Tugas pengolahan sinal digital membahas rancangan filter LPF analog Butterworth dan transformasi ke fungsi alih digital menggunakan metode bilinear. Pertama, ditentukan orde filter, fungsi alih analog, dan frekuensi cut-off berdasarkan spesifikasi filter. Kedua, dilakukan prewarping dan transformasi bilinear untuk mendapatkan fungsi alih digital filter IIR LPF.

1. NAMA : DIKA FAUZIA
NPM : 1215031022
TUGAS PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL
Soal Latihan BAB 4
1. Rancang filter LPF analog Butterworth jika diketahui :
 Frekuensi cut-off -3 dB pada frekuensi 20 rad/sec
 Daerah redaman pada -30 dB sekitar daerah frekuensi 30 rad/sec
 Tentukan orde filter dan fungsi alih H(s)
Penyelesaian:
Diketahui :
Ω1 = 20 rad/sec pada K1 = -3 dB
Ω2 = 30 rad/sec pada K2 = -30 dB
a. Orde filter (N) yang memenuhi spesifikasi :
𝑁 = [
𝑙𝑜𝑔(
10−𝐾1/10−1
10−𝐾2/10−1
)
2log(
Ω1
Ω2
)
] = [
𝑙𝑜𝑔(
10−(−3)/10−1
10−(−30)/10−1
)
2log(
20
30
)
]= [
𝑙𝑜𝑔(
100.3−1
103−1
)
2log(
20
30
)
] = 8.523
Dibulatkan menjadi 9
Maka orde filter (N) tersebut adalah N = 9

2. b. Frekuensi cut-off:
Ωc =
Ω1
(10−𝐾1/10−1)
1/2𝑁 =
20 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐
(100.3−1)1/18
= 20.0053 rad/sec
c. Fungsi alih ternormalisasi (Ωc = 1 dengan orde N = 9) :
H9(s) =
1
(s+1)(s2+ 0.347s+1)(s2+ s+1)(s2+ 1.532s+1)(s2+ 1.879s+1)
d. Dengan menggunakan Ωc = 20.0053 rad/sec , maka diperoleh transformasi analog to analog :
Transformasinya : s →
s
Ωc
H(s) = H9(s)| s→
s
20.0053
Sehingga dengan mensubstitusikan nilai s diperoleh :
H(s) =
1
[(
s
20.0053
+1)][(
s
20.0053
)
2
+ 0.347(
s
20.0053
) +1][(
s
20.0053
)
2
+ (
s
20.0053
) +1][(
s
20.0053
)
2
+ 1.532(
s
20.0053
) +1][(
s
20.0053
)
2
+ 1.879(
s
20.0053
) +1]
=
1
[(
20.0053s + 400.212
400.212
)] [(
s2 + 6.9418s + 400.212
400.212
)] [(
s2 + 20.0053s + 400.212
400.212
)] [(
s2 + 30.6481s + 400.212
400.212
)] [(
s2 + 37.5899s + 400.212
400.212
)]
Maka fungsi alihnya adalah :
𝐻( 𝑠) =
1.0267 × 1013
(20.0053s + 1)(s2 + 6.9418s + 1)(s2 + 20.0053s + 1)(s2 + 30.6481s + 1)(s2 + 37.5899s + 1)

3. 2. Rancang filter LPF analog Butterworth jika diketahui :
 Frekuensi cut-off -3 dB pada frekuensi 1.2 KHz
 Daerah redaman pada -30 dB sekitar daerah frekuensi 2 KHz
 Tentukan orde filter dan fungsi alih H(s)
Penyelesaian:
Diketahui :
f1 = 1.2 KHz pada K1 = -3 dB
f2 = 2 KHz pada K2 = -30 dB
Ω1 = 2π(f) = 2(3.14)(1.2 x 103) = 7.536 x 103 rad/sec
Ω2 = 2π(f) = 2(3.14)(2 x 103) = 12.56 x 103 rad/sec
a. Orde filter (N) yang memenuhi spesifikasi :
𝑁 = [
𝑙𝑜𝑔(
10−𝐾1/10−1
10−𝐾2/10−1
)
2 log(
Ω1
Ω2
)
] = [
𝑙𝑜𝑔(
10−(−3)/10−1
10−(−30)/10−1
)
2log(
7.536 ×103
12.56 ×103)
] = [
𝑙𝑜𝑔(
100.3−1
103−1
)
2log(
7.536× 103
12.56× 103)
] = 6.765
Dibulatkan menjadi 7.
Maka orde filter tersebut N=7
b. Frekuensi cut-off nya adalah :
Ωc =
Ω1
(10−K1/10−1)
1/2N =
7.536 × 103rad/sec
(100.3−1)1/14
= 7.538 x 103 rad/sec

4. c. Fungsi alih ternormalisasi (Ωc = 1 dengan orde N = 7) :
H7(s) =
1
(s+1)(s2+ 0.445s+1)(s2+ 1.247s+1)(s2+ 1.802s+1)
d. Dengan menggunakan Ωc = 7.538 x 103 rad/sec, maka diperoleh transformasi analog to analog :
Transformasinya : s →
s
Ωc
H(s) = H7(s)| s→
s
7.538 x 103
Sehingga dengan mensubstitusikan nilai s diperoleh :
H(s) =
1
[(
𝑠
7.538 x 103+1)][(
𝑠
7.538 x 103
)
2
+ 0.445(
𝑠
7.538 x 103
) +1][(
𝑠
7.538 x 103
)
2
+1.247 (
𝑠
7.538 x 103
) +1][(
𝑠
7.538 x 103
)
2
+ 1.802(
𝑠
7.538 x 103
) +1]
=
1
[(
(7.538×103)𝑠+56.821×106
56.821 × 106 )][(
𝑠2+(3.354×103)𝑠+56.821× 106
56.821 × 106 )][(
𝑠2+(9.399×103)𝑠+56.821×106
56.821 ×106 )][(
𝑠2+(13.583×103)𝑠+56.821 ×106
56.821 × 106 )]
Maka fungsi alihnya adalah :
𝐻( 𝑠) =
1.042 × 1031
((7.538 × 103) 𝑠 + 56.821 × 106 )(𝑠2 + (3.354 × 103 )𝑠 + 56.821 × 106 )(𝑠2 + (9.399 × 103 )𝑠 + 56.821 × 106 )(𝑠2 + (13.583 × 103)𝑠 + 56.821 × 106 )

5. Soal Latihan BAB 5
4. Desain filter LPF IIR dengan transformasi Bilinear, spesifikasinya:
 Frekuensi cut-off -3 dB/1 KHz
 Daerah redaman -10 dB/2 KHz
 Frekuensi sampling 10 KHz
 Monotonik (Butterworth)
Penyelesaian :
Spesifikasi analog :
f1 = 1 KHz
f2 = 2 KHz
Ω1 = 2π(f1) = 2π x 1 KHz= 2π x 103 rad/sec , K1 = -3 dB
Ω2 = 2π(f2) = 2π x 2 KHz= 4π x 103 rad/sec , K2 = -10 dB
Spesifikasi digital :
W1 = Ω1 T = (2π x 103 rad/sec)(1/10000)sec = 0.2π rad
W2 = Ω2 T = (4π x 103 rad/sec)(1/10000)sec = 0.4π rad
Prewarping :
Ω1 =
2
T
tan
W1
2
=
2
1
10000
tan
0.2π
2
= 6498.39 rad/sec
Ω2 =
2
T
tan
W2
2
=
2
1
10000
tan
0.4π
2
= 14530.85 rad/sec
Orde filter yang memenuhi spesifikasi:

6. N = [
log(
10−K1/10−1
10−K2/10−1
)
2 log(
Ω1
Ω2
)
] = [
log(
10−(−3)/10−1
10−(−10)/10−1
)
2 log(
6498.39
14530.85
)
] = [
log(
100.3−1
101−1
)
2log(
6498.39
14530.85
)
] = 1,368 ≅ 2
Maka orde fiter adalah N = 2
Frekuensi cut-off nya adalah :
Ωc =
Ω1
(10−K1/10−1)
1/2N =
6498.39 rad/sec
(100.3−1)1/4
= 6506.11 rad/sec
Fungsi alih butterworth orde 2 ternormalisasi :
H2(s) =
1
S2+√2 S+1
Fungsi alih butterworth orde 2 untuk Ωc = 6506.11 rad/sec diperoleh menggunakan tranformasi analog to analog, hasilnya :
H(s)| s→
s
6506.11
=
1
(
s
6506.11
)
2
+ √2 (
s
6506.11
)+1
=
(6506.11)2
s2+6506.11√2 s+(6506.11)2
Transformasi Bilinear :
H(z)= H(s)| s → [
2
T
(1−z)−1
(1+z))−1
] =
(6506.11)2
[20000
(1−z)−1
(1+z))−1]
2
+[6506.11×√2 ×20000
(1−z)−1
(1+z))−1]+(6506.11)2
H(z) =
(1+z−1)2
(1−z−1)2+√2(1+z−1)(1−z−1)+(1−z−1)2
H(z) =
1+2z−1+z−2
3.414+0.5857.z−2
→
Y(z)
X(z)

7. Y(z){3.414 + 0.5867z-2} = X(z){1 + 2z-1 + z-2}
3.414 y(n) + 0.5867 y(n-2) = x(n) + 2x(n-1)+ x(n-2)
y(n) =
1
3.414
[x(n)+ 2x(n − 1) + x(n − 2) − 0.5867y(n − 2)]