1. ÑAI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM ÑEÀ THI TUYEÅN SINH LÔÙP 10 NAÊM 2013
TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG NAÊNG KHIEÁU MOÂN THI: TOAÙN (Chuyeân)
Thôøi gian: 150 phuùt
Caâu I: Cho phöông trình: x2  4mx m2  2m 1  0(1) vôùi m laø tham soá.
a) Tìm m sao cho phöông trình (1) coù hai nghieäm 1 2 x ;x phaân bieät. Chöùng minh raèng: khi ñoù 1 2 x ;x
khoâng theå taùi daáu nhau.
b) Tìm m sao cho: 1 2 x  x 1
Caâu II: Giaûi heä phöông trình:
 
 
 
    
3x 2
2y 1 2z x 2
3y 2
2z 1 2x y 2
3z 2
2x 1 2y z 2

    
    
Caâu III: Cho x, y laø hai soá khoâng aâm thoûa maõn x3  y3  x  y
a) Chöùng minh raèng: y  x 1
b) Chöùng minh raèng: x3  y3  x2  y2  1
Caâu IV: Cho M  a2  3a 1 vôùi a laø soá nguyeân döông.
a) Chöùng minh raèng moïi öôùc cuûa M ñeàu laø soá leû.
b) Tìm a sao cho M chia heát cho 5. Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa a thì M laø luõy thöøa cuûa 5?
Caâu V: Cho ABC coù A  600 . Ñöôøng troøn (I) noäi tieáp tam giaùc (vôùi taâm I) tieáp xuùc vôùi caùc caïnh BC, CA,
AB laàn löôït taïi D, E, F. Ñöôøng thaúng ID caét EF taïi K, ñöôøng thaúng qua K vaø song song vôùi BC caét AB, AC
theo thöù töï taïi M, N.
a) Chöùng minh raèng: caùc töù giaùc IFMK vaø IMAN noäi tieáp.
b) Goïi J laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. Chöùng minh ba ñieåm A, K, J thaúng haøng.
c) Goïi r laø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (I) vaø S laø dieän tích töù giaùc IEAF. Tính S theo r vaø chöùng minh
S S
IMN
 ( IMN S chæ laø dieän tích IMN )
4
Caâu VI: Trong moät kyø thi, 60 thí sinh phaûi giaûi 3 baøi toaùn. Khi keát thuùc kyø thi, ngöôøi ta nhaän thaáy raèng: vôùi
hai thí sinh baát kyø luoân coù ít nhaát moät baøi toaùn maø caû hai thí sinh ñoù ñeàu giaûi ñöôïc. Chöùng minh raèng:
a) Neáu coù moät baøi toaùn maø moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc thì phaûi coù moät baøi toaùn khaùc maø moïi thí
sinh ñeàu giaûi ñöôïc.
b) Coù moät baøi toaùn maø coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc .

2. ÑAÙP AÙN
Caâu I:
a) Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät x1,x2  '  4m2 m2  2m 1  0
3m2 m  3m 1  0 m3m 1 3m 1  0
3m1m1  0
m 1 vaø m > -1 1 3m 1 0 vaø m 1 0 3 m 3
3m 1 0 vaø m 1 0 m < 1 vaø m < -1 m 1
                        
3

Khi ñoù:  2 2
1 2 x .x  m  2m 1  m 1  0
Do ñoù 1 2 x ;x khoâng theå traùi daáu.
b) Phöông trình coù hai nghieäm khoâng aâm 1 2 x ;x
m 1 hoaëc m 1 (aùp duïng caâu a) ' 0 3
S x x 0 4m 0
P x .x 0 m 1 0
 
1 2
2
1 2

     
       
       

m 1
3
 
Ta coù:  2
1 2 1 2 1 2 x  x  1 x  x  2 x x 1 4m  2 m 1  1
4m 2 m 1 1 m 1 4m 
1
2
      
4m 1 0
2
m 1 4m 1
2
m 1 1 4m
2
 
 
     

    

m 1
4m 1 4
1 m 1 (thích hôïp) 2m 2 4m 1 m
2 2
2m 2 1 4m 1 m
2

 
  
                   

Vaäy m 1
 laø giaù trò caàn tìm.
2
Caâu II: Ta coù: 3x2  2y 1 3y2  2z 1 3z2  2x 1  2z x  2 2x y  2 2y z  2
3x2  2y 1 3y2  2z 1 3z2  2x 1  2zx  4z  2xy  4x  2yz  4y
           
           
x 2 2xy y 2 x 2 2zx z 2 y 2 2yz z 2 x 2 2x 1 y 2 2y 1 z 2
2z 1 0
x y x z y z x 1 y 1 z 1 0
                  
  2   2   2   2   2   2

  x  y  2   x  z  2   y  z  2   x 1  2   y 1  2   z 1  2  0
x  y;x  z;y  z;x 1;y  1;z 1x  y  z 1
Thöû laïi, ta coù: x;y;z  1;1;1 laø nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho.
Caâu III:
a) Ta coù: x  0;y  0 vaø x3  y3  x  y .
Do ñoù : x  y  x3  y3  0 . Neân x  y  0 x  y
Ta cuõng coù : x3  y3  x3  y3  x  yx2  xy  y2 

3. Neân x  y  x  yx2  xy  y2 
Neáu x = y thì x3  y3  0 . Ta coù : x = y = 0. Neân y  x 1
Neáu x  y thì töø x  y  x  yx2  xy  y2  ta coù : 1 x2  xy  y2
Maø x2  xy  y2  x2 . Neân 1 x2 . Maø x  0 . Neân 1  x
Vaäy y  x 1
b) 0  y  x 1 neân y3  y2;x3  x2 . Do ñoù : x3  y3  x2  y2
Vì 1  x2  xy  y2 vaø x2  xy  y2  x2  y2 . Do ñoù: x2  y2  1
Vaäy x3  y3  x2  y2  1
Caâu IV:
a) M  a2  3a 1  a2  a  2a 1 aa 1 2a 1 laø soá leû (Vì a, a + 1 laø hai soá nguyeân döông lieân tieáp neân
aa  12 )
Do ñoù moïi öôùc caû M ñeàu laø soá leû.
b)    M  a2  3a 1  a2  2a 1  5a  a 1 2  5a
Ta coù: M5;5a5 . Do ñoù:  2 a 1 5 . Neân a 15
Ta coù : a chia cho 5 dö 1, töùc a  5k 1kN
Ñaët a2  3a 1  5n nN*  ( nN* vì do a 1 neân a2  3a 1  5 )
Ta coù : 5n 5 theo treân ta coù : a  5k 1kN
Ta coù :     5k 1 2  3 5k 1 1  5n 25k2 10k 115k  31  5n
25k k 1  5  5n *
Neáu n  2 ta coù : 5n 52 , maø 25k k 152; 5 khoâng chia heát cho 52 : voâ lí.
Vaäy n = 1. Ta coù : 25k k 1  0; kN . Do ñoù : k = 0. Neân a = 1.
Caâu V :
E
M K N
F
I
B D
J C
A
a) Ta coù : MN // BC (gt), ID  BC ((I) tieáp xuùc vôùi BC taïi D)
ID  MNIK  MNIKM  IKN  900
IFM IKM  900  900 1800
 Töù giaùc IFMK noäi tieáp.

4. 
Maët khaùc : IKN  IEN  900  Töù giaùc IKEN noäi tieáp.
Ta coù : IMF  IKF (Töù giaùc IFMK noäi tieáp) ; IKF  ANI (Töù giaùc IKEN noäi tieáp).
IMF  ANI  Töù giaùc IMAN noäi tieáp.
b) Ta coù :
 IMK   IFK   Tö ù giaùc IFMK noäi tieáp

INK  IEK  Tö ù giaùc IKEN noäi tieáp

 
Maët khaùc : IE = IF (= r) IEF caân taïi I.
IMN caân taïi I coù IK laø ñöôøng cao.
 IK laø ñöôøng trung tuyeán cuûa IMN
K laø trung ñieåm cuûa MN.
 MN  2.MK
Maø BC = 2.BJ (J laø trung ñieåm cuûa BC)
Do ñoù: MN 2.MK MK
 
BC 2.BJ BJ
Maët khaùc: ABC coù MN // BC
AM MN
AB BC
  (Heä quaû cuûa ñònh lyù Thales)
Ta coù: AM MK MN
 
  
AB BJ BC
 
Xeùt AMK vaø ABJ , ta coù:
 AMK 
ABJ hai goùc ñoàng vò vaø MN // BC
AM MK
AB BJ

 
AMK  ABJc  g  c MAK  BAJ
Hai tia AK, AJ truøng nhau.
Vaäy ba ñieåm A, K, J thaúng haøng.
c) AE, AF laø caùc tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (I)
AE = AF, AI laø tia phaân giaùc cuûa EAF
AEF caân taïi A coù EAF  600 (gt)
 AEF ñeàu. EF = AE = AF.
AEF ñeàu coù AI laø ñöôøng phaân giaùc.
 AI laø ñöôøng cao cuûa AEF
 AI  EF S 1 AI.EF
2
 
IAE vuoâng taïi E AE = IE.cotIAE; IE = AI.sin.IAE
AE r.cot30 0
3.r;AI r 2r
    
sin30
0
Vaäy EF = AE = 3. r
Vaäy S 1 .AI .EF 1 .2r. 3. r 3. r2 (ñvdt)
  
2 2
Goïi H laø giao ñieåm cuûa AI vaø EF.
Ta coù: IH  EF, H la ø trung ñieåm cuûa EF vaø HIF  600 .
IHF vuoâng taïi H IH IF.cosHIF r.cos600 1 . r
2
   

5. Do ñoù:
2
S 1 .IH.EF 3. r
IEF
  (ñvdt)
2 4
Xeùt IMN vaø IEF , ta coù:
IMN  IFE;INM  IEF
Do ñoù: IMN  IEF g  g
2
S IM
S IF
IMN
IEF
 
   
 
. Maø IF  FM IM IF IM 1
   
IF
Do ñoù: IMN
IMN IEF
IEF
S
1 S S
S
  
Ta coù:
2
S 3.r 2
;S 3. r ;S S
  
IEF IMN IEF
4
S S
Vaäy IMN
4

Caâu VI: Goïi ba baøi toaùn laø A, B, C.
a) Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc baøi toaùn A.
 Neáu moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc baøi toaùn B thì töø giaû thieát ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn
C.
 Neáu moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn B vaø baøi toaùn C thì ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn B;
baøi toaùn C.
 Neáu coù moät thí sinh chæ giaûi ñöôïc moät baøi toaùn, giaû söû giaûi ñöôïc baøi toaùn B. Xeùt hoïc sinh naøy vôùi taát caû
caùc hoïc sinh coøn laïi. Theo giaû thieát, coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn B.
Vaäy neáu coù moät baøi toaùn maø moïi thí sinh ñeàu khoâng giaûi ñöôïc thì phaûi coù moät baøi toaùn khaùc maø moïi thí sinh
ñeàu giaûi ñöôïc.
b) Theo giaû thieát ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc ít nhaát moät baøi toaùn. Neáu coù moät thí sinh chæ giaûi ñuùng
moät baøi toaùn. Xeùt hoïc sinh naøy vôùi taát caû caùc hoïc sinh coøn laïi, ta coù moïi thí sinh ñeàu giaûi ñöôïc baøi toaùn ñoù.
Ta chæ coøn xeùt tröôøng hôïp maø moïi thí sinh giaûi ñöôïc ít nhaát hai baøi toaùn.
 Goïi soá thí sinh giaûi ñöôïc A, B maø khoâng giaûi ñöôïc C laø x, soá thí sinh giaûi ñöôïc B, C maø khoâng giaûi ñöôïc
A laø y, soá thí sinh giaûi ñöôïc A, C maø khoâng giaûi ñöôïc B laø z, soá thí sinh giaûi ñöôïc caû A, B, C laø t (x, y, z, t
N )
Ta coù: x  y  z  t  60 (1)
Caùch 1: Giaû söû coù ñieàu traùi vôùi keát luaän cuûa baøi toaùn.
Ta coù: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40
Do ñoù : x + z + t + x + y + t + y + z + t < 40 + 40 + 40 2x  y  z  t   t  120 .
Keát hôïp (1) ta coù : t < 0.
Ñieàu naøy voâ lí. Ñieàu giaû söû ôû treân laø sai.
Vaäy coù moät baøi toaùn maø coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc.
Caùch 2 : Ta coù : soá hoïc sinh khoâng giaûi ñöôïc A laø y, khoâng giaûi ñöôïc B laø z, khoâng giaûi ñöôïc C laø x.
Neáu x > 20 ; y > 20 ; z > 20 thì x + y + z > 60. Maâu thuaãn (1).
Do ñoù : trong ba soá x, y, z phaûi coù moät soá khoâng vöôït quaù 20.
Nhö vaäy coù moät baøi toaùn maø coù nhieàu nhaát 20 thí sinh khoâng giaûi ñöôïc. Do ñoù baøi toaùn naøy coù ít nhaát 40 thí
sinh giaûi ñöôïc.
Vaäy coù moät baøi toaùn maø coù ít nhaát 40 thí sinh giaûi ñöôïc.