Ejercicios sobre el temario de determinantes

1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Luns, 14 de outubro de 2013
2. Determinantes. Páx. 1
Tes que ser capaz de:
1. Definir e calcular o valor dos determinantes de orde 2 e 3.
• Describir a idea intuitiva de determinante dunha matriz cadrada.
• Calcular o valor dos determinantes de orde 2 e 3 (regra de Sarrus).
• Obter a expresión dun determinante de orde 2 ou 3 con algún parámetro e aplicalo á
definición de ecuacións.
2. Coñecer as propiedades dos determinantes e aplicalos para o cálculo destes.
• Identificar matrices con determinante nulo.
• Recoñecer as propiedades que se utilizan nas igualdades entre determinantes.
• Obter o valor dun determinante no que interveñen letras, facendo uso razoado das
propiedades dos determinantes.
Exercicios 1:
1. Calcula o valor destes determinantes:
a) ∣7 −3
−9 −4∣; c) ∣7 8 0
5 −2∣; b) ∣15 8
0 −7 3
1 0 1∣; d) ∣ 0 3 1
−2 0 2
3 4 0∣; e) ∣0 4 −1
1 2 1
3 0 1 ∣; f) ∣ 1 0 1
−2 1 1
1 −1 0∣
2. Resolve estas ecuacións:
a) ∣1+ x 1−x
x x ∣= 6; c) ∣3 4 −5
1−x 1+ x ∣=12 ; b) ∣x−2 1−2 x
1 −1 1
1 −1 a ∣= 0; d) ∣2 1 1
0 2 2
2 3 a2 ∣= 0
Solucións 1:
1.
(a) ∣7 −3
5 −2∣= −14 + 15 = 1 ▒ (b) ∣15 8
−9 −4∣= −60 + 72 = 12 ▒
(c) ∣7 8 0
0 −7 3
1 0 1∣=−49+ 24+ 0−0−0−0= −25 ▒(d) ∣ 0 3 1
−2 0 2
3 4 0∣= 0+ 18−8−0−0−0 = 10 ▒
(e) ∣0 4 −1
1 2 1
3 0 1 ∣= 0+ 12+ 0+ 6−4−0 = 14 ▒ (f) ∣ 1 0 1
−2 1 1
1 −1 0∣=0+ 0+ 2−1−0+ 1 = 2 ▒
2.
(a) ∣1+ x 1−x
1−x 1+ x ∣=12
• (1+ x)2 −(1−x)2= 12
• 1+ 2 x+ x2 −(1−2 x+ x2) = 12
• 1+ 2 x+ x2−1+ 2 x−x2 =12
• 3 x = 12
• x =3 ▒
(b) ∣x−2 1−2 x
x x ∣= 6 ⟹ x( x−2) − x(1−2 x)= 6
• x2−2 x − (x−2 x2) = 6 ⟹ x2−2 x−x+ 2 x2 = 6
• 3 x2−3x−6= 0 ⟹ x2−x−2 = 0
• x = 1±√1+ 8
2
= 1±3
2
= {1+ 3
2
= 2
1−3
2
=−1
⟹
Dúas solucións:
x = 2
x =−1 ▒

2. Páx. 2 Determinantes.
(c) ∣3 4 −5
1 −1 1
1 −1 a ∣=0
• −3 a+ 4+ 5−5−4 a+ 3 = 0
• 7−7a = 0
• 7a =7
• a = 1 ▒
(d) ∣2 1 1
0 2 2
2 3 a2 ∣=0
• 4a2+ 4+ 0−4−0−12= 0
• 4a2−12 = 0 ⟹ 4a2= 12 ⟹ a2= 3
• Dúas solucións: a = √3
a =−√3
▒
Exercicios 2:
1. Aplicando as propiedades dos determinantes calcula o valor de:
a) ∣4 3 1 27
1 1 4 9
2 4 −1 36
0 6 2 54∣; b) ∣ 1 0 1 0
0 0 8 0
0 0 0 1
0 −3 0 0∣; d) ∣1 0 0 0
2 4 0 3
612 704 410 103
6 7 4 1 ∣; c) ∣4 0 0 0
4 −1 0 0
7 −1 1 0
3 1 4 1∣
2. Se ∣a b
c d ∣= 7 , razoa cal é o valor dos seguintes determinantes:
a) ∣a c
b d ∣; b) ∣b a
d c ∣; c) ∣3a b
3c d ∣; d) ∣a b+ 2a
c d+ 2c ∣; d) ∣2a 2b
2c 2d ∣.
3. Das seguintes operacións con determinantes de orde 2⨯2, sinala as que son correctas e, no seu
caso, enuncia as propiedades que se utilizan:
a) ∣a b∣=a
0 ; b) ∣2 2
∣= 4 ∣1 1
∣; c) ∣2 2
b 2 61 32 6∣= 2 ∣1 1
1 3∣;
d) ∣a−1 a
b+ 2 b ∣=∣−1 a
2 b∣; e) ∣2a a−b
2b b ∣= 2b ∣a a−b
1 1 ∣.
4. Se ∣m n
p q∣= −5, cal é o valor de cada un dos seguintes determinantes? Xustifica as respostas.
a) ∣m+ 3n p+ 3q
n q ∣; b) ∣p m
q n ∣; c) ∣3n −m
3q −p ∣; d) ∣p 2m
q 2n ∣; e) ∣ 1 n/m
mp mq ∣; f) ∣m 5m
p 5 p ∣.
5. Sabendo que ∣1 1 1
a b c
x y z ∣= 5, calcula o valor dos seguintes determinantes:
a) ∣ 1 1 1
a+ 7 b+ 7 c+ 7
x /2 y /2 z/2 ∣; b) ∣a b c
x y z
1 1 1∣; c) ∣ 0 0 1
c−a b−c c
z−x y−z z ∣;
d) ∣ 1−x 1−y 1−z
a+ 2 x b+ 2 y c+ 2 z
2 x 2 y 2z ∣; e) ∣ x y z
x−a y−b z−c
3 3 3 ∣
Solucións 2:
1.
(a) ∣4 3 1 27
1 1 4 9
2 4 −1 36
0 6 2 54∣= 0 , xa que, a 4ª columna é proporcional á 2ª columna. [C 4 =9C2 ] ▒

3. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Luns, 14 de outubro de 2013
2. Determinantes. Páx. 3
(b) ∣ B ∣ = 0 , xa que, a 3ª fila pode expresarse como combinación lineal das outras tres filas.
[F3 = F2 + 10F1 + 100F4 ] ▒
(c) ∣4 0 0 0
0 0 8 0
0 0 0 1
0 −3 0 0∣= −∣4 0 0 0
0 0 8 0
0 −3 0 0
0 0 0 1∣= ∣4 0 0 0
0 −3 0 0
0 0 8 0
0 0 0 1∣= −96 ▒
F3 ↔ F 4 F2 ↔ F 3
(d) ∣1 0 0 0
4 −1 0 0
7 −1 1 0
3 1 4 1∣= −1 ▒
NOTA: Xa que, 1 · (−1) · 1 · 1 = −1 , é o único
produto posible distinto de cero.
2.
(a) ∣a c
b d ∣= 7 , xa que o determinante dunha matriz é igual que o da súa trasposta. ▒
(b) ∣b a
d c ∣= −7, xa que se se permutan dúas columnas o determinante cambia de signo. ▒
(c) ∣3a b
3c d ∣= 3⋅7= 21, xa que se multiplicamos por 3 a 1ª fila, o determinante queda
multiplicado por 3. ▒
(d) ∣a b+ 2a
c d+ 2c ∣= 7 , xa que se á 2ª columna lle sumamos o produto por 2 da 1ª, o seu
determinante non varía. ▒
(e) ∣2a 2b
2c 2d ∣=2⋅2⋅7 = 28, xa que se multiplicamos por 2 a 1ª e a 2ª fila, o determinante queda
multiplicado por 4. ▒
3. (a) Verdadeiro. Ten as dúas columnas iguais. ▒
(b) Verdadeiro. Se unha fila está multiplicada por un número, o determinante queda multiplicado
por ese número, neste caso multiplícanse as dúas filas por 2. ▒
(c) Falso; a expresión correcta é a do apartado anterior. ▒
(d) Verdadeiro. Se restamos a 2ª columna á 1ª, o valor do determinante non varía. ▒
(e) Verdadeiro. Se unha fila ou unha columna está multiplicada por un número, o determinante
queda multiplicado por ese número: ∣2a a−b
∣= 2 ∣a a−b
2b a a−b
2b b b b ∣= ∣∣. ▒
1 1 4.
(a) ∣m+ 3n p+ 3q
n q ∣=
(1)∣m p
n q ∣=
(2)∣m n
p q ∣= −5. ▒
(b) ∣p m
q n ∣=(
2)∣ p q
m n ∣=(
3)
−∣m n
p q∣= −(−5)= 5 . ▒
(c) ∣3n −m
3q −p ∣=
(4)
−3∣n m
q p ∣=
(3)
3 ∣m n
p q ∣= 3⋅(−5)= −15. ▒
(d) ∣p 2m
q 2n ∣=
(4)
2∣p m
q n ∣=
(2)
2∣ p q
m n ∣=
(3)
−2 ∣m n
p q ∣= −2⋅(−5) = 10. ▒
(e) ∣ 1 n/m
mp mq ∣=
(4)
1m
⋅m∣m n
p q∣= −5. ▒

4. Páx. 4 Determinantes.
(f) ∣m 5m
p 5 p ∣= 0 , xa que as dúas columnas son proporcionais. ▒
(1) Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
(2) O determinante dunha matriz coincide co da súa trasposta.
(3) Se cambiamos de orde dous filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.
(4) Se multiplicamos unha fila ou unha columna por un número, o determinante queda multiplicado
por ese número.
5.
(a) ∣ 1 1 1
a+ 7 b+ 7 c+ 7
x /2 y /2 z/2 ∣=(
1)
1
2 ∣ 1 1 1
a+ 7 b+ 7 c+ 7
x y z ∣=
(2)
1
2 (∣1 1 1
7 7 7
x y z ∣)=
a b c
x y z ∣+ ∣1 1 1
(3)
1
2
⋅5 =
5
2
▒
(1) Sacamos 1/2 como factor común da 3ª fila.
(2) Descompoñemos o determinante en suma de dous, segundo os sumandos da 2ª fila.
(3) O 2º determinante é nulo, pois as dúas primeiras filas son proporcionais.
(b) ∣a b c
x y z
1 1 1∣=
(1)
−∣a b c
1 1 1
x y z ∣=
(1)∣1 1 1
a b c
x y z ∣= 5 . ▒
(1) Se permutamos dúas filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.
(c) ∣ 0 0 1
c−a b−c c
z−x y−z z ∣=
(1)∣−1 1 1
−a b c
−x y z ∣=(
2)
−∣1 1 1
a b c
x y z ∣= −5. ▒
(1) Se a unha columna súmaselle ou réstaselle outra multiplicada por un número, o determinante non
varía. [Á 1ª columna réstaselle a 3ª, e a 2ª súmaselle a 3ª]
(2) Sacamos (−1) como factor común da 1ª columna.
(d) ∣ 1−x 1− y 1−z
a+ 2x b+ 2 y c+ 2z
∣=
2x 2 y 2z (1)
2 ∣ 1−x 1− y 1−z
a+ 2x b+ 2 y c+ 2z
∣=
x y z (1)
2 ∣1 1 1
a b c
x y z ∣= 2⋅5 = 10. ▒
(1) Sacamos 2 como factor común da 3ª fila.
(2) Se a unha fila súmaselle ou réstaselle outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
[Á 1ª fila súmaselle a 3ª, e a 2ª réstaselle a 3ª multiplicada por 2]
(e) ∣ x y z
x−a y−b z−c
3 3 3 ∣=
(1)∣ x y z
−a −b −c
3 3 3 ∣=
(2)
−3∣x y z
a b c
1 1 1∣=(
3)
3 ∣1 1 1
a b c
x y z ∣= 3⋅5 = 15. ▒
(1) Se a unha fila súmaselle ou réstaselle outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
[Á 2ª fila réstaselle a 1ª]
(2) Sacamos (−1) como factor común da 2ª fila, e 3 como factor común da 3ª fila.
(3) Se permutamos dúas filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.