1. YIELD SPREADS COME FATTORI ALTERNATIVI DI RISCHIO
PER SIZE E BOOK-TO-MARKET NEL MERCATO EUROPEO
Matteo Papini
mattepa@gmail.com
8 Aprile 2013
RELATORE
CHIARISSIMO PROF. NICOLA BORRI
CORRELATORE
CHIARISSIMO PROF. MAURO MICILLO
linkedin.com/in/matteopapini
4. Proxy e Database
Modelli
Risultati
Empirici
Conclusioni
Appendice
Tabella 2 – Proxy e Database
FATTORE PROXY DATABASE
RF
T-BILL USA 1-MONTH Kenneth R. French website
T-BILL GERMANY 1-YEAR Global Financial Database
RM
FF European Market Portfolio Kenneth R. French website
MSCI EMU Index Global Financial Database
SMB Fama-French Sm all Minus Big Kenneth R. French website
HML Fama-French High Minus Low Kenneth R. French website
DS
BARCLAYS EURO AGG CORP BAA Datastream
MOODY'S BAA CORPORATE BOND Bank of St. Louis website
BUND GERMANY 10-YEAR Datastream
T-BOND USA 10-YEAR Bank of St. Louis website
TS
BUND GERMANY 10-YEAR Datastream
T-BILL GERMANY 1-YEAR Global Financial Database
5. SMB e HML
Modelli
Risultati
Empirici
Conclusioni
Appendice
Tabella 3 – Fattori SMB e HML
HML
30% 40% 30%
SMB
10% S/L S/M S/H
90% B/L B/M B/H
S: piccole imprese. Equity di mercato di imprese con capitalizzazione azionaria
appartenente al minor 10% del totale.
B: grandi imprese. Maggior 90%.
L: imprese a basso BE/ME. Equity di mercato di imprese appartenenti al minor
30esimo percentile di BE/ME.
M: imprese a medio BE/ME. Dal 30esimo al 70esimo percentile.
H: imprese a alto BE/ME. Maggior 30%.
SMB =
S
L
+
S
M
+
S
H
3
−
B
L
+
B
M
+
B
H
3
HML =
S
H
+
B
H
2
−
S
L
+
B
L
2
8. Effetti size e BE/ME in Europa
Modelli
Risultati
Empirici
Conclusioni
Appendice
Extra-Re n dim e n ti su i 25FF n e l Me rcato Eu rope o
SIZE BOOK-TO-MARKET
Low 2 3 4 High
Me dia
Small -0.386 0.095 0.285 0.557 0.736
2 0.012 0.340 0.453 0.674 0.784
3 0.145 0.441 0.539 0.636 0.660
4 0.352 0.438 0.635 0.500 0.541
Big 0.106 0.273 0.311 0.403 0.208
t-statistic
Small -0.746 0.198 0.621 1.284 1.754
2 0.023 0.702 1.016 1.471 1.682
3 0.268 0.930 1.182 1.353 1.347
4 0.703 0.987 1.417 1.057 1.057
Big 0.251 0.648 0.672 0.811 0.357
De viazion e Stan dard
Small 6.764 6.247 5.988 5.672 5.487
2 6.827 6.331 5.827 5.988 6.096
3 7.048 6.206 5.961 6.142 6.402
4 6.540 5.800 5.859 6.182 6.698
Big 5.506 5.501 6.055 6.487 7.596
I risultati confermano solo parzialmente le conclusioni di Fama e French (1992,
1993). Nelle imprese quotate in Europa persiste una relazione:
a) né positiva né negativa tra size e rendimento medio;
b) positiva tra BE/ME e rendimento medio.
source: own calculation
Buongiorno, con questa analisi ho esteso al mercato europeo il lavoro che, nel 2006, Hahn e Lee hanno svolto sul mercato americano scegliendo Default Spread e Term Spread come fattori alternativi di rischio a quelli del modello Fama French, dimostrandone la superiorità nello spiegare i rendimenti azionari dei 25 portafogli proposti da Fama French nel loro sito web. . Sono quindi andato a vedere se anche in Europa il modello alternativo a 3 fattori di Hahn e Lee risulti superiore al Fama French model.
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Questa analisi ha una valenza prettamente accademica, perché nella pratica i trader non applicano questi modelli a causa delle ben note anomalie del FF3 che ho descritto in appendice di questa presentazione
[Descrizione dei Fattori SMB, HML e DS, TS e delle equazioni che prezzano i titoli/portafogli] .
Questi sono i 3 modelli testati. Ho implementato 25 regressioni temporali, una per ogni portafoglio, con il metodo dei minimi quadrati OLS (stimando i beta) con un orizzonte temporale che va dal Luglio del 1990 all’ottobre del 2012. . Ho poi stimato i gamma partendo dai beta calcolati in precedenza con un’analisi cross-sezionale mese per mese con il metodo FMB, l’unico applicabile nel caso in cui i fattori non siano espressi sottoforma di extra-rendimenti come per DS e TS . Infine, per il CAPM e il FF3 ho implementato un GRS Test, descritto in appendice, con cui ho verificato quando le intercette di regressione o errori di prezzo sono congiuntamente uguali a zero come assunto dai modelli.
Spiegare le analisi statistiche condotte: Time-series con il metodo OLS e Cross-Sectional con il metodo FMB Per brevità sono elencati solo gli output del modello AM3. I beta di portafoglio stimati con un modello ordinario di regressione lineare (OLS) time-series. I gamma sono regrediti trasversalmente mese per mese sugli extra-rendimenti di portafoglio e sui beta precedentemente stimati, con il metodo Fama-MacBeth. Poi ne è stata fatta la media semplice. Questo metodo elimina la possibile autocorrelazione tra i rendimenti ed è stato adottato anche perché, diversamente dai fattori Fama-French, DS e TS non sono espressi in forma di extra-rendimenti, pertanto la loro media semplice non può essere interpretata come stima del loro premio a rischio. Per i modelli CAPM e FF3 si è anche testato con il GRS Test quando le alpha sono congiuntamente uguali a zero. Nel AM3 questo non è stato possibile inquanto i fattori proxy ΔDS e ΔTS non sono extra-rendimenti di portafoglio e non possono essere usati per i comuni test di verifica congiunta delle intercette pari a zero. Un approfondimento di questo test è nell’appendice di questa presentazione.
[Descrivere i proxy usati motivando le diverse scelte: ad es.: difficoltà di reperimento dati, orizzonte temporale] .
Questa tabella elenca concretamente quali proxy ho utilizzato per i fattori dei 3 modelli e dove ho reperito i dati. Fatta eccezione per i fattori SMB e HML presi dal sito-web di Kenneth R. French, ho utilizzato più di una proxy. Quindi ho replicato gli stessi test più volte. Questa scelta è stata spesso motivata dalla difficoltà di reperimento dati. In particolare, la costruzione del fattore DS è stata difficoltosa (non si trovavano serie di obbligazioni BAA in europa). Per costruire un DS europeo ho dovuto accorciare l’orizzonte temporale di 8 anni, partendo quindi dal 1998.
[APPROFONDIMENTO] L’alternativa era troppo lunga da implementare: si sarebbero dovuto costruire tanti indici obbligazionari quanti fossero i paesi da includere, scegliendo singolarmente i titoli da inserire, per poi calcolarne la media ponderata, tenendo presente che l’indice dovrebbe coprire almeno tra il 70% e l’80% del monte obbligazionario totale del paese di riferimento. Per chi fosse interessato, ho incluso il procedimento a pagina 13 della versione estesa della mia tesi.
[Parlare dei fattori SMB e HML motivando la scelta di Fama e French] .
In questa slide ho descritto il metodo di costruzione che FF hanno usato per i loro fattori. SMB acronimo di Small Minus Big e HML acronimo di High Minus Low, sono fattori ottenuti dal differenziale di rendimento tra azioni di imprese a bassa e ad alta capitalizzazione per SMB e differenziale di rendimento tra alto e basso rapporto equity contabile su equity di mercato nel caso del fattore HML.
[APPROFONDIMENTO] L’obiettivo era ottenere un fattore book-tomarket quanto più possibile non influenzato da cambiamenti di size, e allo stesso modo, un fattore size altamente indipendente da variazioni di book-to-market. Questi fattori, sono stati costruiti sulla base di sei portafogli azionari suddivisi per size e BE/ME nel modo elencato.
Sono costruite in modo da essere influenzate dagli stessi fattori di rischio sensibili, rispettivamente, a size e Book-to-market.
[Descrivere DS e TS motivando la scelta di Hahn e Lee]
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Più interessante è stata la scelta dei fattori proposti da Hahn e Lee in sostituzione rispettivamente di SMB e HML. Incrementi di DS sono comunemente associati ad un peggioramento delle aspettative sulle condizioni del mercato del credito, cioè i prezzi di imprese a bassa capitalizzazione tenderanno a diminuire in misura maggiore rispetto a quelli delle imprese ad alta capitalizzazione. In altre parole aumenti di DS sono associati a minori rendimenti sul fattore SMB. Ecco perché il fattore variazioni di DS è stato costruito come differenza negativa del DS periodale.
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Dal grafico, che mette in relazione i cicli di business con DS TS e T-bill usa a 1 anno dal 1963 al 2009, si nota come il TS si muove in direzione opposta al t-bill e cioè ad un aumento del TS è associabile una riduzione dei tassi di interesse che influenzerà positivamente il rendimento su HML essendo l’effetto catturato da questo fattore interpretabile come involontario effetto leverage.
APPROFONDIMENTO: Al contrario, il fattore variazioni di TS, è definito come differenza positiva tra TS periodali. Questo perché l’effetto catturato dal fattore HML può essere interpretato come involontario effetto leverage e cioè imprese ad alto BE/ME hanno un maggior leverage (indebitamento) imposto dal mercato rispetto alle imprese a basso BE/ME. In altre parole, riduzioni dei tassi di interesse, che hanno quindi un maggior effetto positivo su imprese ad alto debito, dovrebbero essere associate a maggiori rendimenti sul fattore HML.
DS e TS sono comunemente usati come proxy delle fluttuazioni dei cicli di business e, in particolare, come misure delle condizioni del mercato del credito e delle scelte di politica monetaria. In particolare, un incremento nel DS è comunemente interpretato come segnale di peggioramento delle aspettative sul mercato del credito. Inoltre, altre ricerche suggeriscono che le piccole società sono più vulnerabili rispetto alle altre, a variazioni delle condizioni del mercato del credito. Quindi, possiamo aspettarci maggiori effetti avversi sui prezzi di titoli di piccole imprese in risposta alle avverse condizioni del mercato del credito. Considerando il fattore SMB, aumenti (riduzioni) nel DS dovrebbero essere associati a minori (maggiori) rendimenti sul fattore stesso (SMB) in media. Ecco perché il fattore ΔDS, usato nel modello alternativo come proxy del fattore SMB, è costruito come variazione negativa del DS dal periodo t – 1 al periodo t. La Figura illustra il DS americano, il TS americano e il T-Bill americano a 1 anno in relazione con i cicli di business dal 1963 al 2009. Coerentemente con le scoperte di Fama e French (1989), il TS chiaramente mostra una tendenza a essere basso in prossimità dei picchi di espansione e alto in prossimità delle recessioni. Inoltre, il TS e il T-Bill a 1 anno si muovono in direzioni opposte. In altre parole, aumenti (riduzioni) di TS sono associati con riduzioni (aumenti) dei tassi di interesse.
Fama e French (1992) notano che il rapporto book-to-market è descritto dalla relazione: lev mrk – lev cont = (val cont att / val mrk equity) – (val cont att / val cont equity)
Così, interpretano l’effetto catturato dal fattore HML come involontario effetto leverage, nel senso che imprese con un alto BE/ME (cioè con un leverage di mercato più alto rispetto a quello contabile) hanno un largo leverage imposto dal mercato. Fino a quando, riduzioni dei tassi di interesse avranno un maggior effetto positivo sulle imprese ad alto debito rispetto a quello sulle imprese con un leverage leggero, ci possiamo aspettare che aumenti (riduzioni) del TS potranno essere associati con alti (bassi) rendimenti sul fattore HML in media. Ecco perché saranno usate variazioni del TS come proxy alternativa macroeconomica del fattore HML.
[la teoria non viene supportata dalla pratica: abbiamo stimato la relazione tra SMB e DS e tra HML e TS]
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Questa slide intende dimostrare se la teoria è supportata dalla pratica. Sono andato a vedere con una semplice regressione OLS la relazione tra i fattori SMB, HML, DS e TS. Controllando per RM–RF, si osserva che il fattore ∆DS è positivamente correlato con SMB. Tuttavia, ∆TS è negativamente correlato con SMB, ma non ha nessun tipo di correlazione statisticamente significativa con HML. In Europa, al contrario di quanto dimostrato da Hahn e Lee (2006) sul mercato americano, ΔDS e ΔTS non sono buone proxy alternative dei rischi sottostanti a SMB e HML.
APPROFONDIMENTO: In realtà, la relazione dimostrata da Hahn e Lee (2006) sul mercato americano, è, con buona probabilità, meramente suggestiva di un qualche rischio legato ai cicli di business sottostante ai fattori SMB e HML e non all’effettiva dipendenza tra i fattori SMB,DS e HML,TS. Dalla slide precedente si vede infatti che il TS tende ad essere basso in prossimità dei picchi e alto in prossimità delle recessioni e gli stessi Fama e French (1989) dimostrano che i loro fattori sono in grado di catturare diverse componenti di variazione dei rendimenti attesi relazionate ai cicli di business e che variazioni di SMB sono correlate alle condizioni economiche di lungo periodo, mentre variazioni di HML sono proxy dei cambiamenti sul breve periodo.
[gli effetti size e BE/ME non sembrano persistere in Europa]
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Questa slide mostra gli extra-rendimenti sui 25 portafogli FF ed evidenzia come l’effetto size non sia confermato in europa, mentre sembra persistere un effetto BE/ME. Alla luce di questo, ancora una volta, il TS non può essere un buon proxy per i rischi sottostanti ad HML (visto che sussiste l’effetto be/me in europa, la slide precedente avrebbe dovuto evidenziare una relazione economicamente e statisticamente significativa).
Anche se gli effetti size e be/me non sembrano essere confermati in europa, il FF3 model riesce a spiegare in modo sufficientemente accettabile gli extra-rendimenti sui 25 FF.
[Regressioni Time-Series (orizzonte temporale 1998)]
In tabella sono rappresentati i beta stimati dalle regressioni temporali OLS sui 25FF europei. Le statistiche-t sono state omesse e sintetizzate in tabella in basso a destra.
Si noti come alcuni coefficienti su SMB e ΔDS, nel quinto quintile di size (composto dalle imprese a maggiore capitalizzazione azionaria) sono significativamente negativi. Questo riflette le potenziali convinzioni degli investitori sulla copertura dal rischio di default: detenere equity di grandi società può essere un buon modo di coprirsi contro i rischi sintetizzati da SMB e DS.
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Oltre al fatto che i coefficienti su ΔTS non sono statisticamente significativi, si noti come non abbiano un andamento monotono come quelli su HML stimati con la regressione time-series del FF3 Model. La prossima slide evidenzia proprio questo aspetto.
[coefficienti stimati sui fattori SMB, HML e DS,TS raggruppati per quintili corrispondenti a valori di size e book-to-market] .
Come dicevo, l’andamento dei beta stimati su TS non è certamente monotono: in altre parole il fattore ΔTS esprime una sensitività dei rendimenti dei 25FF a rischi sottostanti diversi rispetto al fattore HML.
(si noti che l’effetto book-to-market è confermato anche a livello europeo, quindi se l’AM3 fosse corretto, i coefficienti su TS dovrebbero avere un andamento monotono al pari di quelli su HML)
[Regressioni cross-sezionali a confronto] . La Tabella mostra il ben noto fallimento del CAPM nello spiegare le variazioni cross-sezionali dei 25 portafogli Fama-French. Il premio a rischio di mercato stimato è negativo (–0.595) e statisticamente non significativo (p-value > 5%). L’R2 della regressione è basso: solo il 3.51% delle variazioni trasversali dei rendimenti medi dei 25FF possono essere spiegati con questo modello.
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Inoltre, è evidente il sostanziale miglioramento di performance del FF3, come indicato dall’R2 pari a 68.24%. Si noti che la pendenza del coefficiente sul beta di SMB è statisticamente non significativa ed economicamente irrilevante forse perché l’effetto size non è confermato in europa. Tuttavia, i coefficienti sul beta di HML sono statisticamente ed economicamente significativi. Questo significa che il modello non collassa verso il semplice CAPM dato che i fattori FF sono, per costruzione, altamente non correlati con il rendimento di mercato. Il premio a rischio di mercato anche qui è negativo, ma estendendo l’orizzonte temporale al 1990 (ricordo che qui si parte dal 1998) la situazione migliora. In Appendice ho cmq elencato alcune anomalie che sicuramente contribuiscono a rendere il FF3 model un modello non perfetto.
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Infine, la tabella mostra il fallimento del modello alternativo a tre fattori sul mercato europeo. L’R2 è migliore di quello del CAPM (11.64% contro 3.51%) ma nettamente inferiore a quello del modello a 3 fattori di Fama-French (68.24%). I fattori alternativi sono economicamente e statisticamente irrilevanti (anche nei casi in cui la regressione viene fatta partire con un orizzonte temporale maggiore).
Si noti che sia il fattore SMB che il fattore ΔDS non sono statisticamente significativi, ma non per questo ΔDS non potrebbe essere un buon proxy per i rischi sottostanti SMB.
[extra-rendimenti stimati e extra-rendimenti realizzati a confronto] . Questa slide è la più chiara. Il FF3 si conferma superiore al CAPM e al modello alternativo di Hahn e Lee (2006), nel mercato europeo, come osservabile dalla Figura che mette a confronto i rendimenti realizzati con quelli stimati nei tre modelli.
POSSIBILE DOMANDA SUL PORTAFOGLIO A SINISTRA: Corrisponde al primo quintile di size e di BE/ME. Imprese piccole con un basso rapporto BE/ME sono maggiormente esposte al rischio di default in periodo di crisi e restituiscono un rendimento negativo.
FF3 si conferma un modello migliore rispetto agli altri nel prezzare i rendimenti dei 25 portafogli proposti da Fama e French. . In futuro sarebbe interessante estendere questa analisi controllando l'eventuale presenza di break strutturali (ad. es con un Chow Test con break a Settembre 2008) confrontando quindi il periodo pre-crisi con quello post-crisi.
GRS TEST
si va a vedere quando le alphas di regressione sono congiuntamente uguali a zero
step 1: calcolo dei residui (extra-rendimento realizzato – extrarendimento stimato)
step2: calcolo la matrice covarianze dei residui con la funzione COV
step3: correggo la matrice moltiplicandola per T/(T – L – 1) e ne faccio l’inverso. T=numero osservazioni, L=numero fattori
step4: calcolo il numeratore della statistica GRS (vettore alphas * vettore alphas trasposto * inverso matrice cov corretta). vettore alpha=media semplice dei fattori
step 5: calcolo il denominatore della statistica GRS (1 + vettore media fattori*vettore media fattori trasposto*matrice covarianze OMEGA)
OMEGA = matrice covarianze della differenza tra i fattori e il valore medio dei fattori stimati con la regressione)
Step 6: calcolo la statistica e il relativo p-value con la formula F.DIST
Si osservano i valori: se la statistica GRS è uguale a zero le alpha saranno = a zero. Maggiori sono le alpha e maggiore sarà la statistica GRS. Osservando il p-value della statistica GRS si potrà affermare con un livello di significatività ad esempio del 5% se il p value è > del 5% che le alpha sono congiuntamente uguali a zero.
Anomalie FF3
Il FF3 è superiore al CAPM nello spiegare i rendimenti sui 25 portafogli proposti da Fama e French. Nonostante questo, non è esente da anomalie che possono emergere nel momento in cui viene applicato al mondo reale.
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Alcune possibili spiegazioni di questi errori fanno riferimento al cosiddetto distress risk o rischio di disseto finanziario. Ad esempio è lecito aspettarsi che gli investitori possano perdere il loro lavoro durante i periodi di recessione. Ipotizziamo che un investitore, specializzato in capitale umano e che lavora in un’impresa in espansione, subisca uno shock economico negativo: questo può solamente portare ad un minore numero di assunzioni senza avere effetti sul valore del capitale umano. Il che non è altrettanto vero per le imprese in difficoltà finanziaria. In questo caso, gli investitori specializzati in capitale umano che lavorano in imprese in difficoltà, eviteranno di detenere azioni proprie e, se la difficoltà finanziaria è correlata con questa tipologia di imprese, eviteranno di detenere tutte le azioni di imprese in difficoltà. Quindi, investitori non attratti da azioni potenzialmente cicliche in periodi di recessione porteranno i prezzi verso il basso alzandone il rendimento atteso e facendo nascere un premio specifico per azioni di imprese in difficoltà finanziaria. Più precisamente, questi rendimenti attesi non dipenderanno solamente dai beta di mercato, ma anche dalla tendenza dei prezzi a scendere durante i periodi di recessione.
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A fianco a questo tipo di spiegazioni razionali possono essercene alcune di natura comportamentale. Le anomalie collegate ai rendimenti azionari possono non essere riconducibili all’equilibrio di mercato ma bensì a comportamenti irrazionali ed ai costi di agenzia o di gestione professionale degli investimenti.
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Gli investitori tendono ad accumulare azioni con un alto tasso di crescita passato e liberarsi di azioni che storicamente hanno avuto una bassa crescita (ad es., le cd. strategie basate sull’effetto momentum) così come tendono ad estrapolare i tassi di crescita troppo indietro nel tempo ad esempio comprando azioni dall’alto rapporto BE/ME (azioni growth) o vendendo quelle dal basso book-to-market (azioni value) causando un effetto associato (value effect).
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Ci può essere anche un problema di data mining: focalizzarsi sui possibili errori nella determinazione di anomalie porta al rafforzamento delle stesse. La natura delle anomalie può derivare da analisi empiriche condotte ex post sulle condizioni economiche generali, che portano a soluzioni semplicemente troppo specifiche.
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Inoltre, la selezione dei dati per analisi come questa, si basa sull’uso di specifici database dedicati ad analisi empiriche, il che può portare al cosiddetto survivorship bias o errore di sopravvivenza secondo il quale non vengono incluse nelle analisi quelli imprese che sono fallite nel corso della storia.
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Infine, si può incorrere nell’errore di selezionare un mercato sbagliato come proxy del rendimento di mercato, che porta alla determinazione di un beta di mercato non corretto. Il vero portafoglio di mercato non esiste nel mondo reale e il portafoglio scelto come proxy dovrebbe contenere tutti gli asset rischiosi al fine di fornire un test valido contro il CAPM.
