Recommended
More Related Content
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Featured
Featured (20)
Bab1
- 2. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 PENDAHULUAN A. Hakikat Statistika 1. Asal Kata • Kata statistika berasal dari kata “status” atau “statista” yang berarti negara • Tulisan Aristoteles “Politeia” menguraikan keadaan dari 158 negara yakni sumber dari kata “statistika” • Pada awalnya, status atau statista mencatat data dari berbagai negara
- 3. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Pemantapan Kata Statistika Pada abad ke-17 dan ke-18 ada tiga istilah yang bersaing • Political arithmetic (di Inggris abad ke-17) • Publisistika • Statistika (oleh Achenwall dari Jerman pada pertengahan abad ke-18, dan di- turuti oleh Sir John Sinclair di Inggris) Yang bertahan adalah kata “statistika” Pada saat ini kita mengenal statistika yang teoretik serta statistika terapan. Statistika yang teoretik dikenal juga sebagai statistika matematik • Statistika Teoretik (Matematik) • Statistika Terapan Di sini kita membahas statistika terapan dengan memanfaatkan rumus statistika yang diperoleh dari statistika teoretik
- 4. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Probabilitas Statistika Ketika cabang matematika bernama probabilitas muncul maka probabilitas didekati secara rumus matematika dan secara data statistika Bersama itu muncul dua istilah yang kini umum dikenal • Probabilitas matematik • Probabilitas statistik Probabilitas statistik menggunakan data yang terkumpul serta juga menggunakan rumus matematika Statistika yang kini kita kenal sekarang merupakan perkembangan dari probabiltas statistika Statistika menggunakan data dari lapangan serta menggunakan rumus probabilitas matematik
- 5. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Statistika Terapan Di sini hanya dibicarakan statistika terapan Penerapan dilakukan di banyak bidang, baik pada ilmu alam maupun pada ilmu sosial Di bidang ilmu alam dikenal fisika statistik, di bidang ilmu teknik dikenal dengan nama stokastik, dan bidang ilmu pertanian banyak menggunakan statistika Di bidang ilmu sosial, statistika digunakan di berbagai bidang ilmu seperti • Psikologi • Pendidikan • Ekonomi • Sosiologi • Manajemen • Linguistik • Kesehatan masyarakat
- 6. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Fungsi Statistika Terapan Statistika terapan dapat dibagi ke dalam beberapa kategori • Statistika deskriptif • Statistika inferensial Statistika deskriptif mereduksi data ke dalam beberapa besaran untuk disajikan secara bermakna Statistika inferensial membuat kesimpulan dari data yang diperoleh meliputi • Pengujian hipotesis • Estimasi • Pengambilan keputusan
- 7. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Kategori Statistika Terapan Dari segi persyaratan parameter, dikenal statistika terapan berbentuk • Statistika parametrik • Statistika nonparametrik Dari segi variabel, dikenal statistika terapan berbentuk • Univariat dan bivariat • Multivariat Dari segi pengetahuan awal, dikenal statistika terapan berbentuk • Tanpa melibatkan pengetahuan awal • Statistika Bayes yang melibatkan pengetahuan awal
- 8. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Penggunaan Statistika Terapan Statistika terapan banyak digunakan untuk • Memberikan gambaran secara kuantitatif tentang keadaan data • Melakukan estimasi dan prediksi untuk pengambilan keputusan • Menguji hipotesis deduktif dan induktif serta mengambil keputusan di dalam penelitian ilmiah • Menemukan karakteristik pendapat orang banyak di dalam poling pendapat Data untuk statistika terapan dapat diperoleh melalui • Ujian • Survei • Eksperimen
- 9. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8. Statistika pada Pengujian Hipotesis dalam Penelitian Ilmiah Masalah Kajian teoretik dan argumentasi Hipotesis penelitian Pengujian hipotesis Jika menggunakan statistika Hipotesis statistika Data populasi Data sampel Hasil penelitian Uji hipotesis Hasil penelitian
- 10. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Statistika Terapan dalam Pengolahan Data Tujuan Sasaran Pengukuran Data Olah data Informasi Penggunaan informasi Matematika Statistika Riset operasional
- 11. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- B. Data 1. Besaran • Statistika berbicara tentang data dalam bentuk besaran (dimensi) • Besaran adalah sesuatu yang dapat dipaparkan secara jelas dan pada prinsipnya dapat diukur Contoh 1. Beberapa bentuk besaran (a) banyaknya orang (b) nilai ujian (c) harga barang (d) sikap terhadap pendidikan (e) kepeminpinan ketua (f) tegangan listrik
- 12. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Lambang Besaran • Demi kemudahan penulisan, besaran dapat dinyatakan melalui lambang • Dalam hal ini kita perlu menyebut lambang itu mewakili bsaran apa Contoh 2 Beberapa lambang besaran = banyaknya hewan = banyaknya orang = tingkat status hotel WAN = banyaknya wanita L = banyaknya lelaki T = tingkat siswa di kelas X = nilai hasil ujian
- 13. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Lambang Aksara • Demi kemudahan penulisan, lambang yang banyak digunakan adalah huruf. Pada umumnya, huruf untuk lambang biasanya berasal dari Abjad Latin (kapital dan nonkapital) Abjad Yunani (kapital dan nonkapital) • Pada suatu penggunaan, dapat saja terjadi bahwa huruf kapital dan huruf nonkapital dari abjad yang sama mewakili besara berbeda, misalnya Abjad X dan x dapat mewakili besaran yang berbeda • Rene Descartes menggunakan awal abjad a, b, c, sebagai diketahui dan akhir abjad x, y, z sebagai yang tidak diketahui, misalnya y = ax2 + bx +c
- 14. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Abjad Yunani Nama Kapital kecil Nama Kapital kecil alpha Α α nu Ν ν beta Β β xi Ξ ξ gamma Γ γ omicron Ο ο delta Δ δ pi Π π epsilon Ε ε rho Ρ ρ zeta Ζ ζ sigma Σ σ, ς eta Η η tau Τ τ theta Θ θ upsilon Υ υ iota Ι ι phi Φ φ kappa Κ κ khi Χ χ lambda Λ λ psi Ψ ψ mu Μ μ omega Ω ω
- 15. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Lambang Besaran dengan Keterangan • Agar fleksibel, lambang huruf dapat diberikan keterangan • Ada berbagai cara untuk memberi keterangan pada lambang • Keterangan biasa X (s = 7) hasil belajar untuk siswa ke-7 X = rerata • Keterangan indeks X1 = hasil belajar siswa ke-1 X2 = hasil belajar siswa ke-2 KA = kelas paralel A KB = kelas paralel B
- 16. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Macam Besaran • Macam besaran dapat dilihat dari banyak sudut • Macam besaran dari segi ketetapan nilai adalah Konstanta = nilai besaran adalah tetap Variabel = nilai besaran dapat berubah-ubah Besaran Konstanta Variabel Umum Khusus Tak acak (mate- matik) Acak (probabi- listik)
- 17. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Konstanta umum (universal) Berlaku umum di semua keadaan dan tempat Contoh 3 π = 3,14159 … e = 2,71828 … • Konstanta khusus Berlaku pada keadaan dan tempat tertentu Contoh 4 Y = a X + b a dan b adalah konstanta mewakili sesuatu misalkan a adalah harga satuan
- 18. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh konstanta Konstanta π = perbandingan di antara keliling dan diameter lingkaran π = 3,1415926535 8 979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628293540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838753886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 . . .
- 19. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- e =2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174145966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354 0212340784 9819334321 0681701210 0562788023 5193033224 7450158539 0473041995 . . .
- 20. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Variabel tak acak (matematik) Nilainya ditentukan oleh keadaan yang sepenuhnya diketahui Contoh 5 X = banyaknya buku tulis yang dibeli Y = kecepatan putaran suatu alat • Variabel acak (probabilistik) Nilainya ditentukan oleh keadaan yang tidak sepenuhnya kita ketahui Contoh 6 X = tampilan mata 6 pada lemparan dadu Y = angka hadiah pertama pada lotere Z = nilai ujian siswa
- 21. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- C. Variabel pada Statistika 1. Pendahuluan • Statistika banyak menggunakan variabel, pada umumnya, berbentuk variabel acak • Mereka terletak pada berbagai bidang ilmu, meliputi Psikologi Pendidikan Ekonomi Ilmu sosial Sistem informasi Bahasa Fisika dan sebagainya
- 22. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Skala Variabel • Skala adalah suatu ciri pada besaran atau variabel yang memungkinkannya untuk dinyatakan dalam bentuk bilangan • Skala digunakan pada pengukuran • Beberapa macam skala meter untuk jarak detik untuk waktu desibel untuk kuat suara ampere untuk arus listrik 0 dan 1 untuk menyatakan salah dan betul 0 sampai 10 pada nilai ujian di SMA 1 sampai 5 pada penilaian dari buruk ke baik • Stevens mengemukakan empat macam skala ukur Nominal Ordinal Interval Rasio
- 23. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Skala nominal Ciri skala : hanya membedakan Contoh 7 Nomor rumah 13 Nomor mahasiswa 82347 Nomor telepon 2345678 Pengkodean Pria = 1 Wanita =2 Jakarta Pusat = 1 Jakarta Barat = 2 Jakarta Selatan = 3 Jakarta Timur = 4
- 24. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Skala Ordinal Ciri : membedakan menunjukkan peringkat Contoh 8 Juara pertama = 1 Lulus SD = 1 Juara kedua = 2 Lulus SMP = 2 Juara ketiga = 3 Lulus SMA = 3 Jarak di antara 1 ke 2 serta 2 ke 3 tidak harus sama (bisa sama dan juga bisa tidak sama)
- 25. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Skala Interval Ciri : membedakan menunjukkan peringkat berjarak sama Contoh 9 temperatur 250 potensial – 2 volt 260 – 1 volt 270 0 volt 1 volt Jarak di antara 250 ke 260 sama dengan jarak di antara 260 ke 270 Tidak harus memiliki titik 0 tulen
- 26. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Skala Rasio Ciri : membedakan menunjukkan peringkat berjarak sama memiliki titik 0 tulen Contoh 10 Banyaknya orang 0 orang 1 orang 2 orang 3 orang Rasio 6 : 2 = 3 8 : 2 = 4 adalah tetap0 1 2 3 4 5 6 7 8
- 27. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Perbedaan di antara skala itu beda pering- jarak nol + x kat sama tulen − : nominal ordinal interval rasio
- 28. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Nilai Variabel Dikenal nilai dikotomi dan nilai politomi • Dikotomi Hanya ada dua nilai berbeda Sering dinyatakan sebagai 0 dan 1 Setuju = 1 Tidak setuju = 0 Betul = 1 Salah = 0 Lulus = 1 Tidak lulus = 0 Tinggi = 1 Rendah = 0 dan seterusnya
- 29. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 11 Skala dikotomi pada hasil ujian Peserta Butir ujian 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 0 3 1 1 0 0 1 0 4 0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 1 0 0 6 0 0 1 1 1 1 7 1 1 0 0 1 0 8 1 0 0 1 1 0 9 1 0 0 1 0 1 10 0 1 0 0 0 1
- 30. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Politomi Terdapat lebih dari 2 macam nilai, dengan berbagai bentangan, seperti 0, 1, 2, 3, …, 10 0, 1, 2, 3, …, 100 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 200, 201, 2 02, …, 677 10, 20, 30, …, 100 dan sebagainya Ada nilai terendah dan nilai tertinggi sesuai dengan bentangannya
- 31. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 12 Skala politomi pada suatu kuesioner Respon- Butir den 1 2 3 4 5 6 1 3 5 4 1 4 3 2 3 4 4 1 4 3 3 2 5 3 2 5 2 4 1 3 2 2 5 4 5 4 5 2 1 4 4 6 2 4 4 2 3 2 7 3 4 3 3 3 3 8 3 3 4 2 4 2 9 2 4 2 1 4 2 10 1 5 3 1 5 4
- 32. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Diskrit dan Kontinu Garis nilai • Dari kecil ke besar, nilai dapat dipetakan pada garis dan dikenal sebagai garis nilai • Dalam hal tertentu, nilai tidak menempati semua letak di garis; nilai hanya menempati letak tertentu, seperti • • • • • • • • • • • Dalam hal tertentu lainnya, nilai menempat semua letak di garis, seperti
- 33. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Diskrit Variabel diskrit memiliki nilai yang tidak menempati semua letak pada garis nilai Pada garis nilai, nilai variabel diskrit melompat-lompat Contoh 13 • • • • • • –3 –2 –1 0 1 2 lompatan 1 • • • • • • 0 ½ 1 1½ 2 2½ lompatan ½ • • • • –50 –25 0 25 lompatan 25 di antaranya tidak ada nilai dari variabel
- 34. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Kontinu Variabel kontinu memiliki nilai yang menempati seluruh letak pada garis nilai (tidak ada lompatan) Terdapat tak hingga banyaknya nilai pada garis nilai Jarak antara dua nilai dapat saja tak hingga kecilnya 0,00000000000000 … – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
- 35. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Diskrit Semu Variabel sesungguhnya adalah kontinunu, namun penampilan nilainya tampak seperti diskrit Misalnya nilai dari suatu variabel kontinu hanya ditunjukkan sebagai 0, 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5, 4, 4,5, 5 atau 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Biasanya batas nilai yang ditampilkan adalah setengah ke bawah sampai setengah ke atas 1 2 3 4 1 2 3 4
- 36. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Cakupan • Untuk suatu bentangan nilai, nilai awal dan nilai akhir dapat tercakup dan dapat juga tidak tercakup • Tercakup dikenal sebagai inklusif Tidak tercakup dikenal sebagai eksklusif • Hanya terdapat pada variabel diskrit • Lambang tercakup adalah ≤ dan ≥ Lambang tidak tercakup adalah < dan > • Inklusif 10 dapat berupa X ≤ 10 dan X ≥ 10 artinya 10 tercakup (di dalam cakupan) • Eksklusif 10 dapat berupa X < 10 dan X > 10 artinya 10 tidak tercakup (di luar cakupan)
- 37. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 14 Suatu variabel diskrit X memiliki nilai 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Daripadanya ditemukan hal sebagai berikut 4 ≤ X ≤ 12 (4 inklusif, 12 inklusif) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 < X ≤ 12 (4 eksklusif, 12 inklusif) 5 6 7 8 9 10 11 12 4 ≤ X < 12 (4 inklusif, 12 eksklusif) 4 5 6 7 8 9 10 11 4 < X < 12 (4 eksklusif, 12 eksklusif) 5 6 7 8 9 10 11
- 38. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 15 Variabel diskrit X dengan nilai dari 7 sampai 11, 7 7,25 7,50 7,75 8 8,25 . . . Tentukan nilai diskrit itu untuk (a) 7 ≤ X ≤ 11 (b) 7 < X ≤ 11 (c) 7 ≤ X < 11 (d) 7 < X < 11
- 39. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Mengubah Nilai Kontinu Menjadi Diskrit Semu Nilai diskrit semua mencakup semua nilai setengah ke bawah dan setengah ke atas Salah satu nilai atas atau bawah inklusif dan satunya lagi eksklusif 6,5 ≤ X < 7,5 menjadi 7 137,5 ≤ X < 162,5 menjadi 150 6 6,5 7 7,5 8 9 7 125 150 175 137,5 162,5 150
- 40. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Derajat Kebebasan Derajat kebebasan (DK) adalah banyaknya kebebasan untuk memberi nilai kepada variabel Kebebasan akan berkurang jika pemberian nilai kepada variabel diberi syarat Makin banyak syarat makin kecil derajat kebebasan • Tanpa Syarat Isikan 5 angka ke 5 kotak tanpa syarat misalnya 5 7 6 5 8 DK = 5 Pada umumnya DK = N
- 41. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Dengan satu syarat Isikan angka pada masing-masing dari 5 kotak dengan syarat jumlahnya ganjil 5 7 6 5 Agar jumlahnya ganjil, kotak ke-5 sudah tidak bebas DK = 5 – 1 = 4 Pada umumnya, dalam kasus seperti ini, derajat kebebasan menjadi DK = N – 1 Tidak bebas
- 42. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Dengan dua syarat Isikan kotak berikut dengan angka dengan syarat jumlah pada baris adalah genap dan jumlah pada lajur adalah ganjil 4 5 1 7 3 6 2 3 Derajat kebebasan DK = (5 – 1)(3 – 1) = 8 Dari 15 kotak hanya 8 yang bebas diisi Pada umumnya, dalam kasus ini, derajat kebebasan adalah DK = (baris – 1)(lajur – 1)
- 43. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- D. Hubungan Fungsional 1. Pendahuluan • Dua atau lebih variabel dapat berhubungan secara fungsional • Dalam hubungan fungsional adalah variabel yang independen (bebas diberi nilai) dan ada variabel yang dependen (tidak bebas diberi nilai) • Dalam hubungan fungsional, perubahan nilai pada variabel independen mengubah nilai pada variabel dependen • Hubungan fungsional (dikenal juga sebagai fungsi) memiliki sejumlah kemungkinan, seperti univariat dan multivariat linier dan nonlinier
- 44. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Fungsi Univariat Pada umumnya, fungsi univariat dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau y = g(x) atau y = f1(x) Misalnya y = 2 x + 1 atau f(x) = 2 x + 1 x = variabel independen 2 = koefisien 1 = konstanta y = variabel dependen Apabila nilai x berubah maka nilai y turut berubah Misal lain y = a x2 + b x + c y = 2 x2 + 4 x + 2
- 45. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Fungsi univariat linier Fungsi univariat adalah linier jika dilukiskan pada sistem koordinat hasilnya adalah garis lurus Fungsi linier y = 2 X + 1 memiliki nilai, misalnya, X – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 Y – 5 – 3 – 1 1 3 5 7 x y y = 2 x + 1 3 3 7
- 46. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 16 Lukis grafik fungsi linier univariat berikut ini (a) y = 2 x – 1 (b) y = 0,5 x + 2,5 (c) y = – x + 3 (d) y = – 2 x + 3 (e) y = – 1,5 x + 2 • Fungsi univariat nonlinier Grafik fungsi tidak menunjukkan garis lurus Misalnya y = 2 x2 + 1
- 47. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 17 Salah satu bentuk fungsi univariat nonlinier yang dikenal dengan nama fungsi normal Dilukis menjadi 2 2 1 2 1 ),;( − − = X XX X XX eXn σ µ πσ σµ X n (X; µX, σX)
- 48. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Fungsi Bivariat dan Multivariat • Fungsi bivariat memiliki dua variabel independen sedangkan fungsi multivariat memiliki banyak variabel independen • Fungsi bivariat dan fungsi multivariat dapat berbentuk linier dan nonlinier • Bentuk fungsi bivariat linier z = 2 x + 3 y – 6 x dan y = variabel independen z = variabel dependen 2 dan 3 = koefisien 6 = konstanta • Apabila dilukis, fungsi ini menghasilkan garis lurus (dalam ruang)
- 49. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Nilai fungsi ini dapat hitung sebagai berikut z = 2 x + 3 y – 6 Nilai x Nilai y Nilai z – 2 – 2 – 16 – 1 – 13 0 – 10 1 – 7 2 – 4 – 1 – 2 – 14 – 1 – 13 0 – 8 1 – 5 2 – 2 0 – 2 – 12 – 1 – 9 0 – 6 1 – 3 2 0
- 50. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nilai x Nilai y Nilai z 1 – 2 – 10 – 1 – 7 0 – 4 1 – 1 2 2 2 – 2 – 8 – 1 – 5 0 – 2 1 3 2 4 Lukisan garis lurus dalam ruang dan tidak dilukiskan di sini • Fungsi multivariat linier berbentuk y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + … + b
- 51. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Penampilan Fungsi • Tampak dari uraian dan contoh di muka, fungsi dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk Bentuk rumus Bentuk tabel Bentuk grafik • Bentuk rumus cocok untuk elaborasi secara matematik • Bentuk tabel cocok untuk melihat bilangan pada berbagai keadaan • Bentuk grafik cocok untuk memberikan gambaran visual tentang fungsi
- 52. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Interpolasi Linier • Fungsi bentuk tabel menggunakan bilangan yang nilainya melompat-lompat • Pencarian nilai di antara lompatan dapat dilakukan melalui interpolasi • Jika jarak lompatan tidak terlalu besar, maka interpolasi dapat dilakukan dengan anggapan bahwa keadaan di antara dua lomptan berurutan adalah linier • Interpolasi seperti ini dikenal sebagai interpolasi linier • Perhitungan pada interpolasi linier dilakukan melalui proporsi
- 53. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Perhitungan interpolasi linier Contoh 18 X 3 4 5 6 . . . Y 100 150 200 250 . . . Jika X = 4,3 berapakah Y X 3 4 4,3 5 6 Y 100 150 Y 200 150 a = 4,3 – 4 = 0,3 b = 5 – 4 = 1 c = Y – 150 d = 200 – 150 = 50 Menurut proporsi c = 0,3 x 50 = 15 Y = 150 + c = 165 a b c d 501 3,0 c d c b a ==
- 54. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 19 Tabel y = f(x) menunjukkan x 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 y 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 Melalui interpolasi linier, tentukan (a) x = 0,715 y = (b) x = 0,738 y = (c) x = 0,742 y = (d) y = 0,7650 x = (e) y = 0,7600 x = (f) y = 0,7720 x =
- 55. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Transformasi • Transformasi adalah perubahan bentuk (form) menurut aturan tertentu tetapi hakikat tidak berubah • Ada bermacam transformasi, di antaranya, Transformasi linier Tranformasi nonlinier • Transformasi adalah linier jika grafik di antara nilai transformasi dan nilai asli menunjukkan garis lurus • Transformsi nonlinier terdiri atas bermacam transformasi, di antaranya, Kuadratis Logaritmis Dinormalkan Resiprokal
- 56. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Transformasi linier Transformasi linier terjadi melalui hubungan fungsional yang linier Misal Dari X Ke Y Rumus transformasi linier adalah dengan proporsi tetap Fungsi transformasi ini adalah linier. Yang tidak berubah adalah proporsi 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8 10 XY 50 10 =
- 57. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 20 Transformasi linier di antara X dan Y adalah sebagai berikut Hitunglah nilai hasil transformasi (a) µ = 50 σ = 10 X = 12 Y = (b) µ = 500 σ = 100 X = 80 Y = (c) µ = 5 σ = 0,1 X = – 1,5 Y = (d) µ = – 10 σ = 10 X = 0 Y = (e) µ = 6,5 σ = 0,2 X = 1,7 Y = (f) µ = 100 σ = 15 X = 80 Y = σ µ− = X Y
- 58. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- E. Notasi Matematika 1. Jenis Notasi • Ada banyak jenis notasi matematika, namun di sini, hanya dibicarakan notasi untuk Penjumlahan Perkalian Faktorial Kombinasi • Mereka sering digunakan di dalam perhitungan, dan di sini, terutama penjumlahan dan perkalian banyak digunakan • Perhitungan melalui notasi matematika ini dapat dilakukan dengam cepat dengan bantuan kalkulator elektronik
- 59. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Notasi Penjumlahan Notasi penjumlahan menggunakan huruf Yunani Σ Misalkan terdapat nilai X1 = 6 X2 = 8 X3 = 7 X4 = 9 X5 = 1 X6 = 3 X7 = 4 maka penjumlahan yang dilakukan untuk X dari i = 2 sampai i = 6 28 31978 65432 61 2 = ++++= ++++=∑ = = XXXXXX i i
- 60. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Jika penjumlahan mencakup semua i yang ada, maka ada kalanya batas jumlah tidak lagi disebut, misalnya, Σ X = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 = 6 + 8 + 7 + 9 + 1 + 3 + 4 = 38 Contoh 21 Variabel X memiliki sejumlah nilai sebagai berikut X 6 8 9 1 3 4 maka Σ X = 6 + 8 + 9 + 1 + 3 + 4 = 38 (ΣX)2 = (38)2 = 1444 Σ X2 = 62 + 82 + 92 + 12 + 32 + 42 = 256
- 61. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 22 Contoh 21 dapat dihitung melalui cara sebagai berikut X X2 6 36 Σ X = 38 8 64 9 81 (ΣX)2 = 382 = 1444 1 1 3 9 Σ X2 = 256 4 16 38 256 Cara ini sering digunakan serta memudahkan pemeriksaan perhitungan
- 62. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 23 Data X dan Y adalah sebagai berikut X Y X2 Y2 XY 2 14 4 196 28 6 10 36 100 60 4 16 16 256 64 7 11 49 121 77 5 9 25 81 45 7 12 49 144 84 6 11 36 121 66 37 83 215 1019 424 Σ X = 37 Σ Y = 83 Σ X2 = 215 Σ Y2 = 1019 Σ XY = 412 (ΣX)2 = 1369 (ΣY)2 = 6889
- 63. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 24 Hitunglah Σ X, (ΣX)2 , dan Σ X2 untuk data (a) X = 12, 17, 9, 11, 7, 14, 10, 6, 13 (b) X = 0,5, 4,2, 3,5, 6, 3,6, 5,5 (c) X = 4, – 2, 3, – 4, – 2, 6 (d) X = 101, 212, 163, 175, 200, 186 (e) X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (f) X = 70, 65, 85, 70, 80, 75, 75 (g) X = 7, 7, 6, 7, 9, 7, 8, 8, 7, 6, 7
- 64. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 25 Hitunglah ΣX, ( ΣX)2 , ΣY, (ΣY)2 , ΣXΣY, ΣXY, ΣX2 , dan ΣY2 untuk data (a) X = 3, 4, 2, 1, 6, 4 Y = 10, 12, 15, 11, 13, 16, (b) X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 (c) X = – 4, – 3, – 1, – 2, – 5 Y = 6, 5, 3, 7, 4 (d) X = 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 Y = 4, 3, 2, 1, 0, – 1, – 2, – 3 (e) X = 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 3,5 Y = 6,2, 6,4, 6,6, 6,8, 7,0 (f) X = 103, 208, 150, 250, 190 Y = 0,3, 1,7, 3,2, 2,5, 0,9
- 65. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Notasi Perkalian Notasi perkalian menggunakan huruf Yunani Π Misalkan terdapat nilai X1 = – 3, X2 = – 2, X3 = – 1, X4 = 1 X5 = 2, X6 = 3 maka perkalian yang dilakukan untuk X dari i = 2 sampai i = 5 adalah = =−−== ∏ ∏ = = = = 41 1 5432 5 2 4)2)(1)(1)(2( i i i i i X XXXXX
- 66. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Jika perkalian mencakup semua i yang ada, maka ada kalanya batas perkalian tidak lagi disebut, misalnya Π X = (–3)(–2)(–1)(1)(2)(3) = – 36 Contoh 26 Variabel X memiliki nilai X = 3, 3, 2, 4, 2, 1 Π X = (3)(3)(2)(4)(2)(1) = 144 ΠX2 =
- 67. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 27 Data X dan Y adalah sebagai berikut X = 1, 2, 3, 4, 5 Y = –2, –1, 1, 2, 3 maka Π X = (1)(2)(3)(4)(5) = 120 Π Y = (–2)(–1)(1)(2)(3) = 12 Π XY = (1)(–2).(2)(–1).(3)(1).(4)(2).(5)(3) = (–2)(–2)(3)(8)(15) = 1440 ΠX2 = ΠY2 =
- 68. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Notasi Faktorial Faktorial menggunakan notasi ! Seperti 3! 4! 6! N! Menurut ketentuan hasil faktorial adalah N! = (N)(N – 1)(N – 2) . . . (3)(2)(1) 0! = 1 Dapat langsung dihitung melalui kalkulator elektronik Contoh 28 3! = (3)(2)(1) = 6 4! = (4)(3)(2)(1) = 24 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 7! = 8! =
- 70. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Notasi Kombinasi • Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menggabungkan data dari suatu kelompok data yang ada • Misalkan terdapat kelompok data A B C D E • Jika dikelompokkan masing-masing 2 data, maka banyaknya cara adalah AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE yakni 10 cara • Ini dikatakan bahwa 5 kombinasi 2 adalah 10
- 71. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- • Notasi untuk 5 kombinasi 2 adalah • Rumus umum perhitungan kombinasi untuk n kombinasi k adalah Contoh 30 • Dapat langsung dihitung pada kalkulator elektronik 2 5 !)!( ! kkn n k n − = 10 !3!2 !5 )!25(!2 !5 2 5 == − =
- 72. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bab 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Contoh 31 (a) (b) (c) (d) = 4 7 = 6 7 = 3 8 = 5 8