Casio 93.11.2

HOAØNG HOÀ NAM (chuû bieân)
Kinh nghieäm giaûi Toaùn treân
maùy tính Casio II
In baûn laàn hai
Phieân baûn: 93.11.2
Naêm hoïc: 20Naêm hoïc: 20Naêm hoïc: 20Naêm hoïc: 2011111111 ---- 2012012012012222

Thaân chaøo caùc baïn ñoïc!
Vôùi cuoán saùch “Kinh nghieäm giaûi Toaùn treân maùy tính Casio II”
phaùt haønh vaøo naêm 2009 ñaõ nhaän ñöôïc raát phaûn hoài töø caùc baïn
ñoïc. Tuy kieán thöùc naèm trong chöông trình THCS nhöng noù cuõng
ñöôïc caùc baïn THPT quan taâm, vì taøi lieäu trình baøy nhieàu phöông
phaùp, thuaät toaùn aùp duïng vaøo ñöôïc kieán thöùc THPT. Trong phieân
baûn cuõ 93.09.1 ñaõ coù khaù nhieàu loãi sai ñöôïc phaûn hoài. Ñaëc bieät
trong ñoù coù 2 baøi giaûi sai traàm troïng laø baøi 4.4.1 vaø 4.7.8. Ngoaøi ra,
coù moät soá daïng baøi khoâng thích hôïp vôùi moân hoïc naøy.
Phieân baûn môùi 93.11.2 tuy ñaõ treã nhöng toâi vaãn coá gaéng hoaøn
thieän. Phieân baûn 2 ñaõ coù moät soá caûi tieán ñaùng keå, caäp nhaät theâm
nhöõng phöông phaùp môùi vaø moät soá daïng baøi taäp hay. Caäp nhaät
theâm caùch söû duïng chi tieát hai loaïi maùy tính phoå bieán nhaát hieän
nay laø fx 570MS; fx 570ES vaø theâm caùc baøi taäp môû roäng khoù. Ñeå
giuùp baïn ñoïc deã tieáp thu ngoaøi vieäc saép xeáp theo thöù töï töø deã ñeán
khoù, phieân baûn môùi coøn chöùng minh caùc coâng thöùc vaø neâu leân ñònh
nghóa caùc ñònh lyù… Baïn ñoïc haõy töï mình khaùm phaù trong phieân
baûn môùi naøy!
Naêm hoïc 2012 – 2013, phöông chaâm cho phieân baûn môùi 93.12.3
laø “Tính ñuùng, tính nhanh” seõ caäp nhaät theâm nhieàu daïng baøi taäp
môùi hay, nhieàu phöông phaùp tính toaùn vaø loaïi boû nhieàu daïng baøi
taäp khoâng phuø hôïp trong phieân baûn 93.1.2… Phieân baûn môùi naøy
höùa heïn ñaùnh daáu böôùc naâng cao vöôït baäc. Raát mong nhaän ñöôïc yù
kieán ñoùng goùp töø baïn ñoïc gaàn xa. Chuùc caùc baïn thaønh coâng trong
cuoäc soáng vaø luoân luoân vui veû.
Taùc giaû
Hoaøng Hoà Nam

PHAÀN II
HÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIOHÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIOHÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIOHÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIO
FX 570ms VAØ FX 570ESFX 570ms VAØ FX 570ESFX 570ms VAØ FX 570ESFX 570ms VAØ FX 570ES

Kinh nghieäm giaûi Toaùn treân maùy tính Casio II
Bieân soaïn: Hoaøng Hoà NamTrang 5
BAØI 1. CAÙC CHÖÙC NAÊNG CÔ BAÛN
Nhöõng quy öôùc maëc ñònh:
Caùc phím chöõ maøu traéng thì aán tröïc tieáp.
Caùc phím chöõ maøu vaøng aán sau phím:
Caùc phím chöõ maøu ñoû aán sau phím:
I, CAÙC PHÍM CHUNG
Nhöõng löu yù:
- Caùc daáu ngoaëc cuoái cuøng cuûa bieåu thöùc coù theå boû qua.
- Caùc nhaäp moät soá vaø caùc pheùp tính thoâng thöôøng:
TT Nhaäp Fx 570MS Fx 570ES
1 Phaân soá
2011
2012 . .
2 Hoãn soá
9
1993
3 . .
3 Tính ( )3 6 25× +
. .
4 Tính
4 8
5 73
+
× . .
- Ñoái vôùi maùy fx 570MS moät soá bieåu thöùc phöùc taïp caàn theâm daáu “(“
TT Caùc chöùc naêng Fx 570MS Fx 570ES
1 Môû maùy . .
2 Taét maùy . .
3 Nhaäp töøng chöõ soá … …
4
Ngaên caùch phaàn nguyeân vaø
phaàn thaäp phaân
5
Caùc pheùp tính coäng, tröø,
nhaân, chia vaø daáu baèng
Môû ngoaëc, ñoùng ngoaëc . . . .
6 Daáu tröø cuûa soá aâm . .
7
Di chuyeån con troû ñeán vò trí
qua laïi treân maøn hình ñeå söõa
chöõa, thay theá
8 Xem laïi caùc bieåu thöùc ñaõ tính . . . .
9 Xoùa 1 kí töï vöøa nhaäp . . . .
10 Xoùa heát kí töï vöøa nhaäp . . . .

II, PHÍM HAØM
1
Tính giaù trò sin, cos, tan cuûa
goùc.
2
Giaù trò ngöôïc chæ goùc (Töø 00
ñeán 1800
) töôùng öùng vôùi sin,
cos, tan cuûa noù.
, , , ,
3 Bình phöông, laäp phöông . , . ,
4 Muû . . . .
5 Caên baäc hai, caên baäc ba , . ,
6 Caên baäc x . . . .
7 Giai thöøa x! = 1.2.3. . .(x-1).x . . . .
8 Ngòch ñaûo . . . .
9
Chuyeån ra daïng 10n
a× vôùi n
giaûm
10
Chuyeån ra daïng 10n
a× vôùi n
giaûm
11 Giaù trò tuyeät ñoái (Abs) . .
12
Logarit thaäp thaân, logarit töï
nhieân ( )
, ,
13 Logarit vôùi cô soâ baát kì ( ) Khoâng coù . .
14
Ñoåi toïa ñoä Ñeà Caùc ra toïa ñoä
coù cöïc – Pol( ( )
15
Ñoåi toïa ñoä coù cöïc ra toïa ñoä
Ñeà Caùc– Rec( ( )
16 Laáy soá ngaãu nhieân - RAN# . . . .
Nhöõng löu yù:
- Caùc nhaäp moät haøm thoâng thöôøng:
TT Nhaäp Fx 570MS Fx 570ES
1 Tính sin 42 24'°
2 Tính 3
12
3 Tính 3
2012 284−
4 Tính 5
30 365− +
5 Tính 1.2.3...2012 .
6 Tính
1
2012
. .
- Caàn thao taùc nhieàu ñeå bieát thöù töï öu tieân caùc pheùp tính.

III, PHÍM NHÔÙ
1 Bieán nhôù Ans (Keát quaû sau
khi aán töï ñoäng gaùn vaøo)
2 Caùc bieán nhôù A, B, C … M.
Maëc ñònh giaù trò cuûa bieán
laø:0
,
…
,
…
3 Coäng theâm vaøo bieán nhôù M . . . .
4 Tröø bôùt ra ôû bieán soá M . . . .
5 Xem giaù trò bieán nhôù (Bieán
A, B … M)
. ,
…
. ,
…
6 Gaùn giaù trò vaøo bieán nhôù -
STO (Ví duï gaùn vaøo bieán A).
7 Xoùa giaù trò bieán nhôù . . . .
Ví duï tính: ( )(10 11 12) 13 14+ × × +
Caùch 1: Söû duïng bieán nhôù Ans
+ Tính keát quaû cuûa(10 11 12)+ × vaø töï ñoäng noù seõ löu vaøo bieán Ans:
+ Tieáp theo ta söû duïng keát quaû ñoù nhaân tieáp vôùi ( )13 14+ :
Caùch 2: Söû duïng caùc bieán nhôù A, B, C … M
+ Tính keát quaû cuûa(10 11 12)+ × vaø löu vaøo bieán A:
+ Tính keát quaû cuûa(13 14)+ vaø löu vaøo bieán B:
+ Tieáp theo ta laáy bieán A nhaân cho bieán B:
IV, CAÙC MODE TÍNH TOAÙN
TT Chöùc naêng MODE Teân MODE Fx 570MS Fx 570ES
1 Tính toaùn chung (Maëc ñònh) COMP . . . .
2 Tính toaùn vôùi soá phöùc ( ) CMPLX . . . .
3 Thoáng keâ SD, STAT . . . .
4 Hoài quy ( ) REG, STAT . . . .
5 Heä ñeám cô soá N ( ) BASE - N . . . .
6
Giaûi phöông trình baäc 2, baäc 3.
Heä phöông trình baäc nhaát 2, 3 aån.
EQN
7 Ma traän ( ) MATRIX . . .
8 Toaùn vectô ( ) VECTOR . . .
9 Laäp baûng soá theo bieåu thöùc TABLE Khoâng coù . .

IV, CAØI ÑAËT MAÙY
TT Chöùc naêng Teân Fx 570MS Fx 570ES
1
Ñònh daïng nhaäp/xuaát (Math: Bieåu thò
gioáng SGK. Linear: Phaân soá, bieåu
thöùc hieän thò chung 1 doøng)
MthIO Khoâng coù
LineIO Maëc ñònh
2
Tính toaùn vôùi caùc ñôn vò goùc
(Maëc ñònh ôû ñôn vò ñoä)
Deg (Ñoä)
Rad ( )
Gra ( )
3
Dạng
hiện
thị
Làm tròn 0~9 chữ số ở
phần thập phân. Fix 0~9?
Hieän thò 1~10 chöõ soá Sci 0~9?
Ghi soá x döôùi daïng giôùi
haïn aán ñònh:
-Norm 1: 2 10
10 10x−
≤ <
-Norm 2: 9 10
10 10x−
≤ <
Ngoaøi giôùi haïn thì ghi
baèng: 10b
a×
Norm
1~2?
Phaân soá
Hoãn soá (Maëc ñònh)
4
Mode
CMPLX
Hieän thò keát quaû soá phöùc ( ) Khoâng coù
5
Mode
STAT
Hieän thò coät taàn soá trong thoáng keâ Khoâng coù
6
Ngaên caùch phaàn nguyeân vaø phaàn thaäp phaân ôû
keát quaû baèng daáu “.”
7
Ngaên caùch phaàn nguyeân vaø phaàn thaäp phaân ôû
keát quaû baèng daáu “,”
8 Chænh ñoä töông phaøn maøn hình Khoâng coù
9 Xoùa caùc mode ñaõ caøi ñaët
10 Xoùa taát caû (Mode caøi ñaët, bieán nhôù)
Ñoåi phaân soá, hoãn soá vaø soá thaäp phaân (Maùy ôû cheá ñoä maëc ñònh)
TT Chöùc naêng Fx 570MS Fx 570ES
1 Ñoåi qua laïi hoãn soá (phaân soá) vaø soá thaäp phaân
2 Ñoåi qua laïi phaân soá vaø hoãn soá

BAØI 2. CAÙC CHÖÙC NAÊNG NAÂNG CAO
I, THAO TAÙC SÖÛA, XOÙA BIEÅU THÖÙC:
Thoâng tin caàn bieát: Maøn hình maùy tính coù khaû naêng nhaän moät bieåu thöùc khoâng quaù 79
böôùc. Khi ta aán moät phím soá hay moät phím toaùn hoïc thæ con troû treân maøn hình dòch chuyeån
moät böôùc, aán phím hay khoâng dòch chuyeån böôùc naøo. Caùc bieåu thöùc coù ñoä daøi hôn 79
böôùc caàn taùch ra caùc bieåu thöùc nhoû vaø theâm vaøo söû duïng caùc bieán nhôù ñeå tính toaùn.
Söû duïng caùc phím ñeå di chuyeån con troû ñeán choã caàn söõa hoaëc thay theá:
1. AÁn phím deå xoùa moät kí töï hoaëc haøm.
2. AÁn phím ñeå chuyeån con troû sang traïng thaùi thay theá. Ñeå thoaùt khoûi cheá ñoä
cheøn ta aán phím hoaëc aán phím
II, GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT 2, 3 AÅN
1, Phöông trình baäc nhaát 2 aån coù daïng:



=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Unknowns: 2) vaø nhaäp caùc heä soá a1, b1, c1, a2, b2, c2.
Quy trình thöïc hieän Fx 570MS Fx 570ES
Böôùc 1: Vaøo EQN (Unknowns: 2)
Böôùc 2: Nhaäp heä soá a1, b1, c1, a2,
b2, c2
a1 b1 c1 a2 b2
c2
a1 b1 c1 a2 b2
c2
Böôùc 3: Xem nghieäm Duøng phím: Duøng phím:
Chuù yù: Maùy baùo loãi “Math ERROR” laø heä coù voâ soá caëp nghieäm hoaëc voâ nghieäm.
Ví duï: Giaûi heä phöông trình:
a,



=+
=+
654
32
yx
yx
b,



=+
=+
642
32
yx
yx
Caâu Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû
a



=
−=
2
1
y
x
b
Voâ soá caëp
nghieäm thoõa.
2, Phöông trình baäc nhaát 3 aån coù daïng:





=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Unknowns: 3) vaø nhaäp caùc heä soá a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3,
b3, c3, d3.
Böôùc 1: Vaøo EQN (Unknowns: 2)
Böôùc 2: Nhaäp heä soá a1, b1, c1, a2, a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 d1

b2, c2 a2 b2 c2 d2 a3
b3 c3 d3
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
Chuù yù: Maùy baùo loãi “Math ERROR” laø heä coù voâ soá caëp nghieäm hoaëc voâ nghieäm.





=++
=++
=++
4365
5432
4321
zyx
zyx
zyx
Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû





=
=
−=
1
1
1
z
y
x
III, GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI, BAÄC BA
1, Phöông trình baäc hai coù daïng:
0.. 2
=++ cxbxa
Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Degree: 2) vaø nhaäp caùc heä soá a, b, c.
Böôùc 1: Vaøo EQN (Degree: 2)
Böôùc 2: Nhaäp heä soá a, b, c a b c a b c
Chuù yù: Trong chöông trình THCS khoâng hoïc soá phöùc. Neáu coù nghieäm daïng a+bi, ta coi
laø khoâng toàn taïi nghieäm.
a, 0232
=+− xx b, 012
=++ xx
Caâu Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû
a 


=
=
2
1
2
1
x
x
b Voâ nghieäm.
2, Phöông trình baäc ba coù daïng:
0... 23
=+++ dxcxbxa
Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Degree: 3) vaø nhaäp caùc heä soá a, b, c, d.
Böôùc 1: Vaøo EQN (Degree: 3)
Böôùc 2: Nhaäp heä soá a, b, c a b c d a b c d

Chuù yù: Trong chöông trình THCS khoâng hoïc soá phöùc. Neáu coù nghieäm daïng a+bi, ta coi
laø khoâng toàn taïi nghieäm.
06116 23
=−+− xxx
Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû





=
=
=
3
2
1
3
2
1
x
x
x
IV, THOÁNG KEÂ
Xeùt baûng thoâng keâ 5 bieán löôïng:
Bieán löôïng x1 x2 x3 x4 x5
Taàn soá n1 n2 n3 n4 n5
Böôùc 1: Vaøo mode thoáng keâ . . . .
Böôùc 2: Nhaäp soá lieäu vaøo maùy
x1 n1 x2
n2 x3 n3
x4 n4 x5
n5
(Theâm
coät taàm soá) x1 x2
x3 x4 x5
n1 n2 n3
n4 n5
Böôùc 3:
Xuaát keát
quaû caàn
tìm
Toång bình phöông caùc
bieán ∑ 2
x
Toång caùc bieán ∑x
Toång taàn soá (n)
Trung bình x
Ñoä leäch chuaån χση
Phöông sai (Bình
phöông ñoä leäch chuaån)
Ñoä leäch chuaån hieäu
chænh
Phöông sai hieäu chænh
Giaù trò lôùn nhaát cuûa bieán
löôïng (max)
Khoâng coù
Giaù trò nhoû nhaát cuûa
bieán löôïng (min)
Khoâng coù
Chænh söûa soá lieäu Duøng phím hieäu chænh

Ví duï: Cho maãu soá lieäu döôùi. Tính x vaø phöông sai.
Bieán löôïng 63 15 17 4 7
Taàn soá 14 5 9 1 2
Fx 570MS Fx 570ES Keát quaû
. .
(giaù trò TB)
(Phöông sai)
. .
(giaù trò TB)
(Phöông sai)
387,36≈x
Phöông
sai: 302,592≈
V, TÌM HIEÅU CHÖÙC NAÊNG CALC, SOLVE
1, Chöùc naêng CALC: Duøng ñeå laëp laïi bieåu thöùc nhaäp vaøo maùy tính
Xeùt ví duï:
2, Chöùc naêng SLOVE: Duøng ñeå tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa moät phöông trình phöùc taïp
Xeùt ví duï:
VI, TÌM HIEÅU CHÖÙC NAÊNG CHIA LAÁY PHAÀN NGUYEÂN (Môùi)
Fx 570MS Fx 570ES
Chuù yù: Ñaây thöïc chaát laø pheùp tính toaøn treân heä cô soá 10 nhöng nhôø vaøo chöùc naêng naøy ta coù
theå thöïc hieän pheùp chia laáy phaàn nguyeân, öùng duïng vaøo laøm nhieàu baøi taäp hay!
Ví duï: Thöïc hieän laáy phaàn nguyeân cuûa pheùp chia 2012 cho 93:
Fx 570MS Fx 570ES
Keát quaû laø phaàn nguyeân cuûa pheùp chia.

PHAÀN III
Laøm quen caùc baøi toaùnLaøm quen caùc baøi toaùnLaøm quen caùc baøi toaùnLaøm quen caùc baøi toaùn
ñôn giaûnñôn giaûnñôn giaûnñôn giaûn

BAØI 1. TÍNH GIAÙ TRÒ CUÛA BIEÅU THÖÙC
Daïng 1: Xaây döïng quy trình aán phím bình thöôøng:
15...321 ++++=A
( )180496213)18013649( 222
×××−×+=B






++÷





−÷





+= 7,3
5
2
25,1
4
6
4
3
1
5
2
2
3
1
1C
3333 3
25202453 +−−−=D
3
3
3
3
3
3
26
21
18
21
54
2126200 −
+
+
+
++=E
Giaûi
Ñaùp soá: A = 120; B = 1; C =
57
112
; D = 2,63070; E = 8
Löu yù ñoái vôùi caâu D, E neáu baïn duøng maùy tính fx 570MS thì phaûi chuù yù theâm môû ngoaëc vaø
ñoùng ngoaë. Neáu khoâng coù maùy tính hieåu sai veà thöù töï thöïc hieän caùc pheùp tính.Vieäc söû duïng
maùy tính fx 570ES hieän thò gioáng saùch giao khoa raát deã ñeå laøm caùc baøi taäp naøy..
Ví duï quy trình baám phím sai treân maùy tính fx 570MS: 3 × shift 3 5 - shift 3 4 -
shift 3 2 - shift 3 20 + shift 3 25 = (Ñaùp soá sai: 1,285259478)
Nguyeân nhaân laø phaûi môû theâm ngoaëc vì maùy tính seõ hieàu nhaàm bieåu thöùc. Quy trình baám
phím ñuùng treân maùy tính fx 570MS: 3 x ( shift 3 ( 5 - shift 3 4 ) ) - shift 3 2 - shift
3 20 + shift 3 25 = (Ñaùp soá: 2,630704324)
Daïng 2: AÙp duïng coâng thöùc ñeå tính:
2012...321 ++++=F
2011...531 ++++=G
Giải
Caùch 1: Söû duïng coâng thöùc hoïc ñöôïc ôû lôùp 8 (ôû baøi luyeän taäp). Coâng thöùc nay ta coù theå
hieåu noâng na laø:
-Laáy soá cuoái tröø soá ñaàu chia cho böôùc nhaûy cuûa noù coäng theâm 1 laø ra soá soá haïng cuûa daõy.
-Ta ñem soá ñoù chia cho 2 ñöôïc soá caëp coù toång baêng nhau (Baèng soá ñaàu coäng soá cuoái).
-Ta ñem soá treân nhaân vôùi toång soá ñaàu vaø soá cuoái ñöôïc keát quaû caàn tính.
( ) 202507812012.
2
112012
=+
+−
=F ( ) 101203612011.
2
1
2
12011
=+












+
−
=G
Caùch 2: Söû duïng chöùc naêng tính toång xích-ma treân maùy tính fx 570ES ñeå tính:
∑=
2012
1
xF coù nghóa laø toång caùc x khi x chaïy töø 1 ñeán 2012
Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: shift alpha X 1 2012 =
Töông töï: ( )∑ +=
1005
0
12xG coù nghóa laø toång (2x +1) khi x chaïy töø 0 ñeán 1005.

Daïng 3: Taùch ra laøm nhieàu bieåu thöùc nhoû:
( )
5
4
5,02,1
3
1
5
25
10
4,6
25,1
5
4
.8
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
25
2
08,1
÷×++
−






×
+
×





−
÷





−
=H
Giaûi
Do maùy tính chæ nhaän 79 böôùc maø bieåu thöùc treân nhaäp heát vaøo seõ traøn maøn hình. Giaûi phaùp
ñôn giaûn laø taùch bieåu thöùc ra laøm nhieàu bieåu thöùc nhoû vaø söû duïng caùc phím nhôù.
Tính
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
25
2
08,1
×





−
÷





−
gaùn vaøo bieán A.
Tính
25
10
4,6
25,1
5
4
.8
−






×
gaùn vaøo bieán B.
Tính ( )
5
4
5,02,1
3
1
5 ÷×+ gaùn vaøo bieán C.
Keát quaû: A + B + C (Ñaùp soá:
3
23
)
Baøi taäp töï luyeän:
3.1.1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc vaø vieát keát quaû döôùi daïng phaân soá:






++÷





−÷





+= 7,3
5
2
25,1
4
6
4
3
1
5
2
2
3
1
1A






÷+×÷=
121
3
2
11
2
3
4
3
1
7
5
112B
( )
5
4
5,02,1
3
1
5
25
10
4,6
25,1
5
4
.8
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
25
2
08,1
÷×++
−






×
+
×





−
÷





−
=C
3.1.2: Thöïc hieän pheùp tính (Laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình):
( ) ( )2222
180.649.2.13180.13649 −+=A
33333
25202453 ++−−=B
3
33
3
26
21
18
21
54
2126200 −
+
+
+
++=C
3 17
23
35,712
13.816π
=D










×
+++
+++
÷
+++
+++
×=
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2
9
2
3
2
2
343
4
49
4
7
4
4
27
1
9
1
3
1
1
182E

3.1.3: Tính 5% cuûa
5,225,121
6
5
5.
14
3
3
5
3
6
÷−






−
3.1.4.1: Tính giaù trò gaàn ñuùng ñeán 7 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:
3 4 5 6 7 8 9
98765432 +++++++=A
3.1.4.2: Tính vaø laøm troøn ñeán 6 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:
( )
( )
( ) ( )
013,000325,0
045,02,1965,11,2
67,088,33,503,0632,0
5,215,009,04,03
÷
×÷−
+
+−−+×
÷÷−÷
=B
( )
( ) ( ) 1325,11902,019,881,11
025,3225,1
7
4
35
22
25,138,1012,738,10 2
+÷÷×+
+





×−××+×
=C
3.1.4.3: Tính vaø laøm troøn ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:






÷−÷





×+÷





×−×=
2
1
75285,701,0
2
1
4
18
7
2
180
7
5,24,1
84
13
D
3.1.4.4: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc laáy keát quaû vôùi 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:
304197521719542919453211930 +++=E

BAØI 2. TÍNH GIAÙ TRÒ GOÙC, LÖÔÏNG GIAÙC
Daïng 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau chính xaùc ñeán 0,0001:
''45'1052cos''20'2240cos
''34'1763cos''12'2536cos
°+°
°−°
=B
Giaûi
Quy trình aám phím treân maùy fx 570MS hoaëc fx 570ES laø: ( cos 36 o
’” 25 o
’” 12 o
’” – cos
63 o
’” 17 o
’” 34 o
’” ) ÷ ( cos 40 o
’” 22 o
’” 20 o
’” + cos 52 o
’” 10 o
’” 45 o
’” ) = (Ñaùp soá:
00
15’30,09” ≈ 0,2584)
Daïng 2: Cho 5,0cos =α . Tính caùc giaù trò löông giaùc coøn laïi cuûa goùc α , bieát α laø goùc nhoïn
(Laøm troøn 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).
Giaûi
- Ta tính goùc α baèng caùch nhaán: shift cos-1
0,5 = (Keát quaû: 60)
- Tính caùc giaù trò löôïng giaùc coøn laïi ta thöïc hieän tính giaù trò löôõng giaùc cuûa goùc 600
.
866,0sin ≈α
7321,1tan ≈α
5774,0cot ≈α
Daïng 3: Cho α laø goùc nhoïn vôùi 813,0sin =α . Tính: α5cos (Laáy heát keát quaû hieän thò ôû maøn
hình).
Giaûi
Tính goùc α roài tính α5cos . Quy trình baám phím: shift sin 0,813 = (Keát quaû: 54.39008374
thoaõ goùc nhoïn) cos ( 5 x Ans ) = (Ñaùp soá: 0,03403465362).
3.2.1: Cho α laø goùc nhoïn. (Laáy heát keát quaû hieän thò ôû maøn hình).
831,0sin =α . Tìm α5cos
1234,0cos =α cos. Tìm α2sin
3.2.2: Cho cosA = 0,8516; tanB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhoïn). Tính ( )CBA ˆˆˆ −+
3.2.3: Tính A, B, C, bieát:
''16'289
''35'4776,2'.'8'2522
h
hh
A
+
=
''17'526
''45'1153'.'55'473
°
°+°
=B
''17'132cos''1278cos
'4318tan'3634sin
°+°
°−°
=C

BAØI 3. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
Ghi nhôù: Ñoái vôùi caùc maùy fx 570MS, fx 570ES thì caùc phöông trình vaø heä phöông trình ñöôïc
vieát döôùi daïng toång quaùt nhö sau:
02
=++ cbxax ; 023
=+++ dcxbxax
Khi nhaäp vaøo maùy ta nhaán a, b, c hoaëc d.



=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
Khi nhaäp vaøo maùy ta nhaán a1, b1, c1, a2, b2, c2.





=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Khi nhaäp vaøo maùy ta nhaán a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3.
Daïng: Giaûi caùc phöông trình vaø heä phöông trình sau:
1. 030112
=+− xx 2. 06116 23
=−+− xxx
3.



=+
=−
142937
81312
yx
yx
4.





−=+
=−
1
22
1
32
yx
yx
5.





−=++
=++
−=−+
745
136
124
zyx
zyx
zyx
6.





=+
=+
=+
28
22
12
zy
zx
yx
Giaûi
Söû duïng chöông trình caøi saün trong maùy ñeå tính.
1. Vaøo EQU, Degree : 2
Nhaäp: 1 = -11 = 30 = (Ñaùp soá: x1 = 5, x2 = 6).
2. Vaøo EQU, Degree : 3
Nhaäp: 1 = -6 = 11 = -6 = (Ñaùp soá: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3).
3. Vaøo EQU, 2 unknowns.
Nhaäp: 12 = -13 = 8 = 37 = 29 = 14 = (Ñaùp soá:
829
128
;
829
414
−== yx )
4.





−=+
=−
⇔





−=+
=−
1.
2
1
.
2
1
1.
3
1
.
2
1
1
22
1
32
yx
yx
yx
yx
Ñaùp soá:



=
=
2
3
y
x
5. Vaøo EQU, 3 unknowns.
Nhaäp: 4 = 1 = -2 = -1 = 1 = 6 = 3 = 1 = 5 = 4 = 1 = -7 =. Ñaùp soá:
21
73
;
3
7
;
7
18
−==−= zyx
6.





=++
=++
=++
⇔





=+
=+
=+
28.0
22.0
12.0
28
22
12
zyx
zyx
zyx
zy
zx
yx
Ñaùp soá:





=
=
=
19
9
3
z
y
x

3.3.1: Giaûi phöông trình (Ghi keát quaû ñuû 9 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân):
a, 2,343x2
– 1,54x – 3,141 = 0
b, 098753,6.35816,4.23785,1 2
=−+ xx
3.3.2: Giaûi heä phöông trình:
a,



=+
=−
318,7214,5368,8
123,3915,4372,1
yx
yx
(Ghi ñuû 9 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân)
b,





=++
=+−
=++
2423
52
11
zyx
zyx
zyx
c,





−=+
=−
1
3
2
2
1
32
yx
yx






=
−
+
−
=
−
+
−
1
1
5,4
2
1,3
1
1
4,2
2
3,1
yx
yx
3.3.4: Tính
y
x
bieát x vaø y laø nghieäm cuûa heä:



=+
=+
417518324916571
1082491657183249
yx
yx

BAØI 4. CAÙC BAØI TOAÙN ÑOÁ
Ví duï 1: Khi duøng maùy tính Casio ñeå thöïc hieän pheùp chia moät soá töï nhieân cho 48, ñöôïc
thöông laø 37, soá dö laø soá lôùn nhaát coù theå coù ñöôïc cuûa pheùp chia ñoù. Hoûi soá ñoù laø bao nhieâu?
Ví duï 2: Tìm soá nguyeân x, bieát raèng neáu nhaân soá ñoù vôùi 12 roài coäng theâm ½ soá ñoù thì ñöôïc
bình phöông soá ñoù coäng vôùi 21.
Ví duï 3: Cho 3 soá nguyeân neáu coäng hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 12, 22, 28. Tìm ba
soá ñoù.
Ví duï 4: Tæ soá voán cuûa hai nhaø kinh doanh laø 0,6. Hoûi moãi ngöôøi coù soá voán laø bao nhieâu?
Bieát raèng ngöôøi thöù nhaát nhieàu hôn ngöôøi thöù hai laø 100 trieäu ñoàng.
Ví duï 5: Moät ao caù coù 4800 con caù goàm ba loaïi traém, meø, cheùp. Soá meø baèng
7
2
soá traém. Soá
cheùp baèng
2
1
soá meø. Tính soá löôõng cuûa moãi loaïi caù trong ao.
Giaûi
Ví duï 1: Ta coù soá dö nhoû hôn soá chia 48, neân soá dö lôùn nhaát coù theå ñöôïc trong pheùp chia
moät soá töï nhieân cho 48 laø 47.
Do thöông thu ñöôïc laø 37 neân soá bò chia caàn tìm laø: 37 × 48 + 47 = 1823
Ví duï 2: Theo ñeà baøi ta coù:




=
=
⇔
=+−⇔+=+
2
)(
2
21
021
2
25
21
2
1
12 22
x
loaix
xxxxx
Vaäy soá nguyeân x caàn tìm laø 2.
Ví duï 3: Goïi 3 soá ñoù laø x, y, z. (Ñieàu kieän: x, y, z ∈ Z)
Theo ñeà baøi ta coù:





=+
=+
=+
28
22
12
zy
zx
yx





=
=
=
⇔
19
9
3
z
y
x
Vaäy ba soá phaûi tìm laø 3, 9, 19.
Ví duï 4: Goïi soá voán cuûa hai ngöôøi laø: a, b (trieäu ñoàng) (Ñieàu kieän: a, b > 0)



=
=
⇔




=−
=
250
150
100
6,0
y
x
xy
y
x
Vaäy soá voán cuûa hai ngöôøi laàn löôït laø: 150, 250 trieäu ñoàng.
Ví duï 5: Goïi soá caù loaïi traém, meø, cheùp laàn löôït laø: x, y, z (Ñieàu kieän: z, y, z ∈ N*
)






=
=
=
⇔








=−
=−
=++
⇔








=
=
=++
480
960
3360
0
2
1
0
7
2
4800
2
1
7
2
4800
z
y
x
zy
yx
zyx
yz
xy
zyx
Vaäy trong ao coù 3360 con caù traêm, 960 con caù meø vaø 480 con caù cheùp.
3.4.1: Moät soá nguyeân a khi nhaân vôùi 12 roài coäng vôùi 12, coäng soá tìm ñöôïc vôùi
2
1
soá phaûi tìm,
ñöôïc bao nhieâu ñem chia cho 3 ñöôïc 54. Tìm soá a ban ñaàu.
3.4.2: Anh Saùu ñan xong 6 caùi roå heát 1 giôø, 20 caùi reá heát 1 giôø 30 phuùt. Hoûi anh Saùu ñan 100
caùi roå vaø 100 caùi reá heát bao laâu?
3.4.3: Moät ngöôøi vaøo böu ñieän ñeå göûi tieàn cho nguôøi thaân ôû xa, trong tuùi coù 5 000 000 ñoàng.
Chi phí dòch vuï heát 0,9% toång soá tieàn göûi ñi. Hoûi ngöôøi thaân nhaän toái ña bao nhieâu tieàn.
3.4.4: Cho 3 soá nguyeân neáu coäng hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 4023, 2032, 2033. Tìm
ba soá ñoù.

BAØI 5. BAØI TAÄP SOÁ HOÏC NHOÛ
Daïng 1: Tìm soá dö khi chia 2012 cho 12:
Giaûi
- Ta thöïc hieän pheùp chia bình thöôøng aán: 2012 ÷ 12 = (Keát quaû: 167,6666667)
- Tìm soá dö aán tieáp: Ans – 12 × 167 = (Ñaùp soá: 8)
- Vaäy soá dö caàn tìm laø 8.
Daïng 2: Soá 2011 laø soá nguyeân toá hay hôïp soá.
Giaûi
- Ta tính: 84417465,442011 ≈
- Ñeå kieåm tra 2009 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá thì ta chæ vieäc chia soá 2011 cho caùc soá
nguyeân toá nhoû hôn hoaëc baèng 44.
2009 khoâng chia heát cho 2
………………
Do 2011 khoâng chia heát cho soá nguyeân toá naøo nhoû hôn 44. Vaäy 2011 laø soá nguyeân toá..
Chuù yù: Neáu soá a phaûi kieåm tra quaù lôùn ta khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc caùc soá nguyeân toá nhoû
hôn a thì ta kieåm tra baèng caùch chia soá ñoù cho soá 2 vaø caùc soá leû nhoû hôn a .
Baøi taäp töï luyeän
3.5.1: Tìm soá dö khi chia 20092010 cho 999.
3.5.2: Soá 4826809 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá.

BAØI 6. ÑEÀ BAØI TAÄP CAÊN BAÛN
Ñeà CB1: (Thang ñieåm 50). Thôøi gian: 45 phuùt.
Chuù yù: Neáu ñeà baøi khoâng yeâu caàu gì thì thí sinh phaûi laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình.
Baøi 3.6.1.1: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: (Laøm troøn 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).
20.25202453 33333
+−−−=A
3
3
3
3
3
3
26
21
18
2
54
2126200 −
+
+++=B
Baøi 3.6.1.2: (5 ñieåm) Tính toång cuûa A sau:
A = 6 + 8 + 10 + … + 2012
Baøi 3.6.1.3: (5 ñieåm) Tìm moät soá bieát raèng 5% cuûa soá ñoù laø:
7 4
56
621,4
732,2.815,1
Baøi 3.6.1.4: (5 ñieåm) Giaûi heä phöông trình:



=+
=−
1097
4132
yx
yx
Baøi 3.6.1.5: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình:
3x2
– 9x = - 54
Baøi 3.6.1.6: (5 ñieåm) Tìm soá dö cuûa 123456 cho 135.
Baøi 3.6.1.7: (5 ñieåm) Trình baøy phöông phaùp kieåm tra soá 881 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá.
Baøi 3.6.1.8: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa löôïng giaùc sau:
'2823sin'2367cos
'4177tan''12'264tan
°−°
°+°
=A
3'.'42'311
''38'582''29'476
h
hh
B
−
=
Baøi 3.6.1.9: (5 ñieåm) Cho 3 soá nguyeân neáu coäng hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 22, 32,
42. Tìm tích cuûa 3 soá ñoù.
Baøi 3.6.1.10: (5 ñieåm) Moät boä quaàn aùo ñöôïc baùn nhö sau: Caùi quaàn baùn vôùi giaù 200 000 ñoàng
trong ñoù soá tieàn laõi laø 47 000 ñoàng. Caùi aùo baùn vôùi giaù 150 000 ñoàng. Bieát tæ leä tieàn voán cuûa
caùi quaàn so vôùi chieác aùo laø 3/2. Hoûi tieàn laõi thu ñöôïc cuûa boä quaàn aùo ñoù laø bao nhieâu?
Xem ñaùp aùn töï chaám ñieåm trang 152

Ñeà CB2: (Thang ñieåm 50). Thôøi gian: 45 phuùt.
Chuù yù: Neáu ñeà baøi khoâng yeâu caàu gì thì thí sinh phaûi laáy heát keát quaû hieän thò theân maøn hình.
Baøi 3.6.2.1: (5 ñieåm) Tính toång cuûa A sau:
A = 8 + 12 + 16 + 20 + …… 2012
Baøi 3.6.2.2: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: (Laøm troøn 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).
3333
25202353 +−−−=A
3
3
3
3
3
3
26
21
18
21
54
21262010 −
+
+
+
++=B
Baøi 3.6.2.3: (5 ñieåm) Giaûi heä phöông trình:



=++
=+−
0142937
081312
yx
yx
Baøi 3.6.2.4: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình:
2,354x2
– 1,542x – 3,141 = 0
Baøi 3.6.2.5: (5 ñieåm) Tìm 5% cuûa soá :
7 4
56
621,4
732,2.815,1
Baøi 3.6.2.6: (5 ñieåm) Tìm soá dö cuûa 9999 cho 22.
Baøi 3.6.2.7: (5 ñieåm) Trình baøy phöông phaùp kieåm tra soá 157 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá.
Baøi 3.6.2.8: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa löôïng giaùc sau:
'2823tan'2367cot
''12'4177tan'264sin
°−°
°+°
=A
''33'3333
''39'382''2'506
0
00
−
=B
Baøi 3.6.2.9: (5 ñieåm) Moät boä quaàn aùo ñöôïc baùn nhö sau: Caùi quaàn baùn vôùi giaù 200 000 ñoàng
trong ñoù soá tieàn laõi laø 48 000 ñoàng. Caùi aùo baùn vôùi giaù 150 000 ñoàng. Bieát tæ leä tieàn laõi cuûa
caùi quaàn so vôùi chieác aùo 3/2. Hoûi tieàn voán boû ra cuûa boä quaàn aùo ñoù laø bao nhieâu?
Baøi 3.6.2.10: (5 ñieåm) Cho 3 soá nguyeân neáu tích hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 20, 24,
30. Tìm soá lôùn nhaát trong 3 soá ñoù.
Xem ñaùp aùn töï chaám ñieåm trang 153

PHAÀN IV
Naâng cao caùc chuyeân ñeNaâng cao caùc chuyeân ñeNaâng cao caùc chuyeân ñeNaâng cao caùc chuyeân ñeàààà
Giaûi toaùnGiaûi toaùnGiaûi toaùnGiaûi toaùn

BAØI 1. GIAÙ TRÒ CUÛA BIEÅU THÖÙC
Coâng thöùc caàn nhôù:
a,
( )( )
∑=
++
=++++
n
x
nnn
n
1
22222
6
121
......321
b, ( ) ( )( )
∑=
++
=+++
n
x
nnn
n
1
2222
2
3
1212
2......642
c, ( ) ( ) ( )∑ −=
−
=−++++
n
n
nn
n
1
2
2222
12
3
14.
12......531
d,
( ) ( ) ∑=++++=
+
=++++
n
xn
nn
n
1
32
22
3333
......321
4
1
......321
Chứng minh
a, Chứng minh quy nạp:
Với n = 1 thì:
( )( )
6
11.2111
12 ++
= đúng.
Với n = 2 t thì:
( )( )
6
12.2122
21 22 ++
=+ đúng.
Giả sử đẵng thức đúng với n = k ta có:
( )( )
6
121
......321 2222 ++
=++++
kkk
k
Ta chứng minh đẵng thức đúng với n = k + 1:
Với n = k+1 thì:
( ) ( )( ) ( )222222
1
6
121
1......321 ++
++
=++++++ k
kkk
kk
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
6
6721
6
1.6121 2
+++
=
++++
=
kkkkkkk
( ) ( )
( )( )[ ] ( )[ ]
6
112111
6
2
2
3
.2.1
+++++
=
+





++
=
kkk
kkk
b, Ta có: ( ) 22222222
.4...3.42.41.42......642 nn ++++=+++⇒
( ) ( )( )
3
1212
...321.4 2222 ++
=++++=
nnn
n
c, Ta coù: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22222222
121...4121112......531 −+++++++=−++++ nn
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
14.
3
12..12
12
3
12..12
2.
2
1
2
212
.2
12...4212...42.212
2
222
−
=
−−
+−+=
−−
+
+
−−
+=
−++++−+++++=
nnnnn
nnn
nnn
n
n
n
nnn
d, Baïn ñoïc chöùng minh theo phöông phaùp quy naïp.
Ñieàu ñaëc bieät hay: ....321321,0
999
321
.....;939393,0
99
93
.....;88888888,0
9
8
...;......1111111,0
9
1
==

Daïng 1: Haõy tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
5
122
2
+
++
x
x
vôùi
2
51+
=x
Giaûi
Ta nhaäp giaù trò
2
51+
nhôù vaøo X, aán phím nhö sau:
( 1 + 5 ) ÷ 2 shift STO X.
Ta nhaäp bieåu thöùc
5
122
2
+
++
x
x
, aán phím:
( 2 + 2 × ( alpha X + 1 ) ) ab/c ( alpha X 2
x + 5) =
Ñaùp soá: 0,757724128
Daïng 2: Phaân soá naøo sinh ra phaân soá thaäp phaân tuaàn hoaøn: 6,0(6) vaø 3,15(321)
Giaûi
2.1: Ta coù ( ) ( )60,0
15
1
90
6
6,0
9
6
==⇒=
Laáy: ( )60,6
15
91
6
15
1
==+
Vaäy phaân soá sinh ra soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn 6,0(6) laø
15
91
2.2 Khoâng theå söû duïng daïng 2.1 vì phaân soá sinh ra traøn maøn hình.
Caùch 1: Ta ñaët: E = 3,15(321). Ta coù:
)321(21,31531000 =E
=− E )321(15,3
06,3150999 =E
16650
52501
999
06,3150
==E
Vaäy phaân soá sinh ra phaân soá thaäp phaân tuaàn hoaøn 3,15(321) laø
16650
52501
Caùch 2: Tìm phaàn thaäp phaân cuûa soá ñoù laø phaân soá naøo!
Ta coù: ( )32100,0
33300
107
99900
321
==
( )
16650
2551
15,0
33300
107
32115,0 =+=⇒
( )
16650
52501
16650
255116650.3
16650
2551
332115,3 =
+
=+=⇒
Nhaän xeùt: Caùch 2 seõ toát hôn vì tính ra ñöôïc phaân soá toái giaûn.
Daïng 3: Trình baøy moät phöông phaùp keát hôïp maùy tính vaø treân giaùy ñeå tính ñöôïc giaù trò cuûa
soá: N = 2222244444 × 55555
2
123456789=M
Giaûi
3.1 Ta coù: N = (22222.105
+ 44444) × 55555
N = 22222.55555.105
+ 44444.55555

Tính treân maùy giaù trò:
A = 22222 × 55555 = 1234543210
B = 22222 × 55555 = 2469086420
Tính treân giaáy: 105
A + B
Vaäy N = 123 456 790 086 420
3.2 Ta coù: ( ) 2482242
6789678910123452101234567891012345123456789 +×××+×=+×==M
Tính treân maùy giaù trò:
A = 123452
= 152.399.025
B = 2.12345.6789 = 167.620.410
C = 67892
= 46.090.521
Tính treân giaáy: 108
× A + 104
× B + C
Vaäy M = 15 241 578 750 190 521
Daïng 4: Tính:
2012.20011
1
...
3.2
1
2.1
1
+++
Giaûi
Caùch 1: Söû duïng coâng thöùc:
Ta coù:
( ) 1
11
1
1
+
−=
+ nnnn
vôùi n laø soá nguyeân.
Aùp duïng vaøo baøi taäp ta ñöôïc:
9995029821,0
2012
2011
2012
1
1
2012
1
20011
1
...
3
1
2
1
2
1
1
1
2012.2011
1
...
3.2
1
2.1
1
≈=−=
−++−+−=
+++
∑ +
=+++
20011
1 )1(
1
2012.2011
1
...
3.2
1
2.1
1
xx
Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: shift 1 alpha X ( alpha X + 1 ) 1
2011 = (Ñaùp soá:
2012
2011
)
Daïng 5: Tính giaù trò bieåu thöùc: 2222
100......321 ++++
Giaûi
Caùch 1: AÙp duïng coâng thöùc:
( )( )
6
121
......321 2222 ++
=++++
nnn
n

Ta coù:
( )( )
6
1100.21100100
100......321 2222 ++
=++++
338350=
∑=++++
100
1
22222
100......321 x
Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: shift alpha X 2
x 1 100 =
(Ñaùp soá:
2012
2011
)
Nhaän xeùt: Caùch 1 baét buoäc ta phaûi nhôù coâng thöùc nhöng thôøi gian tính toaùn seõ nhanh hôn
caùch 1. Coøn caùch 2 coù theå giaûi nhieàu baøi taäp khoù khaùc nhöng thôøi gian maùy tính khaù laâu. Vì
theá tuøy vaøo tröôøng hôïp ñöa ra caùch giaûi quyeát hôïp lyù.
Daïng 6: Tính 3232
2......2221 +++++
Giaûi
Ta ñaët 3232
2......2221 +++++=A
Ta coù: 33432
2......22222 +++++=A
Laáy: 2A – A = )2......2222( 33432
+++++ - )2......2221( 3232
+++++ = A
= 233
– 1 = 8589934591
4.1.1: Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau (Tính chính xaùc):
a, 22222
20122011...321 +++++=A
b, 33333
20122001...321 +++++=B
c, 2222222
20122011...54321 −+−+−+−=C
d, 1532
4...4441 +++++=D
e, E = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + 16 × 16!
4.1.2: Tính 2222
353...321 ++++=A . Sau ñoù söû duïng keát quaû ñoù ñeå tính toång
2222
706...642 ++++=S . Baïn haõy trình baøy lôøi giaûi tính toång S.
4.1.3: Phaân soá naøo sinh ra phaân soá voâ haïn tuaàn hoaøn: 1,36(63) vaø 36,56(252)
4.1.4: a, Neáu F = 85,8353353353… laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn vôùi chu kì laø 353. Khi F
ñöôïc vieát döôùi daïng phaân soá toái giaûn thì toång maãu soá vaø töû soá baèng bao nhieâu?
b, Neáu E = 93,1(993) laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn vôùi chu kì laø 993. Khi E ñöôïc
vieát döôùi daïng phaân soá naøo ñeå maãu soá lôùn hôn töû soá laø 460536.
4.1.5: Tính:
...0019981998,0
18
...019981998,0
18
...19981998,0
18
++=M .
4.1.6: Neâu moät phöông phaùp (Keát hôïp treân giaáy vaø maùy tính) ñeå tính keát quaû ñuùng cuûa pheùp
tính sau:
a, A = 12578963 × 16475
b, B = 4672093070 × 430043
c, C = 3333355555 × 3333377777
d, D = 2222266666 × 2222244444
e, E = 2222255555 × 2222266666

f, F = 2120092009 × 2120102010
g, H = 21201120122
h, I = 10234563
i, K = 10384713
.
4.1.7: Tính vaø vieát keát quaû döôùi daïng phaân soá:
a,
123457.123456
1
...
3.2
1
2.1
1
+++=A
b,
2013.2012.20011
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++=C
c,
2013.2011
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
++++=B
d, 





−





−





−





−= 1
2012
1
1
2011
1
...1
10
1
1
9
1
D
e,
2013.2011
1006
2011.2009
1005
...
7.5
3
5.3
2
3.1
1 22222
+++++=E
4.1.8: Tính toång:
1
1
...
32
1
21
1
++
++
+
+
+
=
nn
B
AÙp duïng tính B khi n = 2012, laøm troøn 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.
4.1.9: Tính giaù trò bieåu thöùc: (Laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình)
a, 2218141062
20161284
1
xxxxxx
xxxxx
A
+++++
+++++
= taïi x = 1111,2011
b,
11
1
1
1 3
−
−
+
+−
+
−−
=
x
xx
xxxx
B vôùi
729
53
−
=x
c, 





+
−






+
−
+
−
+
= 22
22
22
25
5
5
5
5
yx
yx
xyx
yx
xyx
yx
C vôùi x = 1,257; y = 2511,2009
d,
xzzyx
xyzyx
D
2
2
222
222
++−
+−+
= vôùi 4,13;5,1;
4
3
==−= zyx
4.1.10: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc chính xaùc ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.
a, 920199
920915
8.2.76.2.5
8.3.49.4.5
−
−
=A b, 25153718
13141510
2.33.18.2
4.15.36.2
+
+
=B
4.1.11: Tính (Ghi toaøn boä keát quaû hieän thò treân maøn hình maùy tính).
a,
sochu
P
.17
77......77...777777 ++++=
b, n
n
G
3
...
3
3
3
2
3
1
32
++++= vôùi n = 15
4.1.12: Tính:








−−







−+








−+
=
x
x
x
x
x
x
Q
1
2
11
4
1
1
1
4
1
12
2
2
khi x = 3,6874496

4.1.13: Tính vaø ghi keát quaû ôû daïng hoãn soá:
a,
357
1
579.
579
1
357
b, 211,404843,409465404211,080689,403 ÷+÷
4.1.14: Thöïc hieän bieán ñoåi toaùn hoïc vaø keát hôïp vôùi maùy tính. Tính soá nghòch ñaûo cuûa bieåu
thöùc:
a, 





−÷





++++=
36
7
3
1
72.65
1
...
23.16
1
16.9
1
9.2
1
.49A
b, ( ) ( )
( ) 11
90
58,0
3
1
2
1
11
7
1462,143,0 ÷
+
−÷+=B

BAØI 2. GIAÙ TRÒ GOÙC, LÖÔÏNG GIAÙC
Daïng 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau chính xaùc ñeán 0.0001.
''1520sin''1872sin
''4035sin''3054sin
°+°
°−°
=A
Giaûi
Baøi toaùn naøy treân chæ coù giaù trò goùc laø ñoä vaø giaây (Khoâng coù phuùt). Ñeå tính ta coù quy trình
aán phím treân maùy fx 570MS nhö sau:
( sin 54 o
’” 0 o
’” 30 o
’” – sin 35 o
’” 0 o
’” 40 o
’” ) ÷ ( sin 72 o
’” 0 o
’” 18 o
’” + sin 20 o
’” 0
o
’”15 o
’” =
Vaäy giaù trò cuûa A ≈ 0,1820.
Daïng 2: Cho tany = tan38.tan39.tan40…tan52. Tính B = coty.
Giaûi
Caùch 1: Nhaäp heát bieåu thöùc vaø tính.
Caùch 2:AÙp duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc tính.
- Neáu °=+ 90βα thì βα cottan =
- 1tan.cot =αα
Ta coù:
145cotcot
45tan45tan.....39cot.39tan.38cot.38tan
38cot.39cot...40tan.39tan.38tan52tan....40tan.39tan.38tantan
==⇒
==
==
y
y
Vaäy giaù trò cuûa B = 1
Daïng 3: Cho )900(765,0cos °<<°= αα . Tính chính xaùc ñeán 9 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.
αα
αα
2
23
sincos
2sincos
+
−−
Giaûi
Söû duïng bieán nhôù ñeå tính, quy trình aán phím treân maùy 570MS:
Tính goùc α vaø nhôù vaøo A aán: shift cos-1
0,765 = shift STO A.
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc aán: ( ( cos alpha A ) shift x3
– ( sin alpha A ) x2
– 2 ) ÷ ( cos alpha
A + ( sin alpha A ) x2
= (Keát quaû: -1.667333072)
Vaäy giaù trò cuûa bieåu thöùc ≈ -1.667333072.
4.2.1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau (Laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình)
a, Cho sinα = 0,3456 (00
< α < 900
). Tính:
( ) ααα
ααα
333
233
cot.sincos
tan)sin1(cos
+
++
=M
b, Cho cosx = 0,7651 (00
< x < 900
). Tính:
xx
xx
A 2
32
sincos
2sincos
+
−−
=

c, Cho
15
8
cot =α (00
< α < 900
). Tính
1
3
costan
2cossin2
2
2
+−
+
=
a
A
α
αα
d, Bieát 5678,0cos2
=α (00
< α < 900
). Tính:
( ) ( )
( )( ) ααα
αααα
433
3232
cos1cot1tan1
sin1coscos1sin
+++
+++
=N
4.2.2: Bieát tanα = tan350
.tan360
. tan370
…. Tan520
. tan530
(00
< α < 900
). Tính:
( ) ( )
( )( )αααα
αααα
cossin1cossin
sin1cotcos1tan
33
3332
+++
+++
=M
4.2.3: a, Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc M vôùi '3057;'3025 °=°= βα
( )( ) ( )( )[ ] ( )( )βαβαβα 222222
cos1sin1cos1sin1cot1tan1 −−−−+++=L
(Keát quaû laáy ôû 4 chöõ soá thaäp phaân).
b, Tính:( ) 5,5)60(tan256
6
1
027,0 175,0
2
3
1
+°−+





−− −
−
−

BAØI 3. LIEÂN PHAÂN SOÁ
Lieân phaân soá (phaân soá lieân tuïc) laø moät coâng cuï toaùn hoïc höõu hieäu ñöôïc caùc nhaø toaùn hoïc
söû duïng ñeå giaûi nhieàu baøi toaùn khoù.
Xeùt phaân soá
a
b
(a, b ∈ N vaø a > b) coù theå vieát döôùi daïng:
0
0 0
0
ba 1
a a
bb b
b
= + = +
Vì b0 laø phaàn dö cuûa a khi chia cho b neân b > b0. Laïi tieáp tuïc bieåu dieãn phaân soá:
1
1 1
00 0
1
bb 1
a a
bb b
b
= + = +
Cöù tieáp tuïc quaù trình naøy seõ keát thuùc sau n böôùc vaø ta ñöôïc:
0
0 0
1
n 2
n
ba 1
a a
1b b a
1
...a
a
−
= + = +
+
+
Caùch bieåu dieãn naøy goïi laø caùch bieåu dieãn soá höõu tæ döôùi daïng lieân phaân soá. Moãi soá höõu tæ coù
moät bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng lieân phaân soá, noù ñöôïc vieát goïn [ ]0 1 na ,a ,...,a .
Nhaän xeùt: Vieäc bieåu dieãn lieân phaân soá 0
1
n 1
n
1
a
1
a
1
...a
a
−
+
+
+
veà daïng
a
b
. Daïng toaùn naøy ñöôïc goïi laø
tính giaù trò cuûa lieân phaân soá. Vôùi söï trôï giuùp cuûa maùy tính ta coù theå tính moät caùch nhanh choùng daïng
bieåu dieãn cuûa lieân phaân soá ñoù.
Daïng 1: Laäp quy trình nhaán phím lieân tuïc ñeå tính giaù trò cuûa lieân phaân soá. Tính giaù trò cuûa
lieân phaân soá ñoù. (Laøm troøn ñeán 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).
292
1
1
1
15
1
7
1
3
+
+
+
+=M
Giaûi
Caùch 1: Tính töø döôùi leân.
Quy trình aán phím laø: 1 + 1 ab/c 292 = x-1
+ 15 = x-1
+ 7 = x-1
+ 3 =
Giaù trò cuûa M ≈ 3,1416
Caùch 2: Tính moät löôït töø treân xuoáng.
Quy trình aán phím laø: 3 + 1 ab/c ( 7 + 1 ab/c ( 15 + 1 ab/c ( 1 + 1 ab/c 292 =
Giaù trò cuûa M ≈ 3,1416

Daïng 2: Cho
2003
5
10
12
30
+
+=A Vieát laïi
n
n
a
a
a
aA
1
...
1
1
1
1
0
++
+
+=
−
Vieát keát quaû theo thöù töï.
Giaûi
Ta coù:
4001
30
5
1
31
4001
20035
1
31
20035
4001
31
20035
24036
30
2003
5
10
12
30
+
+=+=+=+=
+
+=A . Tieáp tuïc laøm
nhö vaäy, cuoái cuøng ta ñöôïc:
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
133
1
5
1
31
+
+
+
+
+
+
+=A
4.3.1: Vieát quy trình aán phím tính:
2010
1
7
1
3
5
23
1
2009
12
17
1
1
12
1
3
17
+
+
+
+
+
+
+
+=A
Giaù trò tìm ñöôïc cuûa A laø bao nhieâu? (Laøm troøn 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân)
4.3.2: Tính vaø vieát keát quaû döôùi daïng phaân soá.
5
1
4
1
3
1
2
20
+
+
+
=A ;
18
1
7
1
6
1
5
2
+
+
+
=B
4.3.3: Tìm caùc soá töï nhieân a vaø b bieát raèng:
b
a
1
1
5
1
3
1
1051
329
+
+
+
=
4.3.4: Giaûi phöông trình sau:
2
1
2
1
3
1
4
4
1
3
1
2
1
1
4
+
+
+
=
+
+
+
+
xx

BAØI 4. DAÕY SOÁ
Daïng 1: Cho daõy soá:
( ) ( )
132
13111311
nn
nU
−−+
= vôùi n = 0, 1, 2, 3…
a, Tính 10 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy soá.
b, Laäp coâng thöùc truy hoài tính giaù trò Un+2 theo Un+1 vaø Un.
c, Vieát moät quy trình aán phím lieân tuïc tính giaù trò Un+2 theo coâng thöùc truy hoài vöøa tìm
ñöôïc ôû caâu treân.
Giaûi
a, Giaù trò cuûa 10 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy laø:
U0 = 0 U5 = 89 104
U1 = 1 U6 = 1 323 520
U2 = 22 U7 = 19 494 208
U3 = 376 U8 = 285 932 416
U4 = 5 896 U9 = 4 185 138 688
b, Ñeå laäp coâng thöùc truy hoài tính giaù trò Un+2 theo Un+1 vaø Un.
Ta ñaët: Un+2 = aUn+1 + bUn + c
Khi n = 0 thì 22 = a + 0.b + c
Khi n = 1 thì 376 = 22a + b + c
Khi n = 2 thì 5896 = 376a + 22b + c





=
−=
=
⇔





=++
=++
=++
⇒
0
108
22
589622376
37622
220
c
b
a
cba
cba
cba
Vaäy coâng thöùc truy hoài laø: Un+2 = 22Un+1 - 108Un
c, Quy trình aán phím lieân tuïc tính giaù trò Un+2 theo coâng thöùc truy hoài vöøa tìm ñöôïc ôû caâu
treân laø:
Caùch 1: Chæ söû duïng caùc bieán nhôù (Tham khaûo nay raát ít duøng)
Gaùn giaù trò U0 vaøo A: 0 shift STO A
Gaùn giaù trò U1 vaøo B: 1 shift STO B
Laäp laïi quy trình aán phím sau ñeå tính caùc giaù trò tieáp theo cuûa daõy:
22 × alpha B – 108 × alpha A shift STO A
22 × alpha A – 108 × alpha B shift STO B
Nhöôïc ñieåm: Ta khoù bieát giaù trò tìm ñöôïc laø soá haïng cuûa daõy.
Caùch 2: Söû duïng voøng laëp CALC + bieán nhôù:
Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 22 × alpha B – 108 × alpha A
alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B alpha = alpha C CALC
Maùy hoûi M? 2 =
Maùy hoûi B? 1 =
Maùy hoûi A? 0 =
Nhaán: = = = = ……… = = = =
M laø bieám ñeám n cho ta bieát giaù trò C laø giaù trò thöù maáy trong daõy.

Öu ñieåm: Tieát kieäm ñöôïc thôøi gian khi tính nhieàu giaù trò. Söû duïng bieán ñeám M ñeå bieát ñöôïc ñoù
laø soá haïng thöù maáy cuûa daõy.
( ) ( )
72
7575
nn
nU
−−+
= vôùi n = 0, 1, 2, 3, …
a, Tìm 5 soá haïng ñaàu tieân cuõa daõy.
b, Chöùng minh raèng: nnn UUU 1810 12 −= ++ .
Giaûi
a, Giaù trò cuûa 5 soá haïng ñaàu tieân cuõa daõy:
n 0 1 2 3 4
Un 0 1 10 82 640
b, Chöùng minh coâng thöùc:
Ñaët: 75+=a ; 75−=b . Khi aáy a + b = 10; ab = 18.
Vaø
( ) ( ) ( )nn
nn
n baU −=
−−+
=
72
1
72
7575
Ta laïi coù:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnnnnnnnnn
bababaabbababaabbababa −−−=−−+−=−−+−=− ++++++++++
1810 1111111122
Neân
( ) ( ) ( ) ( )
nn
nnnnnnnnnn
n UU
bababababa
U 1810
72
18
72
.10
72
1810
72
1
111122
2 −=
−
−
−
=
−−−
=
−
= +
++++++
+
⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh.
Löu yù: Caùch chöùng minh coâng thöùc naøy coù theå öùng duïng laäp coâng thöùc truy hoài, seõ trình baøy ôû
phaàn baøi taäp töï luyeän.
2
37
2
2
1
+
+
=+
n
n
n
x
x
x ( Nnn ∈≥ ,1 )
a, Cho x1 = 1,5. Vieát quy trình aán phím lieân tuïc ñeå tính caùc giaù trò xn
b, Tính x100.
Baøi naøy coù theå söû duïng voøng laëp CALC. Ngoaøi ra ta coù theå söû duïng phím Ans.
Giaûi
a, Do coù moät bieán neân ta chæ caàn duøng bieán nhôù Ans ñeå tính. Quy trình aán phím laø:
Gaùn giaù trò x1 vaøo Ans aán: 1,5 =
Tính giaù trò tieáp theo aán: ( 7 × Ans x2
+ 3 ) ÷ ( Ans x2
+ 2 ) = = = = … =
Daáu “=” ñaàu tieân töông öùng vôùi giaù trò x2, caùc daáu “=” tieáp theo töông öùng vôùi caùc giaù trò
keá tieáp.
b, Giaù trò x100 = 6,770035041 (Chæ caàn aán khoaûng 10 laàn daáu “=” vì tôùi luùc ñoù caùc giaù trò sau
saáp xæ baèng nhau).
Daïng 4: Cho caëp soá (x0;y0) vôùi



=
=
1
1
0
0
y
x
laø nghieäm cuûa phöông trình 2x2
– y2
= 1.
a, Chöùng minh raèng:
Caëp soá (xn;yn) vôùi



+=
+=
−−
−−
11
11
34
23
nnn
nnn
yxy
yxx
cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình 2x2
– y2
= 1. ( )1≥n
b, Vieát quy trình aán phím lieân tuïc tính giaù trò caëp soá (xn;yn).
c, Tính caëp soá (xn;yn) vôùi n = 1, 2, 3… 13.

Giaûi
a, Chöùng minh theo phöông phaùp quy naïp:
Giaû söû n = 1 thì x1 = 3.1 + 2.1 = 5, y1 = 4.1 + 3.1 = 7 thoaõ laø nghieäm cuûa phöông trình
2x2
– y2
= 1.
Giaû söû n = 2 thì x2 = 3.5 + 2.7 = 29, y2 = 4.5 + 3.7 = 41 thoaõ laø nghieäm cuûa phöông trình
2x2
– y2
= 1.
………………
Giaû söû caëp giaù trò xn-1, yn-1 thoaõ laø nghieäm cuûa phöông trình, töùc laø 12 2
1
2
1 =− −− nn yx
Xeùt caëp giaù trò
11
11
34
23
−−
−−
+=
+=
nnn
nnn
yxy
yxx
ta coù:
( ) ( )
12
9241682418
342322
2
1
2
1
2
111
2
1
2
121
2
1
2
11
2
11
22
=−=
−−−++=
+−+=−
−−
−−−−−−−−
−−−−
nn
nnnnnnnn
nnnnnn
yx
yyxxyyxx
yxyxyx
Thoaõ maõn laø nghieäm cuûa phöông trình.
⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh.
b, Quy trình aán phím lieân tuïc treân 570MS laø:
Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha X alpha = 3 × alpha A + 2 × alpha B alpha :
alpha Y alpha = 4 × alpha A + 3 × alpha B alpha : alpha A alpha = alpha X alpha : alpha
B apha = alpha Y CALC
Maùy hoûi M? 0 =
Maùy hoûi A? 1 =
Maùy hoûi B? 1 =
= = = = = ……… =
M laø bieán ñeám giaù trò n.
c, Caùc caëp giaù trò ñöôïc tính laø:
n 1 2 3 4 5 6 7 8
xn 5 29 169 985 5741 33461 195025 1136689
yn 7 41 239 1393 8119 47321 275807 16007521
n 9 10 11 12 13
xn 6625109 38613965 225058681 1311738121 7645370045
yn 9369319 54613965 31281039 1855077841 1,081218601×1010
4.4.1: Cho daõy soá: 2
2
53
2
53
−






 −
+






 +
=
nn
nU vôùi n = 0, 1, 2, …
a, Laäp coâng thöùc truy hoài tính Un+1 theo Un vaø Un-1.
b, Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính Un+1 treân maùy tính Casio.
4.4.2: Cho U0 = 2, U1 = 10, Un+1 = 10Un – Un-1; n = 1, 2,…
a, Laäp quy trình aán phím ñeå tính Un+1.
b, Tìm coâng thöùc toång quaùt cuûa Un ( )

4.4.3: Cho daõy soá (Un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: ( ) ( )nn
nU 523523 −++=
a, Chöùng toû coâng thöùc: nnn UUU 116 12 += ++
b, Tính caùc giaù trò U9, U10.
4.4.4: Giaû söû {an} laø moät daõy soá ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
a0 = a1 = 5,
98
11 +− +
= nn
n
aa
a (n = 1, 2, 3, …) vaø
6
1+
= n
n
a
A
a, Haõy laäp moät quy trình aán phím lieân tuïc vöøa tính giaù trò cuûa an vaø An.
b, Tính an vaø nA vôùi n = 1, 2, 3, … 7.
4.4.5: Cho daõy soá
n
n
n
a
a
a
+
+
=+
1
5
1 vôùi n > 0 vaø a1 = 1.
a, Vieát quy trình aán phím treân maùy tính tính an+1.
b, Tính a4; a5; a25; a2009; a2010
4.4.6: Cho daõy soá: U1 = 144; U2 = 233; Un+1 = Un + Un-1. Tính U12, U37; U38; U39.
Vieát quy trình tìm soá haïng nhoû nhaát trong taát caû caùc soá haïng cuûa daõy soá sao cho:
2
9696
n
nUn +=
4.4.7:( ) Vôùi moãi soá nguyeân döông c, daõy soá uc ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
u1 = 1; u2 = c; ( ) ( ) 2
2
1 112 −− −−+= nnn ununu , 3≥n
Tìm nhöõng giaù trò cuûa c ñeå daõy soá coù tính chaát: uj chia heát cho ui vôùi moïi 5≤≤ ji .

5. PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân: Coù raát nhieàu phöông phaùp, döôùi ñaây laø 3 phöông phaùp
coát loõi, deã öùng duïng nhaát:
1, Phöông phaùp suy luaän:
Ta bieåu dieãn moät aån theo caùc aån khaùc, töø ñoù suy luaän ñeå phöông trình coù nghieäm nguyeân.
2, Phöông phaùp ñöa veà phöông trình tích:
Ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng moät veá laø tích cuûa caùc bieåu thöùc chöùa aån coøn veá kia laø
moät soá nguyeân.
3, Phöông phaùp vaän duïng tính chaát chia heát cuûa soá nguyeân.
Daïng 1: (Phöông trình phöùc taïp).
Tính giaù trò cuûa x töø phöông trình sau:
( ) ( )
( )
( )15,32,1
2
1
3
17
12
75,0.3,05,0:
5
3
.
3
2
5,12
5
4
.
3
2
4
3
.2,4335,015,0 22
+÷=




÷−−






++÷+ x
Giaûi
Ta chia nhoû ra töøng cuïm roài giaûi tìm x:
Veá phaûi = ( )
87
70
15,32,1
2
1
3 =+÷ shift STO A
Maãu soá = ( )
374
4291
17
12
75,0.3,05,0
5
3
.
3
2
5,12 =



÷−÷− shift STO B
Laáy: =





+÷×
5
4
.
3
2
4
3
alphaBalphaA shift STO C
Tính tieáp: 0,152
+ 0,352
= ÷ alpha C = - 4,2 = ÷ 3 (Keát quaû: 393280754,1−≈x )
Vaäy giaù trò x caàn tìm laø
5
7
.
Daïng 2: Giaûi heä cuûa phöông trình:




=+
=
32.19
681,0
22
yx
y
x
(x, y > 0)
Giaûi
Ta coù:
( ) 


=
=
⇔



=+
=
⇔




=+
=
32,19463761,1
681,0
32,19681,0
681,0
32,19
681,0
222
22 y
yx
yy
yx
yx
y
x
Do x, y > 0 neân y ≈ 3,633025743⇒ x ≈ 2,474090531
Vaäy nghieäm gaàn ñuùng (x;y) cuûa heä phöông trình laø (8,988434587;13,19887605)
Daïng 3: Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: 1=− xx
Giaûi
Ñeà tìm nghieäm gaàn ñuùng ta söû duïng chöông trình caøi saün trong maùy laø shift SOLVE.
Nhaäp vaøo maùy laø: alpha X - x alpha X alpha = 1 shift SOLVE

Maùy hoûi giaù trò gaùn X? 0 =
Nghieäm tìm ñöôïc laø: x ≈ 2,618033989
Vaäy moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình laø x = 2,618033989
Daïng 4: a, Cho phöông trình sau, tính x theo a, b (vôùi a > 0; b > 0)
xbaxba −+=+ 2
b, Aùp duïng tính x khi a = 24205; b = 25206. (Laøm troøn ñeán soá thaäp phaân thöù 7)
Giaûi
a, Ñaët y = xb (Ñieàu kieän: a > y; x > 0)
xbaxba −+=+ 2
yaya −+=+⇔ 2
2=−−+⇔ yaya {‘Caàn phaûi chuyeån veá’}
422 22
=−−⇔ yaa
2
4222 −
=−⇔
a
ya
44222
+−=−⇔ aaya
1244 −=−=⇔ aay
Vaäy:
2
12







 −
=
b
a
x
b, Khi a = 24205; b = 25206 thì x ≈ 0,0001524.
Daïng 5: (Phöông trình nghieâm nguyeân).
5.1 Tìm x, y, z nguyeân döông sao cho: 3xyz – 5yz + 3x + 3z = 5.
Giaûi
Ta coù:
( ) ( )yzzxxyz
zxyzxyz
+=++⇔
=++−
153
53353
Vì x, y, z laø nhöõng soá nguyeân döông neân:



=++
=+
5
31
zxxyz
yz
hay: 3x + z = 5
Suy ra: y =1; z = 2; x = 1.
5.2 Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa heä phöông trình:




=++
=++
60
5
35
100
z
yx
zyx
Giaûi
Ta coù:
( )
12
85
91440
5
24
2
60
5
31005
100
60
5
35
100
−
−=⇔=+⇒




=++−−
−−=
⇔




=++
=++
y
z
z
y
z
yzy
zyx
z
yx
zyx
Do x, y, z ∈ N*
neân *
12
85
N
y
∈
−

Neáu
12
85 −y
= 0 thì y =
5
8
(loaïi).
Neáu
12
85 −y
= 1 thì y = 4 => z = 90 => x = 6.
Neáu
12
85 −y
= 2 thì y = 6,4 (loaïi)
Neáu
12
85 −y
= 3 thì y = 8,8 (loaïi).
Vaäy nghieäm nguyeân cuûa phöông trình laø:





=
=
=
90
4
6
z
y
x
4.5.1: Tìm x bieát:
a,






−+
=
÷





÷−−
÷−
25,3
2
1
5.8,02,3
6
5
2
5
66
5
11
2
44
13
7,1451,4825,0.2,15 x
b, 13010137,081,17
20
1
62
8
1
.
25
3
288,1
2
1
1.
20
3
3,0
5
1
4.65,2
20
1
3
003,0
2
1
4
=÷+÷


















+






−
−
÷





−
÷





−x
4.5.2: Tìm x laøm troøn ñeán 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.
( )[ ] 1113,008,1140
30.29
1
...
2423
1
2322
1
2221
1
=−×÷+×





++
×
+
×
+
×
x
4.5.3: Tìm nghieäm cuûa phöông trình. (Tính chính xaùc)
9
8
1
2
4
4
1
3
1
2
1
8
7
1
1
2
4
1
5
4
1
2
2
4
+
+=
+
+
+
















+
+
+−












+
+ x
4.5.4: Cho hai soá döông x vaø y thoaõ maõn ñieàu kieän:




=−
=
456,2
125,1
22
yx
y
x
Haõy trình baøy lôøi giaûi tìm giaù trò cuûa x vaø y. Tìm giaù trò x, y
( )( )
( )( )
( )( )




=++
=++
=++
238
154
187
yxxz
xzzy
zyyx
vôùi x, y, z laø nhöõng soá döông.
4.5.6: Cho caùc ñieàu kieän sau:
735
zyx
== vaø 3x + 2y – 5z = 12,24. Tính x, y, z.

4.5.7: Cho phöông trình:
0122 23
=+++ nxmxx coù hai nghieäm x1 = 1; x2 = - 2. Tìm m, n vaø nghieäm coøn laïi.
4.5.8: Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình:
a, 1=− xx
b, xxx
654 =+
4.5.9: Giaûi phöông trình: ( ) ( ) 10625625 =++−
xx
4.5.10: Giaûi phöông trình sau, tính x theo a vaø b vôùi a, b > 0.
xbaxba −−+=−+ 111
Cho bieát a = 250204, b = 260204. Tính giaù trò cuûa x.
4.5.11: Giaûi phöông trình:
1133200726612178381643133200726614178408256 =+−+++−+ xxxx
4.5.12: Cho phöông trình: 0456,7125,5145,2 2
=−+ xx
a, Vieát quy trình aán phím lieân tuïc ñeå tính ∆ vaø tìm nghieäm x1, x2. (Khoâng söû duïng
chöông trình caøi saün treân maùy).
b, Khoâng giaûi phöông trình tính: 2
2
2
1
1
xx +
vaø 3
2
3
1
1
xx +
(Laáy toaøn boä keát quaû ôû maøn hình)
4.5.13: Cho phöông trình: 065,174,162,3 23
=+−− mxxx
a, Bieát phöông trình coù moät nghieäm baèng 2. Tìm m.
b, Tìm caùc nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình vôùi giaù trò cuûa m vöøa tìm ñöôïc.
4.5.14: Tìm caëp soá töï nhieân (x;y) vôùi x nhoû nhaát coù 3 chöõ soá vaø thoaõ maõn phöông trình:
x3
– y2
= xy.
4.5.15: Tìm caëp soá töï nhieân (x;y) vôùi x laø soá töï nhieân nhoû nhaát vaø thoaõ maõn phöông trình:
( ) 59522012807156 223 2
++=++ xyxx
4.5.16: Tìm taát caû caùc caëp soá nguyeân (x;y) thoaõ 1989=+ yx
4.5.17: Tìm taát caû caùc caëp soá nguyeân (x;y) thoaõ 2012=+ yx
4.5.18: Cho boán soá nguyeân, neáu coäng ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 2129, 2130, 4062, 4102.
Tìm soá lôùn nhaát cuûa caùc soá nguyeân ñoù.
4.5.19: Cho 4 soá nguyeân neáu coäng ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 180, 197, 208, 222.Tính tích
cuûa caùc soá nguyeân ñoù.
4.5.20: Cho 4 soá nguyeân neáu tích ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 336, 378, 432, 504. Tìm soá beù
nhaát trong caùc soá nguyeân ñoù.
4.5.21: Cho phöông trình: xxxx
xx −+−
+=+ 2222
66.66. .
Goïi S laø toång caùc nghieäm cuûa phöông trình. Tính S15
. (Chính xaùc)

BAØI 6. HAØM SOÁ
1. Giôùi thieäu sô ñoà Hocner:
Xeùt ña thöùc: ( ) 054
2
3
3
2
4
1
5
0 =+++++= axaxaxaxaxaPx vaø x = k laø ngieäm phöông trình thì:
x = k
a0 a1 a2 a3 a4 a5
a0 a0.k + a1 =
b0
b0.k + a2 =
b1
b1.k + a3 =
b2
b2.k + a4 =
b3
r = b3.k + a5 =
0
( ) ( )( )32
2
1
3
0
4
0 bxbxbxbxakxPx ++++−=⇒
Sô ñoà Hocner ngoaøi phaân tích ña thöùc ra coøn coù nhieàu öùng duïng khaùc nhö tìm soá dö r, tìm
heä soá cuûa thöông hai ña thöùc….
2. Ñònh lyù Buzoul:
Soá dö trong pheùp chia ña thöùc ( )xf cho nhò thöùc ( ) axg x −= laø haèng soá baèng ( )af
Daïng 1: Cho ( ) dcxbxaxxPx ++++= 234
. Bieát P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(10);
P(11); P(12); P(13).
Giaûi
Caùch 1: Ñoàng nhaát thöùc.
Ñaët ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) '1'21'321'4321 dxcxxbxxxaxxxxPx +−+−−+−−−+−−−−=
Vôùi x = 1 thì P(1) = d’ = 5
Vôùi x = 2 thì P(2) = c’ + 5 = 7 ⇒ c’ = 2
Vôùi x = 3 thì P(3) = 2b’ + 4 + 5 = 9 ⇒ b’ = 0
Vôùi x = 4 thì P(4) = 6a’ + 6 + 5 = 11 ⇒ a’ = 0
Do ñoù : ( ) ( )( )( )( ) 30483585)1(24321 234
+−+−=+−+−−−−= xxxxxxxxxPx
Vaäy giaù trò cuûa:
P(10) = 3047 P(11) = 5065
P(12) = 7947 P(13) = 11909
Caùch 2: Laäp heä phöông trình.
Ta coù: x = 1 ⇒ 1 + a + b + c + d = 0 (1)
x = 2 ⇒ 16 + 8a + 4 b + 2c + d = 7 (2)
x = 3 ⇒ 81 + 27a + 9b + 3c + d = 9 (3)
x = 4 ⇒ 256 + 64a + 16b + 4c + d =11 (4)
Töø (1) ⇒ d = 4 – a – b – c thay vaøo phöông trình (2), (3), (4). Ta ñöôïc:
27
48
35
10
24931563
762826
1337
=⇒





−=
=
−=
⇔





−+++
−=++
−=++
d
c
b
a
cba
cba
cba
Do ñoù : ( ) ( )( )( )( ) 30483585)1(24321 234
+−+−=+−+−−−−= xxxxxxxxxPx
Vaäy giaù trò cuûa: P(10) = 3047 P(11) = 5065
P(12) = 7947 P(13) = 11909
Caùch 3: Tìm quy luaät soá dö.
Ta coù: 5 = 2.1 + 3 7 = 2.2 + 3

9 = 2.3 + 3 11 = 2.4 + 3
⇒ 5, 7, 9, 11 laø giaù trò cuûa 2x + 3 khi x chaïy töø 1 ñeán 4.
P(1) – 2.1 + 3 = 0 P(2) – 2.2 + 3 = 0
P(3) – 2.3 + 3 = 0 P(4) – 2.4 + 3 = 0
Ñaët Q(x) = P(x) – (2x + 3)
⇒ Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)
Suy ra: ( ) ( ) ( )( )( )( ) 30483585)1(2432132( 234
+−+−=+−+−−−−=++= xxxxxxxxxxQP xx
Vaäy giaù trò cuûa:
P(10) = 3047 P(11) = 5065
P(12) = 7947 P(13) = 11909
Nhaän xeùt veà 3 caùch laøm: Caùch 1 vaø 2 thì chæ söû duïng ñöôïc cho giaù trò cuûa ña thöùc lôùn hôn
hoaëc baèng baäc cuûa ña thöùc ñoù. Caùch 3 ta khoù tìm ñöôïc quy luaät soá dö. Trong 3 caùch treân thì
hoïc caàn naém vöõng caùch 1 deã öùng duïng vaøo baøi taäp, khoâng gaây phöùc taïp.
Daïng 2: Cho phöông trình : 968034218 2345
−+−+− xxxxx . Haõy phaân tích ña thöùc naøy thaønh
nhaân töû.
Giaûi
Phaân tích ñeà: Ñeå phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töø thì ta caàn phaûi tìm nghieäm cuûa chuùng maø
ñaây laø moät phöông trình baäc 5 trong maùy tính khoâng giaûi ñöôïc. Baøi naøy caàn aùp duïng caùch doø
tìm nghieäm SOLVE + sô doà Hocner.
Ta ñaët: 0968034218 2345
=−+−+− xxxxx vaø tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy baèng
chöông trình SLOVE. Nhaäp ña thöùc 968034218 2345
−+−+− xxxxx vaøo maùy vaø nhaán tieáp shift
SOLVE. Keát quaû cho x = 2.
Tieáp theo caàn phaûi söû duïng sô ñoà Hocner ñeå haï baäc ña thöùc.
x = 2
1 -8 21 -34 80 -96
1 1.2 + (-8)
= -6
-6.2 + 21
= 9
9.2 + (-34)
= -16
-16.2 + 80
= 48
r = 48.2 + (-96)
= 0
( ) ( )( )4816962 234
+−+−−=⇒ xxxxxf x
Nhaäp ña thöùc( )481696 234
+−+− xxxx vaøo maùy roài nhaán tieáp shift SOLVE. Keát quaû cho x = 4
Duøng sô ñoà Hocner haï baäc tieáp.
x = 4
1 -6 9 -16 48
1 1.4 + (-6) = -2 -2.4 + 9 = 1 1.4 + (-16) = -12 r = -12.4 + 48 = 0
( ) ( )( )( )12242 23
−+−−−=⇒ xxxxxf x
Baäc cao nhaát baây giôø chæ laø baäc 3. Ta chæ vieäc giaûi nghieäm trong EQN.
Keát quaû coù 1 nghieäm baèng 3 vaø 2 nghieäm kia thuoäc soá phöùc. Trong chöông trình caáp II ta
khoâng ñeà caäp tôùi. Chæ hieåu laø voâ nghieäm.
Duøng Hocner haï baäc tieáp.
x = 3
1 -2 1 -12
1 1.3 + (-2) = 1 1.3 + 1 = 4 4.3 + (-12) = 0
Vaäy: ( ) ( )( )( )( )4432 2
++−−−= xxxxxf x

Chuù yù: Khi söû duïng shift SOLVE ñeå doø tìm nghieäm thì giaù trò nghieäm khoâng tuaân thuû theo thöù
töï naøo caû, coù khi ta khoâng tìm thaáy nghieäm vì giaù trò gaùn. Khi ta nhaäp ña thöùc ñeà baøi
968034218 2345
−+−+− xxxxx maø gaùn bieán x laø 0 thì seõ tìm ra nghieäm laø x = 2. Gaùn x laø 6
thì tìm ra nghieäm laø x = 4. Vì vaäy moät soá baøi ta choïn giaù trò gaùn cho phuø hôïp.
Daïng 3: Cho mxxxPx +−−= 1676 23
)( .
Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa m ñeå P(x) chia heát cho 2x + 3.
Giaûi
Ñeå P(x) chia heát cho 2x + 3 thì 0
2
3 =−P neân:
0
2
3
.16
2
3
.7
2
3
.6
23
=+




 −
−




 −
−




 −
m
⇒ m = 12.
Vaäy m = 12 thì P(x) chia heát cho 2x + 3.
Giaûi thích: P(x) chia heát cho 2x + 3 thì P(x) = Q(x).(2x + 3)
Khi
2
3−
=x thì Q(x).(2x + 3) = 0 ⇒ 0
2
3 =−P
Daïng 4: Tìm soá dö trong pheùp chia: ( )20573 23
−+−= xxxPx cho (4x – 5)
Giaûi
Soá dö r trong pheùp chia Px cho (4x – 5) laø:
64
1205
20
4
5
.5
4
5
.7
4
5
.3
23
4
5 −=−+





−





== Pr
Vaäy soá dö:
64
1205
−=r
Giaûi thích: Px chia cho (4x – 5) thì Px = Qx(4x – 5) + r
Khi
4
5
=x thì Qx(4x – 5) = 0
4
5Pr =⇒
Daïng 5: Tìm phaàn dö khi chia ña thöùc 12 51100
+− xx cho 12
−x .
Giaûi
Goïi thöông cuûa pheùp chia 12 51100
+− xx cho 12
−x laø moät ña thöùc Q(x) phaàn dö laø (ax + b).
Ta coù: 12 51100
+− xx = )1( 2
−x .Q(x) + (ax + b). (*)
Thay x = 1 vaø x = -1 vaøo (*) ta coù:



=
−=
⇔



+−=
+=
2
2
4
0
b
a
ba
ba
Vaäy phaàn dö cuûa pheùp chia ña thöùc 12 51100
+− xx cho 12
−x laø -2x + 2
Löu yù: Ña thöùc chia laø moät ña thöùc baäc hai neân phaàn dö cuûa pheùp chia laø ña thöùc baäc nhaát.
Vaäy ña thöùc chia laø moät ña thöùc n thì phaàn dö cuûa pheùp chia ña thöùc laø moät ña thöùc baäc n-1.
Daïng 6: Cho ña thöùc: ( ) 125
++= xxf x coù 5 nghieäm laø x1, x2, x3, x4, x5. Kí hieäu ( ) 812
−= xp x .
Haõy tìm tích: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 xxxxx pppppP =
Giaûi

Ta coù: ( ) 125
++= xxf x coù 5 nghieäm laø x1, x2, x3, x4, x5 neân
( ) ( )( )( )( )( )54321
25
1 xxxxxxxxxxxxf x −−−−−=++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( ) [ ]( ) ( )[ ] 3486777677199.199.
9999999999
9999999999
8181818181
2525
99
5432154321
5544332211
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1154321
−=+−+−++==
−−−−−−−−−−−−−−−=
+−+−+−+−+−−=
−−−−−==
−ff
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxpppppP
Vaäy 3486777677−=P
Baøi taäp töï luyeän.
4.6.1: Cho phöông trình 0123
=−++ bxaxx .
Tìm a, b ∈ Q. Bieát phöông trình coù hai nghieäm laø



=++
=++
0753
0357
21
21
xx
xx
.
4.6.2: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû:
a, 3222 234
−++− xxxx
b, 101432 234
+−−− xxxx
4.6.3: Vôùi a laø soá nguyeân.
a, Chöùng minh raèng: ( ) 968034218 2345
−+−+−= aaaaaPa chia heát cho 6 vôùi moïi a∈ Z.
b, Tìm soá dö trong pheùp chia P(a) : (a – 2,652).
c, Tìm heä soá cuûa a2
trong ña thöùc thöông cuûa pheùp chia treân.
4.6.4: Tìm soá dö trong pheùp chia:
a,
318,2
319,4458,6857,1723,6 235
+
+−+−
x
xxxx
b, 194,3568,4581,7834,7 235
+−+− xxxx cho (x – 2,652).
4.6.5: Tìm thöông vaø soá dö trong pheùp chia:
2x6
+ x5
– 3x2
+ 1 cho (x – 7)
4.6.6: Cho ña thöùc ( ) edxcxbxaxxf x +++++= 2345
.
Bieát f(1) = 5; f(2) = 5; f(3) = 9; f(4) = 17; f(5) = 29. Tính f(6); f(7); f(8); f(9); f(10); f(11).
4.6.7: Xaùc ñònh caùc heä soá a, b, c cuûa ña thöùc:
( ) 201023
−++= cxbxaxPx ñeå P(x) chia cho (x – 13) coù soá dö laø 1, chia cho (x – 3) coù soá dö laø
2 vaø chia cho (x – 14) coù soá dö laø 3. (Keát quaû laáy 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).
4.6.8: Cho
201010
;
20100201010
599603735
223
2
+
+
+
−
=
−+−
+−
=
x
cbx
x
a
Q
xxx
xx
P
a, Tính giaù trò cuûa P khi
2010
2009
−=x (Laøm troøn 4 chöõ soá thaäp phaân).
b, Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b, c thì P = Q ñuùng vôùi moïi x thuoäc taäp xaùc ñònh.
4.6.9: Cho ña thöùc: ( ) mxxxxPx ++−−= 106194 234
. Tìm m ñeå P(x) chia heát cho 1522
−+ xx .
4.6.10: Cho ña thöùc: ( ) xxxxxPx
35
32
63
82
30
13
21
1
630
1 3579
+−+−=
a, Tính giaù trò cuûa P(x) khi x = -4, -3, -2, ….. 3, 4.
b, Chöùng minh raèng P(x) nhaän giaù trò nguyeân vôùi moïi x nguyeân.

7. TOAÙN ÑOÁ
Daïng 1:(Laõi keùp) Moät ngöôøi göûi vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø a ñoàng vôùi laõi suaát laø m%
moät thaùng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn laõi ra. Hoûi cuoái thaùng thöù n ngöôøi aáy nhaän ñöôïc
bao nhieâu tieàn caû goác laãn laõi?
Giaûi
Sau 1 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a + a.m% = a.(1 + m%)
Sau 2 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1 + m%) + a.(1 + m%).m%
=a.(1 + m%)2
Sau 3 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1 + m%)2
+ a.(1 + m%)2
.m%
=a.(1+m%)3
…………………………………
Sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1+m%)n
Daïng 2:(Göûi coäng doàn) Moät ngöôøi göûi haøng thaùng vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø a ñoàng vôùi
laõi suaát laø m% moät thaùng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn laõi ra. Hoûi cuoái thaùng thöù n ngöôøi
aáy nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãn laõi?
Giaûi
Sau 1 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a + a.m% = a.(1 + m%)
Sau 2 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(2 + m%) + a(2 + m%).m%
= a.(2 + m%)(1+m%)
( ) ( )[ ]
%
1%1.%1
2
m
mma −++
=
Sau 3 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø:
( ) ( )[ ] a
m
mma
+
−++
%
1%1.%1
2
+
( ) ( )[ ] %).
%
1%1.%1
(
2
ma
m
mma
+
−++
=
( ) ( )[ ]
%
1%1.%1
3
m
mma −++
=
……………………………
Sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø:
( ) ( )[ ]
%
1%1.%1
m
mma
n
−++
Daïng 3: Moät ngöôøi mua moät moùn ñoà vôùi soá tieàn laø A ñoàng vaø traû goùp haøng thaùng vôùi soá tieàn
laø a ñoàng, laõi suaát laø m%/thaùng. Hoûi sau bao laâu ngöôøi ñoù traû heát tieàn.
Giaûi
Sau 1 thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø: (A – a).(m% + 1) = A(m% +1) - a(m% + 1)
Sau 2 thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø: [A(m% +1) – a(m% + 1) - a ].(m% + 1)
= A.(m%+1)2
– a[(m% + 1)2
+(m% + 1)]
Sau 3 thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø:{A.(m% + 1)2
– a[(m%+1)2
+(m%+1)] - a}.(m% +1)

= A.(m% +1)3
– a[(m% + 1)3
+(m% + 1)2
+(m% + 1)]
=
( ) ( )
%
1%1%
.)1%.(
4
3
m
mm
amA
+−+
−+
……………………………
Sau n thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø:
( ) ( )
%
1%1%
.)1%.(
1
m
mm
amA
n
n +−+
−+
+
Khi ngöôøi aáy traû heát nôï töùc laø:
( ) ( ) 0
%
1%1%
.)1%.(
1
=
+−+
−+
+
m
mm
amA
n
n
Daïng 4: Moät ngöôøi ñöôïc laõnh löông khôûi ñieåm laø a ñoàng/thaùng. Cöù t thaùng (1 baäc) anh ta laïi
ñöôïc taêng löông theâm m%. Hai sau nt thaùng (n baäc) laøm vieäc anh ta ñöôïc lónh taát caû bao
nhieâu tieàn.
Giaûi
Sau t thaùng soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø: a.t
Sau 2t thaùng soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø: a.t + a.t(1 + m%) = a.t(2 + m%)
=
( )





 −+
%
1%1
..
2
m
m
ta
Sau 3t thaùng soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø:
( ) ( )2
2
%1.
%
1%1
.. mta
m
m
ta ++




 −+
=
( )





 −+
%
1%1
..
3
m
m
ta
…………………………
Sau n baäc soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø:
( )





 −+
%
1%1
..
m
m
ta
n
Chuù yù: Ñaây laø 4 daïng baøi taäp hay ra trong thi (Nhaát laø daïng 1,2). Phía treân laø trình baøy döôùi
daïng toång quaùt. Khi laøm baøi neân löu yù ñoïc kó ñeà baøi xem coù yeâu caàu trình bay töôøng böôùc
khoâng! Ña soá caùc baøi taäp thì chæ caàn ta thuoäc coâng thöùc vaø aùp duïng vaøo laø xong.
Daïng 5: Daân soá xaõ Haäu Laïc hieän nay laø 10 000 ngöôøi. Ngöôøi ta dö tính 2 naêm nöõa daân soá xaõ
Haäu Laïc laø 10 404 ngöôøi.
Hoûi trung bình moãi naêm daân soá xaõ Haäu Laïc taêng bao nhieâu phaàn traêm.
Hoûi sau 10 naêm nöõa daân soá xaõ Haäu Laïc laø bao nhieâu?
Giaûi
Caùch 1: Goïi x% laø tæ leä phaàn traêm taêng daân soá trung bình moãi naêm.
Daân soá xaõ Haäu Laïc sau 1 naêm laø:
.1001000010000.
100
10000 x
x
+=+
Daân soá xaõ Haäu Laïc sau hai naêm laø:
( ) 104042001000010010000
100
10010000 2
=++=+++ xxx
x
x

Giaûi phöông trình ta coù: x1 = 2, x2 = -202 (loaïi).
Vaäy tæ leä gia taêng daân soá cuûa xaõ Haäu Laïc laø 2%.
Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc:
Daân soá sau n naêm laø: a(1 + m%)n
.
Trong ñoù: a laø soá daân hieän taïi, m% tæ leä gia taêng daân soá.
( ) %210404%1.10000
2
=⇒=+ mm
b, AÙp duïng coâng thöùc:
Ta coù daân soá xaõ Haäu Laïc sau 10 naêm laø: ( ) 12190%21.10000
10
≈+ (ngöôøi)
Daïng 6: Boán ngöôøi goùp voán buoân chung. Sau 5 naêm, toång soá tieàn laõi nhaän ñöôïc laø 9 902 490
255 ñoàng vaø ñöôïc chia theo tæ leä giöõa ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai laø 2:3, tæ leä giöõa ngöôøi
thöù hai vaø ngöôøi thöù ba laø 4:5, tæ leä giöõa ngöôøi thöù ba vaø ngöôøi thöù tö laø 6:7. Hoûi soá tieàn moãi
ngöôøi nhaän ñöôïc laø bao nhieâu?
Giaûi
Phaân tích: Baøi naøy ta goïi 4 aån roài giaûi phöông trình 4 aån cuõng seõ ra. Nhöng ñeå ñôn giaûn ta
goïi 1 aån, roài bieåu dieãn caùc giaù trò coøn laïi theo aån naøy, giaûi seõ nhanh hôn.
Goïi soá tieàn laõi maø ngöôøi thöù nhaát nhaän ñöôïc laø: a (Ñieàu kieän : 0 < a < 9 902 490 255)
Soá tieàn ngöôøi thöù hai nhaän ñöôïc laø:
2
3a
Soá tieàn ngöôøi thöù ba nhaän ñöôïc laø:
8
15
4
5
.
2
3 aa
=
Soá tieàn ngöôøi thöù tö nhaän ñöôïc laø:
16
35
6
7
.
8
15 aa
=
Giaû laïi: a +
2
3a
+
8
15a
+
16
35a
= 9 902 490 255
⇒ a = 1.508.950.896
Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù nhaát laø: 1 508 950 896 ñoàng
Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù hai laø: 2 263 426 344 ñoàng.
Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù ba laø: 2 829 282 930 ñoàng.
Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù tö laø: 3 300 830 085 ñoàng.
Daïng 7: Moät ngöôøi döï ñònh boû thoùc vaøo 20 oâ theo nguyeân taéc: OÂ thöù nhaát boû 1 haït thoùc, oâ
thöù hai boû 3 haït thoùc, oâ thöù ba boû 9 haït thoùc, oâ thöù tö boû 27 haït thoùc … cho ñeán oâ thöù 20. Baïn
haõy giuùp ngöôøi ñoù tính soá thoùc caàn vöøa ñuû ñeå boû thoùc theo nguyeân taéc treân.
Giaûi
Soá thoùc caàn coù ñeå ñaùp öùng ñuùng caùch boû theo nguyeân taéc treân laø:
1743392200
2
13
33331
20
1932
=
−
=++++ (haït thoùc)
Daïng 8.1: Moät nguôøi baùn moät vaät trò giaù 32 000 000 ñoàng. Ngöôøi ñoù ghi giaù baùn, ñònh thu lôïi
10% giaù ôû treân. Tuy nhieân oâng ta ñaõ haï giaù 0,8% so vôùi döï ñònh. Tìm:
a, Giaù ñeà baùn.
b, Giaù baùn thöïc teá.
c, Soá tieàn maø oâng ta ñuôïc laõi.

Giaûi
a, Giaù ñeà baùn: 32 000 000 + 32 000 000 × 10% = 35 200 000 ñoàng.
b, Giaù baøn thöïc teá: 35 200 000 – 35 200 000 × 0,8% = 34 918 400 ñoàng.
c, Soá tieàn laõi maø oâng ta thu ñöôïc laø: 34 918 400 – 32 000 000 = 2 918 400 ñoàng.
Daïng 8.2: Moät ngöôøi baùn leû mua moät moùn haøng vôùi giaù 24.000 ñoàng giaûm 12,5%, sau ñoù
ngöôøi baùn haøng vôùi soá tieàn lôøi baèng %
3
1
33 giaù voán sau khi ñaõ giaûm bôùt 20% giaù nieâm yeát.
Hoûi anh ta ñaõ nieâm yeát moùn haøng ñoù giaù bao nhieâu?
Giaûi
Phaân tích ñeà: Ñoïc coù veû phöùc taïp nhöng chæ caàn tính töø töø töøng böôùc laø ra ñöôïc ñaùp aùn.
Ngöôøi baùn leû ñaõ mua maùn haøng ñoù giaù: ( ) 21000%5,121.24000 =− (ñoàng)
Tieàn laõi maø ngöôøi naøy thu ñöôïc sau khi baùn moøn haøng laø: 7000%
3
1
33.21000 = (ñoàng)
Giaù tieàn maø ngöôøi baùn leû naøy nieân yeát laø: 35000
%201
700021000
=
−
+
(ñoàng)
Daïng 9: Ñeå laøm xong moät moät caùi chieáu, anh Hai laøm moät mình heát 4,5 (giôø), chò Ba laø moät
mình maát 3 giôø 15 phuùt. Hoûi hai ngöôøi laøm chung thì maát maáy giôø ñeå xong 5 caùi chieáu.
Giaûi
Goïi thôøi gian hai ngöôøi laøm chung thì xong moät caùi chieáu laø x.
''55,13'5311
4
1
3
1
5,4
1
. h
xx =⇔=












+
Vaäy thôøi gian hai ngöôøi laøm chung xong 5 caùi chieáu laø 5 × 1h
53’14’’ = 9h
26’10’’.
4.7.1: Coâ Anh göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø 20 000 000 ñoàng vôùi laõi suaát laø
0,8% moät thaùng (laõi keùp). Hoûi sau troøn 5 naêm soá tieàn trong soå tieát kieäm cuûa coâ laø bao nhieâu
(Chính xaùc ñeán haøng ñôn vò).
4.7.2: Coâ Haïnh göûi haøng thaùng vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø 1 000 000 ñoàng vôùi laõi xuaát laø
0,8%. Sau 12 thaùng coâ Haïnh nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn laõi? (Chính xaùc ñeán haøng ñôn vò).
4.7.3: Coâ Haïnh ñöôïc laõnh löông khôûi ñieåm laø 1700 000 ñoàng/thaùng. Cöù 1 naêm thaày laïi ñöôïc
taêng löông theâm 7%. Hai sau 12 naêm daïy hoïc thaày ñöôïc lónh taát caû bao nhieâu tieàn. (Laáy chính
xaùc ñeán haøng ñôn vò)
4.7.4: Thaày Quyù göûi moät soá tieàn 58 000 USD ñöôïc göûi tieát kieäm theo laõi suaát keùp. Sau 25
thaùng thì soá tieàn caõ voán laãn laõi laø 84 155 ñoâ la. Tính laõi suaát.
4.7.5: a, Thaày Loäc göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng 10.000 USD theo möùc kì haïn laø 6 thaùng vôùi
laõi suaát 2,5%/kì. Hoûi sau 10 naêm thaày nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goùc laãn laõi ôû ngaân haøng.
Bieát raèng thaày khoâng ruùt laõi ôû taát caû caùc kì.

b, Neáu vôùi soá tieàn treân thaày göûi tieát kieäm theo möùc kì haïn laø 3 thaùng vôùi laõi suaát 1,2%/kì thì
sau 10 naêm thaày nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãm laõi ôû ngaân haøng. Bieát raèng thaày khoâng
ruùt laõi ôû taát caû caùc ñònh kì.(Taát caû laøm troøn ôû haøng ñôn vò).
4.7.6: Anh Nam muoán sau 2 naêm phaûi coù 450 000 000 ñoàng ñeå mua moät ngoâi nhaø. Hoûi haøng
thaùng anh Nam phaûi göûi vaøo ngaân haøng noät khoaûn tieàn nhö nhau laø bao nhieâu? Bieát laõi xuaát
tieát kieäm laø 0.35%/thaùng. (Laáy chính xaùc ñeán haøng ñôn vò).
4.7.7: Thaày Cöông mua moät maûnh ñaát treân Gia Lai trò giaù 200 000 000 ñoàng. Theo phöông
thöùc traû goùp haøng thaùng:
a, Neáu oâng ta chòu laõi suaát 0,4%/thaùng vaø moãi thaùng phaûi traû 20 000 000 ñoàng. Hoûi sau
bao laâu oâng ta traû heát tieàn.
b, Neáu moãi thaùng phaûi traû 30 000 000 ñoàng trong voøng 9 thaùng. Hoûi laõi suaát haøng thaùng
oâng ta phaûi chòu laø bao nhieâu?
4.7.8: OÂng Hai Luùa coù 100 000 USD muoán göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng trong khoaûng 10 naêm.
Coù 2 ngaân haøng cho oâng Hai löïa choïn laø: Ngaân haøng An Phuù vôùi traû laõi suaát 5%/naêm. Ngaân
haøng Taân Lôïi traû laõi suaát %
12
5
/thaùng. OÂng Hai khoâng bieát löïa choïn ngaân haøng naøo ñeå coù lôøi
nhieàu hôn heát? Baïn giuùp oâng Hai choïn ngaân haøng coù laõi nhieàu hôn.
4.7.9: Laõi suaát tieàn laõi göûi tieát kieäm cuûa moät ngaân trong moät thôøi gian thay ñoåi lieân tuïc. Anh
Lòch göûi soá tieàn ban ñaàu laø 5 trieäu ñoàng vôùi laõi suaát 0,7%/thaùng chöa ñaày moät naêm, thì laõi
suaát taêng leân 1,15%/thaùng trong nöõa naêm tieáp theo vaø anh Lòch tieáp tuïc göûi; sau nöûa naêm ñoù
laõi suaát giaûm xuoáng coøn 0,9%/thaùng, anh Lòch tieáp tuïc göûi theâm moät soá thaùng troøn nöõa, khi
ruùt tieàn anh Lòch ñöôïc taát caû voán laãn laõi laø 5 747 478,359 ñoàng. Hoûi anh Lòch ñaõ göûi tieát kieäm
trong bao nhieâu thaùng?
4.7.10: Daân soá cuûa moät nöôùc laø 65 trieäu ngöôøi, möùc taêng daân soá trong moät naêm laø 1,2%.
a, Vieát coâng thöùc tính daân soá sau n naêm.
b, Vieát quy trình aán phím tính daân soá sau 20 naêm.
c, Daân soá nöôùc ñoù sau n naêm seõ vöôït 100 trieäu. Tìm soá n beù nhaát.
4.7.11: Saùu ngöôøi goùp voán môû moät cöûa haøng kinh doanh. Sau moät thôøi gian, soá tieàn laõi thu
ñöôïc laø 9 876 543 210 ñoàng vaø chia ra theo tæ leä giöõa ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai laø 1 : 2,
ngöôøi thöù hai vaø ngöôøi thöù ba laø 3 : 4, ngöôøi thöù ba vaø ngöôøi thöù tö laø 5 : 6, ngöôøi thöù tö vaø
ngöôøi thöù naêm laø 7 : 8, ngöôøi thöù naêm vaø ngöôøi thöù saùu laø 9 : 10. Hoûi soá tieàn laõi cuûa moãi
ngöôøi sau khi chia ra laø bao nhieâu? (Laáy chính xaùc ñeán haøng ñôn vò)
4.7.12: Ñeå ñaép moät con ñeâ, ñòa phöông ñaõ huy ñoäng 4 nhoùm ngöôøi goàm: hoïc sinh, noâng daân,
coâng nhaân vaø boà ñoäi.
Thôøi gian laø vieäc nhö sau (Giaû söû thôøi gian laøm vieäc cuûa moãi ngöôøi trong moät nhoùm laø nhö
nhau). Nhoùm boà ñoäi moãi ngöôøi laøm vieäc 7 giôø; nhoùm coâng nhaân moãi ngöôøi laøm vieäc 4 giôø;
nhoùm noâng daân moãi ngöôøi laøm vieäc 6 giôø vaø nhoùm hoïc sinh moãi em laøm vieäc 0,5 giôø. Ñòa
phöông cuõng ñaõ chi tieàn boài döôõng nhö nhau cho töøng ngöôøi trong moät nhoùm theo caùch:
Nhoùm boà ñoäi moãi ngöôøi nhaän 50 000 ñoàng; nhoùm coâng nhaân moãi ngöôøi nhaân 30 000 ñoàng;
nhoùm noâng daân moãi ngöôøi nhaân 70 000 ñoàng vaø nhoùm hoõc sinh moãi em ñöôïc nhaän 2 000
ñoàng. Cho bieát:
Toång soá ngöôøi cuûa 4 nhoùm laø 100 ngöôøi.

Toång thôøi gian laøm cuûa cuûa boán nhoùm laø 488 giôø.
Toång soá tieàn cuûa boán nhím nhaän laø 5 360 000 ñoàng.
Tìm soá ngöôøi trong töøng nhoùm laø bao nhieâu ngöôøi.
4.7.13: Moät hình vuoâng ñöôïc chia thaønh 16 oâ (Moãi caïnh 4 oâ). OÂ thöù nhaát ñöôïc ñaët 1 haït thoùc,
oâ thöù hai ñöôïc ñaët 4 haït thoùc, oâ thöù ba ñöôïc ñaët 16 haït thoùc… vaø ñaët lieân tieáp nhö vaäy ñeán oâ
cuoái cuøng theo quy luaät laø oâ tieáp theo gaáp 4 laàn oâ tröôùc. Tính toång haït thoùc ñöôïc ñaët vaøo 16 oâ
cuûa hình vuoâng.
4.7.14: Lòch söû keå laïi raèng: Coù moät ngöôøi ôû Hy Laïp ñaõ nghó ra troø chôi côø vua. Ñöôïc nhaø vua
raát thích vaø ban thöôûng cho ngöôøi ñaõ phaùt minh ra. Khi ñöôïc nhaø vua ban thöôûng oâng ta muoán
coù nhieàu thoùc vaø soá thoùc ñaët theo quy luaät laø: OÂ thöù nhaát baøn côø ñöôïc ñaët 1 haït thoùc, oâ thöù hai
baøn côø ñöôïc ñaët 2 haït thoùc, oâ thöù ba baøn côø ñöôïc ñaët 4 haït thoùc… vaø ñaët lieân tieáp nhö vaäy
ñeán oâ cuoái cuøng (OÂ tieáp theo gaáp ñoâi oâ tröôùc). Bieát raèng baøn côø vua coù 64 oâ. Nhaø vua cöôøi
mæn, khoâng suy nghó nhieàu nhaø vua lieàn ñoàng yù vaø ra leänh cho cho caùc quan tính soá thoùc
thöôûng cho oâng ta. Nhöng khi nghe soá thoùc phaûi thöôûng thì nhaø vua giaät mình khoâng bieát taïi
sao? Baïn thöû tính soá thoùc caàn thöôûng xem taïo sao nhaø vua laïi giaät mình.
4.7.15: Moät ngöôøi boû bi vaøo hoäp theo quy taéc: ngaøy ñaàu 1 vieân, ngaøy sau boû gaáp ñoâi ngaøy
tröôùc ñoù. Cuøng luùc ñoù cuõng laáy bi ra khoûi hoäp theo nguyeân taéc: ngaøy ñaàu vaø ngaøy thöù hai laáy
1 vieân, ngaøy thöù ba trôû ñi moãi ngaøy laáy ra soá bi baèng toång hai ngaøy tröôùc ñoù.
Tính soá bi coù ñöôïc sau 15 ngaøy.
Ñeå soá bi trong hoäp lôùn hôn 1000 caàn bao nhieâu ngaøy?

BAØI 8. THOÁNG KEÂ
Ghi nhôù: Phöông sai baèng bình phöông ñoä leäch tieâu chuaån. Trong maùy chæ coù haøm ñoä leäch
chuaån, ñeå tính phöông sai ta tính ñoä leäch chuaån sau ñoù bình phöông.
Daïng 1: Cho baûng ñieåm cuûa caùc baïn trong lôùp 12A2 moân Toaùn nhö sau:
Ñieåm 4 6 7 8 9 10
Taàn soá 1 5 9 20 3 1
Tính x vaø phöông sai.
Giaûi
Quy trình aán phím treân maùy fx 570MS:
Vaøo mode (SD): mode mode 1
Nhaäp döõ lieäu vaøo maùy:
4 DT
6 shift ; 5 DT
7 shift ; 9 DT
8 shift ; 20 DT
9 shift : 3 DT
10 shift ; 1 DT
Shift 1 2 ( x ) = (Keát quaû: 7,538461538)
Shift 2 2 ( χση ) x2
= (Keát quaû: 1,120315582)
Vaäy soá trung bình ≈7,538461538 vaø phöông sai ≈1,120315582.
4.8.1: Ñieåm moân Toaùn cuûa 12 hoïc sinh trong toå 1 nhö sau:
3,4; 3,6; 4,5, 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6; 6,4; 7,2; 7,8
Tính ñieåm trung bình toång keát moân toaùn cuûa toå ñoù.
Tính ñoä leäch tieâu chuaån vaø phöông sai ñoái vôùi toå ñoù. (Taát caû laøm troøn 2 chöõ soá thaäp phaân).
4.8.2: Cho baûng soá lieäu:
Bieán löôïng 173 52 81 37
Taàn soá 3 7 4 5
Tìm soá trung bình vaø phöông sai (Keát quaû laáy 6 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân)
4.8.3: Cho baûng soá lieäu:
Bieán löôïng 7 4 15 17 63
Taàn soá 2 1 5 9 14
Tính soá trung bình vaø phöông sai. (Keát quaû laøm troøn 4 chöõ soá thaäp phaân).

BAØI 9. SOÁ HOÏC
1. DAÁU HIEÄU CHIA HEÁT:
Chia heát 2 laø soá taïn cuøng laø chöõ soá chaün (0, 2, 4, 6, 8).
Chia heát cho 3 laø soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 3.
Ví duï: 123 coù toång caùc chöõ soá: 312336321 MM ⇒=++
Chia heát cho 4 laø soá coù 2 chöõ soá taän cuøng chia heát cho 4.
Ví duï: 128, hai chöõ soá taïn cuøng laø: 4128428 MM ⇒
Chia heát cho 5 laø soá coù taän cuøng laø: 0 hoaëc 5.
Chia heát cho 6 laø soá vöøa chia heát cho 2 vaø vöøa chia heát cho 3.
Chia heát cho 9 laø soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 9.
Chia heát cho 10 laø soá coù taän cuøng laø 0.
Chia heát cho 11 laø nhöõng soá coù toång caùc chöõ soá ôû vò trí leõ baèng toång nhöõng chöõ soá ôû vò
trí chaün.
2. ÑÒNH NGHÓA VAØ TÍNH CHAÁT QUAN TROÏNG CUÛA ÑOÀNG DÖ THÖÙC:
Ñònh nghóa: Cho a, b laø caùc soá ngyueân vaø n laø soá nguyeân döông. Ta noùi, a ñoàng dö vôùi b
theo modum n vaø kí hieäu laø ( )nba mod≡ neáu a, b cuøng coù soá dö khi chia cho n.
ÖÙng duïng cuûa ñoàng dö thöùc laø tìm caùc chöõ soá taän cuøng hoaëc tìm soá dö. Ñeå laøm ñöôïc baøi
taäp ta phaûi naém moät soá tính chaát sau ñeå öùng duïng:
Tính chaát 1:
( ) ( ) Zcncbcanba ∈∀+≡+⇒≡ ,modmod
( ) ( )nbcacnba modmod ≡⇒≡
( ) ( ) 1,modmod ≥∀≡⇒≡ knbanba kk
Tính chaát 2: Soá coù taän cuøng laø 9376 hay 0625 khi luyõ thöøa leân baäc baát kì cuõng ñöôïc soá taän
cuøng laø chính noù. (Ta cuõng coù theå suy ra ñöôïc soá 376, 76, 6, 625, 25, 5 cuõng coù tính chaát töông
töï nhöng chæ xeùt 3, 2 hay 1 chöõ soá).
Ngoaøi ra coøn coù moät soá tính chaát khaùc:
( ) anaa ∀≡ ,mod
( ) ( )nabnba modmod ≡⇒≡
( ) ( ) ( )ncancbnba modmod,mod ≡⇒≡≡
( ) ( ) ( )nbancvanbcac mod1,`mod ≡⇒=≡
( ) ( )( )0mod >≡+ aabba nn
3. TÌM ÖCLN VAØ BCNN:
( ) ( )
( )BA
BABA
UCLN
BA
bABCNN
a
A
UCLN
b
a
B
A
,
,,
.
.; ===⇒=
4. PHAÂN TÍCH MOÄT SOÁ RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ:
Caùch phaân tích:
Ta tính caên baäc hai (SQRT) cuûa soá ñoù: NkkA ∈≈ ,
Chia soá ñoù cho soá 2 vaø caùc soá leõ 3, 5, 7, 9… beù hôn A . (Hieåu laø chia cho caùc soá
nguyeân toá beù hôn A )

Ví duï: Phaân tích 1035 ra thöøa soá nguyeân toá.
Ta coù: 321035 ≈
Thöïc hieän pheùp chia thöû:
Soá 1035 khoâng chia heát cho 2.
Laáy 1035 chia cho 3 ñöôïc 345.
Soá 115 khoâng chia heát cho 3.
Vaäy 1035 = 2.3.3.23
Daïng 1: Tìm soá dö trong pheùp chia:
1234567890987654321 : 123456
Giaûi
Ta thöïc hieän tìm soá dö cuûa 123456789 : 123456 laø 789
Tìm tieáp soá dö cuûa: 7890987 ÷ 123456 laø 113259
Tìm tieáp soá dö: 113259654 ÷ 123456 laø 50502
Soá dö cuoái cuøng laø: 50502321 ÷ 123456 laø 8817
Vaäy soá dö laø : 8817
Daïng 2: Tìm soá dö cuûa 22010
chia cho 9.
Tìm 4 chöõ soá cuoái cuøng cuûa soá M = 52009
Giaûi
2.1 AÙp duïng ñoàng dö thöùc, ta coù:
23
≡ -1 mod 9
22010
≡ ( )6703
2 ≡ (-1)670
≡ 1
Vaäy soá dö cuûa 22010
chia cho 9 laø 1.
2.2 Phaân tích: Cuõng laø moät öùng duïng cuûa ñoàng dö thöùc, ta tìm soá dö khi chia cho 10 000.
AÙp duïng ñoàng dö thöùc ñeå tìm 4 chöõ soá taän cuøng, ta coù:
54
≡ 0625 mod 10.000
55
≡ 3125 (mod 10.000) {‘Töø böôùc naøy coù theå boû (mod 10000)’}
52000
≡ (54
)500
≡ (0625)500
≡ 0625
52009
≡ 52000
.55
.54
≡ 0625.3125.0625 ≡ 3125
Vaäy 4 chöõ soá taän cuøng cuûa M = 52009
laø 3125
Daïng 3: Tìm taát caû caùc soá coù daïng yx534 chia heát cho 36.
Giaûi
Ta coù: yx534 chia heát cho 36 thì yx534 chia heát cho 4 vaø 9. (4; 9) = 1
⇒ 45 My
y ∈ {2; 6}
Maø (3 + 4 + x + 5 + y) M 9 ⇔ 12 + x + y M 9
Xeùt y = 2 thì x = 4.
Xeùt y = 6 thì x = 0 hoaëc x = 9.
Vaäy taát caû caùc caëp soá (x; y) thoaõ maõn ñeà baøi laø: (4; 2), (0; 6), (9; 6).

Daïng 4: Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2010 cuûa
49
1
Giaûi
=
49
1
0,(020408163265306122448979591836734693877551)
Ta coù phaân soá naøy vieát ra soá thaäp phaân coù chu kì tuaàn hoaøn laø 42, maø 2010 : 42 dö 37.
Vaäy soá phaän phaân thöù 2010 cuûa
49
1
cuõng laø soá thaäp thöù 37 laø soá 3
Höôùng daãn caùch tính chu kì cuûa soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn:
- Laáy 1 : 49 ñöôïc 0,020408163
Ta thöïc hieän pheùp nhaân: 0,020408163 × 49 (Khoâng ñöôïc söû duïng Ans ñeå thay cho
0,020408163).
Keát quaû ñöôïc 0,999999987
Laáy 1 – Ans ( Ans = 0,999999987 ).
Ta ñöôïc 1,3 x 10-8
(Ta phaûi bieát 1,3 x 10-8
= 13 x 10-9
){Vì ta ñaõ laáy 9 chöõ soá thaäp phaân}
- Laáy 13 : 49 ñöôïc 0,265306122
Ta thöïc hieän pheùp nhaân: 0,265306122 x 49.
Keát quaû ñöôïc 12,999999978
Laáy 13 – Ans ( Ans = 12,99999998).
Ta ñöôïc 2,2 x 10-8
( Ta phaûi bieát 2,2 x 10-8
= 22 x 10-9
).
…………………………………
Ta seõ tìm ñöôïc chu kì cuûa noù.
Giaûi thích : Ta hieåu laø:
1 : 49 = 0,020408163 + 0,00000000013:49
Ta laáy 13 : 49 nghóa laø tìm chöõ phaàn thaäp phaân tieáp theo cuûa thöông.
= 0,020408163 + 0,000000000265303122 + 0,00000000000000000022:49
Quy taéc tìm gioáng nhö chia coät tính cuûa chöông trình toaùn lôùp 5. Xem hình döôùi ñaây:
Ngoaøi ra coøn coù hai caùch laøm khaùc nhanh hôn caùch trình baøy treân, seõ ñöôïc höôùng daãn trong
baøi taäp töï luyeän.
Daïng 5: So saùnh:
32
3
2 vaø
23
2
3
Giaûi
Phaân tích ñeà: Bieåu thöùc ta hieåu noâng na: caùi muû muû caùi muû vaø muû caùi muû. Neáu baám: 2 ^ 3
^ 2 ^3 = (Keát quaû: 262144) laø giaù trò sai. Caùch giaûi nhö sau:
Ta coù:

656133
222
832
==
51222
333
923
==
Söû duïng tính chaát baét caàu, ta coù:
( ) ( ) 5128961284128747
32323281128 >⇔>⇔>⇔>
Giaû laïi
8966561
22 >
Vaäy:
2332
23
32 >
Daïng 6: Tìm öôùc soá chung lôùn nhaát vaø boäi chung nhoû nhaát cuûa 5782 vaø 9374.
Giaûi
Caùch 1: Laäp tæ soá:
Laäp tæ soá giöõa 2 soá:
5782 ÷ 9374 = (Keát quaû laø:
4687
2891
)
⇒ ÖCLN(5782,9374) = 2
2891
5782
=
⇒ BCNN(5782,9374) = 5782.4687 = 27100234
Caùch 2: Söû duïng tieân ñeà Ô-Clit.
Phaùt bieåu tieân ñeà Ô-Clit: Goïi r laø soá dö cuûa soá A chia cho soá B thì ÖCLN(A,B) = ÖCLN(B,r)
AÙp duïng tieân ñeà Ô-Clit ta coù:
9374 ÷ 5782 ñöôïc soá dö laø 3592
ÖCLN(9374,5782) = ÖCLN(5782,3592)
5782 ÷ 3592 ñöôïc soá dö laø 2190
ÖCLN(5782,3592) = ÖCLN(3592,2190)
3592 ÷ 2190 soá dö laø 1402
……………………….
⇒ ÖCLN(9374,5782) laø 2.
⇒ BCNN(9374,5782) laø 27100234
2
5782.9374
=
Caùch 3: Phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá:
Ta coù: 9374 = 2.43.109
5782 = 2.7.7.59
⇒ ÖCLN(9374,5782) laø 2.
⇒ BCNN(9374,5782) laø 2.43.109.7.7.59 = 27100234.
4.9.1: Vieát quy trình aán phím vaø tính soá dö khi chia 201220122012 cho 2011
4.9.2: Tìm öôùc chung lôùn nhaát cuûa boán soá sau: 22222, 505606, 714714, 999999.
4.9.3: Tìm öôùc chung lôùn nhaát vaø boäi chung nhoû nhaát cuûa 1996 vaø 2012.
4.9.4:Tính toång taát caû caùc öôùc leõ döông cuûa 2010.
4.9.5: Tìm öôùc nguyeân toá coù moät chöõ soá cuûa: 1230
−
4.9.6: Tìm caùc öôùc nguyeân toá nhoû nhaát vaø lôùn nhaát cuûa soá 2152
+ 3142

4.9.7: Cho soá 670.
...0020102010,0
3
...020102010,0
3
...20102010,0
3






++=M . Phaân tích M ra thöøa soá
nguyeân toá.
4.9.8: Coù bao nhieâu soá töï nhieân m laø öôùc soá cuûa:
N = 1890 × 1930 × 1945 × 1954 × 1969 × 1975 × 2010 nhöng khoâng chia heát cho 900.
4.9.9: Tìm 4 chöõ soá taän cuøng cuûa:
a, 1201120123
+=A
b, 11415116213
−=B
4.9.10: Tìm 3 chöõ soá taän cuøng cuûa 8240
4.9.11: Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa:
a, 201320122011
222 ++
b, 201320122011
666 ++
4.9.12: Tìm chöõ soá haøng chuïc cuûa 2012
23
4.9.13: Tìm soá dö trong pheùp chia:
715
: 2012
4.9.14: Thöïc hieän pheùp chia soá 1 cho soá 23 ta ñöôïc moät soá thaäp phaân voâ haân tuaàn hoaøn. Tìm
chu kì cuûa noù.
4.9.15: Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2012 cuûa:
a,
49
3
b,
59
95
4.9.16: Tìm soá töï nhieân a lôùn nhaát ñeå khi chia caùc soá 13511, 13903, 14589 cho a ñöôïc cuøng
moät soá dö.
4.9.17: Tìm n ñeå )!1(10.5,5! 28
+≤≤ nn
4.9.18: Cho soá töï nhieân n ( )20101010 ≤≤ n sao cho nan 2120203+= cuõng laø soá töï nhieân.
a, Khi aáy an phaûi naèm trong khoaûng naøo?
b, Chöùng minh raèng an chæ coù theå laø moät trong caùc daïng: 17 += kan hoaëc 17 −= kan (k ∈ N)
c, Tìm caùc soá töï nhieân n ( )20101010 ≤≤ n sao cho nan 2120203+= cuõng laø moät soá töï nhieân.
4.9.19: Tìm x, y bieát:
36534 Myx
4.9.20: Bieát soá coù daïng yxA 41235679= chia heát cho 24. Tìm taát caû caùc soá A.
4.9.21: Tìm caùc chöõ soá a, b, c, d ñeå ta coù: 7850.5 =bcda
4.9.22: Tìm caùc chöõ soá a, b, c, d, ñeå coù: 7850. =bcdab
4.9.23: Tìm soá lôùn nhaát vaø soá nhoû nhaát coù daïng tyzxD 632= vôùi Ntzyxtzyx ∈≤≤ ,,,;9,,,0 .
Bieát D chia heát cho 29.
4.9.24: Tìm hai soá töï nhieân thoaõ: ( ) gaag *****
4
= . Trong ñoù ***** laø 5 nhöõng soá khoâng aán
ñònh ñieàu kieän.
4.9.25: Tìm caùc soá a, b, c:
( )222
10 cbaabc ++=
4.9.26: Tìm 9 caëp hai soá töï nhieân nhoû nhaát (Kí hieäu laø a vaø b, trong ñoù soá a laø soá lôùn, soá b laø
soá nhoû) coù toång laø boäi cuûa 2010 vaø thöông cuûa chuùng baèng 5.

Casio 93.11.2

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

Featured

Featured (20)

Casio 93.11.2