Kapita Selekta Matematika

i
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA
MODUL PEMBELAJARAN
EDITOR
Drs. Budi Santoso M.Si
Elika Kurniadi, S.Pd., M.Sc
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2017

iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur tim editor panjatkan kehadirat Allah SWT , yang telah melimpahkan
berbagai nikmat-Nya sehingga tim editor dapat menyelesaikan modul ini. Shalawat serta
salam juga tak lupa tim editor haturkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW , yang
telah membawa umat manusia keluar dari zaman jahiliyah menuju zaman yang penuh dengan
IPTEK.
Modul ini merupakan hasil dari pembelajaran mata kuliah Kapita Selekta Matematika
yang disusun menjadi sebuah buku. Jadi tujuan utama penyusunan modul ini adalah sebagai
salah satu media pembelajaran matematika. Tim editor juga berharap , modul ini dapat
bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya .
Ucapan terima kasih tidak lupa penulis sampaikan kepada orang tua tim, dosen mata
kuliah Kapita Selekta Matematika , teman-teman , seluruh civitas akademika Unsri , dan juga
semua pihak yang telah membantu tim menyelesaikan modul ini.
Seperti kata pepatah , “Adat Periuk Berkerat, Adat Lesung Berdedak”, modul ini juga
masih sangat jauh dari sempurna . Oleh karena itu , kritik dan saran sangat tim editor harapkan
agar dapat memacu tim editor untuk menyusun buku yang jauh lebih baik pada buku-buku
yang akan datang . Semoga pembaca dapat menikmati dan mengambil manfaat dari modul ini
. Selamat membaca .
Indralaya , Maret 2016
Tim Editor

v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................................... iv
DAFTAR ISI ...........................................................................................................................v
PENDAHULUAN .................................................................................................................. ix
BAB 1.......................................................................................................................................1
LOGIKA MATEMATIKA....................................................................................................1
1.1. Pernyataan......................................................................................................................2
1.2. Negasi / Pernyataan Ingkaran ........................................................................................2
1.3. Pernyataan Majemuk .....................................................................................................3
1.4. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk .................................................................................5
1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi..................................................................................6
1.6. Kuantor Pernyataan .......................................................................................................6
1.7. Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor ...........................................................................6
LATIHAN SOAL .................................................................................................................8
BAB 2.....................................................................................................................................11
HIMPUNAN..........................................................................................................................11
2.1. Pengertian Himpunan ..................................................................................................13
2.2. Anggota Himpunan......................................................................................................13
2.3. Menyatakan Suatu Himpunan......................................................................................14
2.4. Macam-macam Himpunan...........................................................................................14
2.5. Diagram Venn..............................................................................................................15
2.7. Operasi pada Himpunan ..............................................................................................16
2.8. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan..............................................................................20
LATIHAN SOAL ...............................................................................................................22
BAB 3.....................................................................................................................................25
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS ...............................................................25
3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya...........................................................................................27
3.1.1. Pengertian Fungsi..................................................................................................27
3.1.2. Sifat-Sifat Fungsi...................................................................................................27
3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi..................................................................................................28
3.1.4. Fungsi Komposisi..................................................................................................32

vi
3.1.5. Fungsi Invers.........................................................................................................33
3.1.6. Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi...................................................................34
LATIHAN SOAL ...............................................................................................................34
BAB 4.....................................................................................................................................37
FUNGSI KUADRAT............................................................................................................37
4.1 Pengertian fungsi kuadrat .............................................................................................38
4.2 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................38
4.3 Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat terhadap Sumbu X................................................39
4.4 Menentukan Fungsi Kuadrat.........................................................................................41
4.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat ...............................................................................................41
LATIHAN SOAL...................................................................................................................42
BAB 5.....................................................................................................................................45
PERSAMAAN LINGKARAN.............................................................................................45
5.1 Definisi Lingkaran........................................................................................................47
5.2 Jarak Dua Titik .............................................................................................................47
5.3 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari..............................................48
5.4 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r...........................................49
5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik ..............................................................................51
5.6 Hubungan Antara Garis Dan Lingkaran ......................................................................52
5.7 Persamaan Garis Singgung......................................................................................55
5.8 Hubungan Antar Lingkaran ..........................................................................................63
LATIHAN SOAL ...............................................................................................................65
BAB 6.....................................................................................................................................67
PYTHAGORAS....................................................................................................................67
6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras.....................................................................69
6.2 Menemukan Teorema Phytagoras ................................................................................72
LATIHAN SOAL ...............................................................................................................76
BAB 7.....................................................................................................................................79
ARITMATIKA SOSIAL......................................................................................................79
7.1 Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, Dan Nilai Sebagian ..........................................80
7.2 Harga Pembelian Dan Harga Penjualan ..................................................................81
7.3 Untung Dan Rugi.....................................................................................................84
7.4 Diskon (Rabat), Bruto, Neto, Dan Tara...................................................................89

vii
7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan .........................................................................................90
LATIHAN SOAL ...............................................................................................................92
BAB 8.....................................................................................................................................97
PERBANDINGAN ...............................................................................................................97
8.1 Pengertian Perbandingan .............................................................................................98
8.2 Pengertian Skala ..........................................................................................................99
8.3 Terapan Perbandingan ...............................................................................................100
8.4 Jenis-Jenis Perbandingan...........................................................................................103
LATIHAN SOAL .............................................................................................................107
BAB 9...................................................................................................................................109
GENERALISASI DN POLA BILANGAN ......................................................................109
9.1 Generalisasi.................................................................................................................110
9.1.1 Pengertian.............................................................................................................110
9.1.2 Indikator ...............................................................................................................110
9.2 Pola Bilangan..............................................................................................................111
9.2.1 Pengertian.............................................................................................................111
9.3 Barisan Dan Deret Bilangan .......................................................................................113
9.3.1 Pengertian.............................................................................................................113
9.3.2 Jenis – Jenis.........................................................................................................114
LATIHAN SOAL .............................................................................................................119
BAB 10.................................................................................................................................123
KAIDAH PENCACAHAN ................................................................................................123
10.1 Pengertian Kaidah Pencacahan..............................................................................124
LATIHAN SOAL .............................................................................................................128
BAB 11.................................................................................................................................131
PELUANG...........................................................................................................................131
11.1 Peluang Suatu Kejadian.........................................................................................132
11.2 Peluang Kejadian Majemuk...................................................................................136
LATIHAN SOAL .............................................................................................................139
BAB 12.................................................................................................................................143
SISTEM KOORDINAT KARTESIUS.............................................................................143
12.1 Menentukan Posisi Titik ........................................................................................145
12.1.1 Posisi Titik terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y...................................................145

viii
12.1.2 Posisi Titik terhadap Titik Asal (0,0) dan Titik Tertentu (a,b) ..........................147
12.2 Menentukan Posisi Garis .......................................................................................150
12.2.1 Posisi Garis terhadap Sumbu-X dan Sumbu-Y..................................................150
LATIHAN SOAL .............................................................................................................152
PEMBAHASAN..................................................................................................................156
PENUTUP...........................................................................................................................191
PROFIL TIM EDITOR .....................................................................................................193
PROFIL HIMMALAYA 2015...........................................................................................194
DAFTAR PUSTAKA ........................................................... Error! Bookmark not defined.

ix
PENDAHULUAN
 LATAR BELAKANG
Kebanyakan siswa menganggap Matematika adalah pelajaran yang sulit. Pada
dasarnya Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang logika berpikir. Soal sesulit
apapun akan menjadi mudah jika mahasiswa memiliki logika berpikir yang baik. Sama halnya
dengan buku yang kami buat berjudul “KAPITA SELEKTA MATEMATIKA”. Untuk
menjawab soal-soal yang ada di dalam buku ini sendiri tentu setiap siswa harus memiliki
kecakapan dalam menganalisi semua data yang di peroleh dengan system logika berpikir yang
baik.
 TUJUAN
Untuk memudahkan siswa untuk belajar dan memahami konsep dari
pelajaran Matematika itu sendiri.

1 | K A P I T A S E L E K T A M A T E M A T I K A
BAB 1
LOGIKA MATEMATIKA
PETA KONSEP

Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari
ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang
bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan
mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan
kesimpulan mana yang benar atau salah.
1.1. Pernyataan
Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya
terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak
bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan
sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar
atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu
pernyataan tertutup dan terbuka.
A. Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai
benar-salahnya.
B. Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai
benar salahnya.
Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:
 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
 Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
1.2. Negasi / Pernyataan Ingkaran
Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan,
negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan
pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:
Pernyataan Negasi

Becak memiliki tiga buah roda Tidak benar bahwa becak memiliki tiga buah
roda
1.3. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi ,
implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:
a. Konjungsi
Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan
menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukkan
logika yang berlaku dalam sistem konjungsi:
P Q p^ q Logika matematika
B B B Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B S S Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S B S Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S S S Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah
Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungsi, kedua
pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap
salah.
b. Disjungsi
Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat
dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya,
perhatikan tabel di bawah ini:
P Q p v q Logika matematika

B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B S B Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S B B Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S S S Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah
Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau
kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar.
Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.
c. Implikasi
Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan
akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'.
Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:
P Q p => q Logika matematika
B B B Jika p BENAR lalu q BENAR maka dianggap BENAR
B S S Jika p BENAR lalu q SALAH maka dianggap SALAH
S B B Jika p SALAH lalu q BENAR maka dianggap BENAR
S S B Jika p SALAH lalu q SALAH maka dianggap BENAR
d. Biimplikasi
Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai
sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah.
Biimplikasi ditunjukan dengan symbol dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'
P Q p q Logika matematika

B B B
p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR
(dianggap benar)
B S S
p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH
(dianggap salah)
S B B
p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR
(dianggap salah)
S S B
p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH
(dianggap benar)
1.4. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam
konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui
negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi
dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:
Pada ekuivalensi pernyataan majemuk, jika semua hasil pernyataan menyatakan
benar, maka hasilnya disebut dengan Tautology. Sedangkan jika semua hasil pernyataan
menyatakan salah, maka disebut Kontradiksi.

1.5. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan
implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar
bawah ini:
1.6. Kuantor Pernyataan
Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep
kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.
a. Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau
semua.
b. Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada,
sebagian, beberapa, atau terdapat.
1.7. Ingkaran Dari Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor
universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah
ini:
1.8. PenarikanKesimpulan

Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan
yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di
dalam logika matematika berikut ini:
a. Modus Ponens
b. Modus Tollens
c. Silogisme

LATIHAN SOAL
1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di bawah ini:
"Jika hari ini hujan maka Wayan mengendarai mobil"
2. Tentukanlah kesimpulan dari dua buah premis berikut:
premis 1 : Jika harga BBM turun maka harga cabai turun
premis 2 : Harga cabai tidak turun
Maka kesimpulan dari premis di atas adalah "Harga BBM tidak turun"
3. Negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan
rajin.” adalah ?
4. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang-layang maka AC tegak lurus BD".
Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ...
5. Perhatikan premis berikut :
(1) Jika Taylor Swift konser di Jakarta, maka Reza akan menonton
(2) Jika Reza menonton, maka ia akan senang
Invers dari kesimpulan di atas adalah ...
6. Diketahui premis-premis :
(1) Jika Rani menjadi juara kelas dan menjuarai olimpiade nasional, Ibu akan
menyekolahkan Rani ke luar Negeri.
(2) Ibu tidak menyekelohkan Rani ke luar Negeri.
Kesimpulan yang sah adalah ....
7. Diketahui pernyataan :
(1) Jika hari panas, maka Dian memakai topi
(2) Dian tidak memakai topi atau ia memakai payung
(3) Dian tidak memakai payung
Kesimpulan yang sah adalah ...
8. Suatu pernyataan "Jika ABCD layang-layang maka AC tegak lurus BD". Pernyataan
yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah ...

9. Dari argumentasi berikut :
Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum.
Kesimpulan yang sah adalah ...
10. Perhatikan premis berikut :
(1) Jika Aldi giat belajar, maka ia bisa menjadi juara
(2) Jika bisa menjadi juara, maka ia boleh ikut liburan. Kesimpulan yang sah adalah
...

Andy Maulana
Sondang Meriapul Kristiani Sitohang
Iga Octriana
Rati Septyani

BAB 2
George Cantor (1845-1918) dianggap
sebagai Bapak teori himpunan, karena beliaulah
yang pertama kali mengembangkan cabang
matematika ini. Ide-idenya tentang teori himpunan
dapat memuaskan keinginan publik terutama idenya
tentang himpunan tak berhingga (infinit) (himpunan
yang banyak anggotanya tak berhingga).
Sekitar tahun 1867 dan 1871, Cantor
menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat penting
terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu
Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara mereka. Sekitar tahun 1873-
1879, banyak huruf yang diawetkan meskipun hanya sedikit membahas tentang matematika
yang dijelaskan Dedekind secara abstrak yang mana mengembangkan ide-ide dari Cantor.
Cantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide
Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional. Sekitar tahun 1874,
Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan.
PETA KONSEP
TOKOH INSPIRASI

2.1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang
jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
Contoh:
1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11.
Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10.
Jadi A = {2,4,6,8,10}
2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Jadi B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3. C adalah himpunan nama bulan yang huruf depannya J
Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli
Jadi C = {Januari, Juni, Juli}
2.2. Anggota Himpunan
Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan.
Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∈ dan jika bukan anggota himpunan dinyatakan
dengan notasi ∉.
Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).
Contoh:
A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis:
A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7}
maka 2 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A sedangkan 1 ∉ A, 4 ∉ A, 6 ∉ A, 8 ∉ A, 9 ∉ A
Banyak anggota himpunan A adalah n(A) = 4

2.3. Menyatakan Suatu Himpunan
Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara :
1. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya
2. Memberikan notasi pembentuk himpunan
3. Mendaftarkan anggota-anggotanya
No Dengan kata-kata Notasi pembentuk
himpunan
Mendaftarkan
anggotanya
1 A adalah himpunan bilangan genap
dibawah 10
𝐴 = {𝑥|𝑥 < 10
∈ 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝}
A= {2,4,6,8}
2 B adalah himpunan keliapatan 5
dibawah 10
𝐵 = {𝑥|𝑥 < 10
∈ 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 5}
B={5,10,15}
2.4. Macam-macam Himpunan
1. Himpunan kosong
Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan { } atau ∅
contoh:
P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K.
Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ }
2. Himpunan terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas
contoh:
P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4}
3. Himpunan tak terhingga
Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.
contoh:
Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...}
4. Himpunan semesta
Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan “S”.

contoh:
R={1,2,3,4,5}
Himpunan semesta yang mungkin adalah:
S={bilangan asli di bawah 10}, S={Bilangan cacah} dsb.
5. Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A
menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A ⊂ B.
contoh:
A={2,4}
B={1,2,3,4,5}
maka A ⊂ B
Himpunan A dengan banyak anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang
mungkin dari himpunan itu sebanyak 2𝑛(𝐴)
contoh:
Banyak himpunan yang mungkin dari himpunan A adalah :
2𝑛(𝐴)
= 23
= 8
Himpunan bagian dari A adalah:
{ }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
6. Himpunan Ekuivalen
Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan
contoh:
n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B
2.5. Diagram Venn
Diagram Venn adalah suatu diagram yang digunakan untuk meyatakan sebuah
himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.

Aturan untuk membuat diagram Venn:
1. Himpunan semesta digambarkan dalam sebuah persegipanjang, simbol S ditulis pada pojok
kiri atas.
2. Setiap himpunan yang dibicarakan ditunjukkan dengan gambar berupa kurva tertutup
sederhana.
3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah atau titik
Contoh:
S= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
A={2,4,6,8,10,12}
B={10,12,14,16,18,20}
Diagram Vennnya:
S A B
·2 ·14
·4 ·6 ·10 ·16
·8 ·12 ·18 ·20
2.7. Operasi pada Himpunan
1. Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.
Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan:
A ∩ B = {x| x ∈ A dan x ∈ B}

Daerah yang diarsir merupakan daerah A ∩ B
Contoh:
Diketahui:
A={bilangan ganjil kurang dari 10}
B={bilangan prima kurang dari 10}
carilah A ∩ B dan gambar diagram Vennnya!
Jawab:
A ={1,3,5,7,9}
B ={2,3,5,7}
A ∩ B = { 3,5,7 }
Diagram Vennnya:
S A B
·1
·9 ·3
·5 ·2
·7

2. Gabungan Himpunan
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja.
Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan:
A ∪ B = {x| x ∈ A atau x ∈ B}
Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan A ∪ B
contoh:
Diketahui:
A={faktor prima dari 30}
B={Nilai genap dibawah 10}
Tentukan A ∪ B dan gambar diagram Vennnya!
Jawab:
A={2,3,5}
B={2,4,6,8}
A ∪ B ={2,3,4,5,6,8}
Diagram Vennnya:
S A B
·3 ·4
·5 ·2 ·6
·8

3. Selisih Himpunan
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi
anggota B.
Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan: A – B, dibaca A kurang B
contoh:
Diketahui:
A={1,2,3,4,5}
B={4,5,6,7,8}
Tentukan A – B!
Jawab:
A-B = {1,2,3,4,5} - {4,5,6,7,8} = {1,2,3}
4. Jumlah Himpunan
Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan dimana anggotanya adalah
gabungan A dan B tetapi bukan irisan A dan B.
contoh:
Diketahui:
A={a,b,c,d,e,f}
B={d,e,f,g,h,i}

Tentukan A + B!
Jawab:
A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i}
5. Komplemen
Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen dari
himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan
anggota himpunan A. Komplemen A dinotasikan A’ dengan atau Ac
contoh:
S={1,2,3,4,5,6}
A={4,5,6}
tentukan Ac !
Jawab:
Ac= {1,2,3}
2.8. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
1. Komutatif.
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
2. Asosiatif
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
3. Distributif
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

4. Dalil De Morgan
Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan
anggota A dan dilambangkan dengan Ac.
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
(A ∪ B)c = Ac ∩
Contoh Soal :
Dalam sebuah kelas terdapat 48 anak. 23 orang suka matematika, 35 orang suka fisika dan
14 orang suka kedua-duanya. Berapakah jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya?
Jawaban :
diagram ven
Mari kita lihat gambar di atas. Soal diatas bisa dibuat menjadi diagram ven.
M = anak yang suka matematika
F = anak yang suka fisika
X = anak yang tidak suka kedua-duanya. Kalau tidak suka harus ditempatkan diluar lingkaran.
Dalam soal ada anak yang suka kedua-duanya, berarti kedua lingkaran M dan F saling
berpotongan dan ditengahnya diisi dengan angka 14, yaitu jumlah anak yang suka kedua-
duanya (angka berwarna biru).
Kemudian dicari jumlah anak yang suka matematika saja, yaitu dengan mengurangkan
jumlah anak yang suka matematika dengan jumlah anak yang suka kedua-duanya, yaitu 23-
14.

Sekarang dicari jumlah anak yang suka fisika saja, yaitu anak yang suka fisika
dikurangi dengan anak yang suka kedua-duanya, yaitu 35-14.
Langkah terakhir adalah menjumlakan semuanya
48 = (23-14) + (35-14) + 14 + x
48 = 9 + 21 + 14 + x
48 = 44 + x
48 - 44 = x
4 = x
Jadi jumlah anak yang tidak suka kedua-duanya adalah 4 orang.
LATIHAN SOAL
1. A = {Nama-nama bulan pada kalender}
Berapa elemen dari A?
2. Tentukan himpunan semesta dari
M = {Mawar, Melati, Anggrek, Tulip}
3. Subset dari
a. X = {m,n}
b. Y = {2,4,6,8}
4. Gambarkan diagram venn untuk
P = {bilangan genap}
Q = {bilangan riil}
5. Diberikan
Semesta = {bilangan antara 21 dan 37}
A = {kelipatan 5}
B = {bilangan ganjil}
Tentukan 𝐴 ∩ 𝐵
Jumlah anak = jumlah anak yang hanya suka matematika + jumlah anak yang suka
fisika + jumlah anak yang suka kedua-duanya + jumlah anak yang tidak suka kedua-
duanya

6. A = {1,3,5,7,9}
B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
C = {2,4,6,8}
Tentukan 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
7. Diketahui
K={bilangan prima antara 2 dan 12}
L={4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}
Dit: K∩ 𝐿?
8. Dalam sebuah kelas terdapat 17 orang gemar matematika,15 gemar fisika,8 siswa
gemar keduanya.Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah…
9. Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang
mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain
voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut.
Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.
Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.
Banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang
10. Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan
ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih
PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang
hanya memilih PMR saja dan KIR saja.

Dea Maria Neli Saragih
Dita Larissa
Melia Kartika
Qonita Amyra Nisrina

BAB 3
Mengenai sejarah fungsi ini memang sangat tua sekali, hampir setua ilmu matematika
itu sendiri, hal itu dikenal sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau
perkataan lainnya perluasan pokok masalah.
Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang, adalah tentang
bilangan: pernyataan bahwa dua jenis binatang (sebagai contoh : kambing & unta) memiliki
jumlah yang sama, kemudian dari segi administrasi, pada jaman nabi sulaeman dulu jelas
melakukan perhitungan matematika yang didalamnya termasuk fungsi misalnya begini
f(kunci) = 500 gudang karena didalam gudang terdapat kunci -kunci penyimpanan beras dsb,
jelas ini memakai fungsi sebagai perhitungannya, hanya tidak dibukukan atau tidak tercatat
dalam sejarah.

PETA KONSEP
FUNGSI
A. FUNGSI DAN
JENIS-JENISNYA
B. OPERASI
ALJABAR PADA
FUNGSI
C. FUNGSI
KOMPOSISI
D. FUNGSI
INVERS
E. FUNGSI
INVERS DARI
FUNGSI
SIFAT-SIFAT
FUNGSI KOMPOSISI
TEOREMA FUNGSI
INVERS
PENGERTIAN
FUNGSI
SIFAT-SIFAT
FUNGSI
FUNGSI-FUNGSI
KHUSUS

3.1 Fungsi Dan Jenis-Jenisnya
3.1.1. PengertianFungsi
Fungsi atau pemetaan f dari A ke B adalah pemasangan setiap unsur di A ke tepat satu
unsur di B, dengan A, B himpunan tak kosong. Himpunan A disebut daerah asal (domain)
dilambangkan dengan D dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dilambangkan
dengan K. Sementara itu, himpunan semua peta dari himpunan A di B disebut daerah hasil
(range) dan dilambangkan dengan R. Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil,
seperti f, g dan h.
Misalnya f adalah fungsi yang memetakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis f : A → B
Contoh:
Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan
daerah asal A = {a,b,c}
daerah kawan B = {x,y,z}
f(a) = x; f(b) = y; f(c) = z, sehingga didapat range
(daerah hasil) H = {x,y,z}
3.1.2. Sifat-SifatFungsi
a. Fu ngsi Satu-Satu
f : A → B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsure yang berbeda di A
memiliki peta yang saling beda. Fungsi satu-satu digambarkan sebagai berikut.
b. Fungsi Pada
f : A → B merupakan fungsi pada (surjektif) jika setiap unsur di B memiliki prapeta di
A. Gambar berikut merupakan contoh fungsi pada.

c. Fungsi Satu-Satu dan Pada
f : A → B merupakan fungsi satu-satu dan pada (bijektif) hanya jika f satu-satu dan
pada.
3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi
a. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila
untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.
Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}.
Sehingga, gambar grafiknya.
b. Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax +
b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan
contoh berikut.
Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya

c. Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2
+ bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut.
Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3, gambar grafiknya.
d. Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik
fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun
ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih memahami tentang
fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini.
Fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).

b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3).
f(x) = x
f(–2) = –2
f(0) = 0
f(1) = – 1
f(3) = 3
b. Gambar grafik.
e. Fungsi tangga (bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-
interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Diketahui fungsi:
Tentukan interval dari:
a. f(–2)
b. f(0) e. gambar grafiknya.
c. f(3)
d. f(5)
e. gambar grafiknya.

Penyelesaian:
a. f(–2) = –1
b. f(0) = 0
c. f(3) = 2
d. f(5) = 3
e. Gambar grafik
f. Fungsi modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih
memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut.
f : x → | x | atau f : x → | ax + b |
f(x) = | x | artinya:
Gambar grafiknya

3.1.4. FungsiKomposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan
menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o"
(komposisi/bundaran). Fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Sifat-sifat Fungsi Komposisi:
- Tidak Komutatif: (g o f)(x) = (f o g)(x)
- Asosiatif: (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
- Fungsi Identitas I(x) = x : (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui :
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat
menentukan fungsi g. Demikian juga sebaliknya.
Contoh:
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
(f o g) (x) = -4x + 4
f (g (x)) = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x) = -4x + 2
g (x) =
−4x + 2
2
g (x) = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

3.1.5. FungsiInvers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f
merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A→ B adalah
f-1: A → B. Dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x)
begitupun sebaliknya.
Teorema fungsi invers
Misalkan f : A → B adalah fungsi bijektif f-1: B → A menyatakan fungsi invers dari f
yang juga bijektif.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
1. Ubah persamaan y = f (x) kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y)
2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y)= g(y)
3. Ubah huruf y menjadi x sehingga [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Grafik fungsi f-1 (x) adalah pencerminan dari grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x
Rumus Fungsi Invers
f(x) f-1(x)
𝑎𝑥 + b 𝑥−𝑏
𝑎
ax2
+ bx + c −𝑏±√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
−𝑑𝑥+𝑏
𝑐𝑥−𝑎
𝑎𝑥𝑛
+ 𝑏 𝑥−𝑏
𝑎
1
𝑛
√𝑎𝑥 + 𝑏
𝑛 𝑥𝑛
−𝑏
𝑎
𝑎𝑏𝑥+𝑐 −𝑐+𝑎𝑙𝑜𝑔 𝑥
𝑏
alog (𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑎𝑥
−𝑐
𝑏
f(x) = y f-1(y) = x

3.1.6. FungsiInvers Dari FungsiKomposisi
 Teorema 1: Jika f : A → B bijektif dan f-1 adalah fungsi invers dari f, maka f-1 o f= f o f-1= I,
dengan I fungsi identitas.
 Teorema 2: Jika f : A → B bijektif dan g : B → A bijektif sehingga g o f = f o g = I, maka g
= f-1.
 Teorema 3: Misalkan f : A → B bijektif dan g : B → C bijektif, maka g o f = A → C bijektif
dan fungsi inversnya (g o f)-1 = f-1 o g-1. Sehingga, (f o g o h)-1= h-1 o g-1 o f-1, jika f, g, dan h
bijektif.
LATIHAN SOAL
1. Diketahui f(x) = x2 + 4x dan g(x) = -2 + √(x + 4) dengan x ≥ -4 dan x bilangan real.
Fungsi komposisi (g o f)(x) adalah ...
A. 2x - 4
B. x - 2
C. x + 2
D. x
E. 2x
2. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan ...
A. x2 + 5x + 5
B. x2 + x - 1
C. x2 + 4x + 3
D. x2 + 6x + 1
E. x2 + 3x - 1
3. Diketahui f(x) = -(2 - 3x)/ 2, maka f-1(x) sama dengan ...
A. 2/3 (1 + x)
B. 2/3 (1 - x)
C. 3/2 (1 + x)
D. -2/3 (1 + x)
E. -3/2 (x - 1)

4 .Invers dari fungsi f(x) = (7x + 5)/(3x - 4), x ≠ 4/3 adalah ...
A. (4x + 5)/ (3x - 7), x ≠ 7/3
B. (7x + 5)/ (3x + 4), x ≠ -4/3
C. (5x + 7)/ (4x - 3), x ≠ 3/4
D. (7x + 4)/ (3x - 5), x ≠ 5/3
E. (7x + 4)/ (3x + 5), x ≠ -5/3
5. Jika g(x) = x + 1 dan (f o g)(x) = x2 + 3x + 1 maka f(x) sama dengan ...
A. X2 + 5x + 5
B. X2 + X - 1
C. X2 + 4X + 3
D. X2 + 6X + 1
E. X2 + 3X – 1
6.jika g(x + 1) = 2x - 1 dan f(g(x + 1)) = 2x + 4, maka f(0) sama dengan ...
A. 6
B. 5
C. 3
D. -4
E. -6
7. Diketahui f(x) = - 2x + 3 dan g(x) = x2 - 4x + 5. Komposisi fungsi g o f(x) =...
A. 4x2 - 4x + 2.
B. 4x2 - 4x + 7.
C. 4x2 - 6x + 7.
D. 4x2 + 2x + 2.

E. 4x2 + 8x + 2.
8. Diketahui fungsi f : R → R, g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x - 1 dan g(x) =
(x + 3) / (2 - x), x ≠ 2. Fungsi Invers dari f o g(x) = ....
A. (2x + 4) / (x + 3)
B. (2x - 4) / (x + 3)
C. (2x + 4) / (x - 3)
D. (3x - 2) / (2x + 2)
E. (3x - 3) / (-2x + 2)
9.Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = (x - 3) / (x + 1), x ≠ - 1. Invers dari g o f(x)
adalah...
A. (4x + 1) / (3x + 4)
B. (4x - 1) / (-3x + 4)
C. (3x - 1) / (4x + 4)
D. (3x + 1) / (4 - 4x)
E. (3x + 1) / (4x + 4)
10.Diketahui f : R → R, g : R → R, f(x) = x2 + x - 1 dan g(x) = 2x + 1. Hasil dari f o
g(x) adalah...
A. 2x2 + 2x - 1
B. 2x2 - 2x - 1
C. 4x2 + 6x + 1
D. 4x2 + 2x + 1
E. 4x2 + 6x - 1

BAB 4
FUNGSI KUADRAT
PETA KONSEP
Pengertian
FungsiKuadrat
FUNGSI
KUADRAT
Menentukan
Fungsi Kuadrat
Kedudukan Fungsi
Kuadrat
Meggambar Grafik
Fungsi Kuadrat
Aplikasi Fungsi
Kuadrat
Menentu-
kan Titik
Potong
Menentu-
kan Titik
Puncak
Berdasar-
kan Tanda a
Berdasar-
kan Tanda
D = b2- 4ac

4.1 Pengertian fungsi kuadrat
Suatu fungsi dalam himpunan bilangan rill yang dinyatakan dengan
rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat
berbentuk parabola simetris.
4.2 Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Berikut ini adalah langkah-langkah untuk melukis grafik fungsi kuadrat.
1. Menentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat
a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 atau ax2 + bx + c = 0.
Bila D > 0, x1 ≠ x2. Grafik memotong sumbu X di dua titik yaitu (x1,0)
dan (x2,0).
Bila D = 0, x1 = x2. Grafik memotong sumbu X di satu titik yaitu (x1,0).
Grafik yang sedemikian menyinggung sumbu x.
Bila D < 0, tidak ada nilai yang memenuhi. Ini berarti grafik tidak
memotong sumbu x.
b. Titik potong grafik dengan sumbu Y, jika x = 0.
y = ax2 + bx + c = a(0)2 + b(0) + c = c
Jadi,titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c).
2. Menentukan Titik Puncak
Untuk menentukan titik puncak kita dapat mengubah fungsi kuadrat menjadi
bentuk kuadrat sempurna.
y = ax2 + bx + c = a(x2 +
b
a
x) + c = a(x2 +
b
a
x +
b2
4a2 -
b2
4a2 ) + c
= a(x2 +
b
a
x +
b2
4a2 )–
b2
4a2 + c = a(x +
b
2a
)2 +
− ( b2
− 4ac)
4a
= a (x +
b
2a
)2 +
−D
4a
Dari bentuk kuadrat sempurna tersebut diperoleh bahwa nilai( x +
b
2a
)2
tidakakan pernah negative berapa pun nilai x. Sehingga nilai fungsi akan
maksimum/minimum untuk x +
b
2a
= 0 atau x = −
b
2a
dan nilai
maksimum/minimum fungsi adalah y =
−D
4a
.

Jadi, titik puncak fungsi kuadrat adalah (−
b
2a
−
D
4a
).
4.3 Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat terhadap Sumbu X
Kedudukan grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c terhadap sumbu X
ditentukan oleh tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D = b2 – 4ac.
Secara umum tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari diskriminan D dapat
ditetapkan sebagai berikut.
1. Berdasarkan tanda a
Jika a > 0, maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum atau
parabolanya terbuka keatas.
Jika a < 0, maka grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum atau
parabolanya terbuka ke bawah.
Persamaan sumbu simetri parabola : x = −
b
2a
.
Nilai ekstrim (maksimum/minimum) parabola : y = −
D
4a
.
2. Berdasarkan tanda D = b2- 4ac
Dengan menggabungkan tanda-tanda dari a dan tanda-tanda dari
diskriminan D, kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c terhadap
sumbu X dapat diperhatikan padagambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, kedudukan fungsi kuadrat terhadap sumbu X
dapat ditetapkan sebagai berikut.
a. Jika a > 0 dan D > 0, maka parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu
X di dua titik yang berlainan.
b. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke atas dan menyinggung
sumbu X. Dikatakan parabola di atas dan pada sumbu X untuk setiap x ∈
R.
Secara aljabar dapat dikatakan:
Bentuk aljabar ax2 + bx + c ≥ 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx
+ c tidak pernah negative untuk setiap x ∈ R.
c. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke atas dan tidak memotong
maupun menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola selalu berada di atas
sumbu X untuk setiap x ∈ R.
Secara aljabar dapat dikatakan :
Bentuk ax2 + bx + c > 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c
disebut definit positif.
d. Jika a <0 dan D > 0, maka parabola terbuka ke bawah dan memotong
sumbu X di dua titik yang berlainan.
e. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola terbuka ke bawah dan menyinggung
sumbu X. Dikatakan parabola di bawah dan pad asumbu X untuk setiap
x ∈ R.
Secara aljabar dapat dikatakan:
Bentuk aljabar ax2 + bx + c ≤ 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx
+ c tidak pernah positif untuk setiap x ∈ R.

f. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan tidak
memotong maupun menyinggung sumbu X. Dikatakan parabola selalu
berada di bawah sumbu X untuk setiap x ∈ R.
Secara aljabar dapat dikatakan :
Bentuk ax2 + bx + c < 0 untuk setiap x ∈ R atau bentuk ax2 + bx + c
disebut definit negatif.
4.4 Menentukan Fungsi Kuadrat
Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat
sering kali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya adalah sebagai
berikut.
a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, 0) dan B(x2, 0) serta
melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan
sebagai :
y = f(x) = a (x – x1) (x – x2) dengan nilai a ditentukan kemudian.
b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A (x1, 0) dan melalui sebuah
titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:
y = f(x) = a (x –x1)2dengan nilai a ditentukan kemudian.
c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik pun cakatau titik balikP(xp, yp) dan
melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan
sebagai :
y = f(x) = a (x –xp)2+ yp dengan nilai a ditentukan kemudian.
d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3).
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai :
y = f(x) = ax2 + bx + c dengan nilai a, b dan c ditentukan kemudian.
4.5 Aplikasi Fungsi Kuadrat
Selain dalam matematika, fungsi kuadrat juga dapat diterapkan untuk
menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari.

LATIHAN SOAL
A. PILIHAN GANDA
1. Jika fungsi y = ax2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a2 – a
adalah:
a. 1/6
b. 1/3
c. 3
d. 10
e. 20
2. Apabila grafik fungsi y = kx2 + (k – 3)x – 4 seluruhnya dibawah sumbu x,
maka nilai k tidak mungkin sama dengan:
a. -10
b. -8
c. -6
d. -4
e. -2
3. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik-titik A(-2, 17).
B(1, 5) dan C(4, 11) mempunyai persamaan…
a. y = x2 + 3x – 7
b. y = x2 +3x – 3
c. y = x2 + 3x – 3
d. y = x2 + 3x – 3
e. y = x2 – 3x + 7
f. jawab: e. y = x2 – 3x + 7
4. Grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu y di titik:
a. (-8, 0)
b. (-4, 0)
c. (0, 8)
d. (0, -8)
e. (-4, 8)
5. Pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x – 12 adalah:
a. x = -1 atau x = 2

b. x = -3 atau x = -4
c. x = 1 atau x = -2
d. x = 1 atau x = 2
e. x = -3 atau x = 4
B. ESSAY
1. Tentukan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat y = 5x2 - 20x + 1!
2. Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)2 + 3!
3. Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y =
(x - 6) (x + 2).
4. Jika grafik fungsi y = x2 + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan
nilai p dan k.
5. Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 - x - 2 dengan
sumbu x dan sumbu y.

Bannati Khairani
Indah Sari
Raden Ayu Maudiana Sari
Rani Sembiln Sembilan S

BAB 5
Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah penemuan
mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap Mesir sebagai penemu
geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus Rhind, memberikan aturan untuk
menentukan area dari sebuah lingkaran yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar
3,16.
Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan dengan
Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan dengan sifat lingkaran
dan masalah inscribing dan escribing poligon.
Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah menemukan persegi
dengan wilayah yang sama sebagai sebuah lingkaran yang diberikan. Beberapa 'kurva
terkenal dalam tumpukan pertama kali dipelajari dalam upaya untuk memecahkan
masalah ini. Anaxagoras di 450 SM adalah matematikawan recored pertama untuk studi
masalah ini.
Masalah untuk menemukan luas lingkaran menyebabkan integrasi. Untuk
lingkaran dengan rumus yang diberikan di atas wilayah ini π^2 dan panjang kurva adalah
suatu 2π.
Pedal lingkaran adalah cardioid jika titik pedal diambil pada lingkar dan merupakan
limacon jika titik pedal bukan pada keliling.
Apollonius, pada sekitar 240 SM, efektif menunjukkan bahwa persamaan r
bipolar = kr 'merupakan sistem lingkaran koaksial sebagai k bervariasi. Dalam hal
persamaan bipolar mr^2 + nr^2 = c^2 merupakan sebuah lingkaran yang pusatnya
membagi ruas garis antara dua titik tetap dari sistem dalam rasio n ke m.Sejarah aljabar
dimulai di Mesir kuno dan Babilonia, di mana orang belajar untuk memecahkan linear
(ax = b) dan quadratic (ax^2 + bx = c) persamaan, sertapersamaan tak tentu seperti x^2
+ y^2 = z^2, dimana beberapa diketahui terlibat. Orang-orang Babilonia kuno dapat
memecahkan persamaan kuadrat dengan prosedur yang sama. Mereka juga bisa
memecahkan beberapa persamaan tak tentu.

PETA KONSEP

5.1 Definisi Lingkaran
Perhatikan gambar lingkaran di samping!
Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsur,
diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran .
O merupakan titik pusat.
OA, OB , dan OC adalah jari – jari .
Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang
yang sama. Sehingga, OA = OB = OC
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik
(himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu
adalah sama ( konstan ) .
Titik tertentu disebut pusat lingkaran, dan jarak konstan disebut jari – jari lingkaran.
5.2 Jarak Dua Titik
Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih dahulu
mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema Phytagoras, kita dapat
menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,)
.
0
y
x
A(x1,y1)
C
B(x2,y2)
O
A
B
C

Pada segitiga ABC di atas, berlaku :
𝐴𝐵² = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐶²
𝐴𝐵² = (𝑥2 − 𝑥1)2
+ (𝑦2 − 𝑦1)²
𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik
tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan pusat
O(0,0) dan jari – jarinya r.
5.3 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari
Misalkan titik P(x0,y0) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran, maka:
𝑂𝑃 = 𝑟
√(𝑥0 − 0)2 + (𝑦0 − 0)2 = 𝑟
(𝑥0 − 0)2
+ (𝑦0 − 0)2
= 𝑟2
𝑥0
2
+ 𝑦0
2
= 𝑟2
Y
X
P(x0,
O

(𝒙 − 𝒂)𝟐
+ (𝒚 − 𝒃)𝟐
= 𝒓𝟐
Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0 pada x0 dan
y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
.
Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
5.4 Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari
r
Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P (x0,y0)
adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan menggunakan definisi lingkaran
didapat :
𝑀𝑃 = 𝑟
√(𝑥0 − 𝑎)2 + (𝑦0 − 𝑏)2 = 𝑟
(𝑥0 − 𝑎)2
+ (𝑦0 − 𝑏)2
= 𝑟2
Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :
O
P ( x0,y0 )
M (a,b)
Y
X

5.2 Bentuk Umum PersamaanLingkaran
Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa dapat
menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai berikut :
Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah
(x-a)2+ (y-b)2 = r2
 x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
 x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0
Bila -2a = A, -2b = B dan C = a2 + b2 – r2, maka persamaan
x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0 dapat ditulis sebagai :
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Dengan demikian bila diketahui persamaan lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka :
𝑥2
+ 𝐴𝑥 + (
1
2
𝐴) ² + 𝑦2
+ 𝐵𝑦 + (
1
2
𝐵)² + 𝐶 − (
1
2
𝐴) ² − (
1
2
𝐵) ² = 0
(𝑥 +
1
2
𝐴)2
+ (𝑦 +
1
2
𝐵)
2
=
1
4
𝐴2
+
1
4
𝐵2
− 𝐶
Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari lingkaran.
Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah 𝑃 (−
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵) dan jari – jari
lingkaran 𝑅 = √
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶,
𝑅 = −√
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶 tidak diambil, karena jari – jari lingkaran selalu positif.

5.5 Hubungan Lingkaran Dengan Titik
Ada 3 kemungkinan kedudukan titik terhadap lingkaran :
1. Titik di luar lingkaran,jika kuasa titik (K) > 0
2. Titik pada lingkaran,jika kuasa titik (K) = 0
3. Titik di dalam lingkaran,jika kuasa titik (K) < 0
Kuasa titik (K) terhadap lingkaran :
Definisi :
1. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah bilangan yang di dapat dari pemetaan
koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran umum.
2. Kuasa titik terhadap lingkaran adalah kuadrat jarak antara titik itu ke titik singgung
dari garis pada lingkaran.
Contoh :
1. Diketahui persamaan x2 + y2 = 9 dan titik P (5,1)
Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 9 adalah :
K = 25 + 1 – 9 = 17
K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran
A.
Menurut definisi (2) K = PQ2
Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17
Jika ada sebuah titik dengan nama O (0,0) maka kemungkinan posisinya terhadap
lingkaran

x2 + y2 = r2 maka
Hub. titik P (x1,y1) Terhadap Lingkaran Berlaku Jika
Di dalam lingkaran x1
2+y12 < r2
Terletak di Lingkaran x1
2+y12 < r2
Di Luar Lingkaran x1
2+y12 < r2
Kedudukan titik Q ( x,y ) terhadap lingkaran dengan pusat P ( a,b ) dan jari-jari r
memenuhi :
( 1 ) Terletak di dalam Lingkaran → ( x – a )2 + ( y – b )2 < r2
( 2 ) Terletak pada Lingkaran → ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2
( 3 ) Terletak di luar Lingkaran → ( x – a )2 + ( y – b )2 > r2
5.6 Hubungan Antara Garis Dan Lingkaran
P
Y
X
A
C
B
0
𝒍𝟏
𝒍𝟑
𝒍𝟐

Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran,
misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis 𝑙1 yang memotong
lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis 𝑙2 yang memotong lingkaran di
satu titik saja, yaitu titik C dan garis 𝑙3 yang tidak memotong lingkaran.
GARIS KUASA
Garis kuasa adalah kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua
lingkaran. Cara mencari garis kuasa cukup dengan mengurangkan persamaan lingkaran
yang satu dengan lingkaran kedua. Jika kedua lingkaran berpotongan maka garis
kuasanya adalah garis potong kedua lingkaran. Jika kedua lingkaran sekonsentris
(pusatnya sama) maka tidak mempunyai garis kuasa.
Contoh gambar garis kuasa :
Pada gambar di samping, garis yang berwarna
merah adalah garis kuasa dari L1L1 dan L2L2.
Semua titik yang berada pada garis kuasa
misalnya titikAA dan BB, mempunyai kuasa
sama terhadap kedua lingkaran.
A. Posisi Garis Terhadap Lingkaran
1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda
A
B

D>0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda
2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut Garis Menyinggung
Lingkaran
D= 0 garis menyinggung pada satu titik
3. Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran
D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:
A

𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda
D= 0 garis menyinggung pada satu titik
D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
5.7 Persamaan Garis Singgung
5.7.1 DefinisiGaris Singgung
Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik
tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu
tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!
 g ≡ Garis singgung
 A(x1,Y1) titik singgung
 𝐴𝑃 ⊥ 𝑔
Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c. Persamaan Garis
singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti digambarkan berikut ini:
P(a,b)
r
A(x1,y2)
D=0 g≡Garis Singgung
O(0,0)

Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran
Garis singgung bergradien m
Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran
Y=mx+c T(x1,y1)
Y=m+c2
Y=m+c1
Y=m2x+c2
R(x1,y1)
Y=m1x+c1

5.7.2 PersamaanGaris Singgung MelaluiSatu titik pada Lingkaran
Persamaan garis singgung melalui A(x1,y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2
Perhatikan Gambar 6., garis k menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik A(x1,y1).
Garis singgung lingkaran k itu memiliki sifat tegaklurus terhadap garis OA.
Titik O(0,0) dan A(x1,y1) , maka gari s OA memiliki gradien 𝑚1 =
𝑦1
𝑥1
.
Karena garis k tegak lurus garis OA maka gradien garis singgung k adalah 𝑚2 =
−𝑥1
𝑦1
(kedua garis saling tegak lurus bila hasil kali gradiennya
m1.m2 = -1)
y
A(x1,y1)
x
Titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 ,maka x1
2 + y1
2 = r2 .
Selanjutnya,persamaan garis k yang melalui A(x1,y1) dengan gradien m2 adalah
y - y1 = m2 (x – x1 )
y - y1 =
−𝑥1
𝑦1
( x-x1)
𝑦1𝑦 − 𝑦1
2 = -x1x + x2
x1x .y1y = x1
2 + y1
2
x1x .y1y = r2
Dengan demikian diperoleh kesimpulan:

Jika titik A(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 , maka garis singgung lingkaran yang
melalui titik A adalah x1x+y1y = r2.
Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:
Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏)
= 𝑟2
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 +
1
2
𝐴(𝑥 + 𝑥1)
+
1
2
𝐵(𝑦 + 𝑦1) + 𝐶 = 0
Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui satu titik pada
lingkaran.
5.7.3 PersamaanGaris Singgung Bergradienm
Gradien ( m)
Ruas garis AB melalui titik-
titik A(3, 1) dan B(6, 2). Untuk
menentukan kemiringan ruas
garis AB, kita tentukan terlebih dahulu lebar, Δx, dan tingginya, Δy.
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 6 − 3 = 3

∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦2 = 4 − 1 = 3
Kemiringan ruas garis AB dapat ditentukan dengan membagi Δy dengan Δx.
Sehingga kemiringan ruas garis AB: Δy/Δx = 3/3 = 1. Kemiringan dari ruas garis ini
selanjutnya disebut gradien.
Gradien merupakan tingkat kemiringan ruas garis atapun garis. Gradien dapat
ditentukan dengan membagi Δy dengan Δx.
Dari kesimpulan tersebut, kita juga dapat menentukan gradien dari ruas
garis KL dan PQ. Gradien dari ruas garis KL adalah Δy/Δx = (7 – 3)/(2 – 0) = 4/2 = 2.
Sedangkan gradien dari ruas garis PQ adalah (5 – 6)/(3 – 1) = –1/2.
Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx
Garis yang memiliki persamaan y = mx melalui titik asal, O(0, 0). Karena
apabila kita substitusikan x = 0, maka kita dapatkan y = m(0) = 0. Untuk (x, y) titik selain
(0, 0) yang dilewati oleh garis y = mx, kita dapat menentukan gradien garis tersebut
sebagai berikut.
Gradien =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
𝑦−0
𝑥−0
=
𝑦
𝑥
=
𝑚𝑥
𝑥
= 𝑚
Perhitungan di atas dapat membawa kita untuk mengetahui gradien dari y = mx.
Apa yang dapat kita peroleh dari perhitungan di atas?
Gradien dari garis yang memiliki persamaan y = mx adalah m.
Sebagai contoh kita dapat menentukan gradien dari garis yang memiliki
persamaan y = 3xdan –2x = 5y. Dengan jelas kita dapat menentukan gradien dari y =
3x adalah 3. Bagaimana dengan gradien garis –2x = 5y? Untuk menentukan gradien garis
tersebut, kita ubah dulu persamaan garis tersebut menjadi bentuk y = mx.
-2x = 5y
5y = -2x

5𝑦
5
=
−2𝑥
5
Y = -
2
5
𝑥
Dari perhitungan tersebut kita dapat memperoleh bahwa gradien dari garis –2x = 5y
adalah –2/5.
Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c dan ax + by + c = 0
Misalkan dua titik K(x1, y1) dan L(x2, y2) dilalui oleh garis y = mx + c.
Maka y1 = mx1 + cdan y2 = mx2 + c. Sehingga gradien dari garis y = mx dapat ditentukan
sebagai berikut.
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 −𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
(𝑦2+𝑐)−(𝑦1+𝑐)
𝑥2−𝑥2
=
𝑚𝑥2+𝑐−𝑚𝑥1−𝑐
𝑥2−𝑥1
=
𝑚𝑥2−𝑚𝑥1
𝑥2−𝑥1
=
𝑚(𝑥2−𝑥1)
𝑥2−𝑥1
= m
Sehingga gradien garis yang memiliki persamaan garis y = mx + c adalah m,
yaitu koefisien dari x. Bagaimana dengan gradien dari garis yang memiliki persamaan
garis ax +by + c = 0?
Untuk menentukan gradien dari ax + by + c = 0, kita ubah dulu
persamaan ax + by + c = 0 menjadi bentuk y = mx + c, seperti berikut.
ax + by + c =0
by = -ax-c
y =
−𝑎𝑥−𝑐
𝑏
y = −
𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑐
𝑏
Dari uraian di atas, ax + by + c = 0 dapat diubah menjadi y = –a/b x – c/b.
Sehingga, gradien dari ax + by + c = 0 adalah –a/b.
Gradien dari garis y = mx + c adalah m, sedangkan gradien dari garis ax + by + c = 0
adalah –a/b.

Rumus persamaan garis singgung ini digunakan untuk mencari persamaan garis
singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis atau
unsur lain yang berhubungan dengan gradien. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah
Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Ubah bentuk persamaan ke (𝑥 −
𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
gunakan rumus
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
5.7.4 PersamaanGaris Singgung MelaluiTitik di Luar Lingkaran
Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara lain:
menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.
a. Menggunakan rumus
Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik 𝐴(𝑥1,𝑦1) pada lingkaran
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) adalah dengan
𝑚 =
(𝑦1 − 𝑏)(𝑥1 − 𝑎) ± √(𝑦1 − 𝑏)2 + (𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟2
(𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟2
b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m
Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu)
adalah garis melalui 𝐴(𝑥1,𝑦1) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgng
bergradien m.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥2
+ 𝑦2
= 25 yang malalui (7,1)
Jawab
Persamaan 1 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = 𝑚 (𝑥 − 7)
𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
Persamaan 2 : 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1+ 𝑚2

𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2 → 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
5√1 + 𝑚2 = 7𝑚 + 1
25(1 + 𝑚2 ) = 49𝑚2
− 14𝑚 + 1
25 + 25𝑚2
= 49𝑚2
− 14𝑚 + 1
24 − 14 − 24 = 0
(4𝑚 + 3)(3𝑚 − 4) = 0
𝑚1 = −
3
4
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 =
4
3
Persamaan Garis singgung 1
𝑚1 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
𝑦 = −
3
4
𝑥 − 7 (−
3
4
) + 1
4𝑦 = −3𝑥 + 21 + 4
3𝑥 + 4𝑦 = 25
Persamaan Garis singgung ke 2
𝑚2 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
𝑦 =
4
3
𝑥 − 7 (
4
3
) + 1
3𝑦 = 4𝑥 − 28 + 3
4𝑥 − 3𝑦 = 25

5.8 Hubungan Antar Lingkaran
a. Dua lingkaran yang saling berpotongan
Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :
Pada gambar a lngkaran 𝑙1 dan 𝑙2 berpotongan di dua titik yang berlainan
- Jika pusat lingkaran 𝑙2 berada di lingkaran 𝑙1, atau sebaliknya dikatakan 𝑙1 dan
𝑙2 berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i)
- Jika pusat lingkaran 𝑙2 di luar lingkaran 𝑙1 atau sebaliknya ,dikatakan 𝑙1 dan 𝑙2
berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)
b. Dua lingkaran yang saling menyinggung
b(i)
a (i) a(ii)
b (ii)
(i)

(b) 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan
Pada gambar b (i) lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di dalam sedangkan gambar b(ii),
lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di luar
c. Dua Lingkaran yang Tidak Saling Berpotongan dan Menyinggung
c (i)
(c) 𝑙1 dan 𝑙2 Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Pada gambar c(i), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung didalam
Pada gambar c(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung diluar
Jika lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka 𝑙1 dan 𝑙2
saling lepas.
(ii)
c (ii)
(i
)
(ii)

Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua
kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:
 Dua lingkaran sepusat atau kosentris
Lingkaran 𝑙1 dikatakan sepusat dengan lingkaran 𝑙2 , jika pusat lingkaran 𝑙1 berimpit
dengan pusat lingkaran 𝑙2 , tetapi jari – jari lingkaran 𝑙1 tidak sama dengan jari – jari
lingkaran 𝑙2
 Dua lingkaran berimpit
Lingaran 𝑙1 dikatakan berimpit dengan lingkaran 𝑙2 jika pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙1
sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙2
LATIHAN SOAL
1. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25 maka tentukan c !
2. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L
diputar 90° searah jarum jam terhadap titik O (0,0), kemudian digeser ke bawah
sejauh 5 satuan, maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !
3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di
(5,1 ) !
4. Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 −
1
2
ax + 4y − 12 = 0 melalui titik
(1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x − 2)2
+ (y + 1)2
= 13
dititik yang berabsis -1!
6. Tentukan nilai m supaya garis 3x – 4y + m = 0 menyinggung lingkaran
x2+y2=16
7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 -2x + 4y + 4 = 0 yang
tegak lurus garis 3x - 4y - 5=0
8. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu
Y !
9. Tentukan persamaan garis singggung yang melalui titik B (1,4) dan lingkaran
(x+3)2 + ( y-2)2 = 20
10. Lingkaran x2+y2-8x+2Ay+5 = 0 melalui titik (6,-1). Titik pusat lingkaran
tersebut adalah...

Aldillah Fatmawati
Fatria Anggita
Freti Lesiana
Muthmainah
BAB 6
PYTHAGORAS
TAHUKAH ANDA??
“JIKA ENGKAU INGIN HIDUP SENANG, MAKA HENDAKLAH ENGKAU RELA
DIANGGAP SEBAGAI TIDAK BERAKAL ATAU DIANGGAP BODOH”
(PYTHAGORAS)
Pythagoras (569-475
S.M) adalah seorang
agamawan dan filsuf di
Yunani yang
mengembangkan
matematika, astronomi
dan teori musik.

PETA KONSEP
TEOREMA
PYTHAGORAS
CARA MENEMUKAN TEOREMA
PYTHAGORAS
MATERI PRASYARAT TEOREMA
PYTHAGORAS
Kuadrat
Luas Persegi
Akar Kuadrat
Luas Segitiga
Siku-siku
Rumus
Definisi

6.1 Materi Prasyarat Teorema Phytagoras
Pernahkah kalian memerhatikan kerangka sebuah rumah yang dibuat dari kayu. Pada kerangka
rumah tersebut sebagian besar rusuk tegak lurus terhadap rusuk yang lain. Sudut-sudut yang terbentuk
pada rusuk yang saling tegak lurus tersebut merupakan sudut siku-siku. Dengan memanfaatkan
teorema Pythagoras, dapatkah kalian menentukan panjang dari rusuk-rusuk yang saling tegak lurus
tersebut?
Dalam Teorema Phytagoras melibatkan bilangan kuadrat dan akar kuadrat dalam sebuah segitiga.
Oleh karena itu, sebelum membahas Teorema Pythagoras, marilah kita mengingat kembali materi
kuadrat bilangan, akar kuadrat bilangan, luas daerah persegi, dan luas daerah segitiga siku-siku. Luas
daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah
luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi siku-siku segitiga tersebut.
a. Kuadrat
 Untuk menentukan kuadrat dari suatu bilangan adalah dengan cara mengalikan bilangan tersebut
dengan dirinya sendiri.
Contoh :
b. Akar Kuadrat
 Kebalikan dari kuadarat suatu bilangan adalah akar kuadrat.
Misalkan, bilangan p yang tak negatif diperoleh p2 = 16. Maka bilangan p dapat ditentukan dengan
menarik √16 menjadi p = √16. Bilangan p yang diinginkan adalah 4 karena 42 = 4 × 4 = 16. Bilangan
p = 4 dinamakan akar kuadrat dari bilangan 16. Jadi, akar kuadrat suatu bilangan adalah bilangan tak
negatif yang apabila dikuadratkan akan menghasilkan bilangan yang sama dengan bilangan semula.
Tentukan kuadrat dari
bilangan berikut!
a. 8,3 b. 12
Penyelesaian:
a. 8,32 = 8,3 × 8,3 = 68,89
b. 122 = 12 × 12 = 144

contoh :
c. Luas Daerah Persegi
D C
S
s
A s B
Pada gambar di atas tampak sebuah persegi ABCD yang panjang sisinya s satuan panjang.
Luas persegi ABCD = sisi х sisi
L = s х s
Contoh:
Tentukan luas persegi jika diketahui sisi sisinya berukuran 21 cm!
Tentukan akar kuadrat dari
√441 !
√441 = √21 x √21
= 21
L = s2
satuan luas
Penyelesaian:
L = s2
= 21 cm × 21 cm
= 441 cm2
Jadi luas persegi adalah 441 cm2.

d. Luas Segitiga Siku-siku
D C
l
A p B
Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang ABCD yang panjangnya p dan lebarnya l
satuan. Diagonal BD membagi persegi panjang ABCD menjadi dua buah segitiga siku-siku, yaitu Δ
ABD dan Δ BCD. Luas persegi panjang ABCD sama dengan jumlah luas Δ ABD dan Δ BCD.
Adapun luas Δ ABD sama dengan luas Δ BCD, sehingga diperoleh
luas Δ ABD = luas Δ BCD
=
1
2
luas persegi panjang ABCD
Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar l,
luas Δ ABD =
1
2
x p x l
atau
luas segitiga siku-siku =
1
2
x 𝑎𝑙𝑎𝑠 x 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

Contoh :
Tentukan luas segitiga jika diketahui alasnya berukuran 12 cm dan tingginya 5 cm!
6.2 Menemukan Teorema Phytagoras
Perhatikan contoh soal berikut!
Rayhan menapakkan kakinya ke arah Selatan sebanyak 8 kali, kemudian dilanjutkan ke arah Timur
sebanyak 6 kali. Dalam menapakkan kakinya,
Rayhan menempelkan tumit kaki kirinya pada ujung kaki kanannya, kemudian tumit kaki kanannya
ditempelkan pada ujung kaki kirinya, dan seterusnya. Berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya
jika ia mulai berjalan langsung tanpa berbelok dari tempat semula ke tempat terakhir?
Jika satu kotak mewakili 1 telapak kaki Rayhan, maka perjalanan
Rayhan dapat dengan mudah digambarkan pada kertas berpetak seperti berikut.
Penyelesaian:
L =
1
2
x alas x tinggi
=
1
2
× 12 cm x 5 cm
= 30 cm2
Jadi luas segitiga adalah 30 cm2.

Untuk menghitung berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya dari tempat semula ke tempat
terakhir, kita gunakan kertas berpetak lainnya sebagai bantuan
Dengan menghitung banyaknya kotak, berapakah panjang AB?
Apakah Δ ABC berupa segitiga siku-siku?
Berapa kotakkah luasnya?
Pada gambar di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan BC,
Dalam segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiri dari dua sisi yang saling tegak
lurus yang disebut sisi siku-siku, dan satu sisi dihadapan sudut siku-siku
disebut sisi miring atau juga disebut hipotenusa.

serta hipotenusanya adalah AC.
Perhatikan panjang sisi-sisi Δ ABC pada gambar di atas.
Apakah hipotenusa Δ ABC merupakan sisi terpanjang?
Kita gambar suatu persegi dengan sisi AB (8 kotak) pada kertas berpetak berwarna
merah. Berapakah luas persegi dengan sisi tersebut?
Gambar persegi dengan sisi BC (6 kotak) pada kertas berpetak
berwarna biru. Berapakah luas persegi dengan sisi
tersebut?
Gambar persegi dengan sisi terpanjang yaitu (10 kotak) pada kertas
berpetak berwarna kuning. Berapa luas persegi dengan sisi tersebut?
Perhatikan luas ketiga persegi tersebut. Apakah jumlah dua luas persegi yang kecil sama dengan luas
persegi terbesar?
Simpulan di atas, disebut sebagai Teorema Pythagoras.
Dalam segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-sikunya
sama dengan kuadrat hipotenusanya.
JAWAB

C
a
b
A c B
Jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan a panjang sisi miring, sedangkan b dan c panjang sisi siku-
sikunya maka berlaku :
Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi :
Jika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga sikusiku dengan a, b dan c bilangan asli, maka a, b, c
disebut bilangan Tripel Pythagoras.
Contoh :
Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 15 cm. Jika panjang salah satu sisi siku-sikunya 9
cm, tentukan panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya!
C
? 15 cm
A 9 cm B
a2
= b2
+ c2
b2
= a2
– c2
atau
c2 = a2 – b2

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2
𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 – 𝐴𝐵2
= 52 – 92
= 225 – 81
= 144
AC =√144 = 12 cm Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku yang lainnya (AC ) = 12
cm
LATIHAN SOAL
1. Pernyataan di bawah ini sesuai dengan dalil Pythagoras, kecuali....
2. Panjang KN pada gambar di bawah ini adalah ....
A. 100 cm C. 115 cm
B. 105 cm D. 125 cm
A. BC2 = AC2 + AB2 C. AB2 = AC2 − BC2
B. AC2 = BC2 + AB2 D. a2 = b2 − c2

3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28
cm. Tentukan luas segitiga tersebut!
4. Perhatikan gambar segitiga berikut!
Tentukan panjang sisi AB!
5. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!
Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan
panjang AB dan panjang BC!

Alma Alpiana
Destia Eka Putri
Rizky Diah Peratiwi
Upika Rizkie

BAB 7
ARITMATIKA SOSIAL
PETA KONSEP
ARITMATIKA SOSIAL
KONSEP ARITMATIKA SOSIAL
NILAI KESELURUHAN, NILAI
PER UNIT, DAN NILAI
SEBAGIAN
HARGA PEMBELIAN DAN
HARGA PENJUALAN
UNTUNG DAN RUGI
MENGHITUNG UNTUNG DAN
RUGI
MENGHITUNG PERSENTASE
UNTUNG DAN RUGI
MENGHITUNG HARGA
PEMBELIAN ATAU
PENJUALAN BERDASARKAN
PERSENTASE UNTUNG DAN
RUGI
DISKON (RABAT), BRUTO,
NETO, DAN TARA
PAJAK DAN BUNGA
TABUNGAN

Kegiatan perdagangan yang biasa dilakukan oleh masyarakat meliputi kegiatan jual
beli barang antara penjual (pedagang) dan pembeli. Kegiatan perdagangan dapat terjadi
berdasarkan prinsip saling menguntungkan. Penjual mendapat keuntungan berupa uang dari
barang yang dijualnya, sedangkan pembeli mendapat keuntungan dari barang yang dibelinya
atas dasar manfaat yang diperoleh dari barang tersebut.
Dalam melakukan kegiatan perdagangan, seorang pedagang harus pandai
melakukan perhitungan perdagangan atas barang dagangannya. Misalnya, untuk
mendapatkan keuntungan yang wajar, seorang pedagang harus menetapkan berapa harga
jual pada barang dagangannya sehingga harga jual tersebut tidak terlalu tinggi (agar dapat
bersaing) dan juga tidak terlalu rendah (agar tidak rugi). Hal itu tentunya membutuhkan
perhitungan tertentu yang dibahas dalam aritmetika sosial.
Aritmetika merupakan bagian dari matematika yang disebut ilmu hitung. Kata
“sosial” dapat diartikan sebagai hal-hal yang berkenaan dengan masyarakat. Jadi,
aritmetika sosial dapat diartikan sebagai bagian dari matematika yang membahas
perhitungan-perhitungan yang digunakan masyarakat dalam kehidupan sehari-hari.
Kamu pasti sudah pernah ke supermarket atau pasar. Di sana tentu kalian dapat
melihat kegiatan-kegiatan yang dilakukan orang-orang yang melakukan jual-beli.
Kegiatan jual beli yang dilakukan supermarket atau pasar, merupakan salah satu contoh
aritmatika sosial dalam kegiatan ekonomi.
7.1 Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, Dan Nilai Sebagian

Nilai keseluruhan, nilai per unit, dan nilai sebagian mempunyai suatu hubungan, yaitu:
Seorang pedagang buah membeli 25 buah mangga. Ia membayar dengan 2 lembar uang seratus
ribuan dan mendapat uang kembalian sebesar Rp40.000,00.
a. Tentukan harga pembelian seluruhnya.
b. Tentukan harga pembelian tiap buah.
c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 7 buah mangga, berapakah ia harus membayar?
7.2 Harga Pembelian Dan Harga Penjualan
Nilai keseluruhan = banyak unit x nilai per unit
Nilai per unit =
Nilai sebagian = banyak sebagian unit x nilai per unit
Contoh
Penyelesaian:
a. Harga pembelian = 2 x Rp100.000,00 - Rp40.000,00
= Rp200.000,00 - Rp40.000,00
= Rp160.000,00
Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp160.000,00.
b. Harga mangga per buah =
= Rp6.400,00
Jadi, Harga tiap buah mangga adalah Rp6.400,00.
c. Harga 7 buah mangga = 7 x Rp6.400,00
= Rp44.800,00
Jadi, harga 7 buah mangga adalah Rp44.800,00.

Dalam suatu kegiatan jual beli atau perdagangan ada dua pihak yang saling
berkepentingan, yaitu penjual dan pembeli. Penjual adalah orang yang menyerahkan barang
kepada pembeli dengan menerima imbalan berupa sejumlah uang dari pembeli. Pembeli
adalah orang yang menerima barang dari penjual dengan menyerahkan sejumlah uang
kepada penjual sebagai pembayarannya.
Untuk mendapatkan barang yang akan dijual, seorang pedagang terlebih dahulu
harus membelinya dari pedagang lain dengan mengeluarkan sejumlah uang yang disebut
harga pembelian atau modal. Setelah barang itu didapatkan, kemudian dijual kembali kepada
pembeli. Uang yang diterima pedagang dari pembeli atas barang yang dijualnya disebut
harga penjualan.
Jika harga penjualan lebih tinggi daripada harga pembelian, dan besar untung sama
dengan harga penjualan dikurangi harga pembelian maka diperoleh hubungan berikut ini.
Harga pembelian sebuah kalkulator Rp50.000,00. Setelah terjual ternyata pedagang itu
mendapat untung Rp15.000,00. Tentukan harga penjualan!
Sebaliknya, jika jual-beli mengalami kerugian, maka harga penjualan lebih rendah
dari harga pembelian, dan rugi sama dengan harga pembelian dikurangi harga penjualan,
sehingga diperoleh hubungan berikut ini.
Harga penjualan = harga pembelian +
untung
Harga pembelian = harga penjualan – untung
Contoh
Penyelesaian:
Harga pembelian = Rp50.000,00
Untung = Rp15.000,00
Harga penjualan = harga pembelian + untung
= Rp50.000,00 + Rp15.000,00
= Rp65.000,00
Jadi, harga penjualan kalkulator adalah Rp65.000,00.
Harga penjualan = harga pembelian –
rugi
Harga pembelian = harga penjualan + rugi

Seorang pedagang membeli sebuah laptop bekas dengan harga Rp 2.500.000. Jika pedagang
itu menderita rugi Rp 150.000, maka berapakah harga penjualannya?
Karena harga penjualan adalah hasil perkalian antara harga jual tiap satuan barang dan
banyaknya barang, maka diperoleh rumus sebagai berikut:
Karena harga pembelian adalah hasil perkalian harga beli tiap satuan barang dan banyaknya
barang, maka diperoleh harga sebagai berikut:
Contoh
Penyelesaian:
Harga pembelian = Rp2.500.000,00
Rugi = Rp150.000,00
Harga penjualan = Rp2.500.000,00 - Rp. 150.000,00
= Rp2.350.000,00
Jadi, Harga penjualan laptop adalah Rp2.350.000,00.
Harga penjualan = harga jual tiap satuan barang × banyaknya barang
Harga jual tiap satuan barang =
ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑗𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔
Harga pembelian = harga beli tiap satuan barang × banyaknya barang
Harga beli tiap satuan barang =
ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑒𝑙𝑖𝑎𝑛
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔
Contoh

Untuk membiayai sekolahnya, Wawan berjualan koran. Pada suatu hari ia membeli 50 koran
dari agen korannya dengan harga Rp. 2.000,00 tiap koran. Karena hari hujan, ia hanya dapat
menjual 30 koran pada pagi hari. Koran yang tersisa dijualnya pada siang hari dengan harga
Rp. 1.500,00. Setelah dihitung-hitung, ternyata Wawan menderita rugi sebesar Rp.
10.000,00. Berapa harga jual setiap Koran yang dijajakan Wawan pada pagi hari?
7.3 Untung Dan Rugi
1. Menghitung Untung Dan Rugi
Dalam perdagangan, terdapat dua kemungkinan yang akan dialami oleh pedagang, yaitu
untung dan rugi. Pedagang dapat mengalami untung atau rugi tergantung pada beberapa hal,
Penyelesaian :
Harga pembelian = 50 × Rp. 2.000,00 = Rp. 100.000,00
Harga penjualan seluruhnya = harga pembelian – rugi
= Rp. 100.000,00 - Rp. 10.000,00
= Rp. 90.000,00
Harga penjualan seluruhnya = harga penjualan pagi hari + harga penjualan siang hari
Harga penjualan pagi hari = harga penjualan seluruhnya – harga penjualan siang hari
= Rp. 90.000,00 - (50-30) × Rp. 1.500,00
= Rp. 90.000,00 – Rp. 30.000,00
= Rp. 60.000,00
Harga jual setiap Koran pada pagi hari =
ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑗𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑔𝑖 ℎ𝑎𝑟𝑖
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑜𝑟𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑗𝑢𝑎𝑙
=
𝑅𝑝.60.000 ,00
30
= Rp 2000,00
Jadi, harga jual setiap Koran yang dijajakan Wawan pada pagi hari = Rp2000,00

seperti besarnya harga jual, kondisi barang yang dijual (mengalami kerusakan atau tidak),
dan situasi pembeli.
Pengertian Untung
Seorang pedagang dikatakan mendapat untung apabila ia berhasil menjual barang
dagangannya dengan harga penjualan yang lebih tinggi daripada harga pembeliannya.
Besarnya selisih antara harga penjualan dan harga pembelian itu merupakan besarnya untung
yang diperoleh pedagang tersebut.
Keuntungan yang diperoleh seorang pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Seorang pedagang membeli telur 10 kg dengan harga Rp 120.000, kemudian telur itu dijual
dengan harga Rp12.500/kg. Berapakah keuntungan pedagang tersebut?
Pengertian Rugi
Seorang pedagang dikatakan mendapat rugi apabila ia menjual barang dagangannya
dengan harga penjualan yang lebih rendah daripada
Untung = Harga Penjualan – Harga Pembelian
Contoh
Rugi = harga pembelian – harga penjualan
Penyelesaian :
Harga beli 10 kg telur Rp. 120.000,00
Harga jual 1 kg telur Rp. 12.500,00
Untung = Harga Jual – Harga Beli
Harga jual = 10 x Rp. 12.500,00 = Rp. 125.000,00
Untung = Rp. 125.000,00 – Rp. 120.000,00 = Rp. 5.000,00
Jadi, pedagang itu mendapat keuntungan Rp. 5000,00

harga pembelian. Besar selisih antar harga pembelian dan harga penjualan adalah besar
kerugian yang diderita oleh pedagang tersebut. Besarnya kerugian yang diderita oleh seorang
pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Pak Dono membeli sebuah mobil dengan harga Rp. 10.000.000,00. Pada suatu saat karena
ia sangat membutuhkan uang, ia bermaksud menjual mobilnya. Ternyata ia hanya dapat
menjual mobilnya dengan harga Rp. 8.000.000,00. Berapa kerugian Pak Dono?
2. Menghitung Persentase Untung Dan Rugi
Dalam dunia perdagangan untung atau rugi dapat dinyatakan dengan persen. Misalnya,
bila kita sedang tawar-menawar suatu barang di pasar (karena harganya dirasakan terlalu
mahal bagi kita), kadang-kadang pedagang itu berkilah dengan mengatakan bahwa ia hanya
mengambil keuntungan sedikit, beberapa persen saja.
Dengan menyatakan keuntungan atau kerugian dalam bentuk persen, kita dapat melihat
apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut berada dalam tingkat
yang wajar atau tidak. Kemudian juga, kita dapat membandingkan besarnya keuntungan atau
kerugian yang diperoleh oleh dua buah barang yang berbeda. Apakah keuntungan atau
kerugian yang diperoleh oleh barang yang satu lebih besar atau lebih kecil daripada yang
diperoleh oleh barang yang lain.
Menyatakan Persentase Keuntungan
Persentase keuntungan biasanya dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika kita mendengar
ada seorang pedagang yang mengambil keuntungan 10%, itu berarti bahwa pedagang
tersebut mengambil keuntungan sebesar 10% dari harga pembelian barang itu.
Contoh
Penyelesaian :
Harga pembelian = Rp. 10.000.000,00
Harga penjualan = Rp. 8.000.000,00
Rugi = harga pembelian – harga penjualan
= Rp. 10.000.000,00 - Rp. 8.000.000,00
= Rp. 2.000.000,00
Jadi, Pak Dono mengalami kerugian sebesar Rp. 2.000.000,00.

Menyatakan keuntungan dengan persentase dari harga pembelian dirumuskan sebagai
berikut:
Jadi, berdasarkan rumus tersebut, tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam
menentukan persentase keuntungan dari harga pembelian adalah sebagai berikut:
 Memperhatikan besarnya modal atau harga pembelian dan harga penjualan.
 Menentukan besarnya untung.
 Membandingkan nilai untung dengan harga pembelian.
 Mengalikan nilai perbandingan tersebut dengan 100% sehingga didapatkan persentase
keuntungan.
Apabila harga pembelian (modal) dan persentase keuntungan diketahui, maka
perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase
keuntungan diatas.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa keuntungan = persentase keuntungan × harga
pembelian
Karena harga penjualan sama dengan harga pembelian ditambah keuntungan, maka
diperoleh rumus sebagai berikut:
Seorang pedagang membeli gula 5 kg dengan harga Rp. 35.000,00 kemudian dijual dengan
harga Rp. 45.000,00. Berapakah besar persentase keuntungan pedagang tersebut?
Penyelesaian :
Harga beli Rp. 35.000,00
Harga jual Rp. 45.000,00
Untung = Rp 45.000 – Rp 35.000 = Rp 10.000
Persentase keuntungan (%) =
𝑅𝑝.10.000
𝑅𝑝.35.000
× 100% = 28,6%
Jadi persentase keuntungannya adalah 28,6 %
Menyatakan Persentase Kerugian
Persentase keuntungan (%) =
𝑘𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛
× 100%
Harga penjualan = harga pembelian + persentase keuntungan × harga
pembelian
= harga pembelian (1 + persentase keuntungan)
Contoh

Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakan dalam
persentase yang dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika seseorang menderita sebesar 5%,
itu artinya orang tersebut menderita kerugian 5% dari harga pembelian. Persentase kerugian
ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:
Tahapan-tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase kerugian
sama dengan tahapan yang perlu diperhatikan dalam menentukan persentase keuntungan.
Hanya besarnya keuntungan kita ganti dengan besarnya kerugian.
Apabila harga pembelian (modal) dan persentase kerugian dikerahui maka
perhitungan untuk mendapatkan harga penjualan dapat diturunkan dari rumus persentase
kerugian di atas.
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa kerugian = persentase kerugian × harga
pembelian
Karena harga penjualan sama dengan harga harga pembelian dikurangi kerugian
maka diperoleh rumus harga penjualan sebagai berikut:
Seorang bapak membeli sebuah mobil seharga Rp. 50.000.000,00 karena sudah bosan
dengan mobil tersebut maka mobil tersebut dijual dengan harga Rp. 45.000.000,00.
Tentukan persentase kerugiannya!
Penyelesaian :
Harga beli Rp. 50.000.000,00
Harga jual Rp. 45.000.000,00
Rugi = Rp. 50.000.000,00 – Rp. 45.000.000,00 = Rp 5.000.000
Persentase kerugian =
𝑅𝑝.5.000.000
𝑅𝑝.50.000.000
× 100% = 10%
Jadi persentase kerugiannya adalah 10%.
Persentase kerugian (%) =
𝑘𝑒𝑟𝑢𝑔𝑖𝑎𝑛
× 100%
Harga penjualan = harga pembelian + persentase kerugian × harga
pembelian
= harga pembelian (1 - persentase kerugian)
Contoh

3. Menghitung Harga Pembelian Atau Penjualan Berdasarkan Persentase Untung
Atau Rugi
Seorang pedagang membeli sebuah mainan seharga Rp. 125.000. Jika pedagang tersebut
menghendaki untung 20%, berapa rupiahkah mainan tersebut harus dijual?
Penyelesaian :
Harga pembelian = Rp. 125.000
Untung 20% =
20
100
× Rp. 125.000
= Rp. 25.000
Harga penjualan = harga pembelian + untung
= Rp. 125.000 + Rp.25.000
= Rp. 150.000
7.4 Diskon (Rabat), Bruto, Neto, Dan Tara
Rabat
Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat
biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu.
Rabat (diskon) seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli, misalnya ada
toko yang melakukan obral dengan diskon dari 10% sampai 50%, sehingga para pembeli
menjadi tertarik untuk berbelanja di toko tersebut, karena harganya terkesan menjadi murah.
Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)
Pada rumus di atas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong diskon, dan harga
bersih adalah harga setelah dipotong diskon.
Sebuah toko memberikan diskon 15 %, Budi membeli sebuah rice cooker dengan harga Rp.
420.000,00. Berapakah harga yang harus dibayar budi?
Penyelesaian :
Harga sebelum diskon = Rp. 420.000,00
Potongan harga = 15 % x Rp. 420.000,00 = Rp. 63.000,00
Harga setelah diskon = Rp. 420.000,00 – Rp. 63.000,00
Contoh
Contoh

= Rp 375. 000,00
Jadi Budi harus membayar Rp 375.000,00
Bruto, Neto, dan Tara
 Bruto (berat kotor) adalah berat benda ditambah dengan berat kemasan.
 Neto (berat bersih) adalah berat bendanya saja.
 Tara adalah selisih antara bruto dan neto.
Hubungan antara bruto, neto, dan tara dapat dirumuskan sebagai berikut.
1. Dalam sebuah karung yang berisi pupuk tertera tulisan berat bersih 50 kg. Sedangkan berat
kotor 0,08 kg, maka berat seluruhnya = 50kg + 0,08kg = 50,8kg. Berat karung dan pupuk
yaitu 50,8 kg disebut bruto (berat kotor). Berat karung 0,08 kg disebut tara. Berat pupuk 50
kg disebut berat neto ( berat bersih).
2. Seorang pedagang membeli 5 karung beras dengan bruto masing-masing 72 kg dan tara 1%.
Berapa rupiah pedagang itu harus membayar jika harga setiap kg beras Rp. 4.500?
Penyelesaian :
Berat bruto = 5 × 72 kg = 360 kg
Tara 1% =
1
100
× 360 kg = 3,6 kg
Neto = 360 kg – 3,6 kg = 356,4 kg
Jadi, pedagang harus membayar = 356,4 × Rp. 4.500 = Rp. 1.603.800
7.5 Pajak Dan Bunga Tabungan
1. PAJAK
Pajak merupakan suatu kewajiban dari warga negara untuk menyerahkan sebagian
kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang ditetapkan oleh pemerintah,
Bruto = Neto + Tara
Neto = Bruto – Tara
Tara = Bruto – Neto
Tara = %Tara × Bruto
Contoh

tetapi tanpa mendapat jasa balik dari negara secara langsung. Hasil dari pajak digunakan
untuk kesejahteraan umum.
Pegawai tetap dari perusahaan swasta atau pegawai negeri dikenakan pajak
pengahasilan kena pajaknya yang disebut dengan Pajak Penghasilan (PPh).
Apabila kita berbelanja di dealer, atau grosir, atau toko swalayan, atau tempat
lainnya, maka terdapat barang-barang yang harganya ditambah dengan pajak yang disebut
dengan Pajak Pertambahan Nilai (PPN).
Seorang ibu mendapat gaji sebulan sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan penghasilan tidak kena
pajak Rp. 400.000,00. Jika besar pajak penghasilan (PPh) adalah 10 % berapakah gaji yang
diterima ibu tersebut?
Penyelesaian:
Besar penghasilan = Rp. 1.000.000,00
Penghasilan tidak kena pajak Rp. 400.000,00
Penghasilan kena pajak = Rp. 1.000.000,00 – Rp. 400.000,00 = Rp 600.000,00
Besar pajak penghasilan = 10 % x Rp. 600.000,00 = Rp. 60.000,00
Jadi besar gaji yang diterima ibu tersebut adalah = Rp 1.000.000 – Rp 60.000
= Rp 940.000
2. BUNGA TABUNGAN
Jika kita menyimpan uang di bank, maka uang kita akan bertambah karena kita mendapat
bunga. Jenis bunga tabungan yang akan kita pelajari adalah bunga tunggal, artinya yang
mendapat bunga hanya modalnya saja, sedangkan bunganya tidak akan berbunga lagi.
Apabila bunganya turut berbunga lagi, maka jenis bunga tersebut disebut bunga majemuk
yang kelak akan dipelajari di sekolah yang lebih tinggi.
Bunga tabungan biasanya dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu 1
tahun, bunga 15% per tahun artinya tabungan akan mendapat bunga 15% jika telah disimpan
di bank selama 1 tahun.
Persen bunga selalu dinyatakan untuk 1 tahun, kecuali jika ada keterangan lain pada soal.
Contoh
Bunga 1 tahun = persen bunga × modal
Bunga n bulan =
𝑛
12
× persen bunga × modal
=
𝑛
12
× bunga 1 tahun

1. Pak Soni memiliki tabungan di Bank B sebesar Rp. 750.000 dengan bunga 15% per tahun.
Berapa jumlah uang Pak Soni setelah 1 tahun?
Penyelesaian :
Bunga 1 tahun =
15
100
× Rp. 750.000 = Rp. 112.500
Jumlah uang Pak Soni setelah disimpan 1 tahun
= Rp. 750.000 + Rp. 112.500
= Rp. 862.500
2. Rio menabung dibank sebesar Rp 75.000,00 dengan bunga 12% per tahun. Hitung jumlah
uang rio setelah enam bulan.
Penyelesaian :
Besar modal (uang tabungan) = Rp 75.000,00
Bunga 1 tahun 12 % =
12
100
× Rp. 75.000,00 = Rp. 9.000,00
Bunga 6 bulan = Rp. 4.500,00
Jadi jumlah uang Rio setelah disimpan selama enam bulan menjadi:
= Rp. 75.000,00 + Rp. 4.500,00
= Rp. 79.500,00
LATIHAN SOAL
I. PILIHAN GANDA
1. Seorang pedagang membeli 3 kodi pakaian dengan harga Rp 600.000,- perkodi. Pakaian
tersebut ia jual kembali dengan harga Rp 400.000,- perlusin. Dalam waktu dua hari pakaian
tersebut sudah habis. Keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah ....
A. Rp 200.000,- C. Rp 400.000,- E.Rp 600.000,-
B. Rp 300.000,- D. Rp 500.000,-
2. Seorang pedagang membeli sebuah TV dengan harga Rp 2.000.000,-. Jika TV tersebut ia
jual kembali dengan harga Rp 2.400.000,- maka persentase keuntungan yang diperoleh
pedagang tersebut adalah ....
A. 10% C. 25% E. 50%
B. 20% D. 30%
Contoh

Kapita Selekta Matematika

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Kapita Selekta Matematika

Similar to Kapita Selekta Matematika (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Kapita Selekta Matematika