1. 1
Lekc 1
Xiqääliïn sädäw: Matric tüün däär xiïx üïldlüüd
1. Matricyn erönxiï oïlgolt, xälbärüüd
m mör n bagana büxiï tabliciïn xälbäräär baïrluulagdsan m·n toog
m × n xämjäätäï matric gäj närlääd
 
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
 
 . . . . . . 
A=  .

 . . . . . 
 . . . . . . 
am1 am2 . . . amn
gäj biqnä. Matricyg bürdüülj baïgaa aij toonuudyg tüüniï älemen-
tüüd gänä. m mör, n baganataï matricyg Am×n buµu A = (aij ), i =
1, m, j = 1, n gäj tämdäglänä. Üünd: i-möriïn dugaar, j-baganyn dugaar
µm.
m × n xämjäästäï A = (aij ), B = (bij ) 2 matricyn xuw´d aij = bij bol
tädgääriïg täncüü gäx ba A = B gäj biqnä. Üünd: i = 1, 2, ..., m, j=
1, 2, ..., n bolno.
Matricyn xälbärüüd:
Näg möröös togtson matricyg mör matric gäx ba näg baganaas togt-
sonyg bagana matric gänä. Ji²äälbäl A = (a11 , a12 , ..., a1n ) mör ma-
 
b11
 b21 
 
 . 
tric, B =  
 .  bagana matric µm. Xäräw matricyn möriïn too
 
 . 
bm1
baganyxaa tootoï täncüü ba tädgääriïn too n ba n ärämbiïn kwadrat
matric gänä. Möriïn dugaar n´ baganyn dugaartaïgaa täncüü (i = j)
baïx matricyn älementüüd aij -g diagonaliïn gäx ba tädgäär n´ matri-
cyn gol diagonaliïg biï bolgono.

2. 2
 
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
 
 . . . . . . 
A=  .
 Kwadrat matricyn a11 , a22 , ..., ann äle-
 . . . . .  
 . . . . . . 
an1 an2 . . . ann
mentüüd n´ tüüniï gol diagonaliïg, an1 , an−1 2 , ..., a1n älementüüd n´
tüüniï xajuugiïn diagonaliïg bürdüülnä. Xäräw kwadrat matriciïn
gol diagonaliïn bi² büx älementüüd n´ tägtäï täncüü bol diagonal´
matric gänä. Xäräw n-ärämbiïn diagonal´ matricyn diagonaliïn büx
älementüüd nägtäï täncüü baïwal ug matricyg n ärämbiïn nägj matric
 
1 0 . . . 0
 0 1 . . . 0 
 
 . . . . . . 
gäx ba E üsgäär tämdäglädäg. E =  
 . . . . . .  Xäräw duryn
 
 . . . . . . 
0 0 . . . 1
xämjääst matricyn büx älementüüd tägtäï täncüü bol täg matric gänä.
 
0 0 ... .
 . . ... . 
O= 
 ... ... ... ...  Diagonaliïn büx älementüüd n´ täncüü baïx di-
0 0 ... 0
 
a 0 ... 0
 0 a ... 0 
agonal´ matricyg skal¶r matric gänä. A =  
 ... ... ... ...  Xäräw A
0 0 ... a
kwadrat matricyn aij älementüüd n´ i > j üed tägtäï täncüü bol dääd
gurwaljin matric gäx ba xarin i < j üed tägtäï täncüü bol dood gur-
waljin matric gäj närlädäg. 

2 4 −1
Ji²äälbäl: A =  0 3 5  dääd gurwaljin matric
  0 0 7
4 0 0
B =  −1 1 0  dood gurwaljin matric
0 2 3
2. Matric däär güïcätgäx üïldlüüd
Matricad toony adil xäsäg üïldlüüdiïg güïcätgäj bolox ba tädgääriïn

3. 3
zarim n´ toony üïldlüüdtäï tösöötäï, zarim n´ zöwxön matricyn xuw´d
güïcätgägdänä.
1. Matricyg toogoor ürjüüläx. A matricyg λ toogoor ür-
jinä gädäg n´ i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n xuw´d bij = λaij gäsän älemen-
2 4
tüüd büxiï B = λA matricyg xälnä. Ji²äälbäl, xäräw A = ,
3 2
10 20
baïwal 5A =
15 10
Mördlögöö. Matricyn büx älementüüdiïn erönxiï ürjigdäxüüniïg ma-
tricyn tämdgiïn ömnö gargaj bolno. Ji²äälbäl,
20 12 6 10 6 3
=2·
52 2 0 26 1 0
Tuxaïlbal, matric A-g tägäär ürjixäd täg matric baïna. Ööröör xäl-
bäl 0 · A = O.
2. Matricyg nämäx. m×n gäsän ijil xämjääst A ba W matricu-
udyn niïlbär gädäg n´ i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n xuw´d cij = aij + bij
älement büxiï (matricuud älementüüdäärää nämägdänä) C = A + B-g
xälnä. Ji²äälbäl,
2 3 0 0 1 4 2 4 4
A= , B= , C =A+B =
1 5 6 2 5 1 3 10 7
Tuxaïn toxioldold A + O = A.
3. Matricyg xasax. Ijil xämjääst xoër matricyn ¶lgawar
ömnöx üïldlüüdäär todorxoïlogdono. A − B = A + (−1) · B.
4. Matricuudyn ürjix. A matricyg W matricaar ür-
jix n´ näg däx matricyn baganyn too n´ xoër dax´ matricyn möriïn
tootoï täncüü üed güïcätgägdänä. Änä toxioldold A matricyg W ma-
trictaï niïctäï gänä. Tägwäl Am×k · Bk×n ürjwär n´ Cm×n matric baïx
bögööd, tüüniï älement cij bür n´ A matricyn i dügäär möriïn älemen-
tüüdiïg W matricyn j dügäär baganyn älementüüdäär xargalzan ürjsän
ürjwärüüdiïn niïlbärtäï täncüü baïna.
k
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aik bkj = ais bsj ; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n
s=1

4. 4
Ji²ää 1: A · B ürjwär matricyg ol, änd
 
−1 0 1
1 0 2
A= ; B= 5 1 4 
3 1 0
−2 0 1
Bodolt: 1. Ürjwär matricyn (Xäräw matricuudyg ürjix bolomjtoï
bol) xämjääsiïg ol³ë: A2×3 · B3×3 .
2. Ürjwär matric C-iïn älementüüdiïg A matricyn möriïn älement
büriïn W matricyn baganyn xargalzax älementüüdäär ürjüülj daraax
xälbäräär ol³ë.
1(−1) + 0 · 5 + 2(−2) 1 · 0 + 0 · 1 + 2 · 0 1 · 1 + 0 · 4 + 2 · 1
C= .
3(−1) + 1 · 5 + 0(−2) 3 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0 3 · 1 + 1 · 4 + 0 · 1
−5 0 3
Ändääs C = .
2 1 7
Toony üïldliïn ixänx qanaruud matricyn üïldlüüdiïn xuw´d
xüqin tögöldör baïna.
1. A+B=B+A;
2. (A+B)+C=A+(B+C);
3. λ(A + B) = λA + λB;
4. A(B+C)=AB+AC;
5. (A + B) · C = AC + BC;
6. λ(AB) = (λA)B = A(λB);
7. A(BC)=(AB)C.
Gäxdää matricyn ürjix üïldliïn xuw´d zarim nägän öwörmöc ²inj
qanaruud baïdag.
a) Xäräw A · B ürjwär matric or²dog baïgaad, ürjigdäxüüniï baïryg
sol´sny daraax B·A ürjwär matric or²ij q bolox ba mön or²ixgüï
baïj q bolno. Ünändää, ji²ää 1-d A2×3 · B3×3 ürjwär matric
or²ij baïsan, xarin B3×3 · A2×3 ürjwäriïn xuw´d nägdügäär ma-
tricyn möriïn too n´ xoërdugaar matricyn bagany tootoï täncüü
bi² uqir ug ürjwär or²ixgüï baïna.

5. 5
b) Xäräw AB ba BA ürjwär matricuud or²dog baïwal tädgäär matricuud
n´ öör öör xämjäästäï baïj bolno.
Ji²ää 2: AB ba BA ürjwär matricuudyg ol, änd
 
0 3
2 1 1
A= , B =  1 5 .
0 3 2
−1 1
0 12
Bodolt: A2×3 · B3×2 = C2×2 = ;
 1 17

0 2 −2
B3×2 · A2×3 = D3×3 =  2 16 11 , ööröör xälbäl AB = BA.
−2 2 1
w) AB ba BA ürjwärüüd xoëulaa or²dog ba A ba W matricuud xoëulaa
adilxan xämjäästäï (änä n´ ijil ärämbiïn kwadrat matricuudyg
ürjix üed bolomjtoï) toxioldold ürjixiïn kommutatiw (baïr
solix) xuul´ erönxiïdöö bieläxgüï. Ööröör xälbäl AB = BA.
Ji²ää 3: AW ba WA ürjwärüüdiïg ol, änd
1 2 0 5
A= , B= .
3 4 6 8
12 21 15 20
Bodolt: A · B = ; B·A= , ööröör xälbäl
24 47 30 44
A · B = B · A.
g) Xoër täg bi² matricuudyn ürjwär täg matrictaï täncäj bolno.
Ööröör xälbäl A · B = 0 ändääs A = 0 buµu B = 0 bolox n´
mördöxgüï. Ji²äälbäl,
1 1 1 1 0 0
A= = 0, B = = 0, bolowq AB = =
1 1 −1 −1 0 0
0.
5. Zäräg däw²üüläx. Kwadrat matric A-yn büxäl äeräg
m (m > 0) zäräg gädäg n´ A matricyn m ürjwäriïg xälnä. Ööröör
xälbäl Am matric n´: Am = A · A · ... · A m udaa ürjsän.
Zäräg däw²üüläx üïldäl n´ zöwxön kwadrat matricyn xuw´d todorx-
oïlogddogiïg tämdägläe.
Todorxoïlolt ësoor A0 = E, A1 = A baïna. Mön Am ·Ak = Am+k , (Am )k =

6. 6
Amk bolno.
1 2
Ji²ää 4: A = bol A2 -yg ol.
3 4
1 2 1 2 7 10
Bodolt: A2 = · = .
3 4 3 4 15 22
Am = 0 täncätgälääs bas A = 0 bolox n´ mördöxgüï gädgiïg anxaarax
xärägtäï.
6. Xörwösön matric. A matricyn ärämbiïg öörqlöxgüïgäär
mör ba bagany baïryg soliod A matricad ²iljüül´e. A’ matricyg A
matricyn xörwösön matric gänä:
   
a11 a12 ... a1n a11 a21 ... am1
 a a22 ... a2n   
A =  21  A =  a12 a22 ... am2 
 ... ... ... ...   ... ... ... ... 
am1 am2 ... amn a1n a2n ... amn
Änä todorxoïloltoos xäräw A matric n´ m × n xämjäästäï baïwal xör-
wösön matric A’ n´ n×m xämjäästäï baïx n´ mördönö. Zarim nomnuudad
xörwösön matricyg ööröör AT gäj tämdägläsän baïdag.
Xörwöx üïldliïn qanaruud:
1. (A’)’=A;
2. (λA) = λA ;
3. (A+B)’=A’+B’;
4. (AB) = B · A .
Ji²ää 5: Üïldwär P1 , P2 , P3 gurwan törliïn bütäägdäxüüniïg üïld-
wärläxdää S1 , S2 xoër törliïn tüüxiï ädiïg a²igladag. Tüüxiï ädiïn
zardlyn orcyn norm n´:
 
2 3
A =  5 2  matricaar todorxoïlogdono. Änd aij (i = 1, 2, 3; j =
1 4
1, 2) älement bür n´ i törliïn nägj bütäägdäxüüniïg xiïxäd j törliïn
tüüxiï ädääs xädän nägj zarcuulagdaxyg üzüülnä. Bütäägdäxüüniïg
üïldwärläxäd tölöwlögöö n´ C = (100 80 130) mör matricaar, xarin
tüüxiï ädiïn töröl tus büriïn nägjiïn örtög n´ (möngön nägjäär)

7. 7
30
B = bagana matricaar ögögdjää. Tölöwlösön bütäägdäxüüniïg
50
üïldwärläxäd ²aardagdax tüüxiï ädiïn zarcuulalt ba tüüxiï ädiïn
niït örtgiïg todorxoïl.
Bodolt: Nägdügäär törliïn tüüxiï ädiïn zarcuulalt n´ S1 = 2 · 100 +
5 · 80 + 1 · 130 = 730 nägj bolox ba xoërdugaarynx n´ S2 = 3 · 100 + 2 ·
80 + 4 · 130 = 980 nägj bolno. Iïmd tüüxiï ädiïn zarcuulalt n´ S mör
matric bolox tul
 
2 3
S = C · A = 100 80 130 ·  5 2  = 730 980
1 4
matricuudyn ürjwäräär biqij bolno. Tägwäl tüüxiï ädiïn niït örtög
Q = 730 · 30 + 980 · 50 = 70900 möngön nägj bolox ba tüüniïg Q = S · B =
(C ·A)·B = (70900) matricuudyn ürjwäräär biqij bolno. Tüüxiï ädiïn
niït örtgiïg öör daraallaar toocoj bolno: äxlääd nägj bütäägdäxüünd
zarcuulax tüüxiï ädiïn örtgiïn matricyg ö.x
   
2 3 210
30
R=A·B = 5 2 · =  250 
50
1 4 230
bodood, daraa n´ tüüxiï ädiïn niït 
örtög 
210
Q = CR = C(AB) = 100 80 130  250  = (70900) olno.
230
Änä ji²ää n´ matricyn ürjwäriïn associatiw (xäsäglän nägtgäx) (CA)B =
C(AB) qanar bielägdäj baïgaag xaruulj baïna.