Función

1. FUNCION CUADRATICA
EJERCICIO 1
Un equipo de béisbol juega en un estadio con capacidad de 55000 espectadores. Con el
precio del boleto en $10, el promedio de asistencia en partidos recientes ha sido de
27000.Un estudio de mercado indica que por cada dólar que baje el precio del boleto, la
asistencia aumenta en 3000.
Solución
 Determine una función que modele el ingreso en función del precio x del boleto.
Datos:
Capacidad de espectadores: 55000
PRECIO ESPECTADORES
10 27000
10-1 27000 +3000
10-2 27000 +3000(2)
.
.
.
.
.
.
10- n 27000 +3000(n)
El precio tiene que estar en función de x.
10 − 𝑛 = 𝑥 ; 𝑛 = 10 − 𝑥
𝐼(𝑥) = (10 − 𝑛)(27000 + 3000(𝑛)

2. 𝐼(𝑥) = (𝑥)(27000+ 3000(10− 𝑥))
Rpta: 𝐼(𝑥) = 𝑥(57000 − 3000𝑥)
 Determine el precio del boleto que genera el máximo ingreso.
𝐼(𝑥) = −3000𝑥2
+ 57000𝑥
𝐼(𝑥) = −3000(𝑥2
− 19𝑥)
𝐼(𝑥) = −3000[(𝑥 −
19
2
)
2
−
361
4
]
𝐼(𝑥) = −3000(𝑥 −
19
2
)
2
+ 270750
Rpta:
Precio del boleto: 19/2: $ 9.5 y se logra un ingreso máximo de $ 270750.

3. EJERCICIO 2
1. Sea la función :𝑦 = 𝑥2
− 6𝑥 + 5
Solución:
Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque 𝑎 = 1 > 0.
El eje de simetría es la recta 𝑥 = −𝑏/2𝑎
𝑥 =
−(−6)
2(1)
= 3
El vértice tiene abscisa:𝑥0 = 3 y por ordenada: 𝑦0 = 32
− 18 + 5 = −4
Entonces el vértice es el punto (3;−4)
Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos:𝑥2
− 6𝑥 + 5 = 0
Resolvemos:
𝑥 =
6 ± √36 − 20
2
= {
10
2
= 5
2
2
= 1
Entonces los puntos de corte son: (5;0) y (1;0).
El punto de corte con el eje de ordenadas es
(0;5).

4. EJERCICIO 3
Determine la función cuadrática cuya gráfica pase por los puntos:(1;−1) (−3; −33) y
(2; −8).
Solución
 Primer punto (1;−1)
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑓(1) = 𝑎(1)2
+ 𝑏(1) + 𝑐
−1 = 𝑎(1)2
+ 𝑏(1) + 𝑐
−1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 Segundo punto (−3; −33)
𝑓(−3) = 𝑎(−3)2
+ 𝑏(−3) + 𝑐
−33 = 9𝑎 − 3𝑏 + 𝑐
 Tercer punto (2;−8)
𝑓(2) = 𝑎(2)2
+ 𝑏(2) + 𝑐
−8 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
A continuación resolveremos los sistemas de ecuaciones para hallar los valores de a, b y c.
Resolveremos un sistema de ecuaciones con la primera y segunda ecuación.
𝑐 = −1 − 𝑎 − 𝑏

5. Reemplazamos en la segunda ecuación.
9𝑎 − 3𝑏 − 1 − 𝑎 − 𝑏 = −33
8𝑎 − 4𝑏 = −32
2𝑎 − 𝑏 = −8
Reemplazamos en la tercera ecuación.
4𝑎 + 2𝑏 − 1 − 𝑎 − 𝑏 = −8
3𝑎 + 𝑏 = −7
Resolveremos un sistema de ecuaciones.
{
2𝑎 − 𝑏 = −8
3𝑎 + 𝑏 = −7
5𝑎 = −15
𝑎 = −3
𝑏 = 2
𝑐 = 0
Por lo tanto la función seria:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Reemplazamos los valores encontrados para a, b y c.
Rpta:
𝑓(𝑥) = −3𝑥2
+ 2𝑥 + 0
Esta sería la función cuadrática que pasa por los tres puntos.

6. EJERCICIO 4
En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que
el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función 𝑓(𝑥) =
−3𝑥2
+ 72𝑥 + 243, siendo 𝑥 el número de días transcurridos desde que se detectó la
enfermedad.
Determine:
a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
𝑓(𝑥) = −3𝑥2
+ 72𝑥 + 243
0 = −3𝑥2
+ 72𝑥 + 243
𝑥1 = 27 ; 𝑥2 = −3
Rpta: tiene que transcurrir 27 días para que desaparezca la enfermedad.
b) El número máximo de personas afectadas y el día en que ocurre.
𝑓(𝑥) = −3𝑥2
+ 72𝑥 + 243
𝑓(𝑥) = −3(𝑥2
− 24𝑥 − 81)
Completamos cuadrados:
𝑓(𝑥) = −3(𝑥2
− 24𝑥 − 81 + 122
− 122
)
𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 12)2
+ 675
Rpta: el número máximo de personas afectadas es 675 y se da en el día 12.

7. c) La gráfica de la función.
𝑓(𝑥) = −3(𝑥 − 12)2
+ 675

8. EJERCICIO 5
El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por.
𝑃 (𝑥) = 5000 + 1000𝑥 − 5𝑥2
, donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la
empresa gasta en publicidad.
Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.
Encuentra el máximo beneficio Pmáx.
Solución
𝑃 (𝑥) = 5000 + 1000𝑥 − 5𝑥2
𝑃(𝑥) = −5(𝑥2
− 200𝑥 − 1000)
Completamos cuadrados:
𝑝(𝑥) = −5(𝑥2
− 200𝑥 − 1000 + 1002
− 1002)
𝑝(𝑥) = −5(𝑥 − 100)2
+ 55000
Llegamos a la fórmula de la parábola:
𝑝(𝑥) = −5(𝑥 − 100)2
+ 55000
𝑉(100;55000)
Grafica