Valor absoluto widmar aguilar

ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA
PREUNIVERSITARIA
INECUACIONES
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
Junio 2021

Para la solución de ejercicios de este tema, es necesaria la
siguiente teoría:

En relación a la intersecci]on y unión de intervalos, se tiene:

1)
a)
| | < 3 → < 1
| | < 3 ↔ −3 < < 3
−3 < − < 3
1 < 4 − < 7
< < 1
−1 < < 1 ∶ −1 <
< 1 →
b)
| − 1| < 4 → ∈ ]0,1[
| − 1| < 4 ↔ −4 < − 1 < 4
−4 + 6 < − 1 + 6 < 4 + 6
2 < + 5 < 10
!
< <
"
∉ ]0,1[ --------------- (F)
c)
∈ [−5, 4[ → |3 − 5| ≤ 20
∈ [−5,4[ ↔ −5 ≤ < 4
-15 ≤ 3 < 12

-15-5 ≤ 3 − 5 < 12 − 5
-20 ≤ 3 − 5 < 7 → −20 ≤ 3 − 5 < 20
|3 − 5| ≤ 20 − − − − − −
d)
| | < 1 →
" %
< 6
| | < 1 ↔ −1 ≤ ≤ 1
−1 ≤ − ≤ 1
-5 ≤ −5 ≤ 5
−4 ≤ 1 − 5 ≤ 6
−6 ≤ 1 − 5 ≤ 6 ; −6 < −4
|1 − 5 | ≤ 6 − − − − − − '
| | < 1 ↔ −1 ≤ ≤ 1
−2 ≤ 2 ≤ 2
-5 ≤ 2 − 3 ≤ −1
−1 ≤ " %
≤ −
−1 ≤ " %
≤ 1 ; − < 1
" %
≤ 1 − − − − − − (
De (a) por (b):
|1 − 5 |.
" %
≤ 6 1
" %
≤ 6 − − − − − −
e)
Si a,b c ∈ * → |' + ( + +| ≤ |'| + |(| + |+|
De : |' + ( + +| = |' + ( + + |
|' + ( + +| ≤ |'| + |( + +| --------propiedad triangular
Como: |( + +| ≤ |(| + |+|
Se tiene:

|' + ( + +| ≤ |'| + |( + +| ≤ |'| + |(| + |+|
|' + ( + +| ≤ |'| + |(| + |+|
2
De:
' + ( "
= '"
+ 2'( + ("
|'(| ≤ |'||(| ----propiedad
'"
+ 2'( + ("
≤ '"
+ 2|'||(| + ("
Como: |'|"
= '"
'"
+ 2'( + ("
≤ |'|"
+ 2|'||(| + |(|"
√'" + 2'( + (" ≤ .|'|" + 2|'||(| + |(|"
. ' + ( " ≤ . |'| + |( |"
Por la propiedad: √ " = | |
|' + (| ≤ |'| + |( |
3)
a)
| − 5| < 2 →
"
%
<
%
"
De:
| − 5| < 2 ↔ −2 < − 5 < 2
-2+7 ≤ − 5 + 7 ≤ 2 + 7
5≤ + 2 ≤ 9
−9 ≤ + 2 ≤ 9 ; −9 < 5

| + 2| < 9 --------(a)
| − 5| < 2 ↔ −2 < − 5 < 2
-2+8 ≤ − 5 + 8 ≤ 2 + 8
6≤ + 3 ≤ 10
!
≤ %
≤ 1
−
1
≤
%
≤
1
; −
1
<
!
%
<
1
--------(b)
De (a) y (b):
| + 2|. %
< 9. 1
"
%
<
%
"
− − − − − − − − − − − −
b)
| | < 1 → 2
+ 5
+ 1
2 < 3
< 3 → + < 3
1 + < 3 --------------(a)
| | < 1 ↔ −1 < < 1
0 < + 1 < 2
"
< <
!
"
< → 2 <
3 < 1 + -----------(b)
De:
1 + < 3 → −3 < 1 + < 3
3 < 1 + → −3 < 1 + ; −3 < 3

Luego:
−3 < 1 + < 3
< 3 − − − − − − − − − − − −
c)
∈ ] − 2,5[ →
3
∈ ]1/10 , 1/4 [
De: -2 < x < 5 ↔ −5 < − < 2
−5 + 8 < 8 − < 2 + 8
3 < 8 − < 10
!
< 3
< %
3
∈ ] 1/10. 1/3[
3
∈] 1/10. 1/4[ − − − − − − 5
4)
a) < 0 → − 1 3 − 2 − "
> 0
→ − − 1 "
− 3 + 2 > 0
− 1 "
− 3 + 2 < 0
− 1 − 1 − 2 < 0
− 1 "
− 2 < 0
< 0 → − 1 "
> 0
Entonces queda:
x < 2

(-) (+)
< 0 → − 1 3 − 2 − "
> 0 ---------------- (V)
b)
"
%
<
%
"
→ | − 5| < 2
−
%
"
<
"
%
<
%
"
; -2 < x-5 < 2
−
%
"
<
"
%
∩
"
%
<
%
"
−
%
"
<
"
%
→ 0 <
%
"
+
"
%
→ 0 <
%
%
5 + 13 + 3 > 0 → < −3 8 > −
%
"
%
<
%
"
→
"
%
−
%
"
< 0 → %
> 0
+ 5 + 3 > 0 → < −5 8 > −3
Se tiene:
< −3 8 > −
%
∩ < −5 8 > −3
La intersección da: < −5 8 > −
%
--------(a)
De;
-2 < x-5 < 2 → 3 < < 7 ------------------(b)
De (a) y (b) se concluye que:
"
%
<
%
"
→ | − 5| < 2 --------------------------(F)
c)
"
− 7 + 10 < 0 → |2 − 7| < 3
Factorizando: "
− 7 + 10 = "
− 7 +
9
+ 10 −
9
= − "
"
−
9
−
"
"
−
9
< 0 → −
"
"
<
9

De: : −
"
" < :
9
−
"
<
%
"
"
"
<
%
"
→
"
|2 − 7| <
%
"
|2 − 7| < 3 − − − − − − − − −
d)
| | < 3 → ∈ ] − , −
!
[
De: | | < 3 ↔ −3 < < 3
-3-7 < x-7 < 3-7
-10< x-7 < -4
− < < − !
∈ ] − 1/4, −1/10[ ----------- (V)
5)
De la definición de valor absoluto:
|2 + | = ;
2 + ; 2 + ≥ 0
− 2 + ; 2 + < 0
|2 + | = ;
2 + ; ≥ −2
− 2 + ; < −2
--------------------(a)
|2 − | = ;
2 − ; < 2
− 2 − ; ≥ 2
----------------------(b)
Para el intervalo 0 < x < 2:
|" | |" |
=
" "
=
" "
=
"
= 2
x> 2, se tiene:
|" | |" |
=
" "
=
" "
=
Entonces:

|" | |" |
= =
2 , >? 0 < < 2
, >? > 2
6)
a)
E =
| | | |
, si ∈ ]0, 1[
Usando el valor absoluto:
|4 + 1| = @
4 + 1 , > −
0 , = −1/4
− 4 + 1 , < −
| − 1| = A
− 1 , > 1
0 , = 1
− − 1 , < 1
Para 0 < x < 1:
B =
| | | |
= = = = 5
B = 5
b)
Para 0 < x < 3:
|7 + 2| = @
7 + 2 , > −
2
7
− 7 + 2 , < −
2
7

|3 + 2| = C
3 + 2 , > −
"
%
− 3 + 2 , < −
"
%
B =
| "| |% "|
=
" % "
=
" % "
= = 4
B = 4
7)
∈ [1, 3]
"
=
" !
" "
=
"
" "
=
"
−
" "
"
− " "
≤ D
De:
1 ≤ ≤ 3 → 2 ≤ 2 ≤ 6
3 ≤ 2 + 1 ≤ 7 → ≤
"
≤
%
−
%
≤ −
"
≤ −
−
%
≤ −
"
≤ −
−
1
≤ −
" "
≤ −
"
−
1
≤
"
−
" "
≤
"
−
−
%
≤
"
−
" "
≤ −
"
− %
≤ "
− " "
≤ %
; −
"
< %
"
≤
%
D =
%

8)
%
1
=
1 %
1
= 1 −
%
1
1 −
%
1
≤ D
EF:
2
∈ H
1
5
, 6I →
1
5
≤
2
≤ 6
→
!
≤ ≤ 3
→ %
< < 10
→ 6 + %
≤ + 6 ≤ 16
→ 1
≤ 1
≤
%
9
→ −
%
9
≤ − 1
≤ − 1
→ 1 −
9
9
≤ 1 −
%
1
≤ 1 −
%
1
→
!
9
≤ 1 −
%
1
≤
%
1
→ −
%
1
≤ 1 −
%
1
≤
%
1
; -13/16 < 10/19
%
1
≤ D
%
1
≤
%
1
D =
%
1
9)
"
"
=
"
" "
=
"J
" "J
=
"
+
" "
"
+
" "
≤ D
De; |2 − 5| ≤ 3 → −3 ≤ 2 − 5 ≤ 3
→ −3 + 4 ≤ 2 − 5 + 4 ≤ 3 + 4
→ 1 ≤ 2 − 1 ≤ 7

→ ≤
"
≤ 1
→ ≤
" "
≤
"
→
"
+ ≤ ½ +
" "
≤
"
+
"
→
1
≤ ½ +
" "
≤ 3
−3 ≤ ½ +
" "
≤ 3 ; -3 < 6/7
½ +
" "
≤ 3
"
"
≤ D
D = 3
10)
% "
= −
" %
=
" %
= 2 −
2 − ≤ D
De;
"
∈ L1
,
"
M →
1
≤
"
≤
"
→ "
≤ ≤
→ 4 ≤ ≤ 12
→ 4 − 1 ≤ − 1 ≤ 12 − 1
→ 3 ≤ − 1 ≤ 11
→ −11 ≤ − − 1 ≤ −3
→ − %
≤ − ≤ −
→ 2 −
%
≤ 2 − ≤ 2 −
→
%
≤ 2 − ≤
"
→ −
"
≤ 2 − ≤
"

2 − ≤
"
D =
"
11)
∀ ∈ * → −∞ < < ∞
Elevando al cuadrado:
0 ≤ − 1 "
− 1 "
≥ 0 → "
− 2 + 1 ≥ 0
-(2x- "
− 1 ≥ 0
2x- "
− 1 ≤ 0
2 − "
≤ 1
D = 1
b) 1 − 4 − "
≤ D
∀ ∈ * → −∞ < < ∞ --------(a)
− "
+ 4 − 1 = − "
+ 4 + 4 + 5 = 5 − + 2 "
5 − + 2 "
≤ D
De (a) se tiene:
−∞ < + 2 < ∞
Elevando al cuadrado:
0 ≤ + 2 "
→ + 2 "
≥ 0
− + 2 "
≤ 0
5 - + 2 "
≤ 5
M = 5

12)
De; a-b = a+ (-b)
Al tomar el valor absoluto de todo, se tiene:
|' − (| = |a + −b |
Por propiedad: |a + −b | ≤ |'| + |−(|
|a + −b | ≤ |'| + |(|
Finalmente:
|' − (| ≤ |'| + |(|
13)
De:
|'| = |' + ( − ( + + − + |
|'| = |' − ( − + + ( + + |
Por propiedad: |' − ( − + + ( + + | ≤ |' − ( − +| + |( + +|
|( + +| ≤ |(| + |+|
Se tiene:
|'| ≤ |' − ( − +| + |( + +| ≤ ≤ |' − ( − +| + |(| + |+|
|'| ≤ |' − ( − +| + |(| + |+|
|'| − |(| + |+| ≤ |' − ( − +| + |(| + |+| − |(| + |+|
|'| − |(| − |+| ≤ |' − ( − +|------
14)
De: 2 + 5 ≥ 0
≥ −
"

→
(R>+'S TUVU> WU> FWFXFYTU> ZRF >F'Y ['STF VF W' VF>?R'WV'V
→ 3 − 1 = 2 + 5 ∨ 3 − 1 = − 2 + 5
→ = 6 ∨ 5 = −4
→ = 6 ∨ = −
^_ = ` − , 6 a
15)
4 − 2 ≥ 0 → ≤ 2
La solución está en los elementos que estén dentro del x < = 2
De; "
− 4 = 4 − 2 ∨ "
− 4 = − 4 − 2
→ "
+ 2 − 8 = 0 ∨ "
− 2 = 0
+ 4 − 2 = 0 ∨ − 2 = 0
→ b = −4 ó = 2d ∨ b = 0 ó = 2d
→ = −4 ó = 0 ó = 2

CS = { -4, 0, 2 }
16)
Por medio de los puntos críticos:
e^ =
%
− − − −YU> V' WU> ?YTFSf'WU>:
a) ] − ∞,
%
[ →
%
"
= −
"
3 − 1
→ 2 −
%
"
3 − 1 = 3 + 5
→ 4 − 9 + 3 = 6 + 10
→ 15 = −3
= -1/5
-1/5 ∈ ] − ∞,
%
[
b) ]
%
, ∞[ →
%
"
=
"
3 − 1
→ 2 +
%
"
3 − 1 = 3 + 5
→ 4 + 9 − 3 = 6 + 10
→ 3 = 9
= 3
3 ∈ ]
%
, ∞[

^_ = { -1/5, 3 }
17)
Factorizando la expresión:
| − 4| − 3 | − 4| − 2 = 0
| − 4| = 3 ∨ | − 4| = 2
| − 4| = 3 → − 4 = 3 ó − 4 = −3
→ = 7 ó = 1
| − 4| = 2 → − 4 = 2 ó − 4 = −2
→ = 6 ó = 2
Se tiene:
{ = 7 ó = 1d ∨ b = 6 ó = 2d
→ ^_ = b 1,2,6,7d
18)
Factorizando la expresión:
| + 2| − 1 − 6 | + 2| − 1 + 1 = 0
→ | + 2| = 7 ∨ | + 2| = 0
De: | + 2| = 7 → + 2 = 7 ó + 2 = −7
→ = 5 ó x = - 9
De: | + 2| = 0 → + 2 = 0
→ = −2

Se tiene: { = 5 ó x = - 9 } ∨ { x = -2 }
Como x = -2 es un punto crítico, no es parte de la solución:
^_ = b − 9, 5}
19)
Se tiene:
2|2 + 3| + = 2|2 + 3|
→ = 0
^_ = b0d
20)
Como se tiene suma de valores absolutos, se puede utilizar el
método de los puntos críticos, así:
e^ → =
= 6
= −
%
"
Se forman 3 intervalos, en donde se debe analizar el signo de los
valores absolutos:
a)
] − ∞ ,
%
"
[ → ;
|2 − 3| = − 2 − 3
| + 6| = − − 6
|2 − 3| + 2 = | − 6| → − 2 − 3 + 2 = − − 6
→ −2 + 3 + 2 = − + 6

→ − = 1 ∶ = −1
−1 ∈ ] − ∞ ,
%
"
[
b)
]
%
"
, 6[ → ;
|2 − 3| = 2 − 3
| + 6| = − − 6
|2 − 3| + 2 = | − 6| → 2 − 3 + 2 = − − 6
→ 2 − 3 + 2 = − + 6
→ 3 = 7 ∶ =
%
%
∈ ]
%
"
, 6[
c)
]6, ∞[ → ;
|2 − 3| = 2 − 3
| + 6| = − 6
|2 − 3| + 2 = | − 6| → 2 − 3 + 2 = − 6
→ 2 − 3 + 2 = − 6
→ = −5
- 5 ∉]6, ∞[
La solución es:
^_ = { −1,
%
d
21)
De;
→ | | − 3 = 3 + 2 ∨ | | − 3 = − 3 + 2
→ | | = 3 + 5 ∨ | | = 1 − 3
De:
| | = 3 + 5

| | = 3 + 5 ↔ 3 + 5 ≥ 0 ∧ b = 3 + 5 ó = −3 − 5d
↔ ≥ −
%
∧ b 2 = −5 ó 4 = −5d
≥ −
%
∧ b = −
"
ó = − d
_1 = ` − a
| | = 1 − 3
| | = 1 − 3 ↔ 1 − 3 ≥ 0 ∧ b = 1 − 3 ó = 3 − 1d
↔ ≤
%
∧ b 4 = 1 ó 2 = 1d
≤
%
∧ b = ó =
"
d
_2 = ` a
^_ = _1 8 _2
^_ = ` − , a
22)
Los puntos críticos son:

e^ = b = −1, = 2, = 5d
a)
] − ∞, −1[ → | + 1| = − + 1 ; | − 5| = − − 5
| − 2| = − − 2
2| + 1| − 3| − 2| + | − 5| = + 2 →
→ −2 + 1 + 3 − 2 − − 5 = + 2
→ −2 − 2 + 3 − 6 − + 5 = + 2
→ −3 = + 2
= −5
−5 ∈ ] − ∞,−1[
b)
] − 1,2[ → | + 1| = + 1 ; | − 5| = − − 5
| − 2| = − − 2
2| + 1| − 3| − 2| + | − 5| = + 2 →
→ 2 + 1 + 3 − 2 − − 5 = + 2
→ 2 + 2 + 3 − 6 − + 5 = + 2
→ 4 + 1 = + 2
=
%
%
∈ ] − 1,2[
c)
]2, 5[ → | + 1| = + 1 ; | − 5| = − − 5
| − 2| = − 2
2| + 1| − 3| − 2| + | − 5| = + 2 →

→ 2 + 1 − 3 − 2 − − 5 = + 2
→ 2 + 2 − 3 + 6 − + 5 = + 2
→ −2 + 13 = + 2
=
%
11/3 ∈ ]2,5[
d)
] 5, ∞[ → | + 1| = + 1 ; | − 5| = − 5
| − 2| = − 2
2| + 1| − 3| − 2| + | − 5| = + 2 →
→ 2 + 1 − 3 − 2 + − 5 = + 2
→ 2 + 2 − 3 + 6 + − 5 = + 2
→ 3 = + 2
= 1
1 ∉ ]5, ∞[
^_ = ` −5,
%
,
%
a
23)
Factorizando:
2h + √2h h − √2h + 5 = 6 h√2 + √3h h√2 − √3h
Puntos críticos son:
X = −√2 , √2 , − :
%
"
, :
%
"

Se debe analizar los signos del valor absoluto de 5 intervalos:
a)
] − ∞,−√2 [ →
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
h + √2h = − + √2
h − √2h = − − √2
h√2 + √3h = − √2 + √3
h√2 − √3h = − √2 − √3
2h + √2h h − √2h + 5 = 6 h√2 + √3h h√2 − √3h →
→ 2 "
− 2 + 5 = 6 2 "
− 3
→ 2 "
− 4 + 5 = 12 "
− 18
→ 10 "
= 19 → "
=
9
!
→ = :
9
!
ó = −:
9
!
± :
9
!
∉ ] − ∞, −√2 [
_1 = ∅
b)
] − √2 , −o
3
2
[ →
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ h + √2h = + √2
h − √2h = − − √2
h√2 + √3h = − √2 + √3
h√2 − √3h = − √2 − √3
-2h + √2h h − √2h + 5 = 6 h√2 + √3h h√2 − √3h →
→ −2 "
− 2 + 5 = 6 2 "
− 3

→ −2 "
+ 9 = 12 "
− 18
→ 14 "
= 27 → "
=
"
→ = 3 :
%
ó = −3:
%
3 :
%
∉ ] − √2 , −:
%
"
[
S2 = b−3:
%
d
c)
] − o
3
2
, o
3
2
, [ →
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
h + √2h = + √2
h − √2h = − − √2
h√2 + √3h = √2 + √3
h√2 − √3h = − √2 − √3
-2h + √2h h − √2h + 5 = 6 h√2 + √3h h√2 − √3h →
→ −2 "
− 2 + 5 = −6 2 "
− 3
→ −2 "
+ 9 = −12 "
+ 18
→ 10 "
= 9 → "
=
9
!
→ = 3:
!
ó = −3:
!
±3 : !
∈ ] − :
%
"
, :
%
"
, [
_3 = {±3 : !
d
d)

] o
3
2
, √2[ →
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ h + √2h = + √2
h − √2h = − − √2
h√2 + √3h = √2 + √3
h√2 − √3h = √2 − √3
-2h + √2h h − √2h + 5 = 6 h√2 + √3h h√2 − √3h →
→ −2 "
− 2 + 5 = 6 2 "
− 3
→ −2 "
+ 9 = 12 "
− 18
→ 14 "
= 27 → "
=
"
→ = 3 :
%
ó = −3:
%
−3 :
%
∉ ] :
%
"
, √2[
_4 = b 3 :
%
d
e)
] √2, ∞[ →
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
h + √2h = + √2
h − √2h = − √2
h√2 + √3h = √2 + √3
h√2 − √3h = √2 − √3
2h + √2h h − √2h + 5 = 6 h√2 + √3h h√2 − √3h →
→ 2 "
− 2 + 5 = 6 2 "
− 3
→ 2 "
+ 1 = 12 "
− 18
→ 10 "
= 19 → "
=
9
!
→ = :
9
!
ó = −:
9
!
± :
9
!
∉ ] :
%
"
, √2[
_5 = ∅

CS = S1+S2+S3+S4+S5
^_ = b−3:
%
, −3:
!
3:
!
, 3 :
%
d
24)
[RYTU> +SíT?+U> = ` =
%
, = −2a
Analizando las soluciones en cada intervalo:
a)
] − ∞, −2 [ → ;
|3 − 1| = − 3 − 1
| + 2| = − + 2
|3 − 1| − | + 2| = 1
↔ − 3 − 1 + + 2 = 1
↔ −3 + 1 + + 2 = 1
x = 1
1 ∉ ] − ∞, −2 [
_1 = ∅
b)
x ∈ ] − 2,
%
[ → ;
|3 − 1| = − 3 − 1
| + 2| = + 2
|3 − 1| − | + 2| = 1
↔ − 3 − 1 − + 2 = 1
↔ −3 + 1 − − 2 = 1
-4x = 2 ; x = - ½

−
"
∈ ] − 2,
%
[
_2 = −
"
c)
x ∈ ]
%
, ∞ [ → ;
|3 − 1| = 3 − 1
| + 2| = + 2
|3 − 1| − | + 2| = 1
↔ 3 − 1 − + 2 = 1
↔ 3 − 1 − − 2 = 1
2x = 4 ; x = 2
2 ∈ ]
%
, ∞[
_3 = 2
CS = _1 + _2 + _3
^_ = ` −
"
, 2 a
25)
[RYTU> +SíT?+U> = b = −1, = 2d
a)
∈ ] − ∞, −1[ → ;
| + 1| = − + 1
| − 2| = − − 2
3| + 1| − 2| − 2| = 2 − 1 ↔ −3 + 1 + 2 − 2 = 2 − 1
↔ −3 − 3 + 2 − 4 = 2 − 1
↔ −3 = 6 ; = −2
−2 ∈ ] − ∞, −1[

_1 = −2
b)
∈ ] − 1, 2 [ → ;
| + 1| = + 1
| − 2| = − − 2
3| + 1| − 2| − 2| = 2 − 1 ↔ 3 + 1 + 2 − 2 = 2 − 1
↔ 3 + 3 + 2 − 4 = 2 − 1
↔ 3 = 0 ; = 0
0 ∈ −1, 2[
_2 = 0
c)
∈ ] 2, 0 [ → ;
| + 1| = + 1
| − 2| = − 2
3| + 1| − 2| − 2| = 2 − 1 ↔ 3 + 1 − 2 − 2 = 2 − 1
↔ 3 + 3 − 2 + 4 = 2 − 1
↔ − = −8 ; = 8
8 ∈ ] 2, ∞[
_2 = 8
^_ = _1 + _1 + _3
^_ = b −2,0, 8 d
26)
Puntos críticos = { x =-1, x= 2/3}
a) ∈ ] − ∞, −1 [ → ;
| + 1| = − + 1
|3 − 2| = − 3 − 2

"
+ | + 1| = |3 − 2| + 5 → "
− + 1 = − 3 − 2 + 5
→ "
− − 1 = −3 + 2+5
→ "
+ 2 − 8 = 0
→ − 2 + 4 = 0
→ = 2 ó = −4
2 ∉ ] − ∞,−1 [
_1 = b −4 d
b)
∈ ] − 1, 2/3 [ → ;
| + 1| = + 1
|3 − 2| = − 3 − 2
"
+ | + 1| = |3 − 2| + 5 → "
+ + 1 = − 3 − 2 + 5
→ "
+ + 1 = −3 + 2+5
→ "
+ 4 − 6 = 0
Resolviendo: =
±√ 1 "
"
=
±"√ !
"
= −2 ± √10
→ q − √10 + 2 rq + 2 + √10r = 0
→ = −2 − √10 ó = −2 + √10
−2 ± √10 ∉ ] − 1, 2/3 [
_2 = ∅
c)
∈ ] 2/3,∞ [ → ;
| + 1| = + 1
|3 − 2| = 3 − 2
"
+ | + 1| = |3 − 2| + 5 → "
+ + 1 = 3 − 2 + 5
→ "
+ + 1 = 3 − 2+5
→ "
− 2 − 2 = 0

Resolviendo: =
" ±√ 3
"
=
"±"√%
"
= 1 ± √3
→ q − √3 + 1 rq − 1 − √3r = 0
→ = 1 + √3 ó = 1 − √3
1 − √3 ∉ ] 2/3 , ∞ [
_3 = s1 + √3 t
^_ = _1 + _2 + _3
^_ = s −4, 1 + √3t
27)
Aplicar:
h| "
− 5 + 15| − "
+ 8h = |3 + 9| ↔
↔ b | "
− 5 + 15| − "
+ 8 = 3 + 9 ∨ | "
− 5 + 15| − "
+ 8 =
− 3 + 9
a)
| "
− 5 + 15| − "
+ 8 = 3 + 9 → | "
− 5 + 15| = "
+ 3 + 1
| "
− 5 + 15| = "
+ 3 + 1 → "
+ 3 + 1 ≥ 0 ∧ "
− 5 +
15 = "
+ 3 + 1 ∨ "
− 5 + 15 = − "
− 3 − 1
→ ∈] − ∞,−3/2 −
√
"
[ 8]
√
"
− 3/2, ∞[ ∧ b "
− 5 +
15 = "
+ 3 + 1 ∨ "
− 5 + 15 = − "
− 3 − 1 d

→ ∈] − ∞, −3/2 −
√
"
[ 8]
√
"
− 3/2, ∞[ ∧ b14 = 8 ∨ 2 "
−
−2 + 16 = 0 d
→ ∈] − ∞, −3/2 −
√
"
[ 8]
√
"
− 3/2, ∞[ ∧ = ∨ ∈ ∅
→ ∈] − ∞, −3/2 −
√
"
[ 8]
√
"
− 3/2, ∞[ ∧ ` = a
→ =
b)
| "
− 5 + 15| − "
+ 8 = − 3 + 9 →
| "
− 5 + 15| = "
− 3 − 17 →
| "
− 5 + 15| = "
− 3 − 17 → "
− 3 − 17 ≥ 0 ∧ "
− 5 +
15 = "
− 3 − 17 ∨ "
− 5 + 15 = − "
+ 3 + 17
→ ∈ ] − ∞,
%
"
−
√
"
[ 8 ]
√
"
+
%
"
, ∞ [ ∧ b 2 = 32 ∨ 2 "
− 8 −
2 = 0d
→ ∈ ] − ∞,
%
"
−
√
"
[ 8 ]
√
"
+
%
"
, ∞ [ ∧ b = 16 ∨ "
− 4 −
1 = 0d
→ ∈ ] − ∞,
%
"
−
√
"
[ 8 ]
√
"
+
%
"
, ∞ [ ∧ s = 16 ∨ = 2 −
√5 ∨ = 2 + √5t
= 16
La solución es:
= ∨ = 16
^_ = ` , 16a
28)
Puntos críticos = { x =3/2 , x = 3}

a)
∈ ] − ∞, 3/2[ → ;
|2 − 3| = − 2 − 3
| − 3| = − − 3
|2 − 3| − 1 = | − 3| ↔ − 2 − 3 − 1 = − − 3
↔ −2 + 3 − 1 = − + 3
↔ = −1
_1 = b−1d
b)
∈ ] 3/2, 3[ → ;
|2 − 3| = 2 − 3
| − 3| = − − 3
|2 − 3| − 1 = | − 3| ↔ 2 − 3 − 1 = − − 3
↔ 2 − 3 − 1 = − + 3
↔ 3 = 7 → = 7/3
_2 = `%
a
c)
∈ ] 3, ∞ [ → ;
|2 − 3| = 2 − 3
| − 3| = − 3
|2 − 3| − 1 = | − 3| ↔ 2 − 3 − 1 = − 3
↔ 2 − 3 − 1 = − 3
↔ = 1 → = 1
1 ∉ ] 3,∞ [
_3 = ∅
^_ = _1 + _2 + _3
^_ = `−1, %
a

29)
2h| − 5| + 2h
"
− 11h| − 5| + 2h + 12 = 0
Factorizando:
q2h| − 5| + 2h − 3 rq h| − 5| + 2h − 4 r − 0
→ s 2h| − 5| + 2h − 3 = 0 ∨ h| − 5| + 2h − 4 = 0 t
→ ; h| − 5| + 2h =
3
2
∨ h| − 5| + 2h = 4 u
Se aplicará:
h| − 5| + 2h =
%
"
→ | − 5| + 2 =
%
"
ó | − 5| + 2 = −
%
"
h| − 5| + 2h = 4 → | − 5| + 2 = 4 ó | − 5| + 2 = −4 ----(a)
De debe resolver las ecuaciones (a):
=
| − 5| = −
"
ó | − 5| = −
"
| − 5| = 2 ó | − 5| = −6
→ `| − 5| = −
"
ó | − 5| = −
"
a ∨ b | − 5| = 2 ó | −
5| = −6 }
Se debe tomar en cuenta que el valor absoluto de | | > 0
→ b ∈ ∅ ó ∈ ∅ d ∨ b | − 5| = 2 ó ∈ ∅ d
→ ∈ ∅ ∨ | − 5| = 2 → ∈ | − 5| = 2
| − 5| = 2 → − 5 = 2 ó = − 5 = −2
→ = 7 ó = 3
^_ = b 3,7 d

30)
v = b ∈ */ |3 − 1| = 2 + 5d
v = b ∈ */ | + 1| + 9 = 3 d
|3 − 1| = 2 + 5 → 2 + 5 ≥ 0 ∧ b 3 − 1 = 2 + 5 ó 3 − 1 =
−2 − 5
→ ≥ −
"
∧ b 3 − 1 = 2 + 5 ó 3 − 1 = −2 − 5 d
→ ≥ −
"
∧ b = 6 ó 5 = −4 d
→ ≥ −
"
∧ b = 6 ó = − d
v = ^_ = ` − , 6 a
b)
| + 1| + 9 = 3 → 3 − 9 ≥ 0 ∧ b + 1 = 3 − 9 ó + 1 =
−3 + 9 d
→ ≥ 3 ∧ b 2 = 10 ó 4 = 8d
→ ≥ 3 ∧ b = 5 ó = 2d
w = b 5d
S = suma de elementos de A U B

v 8 w = ` − , 5 , 6 a
S = -4/5 +6 +5
S =
31)
|3 − 2 | < 3 − 8 ↔ 3 − 8 > 0 ∧ b − 3 − 8 < 3 − 2 < 3 − 8d
↔ >
3
%
∧ b −3 + 8 < 3 − 2 < 3 − 8d -------(a)
De:
−3 + 8 < 3 − 2 < 3 − 8
→ −3 + 8 < 3 − 2 ∧ 3 − 2 < 3 − 8
→ 5 < ∧ -5x < -11
→ > 5 ∧ 5x > 11
→ > 5 ∧ x > 11/5
→ > 5
De (a): ↔ >
3
%
∧ > 5
> 5
32)
|5 − 4| > 3 − 2 ↔ 5 − 4 > 3 − 2 ∨ 5 − 4 < −3 + 2

↔ 2 > 2 ∨ 8 < 6
↔ > 1 ∨ <
3
4
33)
|2 "
− 3| ≥ 5 ↔ 2 "
− 3 ≥ 5 ∨ 2 "
− 3 ≤ −5
↔ 2 "
− 5 − 3 ≥ 0 ∨ 2 "
+ 5 − 3 ≤ 0
↔ 2 + 1 − 3 ≥ 0 ∨ 2 − 1 + 3 ≤ 0
≤ −
"
ó ≥ 3
−3 ≤ ≤
"
↔ ≤ −
"
ó ≥ 3 ó −3 ≤ ≤
"

∈ ]−∞ ,
"
] 8 [3, ∞ [
34)
| | ≥ |x| ↔ "
≥ x"
| "
− 2 − 5| ≥ | "
+ 4 + 1| ↔ "
− 2 − 5 "
≥
"
+ 4 + 1 "
→ − 4 %
− 6 "
+ 20 + 25 ≥ + 8 %
+ 18 "
+ 8 + 1
→ −12 %
− 24 "
+ 12 + 24 ≥ 0
→ 12 %
+ 24 "
− 12 − 24 ≤ 0
→ %
+ 2 "
− − 2 ≤ 0
→ "
+ 2 − + 2 ≤ 0
→ + 2 "
− 1 ≤ 0
→ + 2 + 1 − 1 ≤ 0
∈ ] − ∞,−2] 8 [−1,1]
35)
3| − 3|"
− 2| − 3| − 8 < 0

X = | − 3|
3X"
− 2X − 8 < 0
3X + 4 X − 2 < 0
−
%
< X < 2
Reemplazando m, se tiene:
−
%
< | − 3| < 2
−
4
3
< | − 3| < 2 ↔ −
4
3
< | − 3| ∧ | − 3| < 2
a)
−
%
< | − 3| → | − 3| > −
%
→ − 3 > −
%
ó − 3 <
%
→ >
%
ó <
%
%
b)
| − 3| < 2 → −2 < − 3 < 2
→ 1 < < 5
Se tiene:
−
%
< | − 3| < 2 ↔ y >
%
ó <
%
%
z ∧ 1 < < 5

∈ ] 1, 5 [
36)
Los puntos críticos son:
X = 3 , x = 0
a)
∈ ] − ∞,0 [ → ;
| | = −
| − 3| = − − 3
| − 3| + 2| | < 5 ↔ − − 3 − 2 < 5
↔ − + 3 − 2 < 5
↔ −3 < 2
↔ > −
"
%
→ ∈ ] − ∞, 0 [ ∩ > −
"
%
→ −
"
%
< < 0
_1 = ] −
"
%
, 0 [
b)
∈ [ 0,3 [ → ;
| | =
| − 3| = − − 3
| − 3| + 2| | < 5 ↔ − − 3 + 2 < 5

↔ − + 3 + 2 < 5
↔ < 2
→ ∈ [0 , 3[ ∩ < 2
→ ∈ ]0,2 [
_2 = [0, 2 [
c)
∈ [3, ∞[ → ;
| | =
| − 3| = − 3
| − 3| + 2| | < 5 ↔ − 3 + 2 < 5
↔ − 3 + 2 < 5
↔ 3 < 8
↔ <
3
%
→ ∈ [3, ∞ [ ∩ <
3
%
→ ∈ ∅
_1 = ∅
^_ = _1 + _2 + _3
+> = ] −
"
%
, 0 [ 8 _2 = [0, 2 [ 8 ∅
^_ = ∈ ] − 2/3 , 2 [
37)
PC = { x = - 4, x = -1 }

a)
∈ ] − ∞,−4 [ → ;
|2 + 8| = − 2 + 8
| + 1| = − + 1
|2 + 8| ≤ | + 1| + 3 ↔ − 2 + 8 ≤ − + 1 + 3
↔ −2 − 8 ≤ − − 1 + 3
↔ − ≤ 10
↔ >≥ −10
→ ∈ ] − ∞, −4 [ ∩ ≥ −10
→ −10 ≤ < −4
_1
b)
∈ [−4 ,−1[ → ;
|2 + 8| = [−10 , −4 [= 2 + 8
| + 1| = − + 1
|2 + 8| ≤ | + 1| + 3 ↔ 2 + 8 ≤ − + 1 + 3
↔ 2 + 8 ≤ − − 1 + 3
↔ 3 ≤ −6
↔ ≤ −2
→ ∈ [ −4, −1 [ ∩ ≤ −2
→ −4 ≤ ≤ −2
_2 = [−4, −2 ]
c)
∈ [−1, ∞ [ → ;
|2 + 8| = 2 + 8
| + 1| = + 1
|2 + 8| ≤ | + 1| + 3 ↔ 2 + 8 ≤ + 1 + 3
↔ 2 + 8 ≤ + 1 + 3
↔ ≤ −4

↔ ≤ −4
→ ∈ [−1, ∞ [ ∩ ≤ −4
→ ∈ ∅
_3 = ∅
^_ = _1 + _2 + _3
+> = = [−10 , −4 [ U [−4, −2 ] 8 ∅
^_ = ∈ [−10, −2 ]
38)
e^ = b 1, −1, −3d
| + 1 − 1 | + | + 3| ≤ | − 1|
| + 1|| − 1| + | + 3| ≤ | − 1|
a)
] − ∞, −3[ → C
| + 3| = − + 3
| + 1| = − + 1
| − 1| = − − 1
| + 1|| − 1| + | + 3| ≤ | − 1| ↔
↔ + 1 − 1 − + 3 ≤ − − 1
↔ "
− 1 − − 3 ≤ − + 1
↔ "
− 5 ≤ 0
↔ q − √5 rq + √5r ≤ 0
→ − √5 ≤ √5
→ ] − ∞,−3[ ∩ − √5 ≤ √5

S1 = ∅
b)
[−3, −1[ → C
| + 3| = + 3
| + 1| = − + 1
| − 1| = − − 1
| + 1|| − 1| + | + 3| ≤ | − 1| ↔
↔ + 1 − 1 + + 3 ≤ − − 1
↔ "
− 1 + + 3 ≤ − + 1
↔ "
+ 2 + 1 ≤ 0
↔ + 1 "
≤ 0
→ ∈ ∅
→ [−3, −1] ∩ ∅
S2 = ∅
c)
[−1, 1[ → C
| + 3| = + 3
| + 1| = + 1
| − 1| = − − 1
| + 1|| − 1| + | + 3| ≤ | − 1| ↔
↔ − + 1 − 1 + + 3 ≤ − − 1
↔ − "
+ 1 + + 3 ≤ − + 1
↔ − "
+ 2 + 3 ≤ 0
↔ "
− 2 − 3 ≥ 0
↔ − 3 + 1 ≥ 0
→ ≤ −1 U x ≥ 3
→ [−1, 1[ ∩ { ≤ −1 U x ≥ 3 }
S3= -1

d)
[ 1, ∞[ → C
| + 3| = + 3
| + 1| = + 1
| − 1| = − 1
| + 1|| − 1| + | + 3| ≤ | − 1| ↔
↔ + 1 − 1 + + 3 ≤ − 1
↔ "
− 1 + + 3 ≤ − 1
↔ "
+ 3 ≤ 0
↔ "
≤ −3
∈ ∅
S4= ∅
^_ = _1 + _2 + _3 + _4
^_ = ∅ + ∅ + b−1d+ ∅
^_ = b−1d
39)
|6 "
− 9 − 3| < |2 "
− 9 + 2| ↔ 6 "
− 9 − 3 "
< 2 "
− 9 +
2 "
↔ 36 − 108 %
+ 45 "
+ 54 + 9 < 4 − 36 %
+ 89 "
−
36 + 4
↔ 32 − 72 %
− 44 "
+ 90 + 5 < 0
↔ 4 "
− 5 8 "
− 18 + 1 < 0
q2 + √5rq2 − √5 r { − y
9
3
+
√ %
3
z| { − y
√ %
3
−
9
3
z| < 0

X ] −
√
"
,
9
3
− :
%
3
[ 8 ]
√
"
,
9
3
+ :
%
3
[
40)
Puntos críticos = { 0}
a)
] − ∞ , 0 [ → | | = −
| | − 1 2 + 1 | | + 3 ≥ 0 ↔
↔ − − 1 2 + 1 − + 3 ≥ 0
→ − + 1 2 + 1 3 − ≥ 0
↔ + 1 2 + 1 3 − ≤ 0

-1≤ <
"
8 b3, ∞ [
→ ] − ∞ ,0 [ ∩ −1 ≤ ≤
"
U [3, ∞ [
∈ [−1,
"
]
b)
[0,∞ [ → | | =
| | − 1 2 + 1 | | + 3 ≥ 0 ↔
↔ − 1 2 + 1 + 3 ≥ 0
∈ L−3 , −
"
M 8 ≥ 1
→ [0, ∞ [ ∩ L−3 ,−
"
M 8 ≥ 1
→ ≥ 1

CS= ∈ L−1, "
M U ≥ 1
41)
[RYTU> +SíT?+U> = ` −4,−
%
"
a
a)
∈ ] − ∞, −4 [ → | + 4| = − + 4
|2 + 3| = − 2 + 3
| + 4| − |2 + 3| ≤ 4 ↔ − − 4 + 2 + 3 ≤ 4
↔ ≤ 5
→ ∈ ] − ∞, −4 [ ∩ ≤ 5
S1 = ] − ∞, −4 [
b)
∈ [ −4, −3/2 [ → | + 4| = + 4
|2 + 3| = − 2 + 3
| + 4| − |2 + 3| ≤ 4 ↔ + 4 + 2 + 3 ≤ 4
↔ 3 ≤ −3
↔ ≤ −1
→ ∈ [−4, −3/2 [ ∩ ≤ −1
S2 = [−4 ,−
%
"
[
c)
∈ [ −3/2,∞ [ → | + 4| = + 4
|2 + 3| = 2 + 3

| + 4| − |2 + 3| ≤ 4 ↔ + 4 − 2 − 3 ≤ 4
↔ − ≤ 3
↔ ≥ −3
→ ∈ [−3/2, ∞ [ ∩ ≥ −3
S3 = [−
%
"
, ∞[
CS = S1+S2+S3
CS = ] − ∞, −4 [8 [−4 , −
%
"
[ 8[−
%
"
, ∞[
CS = ] − ∞ ,∞[
42)
| "
− 5|"
− | "
− 5| − 12 ≤ 0
_?: X = | "
− 5|
X"
− X − 12 ≤ 0
(m - 4) (m +3 ) ≤ 0
−3 ≤ X ≤ 4
−3 ≤ | "
− 5| ≤ 4
Resolviendo las inecuaciones que se obtienen:
−3 ≤ | "
− 5| x | "
− 5| ≤ 4

−3 ≤ | "
− 5| → | "
− 5| ≥ −3
→ "
− 5 ≥ −3 ó "
− 5 ≤ 3
→ "
≥ 2 ó "
≤ 8
( − √2 + √2 ≥ 0 ó + √8 − √8 ≤ 0
→ ≤ −√2 8 ≥ √2 ó ( −√8 ≤ √8
∈ *
-----
| "
− 5| ≤ 4 ↔ −4 ≤ "
− 5 ≤ 4
↔ 1 ≤ "
≤ 9
→ "
− 1 ≥ 0 ∧ "
≤ 9
→ + 1 − 1 ≥ 0 ∧ −3 ≤ ≤ 3
≤ −1 8 ≥ 1 ∧ −3 ≤ ≤ 3
X ∈ [−3, −1]8 [1, 3]
Se tiene:
∈ * ∩ X ∈ [−3, −1]8 [1, 3]
CS = [−3, −1]8 [1, 3]
43)
h ~ "h
"
≤ 3
a) x+2 >0 → | "
− 2| + ≤ 3 + 2
→ | "
− 2| ≤ 2 + 6
→ | "
− 2| ≤ 2 + 6
→ − 2 + 6 ≤ "
− 2 ≤ 2 + 6
→ − 2 + 6 ≤ "
− 2 ∧ "
− 2 ≤ 2 + 6
→ −2 − 6 ≤ "
− 2 ∧ "
− 2 ≤ 2 + 6

x
→ "
+ 2 ≥ −4 ∧ "
− 2 − 8 ≤ 0
→ "
+ 2 + 4 ≥ 0 ∧ "
− 2 − 8 ≤ 0
→ ∈ * ∧ − 4 + 2 ≤ 0
→ ∈ * ∧ ∈ [−2 , 4 ]
→ x ∈ [−2; 4]
Se tiene:
> −2 x x ∈ [−2; 4]
→ ∈] − 2, 4]
a) x+2 <0 → | "
− 2| + ≥ 3 + 2
→ | "
− 2| ≥ 2 + 6
→ | "
− 2| ≥ 2 + 3
→ "
− 2 ≥ 2 + 6 ó "
− 2 ≤ −2 − 6
→ "
− 2 − 8 ≥ 0 ó "
+ 2 + 4 ≤ 0
→ − 4 + 2 ≥ ó ∈ ∅
→ ≤ −2 8 ≥ 4 ó ∈ ∅
≤ −2 8 ≥ 4
→ < −2 ∧ ≤ −2 8 ≥ 4
→ < −2
Se tiene como resultado:
^_ = ] − 2, 4 ]8 < −2
^_ = ] − ∞, −2[ 8 ] − 2, 4 ]

44)
Puntos críticos = -2 , 6
a)
∈ ] − ∞,−2 [ → | + 2| = − + 2
| − 6| = − − 6
| 1| | "|
"
< 3 →
1 "
"
< 3
→
1 "
"
< 3
→
%
"
− 3 < 0
→
% % 1
"
< 0
→
! 1
"
< 0 → 10 − 6 − 2 < 0
→ 5 − 3 − 2 < 0
→ <
%
8 > 2
→ ∈ ] − ∞, −2 [ ∩ b <
%
8 > 2 }
→ ∈ ] − ∞ , −2 [

S1 = ∈ ] − ∞ ,−2 [
b)
∈ [−2 , 6 [ → | + 2| = + 2
| − 6| = − − 6
| 1| | "|
"
< 3 →
1 "
"
< 3
→
1 "
"
< 3
→
3
"
− 3 < 0
→
3 %J 1
"
< 0
→
"
< 0 → 7 − 2• − 2 < 0
→ 7 − 2 − 2 < 0
→ < 2 8 > 7/2
EF: ∈ [−2 , 6 [ ∩ b < 2 8 > 7/2}
→ −2 < < 2 U ]7/2, 6 [
S2 = −2 < < 2 U ]7/2, 6 [
c)
∈ [ 6,∞ [ → | + 2| = + 2
| − 6| = − 6
| 1| | "|
"
< 3 →
1 "
"
< 3
→
1 "
"
< 3
→
"
− 3 < 0 →
% 1
"
< 0

→
" "
"
< 0
→
"
"
< 0 → 1 − − 2 < 0
→ 1 − − 2 < 0
→ < 1 8 > 2
EF: ∈ [ 6 , ∞[ ∩ b < 1 8 > 2}
→ ≥ 6
S3 = ∈ [ 6,∞ [
La solución es:
^_ = _1 + _2 + _3
^_ = ] − ∞ ,−2 [ 8 −2 < < 2 ) U ]7/2, 6 [ 8 [ 6,∞ [
^_ = ]-∞ , 2 [ 8 ]
"
, ∞ [
45)
Puntos críticos = -4, 8
a)
x ∈ ] − ∞ ,−4 [ → | + 4| = − + 4
| − 8| = − − 8

| − 8| − + | + 4|
+ 2
< 3 →
− − 8 − − + 4
+ 2
< 3
→
3
"
< 3 →
%
"
< 3
→
%
"
− 3 < 0 →
% % 1
"
< 0
→
1 "
"
< 0 →
% "
"
> 0
→ 3 + 2 + 2 > 0
→ < −2 8 > −
"
%
Se tiene: x ∈ ] − ∞ , −4 [ ∩ {< −2 8 > −
"
%
d
→ ∈ ] − ∞ ,−4 [
S1 = ∈ ] − ∞ , −4 [
b)
x ∈ [ −4, 8 [ → | + 4| = + 4
| − 8| = − − 8
| − 8| − + | + 4|
+ 2
< 3 →
− − 8 − + + 4
+ 2
< 3
→
3
"
< 3 →
"
"
< 3
→
"
"
− 3 < 0 →
" % 1
"
< 0
→
1
"
< 0 →
% "
"
< 0
→ 3 − 2 + 2 < 0
→ < −2 8 > 3/2

Se tiene: x ∈ [ −4, 8 [ ∩ {< −2 8 > 3/2d
→ ∈ ] − 4, −2 [ 8 ]3/2, 8 [
S2 = ] − 4, −2 [ 8 ]3/2,8 [
c)
x ∈ [ 8, ∞ [ → | + 4| = + 4
| − 8| = − 8
| − 8| − + | + 4|
+ 2
< 3 →
− 8 − + + 4
+ 2
< 3
→
3
"
< 3 →
"
< 3
→
"
− 3 < 0 →
% 1
"
< 0
→
" !
"
< 0 →
"
> 0
→ + 5 + 2 > 0
→ < −5 8 > −2
Se tiene: x ∈ [ 8, ∞ [ ∩ {< −5 8 > −2d
→ ∈ [ 8, ∞ [
S3 = ∈ [ 8, ∞ [
La solución se obtiene de :
CS = ] − ∞ , −4 [8] − 4, −2 [ 8 ]3/2,8 [8[ 8,∞ [
^_ = ] − ∞ , −2 [ 8 ]
%
"
, ∞ [
46)
[RYTU> +SíT?+U> = −4, 5

a)
∈ ] − ∞,−4 [ → | + 4| = − + 4
| − 5| = − − 5
| + 4| − | − 5|
− 7
≤ 1 ↔
− + 4 + − 5
− 7
≤ 1
↔ ≤ 1 ↔
9
− 1 ≤ 0
↔
9
≤ 0 ↔
"
≤ 0 →
"
≥ 0
→ + 2 − 7 ≥ 0
→ ≤ −2 8 > 7
De: ∈ ] − ∞, −4 [ ∩ b ≤ −2 8 > 7 d
→ ∈ ] − ∞ ,−4 [
_1 = ] − ∞ , −4 [
b)
∈ [−4, 5 [ → | + 4| = + 4
| − 5| = − − 5
| + 4| − | − 5|
− 7
≤ 1 ↔
+ 4 + − 5
− 7
≤ 1
↔ ≤ 1 ↔
"
− 1 ≤ 0
↔
"
≤ 0 ↔
1
≤ 0
→ + 6 − 7 ≤ 0
→ −6 ≤ < 7
De: ∈ [−4, 5 [ ∩ b −6 ≤ < 7 d
→ ∈ [− 4 , 5 [

_2 = [− 4 ,5 [
c)
∈ [ 5,∞ [ → | + 4| = + 4
| − 5| = − 5
| + 4| − | − 5|
− 7
≤ 1 ↔
+ 4 − − 5
− 7
≤ 1
↔ ≤ 1 ↔
9
− 1 ≤ 0
↔
9
≤ 0 ↔
1
≤ 0
→ 16 − − 7 ≤ 0
→ < 7 8 ≥ 16
De: ∈ [5, ∞ [ ∩ b < 7 8 ≥ 16 d
→ ∈ [ 5, 7 [ 8 [16,∞ [
_3 = [5, 7 [ 8[16, ∞ [
La solución se obtiene de:
^_ = _1 + _2 + _3
^_ =] − ∞ ,−4[ 8[−4 , 5 [8 [5,7[ 8[16, ∞ [
^_ = ] - ∞ ,7 [ 8 [16,∞ [
47)
PC = 4

a)
∈ ] − ∞, 4 [ → | − 4| = − − 4
| |
≤ ↔ − ≤ 0
↔ − ≤ 0
↔ ≤ 0
↔
% ~ ~
≤ 0
↔
" ~ 3
≤ 0 →
~ "
≥ 0
↔
q √1 "rq " √1 r
≥ 0
↔ q + √6 − 2rq − 2 − √6 r − 5 + 1 ≥ 0
→ < −1 8 €2 − √6 ,2 + √6 •8 > 5
De:
∈ ] − ∞, 4 [ ∩ b < −1 8 €2 − √6 ,2 + √6 •8 > 5d

→ ∈ ] − ∞, −1[ 8 [2 − √6 ,4[
_1 = ∈ ] − ∞, −1[ 8 [2 − √6 , 4[
b)
∈ [ 4,∞ [ → | − 4| = − 4
| |
≤ ↔ − ≤ 0
↔ − ≤ 0
↔ ≤ 0
↔
~ % ~
≤ 0
↔
"
≤ 0 →
"
≤ 0
↔ − 2 − 5 + 1 ≤ 0
→ < −1 8 [2, 5 [
De:
∈ [ 4, ∞ [ ∩ b < −1 8 [2,5 [ d
→ ∈ [4, 5[
_2 = ∈ [4, 5 [
La solución es:
^_ = _1 + _2

^_ = ] − ∞, −1[ 8 [2 − √6 , 4[ 8 [4, 5 [
^_ = ] − ∞, −1[ 8 [2 − √6 , 5[
48)
; x ≠ −3
| | "
%
≤ 0
Si: x+3 >0 → | − 1| − 2 ≤ + 3 .0
→ | − 1| ≤ 2
| − 1| ≤ 2 → −2 ≤ − 1 ≤ 2
→ −1 ≤ ≤ 3
De:
x+3 >0 ∩ −1 ≤ ≤ 3
> −3 ∩ −1 ≤ ≤ 3
→ ∈ −1 ≤ ≤ 3
b)
Si: x+3 < 0 → | − 1| − 2 ≥ + 3 . 0
→ | − 1| ≥ 2
| − 1| ≥ 2 → − 1 ≥ 2 ó − 1 ≤ −2
→ ≥ 3 ó ≤ −1
De:
x+3 < 0 ∩ b ≥ 3 ó ≤ −1d
< −3 ∩ b ≥ 3 ó ≤ −1d
→ ∈ ] − ∞ , −3 [
La solución es:
^_ = ] − ∞,−3[ U −1 ≤ ≤ 3

49)
Punto crítico = -8
a) ∈ ] − ∞ , −8 [ → | + 8| = − + 8
"
| 3|
≥
%
↔
"
3
≥
%
↔ −
"
3
≥
%
↔
"
3
≤ −
%
↔
"
3
+
%
≤ 0
↔
" % 3
3 %
≤ 0
↔
~ 1 ~ %"
3 %
≤ 0
↔
" ~ % %3
3 %
≤ 0 ; x ≠ −8 ; ≠ 3
↔ + 8 − 3 2 "
+ 3 − 38 ≤ 0
2 "
+ 3 − 38 → =
%± √9 %!
= −
%
±
√% %
↔ + 8 − 3 y +
%
+
√% %
z y +
%
−
√% %
z ≤ 0

→ ∈ ] − 8, −3/4 −
√% %
] 8 ]3,
√% %
− 3/4 ]
De:
∈ ] − ∞ , −8 [ ∩ b ] − 8, −3/4 −
√% %
] 8 ]3,
√% %
− 3/4 ]d
→ YU F ?>TF ?YTFS>F+?óY → ∈ ∅
b)
∈ [ −8,∞ [ → | + 8| = + 8
"
| 3|
≥
%
↔
"
3
≥
%
↔
"
3
−
%
≥ 0
↔
" % 3
3 %
≥ 0
↔
~ 1 ~ %"
3 %
≥ 0
↔
"1
3 %
≥ 0 ; x ≠ −8 ; ≠ 3
↔ + 8 − 3 26 − 5 ≥ 0
→ ∈ ] − ∞ , −8 [ 8 ]3, 26/5 ]
De:
∈ L −8, ∞ L ∩ b ] − ∞ , −8 [ 8 ]3,
"1
Ma
→ ∈]3,
"1
]

^_ = ∅ 8 ]3,
"1
]
^_ = ]3,
"1
]
50)
~ %
"
≤ 3
ƒ
"
+ 3 + 11
− 2
ƒ ≤ 3 ↔ −3 ≤
"
+ 3 + 11
− 2
≤ 3
↔ −3 ≤
~ %
"
∧
~ %
"
≤ 3
−3 ≤
~ %
"
→
~ %
"
≥ −3
→
~ %
"
+ 3 ≥ 0
→
~ % % 1
"
≥ 0
→
~ 1
"
≥ 0 ; x ≠ 2
→ − 2 + 5 + 1 ≥ 0
→ ∈ [−5, −1]8 ]2, ∞ [
b)
~ %
"
≤ 3 →
~ %
"
− 3 ≤ 0
→
~ % % 1
"
≤ 0

→
~
"
≤ 0
→ − 2 "
+ 17 ≤ 0 ; "
+ 17 > 0
→ − 2 ≤ 0
→ ∈ ] − ∞ , 2 [
De:
∈ [−5, −1]8 ]2, ∞ [ ∧ ∈ ] − ∞ , 2[
∈ [−5, −1]
^_ = −5 ≤ ≤ −1
51)
"
≥
"
; x ≠ 0
De;
" "
≥
"
"
~
~
−
" ~
≥ 0
→
~ " ~ ~
~ " ~
≥ 0
→
„ 9 ~ 1
~ " ~
≥ 0 : x ≠ 0, ≠ 2
→ "
− 2 "
− 9 "
+ 16 ≥ 0 ; (x-2 "…!
→ "
− 9 "
+ 16 ≥ 0 ; "
> 0
→ − 9 "
+ 16 ≥ 0
"
= X
→ X"
− 9X + 16 ≥ 0
X =
9 ±√3 1
"
=
9±√
"

C
X1 =
9
"
+
√
"
X2 =
9
"
−
√
"
De:
a)
"
=
9
"
+
√
"
→ = ± :9
"
+
√
"
Transformando: ± :9
"
+
√
"
C = :
3
− = 4
:
9
"
+
√
"
= :
†
~
"
+ :
†
~
"
= : +
"
:9
"
+
√
"
= ±
√
"
+
"
De igual forma:
Transformando: ±:
9
"
−
√
"

C = :
3
− = 4
:9
"
+
√
"
= :
†
~
"
− :
†
~
"
= : −
"
:
9
"
+
√
"
= ±
√
"
−
"
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧ =
√
"
+
"
" = −
√
"
−
"
% =
√
"
−
"
= −
√
"
+
"
Se tiene por tanto:
X"
− 9X + 16 ≥ 0
y −
"
−
√
"
z y +
"
+
√
"
z y +
"
−
√
"
z y +
√
"
−
"
z ≥ 0
Trabajando con los intervalos de forma que se cumpla la inecuación,
se tiene:

^_ = ] − ∞,−
"
−
√
"
] 8[
"
−
√
"
,
√
"
−
"
]8 [
"
+
√
"
, ∞ [ -{0}
52)
Recuerde:
~ 3
≤ ↔ ~ 3
"
≤ ~
↔
~
~ 3 ~
≤ ~
↔
~
~ 3 ~
− ~
≤ 0
↔
„ ~ 3 ~
~ 3 ~ ~
≤ 0
↔
„ ‡ 1 ~ „ 3 ‡ %" ~ 1 1
~ 3 ~ ~
≤ 0
↔
„ ‡ 1 ~ „ 3 ‡ %" ~ 1 1
~ 3 ~ ~
≤ 0
↔
‡ "1 ~ 1! 1%
~ 3 ~ ~
≤ 0 ; x ≠ 1

↔
" " ~ 1 9
~ 3 ~ ~
≤ 0 ; x ≠ 1
→ "
− 4 + 8 "
− 1 "
2 − 7 2 "
− 6 + 9 ≤ 0
Como: − 1 "
> 0 , "
− 4 + 8 "
> 0
→ 2 − 7 2 "
− 6 + 9 ≤ 0
2 "
− 6 + 9 → ∆ = 36 − 72 < 0
2 "
− 6 + 9 > 0
Por tanto:
2 − 7 ≤ 0
→ ≤
"
; x ≠ 1
^_ = ] − ∞ ,1[ 8 ]1, 7/2]
53)
Punto crítico = 0
a) ∈ ] − ∞, 0 [ → | | = −
| | %
| |
≥
" | |
| |
↔
%
≥
"
%
≥
"
%
–
"
≥ 0
→
% "
≥ 0
→
" % ~ ~ !
≥ 0
→
%
≥ 0 ; ≠ −5 , ≠ 1

→ 5 + 13 + 5 1 − ≤ 0
→ ] − 5, −13/5] 8 > 1
De:
∈ ] − ∞, 0 [ ∩ b → ] − 5, −13/5] 8 > 1d
→ ∈ ] − 5, −13/5]
S1 = ∈ ] − 5,−13/5]
b)
∈ [ 0,∞ [ → | | =
| | %
| |
≥
" | |
| |
↔
%
≥
"
%
≥
"
%
–
"
≥ 0
→
% "
≥ 0
→
" % ~ ~ !
≥ 0
→
%
≥ 0 ; ≠ 5 , ≠ −1
→ 5 − 13 5 − + 1 ≥ 0

→ < −1 8 [
%
, 5 [
De:
∈ [ 0, ∞ [ ∩ b < −1 8 [
%
, 5 [d
→ Š [
%
, 5 [
S2 = Š [
%
, 5 [
La solución del problema es:
^_ = _1 + _2
^_ = ∈ ] − 5,−13/5] 8 Š [
%
, 5 [
^_ = ] − 5, −
%
] 8 [
%
, 5 [
54)
"J
%J "
+
"
%
<
%!!
→
" 1J " %J "
% %J "
<
%!!
→
" 1 1
% % "
<
%!!

→
1
% % "
<
%!!
→ −
%!!
<
1
% % "
<
%!!
→ −
%!!
<
1
% % "
∧
1
% % "
<
%!!
→ −
!!
<
1
% "
∧
1
% "
<
!!
De:
a) −
!!
<
1
% "
→ 0 <
1
% "
+
!!
→
1
% "
+
!!
> 0
→
1!! % "
!! % "
> 0
→
% 1!"
% "
> 0
→ 3 + 2 3 + 1602 > 0
→ < −534 8 > −
"
%
b)
1
% % "
<
%!!
→
1
% "
<
!!
→
1
% "
−
!!
< 0
→
1!! % "
!! % "
< 0
→
93 %
% "
< 0
→ 3 + 2 1598 − 3 < 0
→ 3 + 2 3 − 1598 > 0
→ < −
"
%
8 >
93
%
Por tanto:
y < −534 8 > −
"
%
z ∩ y < −
"
%
8 >
93
%
z
M : → < −534 8 >
93
%

Se tiene del problema que:
D ∩ [0, ∞ [ = ]‹, ∞ [
D ∩ [0, ∞ [ → { < −534 8 >
93
%
} ∩ [0, ∞ [
→ ]
93
%
, ∞ [ =]‹, ∞ [
→ ‹ =
93
%
55)
v = b ∈ * / | − 2| < | |
}
a) | − 2| < | |
Puntos críticos = 2 , 0
A1.)
∈ ] − ∞, 0 [ → | | = −
| − 2| = − − 2
| − 2| < | |
↔ − − 2 < −
→ − + 2 < 0
↔
~ "
< 0
↔
~ "
< 0
↔ "
− 2 − 15 > 0

↔ − 5 + 3 > 0
→ ∈] − 3,0[ 8 ∈]5, ∞ [
De: ∈ ] − ∞,0 [ ∩ b ] − 3,0[ 8 ∈]5, ∞ [ }
→ ∈ ] − 3,0 [
A2.
∈ [ 0 , 2[ → | | =
| − 2| = − − 2
| − 2| < | |
↔ − − 2 <
→ − − + 2 < 0
↔
~ "
< 0
↔
~ "
< 0
↔ "
− 2 + 15 > 0
De: "
− 2 + 15 → ∆ = 4 − 60 < 0
"
− 2 + 15 > 0 ∀ ∈ *
↔ > 0
∈ [ 0 , 2[ ∩ > 0
→ ∈ ]0,2 [
A3.
∈ [ 2,∞[ → | | =

| − 2| = − 2
| − 2| < | |
↔ − 2 <
→ − + − 2 < 0
↔
~ "
< 0
↔
~ "
< 0
↔ "
− 2 − 15 < 0
↔ − 5 + 3 < 0
→ −∞ < < −3 8 ]0,5[
De:
∈ [ 2, ∞[ ∩ b−∞ < < −3 8 0 < < 5}
→ ∈ [2,5 [
^_ = ∈ ] − 3,0 [ U ∈ ]0, 2 [ 8 ∈ [2,5 [
^_ = ∈ ] − 3,0 [ 8 ]0,5[
A: → −3 < < 0 8 0 < < 5
^_ = −3 < < 0 8 0 < < 5

Valor absoluto widmar aguilar

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Valor absoluto widmar aguilar

Similar to Valor absoluto widmar aguilar (20)

More from Widmar Aguilar Gonzalez

More from Widmar Aguilar Gonzalez (20)

Valor absoluto widmar aguilar