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t-SNE Explained
- 1. Visualizing Data Using t-SNE 2019.7.12 論⽂輪講 D1 ⽊村 Maaten, Laurens van der, and Geoffrey Hinton. "Visualizing data using t-SNE." Journal of machine learning research 9.Nov (2008): 2579-2605.
- 2. 内容 1. ⾼次元空間の可視化とは 2. t-SNEでできること 3. 関連研究 4. SNE 5. t-SNE 6. 結果 7. Conclusion 8. 感想
- 3. １．⾼次元空間の可視化とは たとえば、1000次元のデータがあるとき、どうにか して2(or 3)次元で表現できれば、プロットできて、⼈ 間の⽬で⾒て分布などを確認できる 本当に可能か？ −−−> 可能だが妥協が必要
- 5. t-SNEは何の略か？ Stochastic Neighbor Embedding t-SNE randomely determined An embedding is a representation of a topological object, manifold, graph, field, etc. in a certain space in such a way that its connectivity or algebraic properties are preserved t-distribution
- 6. 3. 関連研究 • 1969 Sammon mapping • 1997 curvilinear components analysis • 2000 Isomap • 2000 Locally Linear Embedding • 2002 Stochastic Neighbor Embedding (SNE) • 2002 Laplacian Eigenmaps • 2004 Maximum Variance Unfolding 問題：現実の⾼次元データで local, global な構造を両⽅表現するのが難しい
- 7. 4. SNE 1. 低次元での座標を適当に決める 2. ⾼次元、低次元でのあらゆる２点の類似度（確率）を計算 3. 2つの類似度⾏列が近づくように低次元のデータの座標を調整 （KL divergence使う) 低次元に変換する関数を決めるわけではない ⼤きな流れ ここは t-SNEも同じ ここで違いが出る
- 8. 4. SNE 類似度の計算 softmaxに似ている 低次元 ⾼次元 xi を基準に考えた時のxjとxiの類似確率.... i とj は⾮互換 σのあるなしのみの違い
- 9. 4. SNE: 類似度の意味 ガウス関数 ⾼次元での 類似度 xi を基準（μ）と 考えるとガウス関数 と同じ
- 10. 4. SNE: 類似度の意味 xi からの距離 近くにある点を⾼く評価
- 11. 4. SNE: 類似度の意味 • i, j 以外の点の散らばり具 合で pi|jの値が変わる • 左右でi-jの距離は同じだが、 類似度は左の図では低く、 右では⾼くなる • 特に、左図で、jが遠くな ると値がゼロに近くなり、 距離への依存が減少 →遠い点の距離が保存され ない問題 データA データB
- 12. 4. SNE: 類似度の意味 つまり、類似度ｐj|iは、ただの距離ではなく、xiと他点との距離も考慮した距離。 各空間でデータの数の⼆乗 個のｐを計算する必要があ る StarQuest : https://www.youtube.com/watch?v=NEaUSP4YerM
- 13. 4. SNE: 損失関数 ワイ ｔ：最適化のための 繰り返しの回数 • 局所解を避けるため • 最適化のスピードアップのため のモーメンタム • KL ダイバージェンスを ゼロに近づける • C ≧ 0 (ギブスの不等式より）
- 14. SNEの問題点 • 初期にガウシアンノイズを加えるが、ノイズの初期値、分散の 減衰速度などの決定が難しい（通常、最適化の処理を何度か⾏ い、パラメータを決定する） • Crowding problem （後述） 改善案としてｔ−SNEを提案
- 15. 5. t−SNE •対称な損失関数 •ガウス分布の代わりに t 分布 で • 難儀な最適化 • Crowding problem を改善
- 16. 対称な損失関数 pij = pji にしたい。そのためには、 最適化を簡単にするために や が考えられる。しかし、 i, j は交換可能 仮に xi が outlier の場合、p は著しく⼩さくなり、C への影響が少なくなる。 結果として、i の位置への信頼性が低くなる。そこで、
- 17. 対称な類似度 そこで、 とすれば、 が保証され、極端に⼩さくならない。 （JS divergence みたいな発想？） 勾配は となる
- 18. Crowding Problem • 例えば、データの intrinsic dimension が、10次元の時、等距離の 点は11個存在しうる。この距離を2次元で保持するのは不可能。 • 例えば、データ点 i を中⼼とする球の体積はrmでスケールする。 仮にデータが10次元空間の球⾯に⼤体⼀様に分布しているとす ると、2次元に embed することで、本来離れていた2点が接近し てしまうという問題が発⽣ • UNI-SNE（Cook et. al. 2007）がこれを改善すべく、ｑの最⼩値を 設定。遠い点では、ｑが常にｐより⼤きくなり、反発⼒が⽣じ る
- 19. ｔ−分布の効果 • ｔ−分布とは ガウス分布 fat tail • ⾼次元でガウス分布、低次 元でｔ−分布を使⽤すること で、点の不必要な集まりを 防げる • ⾃由度１のｔ−分布を使⽤ ｎ：データ数 http://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/BS/SAS/SAS4-OneSampleTtest/SAS4-OneSampleTtest5.html 遠い点同⼠でも 差がつく 離れる i j j 低次元での距離 gap
- 20. 3モデルの⽐較 理想：点線。q = p 2 4 Gradientがゼロのときに点線に乗りたい t-SNEが最もきれ いに乗っている。ただし距離が短い場合。 ☓ ☓ 正確ではないが遠くの点を遠く に置く可能性はある
- 21. Applying t-SNE to Large Data Sets • 計算量が多い（O(n2)）ので、 例えば 10,000個のデータなど では厳しい • ランダムウォークで改善できる 1. ランダムにlandmarksを選ぶ （図の⾊付き丸） 2. k-近傍グラフを作成 3. landmarkから他のlandmarkまで ランダムウォーク • ABCは互いに同じ距離に⾒えるが 上の⽅法だとABが同じクラスタ
- 23. 6. 結果 t−SNE Isomap LLE sammon mapping MNIST • 6,000個の⼿書き⽂字 • 10個の数字 • 784 pixels
- 24. 結果 t−SNE Isomap LLE sammon mapping Olivetti faces • 400枚の顔の画像 • 40⼈の顔 • 10,304 pixels
- 25. 結果 t−SNE Isomap LLE sammon mapping COIL-20 • 1440枚の画像 • 20種類の物 • 1024 pixels
- 26. 他のモデル • sammon mapping （Sammon, 1969) ⾼次元でのこの２点が⾮常に近い場合、分⼦のカッコ内の差が ある程度⼩さくてもコスト関数が⼤きくなってしまう ものすごく近い２点の距離の保持にこだわるモデル （本来は普通〜遠⽬の距離を保持したい）
- 27. 他のモデル • Isomap (Balasubramanian et. al. 2002) 近傍点とのグラフを作成 エッジで距離を計算 ＊近傍での線形性を前提
- 28. Weakness • ４次元以上への次元削減 Heavy tail の存在が４次元以上への次元削減に⽀障？ • Instrinsic dimensionality の呪い intrinsic dimensionality が⼤きい場合、t-SNEが前提としている多様体の 線形性が崩れる。オートエンコーダで特徴量を抽出してからt-SNEで視 覚化するとよい？ • 損失関数の⾮凸性 ⾮凸のため、複数パラメータのチューニングが必要だが、推奨範囲は あるので⼤丈夫？
- 29. 7. まとめ • 類似度の対称化とt−分布の導⼊に新規性 • 低次元のデータ点は最初はとりあえずランダムに配置し、低次 元での類似度を計算、後はKLダイバージェンスで最適化し座標 を修正していく。 • おおむねうまく⾏っている。他の⼿法よりもいい結果である • 計算量が多い（O(n2)）が、ランダムウォークで改善する
- 30. 8. 感想 • ⼿法の定量的評価⽅法は？ • 解釈がトリッキー https://distill.pub/2016/misread-tsne/?_ga=2.135835192.888864733.1531353600-1779571267.1531353600
- 31. • 視覚化はできてるが分類問題などに使えるのか？ • 最後尾の隠れ層の特徴量 を視覚化 • CNN内部の視覚化として 補助的に Esteva, Andre, et al. "Dermatologist-level classification of skin cancer with deep neural networks." Nature 542.7639 (2017): 115.