Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

From Natural To Complicated Numbers

1,237 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

From Natural To Complicated Numbers

  1. 1. מהטבעיים למרוכבים Q R N Z C
  2. 2. מספר טבעי הוא מספר שלם וחיובי , לדוגמא : 0,1,2,3,4,5,6,…,10,…,13,…,52,…,1007,…,1098765,… המספרים הטבעיים נקראים כך על שום פשטותם ומשום שקל לזהות אותם בטבע . הם מלווים את האדם מקדמת דנא ומשמשים אותו אבטיח אחד שני אבטיחים שלושה אבטיחים לספירה : ולסידור : על ציר המספרים , המספרים הטבעיים נראים כך : 1 2 3 0 המספרים הטבעיים (N) ראשון שני שלישי רביעי חמישי
  3. 3. ואולם , כיצד נוכל לפתור משוואה מהצורה הבאה עם מספרים טבעיים בלבד ? אע " פ שהאדם משתמש במספרים הטבעיים כבר אלפי שנים , הרי שניסוח אקסיומטי שלהם ניתן רק בשנת 1899 ע " י המתמטיקאי ג ' וזפה פאנו במה שנקרא : " האקסיומות של פאנו " ( Peano’s axioms ). הידעת ? רק במאה השישית קיבל המספר 0 סימן מיוחד . זה קרה בהודו ועברו עוד חמש מאות שנים עד שהגיע לאירופה והתקבל כמספר טבעי מן המניין . בעזרת המספרים הטבעיים ניתן לפתור משוואות כמו : המספרים הטבעיים (N) - המשך  Peano, Giuseppe (1858-1932)
  4. 4. מספר שלם יכול להיות חיובי ויכול להיות שלילי , לדוגמא : … ,-80078456,-1052,-2,-1,0,1,2,3,…,1007,…,1098765,… ניתן לראות שקבוצת המספרים השלמים מכילה את קבוצת המספרים הטבעיים ומרחיבה אותם : על ציר המספרים , המספרים השלמים נראים כך : אך כיצד נוכל לפתור משוואה מהצורה הבאה עם מספרים שלמים בלבד ? כעת , משנמצאים בידינו כל המספרים השלמים , נוכל לפתור את המשוואה הבאה בקלות : המספרים השלמים (Z) N Z  1 2 0 -1 -2 ?
  5. 5. מספר רציונאלי מוגדר כמנה של שני מספרים שלמים ( ): ניתן לראות שקבוצת המספרים הרציונאליים מכילה את קבוצת המספרים השלמים ומרחיבה אותם : הנה מספר דוגמאות של מספרים רציונאליים על ציר המספרים : כעת , משנמצאים בידינו כל המספרים הרציונאליים , נוכל לפתור את המשוואה הבאה בקלות : סוף?? המספרים הרציונאלים (Q) N Z Q  1 2 0 -1 -2 … , ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,…, ,…
  6. 6. איך זה קשור ? ובכן , מסתבר ש - אינו מספר רציונאלי . זאת אומרת שלא ניתן לבטא את כחלוקה של שני מספרים שלמים . הטענה הזו אינה מובנת מאליה והיא דורשת הוכחה . בשקף הבא נוכיח את הטענה . אבל , מתברר שישנם מספרים שאינם רציונאליים . לדוגמא , נסתכל על משולש ישר זווית ושווה שוקיים באורך 1: במבט ראשון , נראה שהמספרים הרציונאליים מכילים את כל המספרים שיש . קשה להעלות על הדעת מספר שאינו שייך למספרים הרציונאליים . 1 1 X = ? לפי משפט פיתגורס , אורך היתר , X , נתון על ידי : מספרים ממשיים (R) - מה, לא סיימנו? X 2 = 1 2 + 1 2 = 2 X =
  7. 7. בנוסף , נניח ש - n ו - m הם מספרים זרים , כלומר שלא ניתן לצמצם אותם ( אחרת , נצמצם אותם ). נניח בשלילה ש - הוא מספר רציונאלי , שניתן לתאר אותו כחלוקה של שני מספרים שלמים m ו - n : אם נעלה את שני צידי המשוואה בריבוע , נקבל ש - m 2 הוא מספר זוגי : אבל אם m 2 מספר זוגי הרי שגם m הוא מספר זוגי (ראו הוכחה כאן) ולכן : m זוגי כלומר , קיבלנו שגם n 2 הוא זוגי ! ושוב לפי אותה הוכחה שלעיל , אם n 2 הוא זוגי , הרי שגם n עצמו הוא זוגי ולכן ניתן לייצג אותו כך : לסיכום , קיבלנו שגם m וגם n חייבים להיות מספרים זוגיים , כלומר : אינו מספר רציונאלי - המשך הוכחה:
  8. 8. אבל זה סותר את ההנחה המקורית שלנו שאומרת שלא ניתן לצמצם את m ו - n . כל מה שנותר לנו לעשות עכשיו הוא לשים לב שאם גם m וגם n הם מספרים זוגיים , הרי שמראש ניתן היה לצמצם אותם בשתיים : מש " ל אינו מספר רציונאלי - המשך הוכחה: לסיכום , אם מניחים ש - הוא רציונאלי , מגיעים בהכרח לסתירה לכן לא ייתכן ש - רציונאלי .
  9. 9. ראינו , אם כן , שכדי לבטא את אורך היתר במשולש ישר זווית , אנו זקוקים לעוד מספרים מלבד המספרים הרציונאליים . המספרים הממשיים הם אוסף כל המספרים ( הרציונאליים והאי - רציונאליים ) שבעזרתם ניתן לבטא כל אורך קטע . ניתן לראות שקבוצת המספרים הממשיים מכילה את קבוצת המספרים הרציונאליים ומרחיבה אותם : המספרים הממשיים ממלאים את כל ציר המספרים : כעת , משנמצאים בידינו כל המספרים הממשיים , נוכל לפתור את המשוואה הבאה בקלות : ואולם , כיצד נוכל לפתור משוואה מהצורה הבאה עם מספרים ממשיים בלבד ? המספרים ממשיים (R)  Q R N Z 1 2 0 -1 -2
  10. 10. הבה נדמיין שישנו מספר דמיוני ( imaginary ) שכאשר מכפילים אותו בעצמו מקבלים (1- ( ונסמן אותו באות i אז נוכל לפתור את המשוואה : ניתן לראות שקבוצת המספרים המרוכבים מכילה את קבוצת המספרים הממשיים ומרחיבה אותם : את המרוכבים כבר לא ניתן לשים על ציר המספרים וכדי לתאר אותם אנו זקוקים ל מישור המספרים המרוכבים אשר מורכב מהציר ה ממשי והציר ה מדומה . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה a+b i כך ש - a ו - b הם מספרים ממשיים . בציור : הנקודה מסומנת על המישור המרוכב . המספרים המרוכבים (C) 2 1 -1 -2 i -i Q R N Z C 
  11. 11. ראינו שבעזרת המספרים המרוכבים ניתן לפתור את המשוואה ( וגם למשל את המשוואה כדאי לנסות !). אך מה לגבי משוואה יותר מסובכת , נאמר האם ניאלץ להמציא עוד מספרים מסוג חדש ?! ובכן , מסתבר שכבר בסוף המאה ה -18 הוכיחו מתמטיקאים שהמספרים המרוכבים מספיקים לפתרון כל המשוואות מסוג זה . ליתר דיוק , הם הוכיחו שלכל פולינום ( סכום של חזקות של x עם מקדמים מרוכבים ) יש פיתרון מרוכב . למשפט הזה קוראים : המשפט היסודי של האלגברה תכונה זו של המספרים המרוכבים הופכת אותם לשימושיים בענפים רבים של מתמטיקה פיסיקה והנדסה . סוף דבר
  12. 12. סוף לסרטונים ומצגות נוספים בנוסאים מדעיים הענסו לאתר צמ " ד אונליין – מאגר מדע http://www.weizmann.ac.il/zemed/net_activities.php
  13. 13. אם m 2 הוא מספר זוגי אז גם m הוא מספר זוגי – הוכחה : נניח בשלילה ש - m הוא מספר אי - זוגי , אז ניתן להציג את m כך : m=2k+1 ( k מספר שלם ) ולכן נקבל : (2k+1) 2 = (2k+1)(2k+1)=4k 2 +4k+1=4(k 2 +k)+1 = m 2 אבל זהו סכום של מספר זוגי ( כפולה של 4) ואחד , לכן זהו מספר אי - זוגי . לסיכום , קיבלנו שאם מניחים ש - m אי - זוגי מתחייב שגם m 2 הוא מספר אי - זוגי . זה עומד בסתירה להנחה שלנו , לפיה m 2 הוא מספר זוגי , לכן m חייב להיות זוגי . מש " ל זוגי m זוגי m 2 חזרה למצגת

×