อ้างอิง : http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/2315-%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%B4%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%AA?groupid=357

1. ฟังก์ชันอินเวอร์ส
สำหรับควำมสัมพันธ์ใด ๆ เรำสำมำรถหำอินเวอร์สของควำมสัมพันธ์นั้นได้เสมอ
ฟังก์ชันก็มีอินเวอร์ส เช่นเดียวกัน และ ถ้ำอินเวอร์สที่ได้เป็นฟังก์ชันเรำจะกล่ำวว่ำฟังก์ชันนั้น มี
ฟังก์ชันอินเวอร์ส ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท ให้ f เป็นฟังก์ชัน แล้ว f มีฟังก์ชันอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 โดย
ฟังก์ชันอินเวอร์สของ f เขียนแทนด้วย f-1
เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 แล้ว y = f(x)
จะได้ x = f-1
(y)
ควำมสัมพันธ์นี้จะมีประโยชน์ในกำรหำฟังก์ชันอินเวอร์สต่อไป
หมายเหตุ อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชัน เช่น
f = {(a,b), (b,c), (c,d)} เป็นฟังก์ชัน
และ f-1
= {(b,a), (c,b), (d,c)} เป็นฟังก์ชัน
แต่กรณี g = {(1,a), (2,b), (3,a)} เป็นฟังก์ชัน
ส่วน g-1
= {(a,1), (b,2), (a,3)} ไม่เป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 1 จงหำฟังก์ชันอินเวอร์สของ f พร้อมทั้งเขียนกรำฟของ f และ f-1
เมื่อให้ f = {(x,y)| y
= 2x
}
วิธีทา เนื่องจำกฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1-1 จึงมีฟังก์ชันอินเวอร์ส
จำก y = 2x
หรือ x = log2y
ใช้ x = f-1
(y) จะได้f-1
(y) = log2y
ตัวแปร y สำมำรถเปลี่ยนเป็นตัวแปรชื่ออื่น ๆ ได้เสมอ จึงได้ว่ำ

2. f-1
(x) = log2x
หรือ f-1
= {(x,y)| y = log2x}
กราฟฟังก์ชัน f และ f-1
จำกรูปจะพบว่ำ เมื่อพับกรำฟในแนวของเส้นตรง y = x กรำฟ f และ f-1
จะทับกันพอดี และ fof-
1
(x) = f-1
of = x
ซึ่ง f(x) = x เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ f = {(x,y) | y = } จงหำว่ำ f มีฟังก์ชันอินเวอร์ส หรือไม่
วิธีทา ตรวจสอบว่ำมีฟังก์ชันอินเวอร์สหรือไม่ จำกกำรพิจำรณำว่ำ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่
f(x1) = f(x2)
x1 = x2

3. แสดงว่ำ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้น f มีฟังก์ชันอินเวอร์ส
จำก y =
จะได้ x =
หรือ f-1
(y) =
ดังนั้น f-1
(x) =