1. 1
arisan bilangan adalah
urutan bilangan yang
memiliki aturan atau pola
tertentu. Elemen-elemen dari suatu
barisan bilangan disebut dengan
suku. Ada beberapa barisan bilangan,
seperti barisan aritmetika, barisan
geometri, barisan persegi, dan
barisan Fibonacci.
B
(Leonardo Pisano)
Barisan bilangan Fibonacci
ditemukan oleh Leonardo Pisano,
dikenal juga dengan Fibonacci. Ia
adalah seorang matematikawan
terbesar pada abad pertengahan yang
lahir di Pisa, Italia pada tahun 1170.
Meskipun Leonardo lahir di Pisa,
tetapi ia lebih banyak menyerap ilmu
pengetahuan dari orang-orang Timur,
karena ia ikut ayahnya (Guilielmo)
yang bekerja sebagai Notaris Publik
di beacukai di Aljazair. Barisan yang
ditemukan Fibonacci disebut dengan
barisan bilangan Fibonacci.
Barisan Fibonacci adalah
barisan bilangan yang bentuknya
unik dan mudah dikenali. Setiap suku
ke-n barisan fibonacci didefinisikan
sebagai Fn = Fn-1 + Fn-2 . artinya
setiap suku ke-n barisan fibonacci
merupakan penjumlahan dari dua
suku sebelumnya. Dengan :
a = F1 ≠ 0 (Nol) ; a = bilangan asli.
F0 = 0 (Nol).
Contoh:
a. 0,1,1,2,3,5,8,13,... (dst)
b. 0,2,2,4,6,10,16,... (dst)
c. 0,3,3,6,9,15,24,... (dst)
d. 0,4,4,8,12,20,32,... (dst)
e. 0,5,5,10,15,25,40,... (dst)
Pada awalnya, barisan ini
diperoleh Fibo-nacci dari penga-
matannya terhadap peternakan
kelinci . Pada abad ke-13, Leonardo
Pisano menuliskan suatu masalah di
bukunya Liber Abaci (Book of the
Abacus or Book of Calculating).
Pada bab 12 buku tersebut terdapat

2. 2
sebuah permasa-lahan yang mampu
mengusik “akal sehat”matematika-
wan yaitu tentang problem kelinci
beranak-pinak. Pertanyaan sederhana
tapi diperlukan kejelian dalam
berpikir. Inilah masalah yang
terdapat pada buku tersebut
”A certain man put a pair of
rabbits in a place surrounded by
a wall. How many pairs of
rabbits can be produced from
that pair in a year if it is
supposed that every month each
pair begets a new pair which
from the second month on
becomes productive?”
Atau dalam Bahasa Indonesia
“berapa banyak pasangan kelinci
yang beranak-pinak selama satu
tahun jika diawali dari sepasang
kelinci (jantan dan betina) dan
kelinci tersebut tumbuh jadi dewasa
dan bisa kawin setelah mereka
berumur satu bulan sehingga setiap
bulan kedua masing-masing kelinci
betina selalu melahirkan sepasang
kelinci baru?”.
Kejadian tersebut terus
berulang. Pada bulan pertama
terdapat satu pasangan kelinci.
Karena usia kelinci masih muda dan
belum cukup memperoleh keturunan,
sehingga pada bulan kedua, sepasang
kelinci tersebut masih belum
memiliki keturunan. Pada bulan
ketiga, sepasang kelinci tersebut
melahirkan sepasang kelinci muda.
Kelinci yang sudah melahirkan dapat
pula melahirkan sepasang kelinci
setiap bulannya. Sedangkan sepasang
kelinci muda yang baru lahir dapat
melahirkan sepasang kelinci baru
pada dua bulan yang berikutnya.
Setelah itu, dapat pula melahirkan
sepasang kelinci baru setiap
bulannya.
Pola barisan Fibonacci dari
banyaknya pasangan kelinci setiap
bulan berdasarkan penjelasan diatas
diperoleh barisan bilangan seperti
berikut ini,
BULAN
PASANGAN
MELAHIRKAN
PASANGAN
BARU
TOTAL
PASANGAN
1 1 1
2 1 1
3 1 1 2
4 1 2 3
5 2 3 5
6 3 5 8
7 5 8 13
8 8 13 21
9 13 21 34
1
0
21 34 55
1
1
34 55 89
1 55 89 144

3. 3
2
APAKAH BARISAN FIBONACCI
HARUS SELALU DIMULAI
DARI a=1 ?
Secara historis, barisan
fibonacci memang diawali dengan
a=1 (suku pertama=1), hal ini karena
barisan fibonacci diperoleh dari hasil
penelitian terhadap perternakan
kelinci setiap bulannya dimulai dari
sepasang kelinci muda pada bulan
pertama hingga hingga menghasilkan
144 pasangan pada bulan ke 12.
Namun, secara matematis bilangan
fibonacci dapat saja dimulai dengan
a ≠ 1 (a = bilangan asli), dengan
syarat sebagai berikut:
- F0 = 0
- F1 = bilangan asli
- F2 = F1 + F0
Misal : F0 = 0, F1 = 2, F2 = 2+0 , maka
diperoleh barisan fibonacci sebagai
berikut:
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 ...
0 2 2 4 6 10 16 26 42 ...
MENGHITUNG SUKU KE N
BILANGAN FIBONACCI
Jika kita ingin mencari suku 5
(F5) dari barisan Fibonacci tentunya
kita lakukan dengan cara menghitung
ulang secara 5 kali.Atau lebih tepat-
nya kita melakukan penjumlahan 5
kali.Tetapi, bagaimana dengan F100
atau F200 ? Tentu kita dapat
menghitung-nya tetapi, memakan
waktu yang lama. Untuk menjawab-
nya maka digunakan formula (rumus
Binet) untuk menentukan suku ke-n
dari barisan fibonacci.
DARI MANA RUMUS BINET
DIPEROLEH ?
Barisan Fibonacci merupakan
barisan kombinasi linear
Fn = Fn-1 + Fn-2
Namun, kita juga dapat mendekati
barisan ini secara geometrik.
Asumsi-kan bahwa: Fn = arn
dimana a merupakan konstanta awal
yang bukan nol. Dengan demikian:
Fn = Fn-1 + Fn-2
Arn
= arn-1
+ arn-2
Lalu, berapa nilai r ?
Untuk mencari nilai r kita
dapat menggunakan metode
polinominal karakteristik dari suatu
matrik, pertama kita buat dulu matrik
dari 2 persamaan fibonacci, Karena
nilai suku ke n dari deret bilangan
fibonacci merupakan penjumlahan
dari 2 suku sebelelumnya maka
persamaan yang kita perlukan adalah

4. 4
Fn+2 = Fn+1 + Fn
Fn+1 = Fn+1 + 0
Sehingga dari kedua persamaan
diatas diperoleh matrik A =
(setiap konstanta dari persamaan
diatas, perhatikan angka yang diblok
wana abu-abu ! )
Fn+2 = 1Fn+1 + 1Fn
Fn+1 = 1Fn+1 + 0
Maka, dengan menggunakan rumus
folinominal karakteristik
f(λ) = det (λ.I - A)
dengan:
λ = Nilai Eigen
I = Matrik Identitas
A = Matrik Linier dari persamaan
untuk mencari r diperoleh rumus;
F(r) = det (r.I - A)
= det
= det
= det
= = 0
= r2
– r -1 = 0
Bentuk ini merupakan bentuk
persamaan kuadrat maka kita
gunakan rumus untuk
mencari r1 dan r2. Sehingga,
r1 =
=
=
r2 =
=
=
Diperoleh r1= dan r2=
Karena kita memiliki 2 buah rasio r1
dan r2, maka fn dapat didefinisikan
menjadi
Fn=C1r1
n
+ C2r2
n
dengan C1
(konstanta untuk r1) dan C2 (konstanta
untuk r2) tidak sama dengan Nol
Cari nilai C1 dan C2
Fn= C1r1
n
+ C2r2
n

5. 5
F0= C1 + C2 = 0 ...........(1)
F1 = C1r1 + C2r2 = a ...........(2)
Ingat bahwa a = suku pertama dari
barisan fibonacci !
Misal kita substitusikan r12 ke
persamaan dua (2), sehingga
persamaan dua (2) menjadi;
F1 = C1 ( ) + C2 ( ) = a
Eliminasi persamaan 1 dan 2 !
Agar lebih memudahkan, kita bisa
mengganti variabel C1 dengan X dan
C2 dengan Y. Sehingga diperoleh;
x+y = 0
( ) x + ( ) y = a
Selanjutnya misal kita akan mencari
nilai Y maka kita dapat mengalikan
konstanta x ( ) untuk setiap
variabel X dan Y pada persamaan 1
Sehingga diperoleh :
( ) x + ( ) y = 0
( ) x + ( ) y = a
y - y = -a
y = -a
y = -a
y = -a
y = -a
Y =
Substitusi Y = ke pers 1
X+y = 0
X + = 0
X =
Jadi C1 = x = dan C2 = y =
Maka keseluruhan rumus suku ke n
dari bilangan fibonacci adalah
Fn = C1r1
n
+ C2r2
n
Fn = -
Fn =
Fn = suku ke-n

6. 6
a = suku pertama
SEKARANG MARI KITA
BUKTIKAN !
Contoh 1:
Misal kita memiliki barisan fibonacci
sebagai berikut:
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
0 1 1 2 3 5 8 1
3
?
Berapa nilai F8 ?
Mari kita hitung !
Dik: a = F1 = 1
n = 8
maka;
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
Jadi suku ke-8 barisan fibonacci
diatas adalah 21.
Contoh 2
Misal kita memiliki barisan fibonacci
sebagai berikut:
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
0 2 2 4 6 1
0
1
6
2
6
?
Berapa nilai F8 ?
Mari kita hitung !
Dik: a = F1 = 2
n = 8
maka;
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
Jadi suku ke-8 barisan fibonacci
diatas adalah 42

7. 7
Contoh 3
Misal kita memiliki barisan fibonacci
sebagai berikut:
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
0 3 3 6 9 1
5
2
4
3
9
?
Berapa nilai F8 ?
Mari kita hitung !
Dik: a = F1 = 3
n = 8
maka;
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
F8 =
Jadi suku ke-8 barisan fibonacci
diatas adalah 63.
KEKURANGAN DAN KELE-
BIHAN RUMUS
Berdasarkan analisis rumus yang
diperoleh, penulis memandang
adanya kekurangan serta kelebihan
dari rumus ini. Adapun kekurangan
nya seperti:
- Hasil akhir tidak genap semuanya
0 (Nol) desimal (,) melainkan ada
angka yang lainya,
- Untuk memperoleh suku ke-n
dalam jumlah banyak, rumus ini
dirasa kurang efektik karena
menuntut angka-angka yang lebih
banyak pada saat pengerjaan.
Sedangkan Kelebihannya seperti:
- Cukup akurat dalam menentukan
suku ke-n barisan fibonacci,
karena setidaknya hasil akhir
perhitungan suku ke-n dengan
rumus ini diperoleh enam digit 0
(Nol) desimal,
- Rumus ini berlaku untuk semua
barisan fibonacci sesuai dengan
syarat-syarat yang telah paparkan
sebelumnya.
-
MANFAAT
Adapun manfaat dari artikel ini
diantaranya:

8. 8
- Memberikan informasi tentang
bilangan barisan fibonacci kepada
pembaca.
- Memberikan referensi atau dasar
pemikiran untuk per-kembangan
rumus dimasa yang akan datang
sehingga menjadi lebih baik.
- Memberikan dorongan ke-pada
pembaca agar mampu berfikir
kreatif serta inovatif menghadapi
berbagai hal yang belum
terungkap dalam matematika.
SARAN
- Pembaca mengkaji, dan me-
laporkannya kepada penulis untuk
direvisi jika terdapat kesalahan
disertai pemikiran logis pembaca.
- Pembaca mengembangkan rumus
yang lebih efektif, kemudian
mempublikasikan nya baik di-
media cetak maupun media
elektronik.
KESIMPULAN
Fibonacci merupakan suatu
barisan bilangan dengan aturan :
F0 = 0 ,
F1=a dan a € bilangan asli, dan
Fn = Fn-1 + Fn-2,
Serta suku ke-n nya dapat ditemukan
dengan menggunakan rumus binet
Fn =
Dengan a = F1 / suku ke-1
Fn = Suku ke-n