Gewmetry a lykeioy

- 1 –
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Σ http://mathhmagic.blogspot.com
ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

- 2 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
● Πρωταρχικές έννοιες της γεωμετρίας είναι εκείνες οι έννοιες οι οποίες δεν μπορούν να
οριστούν και για να τις καταλάβουμε καταφεύγουμε στην εμπειρία , τέτοιες έννοιες είναι το
σημείο , η ευθεία και το επίπεδο .
● Αξιώματα είναι οι προτάσεις που τις δεχόμαστε χωρίς απόδειξη.
Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας μαζί με τα παρακάτω αξιώματα, που είναι προτάσεις
τις οποίες δεχόμαστε ότι ισχύουν, δημιουργούν τα διάφορα θεωρήματα - πορίσματα της Γε-
ωμετρίας.
Με άλλα λόγια, θεμελιώνουν τη Γεωμετρία τον επιπέδου.
ΑΞΙΩΜΑΤΑ
● Ημιευθεία
Αν θεωρήσουμε μια ευθεία εε' και ένα οποιοδήποτε σημείο της Α,
τότε καθένα από τα μέρη στα οποία χωρίζεται η ευθεία από το
σημείο Α ονομάζεται ημιευθεία με αρχή το σημείο Α. Έτσι έχουμε
τις ημιευθείες Αε και Αε'.
Η ημιευθεία Αε΄ ονομάζεται αντικείμενη ημιευθεία της Αε.
Η αρχή Α των δύο ημιευθειών ανήκει και στις δύο ημιευθείες.
Μια ημιευθεία ορίζεται επίσης αν θεωρήσουμε ένα άλλο σημείο Β της ευθείας, οπότε η
ημιευθεία Αε μπορεί να ονομαστεί και ως ημιευθεία ΑΒ.
Μια ευθεία τον επίπεδου χωρίζει δύο ημιεπίπεδα. Σε αυτήν
την περίπτωση η ευθεία ονομάζεται ακμή των δύο
ημιεπιπέδων.
● Ευθύγραμμο τμήμα
Πάνω σε μια ευθεία ε παίρνουμε δύο σημεία Α και Β. Το σχήμα που αποτελείται από τα σημεία
Α, Β και από όλα τα σημεία της ευθείας ε που βρίσκονται μεταξύ των Α και Β λέγεται
ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα Α και Β και συμβολίζεται με ΑΒ ή ΒΑ.
Η ευθεία ε λέγεται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Ολα τα
σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ εκτός των άκρων Α και Β
Α1 . Από δυο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
Α2. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τον επιπέδου που δεν ανήκει σε
αυτή.
A3. Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο
κατευθύνσεις, χωρίς να διακόπτεται.
Α4. Από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτήν την ευθεία.

- 3 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
λέγονται εσωτερικά σημεία του ΑΒ.
●Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων
Η σύγκριση των ευθύγραμμων τμημάτων γίνεται τοποθετώντας τα «το ένα πάνω στο άλλο».
Δηλαδή, αν έχουμε να συγκρίνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ, τοποθετούμε (με τη
βοήθεια του διαβήτη) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πάνω στο ΓΔ έτσι, ώστε το άκρο Α να συμπέσει
με το άκρο Γ, οπότε έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:
• Αν το άκρο Β συμπέσει με το Δ, τότε λέμε ότι τα ευθύγραμμα
τμήματα είναι ίσα και γράφουμε:
ΑΒ = ΓΔ
• Αν το άκρο Β βρεθεί μεταξύ των Γ και Δ, τότε λέμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι
μικρότερο του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ και γράφουμε:
ΑΒ<ΓΔ
•Αν το άκρο Β βρεθεί εκτός του ΓΔ και προς το μέτρο του Δ η το Δ βρεθεί μεταξύ των Α και Β ,
τότε λεμέ ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μεγαλύτερο του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ και
γραφούμε
ΑΒ>ΓΔ
● Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος
Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζουμε το μοναδικό σημείο του το οποίο χωρίζει το
ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα ευθύγραμμα τμήματα.
Αν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Μ είναι το μέσο του, τότε
AM = MB.
Στην περίπτωση που το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος λέμε ακόμα ότι το σημείο
Β είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Μ ή ότι το Α είναι το συμμετρικό του Β ως προς το Μ.
● Διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα
Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά, όταν έχουν κοινό
ένα άκρο τους και δεν έχουν άλλο κοινό εσωτερικό σημείο.

- 4 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
● Πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων
Για να προσθέσουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα , τα τοποθετούμε πάνω σε μια ευθεία έτσι ώστε
να είναι διαδοχικά. Το ευθύγραμμο τμήμα που
προκύπτει ονομάζεται άθροισμα των δυο
ευθυγράμμων τμημάτων
●Γινόμενο ευθυγράμμων τμημάτων
Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Το ευθύγραμμο τμήμα KM που προκύπτει αν
προσθέσουμε ν φορές το ΑΒ ονομάζεται γινόμενο του φυσικού αριθμού ν με το ΑΒ και
γράφεται:
ΚΜ = ν·ΑΒ (1)
Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι
ΑΒ =
1
ν
KM (2)
● Αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων
Αν ΑΒ και ΓΔ είναι δύο ευθύγραμμα τμήματα με ΑΒ > ΓΔ,
προκειμένου να τα αφαιρέσουμε, εργαζόμαστε ως εξής:
Πάνω σε μια ευθεία θεωρούμε (κατασκευάζουμε) τα
ευθύγραμμα τμήματα ΚΛ = ΑΒ και KM = ΓΔ
(το σημείο Μ θα βρίσκεται μεταξύ των σημείων Κ και Λ,
αφού KM < ΚΑ).
Το ευθύγραμμο τμήμα ΜΛ ονομάζεται διαφορά των
τμημάτων ΚΛ και ΚΜ και γραφούμε:
ΜΛ=ΚΛ-ΚΜ=ΑΒ-ΓΔ
● Μέτρηση ευθυγράμμου τμήματος
Μέτρηση ενός ευθυγράμμου τμήματος ονομάζουμε την σύγκριση του με ένα άλλο
ευθύγραμμο τμήμα το οποίο θεωρείται ως μονάδα. Το ευθύγραμμο τμήμα που θεωρείται ως
μονάδα λέγεται μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα. Ο θετικός ρητός αριθμός που προκύπτει από
την σύγκριση αυτή λέγεται μήκος του ευθυγράμμου τμήματος .

- 5 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Αν λοιπόν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ,ΟΧ είναι το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και
κ
ν
είναι ο αριθμός που προκύπτει από την σύγκριση του ΑΒ με το ΟΧ, θα έχουμε την ισότητα :
(ΑΒ)=
κ
ν
(ΟΧ)
To (AB) παριστάνει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
Στα επόμενα, για να δηλώσουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα χρησιμοποιούμε
το ίδιο σύμβολο με το ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή
(ΑΒ) = ΑΒ.
• Το ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο
τμήμα. Το μήκος του μηδενικού ευθύγραμμου τμήματος είναι μηδέν ( 0).
• Αν για το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ισχύει, για παράδειγμα, ότι ΑΒ =
8
7
ΟΧ, όπου ΟΧ το
μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, τότε, επειδή
8 1
1
7 7
= + η παραπάνω ισότητα γράφεται:
ΑΒ = 1. ΟΧ +
1
7
ΟΧ
Η ισότητα αυτή δηλώνει ότι το ΑΒ αποτελείται από ένα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ΟΧ και
από
1
7
του ΟΧ.
Το μήκος του ΑΒ είναι ο ρητός αριθμός
8
7
= 1,14
• Το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος δεν είναι πάντα ρητός αριθμός.
• Για τις πράξεις που αναφέρονται στα ευθύγραμμα τμήματα ή στα μήκη αυτών ισχύουν οι
γνωστές πράξεις των αριθμών.
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Λύση
i) Επειδή το Α είναι κοινό μέσο των ΚΝ,ΛΜ , ισχύει ότι:
ΚΑ=ΑΝ ,ΛΑ=ΑΜ
Τις σχέσεις αυτές τις αφαιρουμε κατά μέλη και έχουμε
ΚΑ –ΛΑ= ΑΝ- ΑΜ η ΚΛ=ΜΝ
ii) Είναι ΚΜ=ΚΑ+ΑΜ=ΑΝ+ΛΑ=ΛΝ
1)Δίνονται τα διαδοχικά σημεία Κ,Λ,Μ,Ν μιας ευθείας ε , ώστε τα τμήματα ΚΝ και ΛΜ
να έχουν κοινό μέσο το Α.
Να δείξετε ότι :
i)ΚΛ=ΜΝ ii)KM=ΛΝ

- 6 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
ΜΝ= ΜΒ + ΒΓ + ΓΝ =
2 2
ΑΒ Γ∆
+ ΒΓ + =
2
2 2
2 2 2
ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ ΑΒ + ΒΓ + ΒΓ + Γ∆
= =
ΑΒ + ΒΓ ΒΓ + Γ∆ ΑΓ + Β∆
+ =
Λύση
Αν ΜΑ=χ τότε ΜΒ= 10 –χ και η ισότητα
3
2
ΜΑ = ΜΒ
γράφεται :
3
(10 ) .... 6
2
χ χ χ
= − ⇔ ⇔ = . Άρα ΜΑ=6 και ΜΒ=4
2)Σε μια ευθεία ε δίνονται τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ και Δ. Αν Μ και Ν είναι αντίστοιχα τα
μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ , να αποδείξετε ότι
1
( )
2
ΜΝ = ΑΓ + Β∆
3)Αν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος 10 και Μ είναι ένα σημείο του για το οποίο
ισχύει
3
2
ΜΑ = ΜΒ , να υπολογίσετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΜΑ και
ΜΒ.
ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.Για να δείξουμε ότι δυο ευθείες συμπίπτουν , αρκεί να δείξουμε ότι έχουν δυο (διαφορετικά μεταξύ
τους ) κοινά σημεία.
2.Για να δείξουμε ότι ένα σημείο Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΜ είναι το μέσο αυτού , αρκεί να
δείξουμε ότι ΑΜ=ΜΒ.
3.Για να δείξουμε ότι δυο ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα , αρκεί να δείξουμε ότι συμβαίνει μια από
τις εξής περιπτώσεις:
α)Είναι ίσα με ένα τρίτο ευθ. τμήμα.
β)Είναι το άθροισμα ή η διαφορά ίσων τμημάτων.
γ) Έχουν ίσα μήκη.
4.Για να δείξουμε ότι δυο ευθ. τμήματα έχουν το ίδιο μέσο συνήθως εργαζόμαστε ως εξής.
Παίρνουμε το μέσο του ενός ευθύγραμμου τμήματος και δείχνουμε ότι είναι και μέσο του αλλού.

- 7 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Εκφράζουμε αρχικά τα τμήματα ΜΑ και ΜΒ της ισότητα
5
7
ΜΑ = ΜΒ με την βοήθεια των ΓΜ,
ΓΑ και ΓΒ.
Είναι ΜΑ=ΓΜ-ΓΑ και ΜΒ=ΓΒ-ΓΜ, οπότε έχουμε:
5 5
( ) ( )
7 7
7 7 5 5 7 5 5 7
5 7
12 5 7
12 12
ΜΑ = ΜΒ ⇔ ΓΜ − ΓΑ = ΓΒ − ΓΜ ⇔
ΓΜ − ΓΑ = ΓΒ − ΓΜ ⇔ ΓΜ + ΓΜ = ΓΒ + ΓΑ ⇔
ΓΜ = ΓΒ + ΓΑ ⇔ ΓΜ = ΓΒ + ΓΑ
Λύση
Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις
i) To O είναι προς το μέρος του Β
2 2 2 2
2 2 2 2 2
ΑΒ ΟΒ ΟΒ ΑΒ
ΟΜ = ΟΒ + ΒΜ = ΟΒ + = + + =
ΟΒ ΟΒ + ΑΒ ΟΒ ΟΑ ΟΑ + ΟΒ
+ = + =
ii) To O είναι προς το μέρος του A
2 2 2 2
2 2 2 2 2
ΑΒ ΟΑ ΟΑ ΑΒ
ΟΜ = ΟΑ + ΑΜ = ΟΑ + = + + =
ΟΑ ΟΑ + ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ + ΟΒ
+ = + =
4)Έστω ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Μ ένα σημείο μεταξύ των Α και Β για το
οποίο ισχύει
5
7
ΜΑ = ΜΒ .Αν Γ είναι σημείο της ημειευθειας ΜΑ που δεν ανήκει στο
ευθύγραμμο τμήμα ΜΑ , να αποδείξετε ότι
5 7
12 12
ΓΜ = ΓΑ + ΓΒ
4)Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Μ .Αν Ο είναι οποιοδήποτε
σημείο ευθείας ΑΒ, που δεν ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, να αποδειχθεί ότι
2
ΟΑ + ΟΒ
ΟΜ =

- 8 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Θέτω ΜΑ=χ , ΑΓ =y οπότε ΜΒ=ΜΓ=χ+y άρα
Έστω το Α μέλος της προς απόδειξη ισότητας :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) (2 )
4 4 4 4 2 (1)
y y y y
x xy y y x xy y
χ χ χ
ΑΒ + ΑΓ = + + + = + + =
+ + + = + +
Όμοια στο Β μέλος
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2( ) 2 2( 2 )
2 2 4 2 4 4 2 (2)
x x y x x xy y
x x xy y x xy y
ΑΜ + ΜΒ = + + = + + + =
+ + + = + +
Από (1) ,(2) προκύπτει η ζητούμενη .
Λύση
Από υπόθεση (1)
κ
λ κ
λ
ΜΑ
= ⇔ ΜΑ⋅ = ⋅ΜΒ
ΜΒ
Αφού το Π είναι εσωτερικό σημείο του ΑΜ ισχύει ΑΠ+ΠΜ=ΑΜ από οπού έχουμε
(2)
λ λ λ
⋅ΠΑ + ⋅ΠΜ = ⋅ΑΜ
Όμοια αφού το Μ είναι εσωτερικό του ΠΒ ισχύει ΠΜ+ΜΒ=ΠΒ από οπού έχουμε
(3)
κ κ κ
⋅ΠΜ + ⋅ΜΒ = ⋅ΠΒ
Προσθέτω κατά μέλη (2) και (3) και έχω:
(1)
λ λ κ κ λ κ
λ κ λ
⋅ΠΑ + ⋅ΠΜ + ⋅ΠΜ + ⋅ΜΒ = ⋅ΑΜ + ⋅ΠΒ
⋅ΠΜ + ⋅ΠΜ = ⋅ΑΜ κ λ κ
+ ⋅ΠΒ − ⋅ΠΑ − ⋅ΜΒ
( )
λ κ κ λ
κ λ
κ λ
+ ΠΜ = ⋅ΠΒ − ⋅ΠΑ
⋅ΠΒ − ⋅ΠΑ
ΠΜ =
+
5)Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα σημεία Β,Α,Γ και ονομάζουμε Μ το μέσο του ΒΓ να αποδειχθεί
ότι :
2 2 2 2
2 2
ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΜΒ
6) Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ του τμήματος ΑΒ τέτοιο ώστε :
κ
λ
ΜΑ
=
ΜΒ
οπού κ,λ *
ℕ . Αν Π
είναι ένα τυχαίο σημείο του τμήματος ΑΜ να αποδειχθεί ότι :
κ λ
κ λ
⋅ΠΒ − ⋅ΠΑ
ΠΜ =
+

- 9 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Αφού το Μ είναι σημείο του ΑΒ και ισχύει ΑΜ=λ⋅ΑΒ
έχουμε (ΑΜ)=λ⋅(ΑΒ)
( )
( )
λ
ΑΜ
⇔ =
ΑΒ
άρα 1 1 0
ο λ λ
< < ⇔ − > οπότε
( )
(1 0
λ λ
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ
ΜΝ = Α∆ − ΑΜ − Ν∆ = Α∆ − ⋅ΑΒ − ⋅Γ∆ =
Α∆ − ΑΒ − ΒΓ − Γ∆ − ⋅Γ∆ = Α∆ − ⋅ ΑΒ − ⋅ΒΓ − ⋅Γ∆ − ⋅Γ∆
Α∆ − ⋅Α∆ + ⋅ΒΓ = − ⋅Α∆ + ⋅ΒΓ
Λύση
Με βάση το διπλανό σχήμα έχουμε :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
( )
P ON OM OA AP OB BM OA AN
AB B
OA OB OA
AB B
OA OB OA
OA OB OA
OA OB OA OB
Ο + + = + + + + + =
Γ ΑΓ
+ + + + + =
Γ ΑΓ
+ + + + + =
ΑΓ + ΑΓ
+ + + =
+ + ΑΓ + ΟΑ = + + ΟΓ
7) Σ ε μια ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ και τα σημεία Μ,Ν των τμημάτων
ΑΒ και ΓΔ αντιστοίχως τέτοια ώστε να είναι ΑΜ=λ⋅ΑΒ και ΔΝ=λ ⋅ΓΔ με λ>0.Να αποδειχθεί ότι:
(1 )
λ λ
ΜΝ = ⋅ΒΓ + − ⋅Α∆
8) Σ ε μια ημιευθεία με αρχή το Ο θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α,Β και Γ , το μέσο P του
ΑΒ , το μέσο Μ του ΒΓ και το μέσο Ν του ΑΓ .Να αποδειχθεί ότι :
P ON OM OA OB O
Ο + + = + + Γ

- 10 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1)Με μονάδα μέτρησης ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, ποιο είναι το μήκος του ευθύγραμμου
τμήματος ΓΔ , όταν ισχύει: Γ∆
=
ΑΒ
2
5
.
2)Στο παρακάτω σχήμα ποιο είναι το μήκος κάθε ευθύγραμμου τμήματος με μονάδα μέτρησης
το ευθύγραμμο τμήμα
α)ΑΒ β)ΓΔ γ)ΕΖ
3)Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε ένα σημείο Α .ποσά σημεία της ευθείας απέχουν από το Α
απόσταση 5;
4)Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ είναι μοναδιαίο , ποιο είναι το μήκος του ευθύγραμμου
τμήματος ΑΝ= ΚΛ
+
ΚΛ
+
ΚΛ
10
3
10
1
3 .
5)Για τρία σημεία Α, Β και Γ μιας ευθείας ε ισχύει ΑΒ=α και ΑΓ=β με α<β. Ποιο είναι το μήκος του
ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ;
6)Ποιες ημιευθειες και ποια ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται στο παρακάτω σχήμα;
7)Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=8 και ΑΓ=20 .Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, να βρείτε το μήκος
του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ.
8)Ποιοι είναι οι τρόποι ώστε δυο διαφορετικές ημιευθειες να τέμνονται;
9)Η γραμμή ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος είναι άθροισμα των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και
ΒΓ;

- 11 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
8)Ποσά ευθύγραμμα τμήματα και πόσες ημιευθειε ορίζουν τέσσερα σημεία
μιας ευθείας ;
10)Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΓ=χ+6,ΑΒ=χ και ΒΓ=2χ-4.Να υπολογιστούν τα
μήκη των τμημάτων ΑΒ,ΒΓ και ΑΓ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
1. Αν Μ είναι το μέσο τμήματος ΑΒ και Ο σημείο της ημιευθείας ΜΑ, τότε:
i)Αν το Ο δεν ανήκει στο ΑΜ, είναι ΟΜ
ΟΑ ΟΒ
=
+
2
ii)Αν το Ο ανήκει στ ΑΜ, είναι ΟΜ
ΟΑ ΟΒ
=
−
2
2. Επί ευθείας ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ. Αν Μ,Ν είναι
τα μέσα των τμημάτων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:
ΜΝ
Α∆ ΒΓ
=
−
2
3. Αν τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά και (ΑΒ)=7, (ΒΓ)=11, (ΓΑ)=4, ποιο
από τα Α,Β,Γ βρίσκεται μεταξύ των δύο άλλων;
4. Επί ευθείας ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ,ΒΓ. Αν Δ,Ε,Ζ είναι τα
μέσα των ΑΒ, ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα, να δειχθεί ότι τα τμήματα ΔΕ, ΒΖ έχουν
κοινό μέσο.
5. Έστω Ο ένα σημείο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Αν Γ και Δ είναι
αντίστοιχα τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΟΑ , να
αποδείξετε ότι ΟΒ=2ΓΔ.

- 12 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
6. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος 8 cm .Αν Ο είναι το σημείο του
ΑΒ για το οποίο ισχύει
1
3
ΟΑ = ΟΒ, να υπολογίσετε τα μήκη των
ευθυγράμμων τμημάτων ΟΑ και ΟΒ.
7. Σε μια ημιευθεια με αρχή το Ο θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α,Β και
Γ , το μέσο Π του ΑΒ, το μέσο Μ του ΒΓ και το μέσο Ν του ΑΓ .
Να αποδειχθεί ότι
ΟΠ+ΟΝ+ΟΜ=ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ
8. Στο παρακάτω σχήμα τα Μ και Ν είναι μέσα των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ
αντίστοιχα .Να δείξετε ότι :
2
2
ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ
ΟΜ + ΟΝ =
9. Στο επίπεδο δίνονται ν ευθείες , οι οποίες τέμνονται ανά δυο , αλλά ανά
τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο .Ποσά είναι τα σημεία τομής των
ευθειών αυτών .

- 13 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΓΩΝΙΕΣ
● Έστω μια γωνία xoy .Θεωρούμε το ημιεπίπεδο Π1 που έχει ακμή το φορέα χ΄χ της Οx και
περιέχει την Oy .
Επίσης θεωρούμε το ημιεπιπεδο Π2 που έχει ακμή το φορέα y’y της Oy και περιέχει την Οx.
Το μέρος του επιπέδου που περιέχει τα κοινά στοιχειά των Π1 και Π2 χωρίς τα σημεία των Οx,
Oy ονομάζεται εσωτερικό της xoy .Τα σημεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην γωνία ,
αλλά ούτε στο εξωτερικό της , αποτελούν το εξωτερικό της xoy .
● Μια γωνία με πλευρές δυο αντικειμενες ημιευθειες ονομάζεται ευθεία γωνία.(σχημα1 )
●Αν οι πλευρές Οx, Oy μιας γωνίας συμπίπτουν και το εσωτερικό της δεν περιέχει σημεία τότε η
γωνία λέγεται μηδενική. (σχημα2 )
Γωνία ονομάζεται το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δυο ημιευθειες Οx, Oy με κοινή
αρχή το Ο. Οι Οx, Oy
ονομάζονται πλευρές και το σημείο Ο κορυφή
της γωνίας .
Η γωνία αυτή συμβολίζεται με xoy .(η απλά O )
σχ 2
σχ 1

- 14 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
●Το μέρος (χωρίο) του επιπέδου που αποτελείται από μια γωνία και το εσωτερικό της
ονομάζεται κυρτή γωνία. Το χωρίο που αποτελείται από την γωνία και το εξωτερικό της
ονομάζεται μη κυρτή γωνια.
● Αν η κυρτή γωνία είναι μηδενική ,
τότε η μη κυρτή γωνία ονομάζεται
πλήρης γωνία.
Συνήθως με τον ορό γωνία εννοούμε τόσο
το σχήμα των δυο τεμνομενων ημιευθειων,
όσο και την κυρτή γωνία που ορίζουν αυτές .
● Διχοτόμος μιας γωνίας xoy ονομάζεται η ημιευθεια Οδ που χωρίζει την κυρτή γωνία σε
δυο ίσες κυρτές γωνίες ,
δηλαδή ισχύει :
xo oy
δ δ
= (σχημα 4 )
● Αν η γωνία xoy είναι ευθεία , τότε η διχοτόμος Οδ αυτής τη χωρίζει σε δυο ίσες γωνίες που η
καθεμιά τους είναι ορθή.(σχήμα 4)
● Μια γωνία μικρότερη από την ορθή ονομάζεται οξεία.(σχήμα 5) , ενώ μια γωνία μεγαλύτερη
από την ορθή ονομάζεται αμβλεία. .( σχήμα 6)
σχ 3
σχ 4
σχ 4 σχ 5
σχ 6

- 15 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
● Κάθετες ευθείες
Αν δυο ευθείες δ,ε τέμνονται και από μια από τις σχηματιζομενες γωνίες είναι ορθή τότε
λεμέ οι ευθείες είναι κάθετες και γραφούμε : δ ε
⊥ (σχήμα 6)
Από ένα σημείο Α μιας ευθείας ε η έξω από την ε μπορούμε να φέρουμε μονό μια ευθεία δ
κάθετη στην ε.(σχήματα 7,8 )
Το σημείο τομής των δ και ε λέγεται ορθή προβολή ( η απλά προβολή) η ίχνος του σημείου Α
πάνω στην ε. Επίσης , το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση του Α από
την ε.
●Μεσοκαθετη ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη σε
αυτό και διέρχεται από το μέσο του.
(σχήμα 9)
Στην περίπτωση αυτή τα σημεία Α και Β
ονομάζονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε.
ΠΡΑΞΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ
Αν δυο γωνίες έχουν μια κοινή πλευρά και δεν έχουν μια κοινά εσωτερικά σημεία , τότε
ονομάζονται εφεξής η διαδοχικές . (σχήμα 10)
Τρεις γωνίες ονομάζονται διαδοχικές , όταν η πρώτη με την δεύτερη και η δεύτερη με την τρίτη
είναι εφεξής , χωρίς να έχουν και οι τρεις κοινή πλευρά . (σχήμα 11)
σχ 6 σχ 7 σχ 8
σχ 9
σχ 11
σχ 10

- 16 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Το άθροισμα και η διαφορά δυο γωνιών δίνονται στα σχήματα που ακολουθούν
xoy yoz xoz
+⋅ = xoz yox yoz
− =
Γινόμενο του φυσικού αριθμού ν με την γωνία xoy ονομάζεται η γωνία z ω
Α που είναι
άθροισμα ν γωνιών ίσων με την xoy και γραφούμε
z xoy
ω ν
Α = ⋅ η
1 z
xoy z
ω
ω
ν ν
Α
= ⋅ Α = ⋅
Γινόμενο ενός θετικού ρητού
λ
ν
με την γωνία xoy ονομάζεται η γωνία z ω
Α που είναι
άθροισμα λ γωνιών ίσων με την
1
x y
ν
⋅ Α και γραφούμε
xoy
z xoy
λ λ
ω
ν ν
⋅
Α = ⋅ =
Αλλά είδη γωνιών
Δυο γωνίες ονομάζονται κατακόρυφην , όταν οι πλευρές της μιας είναι οι αντικειμενες
ημιευθειες των πλευρών της άλλης

- 17 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Δυο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα μια
ευθεία γωνία.
Δυο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα μια ορθή
γωνία.
Θεωρήματα
● Δυο κατακόρυφην γωνίες είναι ίσες .
● Οι διχοτόμοι δυο κατακόρυφην γωνιών
είναι αντικείμενες ημιευθείες .
● Δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες
έχουν τις μη κοινές πλευρές τους
αντικειμενες ημιευθειες και αντιστρόφως .
● Οι διχοτόμοι δυο εφεξής και
παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες .

- 18 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
● Για να αποδείξουμε ότι μια ημιευθεια ΟΓ είναι διχοτόμος μιας
γωνίας O
Α Β ,
αρκεί να αποδείξουμε ότι O O
Α Γ = Γ Β η
2
O
O
Α Β
Α Γ = η
2
O
O
Α Β
Β Γ =
● Για να αποδείξουμε ότι δυο ευθείες ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετες
, αρκεί να αποδείξουμε ότι:
- η ΟΒ είναι διχοτόμος της ευθείας γωνίας O
Α Ε η
-
0
90
O O O
Α Γ + Γ ∆ + ∆ Β = δηλαδή
ότι η γωνία O
Α Β σχηματίζεται από διαδοχικές γωνίες
με άθροισμα μια ορθή γωνία.
● Για να αποδείξουμε ότι δυο ημιευθειες ΟΑ και ΟΒ είναι αντικειμενες
(η ότι τα σημεία Α, Ο και Β είναι συνευθειακα ) ,
προσπαθούμε να γράψουμε την γωνία O
Α Β ως άθροισμα
διαδοχικών γωνιών με κοινή κορυφή το Ο.
Το άθροισμα των γωνιών αυτών πρέπει
να είναι ίσο με μια ευθεία γωνία (180ο ) .
Έτσι για το διπλανό σχήμα ισχύει ότι οι ΟΑ και ΟΒ είναι αντικειμενες ημιευθειες , αν και μονό αν
χ+y+ω=180ο ( 2 ορθές )
● Για να αποδείξουμε ότι δυο γωνίες χ και y είναι συμπληρωματικές , αποδεικνύουμε ότι
χ+y=90ο ( 1 ορθή )
● Για να αποδείξουμε ότι οι γωνιές χ και y είναι παραπληρωματικές αποδεικνύουμε ότι
χ+y+ω=180ο ( 2 ορθές)

- 19 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
Λύση
Το μέτρο της δοσμένης γωνίας είναι ω=5/6.90ο =75ο .Έτσι το μέτρο της συμπληρωματικής της
γωνίας είναι: 90ο – 75ο =15ο .και το μέτρο της παραπληρωματικής της γωνίας είναι 180ο –75ο =105ο .
Λύση
Έστω χ το μέτρο της γωνίας. Τότε θα έχουμε:
)
180
(
2
1
)
90
( 0
0
x
x
x −
+
−
= ⇔ )
180
(
2
1
2
)
90
(
2
2 0
0
x
x
x −
+
−
=
x
x
x −
+
−
= 0
0
180
2
180
2 ⇔ 0
0
180
180
2
2 +
=
+
+ x
x
x ⇔ 0
360
5 =
x
⇔
5
3600
=
x ⇔ x=72o
Λύση
Έχουµε
(ΕΟΖ )=(ΕΟΓ )+(ΓΟ∆ )+( ∆ΟΖ )
1)Μια γωνία είναι τα 5/6 της ορθής. Να βρεθεί το μέτρο της συμπληρωματικής της και της
παραπληρωματικής της γωνίας.
2) Μια οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα της συμπληρωματικής της γωνίας και του μισού
της παραπληρωματικής της. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας αυτής.
3)Από ένα σημείο Ο μιας ευθείας ΑΒ φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας ΑΒ τις
ημιευθειες ΟΓ και ΟΔ έτσι , ώστε οι γωνίες ΑΟΓ,ΓΟΔ,ΔΟΒ να είναι διαδοχικές .Καλούμε ΟΕ τη
διχοτόμο της γωνίας ΑΟΓ και ΟΖ τη διχοτόμο της γωνίας ΔΟΒ. Να δείξετε ότι
(ΕΟΖ)= 0
1
( ) 90
2
ΓΟ∆ +
Ο

- 20 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
0
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1
( ) ( ) [( ) ( ) ( )]
2 2
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
1
( ) ( ) 90
2
EOZ AO
= Γ + ΓΟ∆ + ΓΟ∆ + ∆ΟΒ =
ΕΟΖ = ΓΟ∆ + ΑΟΓ + ΓΟ∆ + ∆ΟΒ =
ΕΟΖ = ΓΟ∆ + ΑΟΒ =
ΕΟΖ = ΓΟ∆ +
.
Λύση
Έχουμε ( ΑΟΒ )=90ο
(ΒΟΓ )=60ο
(ΓΟ∆ )= 0
0
75
90
6
5
=
α) Έχουμε:
(ΚΟΒ )+(ΒΟ∆ )=
1
( ) ( ) ( )
2
AOB BO
+ Γ + ΓΟ∆ =
= =
+
+ 0
0
75
60
90
2
1 ο
45ο +60ο +75ο =180ο
Άρα οι εφεξης γωνίες ΚΟΒ καιΒΟ∆ είναι παραπληρωματικές και επομένως οι μη κοινές
πλευρές τους ΟΚ και ΟΔ είναι αντικείμενες ημιευθειες.
β)Επειδή οι ημιευθειες ΟΚ και ΟΔ είναι αντικείμενες , έπεται ότι οι εφεξής γωνίες ΑΟΚ και
ΑΟ∆ είναι παραπληρωματικές.
Δηλαδή: ( ΑΟΚ )+( ΑΟ∆ )=180ο
( ΑΟ∆ )=180ο +( ΑΟΚ )
( ΑΟ∆ )=180ο -
1
( )
2
AOB
(ΕΟΓ)=
1
( )
2
ΑΟΓ γιατί η ΟΕ διχοτόμος της ΑΟΓ)
( )
∆ΟΖ =
1
( )
2
∆ΟΒ γιατί η ΟΖ διχοτόμος της ΔΟΒ)
4)Από τις διαδοχικές γωνίες ΑΟΒ,ΒΟΓ,ΓΟΔ και ΔΟΑ η πρώτη είναι ορθή , η δεύτερη έχει
μέτρο 60ο και η τρίτη είναι τα 5/6 της ορθής.
Καλούμε ΟΚ τη διχοτόμο της ΑΟΒ , ΟΛ τη διχοτόμο της ΒΟΓ και ΟΜ τη διχοτόμο της ΛΟΓ.
α)Να δείξετε ότι οι ημιευθειες ΟΚ και ΟΔ είναι αντικείμενες.
β)Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ΑΟΔ.
γ)Να δείξετε ότι οι ημιευθειες ΟΜ και ΟΔ είναι κάθετες
∆
Α
Β
Γ
Μ
Λ
Κ
Ο

- 21 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
( ΑΟ∆ )=180ο - 0
90
2
1
( ΑΟ∆ )=180ο –45ο
( ΑΟ∆ )= 135ο
γ)Έχουμε (ΜΟΓ )=
1
( )
2
ΛΟΓ =
1 1
( ( ))
2 2
ΒΟΓ = =
0
60
4
1
15ο
Έτσι έχουμε : (ΜΟ∆ )=(ΜΟΓ )+(ΓΟ∆ )=15ο +75ο =90ο
Άρα η γωνία ΜΟΔ είναι ορθή και επομένως οι ημιευθειες ΟΜ και ΟΔ είναι κάθετες.
Λύση
Προκειμένου να αποδείξουμε ότι οι ΟΒ και ΟΒ΄
είναι αντικειμενες ημιευθειες αρκεί να αποδείξουμε ότι η '
BOB είναι ευθεία γωνία .Αρκεί
λοιπόν να αποδείξουμε ότι η '
BOB είναι ίση με '
AOA , που είναι ευθεία γωνία , αφού οι
ημιευθειες ΟΑ και ΟΑ’ είναι αντικειμενες .
Έχουμε λοιπόν:
' '
' ' ' ' '
' '
AOB A OB
BOB BOA A OB BOA AOB
AOB BOA AOA
=
= + = + =
+ =
Λύση
Με βάση το διπλανό σχήμα παίρνουμε:
2 2
1
2 2 2
O O
O O O
O O O
ορθης
Α Γ Β Γ
∆ Ε = ∆ Γ − Ε Γ = − =
Α Γ − Β Γ Α Β
= =
5)Αν δυο γωνίες ΑΟΒ και Α΄ΟΒ΄ είναι ίσες και οι ηµιευθειες ΟΑ και ΟΑ’ είναι αντικειµενες ,
να αποδείξετε ότι και οι ηµιευθειες ΟΒ και ΟΒ΄ , όταν βρίσκονται στα διαφορετικά
ηµιεπιπεδα που ορίζει η ΑΑ’ , είναι αντικειµενες .
6)Μια ορθή γωνία OB
Α είναι διαδοχική µε µια οξεία γωνία O
Β Γ .Αν ΟΔ και ΟΕ είναι οι
διχοτόµοι των γωνιών O
Α Γ και O
Β Γ αντίστοιχα , αν αποδειχθεί ότι
1
2
O ορθης
∆ Ε =

- 22 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
α. Από το σχήμα έχουμε :
0
90
O O O
Α Γ + Γ Β = Α Β = (1)
0
90
O O O
Γ Β + Β ∆ = Γ ∆ = (2)
Τα δευτέρα μέλη των (1) και (2) είναι ίσα άρα πρέπει να είναι ίσα και τα πρώτα μέλη
O O
Α Γ + Γ Β O
= Γ Β O O O
+ Β ∆ ⇔ Α Γ = Β ∆ (3)
β. Από το σχήμα έχουμε :
0 0 0
( ) ( )
(90 ) (90 ) 180
O O O O O O
O O O
Β Γ + Α ∆ = Β Α − Α Γ + Α Β + Β ∆ =
− Α Γ + + Β ∆ = − Α Γ O
+ Β ∆
(3)
0
180
=
Άρα οι γωνίες O
Β Γ και O
Α ∆ είναι παραπληρωματικές.
γ. Έχουμε:
2 2
O O φ ω φ ω
Α Γ = Β ∆ ⇔ = ⇔ = (4)
(4)
0 0 0
0 0 0
0
90 2 90 90
90 ( ) 90 90
90
O O
O O
O
φ χ φ φ χ
ω φ χ ω χ φ
Α Γ + Γ Β = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔
+ + = ⇔ + + = ⇔ Ν Β + Β Μ = ⇔
Ν Μ = ⇔ ΟΜ ⊥ ΟΝ
7)Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες OB
Α και O
Γ ∆ είναι ορθές .
α)Να αποδειχθεί ότι OB
Α = O
Γ ∆ .
β) Οι γωνίες O
Β Γ και O
Α ∆ είναι παραπληρωματικές .
γ)Οι διχοτόμοι ΟΜ και ΟΝ των
γωνιών O
Α Γ και O
Β ∆ τέμνονται κάθετα.

- 23 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1)Ποια είναι η συμπληρωματική της ορθής γωνίας ;
2)Μια αμβλεία γωνία έχει συμπληρωματική;
3)Είναι δυνατόν δυο παραπληρωματικές γωνίες να είναι ίσες ;
4)Αν μια γωνία είναι τα
2
3
της ορθής , τι μέρος της ορθής είναι η συμπληρωματική της και η
παραπληρωματική της .
5)Στα παρακάτω σχήματα έχουμε σημειώσει δυο γωνίες .Να δικαιολογήσετε ποιες από αυτές
είναι εφεξής και ποιες όχι .
6)Τι μέρος της ορθής γωνίας είναι η γωνία των διχοτόμων δυο συμπληρωματικών γωνιών;
7)Υπάρχει περίπτωση δυο παραπληρωματικές γωνίες να είναι ίσες ;
8)Μια αμβλεία γωνία είναι συμπληρωματική;
9)Αν η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ , υπάρχουν αλλά
ευθύγραμμα τμήματα που έχουν μεσοκάθετη την ε;
10)Θεωρούμε την πρόταση «Αν η γωνία ΑΒΓ είναι μηδενική , τότε τα σημεία Α, Β , Γ είναι
συνευθειακά».Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση και να εξετάσετε αν αληθεύει;

- 24 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ
1)Στο παρακάτω σχήμα είναι ,
ΟΕ ⊥ ΑΓ ΟΖ ⊥ ∆Β .
α)Να γράψετε τα ζεύγη των γωνιών που είναι συμπληρωματικές .
β)Να αποδείξετε ότι:
i) ΑΟΒ = ΕΟΖ = ΓΟ∆ ii) ΒΟΕ = ΖΟΓ
2)α)Να βρείτε δυο διαδοχικές γωνιές που να είναι συμπληρωματικές και να διαφέρουν κατά
1
9
της ορθής γωνίας .
β)Να βρείτε δυο διαδοχικές γωνίες που να είναι παραπληρωματικές και να διαφέρουν κατά
1
3
της ορθής γωνίας .
3)Αν οι γωνίες ΑΟΒ , ΒΟΓ , είναι εφεξής και ΟΜ η διχοτόμος της ΒΟΓ να αποδείξετε ότι:
1
( )
2
ΑΟΜ = ΑΟΒ + ΑΟΓ .
4)Να αποδείξετε ότι η γωνία των διχοτόμων δυο εφεξής γωνιών είναι ίση με το ημιάθροισμα των
γωνιών αυτών;
5)Αν η συμπληρωματική μιας γωνίας ΑΟΒ είναι το ¼ της ορθής γωνίας , να βρείτε σε μέρη
ορθής την παραπληρωματική της ΑΟΒ .
6)Αν οι γωνίες ΑΟΒ , ΒΟΓ , ΓΟ∆ είναι διαδοχικές και ισχύει ΑΟΒ = ΓΟ∆ . Να δείξετε ότι οι
γωνίες ΑΟ∆ και ΑΟΓ έχουν κοινή διχοτόμο.
7)Δίνεται μια αμβλεία γωνία χΟψ και δυο ημιευθειες Οχ’ και Οψ’ στο εσωτερικό της τέτοιες,
ώστε να ισχύει Οχ ⊥ Οχ’ και Οψ ⊥ Οψ. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες χΟψ και χ’Οψ’ έχουν κοινή
διχοτόμο και είναι παραπληρωματικές.
8)Μια ημιευθεια ΟΑ βρίσκεται στο εσωτερικο γωνίας χΟψ και ισχύει χΟΑ =
5
7
OA
ψ Μια άλλη
ημιευθεια ΟΒ δεν είναι εσωτερική της γωνίας χΟΑ και βρίσκεται προς το μέρος της Οχ.
Να αποδείξετε ότι ΑΟΒ =
7 5
12 12
xO ψ
Β + ΟΒ .

- 25 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
9)Δίνεται μια ορθή γωνία χΟψ και οι γωνίες ΑΟΒ και ΓΟΔ τέτοιες ώστε η Οχ να είναι διχοτόμος
της ΑΟΒ, η Οψ διχοτομος της ΓΟΔ και οι ημιευθειες ΟΒ,ΟΓ να βρίσκονται στο εσωτερικό της
γωνίας χΟψ.Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ΑΟΓ και ΒΟΔ είναι παραπληρωματικές.
Το ηξερες ότι…..
Όταν κάποτε ο Πτολεμαίος ο πρώτος Μακεδόνας στρατηγός του
μεγάλου Αλεξάνδρου και ανώτατος αρχών της Αιγύπτου συνάντησε
στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου , τον Ευκλείδη τον διάσημο
Γεωμέτρη ,τον ρώτησε αν υπάρχει πιο εύκολος τρόπος να μάθει
κανείς γεωμετρία χωρίς να διαβάσει τα περίφημα «στοιχεία» του ,
αυτός κοφτά απάντησε ότι δεν υπάρχει βασιλική οδός για την
γεωμετρία.

- 26 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΚΥΚΛΟΣ,ΤΕΘΛΑΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ
-Το σημείο του Λ επιπέδου του κύκλου για το οποίο ισχύει ΚΛ< ρ
ονομάζεται εσωτερικό σημείο του κύκλου.
-Το σημείο του Ε επιπέδου του κύκλου για το οποίο ισχύει ΚΕ >ρ
ονομάζεται εξωτερικό σημείο του κύκλου.
-Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου αποτελούν το εσωτερικό του
κύκλου.
-Κυκλικό δίσκο ονομάζουμε τον κύκλο μαζί με το εσωτερικό του..
-Χορδή του κύκλου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που
ενώνει δυο τυχαία σημεία του κύκλου για παράδειγμα τα Γ και Δ.
Διάμετρο (ΑΒ) του κύκλου ονομάζουμε την χορδή η οποία
διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Τα άκρα της διαμέτρου ονομάζονται αντιδιαμετρικα
σημεία.
-Δυο ή περισσότεροι κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο λέγονται ομόκεντροι.
-Το μέρος του κύκλου που βρίσκεται ανάμεσα στα άκρα μιας χορδής λέγεται τόξο. Το μικρό τόξο
από τα δυο που σχηματίζονται , λέγεται έλασσον , ενώ το μεγάλο
μείζον.
Συμβολίζουμε με ΑΒ το έλασσον και ΑΜΒ το μείζον.
Τα τόξα τα οποία δημιουργούν η διάμετρος καλούνται ημικύκλια.
Κάθε σημείο Γ διαφορετικό από τα Α και Β ονομάζεται εσωτερικό
σημείο του τόξου ΑΒ
Ισότητα τόξων: Δυο τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων λέγονται ίσα όταν με κατάλληλη
μετατόπιση το ένα ταυτίζεται με το άλλο .
Κύκλος η περιφέρεια με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα ρ ονομάζουμε το σχήμα του
επιπέδου του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το σημείο Κ απόσταση ίση με ρ.

- 27 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Για να συμβολίσουμε την ισότητα δυο τόξων ΑΒ και ΓΔ γράφουμε
ΑΒ = Γ∆ .
-Επίκεντρη γωνία: Μια γωνία της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο ενός κύκλου ονομάζεται
Επίκεντρη .
Το τόξο ΑΒ λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας χΚψ.
Λεμε επίσης ότι η επικεντρη γωνία βαίνει στο τόξο ΑΒ .
Το τόξο στο οποίο βαίνει μια γωνία όταν αυτή γίνει επικεντρη
μας δίνει την πληροφορία με την οποία μπορούμε να συμπεράνουμε
αν η γωνία είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη της ευθείας γωνίας.
-Όταν οι επικεντρες γωνίες είναι άνισες , τότε τα αντίστοιχα τόξα είναι ομοίως άνισα.
Δηλαδή, αν ΑΚΒ< ΓΚ∆ , τότε θα λέμε ότι το τόξο ΑB είναι μικρότερο
από το ΒΓ και θα γράφουμε ΑΒ<ΔΓ.
-Η σύγκριση τόξων γίνεται μόνο όταν αυτά είναι τόξα του ίδιου
κύκλου ή ίσων κύκλων.
Την σχέση της επίκεντρης γωνίας με το τόξο στο οποίο βαίνει δίνουν
τα παρακάτω θεωρήματα
● Θεώρημα Ι
Δυο τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσα όταν και μόνο όταν οι
αντίστοιχες επικεντρες γωνίες τους είναι ίσες και αντίστροφα.
Δηλαδή: ΑΚΒ = ΓΚ∆ ⇔ ΑΒ= Γ∆
● Θεώρημα ΙΙ
Δυο τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων είναι άνισα όταν οι
αντίστοιχες επικεντρες γωνίες είναι ομοίως άνισες και αντίστροφα. .
Δηλαδή:
αν ΑΚΒ < ΓΚ∆ τότε ΑΒ< Γ∆

- 28 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
και
αν ΑΒ< Γ∆ τότε ΑΚΒ < ΓΚ∆
Πόρισμα : Κάθε διάμετρος ενός κύκλου διαιρεί τον κύκλο σε δυο ίσα
τόξα.
Δηλαδή , ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου τότε έχουμε ότι:
ΑΓΒ = Α∆Β
-Όταν οι διάμετροι ενός κύκλου τέμνονται κάθετα , τα 4 τόξα που δημιουργούνται είναι ίσα
( επειδή οι αντίστοιχες επικεντρες γωνίες τους είναι ίσες).Καθένα από αυτά
τα τόξα λέγεται τεταρτοκύκλιο.
-Μέσο τόξου: Μέσο ενός τόξου ονομάζουμε το εσωτερικό σημείο του τόξου
το οποίο χωρίζει το τόξο σε δυο ίσα τόξα.
Αν το σημείο Μ είναι μέσο του τόξου ΑΒ, τότε ισχύει ΑΜ=ΜΒ και αντίστροφα.
Ισχύει το εξής θεώρημα:
Θεώρημα ΙΙΙ : Κάθε τόξο έχει μόνο ένα μέσο.
►Δυο τόξα ενός κύκλου λέγονται διαδοχικά όταν έχουν κοινό το ένα τους
άκρο και δεν έχουν αλλά κοινά εσωτερικά σημεία.
Έτσι τα τόξα ΑΒ και ΒΓ του διπλανού σχήματος είναι διαδοχικά
-Οι αντίστοιχες επικεντρες γωνίες διαδοχικών τόξων είναι επίσης
διαδοχικές εφεξής.
-Οι πράξεις πρόσθεση τόξων , αφαίρεση τόξων και πολλαπλασιασμός
τόξου με φυσικό ( ή με θετικό πραγματικό ) αριθμό γίνονται όπως στα
ευθύγραμμα τμήματα.

- 29 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Μέτρηση τόξου:
Η μέτρηση ενός τόξου ( ενός κύκλου) γίνεται συγκρίνοντας το με ένα άλλο
τόξο του ίδιου κύκλου το οποίο θεωρείται ως μονάδα (μοναδιαίο τόξο).
Ο(μη αρνητικός) αριθμός που προκύπτει ονομάζεται μέτρο του τόξου ως προς
την μονάδα που επιλέξαμε.
Ως μονάδα μέτρησης των τόξων θεωρείται το 0
360
1
του κύκλου , το οποίο
ονομάζεται τόξο μιας μοίρας και συμβολίζεται 10.
Μέτρο γωνίας λέγεται το μέτρο του αντιστοίχου τόξου της όταν η γωνία γίνει
επικεντρη σε κάποιον κύκλο.
Αν χΚψ μια γωνία , τότε το μέτρο της συμβολίζεται (χΚψ).
►Αν είναι , για παράδειγμα, ΑΒ=30ο , τότε (ΑΒ)=30 και (ΑΚΒ)=30.
Δηλ ισχύει (ΑΚΒ)=(ΑΒ).
►Ο κύκλος είναι 360ο σε τεταρτοκύκλιο 90ο και το ημικύκλιο 180ο .
► Το μέτρο της ορθής, της ευθείας και της πλήρους γωνίας είναι
αντίστοιχα 90ο ,180ο και 360ο , δηλαδή η ορθή γωνία είναι 90ο , η ευθεία
180ο και η πλήρης 360ο .
► Το τόξο του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό τόξο
.Αυτό είναι 0ο και έχει μέτρο 0.
-Τα τόξα ΑΒ και ΓΔ του διπλανού σχήματος δεν είναι ίσα παρόλο που έχουν το ίδιο μέτρο .Αυτό
συμβαίνει διότι οι κύκλοι στους οποίους βρίσκονται τα τόξα δεν είναι ίσοι.
ΤΕΘΛΑΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ
► Τεθλασμένη γραμμή λέμε το σχήμα που αποτελείται από
ευθύγραμμα τμήματα τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Η τεθλασμένη γραμμή λέγεται και πολυγωνική γραμμή.
Τα ευθύγραμμα τμήματα που αποτελούν μια τεθλασμένη γραμμή
λέγονται πλευρές της και τα άκρα τους λέγονται κορυφές της
τεθλασμένης γραμμής .
Το άθροισμα των πλευρών μιας τεθλασμένης γραμμής λέγεται
περίμετρος.
Όταν οι πλευρές μιας τεθλασμένης γραμμής δεν τέμνονται σε κάποιο εσωτερικό τους σημείο ,
τότε η τεθλασμένη γραμμή λέγεται απλή.
Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή όταν τα άκρα της συμπίπτουν

- 30 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Πολύγωνο ονομάζεται μια απλή τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν.
►Τα πολύγωνα , ανάλογα με τον αριθμό των πλευρών τους χωρίζονται σε:
Τρίγωνα (έχουν τρεις πλευρές )
Τετράπλευρα (έχουν τέσσερις πλευρές )
. .
. .
ν-γωνα (έχουν ν πλευρές )
► Κυρτό ονομάζεται το πολύγωνο στο οποίο , όταν προεκτείνουμε μια πλευρά του αυτή δεν θα
συναντήσει (δεν θα τέμνει) καμία από τις υπόλοιπες πλευρές τού.
Απλή τεθλασμένη
γραμμή
Μη απλή τεθλασμένη
γραμμή
πολύγωνο
Το ηξερες ότι…..
Κάποιοι από τους προέδρους των ΗΠΑ έχουν κατά κάποιον τρόπο συνδεθεί με τα
μαθηματικά. Ο Τζόρτζ Ουάσιγκτον ήταν διακεκριμένος τοπογράφος, ο Τόμας
Τζέφφερσον έκανε ό,τι μπορούσε να ενθαρρύνει τη διδασκαλία ανώτερων
μαθηματικών στις ΗΠΑ και ο Αβραάμ Λίνκολν λέγεται ότι έμαθε λογική μελετώντας
τα Στοιχεία του Ευκλείδη ,έγραφε τους πύρινους πολιτικούς του λογούς αφού είχε
μάθει από τον μεγάλο Αλεξανδρινό γεωμέτρη την σωστή παρουσίαση των
επιχειρημάτων . Περισσότερο δημιουργικός ήταν ο Τζ. Γκάρφιλ-ντ (James
Abram Garfield, 1831-1881) ο εικοστός πρόεδρος των ΗΠΑ, ο οποίος σαν σπουδαστής
ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον και δραστηριότητα στα στοιχειώδη μαθηματικά. Στα
1876 και ενώ ήταν μέλος της Βουλής των Αντιπροσώπων, πέντε μόλις χρόνια πριν
γίνει πρόεδρος των ΗΠΑ, έδωσε μόνος του μια πολύ ωραία απόδειξη του πυθαγόρειου
θεωρήματος. Την απόδειξη αυτή τη σκέφτηκε σε μια μαθηματική συζήτηση με άλλα
μέλη του Κογκρέσου1 η απόδειξη δημοσιεύτηκε στη συνέχεια στο New England
Journal of Education.(Όλα αυτά βεβαια τον προηγουμενο αιωνα!!!!!)

- 31 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -ΚΥΚΛΟΣ
Λύση
i)Η παραπληρωματική της γωνίας ω̂ , έστω χ̂ , ισούται με
0
ˆ
180
χ ω
= −
ii) Η συμπληρωματική της γωνίας ω̂ , έστω ψ̂ , ισούται με
0
ˆ
90
ψ ω
∧
= − ∧
iii)Η διάφορα των γωνιών χ̂ και ψ̂ θα ισούται με:
0 0 0 0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(180 ) (90 ) 180 90 90
χ ψ ω ω ω ω
− = − − − = − − + = .
Λύση
Αν Μ είναι το μέσο του ΒΖ , τότε ισχύει ΒΜ =Μ Ζ .Θα αποδείξουμε
ότι το σημείο Μ είναι μέσο του τόξου ∆Ε , δηλαδή ισχύει ∆Μ = Μ Ε .
Επειδή ,
∆Μ = ∆Β + ΒΜ Μ Ε = Μ Ζ + ΖΕ και ΒΜ = Μ Ζ ,αρκεί να
αποδείξουμε ότι ∆Β = ΖΕ .
Πράγματι έχουμε:
2
AB
∆Β = και
1)Έστω ω̂ μια τυχαία γωνία .Να βρείτε με τι ισούται :
i)η παραπληρωματική της ,
ii)η συμπληρωματική της
iii)η διάφορα των δυο αυτών γωνιών.
2)Θεωρούμε δυο διαδοχικά τόξα AB και ΒΓ ενός κύκλου με AB < ΒΓ .Αν Δ,Ε,Ζ
είναι τα μέσα των AB ,ΒΓ , ΑΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι τα τόξα ΒΖ και
∆Ε έχουν κοινό μέσο .
2 2 2 2
ΑΓ ΒΓ ΑΓ − ΒΓ ΑΒ
ΖΕ = ΖΓ − ΕΓ = − = =

- 32 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Πρώτα γράφουμε τις ισότητες που προκύπτουν από το γεγονός ότι τα σημεία Μ και Ν είναι
μέσα των τόξων ΑΓ και Β∆ αντίστοιχα.
Έτσι λοιπόν είναι:
1
2
ΑΜ = ΜΓ = ΑΓ και
1
2
ΒΝ = Ν∆ = Β∆
όποτε για τόξο ΜΝ έχουμε:
1 1 1
( )
2 2 2
1 1 1 1 1
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( )
2 2 2 2 2
ΜΝ = ΑΝ − ΑΜ = ΑΒ + ΒΝ − ΑΓ = ΑΒ + Β∆ − ΑΓ =
= ΑΒ + Α∆ − ΑΒ − ΑΓ = ΑΒ − ΑΒ + Α∆ − ΑΓ =
= ΑΒ + Α∆ − ΑΓ = ΑΒ + Γ∆ = ΑΒ + Γ∆
Λύση
i) Επειδή τα τόξα , ,
AB BΓ Γ∆ , ∆Α είναι ανάλογα των αριθμών 1,2,4,5
θα ισχύει ότι
0
0
1 2 4 5
360
30
1 2 4 5 12
AB B
AB B
Γ Γ∆ ∆Α
= = = =
+ Γ + Γ∆ + ∆Α
= = =
+ + +
3)Σε κύκλο με κέντρο Κ θεωρούμε τρία σημεία Α, Β και Γ τέτοια ώστε AB , Γ∆ ,να είναι
διαδοχικά και να έχουν άθροισμα μικρότερο του ημικύκλιου. Αν Μ είναι το μέσο του τόξου
Α∆ και Ν το μέσο του τόξου Β∆, να αποδείξετε ότι
1
( )
2
AB
ΜΝ = + Γ∆
4)Σε ένα κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε με τη σειρά τα σημεία Α,Β,Γ και Δ , ώστε τα τόξα
, ,
AB BΓ Γ∆ και ∆Α να είναι ανάλογα των αριθμών 1,2,4 και 5.
i)Να βρεθούν τα μετρά των τόξων αυτών
ii) Να αποδειχθεί ότι ΟΑ ⊥ ΟΓ .
iii) Nα αποδειχθεί ότι τα σημεία Ο,Β και Δ είναι συνευθειακα.
iv)Τι γωνία σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών ΒΟΓ και ΓΟ∆ .

- 33 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Άρα
0 0
30 30
1
AB
AB
= ⇔ = , 0 0
30 60
2
BΓ
= ⇔ ΒΓ = , 0 0
30 120
4
Γ∆
= ⇔ Γ∆ = , 0 0
30 150
5
∆Α
= ⇔ ∆Α =
ii) Είναι
0 0 0
30 60 90
ΑΟΓ = ΑΟΒ + ΒΟΓ = + =
διοτι 0
30
ΑΟΒ = ΑΒ = και 0
60
ΒΟΓ = ΒΓ =
iii) Επειδή 0 0 0
60 120 180
ΒΟ∆ = ΒΟΓ + ΓΟ∆ = + = τα σημεία Β.Ο.Δ είναι συνευθειακα.
iv) Οι γωνιές ,
ΒΟΓ ΓΟ∆ είναι εφεξής και παραπληρωματικές , οπότε οι διχοτόμοι τους
τέμνονται κάθετα. (σχηματίζουν γωνία 0
90 ).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
1)Το άθροισμα της συμπληρωματικής και της παραπληρωματικής μια γωνίαςω̂ είναι 170ο .Να
υπολογίσετε την γωνία ω̂ .
2)Να βρεθεί το μέτρο μιας γωνίας ω̂ της οποίας η συμπληρωματική είναι τα
2
11
της
παραπληρωματικής της .
3)Σε κύκλο (Κ,ρ) δίνονται τα διαδοχικά τόξα 0
82
ΑΒ = , 0
98
ΒΓ = και 0
30
Γ∆ = .Να αποδείξετε ότι
τα σημεία Α,Γ του κύκλου είναι αντιδιαμετρικα και να υπολογίσετε την γωνία ΑΚ∆ .
4)Υπολογίστε το μέτρο της διαφοράς της συμπληρωματικής μιας γωνίας από την
παραπληρωματική της .
5) Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και κέντρου Κ φέρουμε μια ακτίνα ΚΓ και τις διχοτόμους των
γωνιών ΑΚΓ και ΒΚΓ , οι οποίες τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία Μ και Ν .Να αποδείξετε ότι
το τόξο ΜΝ είναι τεταρτοκύκλιο.
6)Δίνεται γωνία 0
100
∧
ΑΟΒ = και η ημιευθεια ΟΜ , που περιέχεται στην γωνία και ισχύει
2 3 .
∧ ∧
ΜΟΑ = ΜΟΒ
Να υπολογίσετε τις γωνίες
∧
ΜΟΑ , .
∧
ΜΟΒ
7) Σε ένα ημικύκλιο διαμέτρου ΑΟΒ θεωρούμε τα σημεία Γ και Δ ώστε 0
100
ΑΒ = και
0
120
Β∆ = .Να βρείτε το μέτρο των τόξων Γ∆ και την γωνία ΓΟ∆ .
8)Να υπολογίσετε τα μέτρα των διαδοχικών τόξων , ,
ΑΒ ΒΓ Γ∆ και ∆Α ενός κύκλου , όταν είναι
ανάλογα με τους αριθμούς 2,3,5 και 6 αντίστοιχα.

- 34 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
9)Τα διαδοχικά τόξα , ,
ΑΒ ΒΓ ΓΑ έχουν μέτρα που είναι ανάλογα των αριθμών 2,4 και 6
αντίστοιχα.
i)Να υπολογίσετε τα μέτρα τους .
ii) Να αποδείξετε ότι το μέσο της χορδής ΑΓ είναι το κέντρο του κύκλου πάνω στον οποίο
βρίσκονται τα τόξα αυτά.
10)Με βάση τον διπλανό κύκλο με κέντρο Ο , του οποίου οι ακτίνες ΟΒ και ΟΓ είναι κάθετες , να
αποδείξετε ότι:
i) αν είναι 0
90
ΑΒ + ∆Γ = , τα σημεία Δ,Ο και Α είναι
συνευθειακα .
ii) αν είναι 0
180
′ ′
Α Β + ∆ Γ = , το τοξο ′ ′
Α ∆ είναι τεταρτοκύκλιο.
11)Αν στο διπλανό κύκλο είναι 0
60
AB = και τα σημεία Α και Γ είναι αντιδιαμετρικα τότε:
α)Να υπολογίσετε το τόξο BΓ .
β)Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των τόξων AB και BΓ αντίστοιχα
να αποδείξετε ότι ΟΕ ⊥ Ο∆ .
12)Για τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ και Δ ενός κύκλου να αποδείξετε ότι:
α) ΑΓ + Β∆ = Α∆ + ΒΓ
β)Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ και Ν το μέσο του Γ∆ τότε να δείξετε ότι
2
Α∆ + ΒΓ
ΜΝ =
13)Θεωρούμε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και κέντρουΚ. Φέρουμε την ακτίνα ΚΓ ⊥ ΑΒ και μια
ακτίνα ΚΔ, οπού Δ σημείο του τόξου ΑΓ .Αν οι διχοτόμοι των γωνιών ΒΚ∆ και ΓΚ∆ τέμνουν το
ημικύκλιο στα σημεία Μ και Ν , να αποδείξετε ότι 0
45
ΜΝ =

- 35 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ. Τότε:
Tα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι από τις κορυφές Α, Β και Γ
συμβολίζονται με α, β και γ αντίστοιχα.
Στο τρίγωνο ΑΒΓ (όπως και σε κάθε τρίγωνο) έχουμε επίσης
τις διάμεσους, τις διχοτόμους και τα ύψη του τριγώνου.
Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά (με μήκος) α
συμβολίζεται με μα. Όμοια ορίζονται και οι διάμεσοι μρ και
μγ που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ αντίστοιχα.
Η διχοτόμος της γωνίας Α συμβολίζεται με δα. Όμοια
ορίζονται και οι διχοτόμοι δβ και δγ των
γωνιών Β και Γ αντίστοιχα.
● τα σημεία Α, Β και Γ λέγονται κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ,
●τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ λέγονται πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ,
● οι γωνίες ΒΑ Γ, ΑΒΓ και ΑΓΒ λέγονται γωνίες του τριγώνου και συμβολίζονται με Α, Β και Γ
Διάμεσο ενός τριγώνου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τρι-
γώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.
Διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που έχει για ένα άκρο μια
κορυφή του τριγώνου και για άλλο άκρο το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την
απέναντι πλευρά.

- 36 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Το ύψος που φέρνουμε προς την πλευρά α
συμβολίζεται με υα.
Όμοια ορίζονται και τα ύψη υβ και υγ που φέρνουμε
προς τις πλευρές β και γ αντίστοιχα.
► Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου, ενώ οι
διάμεσοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του.
► Οι γωνίες ενός τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα
μιας πλευράς του λέγονται προσκείμενες σε αυτήν την
πλευρά. Η γωνία που δεν είναι προσκείμενη σε μια
πλευρά λέγεται απέναντι γωνία της πλευράς
αυτής ή περιεχόμενη στις δύο πλευρές.
Έτσι, οι γωνίες Α και Β στο διπλανό σχήμα είναι προ-
σκείμενες στην πλευρά ΑΒ, ενώ η γωνία Γ είναι η
απέναντι της περιεχόμενη των πλευρών ΑΓ και ΓΒ.
► Αν οι πλευρες της γωνίας
∧
Γ προεκταθούν προς το μέρος του σημείου Γ , τότε σχηματίζονται
δυο γωνίες , οι ,
χ ψ
∧ ∧
ΑΓ ΒΓ που είναι εξωτερικές του τρίγωνου ΑΒΓ , ίσες(ως κατακορυφην),
εφεξής και παραπληρωματικές της γωνίας
∧
Γ .Καθεμία από αυτές λέγεται αντίστοιχη
εξωτερική της γωνίας
∧
Γ και συμβολίζεται εξωτ
∧
Γ .
Ανάλογα ορίζονται οι εξωτ
∧
Α , εξωτ
∧
Β
• Ύψος ενός τριγώνου ονομάζουμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια
κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά του.

- 37 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥΣ.
Ένα τρίγωνο ως προς τις πλευρές χαρακτηρίζεται:
► Ισόπλευρο όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες .
► Ισοσκελές όταν έχει δυο πλευρές του ίσες .
► Σκαληνό όταν έχει τρεις πλευρές άνισες.
Είδη τριγώνων ως προς τις γωνιές τους
Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες χαρακτηρίζεται:
ορθογώνιο όταν έχει μια γωνία ορθή.
αμβλυγώνιο όταν έχει μια γωνία αμβλεία.
οξυγώνιο όταν έχει και τις τρεις γωνιές του οξείες .
Ισότητα τριγώνων
►Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν μετά από μετατόπιση εφαρμόζουν σε όλα τους τα σημεία
.Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δυο ίσα
τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις
γωνιές τους ίσες μια προς μια και
μάλιστα σε δυο ίσα τρίγωνα ισχύει ότι
απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται
ίσες γωνιές και αντίστροφα.
► Αν δυο τρίγωνα έχουν τις γωνιές τους
ίσες μια προς μια, τότε οι ίσες γωνιές
λέγονται ομόλογες ή αντίστοιχες
γωνιές , οι δε πλευρές τους που
βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνιές
λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες
πλευρές .
Σκαληνό
Ισόπλευρο
οξυγώνιο
αµβλυγώνιο
ορθογώνιο
Ισοσκελές

- 38 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π).
(Π - Γ - Π νσημαίνει πλευρά - γωνία - πλευρά).
Δηλαδή, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει ότι
ΑΒ= ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και Α = ∆
τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
Άμεση συνέπεια της ισότητας των
τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι οι ισότητες:
ΒΓ = ΕΖ
(αντίστοιχες πλευρές των γωνιών Α και Δ)
ɵ
Β = Ε και ɵ
Γ = Ζ
(αντίστοιχες γωνίες των ίσων πλευρών)
Από το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π - Γ - Π) προκύπτουν τα παρακάτω πορίσματα:
Δηλαδή, αν στο τρίγωνο ΑΒΓ
είναι ΑΒ = ΑΓ, τότε Β = Γ.
Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν δυο πλευρές του ενός τριγώνου είναι ίσες μία προς μία με
δύο πλευρές του άλλον τριγώνου και οι περιεχόμενες στις πλευρες αυτες γωνίες είναι
ίσες.
πόρισμα 1 Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς
μία, τότε είναι ίσα.
πόρισμα 2: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσης.

- 39 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Δηλαδή, αν είναι ΑΒ = ΑΓ και Αι = Α2
(δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α),
τότε ισχύει ότι ΒΔ = ΔΓ και ΑΔ 1 ΒΓ.
Δηλαδή, αν είναι ΑΒ = ΒΓ = ΑΓ, τότε Α = Β = Γ.
Δηλαδή, αν η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη του ευθύγραμμου
τμήματος ΑΒ και Μ ένα οποιοδήποτε σημείο της ε,
τότε είναι ΜΑ = MB.
.
Δηλαδή, αν είναι ΑΒ = ΓΔ, τότε ΑΒ = ΓΔ.
πόρισμα 3 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι επίσης
διάμεσος και ύψος.
πόρισμα 4 Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες.
Πόρισμα 5 Κάθε σημείο της μεσοκάθετης ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από
τα άκρα του
Πόρισμα 6 :Σε ίσα τόξα ενός κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσες χορδές

- 40 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ-Π-Γ).
(Γ - Π - Γ, που σημαίνει γωνία - πλευρά - γωνία).
Δηλ για τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ ισχύει:
ΒΓ=ΕΖ, ɵ
Β = Ε και ɵ
Γ = Ζ .
Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.
3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Π-Π).
(Π - Π - Π, που σημαίνει πλευρά - πλευρά – πλευρά ).
Δηλ για τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ ισχύει:
ΒΓ=ΕΖ, ΑΒ=ΕΖ,και ΑΓ =ΔΖ.
Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα
Άμεσα προκύπτουν τα επόμενα θεωρήματα
Δηλαδή , αν είναι ΑΒ=ΔΓ,
τότε ΑΒ = ∆Γ
Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου και οι
προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι
ίσα .
Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με τις πλευρές ενός αλλού
τριγώνου , τότε τα δυο τρίγωνα είναι ίσα.
θεώρημα 1 :Σε ίσες χορδές ενός κύκλου η ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσα τόξα.

- 41 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Δηλαδή , αν στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και η ΑΔ είναι η
διάμεσος του , τότε η ΑΔ είναι επίσης διχοτόμος ,
δηλαδή 1 2
Α = Α και υψος δηλαδη Α∆ ⊥ ΒΓ .
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Αν για τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ
ισχύουν ,για παράδειγμα , ότι ΑΓ=ΔΖ , δηλαδή
έχουν από μια κάθετη πλευρά ίση , και ΒΓ=ΕΖ,
δηλαδή έχουν τις υποτείνουσες ίσες , τότε τα
τρίγωνα είναι ίσα.
Για παράδειγμα , αν για τα ορθογώνια τρίγωνα
ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει, ΒΓ=ΕΖ και ɵ
Γ = Ζ , τότε τα
τρίγωνα είναι ίσα
θεώρημα 2
Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου που άγεται από την κορυφή του είναι επίσης
υψος και διχοτόμος .
θεώρημα 1
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δυο οποιεσδήποτε πλευρές τους ίσες .
θεώρημα 2
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις υποτείνουσες ίσες και μια οξεία
γωνία ίση.

- 42 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Το σημείο Ε ισαπεχει από τα άκρα
του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ(ΑΕ=ΕΒ)
Δήλ αν Οδ είναι η διχοτόμος της γωνίας xoy και ΓΑ ,ΓΒ είναι οι
αποστάσεις ενός τυχαίου σημείου Γ της διχοτόμου τότε ΓΑ=ΓΒ.
(ισχύει και το αντίστροφο) Γ εσωτερικό σημείο της γωνίας χοy τέτοιο
ώστε ΓΑ=ΓΒ
τότε θα ανήκει στην διχοτόμο της xoy .
Δηλαδή αν σε ένα κύκλο με κέντρο το Ο είναι ΑΒ=ΓΔ και ΟΜ,ΟΝ
είναι οι αποστάσεις του κέντρου από τις χορδές (αποστήματα),
τότε θα είναι
ΟΜ=ΟΝ
θεώρημα 3
Κάθε σημείο που απέχει εξίσου από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει
στην μεσοκαθετο του τμήματος
θεώρημα 4
Κάθε σημείου της διχοτόμου μιας γωνίας απέχει εξίσου από τις πλευρές της γωνίας
και αντίστροφα.
θεώρημα 5
Το κέντρο ενός κύκλου ισαπεχει από ίσες χορδές και αντίστροφα.
Ε

- 43 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Από τα παραπάνω θεωρήματα προκύπτουν τα παρακάτω πορίσματα
Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) οπού το ΑΔ είναι το υψος του
τριγώνου που αντιστοιχεί στην βάση του τριγώνου ΒΓ ,άμεσα
συμπεραίνουμε ότι το ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος επίσης .
Στο διπλανό σχήμα Μ είναι μέσο της χορδής ΑΒ και το Γ το μέσο του τόξου ΑΒ.
Πόρισμα 1
Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που άγεται από την κορυφή του είναι διάμεσος και
διχοτόμος .
Πόρισμα 2
Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διέρχεται από το μέσο της
χορδής και του αντιστοίχου τόξου.
Χρήσιμες παρατηρήσεις
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα ή δύο γωνίες είναι ίσες η πιο
συνηθισμένη τακτική που ακολουθούμε είναι η σύγκριση τριγώνων.
Διαδοχικά εκτελούμε τις παρακάτω ενέργειες :
● Κατασκευάζουμε ένα ικανοποιητικό (όσο πιο ακριβές είναι δυνατόν) σχήμα.
● Εντοπίζουμε δύο τρίγωνα, τα οποία με μια πρώτη παρατήρηση να δείχνουν ίσα και να έχουν
απαραίτητα ως στοιχεία τα ζητούμενα τμήματα ή τις ζητούμενες γωνίες.
● Tα παραπάνω τρίγωνα πρέπει οπωσδήποτε ανάμεσα στα ίσα στοιχεία τους να έχουν και μια
πλευρά . Μόνο με ισότητα γωνιών δεν προκύπτει ποτέ ισότητα τριγώνων.
● Ενδεχομένως τα ίσα στοιχεία των δύο τριγώνων που συγκεντρώθηκαν για τη σύγκριση, να μην
αρκούν. Σ' αυτές τις περιπτώσεις πιθανόν να απαιτείται πρώτα η σύγκριση δύο άλλων τριγώνων, τα
οποία να είναι τελικά ίσα και να μας εφοδιάσουν με νέα δεδομένα.
.

- 44 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Απόδειξη: Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)
και τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ. Θα αποδείξουμε ότι ΒΔ=ΓΕ.
Tα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ, ΓΕ είναι πλευρές
των τριγώνων ΑΒΔ, ΑΓΕ αντίστοιχα. Tα τρίγωνα
αυτά είναι ορθογώνια (Δ=Ε = 90°), έχουν
ίσες υποτείνουσες (ΑΒ = ΑΓ) και την οξεία γωνία Α κοινή.
Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα
και επομένως ΒΔ=ΓΕ.
Παρατήρηση: Η παραπάνω απόδειξη έγινε για οξυγώνιο ισοσκελές
τρίγωνο. Ανάλογα αποδεικνύεται όταν το ισοσκελές τρίγωνο είναι
α) ορθογώνιο, β) αμβλυγώνιο. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση, τι μπορείτε να
συμπεράνετε για τα ύψη ισόπλευρου τριγώνου;
Λύση:
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΔΕ, ΓΕΖ και ΑΔΖ.
Tα τρίγωνα αυτά έχουν
i) ΒΔ=ΓΕ=ΑΖ.
ii) BE = ΓΖ = ΑΔ, ως αθροίσματα ίσων τμημάτων.
iii) ɵ
1 1 1
Α = Β = Γ , ως παραπληρωματικές των ίσων
γωνιών ɵ
, ,
Α Β Γ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ.
Από την ισότητα των τριγώνων ΒΔΕ, ΓΕΖ και ΑΔΖ,
προκύπτει ότι ΔΕ =ΕΖ = ΖΔ και επομένως
το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.
1)Nα αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του
είναι ίσα.
2) Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΛΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές του ΛΒ, ΒΓ και ΓΑ προς τις
κορυφές Β, Γ και Α αντίστοιχα. Στις προεκτάσεις αυτές παίρνουμε αντίστοιχα τα ίσα
τμήματα ΒΔ, ΓΕ και ΑΖ. Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

- 45 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Tα τρίγωνα ΒΓΔ και ΒΓ'Δ' είναι ίσα, γιατί έχουν
ΒΓ = ΒΓ/, ΒΔ = Β'Δ'
και 1 1 '
Β = Β (ως μισά των ίσων γωνιών Β και Β').
Από την ισότητα αυτών των τριγώνων, προκύπτει ότι ɵ ɵ '
Γ = Γ .
Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β' Γ' είναι ίσα
γιατί έχουν ΒΓ = ΒΓ/, '
Β = Β , ɵ ɵ '
Γ = Γ .(Γ-Π-Γ)
Λύση
Φέρνουμε τις ΒΔ⊥ ΑΜ και ΓΕ ⊥ ΑΜ.
Θα αποδείξουμε ότι οι αποστάσεις ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες.
Tα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα, γιατί
I) ΒΜ=ΓΜ , αφού το Μ είναι μέσο της ΒΓ.
ii) 1 2
Μ = Μ ως κατακορυφήν.
Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ΒΔ=ΓΕ.
Λύση
Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΓ και ΟΒ .Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα , διότι
ΑΒ=ΑΓ , ΟΒ=ΟΓ και η ΑΟ είναι κοινή .Άρα ΒΑΓ = ΓΑΟ .Αυτό σημαίνει
ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΟ είναι διχοτόμος της γωνίας Α .Άρα ΑΟ ⊥ ΒΓ .
3) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β' Γ' έχουν α=α', '
Β = Β και '
β β
δ δ
= και να αποδείξετε ότι
είναι ίσα.
4) Nα αποδείξετε ότι οι κορυφές Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν από τη διάμεσο AM.
5) Ένα σημείο Α, εσωτερικό ενός κύκλου (0,R),ισαπεχει από δυο σημεία Β και Γ του
κύκλου .να αποδειχθεί ότι ΑΟ ⊥ ΒΓ

- 46 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Θεωρούμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και παίρνουμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των
πλευρών ΒΓ,ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα.
Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές.
Tα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν:
i) ΒΔ=ΓΔ, αφού το Δ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ.
ii) ΒΖ=ΓΕ, ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ.
iii) ɵ
Β = Γ , ως προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου.
Από την ισότητα των τριγώνων αυτών συμπεραίνουμε ότι ΔΕ = ΔΖ και
επομένως το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές.
Λυση
Φέρνουμε τις ΑΓ και ΒΔ. Tα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΓΔ είναι ίσα, διότι:
• ΑΔ = ΒΓ,
• η ΓΔ είναι κοινή και
• ɵ
∆ = Γ ( Α∆Γ = ΒΓ∆ ).
Άρα ΑΓ = ΒΔ(1).
Συγκρίνουμε τώρα τα τρίγωνα ΔΑΒ και ΓΑΒ. Αυτά έχουν:
• ΔΑ = ΓΒ,
• ΔΒ = ΓΑ, λόγω της σχέσης (1) και
• η ΑΒ είναι κοινή.
Tα τρίγωνα ΔΑΒ και ΓΑΒ είναι επομένως ίσα, οπότε Α = Β
Λύση
Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ ,ΑΓΜ διαπιστώνουμε ότι είναι ίσα
,ΑΒΜ=ΑΓΜ.
(διότι ΑΒ=ΑΓ,ΑΜ κοινή πλευρά και 2
1
Α = Α Π-Γ-Π)
Όμοια έχουμε ΑΒΝ=ΑΓΝ. αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μια προς
μια .
Άρα ΜΒΝ = ΜΓΝ
6) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών ισοσκελούς
τριγώνου είναι ισοσκελές
7) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΔ=ΒΓ και ɵ
∆ = Γ .Να αποδειχθεί Α = Β
8) Αν Μ και Ν είναι δυο σημεία του φορέα της διχοτόμου ΑΔ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ
(ΑΒ=ΑΓ) , να δειχτεί ότι ΜΒΝ = ΜΓΝ .

- 47 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΗΑΜ και ΘΔΝ είναι ίσα διότι ΑΜ=ΔΝ και ΑΗ=ΔΘ. Επομένως
ΑΜΒ = ∆ΝΕ .
Είναι όμως ΒΓ=ΕΖ και οι ΑΜ και ΔΝ είναι διάμεσοι .
Άρα
ΜΒ=ΝΕ και ΜΓ=ΝΖ
Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΝΕ είναι ίσα , καθώς
και τα τρίγωνα ΑΜΓ και ΔΝΖ , αφού:
ΑΜ=ΔΝ,ΜΒ=ΝΕ και ΑΜΒ = ∆ΝΕ
ΑΜ=ΔΝ,ΜΓ=ΝΖ και ΑΜΓ = ∆ΝΖ
Άρα ΑΒ=ΔΕ και ΑΓ=ΔΖ .Έτσι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι
ίσα ,
διότι έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μια προς μια.
Λύση
i)Φέρνουμε τα αποστήματα ΟΜ και ΟΝ των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα. Επειδη οι χορδές
αυτές είναι ίσες , θα είναι και ΟΜ=ΟΝ.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΟΣ και ΝΟΣ έχουν την ΟΣ κοινή και ΟΜ=ΟΝ. Άρα είναι ίσα
.Επομένως θα ισχύει ΣΜ=ΣΝ.
Είναι όμως ΜΒ=ΝΔ , ως μισά ίσων τμημάτων ( τα αποστήματα είναι μεσοκαθετοι των χορδών
).Άρα
ΣΜ-ΜΒ=ΣΝ-ΝΔ ⇔ ΣΒ=ΣΔ.
ii)Από την ισότητα των τριγώνων ΟΜΣ και ΟΝΣ
προκύπτει ότι ΟΣΜ = ΟΣΝ .Έτσι η ΣΟ θα διχοτομεί
την γωνία ɵ
Σ .Επειδή ακόμα ΣΒ=ΣΔ και ΒΑ=ΔΓ ,
το τρίγωνο ΣΑΓ είναι ισοσκελές .Επομένως
η διχοτόμος ΣΟ της γωνίας ɵ
Σ θα είναι κάθετη
στην πλευρά ΑΓ.
9) Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με ΒΓ=ΕΖ τα ύψη τους ΑΗ και ΔΘ και τις διαμέσους
ΑΜ και ΔΝ .Αν ΑΗ =ΔΘ και ΑΜ=ΔΝ, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα.
10)Δίνονται δυο ίσες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου κέντρου Ο , των οποίων οι
προεκτάσεις προς τα σημεία Β και Δ τέμνονται στο σημείο Σ . Να αποδειχθεί ότι
i)ΣΒ=ΣΔ και ii) ΣΟ ⊥ ΑΓ

- 48 –
Ε
ΕΠ
ΠΙ
ΙΜ
ΜΕ
ΕΛ
ΛΕ
ΕΙ
ΙΑ
Α:
: ∆
∆Ρ
ΡΟ
ΟΥ
ΥΓ
ΓΑ
ΑΣ
Σ Α
ΑΘ
ΘΑ
ΑΝ
ΝΑ
ΑΣ
ΣΙ
ΙΟ
ΟΣ
Λύση
Τα τρίγωνα ΜΔΕ και ΜΔΖ είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια , έχουν την ΜΔ κοινή και ΜΕ=ΜΖ
.Άρα:
Μ∆Β = Μ∆Γ
Δηλαδή ɵ
1 2
φ φ φ
= = . Στο τρίγωνο ΔΒΓ η ΔΜ είναι διάμεσος και διχοτόμος
, οπότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές .
Άρα ΔΒ=ΔΓ. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι ίσα , διότι έχουν την ΑΔ
κοινή , ΔΒ=ΔΓ και Α∆Β = Α∆Γ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών
1 2
,
φ φ .
Άρα ΑΒ=ΑΓ.
Λύση
Φέρουμε τις ∆Κ ⊥ ΒΓ, ΕΜ ⊥ ΒΓ και την ΑΗ ⊥ ΒΓ.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΗ και ΔΒΚ είναι ίσα οπότε
ισχύει ΔΚ=ΑΗ.
Ομοίως , από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΓΗ
και ΕΓΜ , έχουμε ΕΜ=ΑΗ.
Άρα ΔΚ=ΕΜ.
Λύση
Είναι ΑΓ=ΒΔ = ρ ως ακτίνες των ημικυκλίων (Α, ρ)
και (Β, ρ) αντίστοιχα. Επομένως είναι και
ΑΓ = Β∆ .
Στο ημικύκλιο (Ρ) οι επίκεντρες γωνιες
ΑΟΓ και ΒΟ∆ βαίνουν στα ίσα τόξα ΑΓ και Β∆
Άρα είναι ΑΟΓ = ΒΟ∆ .
11) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε την διάμεσο ΑΜ , τυχαίο σημείο Δ αυτής ,
ΜΕ ⊥ ∆Β ΜΖ ⊥ ∆Γ .Αν ΜΕ = ΜΖ να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .
12) Αν προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ κατά ευθύγραμμα τμήματα
ΒΔ=ΑΒ και ΓΕ=ΑΓ .Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ και Ε απέχουν εξίσου από την ευθεία
ΒΓ.
13) Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ=2ρ και κέντρου Ο. Με κέντρα τα Α, Β και
ακτίνα ρ γράφουμε τα ημικύκλια που τέμνουν το ημικύκλιο (Ο, ρ)
στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Nα αποδείξετε ότι: ΑΟΓ = ΒΟ∆ .

Gewmetry a lykeioy

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Gewmetry a lykeioy

Similar to Gewmetry a lykeioy (20)

Gewmetry a lykeioy