Kombinatorika kombinatornye zadachi

2. На завтрак Вова может выбратьНа завтрак Вова может выбрать
плюшку, бутерброд, пряник илиплюшку, бутерброд, пряник или
кекс, а запить их он может кофе,кекс, а запить их он может кофе,
соком или кефиром. Из сколькихсоком или кефиром. Из скольких
вариантов завтрака Вова можетвариантов завтрака Вова может
выбирать?выбирать?
Пример 1.Пример 1.

3. ПлюшкаПлюшка БутербродБутерброд ПряникПряник КексКекс
КофеКофе Кофе,Кофе,
плюшкаплюшка
КофеКофе,,
бутербродбутерброд
КофеКофе,,
пряникпряник
КофеКофе,,
кекскекс
СокСок Сок,Сок,
плюшкаплюшка
СокСок,
бутербродбутерброд
СокСок,
пряникпряник
СокСок,
кекскекс
КефирКефир КефирКефир,
плюшкаплюшка
КефирКефир,
бутербродбутерброд
КефирКефир,
пряникпряник
КефирКефир,
кекскекс

4. Правило умножения.Правило умножения.
Для того чтобы найти число всехДля того чтобы найти число всех
возможных исходоввозможных исходов
независимогонезависимого проведение двухпроведение двух
испытаний А и В, следуетиспытаний А и В, следует
перемножить число всехперемножить число всех
исходов испытания А и числоисходов испытания А и число
всех исходов испытания В.всех исходов испытания В.

5. Пример 2.Пример 2.
Несколько стран в качестве символаНесколько стран в качестве символа
своего государства решили использоватьсвоего государства решили использовать
флаг в виде трех горизонтальных полосфлаг в виде трех горизонтальных полос
одинаковых по ширине, но разных поодинаковых по ширине, но разных по
цвету: белый, синий, красный.цвету: белый, синий, красный.
Сколько стран могут использовать такуюСколько стран могут использовать такую
символику при условии, что у каждойсимволику при условии, что у каждой
страны свой, отличный от других, флаг?страны свой, отличный от других, флаг?

6. *
**
***
*
**
*** **
***
**
***
*
***
*
***
*
*** ***
*
*** ***
* *
*
* *
*

7. Сколько трехзначных чисел можноСколько трехзначных чисел можно
составить из цифр 1,3,5 и 7,составить из цифр 1,3,5 и 7,
используя в записи числа каждую изиспользуя в записи числа каждую из
них не более одного раза?них не более одного раза?

8. Решение будем искать с помощьюРешение будем искать с помощью
дерева возможных вариантовдерева возможных вариантов..
1
3 5 7
3 5 7 1
5 7 1 3 7 1 3 5
5 7 3 7 3 5 3 5
7 3 5 3 5 3 7 5
3 5 3 5 7 5 1 7

9. Рассмотрим пример.Рассмотрим пример.
Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с.Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с.
Эти книги нужно расставить на полке по разному.Эти книги нужно расставить на полке по разному.
а б с

10. а с б

11. б а с

12. Рассмотрим пример.
Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти
книги нужно расставить на полке по разному.
б с а

13. Рассмотрим пример.
Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с. Эти
книги нужно расставить на полке по разному.
с а б

14. Рассмотрим пример.
Имеются три книги. Обозначим их буквами а, б, с.
Эти книги нужно расставить на полке по разному.
с б а

15. Перестановкой из n элементов называют каждое
расположения этих элементов в определенном
порядке.
Обозначают
Pn = n!

16. ЗадачаЗадача №№11
Сколькими способами 4 человекаСколькими способами 4 человека
смогут разместиться насмогут разместиться на
четырехместной скамейке?четырехместной скамейке?

17. ЗадачаЗадача №2№2
Сколько различных четырехзначныхСколько различных четырехзначных
чисел, в которых цифры нечисел, в которых цифры не
повторяются, можно составить из чиселповторяются, можно составить из чисел
0,2,4,6?0,2,4,6?

18. Задача №3Задача №3
Имеются девять различных книг, четыре изИмеются девять различных книг, четыре из
которых учебники. Сколькими способамикоторых учебники. Сколькими способами
можно расставить эти книги на полке так,можно расставить эти книги на полке так,
чтобы все учебники стояли рядом?чтобы все учебники стояли рядом?

19. Задача № 4Задача № 4
В расписании на понедельник шесть уроков : алгебра,В расписании на понедельник шесть уроков : алгебра,
геометрия, биология, история, физкультура, химия.геометрия, биология, история, физкультура, химия.
Сколькими способами можно составить расписаниеСколькими способами можно составить расписание
уроков на этот день так, чтобы два урока математикиуроков на этот день так, чтобы два урока математики
стояли рядом.стояли рядом.
Алгебра
Геометрия
Биология
История
Физкультура
Химия
Алгебра
Геометрия
История
Биология
Физкультура
Химия
Физкультура
Геометрия
Алгебра
История
Биология
Химия

20. Пусть имеются 4 шара и 3 пустыхПусть имеются 4 шара и 3 пустых
ячейки.ячейки.
Обозначили шары буквамиОбозначили шары буквами a, b, c, d.a, b, c, d.
В пустые ячейки можно по – разномуВ пустые ячейки можно по – разному
разместить три шара из этого набора.разместить три шара из этого набора.

21. а b c
а c b
b а c
c bd

22. abc, abd, acb, acd, adb, adc,
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb

23. Размещением из n элементов по k (k<n) называется
любое множество, состоящее из k элементов, взятых
в определенном порядке из данных n элементов.
A
k
n

24. A = n*(n-1)(n-2)…(n-(k-1))
k
n

25. An
n
=Pn=n!

26. Задача №Задача № 55
Учащиеся второго класса изучают 8Учащиеся второго класса изучают 8
предметов. Сколькими способамипредметов. Сколькими способами
можно составить расписаниеможно составить расписание
на один день, чтобы в нем было 4на один день, чтобы в нем было 4
различных предмета?различных предмета?

27. Задача №6Задача №6
На странице альбома 6 свободных местНа странице альбома 6 свободных мест
для фотографий. Сколько существуетдля фотографий. Сколько существует
способов размещения фотографий вспособов размещения фотографий в
свободные места?свободные места?
aa) 4 фотографии;) 4 фотографии;
bb) 6 фотографий.) 6 фотографий.

28. Задача №7Задача №7
Сколько трехзначных чисел ( безСколько трехзначных чисел ( без
повторения цифр в записи числа)повторения цифр в записи числа)
можно составить из цифрможно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, и 6?0, 1, 2, 3, 4, 5, и 6?

29. Решение
АА77
33
-А-А66
22
= 7*6*5-6*5=6*5(7-1)=6*5*6=180= 7*6*5-6*5=6*5(7-1)=6*5*6=180

30. Задача №8Задача №8
Из трехзначных чисел, записанных сИз трехзначных чисел, записанных с
помощью цифрпомощью цифр
1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 (без повторений цифр).1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9 (без повторений цифр).
Сколько таких в которых:Сколько таких в которых:
aa) не встречаются цифры 6 и 7;) не встречаются цифры 6 и 7;
bb) цифра 8 является последней?) цифра 8 является последней?

31. Задача №9Задача №9
Сколько существует семизначныхСколько существует семизначных
телефонных номеров,телефонных номеров,
в которых все цифры различные ив которых все цифры различные и
первая цифра отличается от 0?первая цифра отличается от 0?

39. Если в букет не входит цветок а,Если в букет не входит цветок а,
а входита входит bb, то можно получить такие, то можно получить такие
букеты:букеты:

44. Сочетанием изСочетанием из nn элементов поэлементов по kk
называется любое множество,называется любое множество,
составленное изсоставленное из kk элементов,элементов,
выбранных из данныхвыбранных из данных nn элементовэлементов

45. Cn
k
=

46. Задача № 10Задача № 10
Из 15-ти членов туристической группу надоИз 15-ти членов туристической группу надо
выбрать трех дежурных.выбрать трех дежурных.
Сколькими способами можно сделать этотСколькими способами можно сделать этот
выбор?выбор?

47. Задача №11Задача №11
Из вазы с фруктами, где лежит 9Из вазы с фруктами, где лежит 9
яблок и 6 груш,яблок и 6 груш,
нужно выбрать 3 яблока и 2 груши.нужно выбрать 3 яблока и 2 груши.
Сколькими способами это можноСколькими способами это можно
сделать?сделать?

48. Задачи для закрепленияЗадачи для закрепления

49. Задача №Задача № II
В классе 7 человек успешно занимаютсяВ классе 7 человек успешно занимаются
математикой. Сколькими способами можноматематикой. Сколькими способами можно
выбрать из них двоих для участия ввыбрать из них двоих для участия в
олимпиаде?олимпиаде?

50. Задача №Задача № IIII
В лаборатории, в которой работаютВ лаборатории, в которой работают
заведующий изаведующий и
10 сотрудников, надо отправить в10 сотрудников, надо отправить в
командировку 5 человек.командировку 5 человек.
Сколькими способами это можноСколькими способами это можно
сделать если,сделать если,
aa)заведующий лаборатории должен)заведующий лаборатории должен
ехатьехать
bb) заведующий должен остаться.) заведующий должен остаться.

51. Задача №Задача № IIIIII
В классе учатся 16 мальчиков и 12В классе учатся 16 мальчиков и 12
девочек.девочек.
Для уборки территории нужноДля уборки территории нужно
выделить 4 мальчиков и 3 девочек.выделить 4 мальчиков и 3 девочек.
Сколькими способами это можноСколькими способами это можно
сделать?сделать?

52. Задача №Задача № IVIV
В библиотеке читателюВ библиотеке читателю
предложили на выбор 10 книг и 4предложили на выбор 10 книг и 4
журнала.журнала.
Сколькими способами он можетСколькими способами он может
выбрать из низ 3 книги и 2выбрать из низ 3 книги и 2
журнала?журнала?