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1
Funciรณn Derivada Integral
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘˜ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 0 ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘˜ = ๐‘๐‘ก๐‘’ โˆซ ๐‘˜ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘˜๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1
โˆซ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘ฅ2
2
๐‘“( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 0 โˆซ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘›
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘›๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1
โˆซ ๐‘ฅ ๐‘›
๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘ฅ ๐‘›+1
๐‘› + 1
๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘› โ‰  1
๐‘“( ๐‘ฅ) = โˆš๐‘ฅ
๐‘›
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
๐‘› โˆš๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1๐‘› โˆซ โˆš๐‘ฅ
๐‘›
๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘ฅ
1
๐‘›+1
1
๐‘› + 1
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘˜. ๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘˜. ๐‘”ยด( ๐‘ฅ)
๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘˜ = ๐‘๐‘ก๐‘’ โˆซ ๐‘˜ ๐‘”(๐‘ฅ) = kโˆซ ๐‘”( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = [๐‘ข ยฑ ๐‘ฃ] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด ยฑ ๐‘ฃยด โˆซ ๐‘ข ยฑ ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆซ ๐‘ข ๐‘‘๐‘ฅ ยฑ โˆซ ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = [๐‘ข. ๐‘ฃ] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด. ๐‘ฃ + ๐‘ข. ๐‘ฃยด --------------------
๐‘“( ๐‘ฅ) = [๐‘ข. ๐‘ฃ. ๐‘ค] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด. ๐‘ฃ. ๐‘ค + ๐‘ข. ๐‘ฃยด. ๐‘ค + ๐‘ข. ๐‘ฃ. ๐‘คยด --------------------
๐‘“( ๐‘ฅ) = [
๐‘ข
๐‘ฃ
] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
๐‘ขยด. ๐‘ฃ โˆ’ ๐‘ข. ๐‘ฃยด
๐‘ฃ2
--------------------
๐‘“( ๐‘ฅ) =
1
๐‘ฅ
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
โˆ’1
๐‘ฅ2
โˆซ
1
๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›| ๐‘ฅ|
๐‘“( ๐‘ฅ) = โˆš๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
2โˆš๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
๐‘ฅ
โˆซ ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘™๐‘›( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ
โˆซ ๐‘’ ๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘’โˆ’๐‘ฅ
โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ
. ๐‘™๐‘›(๐‘Ž)
โˆซ ๐‘Ž ๐‘ฅ
๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘Ž ๐‘ฅ
๐‘™๐‘›(๐‘Ž)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘ฅ
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘ฅ
. (1 +
๐‘™๐‘›(๐‘ฅ))
No tiene primitiva
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ)
2
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘ 2
(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ))
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) . ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) + ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ))
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) . ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘ ๐‘’๐‘ ( ๐‘ฅ) + ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ))
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘2
(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›| ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ)|
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘ฅ) + โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
โˆ’1
โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘ฅ) โˆ’ โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
1 + ๐‘ฅ2
โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘™๐‘›(โˆš1 + ๐‘ฅ2)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘ ๐‘(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
โˆ’1
| ๐‘ฅ|โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘ ๐‘(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘ ๐‘( ๐‘ฅ) + ๐‘™๐‘› | ๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 โˆ’ 1 |
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
| ๐‘ฅ|โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘™๐‘› | ๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 โˆ’ 1 |
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
โˆ’1
1 + ๐‘ฅ2
โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”( ๐‘ฅ) + ๐‘™๐‘›(โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž2
(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ))
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž( ๐‘ฅ) + ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ))
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = 2๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘” (๐‘’ ๐‘ฅ
) รณ โˆ’2๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘” (๐‘’โˆ’๐‘ฅ
)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž2
(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ))
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
โˆš๐‘ฅ2 + 1
Hiperbรณlicas Inversas
3
โˆซ
1
โˆš๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2
๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘๐‘œ ๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘ฅ
๐‘Ž
)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
โˆš๐‘ฅ2 โˆ’ 1
โˆซ
1
๐‘Ž2 + ๐‘ฅ2
๐‘‘๐‘ฅ =
1
๐‘Ž
๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘๐‘œ ๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘ฅ
๐‘Ž
)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
1 โˆ’ ๐‘ฅ2
โˆซ
1
๐‘ฅ. โˆš๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘Ž2
๐‘‘๐‘ฅ =
1
๐‘Ž
๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘๐‘œ ๐‘ ๐‘’๐‘ (
๐‘ฅ
๐‘Ž
)
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘ ๐‘โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
โˆ’1
| ๐‘ฅ|โˆš๐‘ฅ2 + 1
โˆซ
1
โˆš ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2
๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2 )
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
โˆ’1
๐‘ฅ โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2
โˆซ
1
๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2
๐‘‘๐‘ฅ =
1
2๐‘Ž
๐‘™๐‘› |
๐‘Ž + ๐‘ฅ
๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ
|
๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘“ยด( ๐‘ฅ) =
1
1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ
1
๐‘ฅ. โˆš ๐‘Ž2 ยฑ ๐‘ฅ2
๐‘‘๐‘ฅ =
โˆ’1
๐‘Ž
๐‘™๐‘› (
๐‘Ž + โˆš ๐‘Ž2 ยฑ ๐‘ฅ2
| ๐‘ฅ|
)
Integraciรณnde funcionesparese impares Integraciรณnporpartes
Si f(x) espar โˆซ ๐‘“( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ
๐‘Ž
โˆ’๐‘Ž = 2โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ)
๐‘Ž
0 ๐‘‘๐‘ฅ โˆซ ๐‘ข. ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ข. ๐‘ฃ โˆ’ โˆซ ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ข
Si f(x) esimpar โˆซ ๐‘“( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ
๐‘Ž
โˆ’๐‘Ž = 0
รreaentre 2 curvas
๐ด = โˆซ [ ๐‘“( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”(๐‘ฅ)]
๐‘
๐‘Ž
4
โˆซ ๐‘“( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ =
๐‘Ž
0
โˆ’ โˆซ ๐‘“(โˆ’๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ
โˆ’๐‘Ž
0
Relaciones Pitagรณricas
๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘ฅ) + ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘ฅ) = 1 // ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘ฅ) = 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘ฅ)// ๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘ฅ) = 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘ฅ)
๐‘ก๐‘”2( ๐‘ฅ) + 1 = ๐‘ ๐‘’๐‘2( ๐‘ฅ)
๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”2( ๐‘ฅ) + 1 = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘2( ๐‘ฅ)
๐‘2 = ๐‘Ž2 + ๐‘2
Funciรณn de la suma o la diferencia
๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž) + ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘Ž+๐‘
2
). ๐‘๐‘œ๐‘ (
๐‘Žโˆ’๐‘
2
)
๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) + ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘) = 2. ๐‘๐‘œ๐‘ (
๐‘Žโˆ’๐‘
2
). ๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘Žโˆ’๐‘
2
)
๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) + ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) cos( ๐‘Ž) + ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) = 2. ๐‘๐‘œ๐‘ (
๐‘Ž+๐‘
2
). ๐‘๐‘œ๐‘ (
๐‘Žโˆ’๐‘
2
)
๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) cos( ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘Ž+๐‘
2
). ๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘Žโˆ’๐‘
2
)
๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž + ๐‘) =
๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž)+๐‘ก๐‘”(๐‘)
1โˆ’๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž).๐‘ก๐‘”(๐‘)
sen( ๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘)
๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) =
๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž)โˆ’๐‘ก๐‘”(๐‘)
1+๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž).๐‘ก๐‘”(๐‘)
sen( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = 2. ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘)
5
Funciรณn de รกngulo duplo y medio
Funciรณnde รกnguloduplo
๐‘ ๐‘’๐‘›(2. ๐‘Ž) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž)
๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž) = ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2(๐‘Ž)
๐‘ก๐‘”(2. ๐‘Ž) =
2. ๐‘ก๐‘”(๐‘Ž)
1 โˆ’ ๐‘ก๐‘”2(๐‘Ž)
=
๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘Ž)
(1 + ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž))
Funciรณnde รกngulomedio
๐‘ ๐‘’๐‘› (
๐‘Ž
2
) = ยฑโˆš
1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž)
2
๐‘๐‘œ๐‘ (
๐‘Ž
2
) = ยฑโˆš
1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž)
2
๐‘ก๐‘”(
๐‘Ž
2
) = ยฑโˆš
1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž)
1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž)
6
Funciรณn del producto
๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘Ž) =
1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž)
2
๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘Ž) =
1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž)
2
๐‘ก๐‘”2( ๐‘Ž) =
1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž)
1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž)
๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘) =
1
2
[ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)]
๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘) =
1
2
[ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž + ๐‘) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)]
๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘) =
1
2
[ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)]
๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) =
1
2
[ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ + ๐‘Ž)]
7
Funciones Hiperbรณlicas
๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) =
๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
2
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) =
๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
2
๐‘ก๐‘”โ„Ž( ๐‘ฅ) =
๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž( ๐‘ฅ) =
1
๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ)
=
2
๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž( ๐‘ฅ) =
1
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ)
=
2
๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž( ๐‘ฅ) =
1
๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ)
=
๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ
๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘› (๐‘ฅ + โˆš1 + ๐‘ฅ2)
๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 โˆ’ 1) ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘ฅ โ‰ฅ 1
๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ก๐‘”โ„Ž ( ๐‘ฅ) =
1
2
๐‘™๐‘›|
1 + ๐‘ฅ
1 โˆ’ ๐‘ฅ
| ๐‘๐‘œ๐‘›| ๐‘ฅ| < 1
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) = 1 // ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) = 1 + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) // ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) = โˆ’1 + ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2(๐‘ฅ)
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ // ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) // ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ)
8
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ // ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) // ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ)
๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ). ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฆ) + ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฆ)
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ). ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฆ) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฆ)
๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(2๐‘ฅ) = 2๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ). ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ)
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2(๐‘ฅ)
๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) =
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ฅ) โˆ’ 1
2
๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) =
1 + ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ฅ)
2
Ecuaciรณn de la recta tangente
๐‘ฆ = ๐‘“ยด( ๐‘Ž).( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž) + ๐‘“( ๐‘Ž) ๐ธ๐‘› ๐‘ฅ = ๐‘Ž
Ecuaciรณn de la recta secante
๐‘ฆ =
๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1
๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1
( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) + ๐‘ฆ1 ๐ท๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘‘๐‘œ๐‘  ๐‘๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘œ๐‘ 
๐‘ฆ = ๐‘š( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) + ๐‘ฆ1 ๐ท๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘™๐‘Ž ๐‘๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘’(๐‘š) ๐‘ฆ ๐‘ข๐‘› ๐‘๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘œ
9
Funciรณn cuadrรกtica
๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘ ๐น๐‘œ๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž ๐ธ๐‘ฅ๐‘๐‘™รญ๐‘๐‘–๐‘ก๐‘Ž.
๐‘ฆ = ๐‘Ž(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ ๐‘ฃ)2 + ๐‘ฆ๐‘ฃ ๐น๐‘œ๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž ๐ถ๐‘Ž๐‘›รณ๐‘›๐‘–๐‘๐‘Ž ( ๐‘›๐‘’๐‘๐‘’๐‘ ๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘œ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘’๐‘™ ๐‘ฃ๐‘’๐‘Ÿ๐‘ก๐‘–๐‘๐‘’) ๐‘ฅ ๐‘ฃ =
โˆ’๐‘
2๐‘Ž
; ๐‘‘๐‘’๐‘ ๐‘๐‘ข๐‘’๐‘  ๐‘Ÿ๐‘’๐‘’๐‘š๐‘๐‘™๐‘Ž๐‘ง๐‘œ ๐‘’๐‘› ๐‘™๐‘Ž ๐‘“๐‘ข๐‘›๐‘๐‘–๐‘œ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘œ๐‘๐‘ก๐‘’๐‘›๐‘”๐‘œ ๐‘ฆ๐‘ฃ.
๐‘ฆ = ๐‘Ž( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1)( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ2) ๐น๐‘œ๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž ๐น๐‘Ž๐‘๐‘ก๐‘œ๐‘Ÿ๐‘–๐‘ง๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ( ๐‘›๐‘’๐‘๐‘’๐‘’๐‘ ๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘œ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘™๐‘Ž๐‘  ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘–๐‘๐‘’๐‘ ) ๐‘ฅ1;2 =
โˆ’๐‘ ยฑ โˆš๐‘2 โˆ’ 4๐‘Ž๐‘
2๐‘Ž

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Tabla de derivadas e Integrales

  • 1. 1 Funciรณn Derivada Integral ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘˜ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 0 ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘˜ = ๐‘๐‘ก๐‘’ โˆซ ๐‘˜ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘˜๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 โˆซ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 2 ๐‘“( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 0 โˆซ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘› ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘›๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1 โˆซ ๐‘ฅ ๐‘› ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ ๐‘›+1 ๐‘› + 1 ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘› โ‰  1 ๐‘“( ๐‘ฅ) = โˆš๐‘ฅ ๐‘› ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘› โˆš๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1๐‘› โˆซ โˆš๐‘ฅ ๐‘› ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ 1 ๐‘›+1 1 ๐‘› + 1 ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘˜. ๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘˜. ๐‘”ยด( ๐‘ฅ) ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘˜ = ๐‘๐‘ก๐‘’ โˆซ ๐‘˜ ๐‘”(๐‘ฅ) = kโˆซ ๐‘”( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = [๐‘ข ยฑ ๐‘ฃ] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด ยฑ ๐‘ฃยด โˆซ ๐‘ข ยฑ ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆซ ๐‘ข ๐‘‘๐‘ฅ ยฑ โˆซ ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = [๐‘ข. ๐‘ฃ] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด. ๐‘ฃ + ๐‘ข. ๐‘ฃยด -------------------- ๐‘“( ๐‘ฅ) = [๐‘ข. ๐‘ฃ. ๐‘ค] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด. ๐‘ฃ. ๐‘ค + ๐‘ข. ๐‘ฃยด. ๐‘ค + ๐‘ข. ๐‘ฃ. ๐‘คยด -------------------- ๐‘“( ๐‘ฅ) = [ ๐‘ข ๐‘ฃ ] ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ขยด. ๐‘ฃ โˆ’ ๐‘ข. ๐‘ฃยด ๐‘ฃ2 -------------------- ๐‘“( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’1 ๐‘ฅ2 โˆซ 1 ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›| ๐‘ฅ| ๐‘“( ๐‘ฅ) = โˆš๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 2โˆš๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘ฅ โˆซ ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘™๐‘›( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆซ ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘’โˆ’๐‘ฅ โˆซ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘ฅ . ๐‘™๐‘›(๐‘Ž) โˆซ ๐‘Ž ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘Ž ๐‘ฅ ๐‘™๐‘›(๐‘Ž) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘ฅ ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ ๐‘ฅ . (1 + ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ)) No tiene primitiva ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ)
  • 2. 2 ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘ 2 (๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ)) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) . ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) + ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ)) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) . ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘ ๐‘’๐‘ ( ๐‘ฅ) + ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ)) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘2 (๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›| ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ)| ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘ฅ) + โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’1 โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘ฅ) โˆ’ โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 1 + ๐‘ฅ2 โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘”( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘™๐‘›(โˆš1 + ๐‘ฅ2) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘ ๐‘(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’1 | ๐‘ฅ|โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘ ๐‘(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘ ๐‘( ๐‘ฅ) + ๐‘™๐‘› | ๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 โˆ’ 1 | ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 | ๐‘ฅ|โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘™๐‘› | ๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 โˆ’ 1 | ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’1 1 + ๐‘ฅ2 โˆซ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ฅ. ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”( ๐‘ฅ) + ๐‘™๐‘›(โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž2 (๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ)) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž (๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’๐‘™๐‘›(๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž( ๐‘ฅ) + ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ)) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘ ๐‘’๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = 2๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘” (๐‘’ ๐‘ฅ ) รณ โˆ’2๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘ ๐‘ก๐‘” (๐‘’โˆ’๐‘ฅ ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž2 (๐‘ฅ) โˆซ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ)) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 โˆš๐‘ฅ2 + 1 Hiperbรณlicas Inversas
  • 3. 3 โˆซ 1 โˆš๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘๐‘œ ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘ฅ ๐‘Ž ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 โˆš๐‘ฅ2 โˆ’ 1 โˆซ 1 ๐‘Ž2 + ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ = 1 ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘๐‘œ ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘ฅ ๐‘Ž ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ 1 ๐‘ฅ. โˆš๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘Ž2 ๐‘‘๐‘ฅ = 1 ๐‘Ž ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘๐‘œ ๐‘ ๐‘’๐‘ ( ๐‘ฅ ๐‘Ž ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘ ๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’1 | ๐‘ฅ|โˆš๐‘ฅ2 + 1 โˆซ 1 โˆš ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2 ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 ยฑ ๐‘Ž2 ) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = โˆ’1 ๐‘ฅ โˆš1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ 1 ๐‘Ž2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ = 1 2๐‘Ž ๐‘™๐‘› | ๐‘Ž + ๐‘ฅ ๐‘Ž โˆ’ ๐‘ฅ | ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘“ยด( ๐‘ฅ) = 1 1 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆซ 1 ๐‘ฅ. โˆš ๐‘Ž2 ยฑ ๐‘ฅ2 ๐‘‘๐‘ฅ = โˆ’1 ๐‘Ž ๐‘™๐‘› ( ๐‘Ž + โˆš ๐‘Ž2 ยฑ ๐‘ฅ2 | ๐‘ฅ| ) Integraciรณnde funcionesparese impares Integraciรณnporpartes Si f(x) espar โˆซ ๐‘“( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘Ž โˆ’๐‘Ž = 2โˆซ ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘Ž 0 ๐‘‘๐‘ฅ โˆซ ๐‘ข. ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘ข. ๐‘ฃ โˆ’ โˆซ ๐‘ฃ ๐‘‘๐‘ข Si f(x) esimpar โˆซ ๐‘“( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘Ž โˆ’๐‘Ž = 0 รreaentre 2 curvas ๐ด = โˆซ [ ๐‘“( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘”(๐‘ฅ)] ๐‘ ๐‘Ž
  • 4. 4 โˆซ ๐‘“( ๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ = ๐‘Ž 0 โˆ’ โˆซ ๐‘“(โˆ’๐‘ฅ) ๐‘‘๐‘ฅ โˆ’๐‘Ž 0 Relaciones Pitagรณricas ๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘ฅ) + ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘ฅ) = 1 // ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘ฅ) = 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘ฅ)// ๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘ฅ) = 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘ฅ) ๐‘ก๐‘”2( ๐‘ฅ) + 1 = ๐‘ ๐‘’๐‘2( ๐‘ฅ) ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”2( ๐‘ฅ) + 1 = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘2( ๐‘ฅ) ๐‘2 = ๐‘Ž2 + ๐‘2 Funciรณn de la suma o la diferencia ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž) + ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘Ž+๐‘ 2 ). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Žโˆ’๐‘ 2 ) ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) + ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘) = 2. ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Žโˆ’๐‘ 2 ). ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘Žโˆ’๐‘ 2 ) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) + ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) cos( ๐‘Ž) + ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) = 2. ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž+๐‘ 2 ). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Žโˆ’๐‘ 2 ) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) . ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) cos( ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘Ž+๐‘ 2 ). ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘Žโˆ’๐‘ 2 ) ๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž + ๐‘) = ๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž)+๐‘ก๐‘”(๐‘) 1โˆ’๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž).๐‘ก๐‘”(๐‘) sen( ๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘) ๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = ๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž)โˆ’๐‘ก๐‘”(๐‘) 1+๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž).๐‘ก๐‘”(๐‘) sen( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) = 2. ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘)
  • 5. 5 Funciรณn de รกngulo duplo y medio Funciรณnde รกnguloduplo ๐‘ ๐‘’๐‘›(2. ๐‘Ž) = 2. ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž) ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž) = ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›2(๐‘Ž) ๐‘ก๐‘”(2. ๐‘Ž) = 2. ๐‘ก๐‘”(๐‘Ž) 1 โˆ’ ๐‘ก๐‘”2(๐‘Ž) = ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘Ž) (1 + ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž)) Funciรณnde รกngulomedio ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐‘Ž 2 ) = ยฑโˆš 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž) 2 ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž 2 ) = ยฑโˆš 1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž) 2 ๐‘ก๐‘”( ๐‘Ž 2 ) = ยฑโˆš 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž) 1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘Ž)
  • 6. 6 Funciรณn del producto ๐‘๐‘œ๐‘ 2( ๐‘Ž) = 1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž) 2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2( ๐‘Ž) = 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž) 2 ๐‘ก๐‘”2( ๐‘Ž) = 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž) 1 + ๐‘๐‘œ๐‘ (2. ๐‘Ž) ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘) = 1 2 [ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)] ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘) = 1 2 [ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž + ๐‘) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)] ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž). ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘) = 1 2 [ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž + ๐‘) + ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ž)] ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐‘Ž). ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘) = 1 2 [ ๐‘๐‘œ๐‘ ( ๐‘Ž โˆ’ ๐‘) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ (๐‘ + ๐‘Ž)]
  • 7. 7 Funciones Hiperbรณlicas ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ 2 ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ 2 ๐‘ก๐‘”โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) = 2 ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘ ๐‘’๐‘โ„Ž( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(๐‘ฅ) = 2 ๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”โ„Ž( ๐‘ฅ) = 1 ๐‘ก๐‘”โ„Ž(๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ + ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘’โˆ’๐‘ฅ ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘› (๐‘ฅ + โˆš1 + ๐‘ฅ2) ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘›(๐‘ฅ + โˆš ๐‘ฅ2 โˆ’ 1) ๐‘๐‘œ๐‘› ๐‘ฅ โ‰ฅ 1 ๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘” ๐‘ก๐‘”โ„Ž ( ๐‘ฅ) = 1 2 ๐‘™๐‘›| 1 + ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘ฅ | ๐‘๐‘œ๐‘›| ๐‘ฅ| < 1 ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) = 1 // ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) = 1 + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) // ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) = โˆ’1 + ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2(๐‘ฅ) ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ // ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) // ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’ ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ)
  • 8. 8 ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ // ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) // ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) = ๐‘’โˆ’๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฅ) ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ). ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฆ) + ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฆ) ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ). ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฆ) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ) . ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(๐‘ฆ) ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž(2๐‘ฅ) = 2๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž( ๐‘ฅ). ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž( ๐‘ฅ) ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) + ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2(๐‘ฅ) ๐‘ ๐‘’๐‘›โ„Ž2( ๐‘ฅ) = ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ฅ) โˆ’ 1 2 ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž2( ๐‘ฅ) = 1 + ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž(2๐‘ฅ) 2 Ecuaciรณn de la recta tangente ๐‘ฆ = ๐‘“ยด( ๐‘Ž).( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž) + ๐‘“( ๐‘Ž) ๐ธ๐‘› ๐‘ฅ = ๐‘Ž Ecuaciรณn de la recta secante ๐‘ฆ = ๐‘ฆ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ1 ( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) + ๐‘ฆ1 ๐ท๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘‘๐‘œ๐‘  ๐‘๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘œ๐‘  ๐‘ฆ = ๐‘š( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1) + ๐‘ฆ1 ๐ท๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ๐‘™๐‘Ž ๐‘๐‘’๐‘›๐‘‘๐‘–๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘’(๐‘š) ๐‘ฆ ๐‘ข๐‘› ๐‘๐‘ข๐‘›๐‘ก๐‘œ
  • 9. 9 Funciรณn cuadrรกtica ๐‘ฆ = ๐‘Ž๐‘ฅ2 + ๐‘๐‘ฅ + ๐‘ ๐น๐‘œ๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž ๐ธ๐‘ฅ๐‘๐‘™รญ๐‘๐‘–๐‘ก๐‘Ž. ๐‘ฆ = ๐‘Ž(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ ๐‘ฃ)2 + ๐‘ฆ๐‘ฃ ๐น๐‘œ๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž ๐ถ๐‘Ž๐‘›รณ๐‘›๐‘–๐‘๐‘Ž ( ๐‘›๐‘’๐‘๐‘’๐‘ ๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘œ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘’๐‘™ ๐‘ฃ๐‘’๐‘Ÿ๐‘ก๐‘–๐‘๐‘’) ๐‘ฅ ๐‘ฃ = โˆ’๐‘ 2๐‘Ž ; ๐‘‘๐‘’๐‘ ๐‘๐‘ข๐‘’๐‘  ๐‘Ÿ๐‘’๐‘’๐‘š๐‘๐‘™๐‘Ž๐‘ง๐‘œ ๐‘’๐‘› ๐‘™๐‘Ž ๐‘“๐‘ข๐‘›๐‘๐‘–๐‘œ๐‘› ๐‘ฆ ๐‘œ๐‘๐‘ก๐‘’๐‘›๐‘”๐‘œ ๐‘ฆ๐‘ฃ. ๐‘ฆ = ๐‘Ž( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ1)( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ2) ๐น๐‘œ๐‘Ÿ๐‘š๐‘Ž ๐น๐‘Ž๐‘๐‘ก๐‘œ๐‘Ÿ๐‘–๐‘ง๐‘Ž๐‘‘๐‘Ž ( ๐‘›๐‘’๐‘๐‘’๐‘’๐‘ ๐‘–๐‘ก๐‘œ ๐‘๐‘œ๐‘›๐‘œ๐‘๐‘’๐‘Ÿ ๐‘™๐‘Ž๐‘  ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘–๐‘๐‘’๐‘ ) ๐‘ฅ1;2 = โˆ’๐‘ ยฑ โˆš๐‘2 โˆ’ 4๐‘Ž๐‘ 2๐‘Ž