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7
スカラー値aijを長方形上に配置
第 i 行(row)
第 j 列(column)
i行j列の要素(element)
行:m個
m×n行列(matrix)
列:n個
𝑎𝑎11
⋮
𝑎𝑎𝑖𝑖1
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚
⋯
⋯
⋯
𝑎𝑎1𝑗𝑗
⋮
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑗𝑗
⋯
⋯
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
5. 行列とベクトルの関係
8
m x n行列は、n個のm次元の列ベクトルを配置
同様にn x m行列は、m個のn次元の行ベクトルの配置
m次元の列ベクトル:
𝐀𝐀 =
𝑎𝑎11
𝑎𝑎21
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚
⋯
⋯
⋯
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛
⋮
𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚
= (𝒂𝒂1, 𝒂𝒂2 ⋯ , 𝒂𝒂𝑛𝑛)
𝒂𝒂2
7. 行列の応用:表データ
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行:データ点(例:学生Aのデータ)
列:属性(例:身長、体重、胸囲)
身長 体重 胸囲
170 60 80
167 52 93
174 57 85
181 70 80
171 62 70
171 66 95
168 54 85
学
生
7
人
分
の
デ
ー
タ
属性が3つである
37
8554168
9566171
7062171
8070181
8557174
9352167
8060170
×
=A
行列で表現
行列は大文字の太字で表現
15. 行列演算のレシピ
18
和・スカラー倍
積
交換法則:A + B = B + A
結合法則:(A + B) + C = A + (B + C)
分配法則:(k+l)A = kA + lA
分配法則:k(A + B) = kA + kB
結合法則:(kl)A = k(l)A
結合法則:(AB)C = A(BC)
分配法則:A(B + C) = AB + AC
分配法則:(B + C)A = BD + CD
αはスカラー: (αA)B = α(AB) = A(αB)
16. 行列演算のレシピ 続き
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転置
行列演算の資料としては、「The Matrix Cookbook」が有名
http://coin.wne.uw.edu.pl/pbiernacki/matrix_cookbook.pdf
(A’)’ = A
(A + B)’ = A’ + B’
(kA)’ = kA’
(AB)’ = B’A’
(ABC)’ = C’B’A’
24. 非正方行列の階数
27
行列の階数は、行と列の数の最小値以下
表データの例:階数は3以下。属性の線形独立度合いを表す
階数が行と列の数の最小値より低い場合、「ランク落ち」という
また、ランク落ちしている場合、行列式は「0」になる
37
8554168
9566171
7062171
8070181
8557174
9352167
8060170
×
=A
身長 体重 胸囲
170 60 80
167 52 93
174 57 85
181 70 80
171 62 70
171 66 95
168 54 85
3)3,7min(
),min()(
==
≤ mnrank A
31. 固有値問題
36
正方行列 の固有ベクトル と固有値 の条件:
固有値問題を解くことにより、固有ベクトルと固有値を求める
から の逆行列が存在しない(正則行列ではない)
𝐀𝐀𝒙𝒙 = 𝛌𝛌𝒙𝒙
𝐀𝐀
𝒙𝒙 ≠ 𝟎𝟎
𝒙𝒙 𝛌𝛌
𝒙𝒙
𝒙𝒙𝒙 = A𝒙𝒙 = 𝛌𝛌𝒙𝒙
(𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰)𝒙𝒙 = 𝟎𝟎
固有値問題
𝑰𝑰:単位行列
𝒙𝒙 ≠ 𝟎𝟎 𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰
(𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰)−𝟏𝟏(𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰)𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎
32. 固有値問題を解く
37
は正則行列ではないので、 の行列式はゼロ
次の手順で固有値問題を解き固有値・ベクトルを求める
1. を について解き固有値 を求める
2. を解き固有ベクトル を求める
𝐀𝐀 ≠ 0
必要十分条件𝐀𝐀が正則行列 の行列式が非ゼロ𝐀𝐀
𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰 𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰
|𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰| = 𝟎𝟎
|𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝑰𝑰| = 𝟎𝟎 𝛌𝛌 𝛌𝛌𝒊𝒊
(𝐀𝐀 − 𝛌𝛌𝒊𝒊 𝑰𝑰)𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝒊𝒊
41. 課題1
52
三次元空間上に3点A, B, Cがある。3点A,B,Cの位置ベクトル
a, b, cは、tをパラメータとして次のように表される。
これらをベクトルを各列にもつ行列をMとする。
1. Mの行列式を求めなさい。
2. Mの行列式が0となるtを求めなさい。
3. t=1のとき、平行6面体OABCの体積を求めなさい。
[ ]cbaMcba =
−=
−=
−
=
1
1,1
2
,
0
3
t
t
t
t
43. 課題3
54
以下の4点a, b, c, dの、ベクトル変換後の座標をそれぞれ求め
よ。また、それらの点の関係を述べよ。
' 1 2
' 2 4
x x
y y
=
行列によるベクトル変換:
𝒃𝒃 =
1
1
𝒂𝒂 =
1
2
𝒄𝒄 =
2
1
𝒅𝒅 =
2
2