Vol 1-№-34-34-2019

1. No 34 (2019)
Р.1
The scientific heritage
(Budapest, Hungary)
The journal is registered and published in Hungary.
The journal publishes scientific studies, reports and reports about achievements in different scientific
fields. Journal is published in English, Hungarian, Polish, Russian, Ukrainian, German and French.
Articles are accepted each month. Frequency: 12 issues per year.
Format - A4
ISSN 9215 — 0365
All articles are reviewed
Free access to the electronic version of journal
Edition of journal does not carry responsibility for the materials published in a journal. Sending the
article to the editorial the author confirms it’s uniqueness and takes full responsibility for
possible consequences for breaking copyright laws
Chief editor: Biro Krisztian
Managing editor: Khavash Bernat
 Gridchina Olga - Ph.D., Head of the Department of Industrial Management and Logistics
(Moscow, Russian Federation)
 Singula Aleksandra - Professor, Department of Organization and Management at the University
of Zagreb (Zagreb, Croatia)
 Bogdanov Dmitrij - Ph.D., candidate of pedagogical sciences, managing the laboratory
(Kiev, Ukraine)
 Chukurov Valeriy - Doctor of Biological Sciences, Head of the Department of Biochemistry of
the Faculty of Physics, Mathematics and Natural Sciences (Minsk, Republic of Belarus)
 Torok Dezso - Doctor of Chemistry, professor, Head of the Department of Organic Chemistry
(Budapest, Hungary)
 Filipiak Pawel - doctor of political sciences, pro-rector on a management by a property complex
and to the public relations (Gdansk, Poland)
 Flater Karl - Doctor of legal sciences, managing the department of theory and history of the state
and legal (Koln, Germany)
 Yakushev Vasiliy - Candidate of engineering sciences, associate professor of department of
higher mathematics (Moscow, Russian Federation)
 Bence Orban - Doctor of sociological sciences, professor of department of philosophy of religion
and religious studies (Miskolc, Hungary)
 Feld Ella - Doctor of historical sciences, managing the department of historical informatics,
scientific leader of Center of economic history historical faculty (Dresden, Germany)
 Owczarek Zbigniew - Doctor of philological sciences (Warsaw, Poland)
 Shashkov Oleg - Сandidate of economic sciences, associate professor of department (St. Peters-
burg, Russian Federation)
«The scientific heritage»
Editorial board address: Budapest, Kossuth Lajos utca 84,1204
E-mail: public@tsh-journal.com
Web: www.tsh-journal.com

2. CONTENT
ARCHITECTURE
Bilyan K.N.
CREATING A BALANCED ENVIRONMENT IN THE
VACIBLE TERRITORIES OF SMALL INDUSTRIAL OBJECTS
ALONG THE COASTAL MOSCOW.................................3
Danielyan T.G.
SATURATION OF THE MIDDLE ZONE OF MOSCOW
PEDESTRIAN PUBLIC AND COMMERCIAL SPACES .......5
PHYSICS AND MATHEMATICS
Esonboyeva M.I.
ANALYSIS OF PRODUCTIVITY OF LEONTIEF LINEAR
ECONOMIC MODEL UNDER INTERVAL DATA
UNCERTAINTIES...........................................................8
Baikov Yu.A., Petrov N.I.,
Antonova T.L., Timoshina M.I., Akimov E.V.
THE EQUAL-MOLAR BINARY METALLIC MELTS’ MICRO
CRYSTALLIZATION MODEL IN THE DIFFUSIVE-
RELAXATION PROCEDURE .........................................10
TECHNICAL SCIENCES
Heorhin D., Uryvsky L.,
Moshynska A., Osypchuk S.
THE SIMULATION MODEL FOR CALCULATING THE
INDICATORS OF DIGITAL COMMUNICATION SIGNALS
QUALITY TRANSMISSION ..........................................21
Bushma V.O.
ELECTRODES FOR ARC WELDING WITH A STATIONARY
CONSUMABLE ELECTRODE........................................32
Degtiarova A.O.
MATHEMATICAL MODEL OF AIRCRAFT FIRE
RECOGNITION ...........................................................37
Dzyuba N., Hidzhelitskyi V.,
Dubyna A., Dubyna A.
DETERMINATION OF BIOLOGICAL VALUE AND
INDICATORS OF QUALITY OF ENERGY MOUSSE WITH
APPLICATION OF WOODY GUM................................44
Korzhov I.M., Mygushchenko R.P.,
Kropachek O.Yu., Shchapov P.F.
DEVELOPMENT AND APPLICATION VIRTUAL
INSTRUMENT FOR ANALYSIS AND RESEARCH
OPTIMIZATION SPACE OF INFORMATIVE FEATURES
FOR CONTROL AND DIAGNOSTICS IN GRAPHIC
ENVIRONMENTAL PROGRAMMING LABVIEW ..........51
Kvasnikov V.P., Perederko A.L.,
Kotetunov V.V.
CORRECTION OF TEMPERATURE INFLUENCE ON
PIEZOELECTRIC ACCELEROMETERS ...........................55
Tyapin A.A.
THREE-PHASE INDUCTION MACHINE OF A THREE-
ZONE DESIGN FOR MHD STIRRER..............................57

3. The scientific heritage No 34 (2019) 3
ARCHITECTURE
СОЗДАНИЕ СБАЛАНСИРОВАННОЙ СРЕДЫ НА ОСВОБОЖДАЕМЫХ ТЕРРИТОРИЯХ
МАЛЫХ ПРОМЫШЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ВДОЛЬ НАБЕРЕЖНЫХ МОСКВЫ.
Билян К.Н.
AI-architects, ведущий архитектор, магистрант второго курса
Московского Архитектурного института
CREATING A BALANCED ENVIRONMENT IN THE VACIBLE TERRITORIES OF SMALL
INDUSTRIAL OBJECTS ALONG THE COASTAL MOSCOW
Bilyan K.N.
AI-architects, lead architect, a second year undergraduate student of the Moscow Architectural Institute
Аннотация
В статье рассматриваются территории бывших промышленных и складских зон на набережных Яузы
и Москвы реки. Выявляются зоны отчуждения, чей потенциал не раскрыт и нуждается в реорганизации.
На основе исторического, зарубежного и отечественного опыта обнаруживаются основополагающие по-
зиции, создающие и развивающие зоны городских пустот.
Abstract
The article discusses the territory of the former industrial and warehouse areas on the embankments of the
Yauza and Moscow rivers. Exclusion zones are identified, whose potential is not disclosed and needs reorganiza-
tion. On the basis of historical, foreign, and domestic experience, fundamental positions are discovered that create
and develop zones of urban voids.
Ключевые слова: пустота, портал, архитектура, связь, зонирование, функционал, промышленные
территории, локация, реорганизация.
Keywords: void, portal, architecture, communications, zoning, functionality, industrial areas, location, reor-
ganization.
Раздел 1. Введение
В современном положении Московской агло-
мерации зоны производственных и складских тер-
риторий утратили свою актуальность и в качестве
«побочного» эффекта, образовались множества за-
брошенных или слабо используемых пространств.
По официальным данным более 17% площади
города Москвы занимают заброшенные или мало-
используемые промышленные территории. Тысячи
заводов и предприятий устарели и являются нерен-
табельными. В настоящее время, проблема отслу-
живших свой срок промышленных комплексов,
зданий и их инфраструктур одна из самых важных
тем.
Ретроспектива этих территорий превратила их
в гипертрофированные городские «пустоты», рас-
положенные в структуре города, часто непосред-
ственно в его центре.
Опираясь на общее исследование выявилось,
что значительная часть промышленных и склад-
ских зон столицы находится на побережье Яузы и
Москвы-реки.
Река является одним из основных градообразу-
ющих факторов, вокруг нее, как правило, распола-
гаются жилые территории, общественные про-
странства, торговые и рекреационные зоны, транс-
портные развязки и, самое важное, предприятия и
промышленные зоны. Москва-река как транспорт-
ная артерия сконцентрировала вокруг себя богатые
исторические слои. Большинство промышленных
зон, расположенных на набережные реки подверг-
лись процессу стагнации и превратились в зоны от-
чуждения, тем самым создав «барьеры» и «серые
зоны» в структуре городской ткани, нарушая ба-
ланс среды.
Сегодня, возвращение промышленных зон
в полноценное городское использование немыс-
лимо без развития общественной и культурной
функции, в ходе реабилитации необходимо достичь
максимально эффективного использования воз-
можностей территории для сбалансированной го-
родской среды.
Территориальное расположение промышлен-
ных зон определяет их инвестиционную привлека-
тельность; близость к социальным и культурным
учреждениям, развитую инфраструктуру и транс-
портный потенциал.
Раздел 2. Градостроительные предпосылки
и классификация производственных зон.
Площадь Москвы больше чем в два раза пре-
вышает суммарную площадь европейских «карли-
ковых» государств: Андорры, Монако, Мальты,
Лихтенштейна, Сан-Марино вместе взятых и при-
мерно равна площади Люксембурга. Вполне, есте-
ственно, что при столь большой площади (2510
кв.м) город подвергся хаотичному развитию и, в ре-
зультате чего, возникло большое количество слабо
используемых территорий в городской ткани. Одна
из основных позиций, которая заслуживает глубо-
кого анализа это плотность застройки города. Для
наглядности проведем сравнение плотности за-

4. 4 The scientific heritage No 34 (2019)
стройки в мегаполисах. Таким образов, самая высо-
кая плотность наблюдается в Манхэттоне, США –
68,9 тыс. кв.м/га, в Пекине, к примеру, этот показа-
тель равен 56,7, в Токио 16,9 тыс. кв.м/га. В Москве
же, примерно в 2 раза ниже – 8,7 тыс. кв.м /га. Оче-
видно, что в Москве есть большое количество тер-
риторий, требующих реорганизации и реновации.
Один из самых актуальных вопросов, на сегодняш-
ний день, это тема промышленных территорий. В
Москве около 209 промышленных зон, это чуть
больше 17 процентов территории, а именно 18.8
тыс. га территории города – площадь территорий
промышленного назначения. Из них 52 процента
функционируют не по назначению, а 4-7 тыс. га и
вовсе предназначены к реорганизации. В Москве
насчитывается около 150 заводов и фабрик, из них
15 это яркие памятники промышленной архитек-
туры.
В таком динамично развивающемся городе,
как Москва, остро встает вопрос о сохранение и
«включении» в жизнь города такого исторического
наследия как промышленные территории. Тем са-
мым, Москве необходимо повысить плотность за-
стройки, плотность улично-дорожной сети, также
ее повысить развитости социальной инфраструк-
туры.
Таким образом, весьма актуальной становится
задача комплексного исследования городской тер-
ритории промышленного назначения с дальнейшей
разработкой методики их реновации.
Согласно генеральному плану города Москвы
2025 года предусматривает изменение функции
промышленных территорий на общественную, жи-
лую, природно-рекреационную, офисную, образо-
вательную и туристическую.
Основная часть реновируемых мероприятий
концентрируется в зонах развития, расположенных
в срединной части города. В ходе реорганизации
производственных территорий будут сформиро-
ваны новые крупные общественно-деловые и адми-
нистративно-производственные центры, связанные
транспортной инфраструктурой. В границе боль-
шинства производственных зон в ходе исследова-
ния было выявлен потенциал для строительства но-
вого жилого кластера.
Для выявления особенностей развития произ-
водственных зон, необходимо классифицировать и
сгруппировать территории с похожими призна-
ками.
Градостроительные:
- потенциал транспортной инфраструктуры
(близость к метро и автодорогам)
- расположение вблизи с историческими объ-
ектами
- морфотип в структуре городской ткани
Пространственные:
- проницаемость
- наличие барьеров (дорога, река, естествен-
ный рельеф, застройка)
- окружение
- тип и размер территории
Социальные:
- визуальный ряд
- объекты исторического и культурного насле-
дия
- уровень социальной активности
Экономические:
- плотность застройки
- насыщенность и качество инфраструктуры
- стоимость квадратного метра земли
Таким образом, градостроительный потенциал
реорганизуемых производственных территорий в
городе Москве, предусматривает изменение функ-
ционального назначения. Монофункциональный
формат его использования представляется неэф-
фективным из-за динамичности запросов общества,
в связи с чем необходимо применение более гибких
моделей, адаптированных к запросам будущих по-
колений.
Результаты проведенного исследования пока-
зали, что большинство территорий промышленного
назначения имеют ряд разнообразных проблем, от-
личающихся от других территорий, и как следствие
требуют точечного и индивидуального решения к
каждой отдельной зоне.
Раздел 3. Выявление основных проблем и
методология развития реорганизуемых про-
мышленных территорий.
Следует отметить, что многие из выявленных
проблем представляют собой цепочку взаимосвя-
занных факторов, к которым требуется комплекс-
ный и аналитический подход для решения этих про-
блем.
Основные проблемы:
- Социальная и культурная изолированность
- Визуальная непривлекательность
- Нераскрытый коммерческий потенциал
- Низкая проницаемость и слабая связь с внеш-
ним
- Физическая изолированность
- Хаотичное использование
- Стагнация исторических зданий
В первую очередь, для комплексного решения
данной задачи, необходимо выработать перечень
обязательных методов для реабилитации промыш-
ленных территорий – «каркас реновации»:
- Подключение территории в улично-дорож-
ной сети
- Доступ территории к общественному транс-
порту и доступ общественного транспорта к про-
мышленной зоне
- Деликатное видоизменение морфотипа из ин-
тровертной структуры в экстровертную – создание
«диалога» с городом
- Сохранение объектов исторического и куль-
турного наследия
- Раскрытие уникальности территории
- Создание, посредством взаимного интегриро-
вание, новых общественных пространств.
- Пешеходная доступность
- Смешенное использование, многофункцио-
нальность реновируемой территории
- Повышение плотности квартала
- Устойчивое развитие

5. The scientific heritage No 34 (2019) 5
Вышеперечисленные методы представляют
собой общепринятые и базовые формулы к реше-
ниям проблемы неэффективного использования
промышленных территорий. Для более глубокого и
точечного анализа стоит рассмотреть проблему на
конкретной территории в рамках эксперименталь-
ных проектов.
Каждая промышленная территория, располо-
женная в том или ином районе, определяется степе-
нью ее возможного участия в реабилитации тех или
иных дефицитных данных конкретного места, и
хранит в себе потенциал не только успешной реа-
билитации локальной территории, но и восстанов-
ления общегородского баланса.
Список литературы
1. Райт Ф.Л. Исчезающий город. – М.:
«Стрелка», 2016
2. Вебер М. Город. – М.: «Стрелка», 2017
3. Аузан В., Румянцев Н., Фурман И. Сти-
мулы, парадоксы, провалы: Город глазами эконо-
мистов. -М.: «Стрелка», 2015
4. Рем Колхас. Нью-Йорк вне себя / Новое Из-
дательство. - М.: 2013.
5. Крылов О.К. Расселение и планировочная
структура крупных городов-агломераций. – М.,
1990. – С. 215.
НАСЫЩЕНИЕ СРЕДИННОЙ ЗОНЫ МОСКВЫ ПЕШЕХОДНЫМИ ОБЩЕСТВЕННО-
ТОРГОВЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ
Даниелян Т.Г.
AI-architects, архитектор, магистрант второго курса Московского Архитектурного института
SATURATION OF THE MIDDLE ZONE OF MOSCOW PEDESTRIAN PUBLIC AND
COMMERCIAL SPACES
Danielyan T.G.
AI-architects, architects, a second year undergraduate student of the Moscow Architectural Institute
Аннотация
В данной статье рассматривается место торговых ячеек в жизни общества и методы рекультивации
срединной зоны Москвы с помощью торгово-общественных пространств. Апробация разных видов и раз-
ного функционального состава в зависимости от контекста.
Abstract
This article discusses the place of trade cells in the life of society and methods of recultivation of the middle
zone of Moscow with the help of trade and public spaces. Testing of different types and different functional com-
position depending on the context.
Ключевые слова: срединная зона, рынок, торговый центр, пешеходные пространства, площадь, до-
суг.
Keywords: middle zone, market, shopping center, pedestrian areas, square, leisure.
Раздел 1. Введение
«Срединная зона города» понятие расплывча-
тое и оно не имеет определенных жестких смысло-
вых границ. Однако для каждого города смысл и
границы понимания данного термина свои. В
Москве «срединной зоной», по некоторым источ-
никам, является территория радиально кольцевого
диапазона от «Садового кольца» до «Третьего
транспортного кольца». Границы этой зоны сложи-
лись в индустриальную эпоху, то есть с конца де-
вятнадцатого века по середину двадцатого. Харак-
теризуется она селитебной территорией, предна-
значенной для размещения жилищного фонда,
общественных зданий и сооружений, в том числе
научно-исследовательских институтов и их ком-
плексов, а также отдельных коммунальных и про-
мышленных объектов, не требующих устройства
санитарно-защитных зон.
Таким образом, выявляется закономерность
разномасштабной «ткани городской структуры»,
которая разнится как в масштабах кварталов, ши-
рине дорожных полотен и высотности зданий, так и
во многих других аспектах архитектурных и соци-
альных парадигм. Такое отличие среды, довольно,
часто ставит в тупик человеческую ориентацию в
пространстве и вызывает дискомфорт. По боль-
шинству показателей уровня развития столица от-
стаёт от зарубежных аналогичных агломераций. В
большей степени потому, что за короткий промежу-
ток времени, за последнее столетие, власть и вектор
развития города менялись минимум три раза. Что,
конечно, отражается в эстетике зданий, градостро-
ительной структуре и фнкционально-социальном
наполнении каждого из районов и зон.
Неравномерное развитие территорий города,
высокая дифференциация качества городской
среды. В Москве явно ощущается «разномасштаб-
ность» центральной и срединной зон, не говоря уже
и о периферии, однако проблема разности «тканей»
не только в размере кварталов и стилистике архи-
тектуры, но, в большинстве своем, и в функцио-
нальном насыщении. Именно поэтому актуальна в
наши дни задача изучения городской среды.
Исследование может выявить основные харак-
теры и методы, следуя которым можно прийти к
симбиозу и формированию объединяющих «жил».
Раздел 2. Проблемы

6. 6 The scientific heritage No 34 (2019)
Москва является централизованным городом,
в котором все основные события притягивают го-
рожан и жителей округов в центр, и плотность ос-
новных объектов притяжения разновелик для окру-
гов города. А основным притягательным событием
для горожан является торговля и ярморочные собы-
тия с вытекающими досуговыми возможностями.
Если ретроспективно взглянуть на данный слу-
чай, то можно проследить, что именно торговля яв-
ляется основным «донором» города. Агора, Форум,
Марсово поле, все общественные площади имели в
себе элемент торговли, однако они не были моно-
функциональными, как, например, современные
рынки, которые были построены, в основном, в два-
дцатом веке, во времена социализма и с заказами
для плановой экономики. Именно поэтому они сей-
час не до конца отвечают своим функциям и не ак-
туальны настолько, насколько были в середине
прошлого столетия. А торговые центры западного
образца, появившиеся с началом XX века и осо-
бенно разраставшиеся с 2007 года, являются гран-
диозным локальным местом притяжения населения
ближайших округов, а даже, нередко, и всего го-
рода, слишком многофункциональны и диском-
фортны для психики человека.
Статистика показывает, что торговые центры
на данный момент наскучили своей замкнутостью
и «гигантизмом», часто они не в «человеческом
масштабе» и являются точкой активизации потре-
бительского сбыта, но не морально качественной
зоной досуга и отдыха. Так же, как элемент наших
непосредственных будней, они устаревают и стано-
вятся скучными и однообразными для горожан. И
именно потому уже с начала этого века в большин-
стве западных стран торговые центры переквали-
фицируются в несколько другой формат архитек-
турного и социального класса. Огромнейшие зда-
ния мегамоллов, таких желанных и актуальных в
середине прошлого века, осталось немного и с каж-
дым годом они становятся некоммуникативными.
Их заменяют «экобазары», «рынки выходного дня»
и разные торгово-общественные предприятия
меньшего масштаба и функциональности.
В данном исследовании рынок, как «субстан-
ция», неразрывно связанная с любым населенным
пунктом, будет рассматриваться как естественный
механизм насыщения городской ткани и обогаще-
ния места, как экономического, так и социокуль-
турного, что, в свою очередь, позволяет оценить не-
обходимый уровень условности и выявить принци-
пиально отличные модули.
Автором рассматривается изучение роли тор-
говых пространств в жизни горожан и постепенное
развитие рынков в условиях разных эпох. В особен-
ности вопрос актуален в жизни московского город-
ского паттерна, как основного генетического кода
для исследования. Также важно исследовать влия-
ние смены контекста цивилизационных моделей го-
рода на общественно-торговые пространства.
Процесс обобщенного ретроспективного ис-
следования позволяет выявить характерные изме-
нения торговой отрасли и рынков, в частности, в
связи с изменением политической парадигмы, го-
родской структуры, образа жизни горожан и, в осо-
бенности, развития технологий.
Через призму исторического анализа выяв-
лены основные рынки срединной зоны Москвы до
начала ХХ века: рынок на Садово-каретной, Смо-
ленский рынок, Сухаревский рынок и рынок на Су-
щевском Валу. Как правило, почти, все находились
на месте сегодняшнего Садового кольца. Данный
факт иллюстрирует, что места образования тор-
говли, отнюдь, не случайны, но и не носят плано-
вый характер. Все эти рынки находились на пересе-
чении нескольких дорог и недалеко от администра-
тивного центра района. Так же, прослеживается
явный синтез беспроблемного привоза продоволь-
ствия и удобного средоточия для скопления горо-
жан.
Изучение же последующего века показывает
постепенное разрастание города и со-масштабное
появление новых торговых пространств разного
типа. Однако, следует отметить тот факт, что тор-
говля стала управляться государственными орга-
нами и имела характер плановой цивилизационной
модели, что, конечно, отразилось на архитектуре и
структуре торговых пространств. Рынки потеряли
свой ярморочный и общественно-досуговый кон-
текст, потеряли местный колорит и стали местом
монофункциональной экономической единицы.
Однако с конца ХХ века, когда мировоззренче-
ская и политическая парадигма резко изменилась,
изменились и потребности населения. Рынки с их
монофункциональностью стали неинтересны и не-
актуальны для «нео-капиталистичного человека».
Стали строиться торговые центры и развлекатель-
ные комплексы вкупе. «Радикально скучный ры-
нок» сменился радикально многофункциональным
и интересным моллом». В свою очередь, моллы
представляют собой большой кластер немастштаб-
ной архитектуры для исторической городской
структуры и явное непринятие гуманного образа
города и синтезирование китчевых форм и фасад-
ного рисунка.
На сегодняшний день количество рынков в
Москве одно из оптимальных среди больших горо-
дов Европы и прослеживается тенденция отказа от
крупных и наскучивших торговых центров и созда-
ние многофункциональных торговых пространств
ярморочного или постоянного типа.
Раздел 3. Типы рынков. Основные функци-
онально-пространственные типы.
Рынок-открытая площадь. Самая распростра-
ненная из общественных пространств, которая так
же носит функцию форума и рынка. На протяжение
нескольких тысячелетий эта форма рыночного про-
странства была одной из популярнейших и опти-
мальных для города. Этот фактор связан с тем, что
до начала первого тысячелетия основными стра-
нами наибольшего развития, преимущественно, яв-
лялись страны южной части Европы, Средиземно-
морья, Малой Азии и юго-восточной Азии. При-
родно-климатические условия благоприятствуют
открытым пространствам с разными функциями и

7. The scientific heritage No 34 (2019) 7
этот генетический код передавался из разных циви-
лизационных эпох одна за другой. Именно поэтому
в большинстве стран, по большей части, рынками
являлись открытые форумы, агоры, площади.
Рынок-улица. Так же одна из распространен-
ных систем торговых пространств. Наиболее рас-
пространена была и есть в условиях плотной за-
стройки с благоприятными климатическими усло-
виями. Такие рынки можно увидеть в странах
Ближнего Востока, странах северной Африки и
Южной Азии.
Полуоткрытый рынок. Данная система пред-
ставляет собой сочетание открытых и закрытых
пространств. Такие рынки можно встретить во всех
уголках мира. Наиболее распространены в странах
Скандинавии и Балтийских странах.
Крытый рынок. Такой тип рынков представ-
ляет собой огромный сгусток архитектурных форм.
Данный тип трудно вписывается в структуру плот-
ной городской ткани.
Многофункциональный рынок. Этот тип рынка
настолько нов, насколько и стар. В сущности, пред-
ставляет собой торговый центр с развлекательной,
жилой и бизнес потенцией. Наиболее ярким пред-
ставителем данного типа является рынок: Rotter-
dam Market Hall. Что сочетает в себе жилые квар-
тиры и фермерский рынок, наиболее органично пе-
реплетенном в громоздкой форме архитектуры.
Список литературы
1. Брук Д. История городов будущего. –
Москва: Strelka Press, 2016.
2. Вебер М. Город. – Москва: Strelka Press,
2017.
3. Лоу С.М. Пласа: Политика общественного
пространства и культуры. - Москва: Strelka Press,
2016.
4. Рыбчинский В. Городской конструктор:
Идеи и города. - Москва: Strelka Press, 2015.
5. Стил К. Голодный город: Как еда определяет
нашу жизнь. – Москва: Strelka Press, 2016.

8. 8 The scientific heritage No 34 (2019)
PHYSICS AND MATHEMATICS
ANALYSIS OF PRODUCTIVITY OF LEONTIEF LINEAR ECONOMIC MODEL UNDER INTERVAL
DATA UNCERTAINTIES
Esonboyeva M.I.
Student of physical and mathematical faculty
of Navoi State Pedagogical institute, Uzbekistan
Abstract
In the given work the interval problem statement of the problem the inter-industry balance is considered,
being the base of the many linear economic models. Here we refer to the analysis of productivity of models under
interval uncertainty by Leontief. It is formulated and proved that the theorem of productivity of the interval linear
models by Leontief is right.
Keywords: Leontief linear economic model, inter-industry balance equation, interval uncertainty, interval
methods, interval matrix, eigenvalue of Frobenius, productivity analysis.
Recently, a large number of mathematical models
have been successfully used in solving real problems
and have a practical effect. First of all, they should in-
clude the class of linear programming models such as
the cutting problem, the diet problem, the transport
problem, etc., as well as the intersectoral balance
scheme that has become the working tool of the plan-
ning bodies of the national economy.
The desire to bring economic and mathematical
modeling to reality, to make models more “computa-
ble” in the context of non-determinism of data dictates
the need to develop adequate methods. One of them is
considered to be methods of interval analysis. This pa-
per proposes an interval formulation of the intersectoral
balance problem, which is the basis of many linear eco-
nomic models. The analysis of the productivity of the
Leontief model with interval uncertainties is given.
Suppose that each industry produces only single
type of product and different industries produce differ-
ent products. This means that in the production and eco-
nomic system under consideration, n types of products
are produced. Each industry in the production process
of its type of product needs products from other indus-
tries.
In production planning for a period of time
],[ 0 TT , the task is formulated as follows: for a given
vector c final consumption is required to find the vec-
tor x gross output
0,  xcAxx . (1)
Equation (1), called the linear equation of intersec-
toral economic balance, is the classical Leontief equa-
tion [1].
In practice, determining the coefficients jia for an
individual enterprise is not difficult, but it is very diffi-
cult to find them across the industry. As a rule, instead
of the exact values of these coefficients, they are oper-
ated with their estimates obtained using one or another
method. It is even reasonable to assume that the coeffi-
cients of direct production costs are known to us only
with some uncertainty, which we assume to be interval.
In other words, let jiija a and
( ) ([ , ])ijij ija a A a .
Similarly, the demand for a vector of final con-
sumption с is also natural to formulate in an interval
form: we are usually satisfied with the situation when
real consumption will be maintained within a certain
interval с. In the real case, solving the system (1) with
respect to x allows you to predict the production vol-
umes by industry, necessary for obtaining the planned
final consumption с.
Below we assume familiarity with the basics of in-
terval analysis [2] and the system of notation for inter-
val objects adopted in [3]. In particular, the interval ob-
jects in the text will be highlighted in bold, indicating,
if necessary, the lower and upper boundaries:
[ , ]a aa , and also uses the concept of interval mag-
nitude  | | max , ,a aa which for vectors is
understood component by component.
In the interval case, instead of (1) we have the
equation
, 0x x x  A c (2)
with an interval vector of final consumption by
branches n
IRс and an interval matrix
( ) n n
ij IR 
 A a - coefficients of direct production
costs, which were considered in [1, 4].
In the interval version (2), the question can be for-
mulated as follows:
for what production volumes x for any values of
direct production costs jia within ij
a , will we still get
final consumption from a given interval с?
Here the set of all real vectors x is included in
the interval vector x - production volumes by n
branches, and forms an admissible set of solutions of
the interval linear system ( )I x A c [2], where
n n
I R 
 is the identity matrix. If there is an inverse

9. The scientific heritage No 34 (2019) 9
matrix
1
( )I 
 A , then there is a solution to equation
(2). In the case when the solution of system (2) exists
for any non-negative vector сс of final demand,
then the Leontief interval model (and the matrix A) is
productive.
In mathematical terms, the productivity of the
model under consideration is fully determined by the
eigenvalue of Frobenius Aλ of the matrix A. It is with
this assumption that the issue of productivity was in-
vestigated in [1] and the following was proved:
Theorem 1. An interval Leontief model is produc-
tive if and only if 1A λ .
This paper addresses another criterion of produc-
tivity:
Theorem 2. If for a non-negative and indecom-
posable interval matrix A, ir is the sum of the ele-
ments of each row (column), 1i r and at least for
one row (column) 1k r , then the Leontief interval
model is productive.
Proof. Let Ap be a left Frobenius interval vector
for an interval matrix A, and
(1,1, ,1) n
e R  n
. Then
1 2( , , , ) .ne  A r r r r From here we get
1 1
( ) ( )
n n
A i A i A i
i i 
  p r r p p . Here we use the
fact that for an indecomposable matrix 0A p . On
the other hand,
1
( )
n
A A A i
i
 λp r p , whence we
get that 1A λ . According to Theorem 1, the last
inequality gives the productivity of this model.
We will conduct numerical experiments confirm-
ing the practical significance of this result, which is ex-
pressed in the expansion of the considered classes of
problems.
Numerical example. Table 1 contains data on the
balance of the three industries for a certain period in the
real case.
Table 1.
Balance data for the three industries in the real case.
№ Industry Consuption Gross issue
1 2 3
1 Extraction and processing of hydrocarbons 5 35 20 50
2 Power industry 10 10 20 100
3 Engineering 20 10 19 70
Now suppose that each branch contains interval data, i.e. has interval uncertainty (table 2):
Table 2.
Balance data for the three industries in the interval case.
№ Industry Consuption ijx Gross issue jx
1 2 3
1 Extraction and processing of hydrocarbons [4,6] [33,37] [19,22] [40,52]
2 Power industry [9,11] [9,11] [18,23] [88,104]
3 Engineering [15,22] [9,11] [17,21] [67,75]
Determine the coefficients of the matrix of direct production costs:
[0.0769, 0.1501] [0.3173, 0.4205] [0.2533, 0.3236]
/ [0.1730, 0.2751] [0.0865, 0.1251] [0.2399, 0.3383]
[0.2884, 0.5501] [0.0865, 0.1251] [0.2266, 0.3089]
ij jx x
 
    
 
 
A ,
1
1
1
e
 
   
 
 
.
Multiplying the matrix A by the vector e, we obtain the sum of the elements ir of each row:
[0.6475, 0.8940]
[0.4996, 0.7383]
[0.6016, 0.9839]
e
 
    
 
 
A r .
Left interval Frobenius vector  [40,52],[88,104],[67,75]A
p . Now calculate
1
[106.0570, 197.0505] 197.0505 ( )
n
A i A i
i
   p r r p ,

10. 10 The scientific heritage No 34 (2019)
1
( ) 231.0000
n
A i
i
p
=
=е , from here 197.0505/231.0000=0.8530<1A
λ .
Since the conditions of Theorem 1 are satisfied.
Thus, a similar calculation for columns
0.83645623538672<1A
λ , also states
that the condition of Theorem 1 is satisfied.
Calculations for this problem were carried out on
the interval package INTLAB [5], which works in the
core of the computer mathematical system MatLab.
Concluding, we note that the real Leontief model
reflects only the potential possibilities incorporated in
the production technology. In (1) it is assumed that the
production process takes place instantly - all intermedi-
ate products are produced by the time when there is a
need for them. In contrast, model (2) includes both the
results of the already completed and the future cycle,
and the intervalness i ja and ic allows scrolling sim-
ultaneously the continual set of production cycles and
consumption options.
References
1. Z.Kh.Yuldashev, A.A.Ibragimov About inter-
val version of inter-industry balance equation // Com-
putational technologies, Volume 7, №5, 2002. -pp. 8-9.
2. S.P.Shary Finite-Dimensional Interval Analy-
sis. ICT SB RAS –Novosibirsk: Electronic Book
(2018): http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks.
3. R.B.Kearfott, M.T.Nakao, A.Neumaier,
S.M.Rump, S.P.Shary, P. Hentenryck Standardized no-
tation in interval analysis. // Computational technolo-
gies 2010. Vol.15, №1, pp.7-13.
4. M.E.Jerrell Interval Arithmetic for Input-out-
put Models with Inexact Data // Computational Eco-
nomics, Kluwer Academic Publishers.-1997. –Vol.10.
–P.89-100.
5. S.M. Rump. INTLAB - INTerval LABoratory.
In Tibor Csendes, editor, Developments in Reliable
Computing, pages 77–104. Kluwer Academic Publish-
ers, Dordrecht, 1999. http://www.ti3.tu-har-
burg.de/rump/intlab/index.html.
МОДЕЛЬ МИКРОКРИСТАЛЛИЗАЦИИ РАВНОМОЛЯРНЫХ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ РАСПЛАВОВ В ДИФФУЗИОННО-РЕЛАКСАЦИОННОМ РЕЖИМЕ
Байков Ю.А.
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева,
профессор кафедры физики, д. ф.- м. н., профессор.
Петров Н.И.
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева,
доцент кафедры физики, к. ф.- м. н., доцент.
Антонова Т.Л.
Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева,
доцент кафедры физической химии, к. х. н., доцент.
Тимошина М.И.
Московский технический университет связи и информатики,
доцент кафедры физики, к. т. н., доцент.
Акимов Е.В.
Московский технический университет связи и информатики,
ассистент кафедры физики.
THE EQUAL-MOLAR BINARY METALLIC MELTS’ MICRO CRYSTALLIZATION MODEL IN
THE DIFFUSIVE-RELAXATION PROCEDURE
Baikov Yu.A.,
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia,
Full Professor, Physics Department, Dr. Sci (Phys.-Math).
Petrov N.I.,
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia,
Associate Professor, Physics Department, Cand. Sci (Phys.-Math).
Antonova T.L.,
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia,
Associate Professor, physical chemistry Department, Cand. Sci (Chem).
Timoshina M.I.,
Moscow Technical University of Communications and Informatics,
Associate Professor, Physics Department, Cand. Sci (Tech.).
Akimov E.V.
Moscow Technical University of Communications and Informatics,
Lecturer, Physics Department.

11. The scientific heritage No 34 (2019) 11
Аннотация
Рассмотрена модель микрокристаллизации равномолярных двухкомпонентных металлических рас-
плавов в диффузионно-релаксационном режиме. При этом развита модель переходной двухфазной зоны
(ПДЗ) в пространстве концентраций мономеров роста, принадлежащих двум агрегатным состояниям – рас-
плаву и кристаллу. Записаны кинетические дифференциально-разностные уравнения, описывающие эво-
люцию структуры ПДЗ во времени с учетом ее «ступенчатой» формы, образованной механизмом спонтан-
ных флуктуаций с ограниченным спектром изменения концентраций мономеров роста (в модели ПДЗ) во
всех монослоях переходной конечной области, отделяющей собой двухкомпонентный расплав от кристал-
лической фазы. Учтены зависимости частот обмена мономерами роста между расплавом и кристаллом от
энергий связи двух ближайших мономеров и от температуры кристаллизующейся системы расплав-кри-
сталл. Эта модель соответствует схеме реальной конечной протяженности поверхности раздела двух со-
прикасающихся фаз и носит название кристалла Косселя-Странского.
Abstract
In so-called diffusive-relaxation procedure the equal-molar binary metallic melts’ micro crystallization model
has been investigated. There has been developed a diphase transitional zone (DTZ) scheme, defined in some
growth monomers concentration space. The growth monomers concentration belonged to two different aggregate
states – the melt and crystalline phase. There has been written a kinetic differential-difference equation describing
the time DTZ – structure evolution. There has been used a step-like DTZ configuration model formed by the
limited spectrum fluctuation mechanism of above-mentioned growth monomers concentrations. The DTZ con-
sisted of some monoatomic thickness growth monomers’ number. Given DTZ separated two massive adjoining
phases – the binary melt and crystal. In the nearest neighbour approximation there have been defined the exchange
frequencies of growth monomers between two adjoining massive phases – the binary melt and crystal as functions
of their interaction energies and crystallizing system temperature. This model corresponds to the real length inter-
face of two contiguous phases, and is called the Kossel-Stranski crystal.
Ключевые слова: переходная двухфазная зона, мономеры роста, параметр дальнего порядка, высоты
изломов, образованных концентрациями мономеров роста кристаллической фазы, параметр «шероховато-
сти» ПДЗ, скорость кристаллизации.
Keywords: diphase transitional zone, growth monomers, a far-order parameter, the growth monomers con-
centration fracture heights, a «roughness» parameter, the crystallization rate.
Введение
При создании современных металлических ма-
териалов, отвечающих требованиям практического
их использования, весьма насущным является изу-
чение физической природы фазовых переходов при
образовании кристаллических систем в зависимо-
сти от выбранной модели их микрокристаллизации.
Весьма актуально развитие теории фазовых перехо-
дов или специфических физических эффектов в
концентрированных кристаллических фазах, фор-
мирующихся из различных исходных маточных
сред. К ним относится теория кристаллизации.
Весьма актуальным является изучение различия в
кинетике кристаллизации металлов и сплавов с од-
ной стороны и неметаллами с другой. В частности,
при кристаллизации одно- и многокомпонентных
металлических расплавов существенную роль
должна играть морфология поверхности раздела
двух соприкасающихся фаз системы расплав-кри-
сталл в двух известных в кристаллографии режи-
мах – кинетическом (бездиффузионном) и диффу-
зионно-релаксационном. Эти различия предполага-
ется описать и изучить в пределах некоторой
переходной области – переходной двухфазной зоны
(ПДЗ), отделяющей две соприкасающиеся массив-
ные фазы в двух вышеупомянутых режимах. В ки-
нетическом режиме эта ПДЗ подробно изучена в ра-
ботах [1-9]. В этих работах в целях теоретического
удобства описания морфологии переходной двух-
фазной зоны, отделяющей собой металлический
расплав от кристалла, были введены понятия моно-
меров роста в пространстве концентраций двух воз-
можных агрегатных состояний (расплав и кри-
сталл), заменяющих собой реальные металлические
микрочастицы в реальных переходных межфазных
областях.
В работах [1-9] используемая модель переход-
ной двухфазной зоны (ПДЗ) в пространстве концен-
траций мономеров роста имела «ступенчатую»
форму (см. рис.1), обусловленную действием меха-
низма спонтанных флуктуаций с ограниченным
спектром изменения концентраций мономеров ро-
ста твердой фазы. Такая схема ПДЗ имела сходство
с известными свойствами реальных поверхностей
раздела системы расплав-кристалл, а именно: ее ко-
нечность – 𝒏 𝟎 (число моноатомной толщины слоев
ПДЗ) и ступень с изломами. Эти реальные поверх-
ности раздела носят название поверхности
Косселя-Странского.
По оси абсцисс рис.1 отложены номера моно-
атомной толщины слоев ПДЗ, отделяющих собой
кристалл от двухкомпонентного металлического
расплава. По оси ординат отложены величины кон-
центраций мономеров роста, находящихся в кри-
сталлическом состоянии (заштрихованные стол-
бики 𝒄𝒊 =
𝒎𝒊
𝑵⁄ , где 𝒎𝒊 – число мономеров роста
кристалла в слое 𝒊, 𝑵 – общее количество мономе-
ров роста обоих состояний (жидкого и

12. 12 The scientific heritage No 34 (2019)
Рис.1 Модель переходной двухфазной зоны (ПДЗ)
«ступенчатой» формы в пространстве концентраций мономеров роста
кристаллического и обоих сортов) в каждом
слое ПДЗ толщины 𝒅, характеризующей размер од-
ного мономера роста вдоль каждого из трех направ-
лений объемной переходной двухфазной зоны.
Число 𝑵 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. На рис. 1 представлено сечение
ПДЗ плоскостью 𝒁 = 𝟎 (плоскостью рисунка) [10].
Незаштрихованные части каждого из 𝒏 𝟎 столбиков
толщины 𝒅 определяют концентрации мономеров
роста, находящихся в двухкомпонентном равномо-
лярном металлическом расплаве. Каждый заштри-
хованный столбик на рис. 1 в случае двухкомпо-
нентной системы расплав-кристалл предполагается
состоящим из конечного числа мономеров, обозна-
чаемых как 𝜶𝑵−𝟏
, 𝜷𝑵−𝟏
, 𝜸𝑵−𝟏
и т.д., где 𝜶, 𝜷, 𝜸 =
𝑨, 𝑩 – индексы, отмечающие сортность того или
иного мономера роста, каждый из которых нахо-
дится в кристаллическом состоянии. Всего мономе-
ров роста кристаллического состояния во всех 𝒏 𝟎–
монослоях ПДЗ очевидно есть 𝑵 ∑ 𝒄𝒊
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏 [11,12]. Со-
ответственно число мономеров роста жидкого со-
стояния во всех 𝒏 𝟎 слоях ПДЗ есть 𝑵(𝒏 𝟎 − ∑ 𝒄𝒊)
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏 .
Фигурирующие здесь концентрации 𝒄𝒊 = 〈𝒄𝒊〉 явля-
ются усредненными величинами в соответствии с
функциями распределения вероятностей реализа-
ции спонтанных флуктуаций концентраций частиц
твердого состояния (мономеров роста в модели
ПДЗ) с ограниченным спектром их изменения (см.
[7,13,14,15]). Конечной протяженности структура
ПДЗ (𝒏 𝟎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕) характеризуется величинами из-
ломов границы раздела двух соприкасающихся
двухкомпонентных фаз (расплав-кристалл). В про-
цессе действия флуктуационного механизма с огра-
ниченным спектром в слоях ПДЗ оказывается, что
в результате флуктуации концентрации мономеров
роста твердой фазы в 𝒊 - слое (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎) дан-
ная концентрация не может быть больше соответ-
ствующей концентрации мономеров роста твердого
состояния в соседнем (𝒊 − 𝟏) слое и не может быть
меньше аналогичной концентрации в соседнем (𝒊 +
𝟏) слое ПДЗ. В результате величины (высоты) этих
изломов, определяемые как
𝑲𝒊−𝟏 = 〈𝑪𝒊−𝟏〉 − 〈𝑪𝒊−𝟐〉, 𝑲𝒊 = 〈𝑪𝒊〉 − 〈𝑪𝒊−𝟏〉, 𝑲𝒊+𝟏 =
〈𝑪𝒊+𝟏〉 − 〈𝑪𝒊〉,
оказываются неположительными при всех 𝒊 =
𝟏, … , 𝒏 𝟎 − 𝟏. На рис. 1 высоты этих изломов пока-
заны на границах монослоев (𝒊 − 𝟐), (𝒊 − 𝟏); (𝒊 − 𝟏),

13. The scientific heritage No 34 (2019) 13
𝒊 и 𝒊, (𝒊 + 𝟏). В направлении оси 𝒁, направленной
вертикально вниз по отношению к плоскости ука-
занного сечения (плоскость рисунка), за каждым из
отмеченных мономеров роста, находящихся в опре-
деленном агрегатном состоянии, находится некий
мономер роста того же агрегатного состояния.
Выше плоскости сечения в модели ПДЗ какие-либо
мономеры роста, по определению, отсутствуют.
Структура переходной двухфазной зоны
Сама структура ПДЗ описывается наборами
тех же функций, что были использованы в работах
[7-15], но в новом диффузионно-релаксационном
режиме кристаллизации двухкомпонентных равно-
молярных металлических расплавов при образова-
нии кристаллической двухкомпонентной фазы с
простой кубической элементарной решеткой (куби-
ческая сингония) и стехиометрического состава.
Это означает, что функции, описывающие струк-
туру ПДЗ, зависят от времени. Таким образом,
структура переходной двухфазной зоны, не меняя
своей кристаллографической симметрии – протя-
женности и кубической сингонии, перераспределя-
ется внутри себя по составу мономеров роста, зани-
мающих узлы двух подрешеток кристаллической
фазы, на которые разбивается исходная кубическая
простая ячейка. Физически это означает, что перво-
начально полностью, возможно, разупорядоченная
двухкомпонентная кристаллическая фаза в данном
режиме кристаллизации с течением времени полу-
чает возможность перейти в полностью упорядо-
ченное состояние. При этом для систем с элемен-
тарной кубической ячейкой и стехиометрического
состава, параметр дальнего порядка 𝜼(𝒕), определя-
емый аналогично работам [7-15], является функ-
цией времени и может изменяться в пределах 𝟎 ≤
𝜼(𝒕) ≤ 𝟏. Это свойство параметра 𝜼(𝒕) изменяться
с течением времени в указанных приделах сохраня-
ется при любых допустимых переохлаждениях си-
стемы двухкомпонентный расплав-кристалл, что
было невозможно при кинетическом режиме кри-
сталлизации двухкомпонентных равномолярных
металлических расплавов (см. [1-6]). Очевидно бу-
дет иметь место некий релаксационный процесс,
характеризуемый временем релаксации и коэффи-
циентом диффузии.
Для систем с простой кубической ячейкой и
стехиометрического состава, когда данная простая
кубическая решетка разбивается на две эквивалент-
ные подрешетки с чередующимися узлами, вводят
функции 𝑿 𝜶
(𝒊).
, определяющие априорную вероят-
ность замещения мономерами роста сорта «𝜶» ка-
кого-либо узла, принадлежащего 𝒊 – ой подрешетке
(𝜶 = 𝑨, 𝑩; 𝒊 = 𝟏, 𝟐). Эти вероятности зависят от па-
раметра дальнего порядка 𝜼(𝒕) и имеют вид:
𝑿 𝑨
(𝟏)
(𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝟏 + 𝜼(𝒕)), 𝑿 𝑩
(𝟏)
(𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝜼(𝒕)),
𝑿 𝑨
(𝟐)
(𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝜼(𝒕)), 𝑿 𝑩
(𝟐)
(𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝟏 + 𝜼(𝒕)).
(𝟏)
Если ввести числа 𝑵, 𝑵(𝟏), 𝑵(𝟐), обозначающие
общее количество узлов твердой фазы обеих подре-
шеток, подрешеток первого и второго типов соот-
ветственно, то параметр дальнего 𝜼(𝒕) порядка
можно определить следующим образом:
𝜼(𝒕) =
𝑿 𝑨
(𝟏)
(𝒕) − 𝝂 𝟎
𝟏 − 𝝂 𝟎
,
где 𝝂 𝟎 =
𝑵(𝟏)
𝑵
, 𝟏 − 𝝂 𝟎 =
𝑵(𝟐)
𝑵
.
(𝟐)
При этом полностью разупорядоченная двух-
компонентная кристаллическая структура с про-
стой кубической ячейкой и стехиометрического со-
става характеризуется следующими величинами
априорных вероятностей:
𝑿 𝑨
(𝟏)
= 𝑿 𝑨
(𝟐)
= 𝝂 𝟎 = 𝑪 𝑨, 𝑿 𝑩
(𝟏)
= 𝑿 𝑩
(𝟐)
= 𝟏 − 𝝂 𝟎 = 𝑪 𝑩,
где 𝑪 𝑨 и 𝑪 𝑩 – концентрации мономеров роста в
кристаллической фазе в каждом заштрихованном
столбике ПДЗ соответственно сортов 𝑨 и 𝑩.
Функции, определяющие структуру всех 𝒏 𝟎
монослоев переходной двухфазной зоны в про-
странстве концентраций мономеров роста кристал-
лической фазы (см. рис. 1) в произвольный момент
времени «𝒕» по аналогии с подобными функциями
в кинетическом режиме следующие. Пусть функ-
ция 𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏, 𝒕) есть вероятность обнаружить
столбцы кристаллической фазы в модели ПДЗ,
оканчивающиеся сверху мономерами роста
𝜶𝑵−𝟏
, 𝜷𝑵−𝟏
, принадлежащими узлам подрешеток
«𝒋» и «𝒌» соответственно, в конфигурации с изло-
мами 𝑲𝒊 и 𝑲𝒊+𝟏 слева и справа от него в момент вре-
мени «𝒕» (𝜶, 𝜷 = 𝑨, 𝑩; 𝒋, 𝒌 = 𝟏, 𝟐; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎 ).
Функция 𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕) есть вероятность обнаружить
столбик, оканчивающийся мономерами роста
𝜶𝑵−𝟏
, 𝜷𝑵−𝟏
, принадлежащими соответственно уз-
лам подрешеток «𝒋» и «𝒌» у излома высоты 𝑲𝒊 в тот
же момент времени «𝒕» ( 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎 ). Далее,
например, функция 𝑿 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏, 𝒕) есть
вероятность обнаружить столбик, оканчивающийся
мономерами роста 𝜶𝑵−𝟏
, 𝜷𝑵−𝟏
,𝜸𝑵−𝟏
, принадлежа-
щими узлам подрешеток 𝒋,𝒌, 𝒋 соответственно, в
конфигурации с изломами 𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
слева и 𝑲𝒊+𝟏
справа от него в момент времени «𝒕» (𝒊 =
𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎 ). Введение подобных функций совер-
шенно необходимо для описания эволюции кри-
сталлизующейся ПДЗ во времени с меняющейся
структурой.
Обмен мономерами роста разных сортов и в
разных структурных конфигурациях между сопри-
касающимися массивными фазами – расплавом и
кристаллом – в модели ПДЗ в пространстве концен-
траций описывают частотами отрыва мономера ро-
ста 𝜷𝑵−𝟏
от мономера роста 𝜶𝑵−𝟏
, принадлежа-
щими узлам подрешеток «𝒋» и «𝒌» соответственно
кристаллической фазы в конфигурации, характери-
зуемой высотами 𝑲𝒊 и 𝑲𝒊+𝟏 𝝎−𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏), и ча-
стотами присоединения мономера роста 𝜷𝑵−𝟏
рас-
плава к мономеру 𝜶𝑵−𝟏
твердой фазы в соответ-
ствующих конфигурациях 𝝎+𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏).
Эти частоты обменов мономерами роста были
использованы в работах [1-7] и имеют следующий
вид:

14. 14 The scientific heritage No 34 (2019)
𝝎−𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏) =
{
𝝂𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝜶𝜷
𝟏𝟏
+∑ 𝜺 𝜹𝜷
𝟏𝟏
𝒙 𝜹
(𝒋)
𝜹
𝑻
] = 𝝎 𝟏𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
при 𝑲𝒊 > 0, 𝑲𝒊+𝟏 < 0
𝝂𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝜶𝜷
𝟏𝟏
+𝟐 ∑ 𝜺 𝜹𝜷
𝟏𝟏
𝒙 𝜹
(𝒋)
𝜹
𝑻
] = 𝝎 𝟐𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
при 𝑲𝒊 > 0, 𝑲𝒊+𝟏 ≥ 𝟎
либо 𝑲𝒊 ≤ 𝟎, 𝑲𝒊+𝟏 < 0
𝝂𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝜶𝜷
𝟏𝟏
+𝟑 ∑ 𝜺 𝜹𝜷
𝟏𝟏
𝒙 𝜹
(𝒋)
𝜹
𝑻
] = 𝝎 𝟑𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
при 𝑲𝒊 ≤ 𝟎, 𝑲𝒊+𝟏 ≥ 𝟎
𝝎+𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊−𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏) = 𝝎+𝟏𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
= 𝝂+ 𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝜶𝜷
𝟏𝟐
+ ∑ 𝜺 𝜹𝜷
𝟏𝟐
𝒙 𝜹
(𝒋)
𝜹
𝑻
]
при 𝑲𝒊−𝑵−𝟏 < 0, 𝑲𝒊+𝟏 < 0
(𝟑)
𝝎+𝜷𝜸
(𝒋𝒌)
(𝑲 𝒊,𝑲 𝒊+𝟏)=𝝎+𝟏𝜷𝜸
(𝒋𝒌)
=𝝂+ 𝒆𝒙𝒑[−
𝜺 𝜷𝜸
𝟏𝟐+∑ 𝜺 𝜹𝜸
𝟏𝟐 𝒙
𝜹
(𝒋)
𝜹
𝑻
]
при 𝑲 𝒊<0, 𝑲 𝒊+𝟏≤𝟎
(4)
В выражениях (𝟑) и (𝟒) постоянная Больцмана
принята за единицу, 𝝂+ и 𝝂 есть частотные фак-
торы, характеризующие степень колебаний около
положений равновесий мономеров роста в двух-
компонентных металлических расплавах и в двух-
компонентной кристаллической фазах соответ-
ственно, величины 𝜺 𝜶𝜷
𝟏𝟏
и 𝜺 𝜶𝜷
𝟏𝟐
и им подобные озна-
чают взятые с обратным знаком энергии связи двух
ближайших мономеров роста 𝜶𝑵−𝟏
и 𝜷𝑵−𝟏
, нахо-
дящихся в кристалле, а также аналогичных мономе-
ров роста кристалла и расплава. Индексы вверху 1
и 2 относятся к кристаллу и расплаву соответ-
ственно. Индексы, отмечающие номера подреше-
ток в кристаллической фазе при этом опущены.
Функции 𝒙 𝜹
(𝒋)
определены равенствами (𝟏) и (𝟐).
В работах [1-6] было отмечено, что формулы
(𝟑) и (𝟒) для частот присоединения мономеров ро-
ста из двухкомпонентного расплава к мономерам
роста кристаллической фазы были справедливы
при условии, что по крайней мере один из мономе-
ров роста находится в жидкой фазе (расплаве),
типы же мономеров роста, взаимодействующих в
первом приближении, при этом особой роли не иг-
рают. Эти обстоятельства выражаются в виде сле-
дующих равенств:
𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟐
= 𝜺 𝑨𝑩
𝟏𝟐
= 𝜺 𝑨𝑨
𝟐𝟐
= 𝜺 𝑨𝑩
𝟐𝟐
= 𝜺 𝑩𝑩
𝟏𝟐
= 𝜺 𝑩𝑨
𝟏𝟐
= 𝜺 𝑩𝑩
𝟐𝟐
= 𝜺 𝑩𝑨
𝟐𝟐
. (𝟓)
Из равенств (𝟓) следует, что частоты присо-
единения, характеризующие переходы мономеров
роста из расплава в двухкомпонентную кристалли-
ческую фазу, не зависят от конкретной конфигура-
ции ПДЗ, где происходят подобные обмены, но за-
висят от энергии связи ближайших односортных
мономеров роста, находящихся в разных агрегат-
ных состояниях и от температуры кристаллизую-
щегося двухкомпонентного расплава. Если ввести
параметр 𝒒 𝟐 = 𝒆𝒙𝒑 [−
𝟐𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟐
𝑻
], где 𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟐
– взятая с об-
ратным знаком энергия взаимодействия односорт-
ных мономеров роста 𝑨– 𝑨, находящихся в разных
агрегатных состояниях, то в силу равенств (𝟓)
можно получить для частот присоединения моно-
меров роста следующие равенства:
𝝎+𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊−𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏) = 𝝎+𝜷𝜸
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏) = 𝝂+ 𝒒 𝟐
при 𝑲𝒊−𝑵−𝟏 < 0, 𝑲𝒊 < 0, 𝑲𝒊+𝟏 ≤ 𝟎
𝝎+𝜷𝜸
(𝒌𝒋)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏) = 𝝎+𝟏𝜷𝜸
(𝒌𝒋)
= 𝝂+ 𝒒 𝟐.
Если ввести новую величину 𝒒 𝟏 =
𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟏
𝑻
] = 𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝑩𝑩
𝟏𝟏
𝑻
], связанную с энергиями
связи двух ближайших мономеров роста одного
сорта в кристалле, то, используя условия (𝟓) и ра-
венства
𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟐
= 𝜺 𝑨𝑩
𝟏𝟐
= 𝒏𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟏
= 𝒏𝜺 𝑩𝑩
𝟏𝟏
,
где 𝒏 обычно меньше единицы (𝒏 =
𝟏
𝟐
;
𝟏
𝟑
), то
получаем равенства:
𝒒 𝟏
𝒏
= 𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝑨𝑩
𝟏𝟐
𝑻
] = 𝒆𝒙𝒑 [−
𝜺 𝑩𝑨
𝟏𝟐
𝑻
] , то есть 𝒒 𝟐 = 𝒒 𝟏
𝟐𝒏
. (𝟔)
При 𝒏 =
𝟏
𝟐
, имеем 𝒒 𝟏 = 𝒒 𝟐. Эти результаты бу-
дут использованы при исследовании кристаллиза-
ции двухкомпонентных равномолярных металли-
ческих расплавов в диффузионно-релаксационном
режиме. Связь энергий связи в приближении бли-
жайших соседей между разносортными и односорт-
ными мономерами роста, находящихся в кристал-
лической фазе, есть 𝜺 𝑨𝑩
𝟏𝟏
= 𝒎𝜺 𝑨𝑨
𝟏𝟏
, где 𝒎 > 1.
Физически модель конечной протяженности
переходной двухфазной зоны в пространстве кон-
центраций мономеров роста обусловлена механиз-
мом спонтанных флуктуаций концентраций моно-
меров роста кристаллического состояния с ограни-
ченным спектром изменения величин этих концен-
траций. Если ввести величину 𝒄𝒊(𝒕𝒊) = 𝑿𝒊𝒊, которая
определяет величину концентрации мономеров ро-
ста после флуктуации в 𝒊 – ом монослое переходной
зоны в момент времени 𝒕𝒊, то концентрация моно-
меров роста кристаллической двухкомпонентной
фазы равна ограниченной величине 𝑿𝒊+𝟏𝒊+𝟏 ≤ 𝑿𝒊𝒊 ≤
𝑿𝒊−𝟏𝒊−𝟏, где 𝑿𝒊−𝟏𝒊−𝟏 = 𝒄𝒊−𝟏(𝒕𝒊−𝟏);
𝑿𝒊+𝟏𝒊+𝟏 = 𝒄𝒊+𝟏(𝒕𝒊+𝟏) – соответствующие ана-
логичные концентрации в слоях (𝒊 − 𝟏) в момент
времени 𝒕𝒊−𝟏 и (𝒊 + 𝟏) в момент времени 𝒕𝒊+𝟏, при-
чем 𝒕𝒊−𝟏 = 𝒕𝒊 − 𝝉, 𝒕𝒊+𝟏 = 𝒕𝒊 + 𝝉 (𝝉 – период одной

15. The scientific heritage No 34 (2019) 15
спонтанной флуктуации) (см. [7]). Тогда при зако-
нах распределения подобных флуктуаций можно
ввести понятие величины средней концентрации
𝑿𝒊𝒊 мономеров роста твердого состояния в моно-
слое 𝒊 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎) в момент времени 𝒕𝒊. Для хо-
рошо развитых переходных двухфазных зон, харак-
теризуемых большим числом монослоев 𝒏 𝟎, теория
спонтанных флуктуаций с ограниченным спектром
изменения концентраций мономеров роста твер-
дого состояния дает следующее выражение: 𝑿𝒊𝒊 =
( 𝟏
𝟐⁄ )𝒊
(𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎). При этом протяженность
самой ПДЗ (число ее монослоев) отвечает условию
𝒏 𝟎 < 1 + 1,4 𝒍𝒏 𝑵.
В модели ПДЗ, связанной с механизмом спон-
танных флуктуаций концентраций мономеров ро-
ста кристаллического состояния с ограниченным
спектром изменения этих концентраций, размер 𝒊 –
го слоя в 𝒕𝒊 – момент дискретного времени, состоя-
щего лишь из кристаллической двухкомпонентной
фазы, очевидно равен 𝑵𝑿𝒊𝒊 𝒅, где 𝒅 – линейный раз-
мер мономера роста, 𝒕𝒊 = 𝒕 𝟎 + 𝒊𝝉 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎),
𝒕 𝟎 – начальный момент упорядоченного действия
вышеупомянутого флуктуационного механизма.
Очевидно время релаксации (установления упоря-
доченности двухкомпонентной кристаллической
фазы), в рассматриваемой модели ПДЗ в каждом 𝒊 -
монослое (𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎) можно определить соот-
ношением 𝝉 𝒑𝒊 =
𝑵𝑿𝒊𝒊
𝝂⁄ . Общая протяженность не-
однородности по составу мономеров роста двух-
компонентной кристаллической фазы (сумма всех
заштрихованных столбиков по высоте на рис. 1)
равна
𝑳 = 𝑵𝒅 ∑ 𝑿𝒊𝒊
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
.
Полное время релаксации, связанное с возмож-
ными перемещениями всех мономеров роста кри-
сталлической двухкомпонентной фазы во всех 𝒏 𝟎
монослоях сечения ПДЗ плоскостью 𝒁 = 𝟎, оче-
видно равно:
𝝉 𝒑 = ∑ 𝝉 𝒑𝒊 =
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
𝑵
𝝂
∑ 𝑿𝒊𝒊
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
=
𝑵
𝝂
[𝟏 − ( 𝟏
𝟐⁄ ) 𝒏 𝟎],
где ∑ 𝑿𝒊𝒊
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟏 − ( 𝟏
𝟐⁄ ) 𝒏 𝟎 –
конечная сумма членов убывающей геометри-
ческой прогрессии со знаменателем 𝒒 = 𝟏
𝟐⁄ . С
другой стороны, если ввести коэффициент диффу-
зии 𝑫, связанный с перемещением мономеров роста
кристаллической фазы во всех 𝒏 𝟎 монослоях ПДЗ,
то из известного диффузионного соотношения 𝑳 𝟐
=
𝑫𝝉 𝒑, следует выражение для времени релаксации:
𝝉 𝒑 = ∑ 𝝉 𝒑𝒊 =
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
𝑵
𝝂
[𝟏 − ( 𝟏
𝟐⁄ )
𝒏 𝟎
] = ( 𝑳 𝟐
𝑫⁄ ),
где (𝑵𝒅) 𝟐
(∑ 𝑿𝒊𝒊
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
) 𝟐
=
𝑫𝑵
𝝂
∑ 𝑿𝒊𝒊
𝒏 𝟎
𝒊=𝟏
.
Таким образом, получаем выражение для вре-
мени релаксации во всей кристаллической двух-
компонентной фазе в модели ПДЗ:
𝝉 𝒑 =
𝑫
(𝝂𝒅) 𝟐
(𝟕)
В таком случае усредненное время релаксации
для взятого отдельно 𝒊 - го монослоя ПДЗ можно
записать в виде 𝝉 𝒑𝒊 =
𝝉 𝒑
𝒏 𝟎
⁄ . Например, если счи-
тать 𝒏 𝟎 = 𝟏𝟎; 𝑵 = 𝟏𝟎 𝟓
; 𝝂 = 𝟏𝟎 𝟏𝟑
Гц, то оценка вре-
мени релаксации, даваемая флуктуационной тео-
рией есть 𝝉 𝒑𝒊 = ( 𝑵
𝝂⁄ )𝑿𝒊𝒊 = 𝟏𝟎−𝟏𝟏
сек. Если поло-
жить коэффициент диффузии в металлических
двухкомпонентных сплавах в кристалле 𝑫 =
𝟏𝟎−𝟔 м 𝟐
с⁄ , (𝝂𝒅) = 𝟏𝟎 𝟐 м
с⁄ , то время релаксации в
диффузионно-релаксационном режиме окажется
равным 𝝉 𝒑𝒊 =
𝝉 𝒑
𝒏 𝟎
⁄ = 𝟏𝟎−𝟏𝟏
сек, то есть времена
релаксации в среднем даваемые флуктуационной
теорией (см. [7]) и диффузионно-релаксационным
режимом кристаллизации равномолярных двух-
компонентных расплавов практически совпадают.
Уравнения эволюции переходной двухфаз-
ной зоны при диффузионно-релаксационном ре-
жиме кристаллизации двухкомпонентных рав-
номолярных металлических расплавов
При переходе от кинетического режима кри-
сталлизации двухкомпонентных равномолярных
металлических расплавов, описанного в работах [1-
10], к диффузионно-релаксационному режиму по-
добных расплавов изменение состояния переход-
ной двухфазной зоны (ПДЗ) должно описываться
структурными функциями, зависящими от вре-
мени, с учетом наличия времен релаксации 𝝉 𝒑𝒊 (𝒊 =
𝟏, 𝟐, … , 𝒏 𝟎). В соответствии со «ступенчатой» фор-
мой раздела двух соприкасающихся двухкомпо-
нентных массивных фаз (расплава и кристалла) и
при наличии времен релаксации дифференциально-
разностные кинетические уравнения, описываю-
щие эволюцию ПДЗ во времени и при учете усло-
вий 𝑲𝒊 ≤ 𝟎, 𝑲𝒊+𝟏 ≤ 𝟎, имеют следующий вид:
𝒅𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕)
𝒅𝒕
= ∑ 𝝎+𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊 − 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏)𝑿 𝜶
(𝒋)
(𝑲𝒊 − 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏, 𝒕) +
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<𝟎
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎
+ ∑ ∑ 𝝎−𝜷𝜸
(𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏)𝑿 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏, 𝒕) −
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<𝟎
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎𝜸
(8)
− ∑ ∑ 𝝎+𝜷𝜸
(𝒌𝒋)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏)𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏, 𝒕) −
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<0
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎𝜸

16. 16 The scientific heritage No 34 (2019)
− ∑ 𝝎−𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏)𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏, 𝒕) =
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<0
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎
−
𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕)
𝝉 𝒑𝒊
где 𝜶, 𝜷, 𝜸 = 𝑨, 𝑩; 𝒋, 𝒌 = 𝟏, 𝟐.
Знак минус в правой части дифференциально-разностного уравнения (𝟖) следует из физического
требования на решения дифференциального уравнения
𝒅𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕)
𝒅𝒕
= −
𝒅𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕)
𝝉 𝒑𝒊
,
то есть на функцию
𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕) = 𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝟎)𝒆
−( 𝒕
𝝉 𝒑𝒊⁄ )
= 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊)𝒆
−( 𝒕
𝝉 𝒑𝒊⁄ )
, (𝟗)
а именно 𝒍𝒊𝒎
𝒕→∞
𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝒕) = 𝟎, что означает исчезновение переходной двухфазной зоны при доста-
точно большом интервале 𝒕, а следовательно и всех ее характеристик (процесс кристаллизации прекраща-
ется). При введении новых функций:
𝑿 𝜶
(𝒋)
(𝑲𝒊 − 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏, 𝟎) = 𝒁 𝜶
(𝒋)
(𝑲𝒊 − 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏);
𝑿 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏, 𝟎) = 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏);
𝑿 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏, 𝑲𝒊+𝟏, 𝟎) = 𝒁 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏, 𝑲𝒊+𝟏),
описывающих начало кристаллизации ПДЗ в момент времени 𝒕 = 𝟎, уравнение (8) переходит в
следующее:
∑ 𝝎+𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊 − 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏)𝒁 𝜶
(𝒋)
(𝑲𝒊 − 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏) +
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<0
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎
+ ∑ ∑ 𝝎−𝜷𝜸
(𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏)𝒁 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏) −
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<0
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎𝜸
(10)
− ∑ ∑ 𝝎+𝜷𝜸
(𝒌𝒋)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏)𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏) −
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<0
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎𝜸
− ∑ 𝝎−𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏)𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏) =
(𝑪 𝒊+𝟏−𝑪 𝒊−𝟏)<0
𝑲 𝒊+𝟏=𝟎
−
𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊)
𝝉 𝒑𝒊
По аналогии с работами [1-6] все фигурирующие в уравнении функции 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊), 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏),
𝒁 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏) и им подобные отвечают условиям сверток по величинам 𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏 и сортам моно-
меров роста 𝜶, 𝜷, 𝜸 = 𝑨, 𝑩
∑ 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏) =
𝑲 𝒊,𝑲 𝒊+𝟏
∑ 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊) =
𝑲 𝒊
𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
,
∑ 𝒁 𝜶𝜷𝜸
(𝒋𝒌𝒋)
(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏) = 𝒁(𝑲𝒊 + 𝑵−𝟏
, 𝑲𝒊+𝟏).
𝜶𝜷𝜸
Одновременно имеют место условия нормировки для функций 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊), 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏):
∑ ∑ 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊)
𝑲 𝒊𝜶,𝜷
= 𝟏, ∑ ∑ 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏)
𝑲 𝒊,𝑲 𝒊+𝟏𝜶,𝜷
= 𝟏
и т. д. Сами функции 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊) определены, аналогично работам [1-6], в классе произведений
𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊) = {
𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝟎)𝝀 𝑲 𝒊 при 𝑲𝒊 ≥ 𝟎
𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝟎)𝝀|𝑲 𝒊|
при 𝑲𝒊 < 0
(𝟏𝟏)
где 𝝀 заключена в пределах 𝟎 < 𝝀 ≤ 𝟏 и носит название параметра «шероховатости» границы раздела
фаз расплав-кристалл, 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝟎) – функция, определяющая вероятность найти в модели ПДЗ столбик кри-
сталлической фазы, оканчивающийся мономерами роста 𝜶𝑵−𝟏
, 𝜷𝑵−𝟏
, принадлежащими подрешеткам «𝒋»
и «𝒌» соответственно, у излома нулевой высоты. Корреляция соседних изломов в модели ПДЗ, представ-
ленной на рис. 1, по аналогии с работами [1-6] может быть записана в виде равенства для функций
𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊, 𝑲𝒊+𝟏), 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊), 𝒁 𝜶𝜷
(𝒋𝒌)
(𝑲𝒊+𝟏):