EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FACTORIZACION, PRODUCTO NOTABLE

2. Es una operación que
tiene como objeto reunir
dos o mas expresiones
algebraicas (sumandos)
en una sola expresión
algebraica (suma) así la
suma de a y b es a + b
porque esta ultima
expresión es la reunión de
las dos expresiones
algebraicas dadas: a y b
SUMA RESTA
Es una operación que tiene
por objeto, dada una suma
de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos
(sustraendo) halar el otro
sumando (resta o
diferencia) si a (minuendo)
queremos restar b
(sustraendo), la diferencia
será a – b.
El valor numérico de una
expresión algebraica es el
resultado final que se
obtiene al sustituir los
valores de todas las
incógnitas que aparecen en
la expresión que nos interesa
evaluar y de realizar todas
las operaciones indicadas
respetando el orden indicado
por los signos de agrupación.

3. Suma de polinomio:
• a – b, 2a + 3b – c y -4a + 5b
Solución:
(a-b)+(2a+3b-c)+(-4a+5b)
a - b
2a + 3b - c
-4a + 5b
-a + 7b - c
Suma por valor numérico:
• 8a – 3b + 5c – d, -2b + c – 4d y -3a + 5b - c
(probar el resultado por el valor numérico para a=1, b=2, c=3 y
d=4
Solución:
8a – 3b + 5c – d = 8*1 .– 3*2 + 5*3 .– 4 = 8 – 6 + 15 – 4 = 13
– 2b + c – 4d = . – 2*2 + 3 . – 4*4 = – 4 + 3 – 16 = -17
3a + 5b – c = –3*1.+ 5*2 – 3 .= – 3 +10 – 3 = 4
5a + 5c - 5d 5*1 + 5*3 – 5*4 . 5 + 15 – 20 = 0
La suma de los valores numéricos de los sumandos 13-17+4=0,
igual que el valor numérico que también es cero.

4. RESTA de
polinomio:
4x – 3y + z
restar 2x + 5z - 6
Solución:
(4x – 3y + z) – (2x +5z - 6)
4x – 3y + z
2x +5z – 6
2x – 3y – 4z – 6
RESTA por valor numérico:
• Restar -8 a2x + 6 – 5a x2 - x3 de 7a3 + 8a2 x + 7ax2 – 4
(probar el resultado por el valor numérico para a=1, x=2
Solución:
7a x2 + 8a2 x + 7a3 – 4 ,= 7*1(2)2 + 8*(1)2 *2 + 7(1)3 – 4 =
x3 + 5a x2 + 8a2 x – 6 = 23 + 5*1(2) 2 + 8*(1)2*2 – 6 =
28 + 16 + 7 – 4 = 47
8 + 20 + 16 – 6 = 38

5. • Ley conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
El producto ab se puede escribir ba
• Ley asociativa: Los factores de un producto pueden agruparse de
cualquier modo. Ejemplo: abcd = a x (bcd) = (ab) x (cd) = (abc ) x d
• Ley de los Coeficientes: el coeficiente del producto de dos
factores es el producto de los coeficientes de los factores.
3a x 4b = 12ab
• Ley de los signos: (+ por + da +) (- por – da +) (+ por – da -) (- por + da -)
• Ley de los exponentes:potencias de igual base se suma el exponente.
a4 x a3 x a2= a 4+3 +2 = a 9
Es una operación que tiene
por objeto, dadas dos
cantidades llamadas
multiplicando y
multiplicador, hallar una
tercera cantidad, llamada
producto, que sea respecto
del multiplicando, en valor
absoluto y signo, lo que el
multiplicador es respecto
de la unidad positiva.
MULTIPLICACIÓN
El multiplicando y el multiplicador son llamados
factores del producto.

6. P(x)= 2x2+5x-6
Q(x)= 3x2-6x+3
P(x).Q(x)= (2x2+5x-6).(3x2-6x+3)=
(2x2) .(3x2-6x+3)+(5x) .(3x2-6x+3)-6.(3x2-6x+3)=
6x4-12x3+6x2+15x3-30x2+15x-18x2+36x-18=
6x4-12x3+15x3+6x2-30x2-18x2+15x+36x-18=
6x4+ 3x3-42x2+51x-18
También podemos resolverlo de manera vertical:
2x2 + 5x - 6
3x2 - 6x + 3
+6x2+15x-18
-12x3-30x2+36x
6x4+15x3-18x2
6x4+ 3x3-42x2+51x-18

7. Siendo
L(x)= 5x3+6x2+2x+1 y
O(x)=+2x3-2x2+x-2.
Calcula el producto de L(x). O(x).
L(x).O(x)= (5x3+6x2+2x+1).(2x3-2x2+x-2)=
(5x3).(2x3-2x2+x-2)+(6x2).(2x3-2x2+x-2)+(2x).(2x3-2x2+x-2)+(1).(2x3-2x2+x-2)=
10x6-10x5+5x4-10x3+12x5-12x4+6x3-12x2+4x4-4x3+2x2-4x+2x3-2x2+x-2=
10x6+2x5-3x4 -6x3-12x2 -3x-2=
5x3+6x2+2x+1
2x3-2x2+ x-2
-10x3-12x2-4x-2
5x4+6x3+2x2+1x
-10x5-12x4-4x3-2x2
10x6+12x5+4x4+2x3
10x6+ 2x5- 3x4- 6x312x2-3x-2

8. Es una operación que tiene
por objeto, dado el
producto de dos factores
(dividendos) y uno de los
factores (divisor), hallar el
otro factor (cociente)
De esta definición se deduce que el
cociente multiplicado por el divisor
reproduce el dividendo.
Ley de los coeficientes: el coeficiente del cociente
es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo
entre el coeficiente del divisor.
Ley de los Exponentes: para dividir
potencia de la misma base y se le pone de
exponente la diferencia entre el exponente
del dividendo y el exponente del divisor.
Ley de los signos: la ley de los
signos en la división es la misma
que en la división.
Signos iguales dan + y signos
diferentes dan -

9. Dividir: x12+x6y6–x8y4–x2y10
entre x8+x6y2–x4y4–x2y6
Al ordenar el dividendo tenemos:
x12–x8y4+x6y6–x2y10
Aquí podemos observar que faltan los términos en x10y2 y
en x4y8 ;dejaremos pues un espacio entre x12 y –x8y4
para el termino en x10y2 y otro espacio entre
–x6y6 y –x2y8 y tendremos:
x12 – x8y4 + x6y6 –x2y10 x8+x6y2–x4y4–x2y6
–x12– x10y2 + x8y4 + x6y6 x4–x2y2+y4
– x10y2 + 2x6y6
x10y2 + x8y4 – x6y6 – x4y8
x8y4 + x6y6 – x4y8 – x2y10
–x8y4 – x6y6 + x4y8 + x2y10

10. Dividir: 8x4 +3x2 –x entre ( x-
𝟏
𝟐
)
Utilizando método de Ruffini
8x4 + 0x3 + 3x2 – x + 0 : ( x-
𝟏
𝟐
)
8 0 3 -1 0
1/2 4 2 5/2 3/4
8 4 5 3/2 3/4
Respuesta: G(x)8x3+4x2+5x+
3
2
R(X)=
3
4

11. Si una expresion algebraica
es escrita como un producto
de otras expresiones
algebraicas, entonces cada
una de estas expresiones es
un factor. Se llama
factorizacion al proceso de
convertir un expresion
algebraica al producto de
sus factores
A2-B2= (A+B)(A-B) Diferencia de Cuadrados
A2+2AB+B2=(A+B)2 Cuadrado Perfecto
A2-2AB+B2=(A+B)2 Cuadrado Perfecto
A3- B3= (A - B) (A2+AB+B2) Diferencia de Cubo
A3+B3= (A + B) (A2 – AB + B2) Diferencia de Cubo
An-Bn= (A-B) (An-1+An-2B+An-3B2+…+ABn-2+Bn-1) Diferencia de n-simas potencias

12. Ordenamos :40x2 + 25x4 + 16: 25x4 + 40x2 +16
raíz cuadrada de 25x4 . . . . . . . . . 5x2
raíz cuadrada de 16………………. 4
Doble producto de las raíces: 2(5x2) (4) = 40x2 = segundo termino
En consecuencia
25x4 + 40x2 +16 = ( 5x2 + 4)2
Factorizar: a. 40x2 + 25x4 + 16
solución:
Para aplicar la formula 2 o 3, antes debemos verificar que el
trinomio dado es un cuadrado perfecto. En primer lugar se ordena
el trinomio de acuerdo al grado de la variable. Ahora:
1- se verifica que el primer y tercer termino tienen raíz cuadrada
2- se verifica que el segundo termino es igual al doble del
producto de las raíces cuadradas

13. a)
y2
4
+ 9x2 - 3xy
Ordenamos: 9x2 - 3xy +
y2
4
Raíz cuadrada de 9x2 ……..3x
Raíz cuadrada de
y2
4
…….
y
2
Doble producto de las raíces, con signo negativo: -2(3x)(
y
2
) =-3xy =
segundo termino.
En consecuencia 9x2 - 3xy +
y2
4
= ( 3x -
y2
2
)2
b) Diferencia de n- ésimas potencias
Factorizar: 2x5 – 64a5
Solución: de acuerdo a la formula 6
2(x5 – 32a5 ) = 2 (x5 - (2a) 5 ) = 2( x -2a) (x4 + x3 (2a) + x2 (2a)2 + x(2 a)3 + (2a)4 )
= 2( x -2a) (x4 + 2ax3 +4 a2x2 +8ª3 x + 16 a4)

14. Producto de
suma por
diferencia.
Cuadrado de
una suma.
Cuadrado de
una diferencia.
Cubo de una
suma.
PRODUCTO
NOTABLE
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2
Los productos
notables son
productos que
cumplen reglas fijas y
cuyo resultado puede
ser escrito por simple
inspección, es decir,
sin verificar la
multiplicación. Estas
operaciones son
fáciles de recordar sin
necesidad de efectuar
la multiplicación
correspondiente
(A+B)(A-B) = A4 - B4
(A-B)2 = A2 - 2AB +B2
(A+B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3
(A-B)3 = A3 - 3A2B +3AB2 - B3
Cubo de una
diferencia

15. (2X3 + 𝟓) (2X3 - 𝟓)=(2X3)2 – ( 𝟓)2 =
4X4-5
(4a2 -
3
𝑏
)2 = (4a2)2 – 2(4a2) 3
𝑏
+ 3
𝑏
2 =
16a4 -
24𝑎2
𝑏
+
9
𝑏2
(4x2 – 3y) =
(4x2)3 – 3 (4x2)2 (3y) + 3 (4x2) (3y)2 – (3y)3
CUBO DE UNA
DIFERENCIA

16.  Baldor, A. (1983). Álgebra de Baldor (2 ed.). México: Publicaciones Cultural, S.A. Décima
tercera reimpresión (1995)
 https://www.todamateria.com/productos-
notables/#:~:text=Los%20productos%20notables%20son%20productos,decir%2C%20sin%20
verificar%20la%20multiplicaci%C3%B3n.
 Jorge Sáenz, (2007). Calculo Diferencial para Administración y Economía (2 ed.).
Venezuela: Inversora Hipotenusa.