Inecuaciones widmar aguilar

ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA
PREUNIVERSITARIA
INECUACIONES
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
Junio 2021

Para la solución de ejercicios de este tema, es necesaria la
siguiente teoría:

También es útil lo siguiente:

En relación a la intersecci]on y unión de intervalos, se tiene:

1)
≤ , 13; 3 > 0, por tanto:
13 5 + 10 ≤ 3 16 + 20 → 65 + 130 ≤ 48 + 60
17 x ≤ −70
≤ −
2)
Efectuando operaciones se tiene:
<
< → 60 4 + 3 < 12 13 + 36
240 x+180 < 156x +432
84 < 252
. 84 < . 252
12x < 36
< 3
3)
< ≥
Separando en dos inecuaciones:
< ⋀ ≥
La solución es la intersección de las dos inecuaciones:

< → 3 22 − 3 < 2 5 + 14
66 − 9 < 10 + 28
38 < 19x
> 2
> 2 ⋀ ≥
≥ → 5 5 + 14 ≥ 27 2 +
25 + 70 ≥ 54 + 27
16 ≥ 2
≤ 8
La solución será: > 2 ⋀ ≤ 8
2 < ≤ 8
4)
< >
Separando en dos inecuaciones:
< ⋀ >
5 + 12
10
<
15 + 44
20
→ 5 + 12 <
15 + 44
2
10 + 24 < 15 + 44
-5x < 20 --------- x (-1)

5 > −20
> −4
Se tiene: > −4 ⋀ > 10 − 14
> 10 − 14 → 15 + 44 > 40 − 56
100 > 25
< 4
La solución será: > −4 ⋀ < 4
−4 < < 4
5)
Factorizando:
3 − 1 − 3 < 0
La solución es:
< < 3

6)
Factorizando:
4 − 5 + 1 ≤ 0
La solución es:
−1 ≤ ≤
7)
3 + 2 < + 4 + 4
2 − 2 − 4 < 0
2( − − 2 < 0 ; 2 > 0
− − 2 < 0
Factorizando:
− 2 + 1 < 0

La solución es:
−1 < < 2
8)
Factorizando:
=
±√
=
± √
= 1 ±
√
→ (
= 1 +
√
= 1 −
√
) − *1 +
√
+, [ −(1 −
√
] < 0
La solución es:
1 −
√
< 1 +
√
√
<
√
9)
Factorizando:
5 − 9 − 1 ≤ 0

La solución es:
1 ≤ ≤
10)
8 − 2 + 1 > 8 − − 8 + 16
8 − 16 + 8 > 8 − + 8 − 16
9 − 24 + 16 > 0
3 − 4 > 0 → ∈ 0 − 1 2
11)
+ 2 ≥ 0
≥ ≥ 0
≥ 0 ; ≠ 1
De:
4
5
≥ 0 → 6 . 7 ≥ 0
5 + 6 − 1 ≥ 0

≤ − ⋁ > 1
12)
− > 0
9
> 0
9
> 0 →
9
> 0
9
< 0
De:
4
5
< 0 → 6 . 7 < 0
( + 2 + 1 + 3 < 0
+ 1 + 3 < 0
+ 1 > 0 → + 3 < 0
< −3
∈ ] − ∞ , −3[
13)

− 1 ≤ 0
≤ 0
≤ 0 ; ≠ 4
De:
4
5
≤ 0 → 6 . 7 ≤ 0
+ 7 − 4 ≤ 0
La solución es:
∈ [−7 , 4[
14)
9
> 0
De:
4
5
> 0 → 6 . 7 > 0
− 2 − 1 + 2 + 3 > 0
+ 2 + 3 ; ∆ = > − 4?@
∆ = 4 − 48 = −44 < 0 ∶ ? > 0
+ 2 + 3 > 0, BCD E?FEC:

− 2 − 1 > 0
La solución de acuerdo a los intervalos positivos es:
∈ ] − ∞, 1[ H ]2, ∞[
15)
− 6 > 0
> 0
9
> 0
9
> 0
9
< 0 →
9
< 0
3 + + 1 ; ∆ = > − 4?@
∆ = 1 − 12 = −11 < 0
3 + + 1 → 3 + + 1 > 0
< 0 ; ≠ 1 ; = −1

De:
4
5
< 0 → 6 . 7 < 0
+ 1 − 1 < 0
La solución es:
∈ ] − 1, 1[
16)
< <
< ⋀ <
De: < → 0 < −
> 0 → > 0 → 3. > 3.0
> 0
Como: :
4
5
> 0 → 6 .7 > 0, se tiene:
− 9 + 3 > 0
− 9 + 3 > 0 ⋀ <

− 1
+ 3
<
7
9
→
− 1
+ 3
−
7
9
< 0
9 − 1 − 7 + 3
9 + 3
< 0 →
2 − 30
9 + 3
< 0
< 0 → . < 0 → < 0
− 15 + 3 < 0
Se tiene:
− 9 + 3 > 0 ⋀ − 15 + 3 < 0
∈] − ∞ − 3[ H ]9, ∞[
De la otra inecuación se tiene:
∈] − 3, 15[
Buscando la intersección de:
∈] − ∞ − 3[ H ]9, ∞[ ⋀ ∈] − 3, 15[ , IJ EKJFJ,

La solución es: 9 < < 15
17)
L → − − 2 ≥ 0
M → − 4 − 5 ≤ 0
− − 2 ≥ 0 → − 2 + 1 ≥ 0
≤ −1 ⋁ ≥ 2
De la otra inecuación:
− 4 − 5 ≤ 0 → − 5 + 1 ≤ 0

−1 ≤ ≤ 5
L ⋂ M → ≤ −1 ⋁ ≥ 2 ⋀ −1 ≤ ≤ 5
La solución es:
L ⋂ M → 2 ≤ ≤ 5 U { 1 }
18)
∗ P = P + 2 , ∀ , P ∈ 0
P − 3 ∗ P > 0
Se tiene de la definición de la operación:
P − 3 P + 2 > 0
P < −2 H P > 3
19)

? ∗ > =
R S
2 − ∗ 1 ≤ 2 ∗ ∗ ≤ 3 + 2 ∗ 5
De la definición:
2 − ∗ 1 ≤ 2 ∗ ∗ ⋀ 2 ∗ ∗ ≤ 3 + 2 ∗ 5
2 − ∗ 1 ≤ 2 ∗ ∗ → ≤ ∗
≤ ∗ → ≤
9TU
9
V
W
→ ≤
También:
2 ∗ ∗ ≤ 3 + 2 ∗ 5 → ≤
≤ → ≤ 4 +
La inecuación final es:
≤ ⋀ ≤ 4 +
≤ → 3 − ≤
4 3 − ≤ 7 + 2 → 12 − 4 ≤ 7 + 2
5 ≤ 6 → ≥
7 + 2
8
≤ 4 + → 7 + 2 ≤ 32 + 8
−25 ≤ 6 → ≥ −
De:
≥ ⋀ ≥ −

La solución es:
≥
20)
L → <
− < 0
< 0 → < 0
< 0 → 11 − 4 3 − 1 < 0
− 4 3 − 1 < 0
Resolviendo por intervalos, se tiene:
A → ∈ ] , 4 [

Z →
Z ⋂ L →
X ⋂L = Y 1, 2, 3 Z
21)
L → < 60
L ∈ > 1
< 60 → −√60 < < √60
L → −√60 < < √60 → −2√15 < < 2√15 , x E Z
A → Y −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0,1,2,3,4,5,6,7Z
− 1 > 0 → > 0
> 0 → 2 − 5 + 4 > 0
Se tiene:
Y −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0,1,2,3,4,5,6,7Z ∈ > 1

< −4 H >
A ∈ < −4 H >
Y −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0,1,2,3,4,5,6,7Z ∈ < −4 H >
Observando los intervalos, se tiene que la solución es:
S = { -7,-6, -5, 3, 4, 5,6, 7}
22)
=
[
[
→ =
[
[
Como: √ < 1 → < 1
[
[
< 1 →
[
[
− 1 < 0
[ [
[
< 0 →
[ [
[
< 0

[
[
< 0 →
[
[
< 0
(m+7)(5m-1) < 0
S → ∈ ] − 7, [
23)
L = Y ∈ 0 /0 < < 50Z ⋂ ]
M → <
S= A ⋂ M ?
0 < < 50 → > 0 ⋀ < 50
> 0 → ∈ 0 − Y0Z
< 50 → − √50 < < √50
− √50 < < √50 → −5√2 < 5√2
De;
∈ 0 − Y0Z ⋀ − 5√2 < 5√2
∈ ] − 5√2 , 5√2 ] − Y0Z

] − 5√2 ,5√2 ] − Y0Z ⋂ ] → Y1,2,3,4,5,6,7Z
L = Y1,2,3,4,5,6,7Z
M → <
− < 0
< 0
< 0 → > 0
+ 5 − 4 > 0
De la inecuación + 5 − 4 , IJ EKJFJ:
M = < −5 H > 4
S= A ⋂ M → Y1,2,3,4,5,6,7Z ⋂ < −5 H > 4

^ = Y 5,6,7Z
Suma = 5+6+7
Suma = 18
24)
_ + 5 + 3_ − 4 _ − 5 = 0
De: Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números
reales.
∆ < 0 → > − 4?@ < 0
3_ + 4.4 _ + 5 _ − 5 < 0
9_ + 16 _ − 25 < 0
9_ + 16_ − 400 < 0
25 _ < 400
_ < 16 → −4 < _ < 4
25)
9 − 2E ≤ 4 − 7 ; ∀ ∈ 0
4 − 7 − 9 − 2E ≥ 0
> − 4?@ = 0 → úFK@? ICab@KóF
49 + 16 9 − 2E = 0

193-32t =0
E = −
26)
a) ∈ ] − 3,2[ → 0 < <
−3 < < 2 → −3 + 3 < + 3 < 2 + 3
0 < + 3 < 5 → 0. < <
0< <
b) ∈ ] − 3,5[ → ∈]0,1[
−3 < < 5 → −3 + 5 < + 5 < 5 + 5
2 < + 5 < 10 → < < − − − −BCD BDCBKJd?d
0 < y < 1
→ 0 < < 1
c) ∈ ] − 1,5[ → ∈]0,1[
−1 < < 5 → −2 < 2 < 10
−2 + 5 < 2 + 5 < 10 + 5 → 3 < 2 + 5 < 15
< < → < <
< < 1
0 < y 1 ≤ 1

∈]0,1[
27
−2 ≤ ≤ 3
Formando la expresión solicitada:
−2 ≤ 1 − ≤ 3
−2 ≤ ≤ 3 → −2 + 7 ≤ + 7 ≤ 3 + 7
5 ≤ + 7 ≤ 10
≤ ≤ → 2. ≤ ≤
≤ ≤ → - ≤ - ≤ −
1- ≤ 1- ≤ 1 −
≤ 1- ≤
→ (
_ =
e =
28
√ ∈ ]1,3[
1 < √ < 3 --------- (a)

1 < < 9
De; ∈ ]4 − e, 4 + e [
4 − e < < 4 + e − − − − − >
De (a) y (b):
4 − e = 1 → e = 3
4 + e = 9 → e = 5
El valor mayor de M es:
e = 5
29)
= 1 +
1 + ≤ e
De: 5 ≤ 2 + 1 ≤ 9
5 − 1 < 2 + 1 − 1 ≤ 9 − 1
4 ≤ 2 ≤ 8
2 ≤ ≤ 4
2 ≤ ≤ 4 → 2 − 5 ≤ − 5 ≤ 4 − 5
−3 ≤ − 5 ≤ -1 → −1 ≤ ≤ −
De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto:
−8 ≤ ≤ − → − 8 ≤ ≤ −
1 − 8 ≤ 1 + ≤ 1 − → −7 ≤ 1 + ≤ −
Escriba aquí la ecuación.

sJ:
1 −
2
+ 5
≤ −
5
3
M = -
30)
∈ ) , , ; _ ≤ ≤ e
= 1 +
Se tiene: _ ≤ 1 + ≤ e -----------(a)
Formando (a), a partir de: ∈ ) , ,
≤ ≤
− 2 ≤ − 2 ≤ − 2 → − ≤ − 2 ≤ −
−2 ≤ ≤ − → −8 ≤ ≤ −
1 − 8 ≤ 1 + ≤ 1 −
−7 ≤ 1 + ≤ −
(
_ = −7
e = −
e − _ = − + 7
e − _ =

31
3 − 4 − = − − 3 + 4
− 3 + 4 → ∆ = > − 4?@
∆ = 9 − 16 < 0
− 3 + 4 > 0 ∀ ∈ 0
Se tiene entonces:
-( − 3 + 4 + 2 − 3 > 0
+ 2 − 3 < 0
+ 3 − 1 < 0
∈ ] − 3,1 [
32)
4 + 4 + + 4 − 3 ≤ 0
Se debe factorizar: ±3, ±1 ; ± , ±
4 + 4 + + 4 − 3 = t −
1
2
u 4 + 6 + 4 + 6

= 2 * − + 2 + 3 + 2 + 3
= 2 * − + [ 2 + 3 + 2 + 3 ]
= 2 * − + 2 + 3 + 1
= (2x-1) 2 + 3 + 1
(2x-1) 2 + 3 + 1 ≤ 0
Debe considerarse que: + 1 > 0
(2x-1) 2 + 3 ≤ 0
La solución es:
− ≤ ≤
33)
− 3 − 15 + 19 + 30 < 0
Se debe factorizar:

− 3 − 15 + 19 + 30 = − 2 + 3 − 4 − 5
= − 2 + 3 − 5 + 1
Se tiene:
− 2 + 3 − 5 + 1 < 0
La solución es:
−3 < < −1 H 2 < < 5
34)
2 + 7 + 2 − 3 < 0
Factorizando:
2 + 7 + 2 − 3 =

2 + 7 + 2 − 3 = + 1 2 + 5 − 3
=
±√
=
±
= (x+1)(x+3)(x -1/2)
= + 1 + 3 2 − 1
+ 1 + 3 2 − 1 < 0 → + 1 + 3 2 − 1 < 0
Lo solución es:
< −3 H − 1 < <
35)
− − + 2 + 2 − 8 < 0 x (-1)
− + 2 + 2 − 8 > 0
− + 2 → ∆ = > − 4?@
∆ = 1 − 8 < 0 ; ? > 0

Entonces: − + 2 > 0
La inecuación queda como:
+ 2 − 8 > 0
+ 4 − 2 > 0
La solución de la inecuación es:
< −4 H > 2
36)
− < 0
< 0
9
< 0
9
< 0 → < 0
< 0
De:
4
5
< 0 → 6 . 7 < 0
− 4 + 1 + 2 < 0

Los intervalos negativos son la solución:
∈ ] − 1, 0 [ H ]2, 4 [
37)
9
9
− < 0
9 9
9
< 0
9 9
9
< 0
9
9
< 0 → 9
> 0
9
> 0
De:
4
5
< 0 → 6 . 7 < 0
6 − 7 2 − − 6 > 0
6 − 7 2 + 3 − 2 > 0

La solución es:
∈ ] − ∞, −3/2[ H ]0,7/6[ H ]2, ∞ [
38)
Graficando los intervalos:
6v = 2 ; 6v = −2 ; 6v = 3
Como la función es entera:
P(x) = − Dw + 2 − 3
6 = + 2 − 2 − 3
Finalmente:
+ 2 − 2 − 3 > 0
39)

F(x) es racional : x =
4
5
Restricciones de x : -3, 1
x = =
9
9
9
9
≥ 0
40)
F(x) es racional : x =
4
5
Restricciones de x : -2, 4
x = =
9
9
9
9
≥ 0

41)
L →
− 1 − 1
+ 3 2 − 5
< 0
M → ≥ 0 A ⋂ M = ?
− 1 − 1
+ 3 2 − 5
< 0 →
− 2 + 1 − 1
+ 3 2 − 5
< 0
9
< 0 → < 0
< 0 → − 2 + 3 2 − 5 < 0
Tomando los intervalos negativos, la solución es:
L → < −3 H ]0, 2/5[ H > 2
De: ≥ 0 ; ≠ −1 , ≠ −3/2
+ 3 3 − 5 + 1 2 + 3 ≥ 0

M → ∈ )−3,− , H ] − 1, ]
La intersección de A y B es:
< −3 H ]0, 2/5[ H > 2 ⋂ )−3, − , H ] − 1, ]
∈ ]0, 2/5]
42)
De:
√2 − 3 + √ − 1 = 3 − 2
2 − 3 + − 1 + 2z 2 − 3 − 1 = 3 − 2
3 − 4 + 2z 2 − 3 − 1 = 3 − 2
2z 2 − 3 − 1 = 2

z 2 − 3 − 1 = 1 -----------------(a)
Elevando (a) al cuadrado:
2 − 3 − 1 = 1
2 − 5 + 3 = 1
2 − 5 + 2 = 0
2 − 1 − 2 = 0 → {
=
= 2
= → ICab@KóF J ED?ñ?
CS = {2}
43)
3 + 7 ≥ 0 } − 2 ≥ 0
3 + 7 ≥ 0 → ≥ −
− 2 ≥ 0 → ≥ 2
U → ≥ 2
De:
√3 + 7 − √ − 2 > 3 → √3 + 7 − √ − 2 > 9
3 + 7 + − 2 − 2z 3 + 7 − 2 > 9
4 − 4 − 2z 3 + 7 − 2 > 0
2 z 3 + 7 − 2 < 4 − 4
z 3 + 7 − 2 < 2 − 2
Aplicando:
z 3 + 7 − 2 < 2 − 2 ↔ [ 3 + 7 − 2 ≥ 0 ⋀ 2 − 2 > 0
∧ 3 + 7 − 2 < 2 − 2 ]

3 + 7 − 2 = 3 + − 14
3 + 7 − 2 ≥ 0 → ≤ − U ≥ 2
[ ≤ − U ≥ 2 ⋀ > 1 ⋀ 3 + − 14 < 4 − 8 + 4 ]
[ ≤ − U ≥ 2 ⋀ > 1 ⋀ 0 < − 9 + 18 ]
[ ≤ − U ≥ 2 ⋀ > 1 ⋀ − 9 + 18 > 0 ]
[ ≤ − U ≥ 2 ⋀ > 1 ⋀ − 6 − 3 > 0 ]
< 3 H > 6
[ ≤ − U ≥ 2 ⋀ > 1 ⋀ < 3 H > 6 ]
≤ − U ≥ 2 ⋀ x ∈]1,3[ H ]6, ∞[
La intersección de los intervalos será:
La solución se obtiene de: U → ≥ 2 ⋀ ∈ [ 2, 3 [ H ]6, ∞ [
CS → ∈ [ 2, 3 [ H ]6,∞ [

44)
+ 7 ≥ 0 } − 1 ≥ 0
+ 7 ≥ 0 → ≥ −7
− 1 ≥ 0 → ≥ 1
U → ≥ 1
De:
√ + 7 − √ − 1 > 2 → √ + 7 − √ − 1 > 4
+ 7 + − 1 − 2z + 7 − 1 > 4
2 + 2 − 2z + 7 − 1 > 0
2 z + 7 − 1 < 2 + 2
z + 7 − 1 < + 1
Aplicando:
z + 7 − 1 < + 1 ↔ [ + 7 − 1 ≥ 0 ⋀ + 1 > 0
∧ + 7 − 1 < + 1 ]
+ 7 − 1 = + 6 − 7
+ 7 − 1 ≥ 0 → ≤ −7 U ≥ 1
De:
[ ≤ −7 U ≥ 1 ⋀ > −1 ⋀ + 6 − 7 < + 2 + 1 ]
[ ≤ −7 U ≥ 1 ⋀ > −1 ⋀ 4 − 8 < 0 ]
[ ≤ −7 U ≥ 1 ⋀ > −1 ⋀ < 2 ]

→ 1 < < 2
[ ≤ −7 U ≥ 1 ⋀ 1 < < 2
x ∈ [1,2[
La solución se obtiene de: U → ≥ 1 ⋀ x ∈ [1,2[
CS → ∈ [ 1, 2 [
45)
Aplicando:
√ − 3 + 2 < 2 − ↔ − 3 + 2 ≥ 0 ⋀ [2 − > 0
∧ − 3 + 2 ≤ 2 − ]
− 3 + 2 ≥ 0 → − 2 − 1 ≥ 0

≤ 1 H ≥ 2
√ − 3 + 2 < 2 − ↔ ≤ 1 H ≥ 2 ⋀ [2 >
∧ − 3 + 2 ≤ 4 − 4 + ]
√ − 3 + 2 < 2 − ↔ ≤ 1 H ≥ 2 ⋀ [ < 2 ∧ ≤ 2]
↔ ≤ 1 H ≥ 2 ⋀ ≤ 2
↔ ≤ 1
CS → ∈ [ −∞,1 ]
46)

z24 − 2 − < ↔ [24 − 2 − ≥ 0 ∧ > 0 ∧ 24 − 2 −
< Z]
z24 − 2 − < ↔ [24 − 2 − ≥ 0 ∧ > 0 ∧ 24 − 2 −
< Z]
z24 − 2 − < ↔ [ + 2 − 24 ≤ 0 ∧ > 0
∧ 24 − 2 − < Z]
+ 2 − 24 ≤ 0 → + 6 − 4 ≤ 0
→ −6 ≤ ≤ 4
↔ [−6 ≤ ≤ 4 ∧ > 0 ∧ 24 − 2 − 2 < 0 ]
↔ [−6 ≤ ≤ 4 ∧ > 0 ∧ 2 + − 12 > 0
De la inecuación: + − 12 > 0
+ 4 − 3 > 0 → < −4 H > 3
↔ [−6 ≤ ≤ 4 ∧ > 0 ∧ < −4 H > 3
↔ [−6 ≤ ≤ 4 ∧ > 3
Analizando la intersección de los intervalos, la solución es:

v^ → ∈ ]3, 4]
47)
CS→
•
•
≥ 0 ∩
•
•
≥ 0
•
•
≥ → 3ƒ − 9 ƒ + 2 ≥ 0
3 − 3 + 2 ≥ 0
− 3 + 2 ≥ 0
≤ −2 H ≥ 3
•
•
≥ 0 → 5 − + 1 ≥ 0

∈ [−1, 5]
La solución se obtiene de:
≤ −2 H ≥ 3 ∩ ∈ [−1, 5]
@I → ∈ [3,5]
48)
z4 − √1 − > √2 −
√2 − < z4 − √1 −
De:
√2 − < z4 − √1 − → 0 ≤ 2 − < 4 − √1 −
2 − ≥ 0 ⋀ 2 − < 4 − √1 −
2 − ≥ 0 → ≤ 2

De:
2 − < 4 − √1 − → √1 − < 2 +
√1 − < 2 + ↔ [ 1 − ≥ 0 ∧ Y 2 + > 0 ∧ 1 −
< 2 + ZZ
↔ ≤ 1 ∧ Y > −2 ∧ 1 − < 2 + 4 + Z
↔ ≤ 1 ∧ Y > −2 ∧ + 5 + 3 > 0Z
+ 5 + 3 → =
± √
=
± √
+ 5 + 3 = ) +
√
, ) −
√
,
↔ ≤ 1 ∧ 1 > −2 ∧ ) +
√
, ) −
√
, > 02
↔ ≤ 1 ∧ 1 > −2 ∧ < −
√
− H >
√
− 2
↔ ≤ 1 ∧ x >
√
−

v^ → ∈ ]
√
− , 1 ]
49)
z6 ≥ 7 ↔ 6 ≥ 0 ⋀ [7 < 0 ⋁ Y7 ≥ 0 ⋀ 6 ≥
7 Z
√ + 4 ≥ 5 − 1 ↔ + 4 ≥ 0 ⋀[ 5 − 1 < 0 ⋁Y 5 − 1 ≥
0 ⋀ + 4 ≥ 5 − 1 Z
↔ + 4 ≥ 0 ⋀[ < ⋁ Y ≥ ⋀ + 4 ≥ 25 − 10 + 1 }
↔ + 4 ≥ 0 ⋀[ < ⋁ Y ≥ ⋀ 0 ≥ 24 − 14 + 1Z]
↔ + 4 ≥ 0 ⋀[ < ⋁ Y ≥ ⋀ 24 − 14 + 1 ≤ 0Z]
⋀ 24 − 14 + 1 → =
±
→ (
=
=
↔ + 4 ≥ 0 ⋀[ < ⋁ Y ≥ ⋀ − − ≤ 0Z]

En los gráficos se pueden apreciar las soluciones de las
inecuaciones planteadas:
↔ ≤ −4 H ≥ 0 ⋀[ < ⋁ Y ≥ ⋀ [ , ] Z]
↔ ≤ −4 H ≥ 0 ⋀Y < ⋁ ∈ [ , ] }
↔ ≤ −4 H ≥ 0 ⋀ ∈ ] − ∞,1/2]
La solución será:
v^ = ∈ ] − ∞, −4] H [0,1/2]
50)
z3 + √ − 2 < √7 −
Si n = par:

0 ≤ 3 + √ − 2 ≤ 7 −
0 ≤ 3 + √ − 2 ⋀ 3 + √ − 2 ≤ 7 −
0 ≤ 3 + √ − 2 → √ − 2 ≥ −3 → − 2 ≥ 0
≥ 2 − − − − − −
Se debe resolver: ≥ 2 ⋀ 3 + √ − 2 ≤ 7 −
√ − 2 ≤ 4 − ↔ − 2 ≥ 0 ⋀Y 4 − ≥ 0 ⋀ − 2 < 4 − Z
↔ ≥ 2 ⋀Y ≤ 4 ⋀ − 2 < 16 − 8 + Z
↔ ≥ 2 ⋀Y ≤ 4 ⋀ 0 < 18 − 9 + Z
↔ ≥ 2 ⋀Y ≤ 4 ∧ − 9 + 18 > 0 Z
↔ ≥ 2 ⋀Y ≤ 4 ∧ (x-6 )(x-3 )> 0 Z
(x-6 )(x-3 )> 0 → < 3 H > 6
↔ ≥ 2 ⋀Y ≤ 4 ∧ < 3 H > 6 }
↔ ≥ 2 ⋀ < 3
v^ = ∈ [2, 3[
51)

L: 2 + 3√ − 5 ≥ 0
3√ − 5 ≥ −2
Si n es par:
z9 − 5 ≥ −2 ↔ 9 − 5 ≥ 0 ∧ [ -2x ≤ 0 ⋁ {9 − 5 ≥ 0 ∧
9 − 5 ≥ −2 Z]
↔ − 5 ≥ 0 ∧ [ x ≥ 0 ⋁ {9 − 5 ≥ 0 ∧ 9 − 45 ≥
−2 Z]
↔ ≥ 5 ∧ [ x ≥ 0 ⋁ {x ≥ 5 ∧ 9 − 45 ≥ 4 Z
↔ ≥ 5 ∧ [ x ≥ 0 ⋁ {x ≥ 5 ∧ 4 − 9 + 45 ≤ 0Z
4 − 9 + 45 → ∆ < 0
4 − 9 + 45 > 0
4 − 9 + 45 ≤ 0 → ∈ ∅ − − − −…?@ío
↔ ≥ 5 ∧ [ x ≥ 0 ⋁ {x ≥ 5 ∧ ∅Z
↔ ≥ 5 ∧ [ x ≥ 0 ∨ ∅ ]
↔ ≥ 5 ∧ ≥ 0
v^ = ∈ [5, ∞[
B → − 6√ − 2 + 8 > 0
6√ − 2 < + 8 → √36 − 72 < + 8
De: n par,
√36 − 72 < + 8 ↔ 36(x-2) ≥ 0 ∧ [ + 8 > 0 ∧ 36 − 72 < +
8 ]

↔ (x-2) ≥ 0 ∧ [ + 8 > 0 ∧ 36 − 72 < + 16 + 64]
↔ x ≥ 2 ∧ [ > −8 ∧ − 20 + 136 > 0 ]
− 20 + 136 → ∆ = 400 − 540 = −140 < 0
− 20 + 136 > 0 → ∈ 0
↔ x ≥ 2 ∧ [ > −8 ∧ ∈ 0]
↔ x ≥ 2 ∧ > −8
v^ = ∈ [2,∞ [
Se pide: A ∩ M
∈ [5, ∞[ ∩ ∈ [2, ∞ [
v^ = x ∈ [5, ∞[
52)
∈ ]3/7,1/2[
La función f(x) será:
x = * − + * − +
* − + * − + < 0 → 2 − 1 7 − 3 < 0
14 − 13 + 3 < 0
De: 3_ − _ + 2_ − 9 + 2_ − 5 < 0
[9 [
=
[
=
[9
[9 [
=
[
→ −39_ + 13_ = 28_ − 126
39_ + 15_ − 126 = 0 y 6m-27 =-26 _ +65

_ =
± √
=
±
{
_ = =
_ = −2
26_ + 6_ − 92 = 0
_ =
± √
=
±
(
_ = = 23/13
_ = − = −2
De; m = ó _ = −2 ∧ _ = ó _ = −2
Se tiene:
m = -2
53)
_ + 1 + 1 − 3_ − _ + 3 < 0
∀ ∈ ] − 2/5, 3[
La función de cumple con la desigualdad es:
x = * + + − 3 < 0
. − 3 < 0 → 5 + 2 − 3 < 0
5 − 13 − 6 < 0
Los coeficientes de las inecuaciones son proporcionales:
[9
=
[9
=
[9

[9
=
[9
}
[9
=
[9
Resolviendo:
−13_ − 13 = 5 − 15_
2_ = 18 ; _ = 3 ó _ = −3
6 − 18_ = −13_ − 39
45 = 5_ ; _ = 3 ó _ = −3
De; m = 3 ó _ = −3 ∧ _ = 3 ó _ = −3
Se tiene:
m = ± 3
54)
−4 <
9 [
9
< 3 ∶ ∀ ∈ 0
− 2 + 4 → ∆ = 4 − 16 = −12 < 0
− 2 + 4 > 0 ∀ ∈ 0
Entonces de la inecuación:
-4( − 2 + 4 < − 2_ − 8 < 3 − 2 + 4
-4( − 2 + 4 < − 2_ − 8 ∧ − 2_ − 8 < 3 − 2 + 4
-4( − 2 + 4 < − 2_ − 8 → 0 < 5 − 8 − 2_ + 8
5 − 8 + 2_ + 8 > 0
Como se cumplen para todo x E R:
8 + 2_ − 160 < 0 → −4√10 < 8 + 2_ < 4 √10
-8 −4√10 < 2_ < 4 √10 − 8

-4-2√10 < _ < 2√10 − 4
----
− 2_ − 8 < 3 − 2 + 4 → 0 < 2 + 2_ − 2 + 12
2 + 2_ − 2 + 12 > 0 → 2 + 2_ − 2 + 12 > 0
Como se cumplen para todo x E R:
2 − 2_ − 48 < 0 → 2 − 2_ < 48 → −4√3 < 2 − 2_ < 4 √3
-2 −4√3 < −2_ < 4 √3 − 2
2- 4√3 < 2_ < 4√3 + 2
1 − 2√3 < _ < 1 + 2√3
La solución está de:
-4-2√10 < _ < 2√10 − 4 ∧ 1 − 2√3 < _ < 1 + 2√3
La solución es:
_ ∈ ] 1 − 2√3, 2√10 − 4[
55)
√ . √ 9
V W. √
‡
. ˆ
√
W
. 9 V
≤ 0
Aplicando las propiedades:
√ + 6
‡
→ + 6 − − − −_KI_C IK‰FC
√ − 9 − 10
V
→ − 9 − 10 − − − −_KI_C IK‰FC
√ . 9 ± W. ˆ
√
W
. 9 V
≤ 0
Factorizando:

√ . 9 W. ˆ
√
W
. 9 9
≤ 0
+ 3 + 9 → ∆ < 0
∆ = 9 − 36 = −27 < 0
+ 3 + 9 > 0 ∀ ∈ 0
√ . 9 W. ˆ
√
W
. 9
≤ 0
+ 7 − 8 = + 8 − 1
− 9 − 10 = − 10 + 1
√ . W. ˆ
√
W
.
≤ 0 ; x ≠ 1
√ . W. Š
√
W
.
≤ 0
− 1 > 0 ; − 2 > 0
√ .
√
W
.
≤ 0 ; x ≠ 1
De: 12 − ≥ 0 → ≤ 12
+3 > 0 → > −3
H = ≤ 12 } > −3
H = ∈ ] − 3, 12 ]
De:
.
≤ 0 ; x ≠ 1 , ≠ −8, ≠ 12, se obtiene:
≠ 3
− 10 + 1 + 6 + 8 − 12 − 3 ≤ 0

] − 8, −6 H [ −1, 3[ H [10, 12 [
Se debe obtener:
H = ∈ ] − 3, 12 ] ∩ ∈ ] − 8, −6] H [ −1, 3[ H [10, 12 [
v^ = ∈ Y−1, 3[ H [10,12[ −Y1Z
56)
−3 <
9 [
9 < 3
+ + 1 → ∆ = 1 − 4 = −3 < 0
+ + 1 > 0 ∀ ∈ 0
−3 + + 1 < − _ + 1 < 3 + + 1
−3 + + 1 < − _ + 1 ∧ − _ + 1 < 3 + + 1
−3 + + 1 < − _ + 1 → 0 < 4 + 3 − _ + 4
4 + 3 − _ + 4 > 0 → 4 + 3 − _ + 4 > 0
− _ + 1 < 3 + + 1 → 0 < 2 + _ + 3 + 2
2 + _ + 3 + 2 > 0 → 2 + _ + 3 + 2 > 0
Resolverse: 4 + 3 − _ + 4 > 0 ∧ 2 + _ + 3 + 2 > 0
Para todo x E R, se tiene:
3 − _ − 64 < 0 ∧ _ + 3 − 16 < 0
3 − _ < 64 ∧ _ + 3 < 16

-8 < 3-m < 8 ∧ −4 < _ + 3 < 4
−11 < −_ < 5 ∧ −7 < _ < 1
−5 < _ < 11 ∧ −7 < _ < 1
_ ∈] − 5, 1 [
57)
a)
√ 9
V
. ‹ 9 Œ
W ‡ ≤ 0
√ 9
V 9
W ‡ ≤ 0 ; x ≠ 1
− 3 > 0 ; − 1 > 0
√ 9
V
.
‡ ≤ 0
√ − 2 − 15
V
→ − 2 − 15 − − − −BCEJF@K? K_B?D
− 2 → − 2 ∗∗∗∗∗∗ BCEJF@K? K_B?D
‹ 9 Œ
≤ 0 ; ≠ 2, ≠ 1
≤ 0 → − 5 + 3 − 2 ≤ 0

v^ = ∈ ] -3, 0 ] U ] 2, 5]
b)
9 V 9 9
9 V √
‡
. 9
≥ 0 ; ≠ 0
+ 4 > 0
9 V
9 V √
‡ 9
≥ 0
+ 9 + 8 = + 8 + 1
9 V
V √
‡ 9
≥ 0 ; ≠ −8; ≠ −1
Simplificando:
9 V
V √
‡ 9
≥ 0
− 3 → − 3 − − − −BCEJF@K? K_B?D
√ − 1
‡
→ − 1 − − − − − −D?dK@?a K_B?D
9
V ≥ 0 → 9 ≥ 0
9 9 ≥ 0 ;
+ 4 + 16 → ∆ = 16 − 64 = −48 < 0
+ 4 + 16 > 0
La inecuación queda:
9 ≥ 0 ; ≠ −8; ≠ −1, ≠ 4 , x ≠ 1, x ≠ 0
+ 4 − 3 − 1 ≥ 0
v^ = ∈ [−4, −1[H] − 1,0[ H]0,1[H [3,4[ H]4, ∞[

58)
•
√ 9
√
> − 3
Aplicar:
↔
√ 9
√
≥ 0 ∧ [ − 3 ≤ 0 ∨ Y
√ 9
√
≥ 0 ∧
√ 9
√
≥ − 3 Z
√ − − 2
2 − √ + 4
≥ 0 ;
↔ √ − − 2 ≥ 0 ∧ Y2 − √ + 4 > 0 ∨ √ − − 2 < 0 ∧ 2 − √ + 4 < 0)}
↔ − − 2 ≥ 0 ∧ Y√ + 4 < 2 ∨ √ − − 2 < 0 ∧ √ + 4 > 2)}
(+) (+)
↔ − 2 + 1 ≥ 0 ∧ { 0≤ + 4 < 4 ∨ ∅ ∧ x+4 > 4)}
Resolviendo: 0≤ + 4 < 4
+ 4 ≥ 0 ∧ + 4 < 4
≥ −4 ∧ < 0 → ∈ [−4,0[
↔ ≤ −1 H ≥ 2 ∧ Y ∈ [−4,0[ ∨ ∅ ∧ x >0)}
↔ ≤ −1 H ≥ 2 ∧ Y ∈ [−4,0[ ∨ ∅Z
↔ ≤ −1 H ≥ 2 ∧ ∈ [−4,0[
→ ∈ [−4, −1]
Se tiene:
↔ ∈ [−4, −1] ∧ [ − 3 < 0 ∨ Y ∈ [−4, −1] ∧
√ − − 2
2 − √ + 4
≥ − 3 Z
↔ ∈ [−4, −1] ∧ [ < 3 ∨ Y ∈ [−4, −1] ∧
√ 9
√
≥ − 6 + 9Z]
− 3 < 0 →

√ 9
√
≥ 0 ≥ − 6 + 9 ≥ 0
√ 9
√
≥ 0 } − 6 + 9 ≤ 0
∈ [−4, −1] } − 3 ≤ 0
∈ [−4, −1] } − 3 ≤ 0
∈ [−4, −1] } ≤ 3 → ∈ [−4, −1]
↔ ∈ [−4, −1] ∧ [ < 3 ∨ Y ∈ [−4, −1] ∧ ∈ [−4, −1]]
↔ ∈ [−4, −1] ∧ [ < 3 ∨ ∈ [−4, −1]]
↔ ∈ [−4, −1] ∧ [ < 3 ]
v^ = ∈ [−4, −1]
59)
• − + √4 − ≥ 0
•
9
+ √4 − ≥ 0 ; x ≠ 0
CS =
9
≥ 0 ∩ 4 − ≥ 0
− 1 ≥ 0 ∩ ≤ 4
− 1 + 1 ≥ 0 ∩ ≤ 4

→ ∈ Y−1,0[ H [ 1, ∞[
∈ Y−1,0[ H [ 1, ∞[ ∩ ≤ 4
v^ = ∈ [−1, 0 [ H [1, 4]
60)
√ − 5 + 6 15 + 2 − ≥ 0
−√ − 5 + 6 − 2 − 15 ≥ 0
√ − 5 + 6 − 2 − 15 ≤ 0
→ √ − 5 + 6 ≥ 0 ∩ − 2 − 15 ≤ 0 ∨ √ − 5 + 6 < 0 ∩ −
2 − 15 ≥ 0
a)
De: − 5 + 6 ≥ 0 → − 3 − 2 ≥ 0
→ ≤ 2 H ≥ 3
La solución se obtiene de:
≤ 2 H ≥ 3 ∩ − 2 − 15 ≤ 0
− 2 − 15 → − 5 + 3 ≤ 0

→ −3 ≤ ≤ 5
Se debe resolver: ≤ 2 H ≥ 3 ∩ −3 ≤ ≤ 5
→ −3 ≤ ≤ 2 H 3 ≤ ≤ 5 ------------------(a)
b)
√ − 5 + 6 < 0 ∩ − 2 − 15 ≥ 0
√ − 5 + 6 < 0 → ∈ ∅
− 2 − 15 ≥ 0 → ≤ −3 H ≥ 5
≤ −3 H ≥ 5 ∩ ∅ → ∈ ∅
La solución sale de:
−3 ≤ ≤ 2 H 3 ≤ ≤ 5 ∪ ∅
v^ = −3 ≤ ≤ 2 H 3 ≤ ≤ 5
61)
De:
↔ − 2 − 15 ≥ 0 ∧ Y + 1 < 0 ∨ [ + 1 ≥ 0 ∧ − 2 − 15 ≥ + 2 +
1]Z

↔ [ − 2 − 15 ≥ 0 ∧ Y ≤ −1 ∨ [ ≥ − 1 ∧ 0 ≥ 4 + 16]Z]
↔ [ − 2 − 15 ≥ 0 ∧ Y ≤ −1 ∨ [ ≥ − 1 ∧ ≤ −4]Z]
De:
− 2 − 15 ≥ 0 → − 5 + 3 ≥ 0
→ ≤ −3 H ≥ 5
Se tiene que:
↔ ≤ −3 H ≥ 5 ∧ Y < −1 ∨ [ ≥ −1 ∧ ≤ −4]Z
↔ ≤ −3 H ≥ 5 ∧ Y ≤ −1 ∨ ∈ ∅Z
↔ ≤ −3 H ≥ 5 ∧ ≤ −1
v^ = ∈] − ∞, 3 ]
62)
De:
4
5
≥ 0 → 6 . 7 ≥ 0
− 1 − 2 + 1 ≥ 0
− 1 + 1 ≥ 0
Como; + 1 ≥ 0 → − 1 ≥ 0 → ≥ 1

∈ [1, ∞ [
63)
√ 9
√ √ 9
≥ 0
√ + 3 + 4
√21 + √ − 4
≥ 0 → z + 3 + 4 ∧ √21 + z − 4 > 0
Obtener la solución de:
+ 3 + 4 ≥ 0 ∧ − 4 ≥ 0
+ 3 + 4 → ∆ = > − 4?@ = 9 − 16 = −7 < 0 ; ? > 0
+ 3 + 4 > 0
Finalmente se tiene:
∈ 0 ∩ (x+2)(x-2) ≥ 0
∈ 0 ∩ x ≤ −2 H ≥ 2
≤ −2 H ≥ 2
De ; √21 + √ − 4 > 0 → √ − 4 > −√21
(+) (--)
− 4 > 0
≤ −2 H ≥ 2
↔ x ≤ −2 H ≥ 2 ∩ ≤ −2 H ≥ 2
CS = ≤ −2 H ≥ 2

Inecuaciones widmar aguilar

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Inecuaciones widmar aguilar

Similar to Inecuaciones widmar aguilar (20)

More from Widmar Aguilar Gonzalez

More from Widmar Aguilar Gonzalez (20)

Inecuaciones widmar aguilar