jobb, mint elveszni a számolásban. Használhatók az
 ujjak
 analóg óra számlapja

15. 14
 vonalzó
 vagy bármely mindennapi tárgy.
Ezeken az egyszerű eszközökön kívül vannak ősi és új technológiák, amelyeket bárki használhat, és
jelentősen csökkentik a matematika tanulásában tapasztalható zavarokat a különleges tanulók
esetében, miközben minden diáknak segítik a matematika tanulását.
„Mindennapi eszközök” modell
A mindennapi eszközök módszer lényege, hogy bármi használható számolásra, matematika
tanulásra, ahogy már a fentebb bemutatott példák is mutatják. Ceruzák, pénz, gyufa számolása,
hitel, profit, vásárlási akciós ajánlatok, hőmérő és a kártyák a mindennapi élet természetes részei,
ahogyan a matematika is.
Miközben igen nehéz lehet számokkal műveleteket végezni egy munkafüzetbenigazi cél és eszközök
nélkül, ha a tanulónak zsebpénzben kell gondolkodnia, a matchbox-ainak kell parkolót csinálnia, vagy
egy kártyajátékban a pontokat számolni, akkor a számok barátokká, segítőkké válnak.
Az eszközök annál hatékonyabbak, minél inkább a tanuló érdeklődésének körébe tartoznak. Egy
sütemény receptje nem mozgatja meg mindenkinek a fantáziáját, ahogyan a zsebpénz sem
feltétlenül releváns példa minden esetben.
Vannak régi és felújított megoldások, valamint a 21. századi technika is rendelkezésünkre áll már az
inkluzív matematika tanításhoz.
Sakk
A sakktábla kiváló eszköz a számolás megsegítésére. Vizualizálja az első 64 számot. Jól használható a
szorzótábla megtanulására is, minthogy a betűknek számértékük is van (a=1, b=2, etc.).
Mi több, a bábuknak is van értéke, így a sakk az alapszámolási műveletektől kezdve használható a
tanításban. Mint a vizuális megjelenítésre nagyon alkalmas terep, a sakk a magasabb matematikai
fogalmak megtanulásakor is rendelkezésre áll (koordináta rendszer, stb.).
Polgar Judit, a kiváló sakkbajnok komplex oktatási módszert dolgozott ki a sakkra. A gyerekek nem
csupán számolni, de olvasni és írni a sakkon keresztül tanulnak, használva annak az eszközeit és
szabályait.

16. 15
Lásd a Sakkpalotával kapcsolatban:
http://sakkpalota.hu
Video a Sakkpalota módszerről:
https://www.youtube.com/watch?v=gOauXH_flIQ
Kerettantervként is elfogadott módszer a Sakkpalota:
http://sakkpalota.hu/index.php/hu/iskolaknak/nat-kerettanterv
Számos előnye van a sakkal történő tanításnak:
https://www.slideshare.net/gyarme/sakk-az-oktatsban-39532198
Szorobán
A szorobán több, mint 450 éves kínai-japán eszköz, amely
még mosta számítógépek világában is aktív része a
mindennapi életnek és a tanításnak. A hatékonyságát jelzi,
hogy bár a második világháború után a szorobán tanítás
megszűnt Japánban, de csak ideiglenesen, mert a
vizsgálatok szerint1
a gyerekek matematika teljesítménye
romlott a szorobán nélküli időszakban.
A szorobán könnyűvé teszi a számolás gyakorlatát, a számok reprezentációja valamint a műveletek
végzése jól átlátható, és a folyamat mozdulatokhoz kötött tevékenység. A szorobán használata
különösen hasznos a számolási képesség megalapozásakor. Egyszerre épít a mozgás és látás
rendszerre, a tanul aktív, a figyelmét így könnyebben tudja a feladaton tartani. Elegendő gyakorlat
birtokában a tanulók elhagyhatják az eszközt, mert már képessé válnak gondolatban is elvégezni a
számolási műveletekhez tartozó mozdulatokat.
A szorobán lehetőséget ad egy eltérő számolási technikára. A különböző műveletek és a műveletek
között kapcsolatok jól megfigyelhetők a használata során, vagyis tudatos, értő szinten is segítheti a
számolást. Lényeges segítséget jelent minden számolást tanuló diáknak, de különösen az atipikus
fejlődés esetén jellemző eltérő információ feldolgozás miatt az iskolában tanulási zavarokkal küzdő
gyerekek tanításában hasznos technika.
Technológiai eszközök
A technológia belépett a mindennapokba, és megváltoztatta a mindennapi életet, és a kisgyerekek
fejlődését is. Természetes részévé vált a háztartásoknak, és a tanításba is hatalmas lehetőségeket
hozhat. A technológia által kifejlesztett gépek, komputerek és mobil eszközök jó megoldások
lehetnek a tanulási zavarok kialakulásának megelőzésére, hiszen az információk feldolgozás eltérő
módjaihoz minden más eszköznél szélesebb alkalmazkodási lehetőségeket hordoz.
A számolási zavarokkal küzdő diákok például hatékonyabbak tudnak lenni a matematika
tanulásában, mert a technika leveszi a vállukról az alap számolási műveletek végzését. Már az
1
David Shwalb, Shuji Sugie, Chongming Yang (2004)

17. 16
egyszerű számológépek használata is elég segítség lehet. A számoláshoz azonban kevés a műveletek
végzése, a diákoknak meg kell tanulniuk a matematika nyelvét, és képesnek lenniük a mindennapi
élethelyzeteket matematikai formában megjeleníteni. Ehhez a józan ész mindenképpen szükséges,
és hogy ne tévedjen nagyot a gépet használó ember, fontos a becslés képessége.
A segítő technikák jelentős támogatást jelentenek a számolási zavar miatt egyébként hátrányt
szenvedők életében is, nem csupán, mint tanulási eszközök jelentősek.
Számológépek
A technikai eszközök, mint például a számológép, mindenki számára megkönnyítik az életet, és a
hatékonyság érdekében célszerű is használni őket. A számológépek mindenhol ott vannak velünk, a
számítógépen, mobil eszközökben, telefonokban, még a karórákban is, nem csupán különálló
eszközökként elérhetők. Néhány gombnyomással gyorsan lehet összetett számolási műveleteket
végezni, némely eszköz és program másodfokú egyenleteket is megold.
Bárki mester lehet a mindennapi számolásban, ha technikai eszközt használ, de ez nem jelenti azt,
hogy a gondolkodást lehet helyettesíteni a gombnyomásos számolással.
Programok, applikációk
Rengeteg hasznos program és applikáció érhető el a matematika tanulásához vizualizációt és
matematikai problémák megoldásához. A technikai eszközök mára már minden képzeletet
meghaladó lehetőségeket biztosítanak.
Háromféle módon segíthetik a tanulást ezek a technikák:
1. vizuális megjelenítés és mozgatás lehetőségét adó programok
2. a matematika gyakorlását megkönnyítő játékosított programok
3. matematikai feladatokat megoldó programok
Magyarul is vannak kiváló weboldalak és applikációk, de minthogy a matematika nemzetközi, így
egyéb nyelven készült oldalak is rendelkezésünkre állnak.
Képek és vizuális segítségek
A mozgó képek a mozdulatok és műveletekkel létrejövő változások megjelenítésére is alkalmasak, és
így a szokásos statikus képi segítségekhez képest nagyobb segítséget jelentenek a matematika
fogalmak vizualitáson keresztül történő megértéséhez.

18. 17
Giphy: http://giphy.com/gifs/cute-kids-family-ATfzy53tX2DFS
Mozgó matematikai képeket lehet keresni a weboldalon. A képek letölthetők és beilleszthetők saját
vetített vagy online tananyagokba, de magukban is használhatók. Jó lehetőség otthoni saját
tananyag készítéséhez.
Teach with Fergy http://www.teachwithfergy.com/21-gifs-that-explain-mathematical-concepts
A blog szintén kiváló matematikai gif forrás.
Mathwarehouse: http://www.mathwarehouse.com
Sokféle tanítási segítséget kínál, beleértve letölthető képeket is.
GeoGebra a vizuális
GeoGebra egy interaktív program és applikáció, amely a matemtaika és a természettudományok
tanulását és tanítását hivatott támogatni az alapfokútól a felsőfokú oktatásig minden szinten.
Geometria, algebra, statisztika és a számolás is támogatást kaphat a Geogebra segítségével.
A GeoGebra elérhető HTML5 alapú web applikációként, akár Windows, Mac OS és Linux
formátumban, valamint a tablet applikációival Android és iPad mobil eszközökre is van Geogebra.
Matematika feladatokra konvertált mindennapi élethelyzetek és a technológia
A diákok egyik jelenleg legkevésbé működő tudása a matematika nyelvének ismerete, vagyis
lefordítani a mindennapi életben előforduló helyzeteket a matematika nyelvére, illetve visszafelé,
matematikai feladatokat valódi élethelyzetekben előforduló feladatokká konvertálni.
Get the Math: http://www.thirteen.org/get-the-math – A matematika mindenhol ott van. Ezt
mutatja be ez az oldal.
A matematika elvont feladatai könnyebben épülnek fel a diákokban matematikai gondolkodássá, ha
eleinte valós élethelyzetekben kell megoldani a példákat. Itt egy ilyen helyzet:
Matematika feladat az iskolában: A (-1, 0), B
(5, 0), C (1, 4) egy háromszög csúcsainak
koordinátái. Írd le a háromszög köré
rajzolható kör egyenletét.
Valódi élethelyzeti feladattá konvertálva: Van
három pont: A (-1, 0), B (5, 0), C (1, 4). Ezek a
pontok egy kertben álló három fa
koordinátái. A tulajdonosnak van egy
kecskéje. Hova kellene kikötni a kecskét,
hogy a fákat körülvevő körben tudja lelegelni
a füvet?

19. 18
A fenti ábra mutatja a háromszög körüli kör középpontját. Az ábra GeoGebra segítségével készült. A
program lehetőséget ad arra, hogy az egyenleteket vizuálissá lehessen tenni a tanulók számára, sőt,
a program mutatja a lépéseket is, vagyis a folyamat is vizuális.
A jó matematika tudás gyakorlatot kíván
Aktívan, vizuálisan és tapasztalatszerzéssel gyorsan felépíthetők a képességek. Ez azonban nem elég.
A matematika trükkös tantárgy, mert sokszor éppen a legokosabb diákok nem tudnak elég jó
eredményeket elérni. Ez azért van, mert a matematikát jó felfogóképességgel könnyen meg lehet
érteni, de ez nem elég. A készség szint eléréshez nagyon sok gyakorlásra van szükség, hogy ne maga
a matematikai műveletek és fogalmak kössék le az agyat, amikor matematikai feladatok megoldására
kerül a sor, hanem ezek már eszközként rendelkezésre álljanak a problémamegoldáshoz.
Rengeteg matematikai játék létezik, amelyek gyakorlással segítik a tanulókat a matematikai fogalmak
felépítésében és elmélyítésében. A játékosítás kiváló módja a diákoknak a kemény munkába
vonására. A megfelelően gamifikált környezet befogja a tanuló figyelmét, azonnali visszajelzéseket és
optimális kihívást biztosít. Viszonylag kevés jól játékosított magyar nyelvű oldal van. Amik elérhetők,
még nem közelítik meg a nemzetközi terepen megjelenő játékosítást, de vannak jó
kezdeményezések:
Interaktív matematika feladatok: https://tothlaszlone.wordpress.com
És még néhány igazán jó példa:
Math Playground http://www.mathplayground.com
A játékosított matematikai feladatok témánként szisztematikusan elrendezett széles tárházát kínálja.
Math Is Fun: https://www.mathsisfun.com
Matematikai feladatmegoldók
A matematikai feladat megoldó programok és applikációk hasznosak a feladatok megoldásának
ellenőrzésére vagy rögtön a megoldására is.
Cymath: http://www.cymath.com egyszerű matematika feladatmegoldó oldal.
Mathwarehous: http://www.mathwarehouse.com Egy minden matematika feladatot megoldó
program az alap számolási műveletektől a trigonometrián keresztül a valószínűség számításig bármit
kiszámol.
Wolframalpha. http://www.wolframalpha.com Egy online platform, ahol már egy minimális
informatikai tudással is bevihetők matematikai kérdések, amelyeknek megoldásában aztán segít a
program. Az oldal előnye, hogy különböző utakon is mutatja a megoldási folyamatot, és még nagyon
sok egyéb opció elérhető.
Photomath https://photomath.net Minden diák álma: a mobil eszköz kameráján keresztül ráállítható
a matematikai feladatra, és máris megadja a megoldást, sőt, bonyolultabb feladatoknál akár a
levezetést is. A könnyű út mellett tehát könnyen és egyszerűen segítheti a tanulót a matematikai

20. 19
problémák megoldásának elsajátításában is. Amúgy pedig diszkalkuliás felhasználóknak hatalmas
lehetőség a számokkal való egész életen át tartó küzdelemben is.
Tanárblog: http://tanarblog.hu/cimke/matematika?page=1 Még több lehetőséget kínál. A technikák
nem csoportosítva, de megtalálhatók a fentieknek megfelelő programok, applikációk a hatalmas
gyűjteményben.
Gondolkodás és számolás
„Ha igazán nagyot akarsz tévedni, használjál gépet”
A számológép és bármely matematika feladat megoldó csoda használata nem elég a matematikai
gondolkodáshoz, de segíthetik a matematikai gondolkodás kifejlesztését. A gépekkel sem kerülhető
el annak a képességnek a megszerzése, hogy a mintázatot lássa, és a mindennapi helyzeteket
matematikai fogalmakkal meg tudja ragadni az ember. A becslés és a becslés valamint a józan ész
használatával a számítások ellenőrzése nem kerülhető el, ha biztosra akar menni valaki.
A gépekkel történő munkavégzés nem jelenti a kontroll átadását is. A folyamatokat és az
eredményeket az embernek felügyelni, igazolni és általában is ellenőrzése alatt kell tartania, akár
gépi, akár emberi agy munkájáról van szó.
Videók
Példák a matematika vizulizálására: https://www.youtube.com/watch?v=y1XXdCm_GEE
A ritmusos mozgások segítik a memorizálást. Egy példa a mozdulatok használatára a szorzótábla
tanulásakor: https://www.youtube.com/watch?v=fyXmdioamy4
Bevezetés a szorobán használatába: https://www.youtube.com/watch?v=0tkOYI-6IRM
Gyors számolás szorobánnal: https://www.youtube.com/watch?v=Oq9LTY5cnSI
Egy magyar példa: https://www.youtube.com/watch?v=0QCunK1kHSA
Matanda – korongok másképpen https://www.youtube.com/watch?v=wuCXBffAFws
Geogebra és egyéb technikák: https://kobak.org/geogebra
Példa a Geogebra használatára: https://www.youtube.com/watch?v=FPdJ8LYqNDo -
Szakirodalmi források
 Butterworth, B. (2003). Dyscalculia Screener. London: Nelson Publishing Company Ltd.
 Davis, Oliver S.P. et al (2014) The correlation between reading and mathematics ability at
age twelve has a substantial genetic component. Nature Communications, DOI:
10.1038/ncomms5204

21. 20
 Esther M Slot, Sietske van Viersen, Elise H de Bree, Evelyn H Kroesbergen (2016) Shared and
Unique Risk Factors Underlying Mathematical Disability and Reading and Spelling Disability.
Front Psychol 10;7:803. Epub 2016 Jun 10.
 Frith, U. (1985) Beneath the Surface Dyslexia. London, Erlbaum.
 Gyarmathy E (2012) Diszlexia a digitális korszakban. (Dyslexia in the digital age) Műszaki
Könyvkiadó, Budapest.
 Kershner, J. R. (2016) Network dynamics in dyslexia: Review and implications for
remediation. Research in Developmental Disabilities 59 (2016) 24–34
 http://www.literacyportal.eu
 David Shwalb, Shuji Sugie, Chongming Yang (2004) Motivation for abacus studies and school
mathematics. A Longitudinal Study of Japanese 3rd–6th Graders. In Eds. David W. Shwalb,
Jun Nakazawa, Barbara J. Shwalb Applied developmental psychology: Theory, practice, and
research from Japan. 109-136.
Inclusion in Europe through Knowledge and Technology
Project no: KA201-2015-012
This project is funded with support from the European Commission. This course Handbook
reflects the views of the research partners and the Commission cannot be held responsible
for the information contained herein.