1. www.mtematicon.ro
www.mtematicon.ro
Puteri si radicali.
1. Prin puterea n a unui numar real a intelegem numarul a n
= a·a· ... ·a (nN)
a se numeste baza, iar nN se numeste exponent.
Daca a  0 avem a 0
= 1, a n

= n
a
1
.
2. Prin radacina de ordin n sau radical de ordin n, nN, n 2 a unui numar a > 0 intelegem un
numar real, pe care il notam cu n
a = a n
1
si care are proprietatea ( n
a ) n
= a.
Proprietati - puteri:
Fie n, mN, a, bR*
a) a n
a m
= a m
n
, b) (a n
) m
= anm
, c) m
n
a
a
= a m
n
, d) (ab) n
= a n
·bn
,
e)
n
b
a






= n
n
b
a
.
Proprietati - radicali:
Fie a, b >0, n, mN, n, m 2,
a) n
ab =n
a · n
b , b) n
b
a
= n
n
b
a
, c) n m
n
a 
= a m
, d) ( n
a ) m
= n m
a ,
e) n m
a = nk mk
a , f) n m
a = nm
a .
3. Daca a<0, n 3, nN impar, se numeste radical de ordinul n al lui a, numarul negativ notat
n
a care are proprietatea ca (n
a ) n
= a.
Obs.: Proprietatile date in cazul radicalilor din numere pozitive sunt valabile si pentru radicalii de
ordin impar din numere negative.
4. B
A  si B
A  se numesc radicali dubli. In anumite conditii acestia se descompun in
suma sau diferenta de radicali simpli.
Daca A 2
- B= C2
(este un patrat perfect) atunci:
B
A  =
2
C
A 
+
2
C
A 
si B
A  =
2
C
A 
-
2
C
A 
5. O expresie care contine radicali se numeste conjugata unei alte expresii care contine radicali, daca
produsul celor doua expresii se poate scrie fara radicali.
Cele doua expresii se numesc conjugate.
n

2. www.mtematicon.ro
www.mtematicon.ro
Exemple:
a) a > 0, bR atunci a +b si a - b sunt conjugate deoarece ( a +b)( a - b) = a - b 2
,
b) a, b >0 atunci a + b si a - b sunt conjugate deoarece ( a + b )( a - b ) = a – b.
6. Puteri cu exponent rational:
a) Puteri cu exponent rational pozitiv: definim a n
m
=n m
a , a 0 si Q
n
m
 , 0
n
m
 , n 2,
b) Puteri cu exponent rational negativ: definim a n
m

=
n
m
a
1
=
n m
a
1
, a > 0 si Q
n
m
 , 0
n
m
 , n 2
Proprietati ale puterilor cu exponent rational
Daca a > 0, b > 0 si Q
q
p
,
n
m
 avem:
a) a n
m
·a q
p
= a q
p
n
m

, b) (ab) n
m
=a n
m
·b n
m
, c)
n
m
n
m
n
m
b
a
b
a







, d)
q
p
n
m
a 







= a q
p
n
m

,
e) q
p
n
m
q
p
n
m
a
a
a 
 .
Alte proprietati
a) Daca 0 < a < 1 si n 2, nN atunci 0 < n
a < 1  0 < a n
1
< 1.
b) Daca a > 1 si n 2, nN atunci 1 < n
a  1 < a n
1
.
Pornind de la aceste proprietati putem stabili urmatoarele:
a) Daca 0 < a < 1 si xQ, x > 0 atunci 0 < a x
< 1.
b) Daca a > 1 si xQ, x > 0 atunci a x
> 1.
c) Daca 0 < a < 1 si xQ, x < 0 atunci a x
> 1 .
d) Daca a > 1 si xQ, x < 0 atunci 0 < a x
< 1.
e) (x)Q avem 1 x
=1.