Teks tersebut membahas mesin Carnot kuantum tiga dimensi dengan substansi kerja berupa sistem dua tingkat sumur potensial takhingga dengan lebar Lx, Ly dan Lz. Diuraikan proses-proses termodinamika kuantum pada siklus mesin Carnot kuantum tiga dimensi tersebut untuk mendapatkan rumusan efisiensi mesin yang beranalogi dengan efisiensi mesin Carnot klasik.

1. Mesin Carnot Kuantum Tiga Dimensi
Rahmat Hidayah1
and Muhammad Farchani Rosyid1, ∗
1
Grup Riset Astrofisika, Kosmologi dan Fisika Matematis,
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Indonesia.
(Dated: 4 Juli 2014)
Telah dijabarkan proses-proses termodinamika kuantum pada siklus mesin Carnot kuantum tiga
dimensi dengan substansi kerja berupa sistem dua tingkat sumur potensial takhingga dengan lebar
Lx, Ly dan Lz. Hasil-hasil ditiap proses berupa tenaga dalam sistem E, gaya F yang bekerja
pada sistem, kerja W sistem, dan pertukaran bahang Q selama proses hingga didapatkan formu-
lasi total kerja sistem dalam satu kali siklus. Awalnya ditunjukkan proses-proses untuk sistem
dua tingkat mesin Carnot kuantum satu dimensi berupa pengembangan-penyusutan isotermal dan
pengembangan-penyusutan adiabatik kemudian diselesaikan untuk kasus tiga dimensi. Didapatkan
juga efisiensi η dari mesin Carnot kuantum tiga dimensi yang beranalogi dengan efisiesni mesin
Carnot klasik.
Keywords: Mesin Carnot Kuantum, Tiga Dimensi, Efisiensi.
PENDAHULUAN
Mesin bahang terdiri dari proses-proses termodinamis
yang mengubah sebagian bahang yang diberikan men-
jadi kerja mekanik dan selebihnya dibuang ke lingkun-
gan. Usaha keseluruhan yang dikerjakan oleh mesin
adalah selisih dari bahang yang diberikan dengan bahang
yang dibuang ke lingkungan. Efisiensi mesin bahang
didefiniskan sebagai sebagai rasio antara usaha yang di-
hasilkan mesin dengan bahang yang diserap. Karena ke-
beradaan entropi, efisiensi mesin selalu kurang dari satu.
Sadi Carnot pada tahun 1928 memperkenalkan model
mesin bahang matematis ideal dengan efisiensi paling
tinggi yakni mesin Carnot [1]. Mesin Carnot meru-
pakan tabung berpiston berisikan gas ideal yang secara
bergantian berhubungan dengan tandon bersuhu tinggi
Th dan suhu rendah Tc membentuk proses yang tidak
hanya dapat balik akan tetapi membentuk siklus. Siklus
pada mesin Carnot terdiri dari empat proses yang kese-
muanya dapat balik. Pertama, gas pada silinder men-
galami proses pengembangan isotermal pada suhu Th
saat berhubungan dengan tandon bersuhu tinggi. ke-
dua, gas mengembang secara adiabatik hingga suhunya
turun menjadi Tc tanpa mengalami perubahan bahang
(thermal isolated). Ketiga, gas berkompresi secara isoter-
mik pada suhu Tc saat berhubungan dengan tandon
bersuhu rendah. keempat, gas berkompresi secara adia-
batik menaikkan suhunya menjadi Th. Pada satu kali sik-
lus, perubahan tenaga dalam sistem adalah nol. Efisiensi
mesin Carnot diberikan oleh rumus sebagai berikut
η = 1 −
Tc
Th
(1)
Upaya dalam meningkatkan efisiensi mesin bahang ter-
modinamik berbasis sistem kuantum telah ada sejak
tahun 60an dengan mengganti gas dengan model laser
dan maser pada mesin bahang. Kemudian Bender dan
rekan [2] merealisasikan mesin matematis Carnot kuan-
tum berupa sumur potensial tak hingga satu dimensi
yang dianalogikan piston yang bergerak hingga memben-
tuk siklus seperti siklus Carnot klasik. Bender juga meru-
muskan besaran-besaran keadaan yang beranalogi den-
gan besaran termodinamika klasik. Sementara, formulasi
yang dieksplorasi secara eksplisit adalah fungsi keadaan
yang merupakan kombinasi linear dari swakeadaan teren-
dah, sehingga diperoleh hasil efisiensi yang beranalogi
dengan efisiensi mesin Carnot klasik. Pengkajian lebih
detail menggunakan analogi entropi pada mesin Carnot
kuantum [3] dengan menginduksi sistem dua keadaan
dan memperumum menjadi n-keadaan.
Besaran keadaan termodinamika seperti tekanan dan
gaya umum diformulasikan untuk mengkaji siklus ter-
modinamis kuantum dan dirumuskan hukum pertama
termodinamika kuantum dan suhu efektif dengan tin-
jauan termostatik [4]. Sistem diangap sebagai keadaan
ensamble keadaan-keadaan murni pada sistem lalu den-
gan menghitung matrik kerapatan dari sistem dapat di-
tentukan peluang keadaan sistem selama proses. Tidak
hanya itu, substansi kerja dan proses pada mesin ba-
hang dimodifikasi dalam rangka mendapatkan mesin ba-
hang dengan efisiensi tinggi semisal model potensial osi-
lator harmonis mesin bahang kuantum atau mesin ba-
hang yang beranalogi dengan mesin bahang Otto dan
Diesel [5]. Selanjutnya sistem kuantum yang ditinjau
tidak hanya dua keadaan tetapi tiga keadaan dan dipe-
rumum untuk n keadaan mesin Carnot kuantum pada
sumur potensial satu dimensi [6] menghadirkan alternatif
lintasan pengembangan isotermal dan adiabatik. Dengan
demikian, dapat disajikan nilai efisiensi yang melebihi
efisiensi mesin Carnot klasik.
Perkembangan kajian terhadap mesin bahang kuan-
tum dan mesin Carnot kuantum dalam berbagai upaya
menurunkan nilai entropi siklus untuk mendapatkan for-
mulasi efisiensi mesin bahang kuantum yang lebih tinggi
belum menghadirkan kajian terhadap geometri sumur
potensial pada mesin bahang kuantum. maka perlu
pengkajian mesin bahang kuantum dan mesin Carnot
kuantum dalam kotak potensial tiga dimensi.Pada paper
ini akan dilakukan kajian teretik berjudul ”Mesin Carnot
Kuantum Tiga Dimensi” dengan memodelkan sistem dua
tingkat potensial tiga dimensi pada mesin bahang kuan-

2. 2
tum serta mendapatkan nilai dari efisiensinya.
HUKUM PERTAMA TERMODINAMIKA
KUNATUM
Suatu sistem kuantum yang berada pada swakeadaan
|ϕn , maka Hamiltonan sistem tersebut dinyatakan seba-
gai berikut
H =
n
En |ϕn ϕn| (2)
dengan En merupakan swanilai dari swakeadaan |ϕn
yang dikenal sebagai tingkat tenaga sistem. Un-
tuk tenaga dalam sistem ditunjukkan dari nilai harap
Hamilonan sistem yakni
U = H = ψ| H |ψ
=
n
| ψ|ϕn |
2
En
=
n
PnEn (3)
dengan Pn adalah amplitudo peluang sistem tersebut be-
rada pada swakeadaan |ϕn .
Tenaga dalam pada hukum pertama termodinamika
berubah karena terjadi perubahan bahang sistem δQ
dan kerja δW yang dilakukan oleh sistem ke lingkun-
gan ataupun sebaliknya. Apabila |ψ dipilih sebagai
keadaan awal sistem maka selama ”proses”, Hamilto-
nan dan keadaan awal sistem berubah mengakibatkan
nilai harap Hamiltonan berubah. Ini dianalogi sebagai
hukum pertama termodinamika pada sistem kuantum
dinyatakan sebagai berikut:
dU =
n
d (PnEn)
=
n
(PndEn + EndPn) (4)
Suku PndEn menyatakan bahwa tingkat tenaga En yang
merupakan swanilai dari Hamiltonan bergantung pada
volume sistem [7] yang berubah secara perlahan (quasire-
versibel) sehingga dinyatakan sebagai posisi umum sis-
tem, dan Pn adalah gaya umum yang bersesuaian den-
gan En. Sementara untuk suku EndPn, perubahan Pn
bergantung pada perubahan keadaan |ψ sistem. Oleh
karena itu analogi yang sesuai dengan suku-suku dari
persamaan (4) berturut turut adalah
dW =
n
PndEn (5)
dan
dQ =
n
EndPn (6)
Persamaan (5) disebut perubahan kerja dan persamaan
(6) disebut perubahan bahang selama proses sehingga
terjadi perubahan nilai harap Hamiltonan. Ini kemudian
disebut hukum pertama termodinamika kuantum.
Dari persamaan (5) selanjutnya dapat dicari gaya un-
tuk sistem mekanika kuantum yang beranalogi dengan
gaya umum pada sistem kalsik
F = −
dW
dL
= −
n
Pn
dEn
dL
(7)
dengan L adalah posisi umum dalam hal ini pergeseran
yang bersesuaian dengan gaya F. Nilai harap Hamilto-
nan sistem untuk kasus satu partikel dalam sumur poten-
sial satu dimensi lebar L, dapat saja berubah jika L
berubah. Dalam kajian mesin Carnot kuantum, lebar
potensial L berubah karena ada gaya F yang mendorong
sumur dianalogikan sebagai piston yang bergerak se-
hingga nilai harap Hamiltonannya ikut berubah. Besar
En dapat dilihat pada [8] sehingga dEn
dL = −2En(L)
L . Nilai
harap Hamiltonan yang berubah sama besarnya dengan
kerja oleh gaya F pada persamaan (7).
PROSES TERMODINAMIKA KUANTUM
Dalam pembahasan termodinamika klasik, peruba-
han keadaan termodinamik (dengan besaran-besaran
keadaan yang teramati berubah) terjadi apabila ada
proses-proses termodinamik. Begitupun untuk proses
pada termodinamika kuantum. Partikel dalam sumur
potensial yang dianggap sebagai substansi kerja, akan
mengalami perubahan keadaan kuantum yang beranalogi
dengan perubahan keadaan termodinamika klasik apa-
bila terjadi proses yang dikenal sebagai proses termod-
inamika kuantum. Proses termodinamika kuantum [4]
menjamin perubahan tenaga bahang dan kerja oleh sis-
tem berlaku tidak hanya pada kasus keadaan setimbang
termodinamik namun juga pada keadaan taksetimbang
termodinamik. Selanjutnya proses-proses khusus akan
dijelaskan satu-persatu pada subbab ini.
ISOTERMAL KUANTUM
Dalam proses isotermal kuantum, diasumsikan sistem
berupa partikel dalam sumur potensial dengan lebar L
dan selama proses mengalami kontak dengan sumber ba-
hang pada suhu tetap. Keadaan awal sistem merupakan
kombinasi linear dari swakeadaan |ϕn(x) (ternormal-
isasi) yang dirumuskan sebagai berikut:
|ψ(x) =
∞
n=1
an |ϕn(x) (8)
dengan koefisien an = ϕn|ψ dan memenuhi syarat nor-
malisasi
∞
n=1
|an|
2
= 1 (9)

3. 3
Apabila sistem ditinjau dalam satu dimensi maka
swakeadaan sistem seperti pada [8].
Pada kasus ini sumur potensial mengalami peruba-
han lebar L dan selama proses suhu dijaga tetap beraki-
bat nilai harap Hamiltonan sistem sebelum dan sesudah
proses tidak berubah. Nilai harap Hamiltonan yang men-
jadi tenaga dalam sistem ditunjukkan pada persamaan
berikut
U(L) =
∞
n=1
PnEn
=
∞
n=1
|an|
2
En (10)
dengan koefisien |an|
2
tidak tetap akan tetapi bervari-
asi terhadap L dan apabila dijumlahkan seluruhnya
memenuhi persamaan (3). Partikel mengalami kerja oleh
gaya sebagai fungsi L yang mendorong dinding sumur
(dianalogikan seperti gaya yang mendorong piston) di-
tunjukkan pada persamaan (7).
ADIABATIK KUANTUM
Pada proses adiabatik dalam termodinamika klasik,
sistem selalu berada dalam keadaan setimbang dan tidak
terjadi pertukaran bahang dengan lingkuan. Dalam sis-
tem kuantum, proses adiabatik kuantum terjadi saat par-
tikel dalam sumur potensial dengan keadaan |ψ(x) men-
galami perubahan lebar potensial secara perlahan-lahan
sehingga koefisien |an| tidak berubah atau berniali tetap.
Ini juga menunjukkan bahwa selama proses adiabatik
kuantum, amplitudo peluang sebagai sebaran populasi
partikel secara mikroskopik tidak berubah atau dPn = 0
[4]. Oleh karena itu sesuai persamaan (4), tidak ada pe-
rubahan bahang atau dQ = 0 walaupun swakeadaan |ϕn
dan tingkat tenaganya En berubah.
Dari keadaan awal ke keadaan akhir oleh adiabatik
kuantum, nilai harap Hamiltonan sebagai tenaga dalam
sistem berubah oleh perubahan swanilai atau tingkat
tenaga sistem tanpa perubahan amplitudo peluang se-
hingga persamaan (4) tereduksi menjadi
dU =
∞
n=1
PndEn (11)
dengan dEn untuk kasus satu dimensi ditunjukkan pada
[8]. Perubahan tenaga dalam (banyaknya tenaga sistem
yang berkurang) sebanding dengan kerja mekanik oleh
gaya F yang diberikan pada persamaan (7) sehingga di-
dapatkan
F = −
∞
i=0
Pn
dEn
dL
= −
∞
i=0
|an|
2 dEn
dL
=
∞
i=0
|an|
2
2
En
L
(12)
Pada proses adiabatik klasik, prosesnya tidak harus
perlahan-lahan selama tetap terjagaa tidak ada aliran
bahang keluar dan masuk sistem. Akan tetapi ini tidak
memenuhi proses adiabatik kuantum dikarenakan jika
porsesnya berlangsung cepat, sebaran partikel Pn tidak
invarian (berubah) [4] sementara pada proses adiabatik
kuantum , koefisien an tidak berubah. Disini salah satu
letak perbedaan antara adiabatik klasik dan kuantum.
MESIN CARNOT KUANTUM
Siklus mesin bahang yang paling ideal sejauh ini
yang diketahui dalam termodinamika klasik adalah sik-
lus Carnot dengan setiap keadaan selama proses berada
pada keadaan setimbangan termal sehingga siklusnya da-
pat dibalik. Mesin panas Carnot klasik juga memiliki
efisiensi paling besar yang ditunjukkan pada persamaan
(1). Dalam sistem kuantum, siklus Carnot dapat dikon-
struksi dari proses-proses kuantum yang beranalogi den-
gan proses-proses termodinamika klasik. Apabila dalam
mesin bahang Carnot klasik material kerja berupa gas
ideal, dalam Carnot kuantum [2-3] berupa sebuah par-
tikel pada sumur potenisial tak hingga dan dihubungkan
dengan tandon (sumber bahang) bersuhu tinggi dan tan-
don (sumber bahang) bersuhu rendah. Lebar sumur
potensial dianggap sebagai piston yang dapat berubah
(bergerak).
Siklus Carnot kuantum seperti halnya klasik ter-
diri dari dua proses (pengembangan dan penyusutan)
isotermal kuantum dan dua proses (pengembangan dan
penyusutan) adiabatik kuantum. Berikut akan ditinjau
proses-proses termsuk efisiensi siklus Carnot kuantum
tiga dimensi.
SISTEM DUA TINGKAT MESIN CARNOT
KUANTUM TIGA DIMENSI
Seperti pada sistem dua tingkat satu dimensi [7], sis-
tem dua tingkat tiga dimensi juga berupa sistem partikel
dalam sumur potensial tak hingga namun dengan lebar
Lx, Ly dan Lz. Saat Lx = L1x
, Ly = L1y
dan Lz = L1z
,
sistem berada pada swakeadaan awal ϕ1x,1y,1z dengan
tingkat tenaga:
E111 =
π2 2
2m
1
L2
1x
+
1
L2
1y
+
1
L2
1z
= E1x
+ E1y
+ E1z
(13)
dengan E1x
, E1y
dan E1z
berturut-turut sebagai tingkat
tenaga dasar pada swakeadaan |ϕ1x
, ϕ1y
dan |ϕ1z
.
Proses I: Sistem mengalami proses pengembangan
isotermal dari L1x , L1y dan L1z menjadi L2x , L2y dan
L2z hingga akhirnya sistem berada pada swakeadaan
ϕ2x,2y,2z
. Selama proses, keadaan sistem meru-
pakan kombinasi linear dari swakeadaan-swakeadaan
yang mungkin ditempati sistem setelah proses yang diru-

4. 4
muskan sebagai berikut:
|ψ = a111 |ϕ111 + a211 |ϕ211 + a121 |ϕ121 + a221 |ϕ221
+a112 |ϕ112 + a212 |ϕ212 + a122 |ϕ122
+a222 |ϕ222 (14)
dengan nilai harap Hamiltonan selama proses adalah :
U1 = H 1 = Eh(Lx, Ly, Lz)
=
2
nx,ny,nz=1
anx,ny,nz
2
Enx,ny,nz
(15)
Eh(Lx, Ly, Lz) = |a111|
2
E111 + |a211|
2
E211 + |a121|
2
E121
+ |a221|
2
E221 + |a112|
2
E112
+ |a212|
2
E212 + |a122|
2
E122
+ |a222|
2
E222 (16)
Pada proses ini nilai harap Hamiltonan sistem tidak
berubah sehingga tingkat tenaga sistem tetap berada
pada tingkat tenaga dasar E111.
Koefisien kombinasi linear pada proses ini tidak tetap
akan tetapi berubah oleh pengaruh pengembangan sumur
potensial pada arah sumbu x, y, dan z dan dipastikan
memenuhi syarat normalisasi :
2
nx=1
2
ny=1
2
nz=1
anx,ny,nz
2
= 1 (17)
Pengembangan Lx, Ly dan Lz ditunjukkan dari per-
samaan (13) dan (16)
L2
x = 4 − 3 |a111|
2
+ |a121|
2
+ |a112|
2
+ |a122|
2
L2
1x
L2
y = 4 − 3 |a111|
2
+ |a211|
2
+ |a112|
2
+ |a212|
2
L2
1y
L2
z = 4 − 3 |a111|
2
+ |a211|
2
+ |a121|
2
+ |a221|
2
L2
1z
(18)
dengan nilai maksimum adalah Lx = 2L1x
, Ly =
2L1y
, Lz = 2L1z
dan itu terjadi ketika koefisien kombi-
nasi linear masing-masing swakeadaan bernilai nol ke-
cuali a222. Ini berarti peluang sistem berada pada
keadaan |ϕ222 bernialai satu. Dengan kata lain, pada
saat maksimum, lebar potensial sistem telah mencapai
L2x
, L2y
, L2z
dan saat itu, sistem telah berada pada
swakeadaan |ϕ222 .
Selama proses berlangsung, bahang yang diserap oleh
sistem dengan kerja oleh gaya yang dilakukan sistem un-
tuk mendorong dinding potensial diberikan pada masing-
masing arah x, y dan z
F1 = = −
nx,ny,nz
Pnx,ny,nz Enx,ny,nz (Lx, Ly, Lz)
= |a111|
2
E111 + |a211|
2
E211 + |a121|
2
E121
+ |a221|
2
E221 + |a112|
2
E112 + |a212|
2
E212
(19)
dengan = ∂
∂Lx
+ ∂
∂Ly
+ ∂
∂LZ
maka didapatkan besar F
yaitu
F1(Lx, Ly, Lz) = 2E1x (
1
Lx
) + 2E1y (
1
Ly
) + 2E1z (
1
Lz
)
(20)
dan jika F1(Lx, Ly, Lz) = F1(Lx)+F1(Ly)+F1(Lz) maka
memenuhi persamaan keadaan isotermal kuantum ditiap
arah x, y, z
LxF1(Lx) = 2Ex1
= tetap (21)
LyF1(Ly) = 2Ey1
= tetap (22)
LzF1(Lz) = 2Ez1
= tetap (23)
Selanjutnya untuk mencari kerja W dari oleh gaya
F1(Lx, Ly, Lz) dari sistem ini untuk mendorong dind-
ing L1x
, L1y
, L1z
ke L2x
, L2y
, L2z
ditunjukkan sebagai
berikut:
W12 = − F(Lx, Ly, Lz)dLr (24)
dengan dLr = dL2
x + dL2
y + dL2
z berupa lintasan di
sumbu x, y dan z. Oleh karena itu integral lintasan
dari persamaan (24) dapat dijabarkan ke dalam suku x, y
dan z dengan merubah integral lintasan ke dalam bentuk
dLx, dLy dan dLz sehingga didapatkan bentuk kerja dari
sistem dalam proses ini :
W12 = − 2
π2 2
2mL2
1x
ln 2 + 2
π2 2
2mL2
1y
ln 2 + 2
π2 2
2mL2
1z
ln 2
(25)
Jika dirunut dari sistem dua tingkat mesin Carnot satu
dimensi [2], kerja yang dilakukan sistem disebabkan
adanya bahang yang diterima (diserap) sistem dari sum-
ber bahang bersuhu Th untuk menjaga tenaga sistem
tidak berubah selama proses (keterpenuhan hukum per-
tama termodinamika kuantum) sehingga dapat diru-
muskan besar bahang yang diserap sistem adalah:
Qh = 2
π2 2
2mL2
1x
ln 2 + 2
π2 2
2mL2
1y
ln 2 + 2
π2 2
2mL2
1z
ln 2
(26)
Proses 2: Sistem mengalami pengembangan adia-
batik dari L2x
, L2y
dan L2z
ke L3x
, L3y
dan L3z
dan
seperti pada proses pengembangan adiabatik sistem dua
tingkat satu dimensi, pada proses ini keadaan sistem
juga tidak berubah dan tetap berada pada swakeadaan
ϕ2x,2y,2z
. Sistem tidak menerima bahang pada proses
ini sehingga untuk mengimbangi perubahan lebar poten-
sial sistem maka tenaga sistem berubah Eh menjadi Ec
sebagai perubahan nilai harap Hamiltonan sistem yang
besarnya
U2 = H 2 = Ec(Lx, Ly, Lz)
= |a222|
2
E222
=
2π2 2
m
1
L2
x
+
1
L2
y
+
1
L2
z
. (27)

5. 5
Selanjutnya kerja akibat perubahan tenaga sistem adalah
W23 = H 2 = Ec(L3x , L3y , L3z ) − Ec(L2x , L2y , L2z )
= Ec − Eh (28)
dengan gaya yang bekerja selama proses ini adalah
F2(Lx, Ly, Lz) = − |a222|
2
E222
= 2
2π2 2
mL3
x
+ 2
2π2 2
mL3
y
+ 2
2π2 2
mL3
z
(29)
sehingga didapatkan persamaan keadaan tiap-tiap arah
x, y, z untuk proses pengembangan adibatik kuantum
yang beranalogi dengan proses adiabatik klasik :
L3
xF2(Lx) = 2
2π2 2
m
= tetap (30)
L3
yF2(Ly) = 2
2π2 2
m
= tetap (31)
L3
zF2(Lz) = 2
2π2 2
m
= tetap (32)
Proses 3: Sistem selanjutnya mengalami proses
penyusutan isotermal dari L3x , L3y dan L3x menjadi
L4x
, L4y
, dan L4z
. Seperti pada kasus penyusutan isoter-
mal kuantum untuk sistem satu dimensi, pada proses
ini juga keadaan sistem tidak lagi pada swakeadaan
|ϕ222 namun berubah hingga akhirnya berada pada
swakeadaan |ϕ111 . Selama proses, keadaan sistem meru-
pakan kombinasi linear dari swakeadaan-swakeadaan
yang mungkin ditempati sistem setelah proses yang diru-
muskan sebagai berikut:
|ψ = b111 |ϕ111 + b211 |ϕ211 + b121 |ϕ121 + b221 |ϕ221
+b112 |ϕ212 + b122 |ϕ122 + b222 |ϕ222 (33)
dengan nilai harap Hamiltonan sebagai tenaga sistem
adalah :
Ec(Lx, Ly, Lz) =
π2 2
2mL2
x
1 + 3 |b121|
2
+ |b112|
2
+ |b122|
2
+ |b222|
2
+
π2 2
2mL2
y
1 + 3 |b211|
2
+ |b112|
2
+ |b212|
2
+ |b222|
2
+
π2 2
2mL2
z
1 + 3 |b211|
2
+ |b121|
2
+ |b221|
2
+ |b222|
2
(34)
Karena nilai harap Hamiltonan pada persamaan (34)
selama proses tidak ber-ubah, maka tingkat tenaga
sistem selama proses tetap berada pada tingkat
tenaga E222(L3x,, L3y , L3z ). Dari kesamaan ini da-
pat dirumuskan hungungan antara penyusutan lebar
Lx, Ly, Lz dengan koefisien kombinasi linear masing-
masing swakeadaan yaitu
4L2
x = 1 + 3 |b121|
2
+ |b112|
2
+ |b122|
2
+ |b222|
2
L2
3x
4L2
y = 1 + 3 |b211|
2
+ |b112|
2
+ |b212|
2
+ |b222|
2
L2
3y
4L2
z = 1 + 3 |b211|
2
+ |b121|
2
+ |b221|
2
+ |b222|
2
L2
3z
(35)
dan lebaarnya mencapai minimum saat Lx = 1
2 L3x
, Lx =
1
2 L3x
dan Lx = 1
2 L3x
dan itu terjadi saat semua koefisien
kombinasi linear sistem berniali nol kecuali b111 yang
bernilai satu yang berarti pada lebar minimum, peluang
sistem berada pada swakeadaan |ϕ111 adalah satu. Se-
lanjutnya gaya yang bekerja selama proses pada sistem
ini adalah :
F3 = −
nx,ny,nz
Pnx,ny,nz
Enx,ny,nz
= 2E2x
(
1
Lx
) + 2E2y
(
1
Ly
) + 2E2z
(
1
Lz
) (36)
Sehingga kerja oleh gaya F3 untuk mendorong L3 ke L4
yaitu
W34 = − F3(Lx, Ly, Lz)dLr
= 2 4
π2 2
2m
1
L2
3x
+
1
L2
3y
+
1
L2
3z
ln 2 (37)
dan memenuhi persamaan keadaan isotermal kuantum
ditiap arah x, y, z :
LxF3(Lx) = 2E2x = tetap (38)
LyF3(Ly) = 2E2y = tetap (39)
LzF3(Lz) = 2E2z = tetap (40)
Persamaan (39) menjelaskan bahwa ada perubahan kerja
yang besarnya positif (karena perubahan lebarnya berni-
lai negatif) yang berakibat ada bahang yang dikelu-
arkan sistem untuk menjaga tenaga sistem tidak berubah
selama proses (keterprnuhan hukum pertama termod-
inamika kuantum). Yang menyerap bahang dari sis-
tem ini adalah sumber bahang bersuhu Tc yang di-
hubungkan dengan sistem selama proses penyusutan adi-
abatik berlangsung. Bahang yang dikeluarkan besarnya
Qc = −2 4
π2 2
2m
1
L2
3x
+
1
L2
3y
+
1
L2
3z
ln 2 (41)
Proses 4: Pada proses ini lebar sistem menyusut se-
cara adiabatik dari L4x
, L4y
, L4z
menjadi L1x
, L1y
, L1z
dengan keadaan sistem selama proses:
|ψ = b111 |ϕ111 (42)
Pada proses ini juga, sistem tidak menerima atau men-
geluarkan bahang sehingga kerja oleh sistem besarnya
sama dengan nilai harap Hamiltonan sistem. Nilai harap
Hamiltonan sistem berubah terhadap perubahan lebar

6. 6
sistem pada proses ini ditunjukkan dalam persamaan
berikut:
U4 = H 4 = Eh(Lx, Ly, Lz)
= |b111|
2
E111
=
π2 2
2m
1
L2
x
+
1
L2
y
+
1
L2
z
. (43)
Selanjutnya kerja akibat perubahan tenaga sistem
adalah
W41 = |b111|
2
E111(L1x
, L1y
, L1z
) − E111(L4x
, L4y
, L4z
)
= Eh(L1x
, L1y
, L1z
) − Eh(L4x
, L4y
, L4z
)
= Eh − Ec (44)
dengan gaya yang bekerja selama proses ini adalah
F4(Lx, Ly, Lz) = − |b111|
2
E111
= 2
π2 2
2mL3
x
+ 2
π2 2
2mL3
y
+ 2
π2 2
2mL3
z
(45)
sehingga didapatkan persamaan keadaan tiap-tiap arah
x, y, z untuk proses penyusutan adibatik kuantum yang
beranalogi dengan proses adiabatik klasik
L3
xF4(Lx) = 2
π2 2
2m
= tetap (46)
L3
yF4(Ly) = 2
π2 2
2m
= tetap (47)
L3
zF4(Lz) = 2
π2 2
2m
= tetap (48)
Dalam satu kali siklus carnot kuantum, seperti hal-
nya pada sistem klasik maupun sitem kuantum berdi-
mensi satu, perubahan nilai harap Hamiltonan sistem
adalah nol sehingga dengan mudah ditemukan bahwa
kerja selama proses pengembangan adiabatik kuantum
W23 besarnya adalah negatif dari penyusutan adiabatik
kuantum W41. Oleh karena itu, keseluruhan kerja oleh
sistem dalam satu kali siklus, hanya diberikan pada
proses pengembangan dan penyusutan isotermal kuan-
tum atau dapat dituliskan dalam bentuk persamaan se-
bagai berikut:
Wtot = W12 + W34
= −2
π2 2
2m
1
L2
1x
+
1
L2
1y
+
1
L2
1z
−
4
L2
3x
+
4
L2
3y
+
4
L2
3z
ln 2 (49)
dengan efisinsi sistem adalah
η =
|Wtot|
|Qh|
= 1 −
4
L2
3x
+ 4
L2
3y
+ 4
L2
3z
1
L2
1x
+ 1
L2
1y
+ 1
L2
1z
= 1 −
Ec
Eh
(50)
yang kemudian disebut efisiensi mesin bahang Carnot
kuantum tiga dimensi. Efisiensi ini tidak berbeda apabila
dibandingkan dengan efisiensi untuk sistem dua tingkat
mesin bahang Carnot satu dimensi dan kesemuanya be-
ranalogi dengan efisiensi mesin Carnot klasik.
KESIMPULAN
Mesin Carnot Kuantum seperti halnya mesin Carnot
klasik mengalami dua proses pengembangan dan
penyusutan dalam satu kali siklus. Dari pembahasan
pada subbab mesin bahang kuantum, dapat disimpulkan
:
Kerja total dalam satu kali siklus sistem dua tingkat
mesin Carnot kuantum tiga dimensi adalah
Wtot =
= −2
π2 2
2m
1
L2
1x
+
1
L2
1y
+
1
L2
1z
−
4
L2
3x
+
4
L2
3y
+
4
L2
3z
ln 2
dengan efisiensi mesin
η = 1 −
4
L2
3x
+ 4
L2
3y
+ 4
L2
3z
1
L2
1x
+ 1
L2
1y
+ 1
L2
1z
= 1 −
Ec
Eh
∗
rahmat.hidayah@mail.ugm.ac.id
[1] Greiner, Walter, dkk., 1997 Thermodynamics and Statis-
tical Mechanics, Springer, New York, Amerika Serikat.
[2] C. M. Bender, D. C. Broody and B. K. Meisner, 2000,
Quantum Mechanical Carnot Engine, Journal of Physics,
Vol.33, No. 24, p. 4427.
[3] C. M. Bender, D. C. Broody dan B. K.Meisner, 2002, En-
tropy and temperature of a quantum Carnot engine, Pro-
ceeding of The Royal Society A, 458, 1519-1526.
[4] H. T. Quan, Y.-X., Liu, C. P. Sun and F. Nori, 2007,
Quantum Thermodynamic Cycles and Quantum Heat En-
gines, Physical Review E, Vol. 76, No. 3, p. 031105.
[5] H.T.Quan, 2009 Quantum Thermodynamic Cycles and
Quantum Heat Engines (II),Physical Review E, Vol. 79,
No. 4 ,p. 041129.
[6] Latifah, Eny dan Agus Purwanto, 2011, Multiple-State
Quantum Carnot Engine, Journal of Modern Physics, 2,
1366-1372.
[7] Sumiyoshi, Abe, 2011, Maximum-Power quantum-
mechanical Carnot Engine, Physical Review E, 83, 04117,
1-3.
[8] Goswami, A., 1992, Quantum Mechanics, Wm. C. Brown
Publisher, Dubuque, Amerika Serikat.