Prezentarea vectorilor

2. SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER
Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice
pereche ordonata (A, B)
Vom folosi notatia pentru acest segment,carui
reprezentare grafica este data în fig. 1.
Punctul A se va numi originea segmentului
orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca
puntele A si B sunt diferite atunci acestea
determina în mod unic o
dreapta care se numeste dreapta suport a
segmentului orientat.
Daca C = D atunci convenim sa numim
segmentul orientat (C, D) = = =
segment orientat nul. Este evident ca un
segment orientat nul nu determina în mod unic
o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem
ca orice dreapta care trece prin punctul C este o
dreapta suport a segmentului

3. ∆
O
Aa

VECTORI
DeDefiniţiefiniţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.
Caracteristicile unui vectorCaracteristicile unui vector:
- dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului;
- punctul de aplicaţie (O);
- sensul vectorului ( de la O câtre A );
- valoarea numerică sau modulul vectorului dată de
lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură.
Modulul vectorului se notează sau simplu
∆
OA
a

a

4. EGALITATEA VECTORILOR
Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport
paralele, acelaşi sens şi module egale.
a

b


5. Vectorii se pot compune folosind :
Metode geometrice
Metoda analitică

6. A) Metodele geometrice sunt :
 Regula paralelogramului
 Regula triungiului
 Regula poligonului

7. REGULA PARALELOGRAMULUI
Regula paralelogramului este cea mai cunoscută
metodă de compunere a doi vectori concurenţi.
A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi
modulul şi orientarea vectorului rezultant : c = a + b .

8. a
b
a
b
Regula paralelogramului are următoarele etape :
1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii a şi b până
au origine comună
. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :
- prin vârful lui a se duce paralelă la b
- prin vârful lui b se duce paralelă la a
3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă
prin originea vectorilor )
c

9. Vectorul sumă c are următoarele caracteristici :
- originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ;
- direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului;
- sensul dat de săgeată ;
- modulul egal cu lungimea diagonalei
paralelogramului.

10. Caz particularCei doi vectori au direcţii perpendiculare
În acest caz paralelogramul devine un dreptunghi şi
putem calcula modulul c aplicând teorema lui
Pitagora.
a
b
c² = a² + b²
ca
b

11. COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR
DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi
compunerea lor, are drept rezultat un vectorun vector numit suma lor.
REGULA
PARALELOGRAMULUI
REGULA
TRIUNGHIULUI
α
a

b

α
a

b


12. REGULA TRIUNGHIULUI
Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.
Regula triunghiului are următoarele etape:
1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în vârful celuilalt
vector ( a )
2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine vectorul sumă
c
a
b
a
b
c

13. Cazuri particulare
a) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare
Se poate calcula modulul c cu terema lui Pitagora
a
b
a
b
c
c² = a² + b²

14. b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi
acelaşi sens)
Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.
a b a b
c = a + b
c

15. c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse
Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.
a ab
bc
c = a - b

16. REGULA POLIGONULUI
Regula poligonului este folosită pentru a aduna 3 sau
mai mulţi vectori.
Etapele sunt :
1. Se translatează vectorul b cu originea în vârful
vectorului a , apoi se translatează vectorul c cu
originea în vârful vectorului b şi mai departe
2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu
vârful ultimului vector

17. a
a
b b
c c
s

18. 1a
 2a

3a

12a
 23a
s

REGULA POLIGONULUI
231312321 aaaaaaas

+=+=++=
CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE
PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞI
ASOCIATIVITATE

19. SCĂDEREA VECTORILOR
a

b

α
bac

−=
a

b

α
abd

−=
cd

−=
Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă

20. B) Metoda analitică
Metoda anlitică este folosită pentru a aduna doi sau
mai mulţi vectori.
Etapele metodei sunt :
1. Se alege un sistem de două axe de coordonate xoy
2. Se proiectează vectorii pe axe şi se calculează
componentele lor (folosind funcţiile trigonometrice
)

21. 3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe
cele două axe (sumă algebrică).
Proiecţiile din sensul pozitiv al axei se iau cu semnul
“+”,celălalte se iau cu semnul “-”.
4. Se calculează modulul vectorului rezultant cu relaţia :
R =
R² + R²

22. F1
F2
y
x
F1y
F1x
F2X
F2y
α
β
RX = F2X – F1X
y
x
RX
RY = F1Y – F2Y
RY
R = R²X + R²Y
R

23. ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR
0;kakb >⋅= ;

a
O
O
a
O
O
b

ab

↑↑
0;kakb <⋅= ;

ab

↑↓
b

Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are:
- Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial;
- Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv;
sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ;
- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.

24. PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI
Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul
modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.
α
a

b

αcosabbap =⋅=

Observaţie:
Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.
Produsul scalar prezintă proprietatea de comutativitate:
αcosababba =⋅=⋅


25. PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI
α
a

b
bac

×=
Rezultatul produsului vectorial a doi vectori
este tot un vector ce are caracteristicile:
-Direcţia perpendiculară pe planul determinat
de cei doi vectori;
- Sensul dat de regula burghiului: “ se pune burghiul perpendicular pe
planul determinat de cei doi vectori şi de roteşte pentru a suprapune
primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de
înaintare al burghiului este şi sensul vectorului produs vectorial”;
- Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor
celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.
αsinabc =
Observaţie:
Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.
Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate.
( )abba

×−=×

26. w

a

a
a
w


=
;waa

⋅=
7=a unităţi wa

7=⇒
VERSORUL UNUI VECTOR
Versorul (vectorul unitar) al unui vector a

are direcţia şi sensul
vectorului a

, iar modulul egal cu unitatea.

27. VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI
α
a

b

bac

+=
2
0cos ccccc o
=⋅⋅=⋅

( ) ( ) bbabbaaababa

⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+
22
cos2 bababbabbaaa ++=⋅+⋅+⋅+⋅ α

222
cos2 babac ++= α

28. CAZURI PARTICULARE
a

b

c

1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:
bababac +=++=⇒= 22
20α

29. a

b

α
bad

−=
VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI
bad

−=
2
0cos ddddd o
=⋅⋅=⋅

( ) ( ) bbabbaaababa

⋅+⋅−⋅−⋅=−⋅−
22
cos2 bababbabbaaa +−=⋅+⋅−⋅−⋅ α

222
cos2 babad +−= α

30. COMPONENTA ŞI PROIECŢIA UNUI VECTOR PE O AXĂ
O x
A B
α
v

xv

M
( ) ABAMx ll === αα coscosvv ixx

⋅= vv
Oxaxapevivectorulucomponentareprezintă-v

x
şi este un vector
-vx
şi este un număr real
reprezintă proiecţia vectorului v

pe axa Ox

31. O x
AB
α
a

xa

θ
M
( ) ( ) ABAMAMx lll −=−=== θαα coscoscosaa
( ) ili ABxx

⋅−=⋅= aa
Oxaxapeaivectorulucomponentareprezintă-a

x
şi este un vector
-ax
şi este un număr real
reprezintă proiecţia vectorului a

pe axa Ox