CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng.pdf

Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
T O Á N T H Ự C T Ế L U Y Ệ N T H I
V À O L Ớ P 1 0
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI
VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình
học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng
WORD VERSION | 2023 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
vectorstock.com/28062405

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 521
Website:
Môc lôc
Trang
PHẦN 1 Các dạng toán thực tế hình học
PHẦN 2 Các dạng toán thực tế hình học không gian
PHẦN 3 Các dạng toán thực tế lãi suất ngân hàng

Website:
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ HÌNH HỌC
Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Bài 1. Hằng ngày hai anh em An và Bình cùng đi bộ từ nhà ở A để đến trường. Trường của An ở vị
trí B , trường của Bình ở vị trí C theo hai hướng vuông góc với nhau. An đi với vận tốc
4 /
km h và đến trường sau 15 phút. Bình đi với vận tốc 3 /
km h và đến trường sau 12
phút.Tính khoảng cách BC giữa hai trường (làm tròn đến mét).
Bài 2. Một người A đang ở trên khinh khí cầu ở độ cao 150m nhìn thấy một vật B trên mặt đất cách
hình chiếu của khí cầu xuống đất một khoảng 285m . Tính góc hạ của tia AB . Nếu khinh khí
cầu tiếp tục bay lên thẳng đứng thì khi góc hạ của tia AB là 46° thì độ cao của khinh khí cầu
là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).
Bài 3. Một người có mắt cách mặt đất 1,4m , đứng cách tháp Eiffel 400m nhìn thấy đỉnh tháp với góc
nâng 39° . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
150 m
285 m
A
C B

Website:
Bài 4. Một cột đèn cao 8m . Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất lúc nó có bóng trên mặt đất
là 5m .
Bài 5. Một cái thang dài 4m đang dựa vào tường, chân thang cách chân tường 2m .Tính góc tạo bởi
thang với mặt đất và với mặt tường.
Bài 6. Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau 1km trên mặt đất người ta
nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 40° và 32°.
Bài 7. Tính chiều cao của một cái tháp, cho biết khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 42°
thì bóng của tháp trên mặt đất có chiều dài 150m.
Bài 8. Để đo chiều rộng AB của một con sông mà không phải băng ngang qua sông, một người đi từ
A đến C đo được 50
AC m
= và từ C nhìn thấy B với góc nghiêng 62° với bờ sông. Tính bề
rộng của con sông.
1km
40°
32°
A C
D
B

Website:
Bài 9. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà 25m. Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà
là 36°.
1) Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến mét).
2) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc nâng là 32°thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi
đó anh ta tiến lại gần hay cách ra xa tòa nhà (làm tròn đễn chữ số thập phân thứ hai).
Bài 10. Từ trên tháp quan sát của một ngọn hải đăng cao 28m , người ta nhìn thấy một chiếc thuyền
cứu hộ với góc hạ 20°. Tính khoảng cách từ chân tháp đến thuyền.
.
Bài 11. Đài quan sát Toronto, Ontario (canada) cao 533m . Ở một thời điểm vào ban ngày, mặt trời
chiếu tạothành bóng dài 1100m1100m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia sát mặt trời và mặt đất là bao
nhiêu (làm tròn đến độ).

Website:
Bài 12. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 250m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với
cácgóc nâng lần lượt là 30°và 40°.Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao.
Bài 13. Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A ) đến trường (điểm B ) phải leo lên và xuống
mộtcon dốc (như hình vẽ). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m , góc A bằng 6°, góc B bằng
4°.
1)Tính chiều cao h của con dốc.
2) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ ? Biết rằng tốc độ trung bình lên dốc là 4km/h và tốc độ
trung bình xuống dốc là 19km/h .
Bài 14. Từ đỉnh một tòa nhà cao 54m, người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ dưới một góc nghiêng
xuống là 40°. Hỏi ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét ?
h
4° 6°
762 m
H
A B
C

Website:
Bài 15. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten cao 150mnhìn thấy đỉnh tháp theo một góc
nghiêng lên là 20°và khoảng cách từ mắt đến mặt đất là 1m . Tính khoảng cách từ học sinh đó
đến tháp (làm tròn đến mét).
Bài 16. Một cái thang dài 4,8mdựa vào tường làm thành một góc 58°so với mặt đất. Tính chiều cao
của thang so với mặt đất (làm tròn đến mét).
Bài 17. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 800feet (đơn vị đo lường Anh) so với mực nước biển
nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống là1 42'
° . Hỏi khoảng cách từ tàu đến
chân ngọn hải đăng là bao nhiêu hải lý (1 hải lý = 5280feet )?
Bài 18. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 149mso với mực nước biển nhìn thất một con tàu ở xa
với một góc nghiêng xuống là 27°. Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét?
Bài 19. Một học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây đã thả dài 100mvà có góc nâng 52° .
Tính độ cao của diều so với mặt đất (làm tròn đến mét).

Website:
Bài 20. Một chiếc thuyền thả neo trên sông. Cho biết dây neo dài 30mvà có góc nghiêng lên là 39° .
Tính độ sâu của mực nước chỗ thuyền đang đậu (làm tròn đến mét).
Bài 21. Một người đứng trên đỉnh tháp cao 325m nhìn thấy 2 điểm A và B với hai góc hạ lần lượt là
37°và72°.Tính khoảng cách AB .
Bài 22. Một người đứng cách chân tháp 14mnhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60°. Tính chiều cao
của tháp.
Bài 23. Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng 23°.Hỏi muốn đạt độ cao 2500m , máy bay
phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét?

Website:
Bài 24. Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 20m .Cho biết tia nắng qua ngọn cây nghiêng một góc
31°so với mặt đất. Tính chiều cao của cây.
Bài 25. Một cái cây cao 6m đang có bóng dài 3,2m. Tính góc hợp bởi tia nắng với thân cây
Bài 26. Một người đứng cách chân tháp 14 m nhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60°. Tính chiều
cao của tháp.
Bài 27. Ban Hùng có tầm mắt cao 1,5 m đang đứng gần một cao ốc cao 30 m thì nhìn thấy nóc tòa nhà
với góc nâng 30°. Hùng đi về phía tòa nhà cho đến khi nhìn thấy nóc tòa nhà với góc nâng60°.
Tính quãng đường mà bạn Hùng đã đi được.

Website:
Bài 28. Một học sinh có tầm mắt cao 1,5 m đứng trên sân thượng của một căn nhà cao 15 m nhìn thấy
bạn mình với góc nghiêng xuống 49°. Hỏi cô bạn đang ở cách căn nhà bao nhiêu mét?
Bài 29. Một máy bay thể thao đang bay ngang ở độ cao 3000 m nhìn thấy một cái cây với góc nghiêng
xuống 15°. Hỏi máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét thì sẽ ở ngay trên ngọn
cây?
Bài 30. Từ nóc một cao ốc cao 50mngười ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạn lần
lượt là 62°và 34°. Tính chiều cao cột ăng-ten.
30m
60o
30o
1,5m
B A
C
K
D

Website:
Bài 31. Một cái diều đang bay ở độ cao 60m. Sợi dây cột diều nghiêng với mặt đất một góc 60°. Tính
chiều dài của sợi dây (làm tròn đến mét) khi nó căng thẳng (không có chỗ bị võng).
Bài 32. Tháp Capital Gate tại Abu Dhabi cao 160mvà nghiêng 18°. Nếu không nghiêng thì tháp cao
bao nhiêu mét?
Bài 33. Tính chiều cao của một ngọn núi, cho biết tại hai điểm cách nhau 500m, người ta nhìn thấy hai
đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34°và38°.
A
B
C
D
E
50m
620
340

Website:
Bài 34. Một cái tháp được dựng bên bờ một con sông, từ một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia
người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60°. Từ một điểm khác cách điểm ban đầu 20m,
người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30°. Tính chiều cao của tháp.
Bài 35. Một bức tượng cao 1,6m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn
thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60°và 45°. Tính chiều cao của cái bệ.
Bài 36. Một nhà trẻ muốn thiết kế hai cái cầu tuột trong sân chơi. Đối với trẻ dưới 5 tuổi, cầu tuột cao
1,5mvà nghiêng với mặt đất một góc 30°. Đối với trẻ trên 5 tuổi cầu tuột cao 1,5 m và
nghiêng với mặt đất một góc 45°. Tính chiều dài của mỗi máng tuột.
Bài 37. Từ chân một cái tháp cao 50mngười ta nhìn thấy đỉnh một tòa nhà với góc nâng30°. Trong
khi đó từchân tòa nhà lại nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60°. Tính chiều cao của tòa nhà.
45°
30°
2m
E C
B
A

Website:
Bài 38. Hai trụ điện có cùng chiều cao đặt cách nhau 80m . Một người đứng ở xa (thẳng hàng với hai
trụ điện, không đứng giữa hai trụ điện) nhìn đỉnh hai trụ điện với góc nâng lần lượt là 60°và
30°. Tính chiều cao trụ điện và khoảng cách từ người đó đến chân các trụ điện. Biết mắt người
đó cách mặt đất1,2m .
Bài 39. Từ trên một ngọn hải đăng cao 75m, người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang
hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là30°và 45°. Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu
mét giữa hai lầnquan sát?
Bài 40. Một thủy thủ lái thuyền ra biển hướng về hướng đông bắc với góc nghiêng so với phương bắc
là 41°. Đi được 2,8km anh ta phát hiện sắp hết nhiên liệu nên vội quay thuyền vào bờ, đi
được 1,8km thì thuyền tắt máy. Hỏi lúc đó thuyền cách bờ bao xa?

Website:
Bài 41. Từ trên đỉnh một tòa nhà cao 7m , người ta nhìn thấy đỉnh một tháp truyền hình với góc nâng
60°và nhìn thấy chân của tháp với góc hạ 45°. Tính chiều cao của tháp truyền hình?
Bài 42. Một học sinh có khoảng cách từ mặt đến mặt đất là 1,2m bắt đầu quan sát một trái bóng bay
với góc nâng 60°. Một lúc sau lại nhìn thấy quả bóng bay với góc nâng30°. Hỏi giữa hai lần
quan sát quả bóng đã bay được bao nhiêu mét? Cho biết độ cao của quả bóng luôn luôn không
đổi và bằng 88,2m.
Bài 43. Một người đang ở trên một cái tháp có chiều cao h =100m nhìn xuống một con đường chạy
thẳng đến chân tháp. Anh ta nhìn thấy một chiếc xe máy với góc hạ30°. Sáu phút sau lại nhìn
thấy nó với góc hạ 60°. Hỏi sau bao nhiêu phút thì xe máy đến chân tháp? Cho biết vận tốc xe
máy không đổi.

Website:
Bài 44. Để đo chiều cao một cái cây AB . Người ta đặt gương phẳng tại vị trí C . Người đo đi lùi lại
(thẳng người) cho đến khi nhìn thấy bóng ngọn cây A (lúc này là F ). Biết khoảng cách từ
gương đến gốc cây là 30
BC = mét, khoảng cách từ gương đến chỗ đứng là 1,5
CD = mét.
Khoảng cách từ mắt người đo E đến mặt đất là 1,6
ED = mét. Tính chiều cao của cây? (biết
 
BCA DCE
= ).
Bài 45. Quan sát hình vẽ dưới đây. Giả sử CD h
= là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp.
Chọn hai điểm A , B trên mặt đất sao cho ba điểm A , B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách
AB và các góc 
CAD , 
CBD . Chẳng hạn ta đo được 24
AB = m,  63
CAD α
= = °,
 48
CBD β
= = ° . Hãy tính chiều cao h của tháp.
Bài 46. Một hình chữ nhật có kích thước là 20 cm và 30 cm. Người ta tăng mỗi kích thước thêm x cm.
Gọi y là chu vi của hình chữ nhật mới.
1) Hãy tính y theo x .
2) Tính giá trị của y tương ứng với 3
x = cm; 5
x = cm.
30° 60°
C
D
A
B

Website:
Bài 47. Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32 m và chiều rộng là 24 m. Người ta định làm một
vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh, có bề rộng x(m) (hình vẽ bên). Hỏi bề rộng của
mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại là 560 m2
.
Bài 48. Một căn phòng hình vuông được lát bằng những viên gạch men hình vuông cùng kích cỡ, vừa
hết 441 viên (không viên nào bị cắt xén). Gạch gồm 2 loại men trắng và men xanh, loại men
trắng nằm trên 2 đường chéo của nền nhà còn lại là loại men xanh. Tính số viên gạch men
xanh.
Bài 49. Bạn Nam đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) gồm đoạn lên dốc và đoạn xuống dốc,
 5
A= °,  4
B= ° , đoạn lên dốc dài 325 m.
1) Tính chiều cao của dốc và chiều dài quãng đường từ nhà đến trường.
2) Biết vận tốc trung bình lên dốc là 8 km/h và vận tốc trung bình xuống dốc là 15 km/h. Tính
thời gian (phút) bạn Nam đi từ nhà đến trường. (Lưu ý kết quả của phép tính làm tròn đến chữ
số thập phân thứ nhất)
Bài 50. Một bức tượng cao 1,6 m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn
thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45°. Tính chiều cao cái bệ.
Bài 51. Một cây có chiều cao 14 m mọc ở phía sau một bức tường cao 8 m và cách bức tường 12 m.
Hỏi người quan sát có chiều cao 1,8 m phải đứng cách bức tường bao nhiêu mét để có thể nhìn
thấy ngọn cây.
Bài 52. Nhà bạn An ở vị trí A , nhà bạn Bình ở vị trí B cách nhau 1200 m. Trường học ở vị trí C cách
nhà bạn An 500m và AB vuông góc với AC . An đi bộ đến trường với vận tốc 4 km/h, Bình đi
xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h. Lúc 6 giờ 30 phút, cả hai cùng xuất phát đến trường.
Hỏi bạn nào đến trường trước?
Bài 53 Bóng của tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc) trên mặt đất có độ dài 20 m. Cùng thời điểm đó, một cột
sắt cao 1,65 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 2 m. Tính chiều cao của tháp.
Bài 54. Một con đê được đắp chắn sóng theo hình dưới, độ dốc của con đê phía sông dài 7 m. Hỏi độ
dốc còn lại của con đê dài bao nhiêu mét?
x
x
x
x
24 m
32 m

Website:
Bài 55. Xem hình vẽ sau, người ta có thể dùng giác kế để đo được góc  43
CAB
= ° và  38
CBA
= °. Hỏi
tàu đang ở vị trí điểm H sẽ chạy với vận tốc bao nhiêu km/h để sau 5 phút sẽ đến vị trí điểm
C . Biết khoảng cách từ vị trí điểm A đến vị trí điểm B là 300 m và vị trí 3 điểm A , H , B
thẳng hàng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 56. Ba An muốn mua một cái thang dùng để lên mái nhà. Ba hỏi An phải mua cái thang dài bao
nhiều mét để đảm bảo sự an toàn và có thể leo lên được mái nhà cao 4,5m so với mặt đất. Em
hãy giúp An tính chiều dài thang cần mua, biết góc kê thang an toàn là 75° so với phương
ngang (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Bài 57. Một chiếc máy bay bay lên cao với vận tốc 520 /
km h . Đường bay lên tạo với phương nằm
ngang một góc 24°. Hỏi sau 90 giây máy bay lên cao được bao nhiêu km theo phương thẳng
đứng? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
B
C
H
A

Website:
Bài 58. Từ đài quan sát cao 10 m, Nam có thế nhìn thấy 2 chiếc thuyền dưới góc 45° và 30° so với
phương ngang. Hãy tính khoảng cách 2 chiếc thuyền, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
(điều kiện lý tưởng: vị trí 2 chiếc thuyền và vị trí đài quan sát thẳng hàng).
Bài 59. Hình ảnh mặt cắt một quả đồi được minh họa là một ABC
∆ với các chi tiết như sau: cạnh đáy
là AC , BH AC
⊥ ,  45
BAC
= °, 200
AH = m, 210
HC = m. Một nhóm học sinh đi dã ngoại
đi từ đỉnh A lên đỉnh B rồi xuống dốc trở về C . Hãy tính quãng đường này?
Bài 60. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình vẽ. Tính khoảng cách giữa
chúng (kết quả là tròn đến mét).
Bài 61. Lúc 6h45 phút sáng bạn Nam đi xe đạp điện từ nhà tới trường với vận tốc trung bình là 15
km/h bạn đi theo con đường từ A B C D E G H
      (như trong hình). Nếu có 1
con đường thẳng từ A H
 và đi theo con đường đó với vận tốc trung bình 15 km/h, bạn Nam
sẽ tới trường lúc mấy giờ?

Website:
Bài 62. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 50 m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với
các góc nâng lần lượt là 30° và 40°. Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao.
Bài 63. Một người đi xe máy lên dốc có độ nghiêng 5° so với phương ngang với vận tốc trung bình lên
dốc là 18 km/h. Hỏi người đó mất bao lâu để lên tới đỉnh dốc? Biết đỉnh dốc cách mặt đất 18
m.
Bài 64. Từ vị trí xuất phát A , hai xe cùng một lúc đi thẳng theo hai hướng khác nhau, tạo một góc
 70
A
= °. Xe thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xe thứ hai đi với vận tốc 50 km/h. Sau 1 giờ 30
phút, hai xe cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
Bài 65. Một máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh xe trước. Bánh xe sau có đường kính
124cm và bánh xe trước có đường kính 80 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì xe
di chuyển được bao nhiêu mét (làm tròn một chữ số) và khi đó bánh xe trước lăn được mấy
vòng?
Bài 66. Trong hình vẽ dưới đây, hai địa điểm A , B cách nhau 100 km. Một xe ô tô khởi hành từ B đến
A với vận tốc 40 km/h. Cùng lúc đó, một xe đạp điện cũng khởi hành từ A trên đoạn đường
vuông góc với AB với vận tốc 20 km/h. Hỏi sau 90 phút thì hai xe cách nhau bao xa.
Bài 67. Với số liệu ghi trên hình (biết tứ giác EFHI là hình chữ nhật và A , I , H thẳng hàng). Cây
trong hình cao bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
500m
400m
300m
600m
700m
1000m
Trường học
Nhà
H
G
E
D
C
B
A

Website:
Bài 68. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà khoảng 25 m (điểm A ). Góc nâng từ chỗ anh ta
đứng đến nóc tòa nhà (điểm C ) là 36°.
1) Tính chiều cao tòa nhà (làm tròn đến 0,5 mét)
2) Nếu anh ta đi thêm 5 m nữa, đến vị trí D nằm giữa A và B thì góc nâng từ D đến nóc nhà là
bao nhiêu? (làm tròn đến phút).
Bài 69. Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất,cọc cao 2 m và đặt xa cây 15
m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên
một đoạn đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy
là 1,6 m?
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH HỌC
Bài 1. Hằng ngày hai anh em An và Bình cùng đi bộ từ nhà ở A để đến trường. Trường của An ở vị
trí B , trường của Bình ở vị trí C theo hai hướng vuông góc với nhau. An đi với vận tốc
4 /
km h và đến trường sau 15 phút. Bình đi với vận tốc 3 /
km h và đến trường sau 12
phút.Tính khoảng cách BC giữa hai trường (làm tròn đến mét).
Lời giải

Website:
+) Quãng đường An đi từ nhà đến trường là: ( )
15
4 1
60
AB km
= ⋅ = .
+) Quãng đường Bình đi từ nhà đến trường là: ( )
12 3
3
60 5
AC km
=⋅ = .
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC , ta có:
2
2 2 1 3 34
1 1,166 1166
5 5
BC AB AC km m
 
= + = + = ≈ =
 
 
.
Vậy khoảng cách hai trường là 1166m .
Bài 2. Một người A đang ở trên khinh khí cầu ở độ cao 150m nhìn thấy một vật B trên mặt đất cách
hình chiếu của khí cầu xuống đất một khoảng 285m . Tính góc hạ của tia AB . Nếu khinh khí
cầu tiếp tục bay lên thẳng đứng thì khi góc hạ của tia AB là 46° thì độ cao của khinh khí cầu
là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).
Lời giải
+) Góc hạ của tia AB là góc 
ABC .
Trong tam giác ABC vuông tại C có:  150 10
tan
285 19
CA
ABC
CB
= = = 28
ABC
⇒ ≈ °.
+) Khi góc hạ là 46°, cao của kinh khí cầu là: 285 tan 46 295m
⋅ ° ≈
Bài 3. Một người có mắt cách mặt đất 1,4m , đứng cách tháp Eiffel 400m nhìn thấy đỉnh tháp với góc
nâng 39° . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
150 m
285 m
A
C B

Website:
Lời giải
ABC
∆ vuông tại A có:  ( )
tan 400 tan39
AC AB ABC m
= ⋅ = ⋅ °
Suy ra chiều cao của tháp là: 400 tan39 1,4 325
AC AD m
+ = ⋅ ° + ≈
Bài 4. Một cột đèn cao 8m . Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất lúc nó có bóng trên mặt đất
là 5m.
Lời giải

Website:
Giả sử cột đèn có chiều cao AB , bóng cột đền lên mặt đất lúc đó là BC .
Khi đó góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là góc 
ACB .
Trong ABC
∆ vuông tại B có:
8
tan
5
AB
ACB
BC
= = 58
ACB
⇒ ≈ °.
Vậy góc tạo bởi tia nắng và mặt đất lúc đó xấp xỉ 58°.
Bài 5. Một cái thang dài 4m đang dựa vào tường, chân thang cách chân tường 2m .Tính góc tạo bởi
thang với mặt đất và với mặt tường.
Lời giải
Giả sử tháng có chiều dài AC , khoảng cách từ đầu thang tới mặt đất là AB (như hình vẽ).
Khi đó góc tạo bởi thang với mặt đất và với măt tường lần lượt là góc 
ACB , 
CAB.
Trong ABC
∆ vuông tại B có  4
tan 2
2
AB
ACB
BC
= = =  63 26'
ACB
⇒ ≈ °
 
90 26 34'
CAB ACB
⇒ = °− ≈ ° .
Vậy góc tạo bởi thang với mặt đất và với măt tường lần lượt là 63 26'
° , 26 36'
° .
Bài 6. Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau 1km trên mặt đất người ta
nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 40° và 32°.

Website:
Lời giải:
Gỉa sử chiều cao của một ngọn núi là độ dài đoạn thẳng CD
Hai điểm cách nhau 1 km là đoạn thẳng 1
AB km
=
Ta có:
ACD
∆ có  90
ACD
= ° 
.cot
AC DC DAC
⇒ =
BCD
∆ có  90
BCD
= ° 
.cot
BC DC DBC
⇒ =
 
( )
 
( )
( )
. cot cot
1
2,447
cot32 cot 40
cot cot
AC BC DC DAC DBC
AC BC
DC km
DAC DBC
⇒ −
= −
−
⇒
= = ≈
°− °
−
Vậy chiều cao của đỉnh núi là: 2,447km
Bài 7. Tính chiều cao của một cái tháp, cho biết khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc 42°
thì bóng của tháp trên mặt đất có chiều dài 150m.
1km
40°
32°
A C
D
B
1km
40°
32°
A C
D
B

Website:
Lời giải:
Giả sử AH là chiều cao của tháp;  42
ABH
= ° là góc bởi tia nắng mặt trời với mặt đất
Bóng của tháp trên mặt đất là 150
BH m
= . Khi đó
ABH
∆ vuông tại  ( )
.tan 150.tan 42 135,061
H AH BH ABH m
⇒
= = ° ≈
Vậy: chiều cao của cột tháp là: 135,061m
Bài 8. Để đo chiều rộng AB của một con sông mà không phải băng ngang qua sông, một người đi từ
A đến C đo được 50
AC m
= và từ C nhìn thấy B với góc nghiêng 62° với bờ sông. Tính bề
rộng của con sông.
Lời giải:
Ta có: ABC
∆ vuông tại  ( )
.tan 50.tan62 94,036
A AB AC ACB m
⇒
= = ° ≈
Vậy: bề rộng của con sông dài: 94,036m
Bài 9. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà 25m. Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà
là 36°.
A
B
H

Website:
2) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc nâng là 32°thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi
đó anh ta tiến lại gần hay cách ra xa tòa nhà (làm tròn đễn chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải:
Giả sử chiều cao của cột tháp là độ dài AB
Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà là  36
ACB
= °
Khoảng cách từ vị trí người đó đứng đến tòa nhà là 25
BC m
=
Khi đó: ABC
∆ vuông tại B  ( )
.tan 25.tan36 18
AB BC ACB m
⇒
= = ° ≈
Vậy chiều cao của tòa nhà là 18m
2) Giả sử khoảng cách từ vị trí người đó đứng để tạo được góc nâng là 32° là D . Khi đó
khoảng cách từ vị trí người đó đứng đến tòa nhà là độ dài đoạn thẳng BD
ABD
∆ vuông tại B  ( )
.cot 18cot32 28,81
BD AB ADB m
⇒
= = ° ≈
320
25 m
360
D
C
B
A

Website:
Vì ( )
28,81 25
BD BC
> > nên anh ta cách xa tòa nhà .
Bài 10. Từ trên tháp quan sát của một ngọn hải đăng cao 28m , người ta nhìn thấy một chiếc thuyền
cứu hộ với góc hạ 20°. Tính khoảng cách từ chân tháp đến thuyền.
.
Lời giải:
Giả sử chiều cao của tháp chính là độ dài AD ; chiếc thuyền cứu hộ với góc hạ 20° là góc

AID ; DI là khoảng cách từ thuyền đến chân tháp.
Ta có:
ADI
∆ vuông tại D  ( )
.cot 28.cot 20 76,929
DI AD ADI m
⇒
= = ° ≈
Vậy: Khoảng cách từ chân tháp đến thuyền là 76,929 m .
Bài 11. Đài quan sát Toronto, Ontario (canada) cao 533m . Ở một thời điểm vào ban ngày, mặt trời
chiếu tạo thành bóng dài 1100m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bao
nhiêu (làm tròn đến độ).
200
28 m
I
A
D

Website:
Lời giải:
Trên hình vẽ: Gọi AB là chiều cao của đài quan sát, AC là chiều dài bóng của nó trên mặt đất
ta có 553 (m); 1100 (m)
AB AC
= =
Khi đó góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 
ACB
Xét tam giác ABC vuông tại A có   0
553
tan 27
1100
AB
ACB ACB
AC
= = ⇒ ≈
Vậy lúc đó góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là xấp xỉ 0
27
Bài 12. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 250m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với
các góc nâng lần lượt là 30°và 40°. Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao.
Lời giải:
553m
C
B
A 1100m

Website:
Trên hình vẽ: Giả sử hai ngư dân lần lượt đứng ở 2 vị trí A và B , cù lao ở vị trí C
Gọi H là hình chiếu của C trên AB thì khoảng cách từ bờ sông đến cù lao là d AH
=
Xét tam giác AHC vuông tại H có 0
.cot30
AH d
=
Xét tam giác BHC vuông tại H có 0
.cot 40
BH d
=
Mà AH BH AB
+ =
0 0
.(cot30 cot 40 ) 250
.2,9238 250
d
d
⇒ + =
⇒ =
85,5 (m)
d
⇒ ≈
Vậy khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao khoảng 85,5 m
Bài 13. Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A ) đến trường (điểm B ) phải leo lên và xuống
một con dốc (như hình vẽ). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762m , góc  
0 0
.
4 , 6
B
A =
=
1) Tính chiều cao h của con dốc.
2) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ ? Biết rằng tốc độ trung bình lên dốc là 4km/h và tốc độ
trung bình xuống dốc là 6km/h .
Lời giải:
1) Trên hình vẽ: Chiều cao h của con dốc là chiều dài đoạn thẳng HC
Xét tam giác AHC vuông tại H có 0
.cot 4
AH h
=
40°
30°
H
C
B
A
d
h
4° 6°
762 m
H
A B
C
h
4° 6°
762 m
H
A B
C

Website:
Xét tam giác BHC vuông tại H có 0
.cot 6
BH h
=
Mà AH BH AB
+ =
0 0
.(cot 4 cot 6 ) 762
.23,815 762
d
d
⇒ + =
⇒ ≈
32 (m)
d
⇒ ≈
Vậy chiều cao h của con dốc là khoảng 32 m
2) Đổi 4km/h = 4000 m/h; 6km/h=6000m/h
Gọi thời điểm An đến trường là ( )
) (6 24
x h x
< ≤
Quãng đường An lên dốc là ( )
0
32:sin 4 458,739
AC m
= ≈
Thời gian An lên dốc đoạn đường AC hết )
4 0
58 ,
,73 : 4000 11
9 5 (h
≈
Quãng đường An xuống dốc là ( )
0
32:sin 6 306,137
CB m
= ≈
Thời gian An xuống dốc đoạn đường CB hết :6000 0,051 ( )
306,137 h
≈
Thời gian An đi từ nhà đến trường hết ( )
6
x h
− nên ta có phương trình:
0,115 0,051 6
x=0,115 0,051 6 6,166 (h) 6h10ph
x
+ =
−
⇒ + +
= ≈
Vậy bạn An đến trường vào khoảng 6 giờ 10 phút.
Bài 14. Từ đỉnh một tòa nhà cao 54m, người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ dưới một góc nghiêng
xuống là 40°. Hỏi ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét ?
Lời giải:
Trên hình vẽ: Gọi AB là chiều cao của tòa nhà, AC là khoảng cách từ chân tường đến ô tô
Từ đỉnh tòa nhà, người ta nhìn thấy một ô tô đang đỗ dưới một góc nghiêng xuống là
 
40 50
CBx CBA
= ° ⇒ = °.
40° x
54m
C
B
A

Website:
Xét ABC
∆ vuông tại A có:
 0
.tan 54.tan50 64,35 (m)
AC AB ABC
= = ≈
Vậy ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó khoảng 64,35 m
Bài 15. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten cao 150m nhìn thấy đỉnh tháp theo một góc
nghiêng lên là 20°và khoảng cách từ mắt đến mặt đất là 1m . Tính khoảng cách từ học sinh đó
đến tháp (làm tròn đến mét).
Lời giải:
Trên hình vẽ: Gọi BD là chiều cao của tháp ăng ten, C là vị trí mắt của học sinh, CH là
khoảng cách từ mắt của học sinh đến mặt đất, A là hình chiếu của điểm C trên BD .
Ta có ADHC là hình chữ nhật và 150 ( ); 1 ( ) 149 ( )
BD m HC m AB m
= = ⇒ =
Khoảng cách từ học sinh đó đến tháp là độ dài đoạn thẳng AC
Một học sinh đứng ở mặt đất nhìn thấy đỉnh tháp theo một góc nghiêng lên là  20
ACB
= °
Xét ABC
∆ vuông tại A có:
 0
.cot 149.cot 20 409 (m)
AC AB ACB
= = ≈
Vậy khoảng cách từ học sinh đó đến tháp là xấp xỉ 409m .
Bài 16. Một cái thang dài 4,8mdựa vào tường làm thành một góc 58°so với mặt đất. Tính chiều cao
của thang so với mặt đất (làm tròn đến mét).
H
D
20°
150m
C
B
A
1m

Website:
Lời giải
Giả sử trong hình vẽ, AC là độ dài của thang thì BC chính là chiều cao của thang so với mặt
đất, AB là khoảng cách từ chân thang đến chân tường, góc tạo bởi thang với mặt đất
 58
CAB
= ° .
Xét ABC
∆ vuông tại C có 
.sin
BC AC CAB
= hay ( )
4,8.sin58 4 m
BC
= ° ≈
Vậy chiều cao của thang so với mặt đất xấp xỉ 4 mét.
Bài 17. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 800feet (đơn vị đo lường Anh) so với mực nước biển
nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống là1 42'
° . Hỏi khoảng cách từ tàu đến
chân ngọn hải đăng là bao nhiêu hải lý (1 hải lý = 5280feet )?
Lời giải
Giả sử trong hình vẽ BC là độ cao của đài hải đăng so với mực nước biển thì AB là khoảng
cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống  1 42
ACx ′
= °  1 42
CAB ′
⇒ =
°
Xét ABC
∆ vuông tại B có 
.cotan
AB BC CAB
=
hay ( )
800.cot1 42' 26954,8072 feet 5
AB
= ° ≈ ≈ (hải lý).
Vậy khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng khoảng 5 hải lý.
Bài 18. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 149mso với mực nước biển nhìn thất một con tàu ở xa
với một góc nghiêng xuống là 27°. Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét?
B
4,8 m
58°
C
A
1°42'
x
B
800 feet
1°42'
C
A

Website:
Lời giải
Giả sử trong hình vẽ BC là độ cao của đài hải đăng so với mực nước biển thì AB là khoảng
cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống  27
ACx
= °  27
CAB
⇒ =°
Xét ABC
.cotan
AB BC CAB
=
hay ( )
149.cotan 27 292 m
AB
= ° ≈
Vậy khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng khoảng 292 mét.
Bài 19. Một học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây đã thả dài 100mvà có góc nâng 52° .
Tính độ cao của diều so với mặt đất (làm tròn đến mét).
Lời giải
x
B
27°
149 m
27°
C
A

Website:
Giả sử trong hình vẽ, AC là đoạn dây diều đã thả thì BC là độ cao của diều so với mặt đất, góc
nâng  52
CAB
= °
Xét ABC
.sin
BC AC CAB
=
hay ( )
100.sin52 79 m
BC
= ° ≈
Vậy độ cao của diều so với mặt đất xấp xỉ 79 mét.
Bài 20. Một chiếc thuyền thả neo trên sông. Cho biết dây neo dài 30mvà có góc nghiêng lên là 39° .
Tính độ sâu của mực nước chỗ thuyền đang đậu (làm tròn đến mét).
Lời giải
B
100 m
52°
C
A
B
30 m
39°
C
A

Website:
Giả sử trong hình vẽ, AC là dây neo thì BC là độ sâu của mực nước chỗ thuyền đang đậu, góc
nghiêng lên  39
CAB
= °
Xét ABC
.sin
BC AC CAB
=
hay ( )
30.sin39 19 m
BC
= ° ≈
Vậy độ sâu của mực nước chỗ thuyền đang đậu xấp xỉ 19 mét.
Bài 21. Một người đứng trên đỉnh tháp cao 325m nhìn thấy 2 điểm A và B với hai góc hạ lần lượt là
37°và72°.Tính khoảng cách AB .
Lời giải:
Gọi các điểm như trên hình vẽ, ta được:


90 37 53
90 72 18
ADC
BDC
= °− °
= °
= °− °
= °
Xét ADC
∆ vuông tại C , có:
.tan 325.tan53 431,29( )
AC DC ADC m
= = ° ≈
Xét BDC
∆ vuông tại C , có:
( )
.tan 325.tan18 105,6
BC DC BDC m
= = ° ≈
Ta có: 325,69( )
AB AC BC m
= − ≈
Bài 22. Một người đứng cách chân tháp 14mnhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60°. Tính chiều cao
của tháp.
325 m
37°
B C
A
D

Website:
Lời giải
Gọi các điểm như trên hình vẽ.
Xét ABC
∆ vuông tại B, ta có:
( )
.tan 14.tan 60 14 3
AB BC C m
= = °
=
Bài 23. Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng 23°.Hỏi muốn đạt độ cao 2500m , máy bay
phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét?
Lời giải
14 m
60°
C B
A

Website:
Đặt tên các điểm như trên hình vẽ:
Xét ABC
∆ vuông tại C
sin
2500
sin 23
2500
6398,3( )
sin 23
AB
C
AC
x
x m
=
⇒ ° =
⇒
= ≈
°
Vậy máy bay muốn đạt được độ cao 2500m thì phải bay một đoạn đường khoảng 6398,3m
Bài 24. Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 20m .Cho biết tia nắng qua ngọn cây nghiêng một góc
31°so với mặt đất. Tính chiều cao của cây.
Lời giải
Xét ABC
∆ vuông tại B , ta được:
( )
.tan 20.tan31 12,02
AB BC C m
= = ° ≈
x
23°
2500 m
A
B
C
31°
20 m
A
B C

Website:
Bài 25. Một cái cây cao 6m đang có bóng dài 3,2m. Tính góc hợp bởi tia nắng với thân cây
Lời giải
Xét ABC
∆ vuông tại C, ta được:

3,2
tan
6
28
BC
A
AC
A
= =
⇒ ≈ °
Vậy góc tạo bởi tia nắng với thân cây khoảng 28°
Bài 26. Một người đứng cách chân tháp 14 m nhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60°. Tính chiều
cao của tháp.
Lời giải
x
3,2 m
6 m
A
C
B

Website:
Gọi chiều cao của tháp là đoạn AB . Trong tam giác ABC vuông tại A ta có:
( )
.tan 14.tan 60 14 3
AB AC C m
= = °
= .
Vậy chiều cao của tháp là 14 3 m.
Bài 27. Bạn Hùng có tầm mắt cao 1,5 m đang đứng gần một cao ốc cao 30 m thì nhìn thấy nóc tòa nhà
với góc nâng 30°. Hùng đi về phía tòa nhà cho đến khi nhìn thấy nóc tòa nhà với góc nâng60°.
Tính quãng đường mà bạn Hùng đã đi được.
Lời giải
Ta có độ dài đoạn ( )
30 1,5 28,5
AC CK AK cm
= − = − = .
Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: ( )
.co t 28,5.cot30 28,5. 3
AB AC B m
= = °
= .
Trong tam giác ABD vuông tại A ta có:
( )
3
D .co t D 28,5.co t 60 28,5. 9,5 3
3
A AC m
= = °
= = .
Quãng đường bạn Hùng đi được là: ( )
28,5 3 9,5 3 19
BD AB AD m
= − = − =
Vậy bạn Hùng đi được 19 m.
Bài 28. Một học sinh có tầm mắt cao 1,5 m đứng trên sân thượng của một căn nhà cao 15 m nhìn thấy
bạn mình với góc nghiêng xuống 49°. Hỏi cô bạn đang ở cách căn nhà bao nhiêu mét?
60°
14 m
B
C A
30m
60o
30o
1,5m
B A
C
K
D

Website:
Lời giải
Gọi chiều cao của tòa nhà là 15
AB m
= , chiều cao của bạn học sinh là 1,5
BC m
= , ta có độ dài
( )
15 1,5 16,5
AC AB BC m
= + = + = , 
D 49
= °(hai góc so le trong), trong tam giác D
A C vuông
tại A ta có: ( )
.cot 16,5.cot 49
AD AC D m
= = °
Vậy cô bạn cách căn nhà là 16,5.cot 49° m.
Bài 29. Một máy bay thể thao đang bay ngang ở độ cao 3000 m nhìn thấy một cái cây với góc nghiêng
xuống 15°. Hỏi máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét thì sẽ ở ngay trên ngọn
cây?
Lời giải
15 m
1,5 m
49°
A
D
C
B
x
x
3000 m
15°
15°
D
B
C
A

Website:
Gọi đoạn đường cần bay để thấy ngọn cây là AD x
= , độ cao của máy bay là 3000
CD m
= .
Trong tam giác ADC vuông tại D ta có: ( )
.cot 3000.cot15
AD CD A m
= = ° .
Vậy quãng đường máy bay phải bay là 3000.cot15° m.
Bài 30. Từ nóc một cao ốc cao 50mngười ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạn lần
lượt là 62°và 34°. Tính chiều cao cột ăng-ten.
Lời giải
Ta có 50
CD AB m
= = .
Trong tam giác BDC vuông tại D , ta có:  ( )
.cot 50.cot 62
BD CD CBD m
= = ° .
Trong tam giác BDE vuông tại D ta có:  ( )
.tan 50.cot 62 .tan34
DE BD DBE m
= = ° ° .
Chiều cao của cột ăng ten là: ( )
50 50.cot 62 .tan34
CE CD DE m
= + = + ° °
Vậy chiều cao của cột ăng ten là 50 50.cot 62 .tan34 67,93m
+ ° °≈ .
Bài 31. Một cái diều đang bay ở độ cao 60m. Sợi dây cột diều nghiêng với mặt đất một góc 60°. Tính
chiều dài của sợi dây (làm tròn đến mét) khi nó căng thẳng (không có chỗ bị võng).
62°
34°
50 m
D
A C
B
E
A
B
C
D
E
50m
620
340

Website:
Lời giải
Phân tích bài toán ta có hình vẽ:
Xét AHB
∆ vuông tại ,
H áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác
vuông, ta có:


60 60
sin 69.
sin 60 3
sin
2
AH AH
ABH AB
AB ABH
= ⇒ = = = ≈
°
Vậy chiều dài của sợi dây khi nó căng thẳng là ( )
69 .
m
≈
Bài 32. Tháp Capital Gate tại Abu Dhabi cao 160mvà nghiêng 18°. Nếu không nghiêng thì tháp cao
bao nhiêu mét?
Lời giải
Phân tích bài toán ta có hình vẽ:
60m
60°
H
B
A

Website:
Xét AHB
∆ vuông tại ,
H dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác
vuông, ta có:


160
cos 168.
cos18
cos
AH AH
BAH AB
AB BAH
= ⇒ = = ≈
°
Vậy nếu không nghiêng thì tháp Capital Gate tại Abu Dhabi cao ( )
168 .
m
≈
Bài 33. Tính chiều cao của một ngọn núi, cho biết tại hai điểm cách nhau 500m, người ta nhìn thấy hai
đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34°và38°.
Lời giải
18°
160m
H B
A
x
38°
34°
500m B
A
D C

Website:
Xét ABC
∆ vuông tại ,
B áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác
vuông, ta có:
  ( )
tan .tan .tan38 1
AB
ACB AB BC ACB x
BC
= ⇒ = = °
Xét ABD
∆ vuông tại ,
vuông, ta có:
  ( ) ( )
tan .tan 500 .tan34 2
AB
ADB AB BD ADB x
BD
= ⇒ = = + °
Từ ( )
1 và ( )
2 suy ra: ( )
.tan38 500 .tan34
x x
°
= + °
( )
. tan38 tan34 500.tan34
x
⇔ °− °
= °
500.tan34
tan38 tan34
x
°
⇔ =
°− °
Mà .tan38
AB x
= ° nên
500.tan34
.tan38 2468.
tan38 tan34
AB
°
= ° ≈
°− °
.
Vậy ngọn núi đó cao khoảng ( )
2468 .
m
Bài 34. Một cái tháp được dựng bên bờ một con sông, từ một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên kia
người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60°. Từ một điểm khác cách điểm ban đầu 20m,
người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 30°. Tính chiều cao của tháp.
Lời giải
Giả sử đoạn BC có độ dài là ( ).
x m
Xét ABC
∆ vuông tại ,
vuông, ta có:
  ( )
tan .tan .tan 60 1
AB
ACB AB BC ACB x
BC
= ⇒ = = °
x
20 m
60°
30°
B
A
D
C

Website:
Xét ABD
∆ vuông tại ,
vuông, ta có:
  ( ) ( )
tan .tan 20 .tan30 2
AB
ADB AB BD ADB x
BD
= ⇒ = = + °
Từ ( )
1 và ( )
2 suy ra: ( )
.tan 60 20 .tan30
x x
°
= + °
( )
. tan 60 tan30 20.tan30
x
⇔ °− °
= °
20.tan30
tan60 tan30
x
°
⇔ =
° − °
Mà .tan60
AB x
= ° nên
3
20.
20.tan30 3
.tan 60 . 3 17.
tan 60 tan30 3
3
3
AB
°
= °
= ≈
°− °
−
Vậy chiều cao của tháp xấp xỉ ( )
17 .
m
Bài 35. Một bức tượng cao 1,6m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn
thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60°và 45°. Tính chiều cao của cái bệ.
Lời giải
ABC
∆ vuông tại B có  45o
BAC = nên ABC
∆ vuông cân tại B nên AB BC h
= = .
Xét ABD
∆ vuông tại ,
B áp dụng định nghĩa hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta
có:
( ) 1,6
.tan 60 1,6 . 3 3 1 1,6 2,2
3 1
BD AB h h h h h
= ° ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ ≈
−
Vậy chiều cao của cái bệ ( )
2,2 .
h m
≈
Bài 36. Một nhà trẻ muốn thiết kế hai cái cầu tuột trong sân chơi. Đối với trẻ dưới 5 tuổi, cầu tuột cao
1,5mvà nghiêng với mặt đất một góc 30°. Đối với trẻ trên 5 tuổi cầu tuột cao 1,5 m và
nghiêng với mặt đất một góc 45°. Tính chiều dài của mỗi máng tuột.

Website:
Lời giải
Máng tuột của cầu trượt trẻ em dưới 5 tuổi là độ dài EA
Xét  1,5
sin sin30 3(m)
AB
AEB AE
AE AE
= ⇔ °
= ⇒ =
Máng tượt của cầu trượt trẻ em trên 5 tuổi là độ dài AC
Xét  1,5
sin sin 45 1,06(m)
AB
ACB AC
AC AC
= ⇔ °
= ⇒ ≈
Bài 37. Từ chân một cái tháp cao 50mngười ta nhìn thấy đỉnh một tòa nhà với góc nâng30°. Trong
khi đó từchân tòa nhà lại nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60°. Tính chiều cao của tòa nhà.
Lời giải
Chiều cao tòa nhà là độ dài AB .
Xét   50 50 3
, 90 : tan (m)
tan 60 3
DC
DAC DCA DAC AC
AC
∆ = ° = ⇔ = =
°
Xét  
0 0
50 3 50
, 90 : tan .tan30 ( )
3 3
AB
BAC CAB BCA AB m
AC
∆ = = ⇔ = =
Bài 38. Hai trụ điện có cùng chiều cao đặt cách nhau 80m . Một người đứng ở xa (thẳng hàng với hai
trụ điện, không đứng giữa hai trụ điện) nhìn đỉnh hai trụ điện với góc nâng lần lượt là 60°và
30°. Tính chiều cao trụ điện và khoảng cách từ người đó đến chân các trụ điện. Biết mắt người
đó cách mặt đất1,2m .
45°
30°
2m
E C
B
A

Website:
Lời giải
Chiều cao của người là độ dài 1,2m
AH = .
Chiều cao cột điện là BH BA AH
= +
Khoảng cách 2 cột điện là 80m
AC =
Khoảng cách người đến cột 1 và cột 2 lần lượt là độ dài ; .
AM MC
Vì 2 cây cột điện cao bằng nhau  
/ / 60
BD AC DBM BMA
⇒ ⇒ = =
°(2 góc so le trong)
  
180 90
BMD BMA DMC
= °− − = °
Xét  
, 90 , 80(m) :cos 80.cos60 40(m)
BM
BMD BMD DB DBM BM
BD
∆ = ° = = ⇔ = °
=
Xét  
, 90 , 40(m) :cos 40.cos60 20(m);
AM
BMA BAM MB BMA AM
BM
∆ = ° = = ⇔ = °
=
.sin 60 20 3(m)
AB BM
= °
=
80 20 60(m)
MC AC AM
⇒ = − = − =
20 3 1,2 35,8(m)
BH AB AH
⇒ = + = + ≈
Bài 39. Từ trên một ngọn hải đăng cao 75m, người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang
hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là30°và 45°. Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu
mét giữa hai lầnquan sát?
x
80m
1,2m
60°
30°
60°
B
A
C
D
H
M

Website:
Lời giải
Chiều dài quãng đường chiếc thuyền đi giữa hai lần quan sát là độ dài CD.
Xét   75
, 90 : tan 75(m)
tan 45
AB
BAC BAC ACB AC
AC
∆ = ° = ⇔ = =
°
Xét   75
, 90 : tan 75 3(m)
tan30
AB
DAB DAB BDA AD
AD
∆ = ° = ⇔ = =
°
75 3 75 59,9(m)
CD DA AC
= − = − =
Bài 40. Một thủy thủ lái thuyền ra biển hướng về hướng đông bắc với góc nghiêng so với phương bắc
là 41°. Đi được 2,8km anh ta phát hiện sắp hết nhiên liệu nên vội quay thuyền vào bờ, đi
được 1,8km thì thuyền tắt máy. Hỏi lúc đó thuyền cách bờ bao xa?
Lời giải
Khoảng cách từ thuyền đến bờ là độ dài CD
góc nghiêng so với phương bắc là 
xAB =  0
41 49
BAC
° ⇒ =
Xét  
, 90 :sin 2,8.sin 49 2,11(km)
BD
DAB BDA BAD BD
AB
∆ = ° = ⇔ = °
=
2,1 1,8 0,3(km)
CD BD BC
⇒ = − = − =
j
x 2,8
41°
1,8
A D
B
C

Website:
Bài 41. Từ trên đỉnh một tòa nhà cao 7m , người ta nhìn thấy đỉnh một tháp truyền hình với góc nâng
60°và nhìn thấy chân của tháp với góc hạ 45°. Tính chiều cao của tháp truyền hình?
Lời giải
Xét ABC

.cot .cot 45 7.1 7( )
BC AB ACB AB m
= = °
= = (HTL trong tam giác vuông)
( )
7
AB BC m
⇒ = =
Theo đề bài ta có tứ giác ABCE là hình chữ nhật mà AB BC
= (cmt) nên tứ giác ABCE là
hình vuông 7
AE EC AB BC cm
⇒ = = = = .
Xét AED
∆ vuông tại E có:

.tan 7.tan 60 7 3 12,12( )
DE AE DAE m
= = °
= ≈ (HTL trong tam giác vuông)
Nên ( )
7 12,12 19,12
CD CE ED m
= + ≈ + ≈
Vậy chiều cao của tháp truyền hình khoảng 19,12 m.
Bài 42. Một học sinh có khoảng cách từ mặt đến mặt đất là 1,2m bắt đầu quan sát một trái bóng bay
với góc nâng 60°. Một lúc sau lại nhìn thấy quả bóng bay với góc nâng30°. Hỏi giữa hai lần
quan sát quả bóng đã bay được bao nhiêu mét? Cho biết độ cao của quả bóng luôn luôn không
đổi và bằng 88,2m.

Website:
Lời giải
Xét ABP
 3
.cot 87.cot 60 87. 50,23( )
3
AB BP BAP m
= = °
= ≈ (HTL trong tam giác vuông).
Xét ACQ
∆ vuông tại C có:

.cot 87.cot30 87. 3 150,69( )
AC QC BAQ m
= = °
= ≈ (HTL trong tam giác vuông)
Nên ( )
150,69 50,23 100,46
PQ BC AC AB m
= = − ≈ − ≈
Vậy giữa hai lần quan sát quả bóng đã bay được khoảng 100,46 m.
Bài 43. Một người đang ở trên một cái tháp có chiều cao h =100m nhìn xuống một con đường chạy
thẳng đến chân tháp. Anh ta nhìn thấy một chiếc xe máy với góc hạ30°. Sáu phút sau lại nhìn
thấy nó với góc hạ 60°. Hỏi sau bao nhiêu phút thì xe máy đến chân tháp? Cho biết vận tốc xe
máy không đổi.
Lời giải
Gọi vận tốc xe máy là x (m/phút) 6 ( )
CD x m
⇒ = .
Xét ABD

.cot 100.cot30 173,21( )
DB AB ADB m
= = ° ≈ (HTL trong tam giác vuông).
Xét ABC
 3
.cot 100.cot 60 100. 57,74( )
3
CB AB ACB m
= = °
= ≈ (HTL trong tam giác vuông).
( )
173,21 57,74 115,47
CD DB CB m
⇒ = − ≈ − ≈ .
Vận tốc xe máy là:
115,47
19,25
6 6
CD
x = ≈ ≈ (m/phút) .
Thời gian xe máy đi từ C đến chân tháp là: 57,74:19,25 3
≈ (phút).
Bài 44. Để đo chiều cao một cái cây AB . Người ta đặt gương phẳng tại vị trí C . Người đo đi lùi lại
(thẳng người) cho đến khi nhìn thấy bóng ngọn cây A (lúc này là F ). Biết khoảng cách từ
gương đến gốc cây là 30
BC = mét, khoảng cách từ gương đến chỗ đứng là 1,5
CD = mét.
Khoảng cách từ mắt người đo E đến mặt đất là 1,6
ED = mét. Tính chiều cao của cây? (biết
 
BCA DCE
= ).
30° 60°
C
D
A
B

Website:
Lời giải
Xét ABC
∆ và EDC
∆ có:
 
BCA DCE
= (gt)
  ( )
90
ABC EDC
= = °
Nên ABC EDC
∆ ∆
∽ (g.g)
( )
30 30.1,6
32
1,6 1,5 1,5
AB BC AB
AB m
ED DC
⇒ = ⇒ = ⇒ = = .
Vậy chiều cao cây là 32m.
Bài 45. Quan sát hình vẽ dưới đây. Giả sử CD h
= là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp.
Chọn hai điểm A , B trên mặt đất sao cho ba điểm A , B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách
AB và các góc 
CAD , 
CBD . Chẳng hạn ta đo được 24
AB = m,  63
CAD α
= = °,
 48
CBD β
= = ° . Hãy tính chiều cao h của tháp.
Lời giải
Xét DCB

.cot .cot 48 0,9. ( )
CB DC CBD h h m
Xét DCA

.cot .cot 63 0,51. ( )
CA DC CAD h h m
( )
0,9. 0,51. 0,39.
AB CB CA h h h m
⇒ = − ≈ − ≈ .

Website:
( )
24
61,54
0,39 0,39
AB
h m
⇒ ≈ ≈ ≈ .
Vậy chiều cao của tháp khoảng 61,54 m.
Bài 46. Một hình chữ nhật có kích thước là 20 cm và 30cm. Người ta tăng mỗi kích thước thêm x cm.
Gọi y là chu vi của hình chữ nhật mới.
1) Hãy tính y theo x .
2) Tính giá trị của y tương ứng với 3
x = cm; 5
x = cm.
Lời giải
1) Ta có các kích thước của hình chữ nhật sau khi tăng là 20
x + cm và 30
x + cm.
Chu vi hình chữ nhật mới là ( )
2. 20 30 4x 100
y x x
= + + + = + .
Vậy 4x 100
y
= + (cm).
2) Ta có: 4x 100
y
= + .
Với ( )
3 4.3 100 112
x y cm
= ⇒ = + = .
Với ( )
5 4.5 100 120
x y cm
= ⇒ = + = .
Bài 47. Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32 m và chiều rộng là 24 m. Người ta định làm một
vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh, có bề rộng x m (hình vẽ bên). Hỏi bề rộng của
mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại là 560 2
m .
Lời giải
Ta có: Chiều rộng phần đất còn lại là: 24 2x
− (cm).
Chiều dài phần đất còn lại là: 32 2x
− (cm).
Vì diện tích phần đất còn lại là 560 2
m nên ta có phương trình:
( )( )
24 2 32 2 560
x x
− − = 2 2
768 48 64 4 560 28 52 0
x x x x x
⇔ − − + = ⇔ − + =
2
26
x
x
=

⇔  =

Vì
24
12 2
2
x x
< = ⇒ = .
Vậy bề rộng mặt đường là 2m.
Bài 48. Một căn phòng hình vuông được lát bằng những viên gạch men hình vuông cùng kích cỡ, vừa
hết 441 viên (không viên nào bị cắt xén). Gạch gồm 2 loại men trắng và men xanh, loại men
x
x
x
x
24 m
32 m

Website:
trắng nằm trên 2 đường chéo của nền nhà còn lại là loại men xanh. Tính số viên gạch men
xanh.
Lời giải
Gọi cạnh của mỗi viên gạch hình vuông là a (đơn vị diện tích) thì ta có diện tích nền nhà là
2
441a , do đó cạnh của nền nhà là 2
441 21
a a
= . Suy ra đường chéo mỗi viên gạch dài 2
a
và đường chéo của nhà là 21 2
a nên mỗi đường chéo sẽ có 21 viên gạch. Hai đường chéo lại
chung nhau một viên chính giữa nên tổng số viên gạch của hai đường chéo là 41 viên. Vậy
tổng số sẽ có 41 viên gạch trắng và 400 viên gạch xanh.
Bài 49. Bạn Nam đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) gồm đoạn lên dốc và đoạn xuống
dốc,  5
A= °,  4
B= ° , đoạn lên dốc dài 325 m.
1) Tính chiều cao của dốc và chiều dài quãng đường từ nhà đến trường.
2) Biết vận tốc trung bình lên dốc là 8 km/h và vận tốc trung bình xuống dốc là 15 km/h. Tính
thời gian (phút) bạn Nam đi từ nhà đến trường. (Lưu ý kết quả của phép tính làm tròn đến chữ
số thập phân thứ nhất).
Lời giải
1) Gọi chiều cao của dốc là CH .
Trong tam giác ACH vuông tại H ta có ( )
. 325.sin5 28,3
CH AC SinA m
= = ° ≈ .
Trong tam giác BCH vuông tại H ta có ( )
. 325.sin5
406,1
4
CH AC SinA
BC m
SinB SinB Sin
°
= = = ≈
°
.
Vậy chiều cao của dốc gấn bằng 28,3 m.
Chiều dài quãng đường từ nhà đến trường là ( )
325 406,1 731,1 m
+ =
2) Đổi 8 km/h =
400
3
m/phút ; 15 km/h = 250 m/phút.
Ta có thời gian đi từ nhà đến trường là:
325 406,1
4,1
400 250
3
+ ≈ (phút)
Bài 50. Một bức tượng cao 1,6 m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn
thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45°. Tính chiều cao cái bệ.
Lời giải
325m
H
A B
C

Website:
Gọi chiều cao của tượng là đoạn BC , Chiều cao của bệ là đoạn AB . D là điểm trên mặt đất
người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45°.
Vì  45
ADB
= ° nên AB AD
= .
Vì  60
ADC
= ° nên ( )
. 60 3 3
AC ADTan AD AB AB AD
= °
= = = .
Vậy ta có
1,6
3 1,6
3 1
AC AB BC AB AB AB
= + ⇔ = + ⇔ =
−
.
Vậy chiều cao của cái bệ sẽ là
1,6
3 1
−
m.
Bài 51. Một cây có chiều cao 14 m mọc ở phía sau một bức tường cao 8 m và cách bức tường 12 m.
Hỏi người quan sát có chiều cao 1,8 m phải đứng cách bức tường bao nhiêu mét để có thể nhìn
thấy ngọn cây.
Lời giải
Bài toán được mô tả bởi hình vẽ sau:
1,6m
B
C
A D
12m
1,8m
8m
14m
E
C
A G
B
D
F

Website:
Độ dài cần tính là độ dài đoạn CE
Xét ( )
0
90
ABG A
∆ ∠ = có / /
AB DC
( )
8
16
14 12
DC CG CG
CG m
AB AG CG
⇒ = ⇒ = ⇔ =
+
Xét ( )
0
90
DCG C
∆ ∠ = có / /
DC EF
( )
1,8
3,6
8 16
EF EG EG
EG m
DC CG
⇒ = ⇒ = ⇔ =
Có ( )
16 3,6 12,4
CG CE EG CE CE m
= + ⇒ = + ⇔ =
Vậy người quan sát có chiều cao 1,8 m phải đứng cách bức tường bao nhiêu 12,4 mét để có thể
nhìn thấy ngọn cây.
Bài 52. Nhà bạn An ở vị trí A , nhà bạn Bình ở vị trí B cách nhau 1200 m. Trường học ở vị trí C cách
nhà bạn An 500m và AB vuông góc với AC . An đi bộ đến trường với vận tốc 4 km/h, Bình đi
xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h. Lúc 6 giờ 30 phút, cả hai cùng xuất phát đến trường.
Hỏi bạn nào đến trường trước?
Lời giải
Bài toán được mô tả bởi hình vẽ sau :
AC là quãng đường An đi bộ đến trường.
BC là quãng đường Bình đi bộ đến trường.
Xét ( )
0
90
ABC A
∆ ∠ = có:
2 2 2 2 2 2
500 1200 1300 1,3
AC AB BC BC BC m km
+ = ⇒ + = ⇔ = =
Thời gian An đi từ nhà đến trường là : ( )
0,5: 4 0,125 h
=
Thời gian Bình đi từ nhà đến trường là : ( )
1,3:12 0,1083 h
≈
Vậy bạn Bình là người đến trường trước.
Bài 53 Bóng của tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc) trên mặt đất có độ dài 20 m. Cùng thời điểm đó, một cột
sắt cao 1,65 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 2 m. Tính chiều cao của tháp.
Lời giải
Bài toán được mô tả bởi hình vẽ sau
1200m
500m
A B
C

Website:
AC là chiều cao cột tháp ; AB là bóng tháp Bình Sơn
IJ là chiều cao cột sắt ; IK là bóng cột sắt
Tại cùng một thời điểm, các tia sáng là các đường thẳng song song
Có ABC IKJ
∆ ∆
 ( )
1,65
16,5
20 2
AC IJ AC
AC m
AB IK
⇒ = ⇒ = ⇔ =
Vậy chiều cao của tháp là 16,5m .
Bài 54. Một con đê được đắp chắn sóng theo hình dưới, độ dốc của con đê phía sông dài 7 m. Hỏi độ
dốc còn lại của con đê dài bao nhiêu mét?
Lời giải
Ta có BCKH là hình chữ nhật ⇒ BH CK
=
Xét ( )
0
90
ABH H
∆ ∠ = có: .sin
BH AB A
= 0
7.sin50
BH
⇒ = (m)
Có BH CK
= ⇒ 7.sin50
CK
= ° (m)
Xét ( )
0
90
CKD K
∆ ∠ = có: sin
CK
D
CD
=
( ) ( )
0
7.sin50
14.sin50 10,72
sin sin30
CK
CD CD m CD m
D
°
⇒ = ⇒ = = ° ⇔ ≈
Vậy độ dốc còn lại của con đê gần bằng 10,72 m.
Bài 55. Xem hình vẽ sau, người ta có thể dùng giác kế để đo được góc  43
CAB
= ° và  38
CBA
= °. Hỏi
tàu đang ở vị trí điểm H sẽ chạy với vận tốc bao nhiêu km/h để sau 5 phút sẽ đến vị trí điểm
C . Biết khoảng cách từ vị trí điểm A đến vị trí điểm B là 300 m và vị trí 3 điểm A , H , B
thẳng hàng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
2m
20m
1,65m
J
A B
C
I K

Website:
Lời giải
Xét ( )
0
90
AHC H
∆ ∠ = có: 0
.tanA .tan 43
CH AH CH AH
= ⇒ =
Xét ( )
0
90
BHC H
∆ ∠ = có: 0
.tanB .tan38
CH BH CH BH
= ⇒ =
⇒ 0
.tan 43
AH = 0
.tan38
BH
⇔ 0
.tan 43
AH =( ) 0
300 .tan38
AH
−
( )
136,76
AH m
⇔ ≈
( ) ( )
127,53 0,12753
CH m km
⇒ ≈ =
Tàu ở vị trí H để chạy đến C sau 5 phút cần đi với vận tốc: ( )
1
0,12753: 1,53 /
12
km h
≈ .
Bài 56. Ba An muốn mua một cái thang dùng để lên mái nhà. Ba hỏi An phải mua cái thang dài bao
nhiều mét để đảm bảo sự an toàn và có thể leo lên được mái nhà cao 4,5m so với mặt đất. Em
hãy giúp An tính chiều dài thang cần mua, biết góc kê thang an toàn là 75° so với phương
ngang (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Giải
B
C
H
A

Website:
Chiều dài cái thang cần mua là: 0
4,5
4,7
sin 75
m
≈
Bài 57. Một chiếc máy bay bay lên cao với vận tốc 520 /
km h . Đường bay lên tạo với phương nằm
ngang một góc 24°. Hỏi sau 90 giây máy bay lên cao được bao nhiêu km theo phương thẳng
đứng? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Giải
Giả sử AC là đoạn đường máy bay bay lên trong 90 giây thì AB là độ cao bay lên theo
phương thẳng đứng.
Vì 90 giây 0,025
= giờ nên 520.0,025 13
AC km
= =
Do đó 0
13.sin 2 ,
4 5 3
. km
AB AC sin C ≈
= =
Vậy sau 90 giây máy bay lên cao được 5,3 km .
Bài 58. Từ đài quan sát cao 10 m, Nam có thế nhìn thấy 2 chiếc thuyền dưới góc 45° và 30° so với
phương ngang. Hãy tính khoảng cách 2 chiếc thuyền, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
(điều kiện lý tưởng: vị trí 2 chiếc thuyền và vị trí đài quan sát thẳng hàng).
Giải
Vì Nam nhìn thấy hai chiếc thuyền dưới góc 0
45 và 0
30 so với phương ngang nên ta có góc
 
0 0
45 ; 30
BDA BCA
= =
Xét ABC
∆ vuông tại A có:  
0 0
30 60
BCA CBA
= ⇒ =

Website:
Ta có:  0
.tan 10.tan 60 17,3
AC AB CBA m
= = ≈
Xét ABD
∆ vuông tại A có:  
0 0
45 45
BDA DBA
= ⇒ =
 0
.tan 10.tan 45 10
DA AB DBA m
= = =
Vậy khoảng cách giữa hai thuyền 17,3 10 7,3
CD CA DA m
= − = − ≈
Bài 59. Hình ảnh mặt cắt một quả đồi được minh họa là một ABC
∆ với các chi tiết như sau: cạnh đáy
là AC , BH AC
⊥ ,  45
BAC
= °, 200
AH = m, 210
HC = m. Một nhóm học sinh đi dã ngoại
đi từ đỉnh A lên đỉnh B rồi xuống dốc trở về C . Hãy tính quãng đường này?
Giải
0
200
282,8
cos cos45
AH
AB m
A
= = ≈
Áp dụng định lí Pytago cho ABH
∆ vuông tại H và BHC
∆ vuông tại H :
2 2 2
200
BH AB AH BH m
= − ⇒ ≈
2 2 2
290
BC BH HC BC m
= + ⇒ ≈
Vậy quãng đường đi từ A đến đỉnh B rồi xuống dốc về C là:
282,8 290 572,8
AB BC m
+ ≈ + ≈ .
Bài 60. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình vẽ. Tính khoảng cách giữa
chúng (kết quả là tròn đến mét).
Giải
Ta có 0
.tan50 452,9
AI IK m
= ≈
0
.tan 65 814,9
BI IK m
= ≈

Website:
Vậy khoảng cách giữa hai thuyền là 814,9 452,9 362
AB BI AI m
= − ≈ − ≈
Bài 61. Lúc 6h45 phút sáng bạn Nam đi xe đạp điện từ nhà tới trường với vận tốc trung bình là 15
km/h bạn đi theo con đường từ A B C D E G H
      (như trong hình). Nếu có 1
con đường thẳng từ A H
 và đi theo con đường đó với vận tốc trung bình 15 km/h, bạn Nam
sẽ tới trường lúc mấy giờ?
Lời giải
Gọi O AB HG
= ∩ . Ta có: 1000 600 400 2000
AO = + + = m, 500 300 700 1500
HO = + + = m.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AOH có:
2 2 2 2
2000 1500 2500
AH AO HO
= + = + = m = 2,5 km .
Thời gian đi từ nhà đến trường của bạn An là:
2,5 1
15 6
s
t
v
= = = h = 10p.
Vậy thời gian bạn An đến trường lúc 6h55 phút.
Bài 62. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 50 m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với
các góc nâng lần lượt là 30° và 40°. Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao.
Lời giải
500m
400m
300m
600m
700m
1000m
Trường học
Nhà
H
G
E
D
C
B
A

Website:
Đặt: ;
AH x BH y
= = . Theo đề ta có:
tan30 3
x
y x
y
°= ⇒ =
( ) ( ) 50tan 40
tan 40 50 tan 40 50 3 tan 40 17,1
50 1 3 tan 40
x
x y x x x
y
°
°= ⇒ = − ° ⇒ = − ° ⇒ = ≈
− + °
Vậy khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao là: 17,1m.
Bài 63. Một người đi xe máy lên dốc có độ nghiêng 5° so với phương ngang với vận tốc trung bình lên
dốc là 18 km/h. Hỏi người đó mất bao lâu để lên tới đỉnh dốc? Biết đỉnh dốc cách mặt đất 18
m.
Lời giải
Giả sử BC là độ dài của dốc nghiêng 5°so với phương ngang. Khi đó độ cao của dốc là AB .
Trong ABC
∆ vuông tại A , ta có:
18
sin5 206,53
sin5 sin5
AB AB
BC
BC
°
= ⇒= = ≈
° °
.
Ta có:18 /
km h = 5 /
m s .
Thời gian người đó lên dốc là:
206,5
41,31
5
s
t
v
= = ≈ s .
Bài 64. Từ vị trí xuất phát A , hai xe cùng một lúc đi thẳng theo hai hướng khác nhau, tạo một góc
 70
A
= °. Xe thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xe thứ hai đi với vận tốc 50 km/h. Sau 1 giờ 30
phút, hai xe cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
Lời giải
Giả sử B và C là hai vị trí của 2 xe sau 1 giờ 30 phút.
Quãng đường xe A đi được là . 40.1,5 60
A
AB v t
= = = km.
Quãng đường xe B đi được là . 50.1,5 75
B
AC v t
= = = km.

Website:
Kẻ CH AB
⊥ . Khi đó ACH
∆ vuông tại H , ta có:
sin .sin 70 70,48
CH
A CH AC
AC
= ⇒ = ° ≈
cos .cos70 25,65
AH
A AH AC
AC
= ⇒ = ° ≈
Ta có: 60 25,65 34,35
AB AH HB HB HB
= + ⇒ = + ⇒ =
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BHC có:
( ) ( )
2 2
2 2
34,35 70,48 78,41
BC BH CH
= + = + ≈
Vậy sau hai xe cách nhau 78,41 km.
Bài 65. Một máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh xe trước. Bánh xe sau có đường kính
124cm và bánh xe trước có đường kính 80 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì xe
di chuyển được bao nhiêu mét (làm tròn một chữ số) và khi đó bánh xe trước lăn được mấy
vòng?
Lời giải
Chu vi bánh xe sau là: 2 2 .3,14 .3,14 124.3,14 389,36
C R d
= = = = .
Chu vi bánh xe trước là: 1 2 .3,14 .3,14 80.3,14 251,2
C R d
= = = = .
Khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì quãng đường xe di chuyển được là: 20.389,36 7787,2
=
cm.
Số vòng bánh xe trước lăn được là:7787,2: 251,2 31
= vòng.
Bài 66. Trong hình vẽ dưới đây, hai địa điểm A , B cách nhau 100 km. Một xe ô tô khởi hành từ B đến
A với vận tốc 40 km/h. Cùng lúc đó, một xe đạp điện cũng khởi hành từ A trên đoạn đường
vuông góc với AB với vận tốc 20 km/h. Hỏi sau 90 phút thì hai xe cách nhau bao xa.
Lời giải
Đổi 90phút = 1,5giờ.
Quãng đường BC mà người đi từ B đi được trong 1,5 giờ là: 40.1,5 60
= km.
Quãng đường AD mà người đi xe đạp điện đi được trong 1,5 giờ là: 20.1,5 30
= km.
Quãng đường AC dài: 100 60 40
BA BC
− = − = km.
Áp dụng định lý Pytato trong ADC
∆ vuông tại A ta có:

Website:
2 2 2
2 2 2
2
30 40
2500
50
DC AD AC
DC
DC
DC
= +
⇒ = +
⇒ =
⇒ =
Vậy sau 90phút thì hai xe cách nhau 50km.
Bài 67. Với số liệu ghi trên hình (biết tứ giác EFHI là hình chữ nhật và A , I , H thẳng hàng). Cây
trong hình cao bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
Lời giải
Vì tứ giác EFGH là hình chữ nhật nên
EF 1,7
IH
= = m 5,5
EI FH
= = m
Xét AEI
∆ vuông tại I có:

.tan
AI EI AIE
= ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
0
5,5.tan50
7
AI
AI m
⇒ =
⇒ ≈
7 1,7 8,7
AH AI IH
⇒ = + = + = m
Vậy cây trong hình cao 8,7mét
Bài 68. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà khoảng 25 m (điểm A ). Góc nâng từ chỗ anh ta
đứng đến nóc tòa nhà (điểm C ) là 36°.
1) Tính chiều cao tòa nhà (làm tròn đến 0,5 mét)
2) Nếu anh ta đi thêm 5 m nữa, đến vị trí D nằm giữa A và B thì góc nâng từ D đến nóc nhà là
bao nhiêu? (làm tròn đến phút).

Website:
Lời giải
1) Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng BC
Xét ABC

.tan
BC AB BAC
0
25.tan36
18,2
BC
BC m
⇒ =
⇒ ≈
Vậy chiều cao của tòa nhà là 18,2m
2)
Nếu anh ta đi thêm 5 m nữa đến vị trí D thì 5
AD = m
25 5 20
DB AB AD
⇒ = − = − = m
Ta có góc nâng từ D đến nóc nhà là 
CDB .
Xét DBC
∆ vuông tại B có :
 18,2
tan 0,91
20
BC
CDB
DB
= = =
( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
 0 '
42 18
CDB
⇒ =
Vậy góc nâng từ D đến nóc nhà là 0 '
42 18
Bài 69. Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất,cọc cao 2 m và đặt xa cây 15
m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên
một đoạn đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy
là 1,6 m?
Lời giải
36°
25m
A B
C
D

Website:
Giả sử cây có độ cao CD , cọc ở vị trí B có độ dài 2
FB = m, cọc cách cây một đoạn 15
BC =
m.
Vị trí người đứng ở A cách cọc một đoạn 0,8
AB = m.
Khoảng cách từ chân đến mắt người đó là 1,6
AE = m.
Ta có tứ giác AEGC là hình chữ nhật nên
1,6
AE GC
= = m ; 0,8 15 15,8
AC EG AB BC
= = + = + = m
Ta có tứ giác AEHB là hình chữ nhật nên:
1,6
AE HB
= = m; 0,8
EH AB
= = m
Ta có 2 1,6 0,4
FH FB HB
= − = − = m
Xét EFH
∆ vuông tại H có:  0,4 1
tan
0,8 2
FH
FEH
EH
= = = ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét EGD
∆ vuông tại G có: 
.tan
DG EG FEH
1
15,8. 7,9
2
DG m
⇒ = =
7,9 1,6 9,5
DC DG GC m
⇒ = + = + =
Vậy cây cao 9,5m
2m
1.6m
0,8m 15m
H
A C
E
D
F
B
G

Website:
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1. Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định thì được một
hình nón. Tính thể tích V của hình nón biết 13
AC = cm, 5
OC = cm và
( )
2
1
3,14
3
V r h
π π
= = .
Bài 2. Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên bằng 25 cm, đáy là hình vuông ABCDcạnh 30 cm. Tính
diện tích xung quanh của hình chóp.
Bài 3. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước
cho trên hình bên. Hãy tính:
1) Thể tích của dung cụ này.
2) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
Bài 4. Một bồn đựng nước có dạng hình chữ nhật có các kích thước cho trên hình bên.
1) Tính diện tích bề mặt của bồn (không tính nắp)
2) Một vòi bơm công suất 120 lít/phút để bơm một lượng nước vào bồn lên độ cao cách nắp
bồn là 1,5 m thì phải mất bao lâu? (bồn không chứa nước)
r
h l
O
C
A
30 cm
25 cm
H
C
A
B
D
S

Website:
Bài 5. Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài 2,2m. Người ta cắt bỏ mỗi góc 1 hình vuông có diện
tích là 1600 2
cm rồi gập lại và thiết kế thành một hình chữ nhật không có nắp có thể tích là
448000 2
cm . Tìm chu vu tấm tôn hình chữ nhật lúc ban đầu.
Bài 6. Cái mũ có vành của chu hề với các kích thước cho theo hình vẽ sau.
1) Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ của chú hề (không kể riềm, mép, phần
thừa)
2) Chú hề dự định mua bột đổ đầy nón để làm ảo thuật. Chú hề cần mua khối lượng bột là bao
nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)? (Biết rằng khối lượng riêng của loại bột đó là 1 gram/cm3
nghĩa là 1 cm3
tương ứng với 1 gram)
Bài 7. Các khối Rubic hình lập phương có kích thước 5,7 cm × 5,7 cm × 5,7cm được đựng trong
một hộp hình chữ nhật có diện tích đáy lòng hộp là 17,1cm × 28,5cm và hộp chứa đầy được 60
khối Rubic. Tính chiều cao '
AA của lòng hộp (làm tròn đến đơn vị)
Bài 8. 1) Người ta muốn làm một xô nước dạng chóp cụt như hình dưới, hãy tính diện tích tôn cần
thiết để gò nên xô nước theo các kích thước đã cho (xem phần ghép mí không đáng kể).
2,3 m
11,5m
3,1 m
B
C
A
B'
D' C'
A'
D

Website:
2) Hỏi xô nước đã làm có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?
Bài 9. Một cái lều ở trại hè có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình vẽ). biết 1,2
AH = m, 5
CC′ =
m, C 3,2
B′ ′ = m, 2
A C
′ ′ = m.
1) Cho biết thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác được tính theo công thức .
V S h
= , trong đó
S là diện tích đáy, h là chiều cao. Tính theo 3
m thể tích của khoảng không ở bên trong lều
này.
2) Số mét vải bạt cần phải có để dựng lều đó là bao nhiêu? (không tính các mép và nếp gấp của
vải lều, lều có cửa).
Bài 10. 1. Tính diện tích lợp tôn mái nhà, biết AB BC
= , 15m
GH = , 10m
HI = ,  35
BCA
= °
2. Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo ( )
OA OB
= . Hãy
so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích hình trụ.
10m
15m
35°
H
A
G
C
I
B
D
F
E

Website:
Bài 11. Một hồ bơi ở một trường THCS có dạng là hình hộp chữ nhật có chiều rộng là 6m , chiều dài l
18m, chiều cao là 1,5m .
1. Tính thể tích hồ bơi.
2. Một người quản lý hồ bơi cho nước chảy vào hồ, cứ 30 phút thì có được 3
5m nước. Hỏi
trong bao lâu thì hồ đầy nước.
Bài 12. Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 1 tấm tôn lớn
có kích thước 1m 20m
× (biết giá 2
1m tôn là 90000 đ) bằng 2 cách:
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1)
Cách 2: chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng nhau rồi gồ tấm tôn thành 1 hình hộp chữ
nhật như hình bên.
Biết khi xây xong bể theo dự định, mực nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự
nghiệp là 9955 đ/ 3
1m . Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn các nào để
không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán).
Bài 13. Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm
thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 3
1500dm . Hãy tính kích thước
của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.
18 m
6 m
1,5 m
H ình 1
20 m
1 m
H ình 2
4 m
6 m
4 m
6 m
1 m

Website:
Bài 14. Bạn An làm một mô hình kim tự tháp để giới thiệu về lịch sử Ai Cập cổ đại. Vì kích thước của
khu trưng bày, An quyết định làm mô hình kim tự tháp từ một tấm bìa hình vuông có cạnh là 5
dm . Nhờ sự giúp đỡ của Thầy, An đã tạo một mô hình kim tự tháp bằng cách cắt bỏ bốn tam
giác cân bằng nhau có đáy là cạnh của hình vuông rồi gấp lên sau đó ghép lại để thành một hình
chóp tứ giác đều như hình vẽ. An đã cắt miếng bìa trên sao cho cạnh đáy của khối chóp tứ giác
đều là 2 2 dm . Em hãy tính thể tích của khối chóp tứ giác đều đó (tính theo đơn vị 3
dm ), biết
thể tích của hình chóp được tính theo công thức:
1
. .
3
V S h
= , trong đó S là diện tích mặt đáy, h
là chiều cao hình chóp, các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau,
GB GH
⊥ và A là tâm hình vuông.
Bài 15. Người ta đào một đoạn mương dài 20m , sâu 1,5m . Trên bề mặt có chiều rộng 1,8m và đáy
mương là 1,2m (hình vẽ là một lăng trụ đứng có chiều cao 20m, đáy là hình thang cân có: cạnh
đáy lớn là 1,8m ; cạnh đáy nhỏ 1,2m và chiều cao 1,5m .
1) Tính thể tích khối đất phải đào lên
2) Người ta chuyển toàn bộ khối đất đi để rải lên một miếng đất hình chữ nhật có kích thước
12mvà 15m. Số đất được chuyển bằng một chiếc ô tô chở mỗi chuyến 3
6m . Hỏi:
i) Bề dày của lớp đất rải lên miếng đất hình chữ nhật.
ii) Cần bao nhiêu chuyến ô tô để tải hết khối đát.
Bài 16. Một hộp thực phẩm có hình trụ. Biết diện tích của đáy là 2
12,56cm .
1) Hãy tính bán kính của đường tròn đáy của hình trụ (biết 3,14
π = )
2) Biết chiều cao của hình trụ là 5cm. Hãy tính thể tích của hộp thực phẩm.
Bài 17. Một trường THCS ở thành phố chuẩn bị xây dựng một hồ bơi cho học sinh với kích thước như
sau: chiều rộng là 6m , chiều dài 12,5m , chiều sâu 2m . Sức chưa trung bình 2
0,5m /1người
(tính theo diện tích mặt đáy). Thiết kế như hình vẽ sau:
1) Hỏi hồ bơi có sức chứa tối đa bao nhiêu người?
2) Tính thể tích hồ bơi? Lúc này người ta đổ vào trong đó 120.000 lít nước. Tính khoảng cách
của mực nước so với mặt hồ? ( 3
1m 1000
= lít).
5 dm
5 dm
5 dm
5 dm

Website:
Bài 18. Một hồ bơi có dạng là một lăng trụ đứng tứ giác với đáy là hình thang vuông (mặt bên (1) của
hồ bơi là 1 đáy của lăng trụ) và các kích thước như đã cho(xem hình vẽ). Biết rằng người ta
dùng một máy bơm với lưu lượng là 3
42m / phút và sẽ bơm đầy hồ mất 25 phút. Tính chiều
dài của hồ.
Bài 19. Đổ nước vào chiếc thùng hình trụ có bán kính đáy là 20 cm. Nghiêng thùng sao cho mặt nước
chạm vào miệng cốc và đáy cốc như hình vẽ thì mặt nước tạo với đáy thùng một góc 45°. Hỏi
thể tích của thùng là bao nhiêu?
Bài 20. Một hồ nước hình hộp chữ nhật có kích thước 12 6 2
× × ( m ).
a) Hỏi muốn bơm nước đầy hồ bơi thì cần bao nhiêu 3
m nước?
b) Cần dùng bao nhiêu viên gạch có cùng kích thước 20 20
× (cm) để lát hết bốn mặt xung
quanh của hồ bơi? (nếu xem khấu hao khe hở giữa các viên gạch là không đáng kể).
Bài 21. Một bình chứa nước hình hộp chữ nhật có diện tích đáy là 2
20dm và chiều cao là 3 dm. Người
ta rót hết nước trong bình ra những chai nhỏ, mỗi chai có thể tích là 3
0,35dm được tất cả 72
chai. Hỏi lượng nước có trong bình chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích bình?
3m
0,5m
(1)
chiều dài
6m
E
A
D
C
B
12 m
6 m
2 m

Website:
Bài 22. Nón lá dùng để che nắng, mưa, làm quạt khi nóng. Ngày nay nón lá cũng được xem là món quà
đặc biệt cho du khách khi đến tham quan Việt Nam. Biết rằng một nón lá có đường kính vành
là ( )
50 ,
cm đường sinh của nón là ( )
35 .
cm Hãy tính thể tích của nón lá đó?
Bài 23. Bác Lan muốn may một cái lều cắm trại bằng vải bạt có dáng hình chóp tứ giác đều với kích
thước như hình vẽ minh họa.
1) Bác Lan cần phải dùng ít nhất bao nhiêu 2
m vải bạt?
2) Tính thể tích không khí trong lều sau khi làm xong?
Bài 24. Thùng của một xe tải có dạng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ minh
họa.
a) Tính thể tích của thùng chứa?
b) Nếu ( )
3
1 m cát nặng 1,6 tấn và xe chở đến
3
4
trọng tải của nó thì sức nặng của cát lúc đó là
bao nhiêu?
Bài 25. Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ minh họa. Hãy tính thể
tích của bồn chứa (đơn vị 3
m ) biết rằng nửa hình cầu có đường kính 1,8 m và hình trụ có chiều
cao 3,62 m .
8m
12m
H O
C D
B A
S
5 m
2 m
1 m

Website:
Bài 26. Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm như hình vẽ minh họa. Biết số đo diện tích xung
quanh là ( )
2
65 .
cm
π Hãy tính chiều cao của hình nón?
Bài 27. Tính thể tích không khí ( 3
km ) trong tầng đối lưu trái đất biết rằng bán kính trái đất là khoảng
6371( km ) và tầng đối lưu được tính từ mặt đất cho đến khoảng 10 km so với mặt đất (làm tròn
đến 3
km ).
Bài 28. Một trường THCS ở thành phố chuẩn bị xây dựng một hồ bơi cho học sinh với kích thước như
sau: chiều rộng là 6m, chiều dài ( )
12,5 ,
m chiều sâu 2( ).
m Sức chứa trung bình 2
0,5m / người
(tính theo diện tích mặt đáy).
a) Hồ bơi có sức chứa tối đa bao nhiêu người?
b) Tính thể tích của hồ bơi? Lúc này người ta đổ vào trong đó 120 000 lít nước. Tính khoảng
cách của mực nước so với mặt hồ? ( 3
1m 1000
= lít).
Bài 29. Cột sắt Delhi là một cây cột bằng sắt được đúc vào thế kỷ thứ 5, ở Ấn Độ. Cột làm bằng sắt
(được xem là nguyên chất), nhưng trải qua 1600 năm cột sắt này vẫn không gỉ và trở thành biểu
5 m
O B
A
12,5 m
6 m
2 m
1,8m
3,62m

Website:
tượng cho nền văn minh của dân tộc Ấn Độ. Cột sắt có hai phần dạng hình trụ gồm phần đế
đường kính ( )
0,4 ,
m chiều cao là ( )
1 m và phần thân đường kính ( )
0,3 m và chiều cao khoảng
( )
6 .
m Tính khối lượng cột sắt Delhi, biết công thức tính khối lượng chất rắn là .
m DV
=
(trong đó m: khối lượng ( kg ); D: khối lượng riêng 3
kg/m (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng
đơn vị).
Bài 30. Một hộp thực phẩm hình trụ, biết diện tích đáy là ( )
2
12,56 .
cm
a) Tính bán kính đường tròn đáy của hình trụ biết 3,14
π ≈ .
b) Biết chiều cao của hình trụ là 5 .
cm Hãy tính thể tích của hộp thực phẩm.
Bài 31. Một hồ bơi có chiều dài 25 m , chiều rộng 10 m , chiều sâu 2 m . Có 1 vòi nước chảy vào trong
hồ đang cạn với lưu lượng 3
2,5m trong 1 phút. Hỏi sau mấy giờ thì đầy bể.
Bài 32. Trong một khu vui chơi, người ta dựng một mô hình kim tự tháp bằng bê tông cốt thép. Kim tự
tháp là hình chóp đều, đáy là hình vuông mỗi cạnh 3m, chiều cao hình chóp là 4m. Tính khối
lượng bê tông cốt thép đã sử dụng. Biết rằng khối lượng bê tông cốt thép là 2,5 tấn / 3
m .
Bài 33. Thùng phuy là một vật dụng hình ống dùng để chứa và chuyên chở chất lỏng với dung tích lớn.
Mỗi thùng phuy có đường kính nắp và đáy là 584 mm, chiều cao là 876 mm. Hãy tính diện tích
xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của thùng phuy?
Bài 34. Một xe tải đông lạnh chở hàng có thùng xe dạng hình hộp chữ nhật với kích thước như hình
bên. Bạn hãy tính giúp thể tích của thùng xe và diện tích toàn phần inox đóng thùng xe, tính
luôn sàn.
3 m
4 m
C
A
B
D
S

Website:
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1. Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định thì được một
hình nón. Tính thể tích V của hình nón biết 13
AC = cm, 5
OC = cm và
( )
2
1
3,14
3
V r h
π π
= = .
Lời giải
Hình nón có đường cao là
2 2 2 2
13 5 12
OA AC OC
     cm và bán kính đáy 5
OC
cm. Thể tích V của hình nón là 2 2
1 1
3,14 5 12 314
3 3
V r h

      cm3
.
Bài 2. Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên bằng 25 cm, đáy là hình vuông ABCDcạnh 30 cm. Tính
diện tích xung quanh của hình chóp.
Lời giải
2 m
1,5 m
3 m
A
B C
D
A'
B' C'
D'
r
h l
O
C
A
30 cm
25 cm
H
C
A
B
D
S

Website:
Gọi H là trung điểm cạnh CD. Ta có
2
2 2 2
1
25 15 20
2
SH SC CD
 


    

 

 
cm.
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là 60.20 1200
xq
S pd
   cm2
.
Bài 3. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước
cho trên hình bên. Hãy tính:
1) Thể tích của dung cụ này.
2) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
Lời giải
1) Thể tích của dụng cụ bằng tổng thể tích của hình trụ và thể tích của hình nón.
Bán kính của đáy: 70
r  cm.
Thể tích của hình trụ là: 2 2
.70 .70 343000
tru tru
V r h
  
   cm3
.
Chiều cao của hình nón: 160 70 90
non
h    cm.
Thể tích của hình nón là: 2 2
1 1
.70 .90 147000
3 3
non non
V r h
  
      cm3
.
Vậy thể tích của dụng cụ này là: 343000 147000 490000
tru non
V V V   
     cm3
.
2) Diện tích bề ngoài của dụng cụ (không tính diện tích nắp đậy) bằng tổng diện tích xung
quanh của hình trụ và diện tích xung quanh của hình nón.
Diện tích xung quanh của hình trụ là: 2 2 .70.70 9800
xq
S rh
  
   cm2
.
Đường sinh của hình nón là: 2 2
90 70 10 130
l    cm.
Diện tích xung quanh của hình nón là: .70.10 130 .700 130
xq
S rl
  
   cm2
.
Vậy diện tích bề ngoài của dụng cụ (không tính diện tích nắp đậy) là:
 
9800 .700 130 9800 700 130 55861
  
    cm2
.
Bài 4. Một bồn đựng nước có dạng hình chữ nhật có các kích thước cho trên hình bên.
bồn là 1,5m thì phải mất bao lâu? (bồn không chứa nước)

Website:
Lời giải:
Diện tích bề mặt của bồn : ( ) ( )
2
3,1x 2,3+11,5x 2,3 x2+11,5x3,1 102,81 m
S
= =
bồn là 1,5m thì phải mất bao lâu? (bồn không chứa nước).
Thể tích của nước cần bơm là: ( )
3
11,5x3,1x (2,3 1,5) 28,52 m
V
= −
=
Ta có 3
1m 1000l
= vậy ( )
3
28,52 m 28520
= (lít)
Lại có, 1 phút bơm được 120 lít nên 28520 ( lít) sẽ bơn trong
28520
237,67
120
≈ (phút).
Bài 5. Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài 2.2m . Người ta cắt bỏ mỗi góc một hình vuông có
diện tích là 1600 2
cm rồi gập lại và thiết kế thành một hộp chữ hình chữ nhật không có nắp có
thể tích là 448000 3
cm . Tìm chu vi tấm tôn hình chữ nhật lúc ban đầu.
Lời giải:
Ta có diện tích hình vuông cạnh a cm ( 0
a > ) là 2
1600 40
a a
= ⇔ = cm(vì 0
a > ).
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là b cm( 0
b> ) nên ta có các cạnh của hình hộp chữ
nhật là
220 80 140; 80;40
b
− = − nên thể tích của hình hộp chữ nhật bằng:
( )
140. 80 .40 448000
V b
= − = 160
b
⇒ = cm.
Suy ra chu vi tấm tôn ban đầu là ( )
220 160 .2 760
+ =
cm.
Bài 6. Cái mũ có vành của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ sau.
thừa)
nghĩa là 1 cm3
2,3 m
11,5m
3,1 m

Website:
Lời giải
thừa)
Bán kính của đường tròn ngoài vành mũ là
86
43
2
= cm, suy ra bán kính của đường tròn trong
là 43 21 22
− = cm.
Diện tích xung quanh của hình nón là .22.72 1584
xq
S π π
= = 2
cm
Diện tích của vành mũ là : 2 2
.43 .22 1365.
vanh
S π π π
= − = 2
cm
Diện tích vải để làm mũ là: 1365. 1584 9264,556735
S π π
= + = 2
cm .
nghĩa là 1 cm3
Chiều cao của chiếc mũ là: 2 2
72 22 68,56
h cm
= − ≈
Thể tích để đựng bột 2
1
.22 .68,56 34749,2
3
V π
= ≈ 3
cm nên chú hề cần mua khối lượng bột là
34749,2 gram.
Bài 7. Các khối Rubic hình lập phương có kích thước 5,7 cm × 5,7 cm × 5,7cm được đựng trong
một hộp hình chữ nhật có diện tích đáy lòng hộp là 17,1cm × 28,5cm và hộp chứa đầy được 60
khối Rubic. Tính chiều cao '
AA của lòng hộp (làm tròn đến đơn vị)

Website:
Lời giải
Thể tích của mỗi khối Rubic là ( ) ( )
3 3
5,7 185,193 cm
V
= =
Khối hộp chữ nhật chứa được 60 khối Rubik trong khi đáy là hình chữ nhật có diện tích bằng
17,1 28,5 5,7 3 5,7 5
× = × × × .
Từ đó suy ra các khối Rubic được xếp vào hộp chữ nhật thành các lớp, mỗi lớp chứa 3 5 15
× =
khối Rubic.
Số lớp Rubic được xếp trong hộp chữ nhật là 60:15 4
= .
Vậy chiều cao của khối hộp là 5,7 4 22,8 (cm)
× = .
Theo bài ra ta có chiều cao của khối hộp là 23 (cm)
Bài 8. 1) Người ta muốn làm một xô nước dạng chóp cụt như hình dưới, hãy tính diện tích tôn cần
thiết để gò nên xô nước theo các kích thước đã cho (xem phần ghép mí không đáng kể).
2) Hỏi xô nước đã làm có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?
Lời giải
1) Chiều cao của chiếc xô là 2 2
30 10 20 2 (cm)
h= − =
Suy ra hình nón tạo bởi hình nón cụt trên có chiều cao bằng 40 2 (cm) , độ dài cạnh bên của
hình nón bằng 60 (cm).
Diện tích tôn cần dùng để gò chiếc xô là 2
1 2 .20.60 10.30 900 (cm )
S S S π π π
= − = − =
2) Thể tích tối đa xô có thể chưa là 2 2 3
1 2
1 1 14000 2
.20 .40 2 .10 .20 2 (cm )
3 3 3
V V V
= − = − =
Bài 9. Một cái lều ở trại hè có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình vẽ). biết 1,2
AH = m, 5
CC′ =
m, C 3,2
B′ ′ = m, 2
A C
′ ′ = m.
1) Cho biết thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác được tính theo công thức .
V S h
= , trong đó
S là diện tích đáy, h là chiều cao. Tính theo 3
m thể tích của khoảng không ở bên trong lều
này.
B
C
A
B'
D' C'
A'
D

Website:
2) Số mét vải bạt cần phải có để dựng lều đó là bao nhiêu? (không tính các mép và nếp gấp của
vải lều, lều có cửa).
Lời giải
1) Diện tích tam giác ABC bằng 2
1 1
. 1,2 3,2 1,92 ( )
2 2
ABC
S AH BC m
= = × = .
Thể tích khoảng không gian bên trong lều bằng 3
. 1,92 5 4,6 (m )
ABC
V S AA′
= = × =
2) Diện tích bạt cần dùng ít nhát là bằng diện tích hai hình chữ nhật AA C C
′ ′ và AA B B
′ ′ .
Ta có 2
. 5.2 =10(m )
AA C C AA B B
S S AA AB
′ ′ ′ ′ ′
= = = .
Nên diện tích bạt cần sử dụng là 2
20 m .
Bài 10. 1. Tính diện tích lợp tôn mái nhà, biết AB BC
= , 15m
GH = , 10m
HI = ,  35
BCA
= °
2. Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo ( )
OA OB
= . Hãy
so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích hình trụ.
Lời giải
10m
15m
35°
H
A
G
C
I
B
D
F
E

Website:
1. Vì ACHG là hình chữ nhật nên 15m
AC GH
= =
Kẻ BP AC
⊥ . Lại có ABC
∆ cân tại A nên P là trung điểm của AC , suy ra
7,5
2
AC
AP PC m
= = = .
Xét PBC
∆ vuông tại P có
7,5
cos
CP
BCP
BC BC
∠ = = 0
7,5 15
.
cos 2cos35
BC AB
BCP
⇒= = =
∠
Vì CDIH là hình chữ nhật nên 10m
DC HI
= =
Vì BEDC là hình chữ nhật nên 10m
BE CD
= =
Diện tích tấm lợp mái tôn là
2
0 0
15 300
. . .2. 10.2.
2cos35 cos35
ABEF BEDC
S S BE AB BE BC BE AB m
+ = + = = =
2. Ta có R là bán kính đáy của hình trụ, diện tích đáy của hình trụ là 2
S R
π
=
Thể tích của hình trụ là 2
.2 2 .
V S OA R OA
π
= =
Do hai hình nón có chiều cao bằng nhau và có cùng bán kính đáy nên thể tích của mỗi hình
bằng nhau. Thể tích của mỗi hình nón là
2
1
1 1
. . . .
3 3
V S OA R OA
π
= =
Thể tích của hai hình nón là
2
1
2 1
2 .
3 3
V R OA V
π
= =
Vậy thể tích của hai hình nón bằng
1
3
thể tích của hình trụ.
Bài 11. Một hồ bơi ở một trường THCS có dạng là hình hộp chữ nhật có chiều rộng là 6m , chiều dài l
18m, chiều cao là 1,5m .
P

Website:
1. Tính thể tích hồ bơi.
2. Một người quản lý hồ bơi cho nước chảy vào hồ, cứ 30 phút thì có được 3
5m nước. Hỏi
trong bao lâu thì hồ đầy nước.
Lời giải
1. Thể tích hồ bơi là
18.6.1,5 162
V
= = 2
m
2. Hồ đầy nước trong số phút là
162:5.30 972
= (phút)
Bài 12. Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 1 tấm tôn lớn
có kích thước 1m 20m
× (biết giá 2
1m tôn là 90000 đ) bằng 2 cách:
Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1)
Cách 2: chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng nhau rồi gồ tấm tôn thành 1 hình hộp chữ
nhật như hình bên.
Biết khi xây xong bể theo dự định, mực nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự
nghiệp là 9955 đ/ 3
1m . Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách nào
để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán).
Lời giải
Số tiền để làm tấm tôn là
90000.(1.20) 1800000
= (đồng)
18 m
6 m
1,5 m
H ình 1
20 m
1 m
H ình 2
4 m
6 m
4 m
6 m
1 m

CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng.pdf

CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng.pdf

Similar to CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng.pdf (20)

More from Nguyen Thanh Tu Collection

More from Nguyen Thanh Tu Collection (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (11)

CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 NĂM 2023 toán thực tế hình học, hình học không gian, lãi suất ngân hàng.pdf