Giá 10k/, tài liệu này đang ở dạng xem trước, vui lòng nạp thẻ cào để được xem full tài liệu www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace www.facebook.com/garmentspace

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
PHẠM THỊ TUYẾT
SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA
LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA 2
TRONG ZF
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh- 2011

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
PHẠM THỊ TUYẾT
SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA
LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA 2
TRONG ZF
Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Hà Thanh
Thành phố Hồ Chí Minh- 2011

3. LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh,
người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực hiện
luận văn, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo sư Kyriakos Keremedis,
Department of Mathematics,University of The Aegean,Karlovassi, Samos 83200,
Greece và giáo sư Jan Mycielski, Department of Mathematics, University of
Colorado at Boulder, USA đã cung cấp tài liệu và các chỉ dẫn quý báu cho tôi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
1. Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy trong tổ Hình học, khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy giúp tôi nâng cao trình
độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học.
2. Ban lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
luận văn này.
3. Anh Trương Hồng Minh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France),
anh Lữ Hoàng Chinh (Université Toulouse III Paul Sabatier, France), bạn Hoàng
Thị Thảo Phương (INRIA, France) đã hỗ trợ tôi rất nhiều trong việc tìm kiếm các tài
liệu tham khảo.
4. Các bạn lớp Hình học và Tôpô khóa 20 đã luôn cùng tôi chia sẻ mọi khó
khăn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè đã luôn
bên cạnh, quan tâm và giúp đỡ tôi mọi mặt để hoàn thành tốt khóa học.

4. MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................ii
MỤC LỤC........................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ...........................................................................iv
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
2. Mục đích .................................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................2
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn ......................................................................2
5. Cấu trúc luận văn ....................................................................................2
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..............................................................3
1.1. Không gian tôpô....................................................................................3
1.2. Một số lớp không gian tôpô..................................................................5
1.3. Lí thuyết tập hợp...................................................................................7
1.4. Các định lí...........................................................................................13
Chương 2 TÍNH COMPACT ĐẾM ĐƯỢC VÀ COMPACT-n CỦA KHÔNG
GIAN TYCHONOFF 2X
.............................................................................15
2.1. Các khái niệm mở đầu ..........................................................................15
2.2 Các kết quả chính...................................................................................16
Chương 3 TÍNH COMPACT-n CỦA KHÔNG GIAN TYCHONOFF 2
29
KẾT LUẬN .....................................................................................................34
1. Kết quả nghiên cứu ..................................................................................34
2. Hướng nghiên cứu tiếp theo.....................................................................34
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................35

5. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
TP( 2X
) : 2X
là compact.
TPC( 2X
) : 2X
là compact đếm được.
AC(X) : { }( ) X ∅ có một hàm chọn.
Dom(f) : miền xác định của hàm f.
Ran(f) : miền giá trị của hàm f.
p f⊂ : p là ánh xạ hạn chế của f.
Với n∈ ,
( )
ACfin X
: Mỗi họ các tập con hữu hạn khác rỗng của X đều có một hàm chọn.
AC( , )n X≤ : Mỗi họ gồm các tập con ≤ -phần tử khác rỗng của X có một hàm chọn.
CAC( , )n X≤ : AC( , )n X≤ hạn chế trên một họ đếm được.
AC ( , )dis n X : Mỗi họ rời nhau của các tập con n-phần tử khác rỗng của X có một hàm chọn.
CAC ( , )dis n X : AC ( , )dis n X hạn chế trên một họ đếm được.
BPI : Mỗi đại số Boolean có một ideal nguyên tố.
UF(ω ): Tồn tại một siêu lọc tự do trên ω .
CAC : AC hạn chế trên một họ đếm được các tập khác rỗng.
CAC( ) : CAC hạn chế trên một họ đếm được các tập con khác rỗng của.

6. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học, khái niệm compact đóng vai trò quan trọng trong tôpô tổng quát. Như
ta đã biết, có hai cách để định nghĩa không gian compact
Định nghĩa 1. Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ
mở của X đều chứa một phủ con hữu hạn.
Định nghĩa 2. X là compact khi và chỉ khi mỗi họ  gồm các tập con đóng của X đều
có tính chất giao hữu hạn, ≠ ∅∩ .
Từ định nghĩa thứ hai này, người ta đi tìm mối liên hệ giữa tính compact và các dạng
của tiên đề chọn trong lý thuyết tập hợp. Cụ thể hơn, các nhà Toán học đã quan tâm đến tính
compact của không gian Tychonoff 2X
(với 2 = {0, 1}), là không gian các ánh xạ từ X vào 2
={0, 1}, và thiết lập được những mối tương quan giữa tính chất compact và các mệnh đề
trong lý thuyết tập hợp ZF.
Trong các nghiên cứu này, J. Mycielski [21] đã chứng minh được trong lý thuyết tập
hợp ZF, BPI ⇔ “Với mỗi tập X, 2X
là không gian compact” mà không đòi hỏi một dạng
đặc biệt nào của tiên đề chọn.
Trong một bài báo khoa học của mình, K. Keremedis và E. Tachtsis đã xét đến hai sự
mở rộng nữa của tính compact đối với không gian Tychonoff 2X
đó là tính compact đếm
được và compact-n. Từ đó xét đến trường hợp đặc biệt với X =  . Xét thấy tầm quan trọng
của bài báo, vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là
“SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF
CỦA 2 TRONG ZF”
2. Mục đích
Nghiên cứu sức mạnh của tính compact theo nghĩa lý thuyết tập hợp cũng như sự mở
rộng tính compact của không gian 2X
và 2
.

7. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tính compact đếm được và compact-n ( n∈ ) của không gian 2X
và 2
trong ZF.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu rõ hơn về sự mở rộng tính compact của
2X
trong ZF.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận. Trong đó,
chương hai và chương ba là phần chính của luận văn. Cụ thể như sau:
Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị bao gồm những khái niệm, mệnh đề cơ bản có liên quan đến
nội dung đề tài.
Chương 2: Tính compact đếm được và tính compact-n ( n∈ ) của không gian 2X
.
Chương 3: Tính compact-n ( n∈ ) của không gian 2
.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài.

8. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ đề tài. Các kiến thức
chủ yếu ở chương này là các kiến thức cơ bản. Ở đây, các định lí, các hệ quả và các kết quả
chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu [9], [10], [14], [15] và
[21].
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô
Cho tập X. Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa các điều
kiện sau:
1τ ) X, ∅ thuộc τ ;
2τ ) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ;
3τ ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu là (X, τ ) hay ngắn
gọn hơn là X nếu không cần chỉ rõ τ là tôpô trên X. Các phần tử của không gian gọi là các
điểm.
Cho (X, τ ) là một không gian tôpô. Tập F τ∈ được gọi là tập mở của X. Tập con A của X
gọi là tập đóng nếu X A là tập mở.
1.1.2. Lân cận
Cho (X, τ ) là không gian tôpô và x X∈ . Tập V X⊂ được gọi là một lân cận của x
nếu tồn tại tập mở G sao cho x V G∈ ⊂ .
Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x.
1.1.3. Cơ sở và tiền cơ sở

9. Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con σ của τ được gọi là một cơ sở của tôpô τ nếu
mỗi phần tử của τ là hợp của một họ nào đó các phần tử của σ . Hay nói cách khác, σ là
cơ sở của τ nếu , , :G x G V x V Gτ σ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂ .
Một họ σ các tập con của tập hợp X được gọi là tiền cơ sở của tôpô τ trên X nếu họ
các giao của một số hữu hạn phần tử của σ tạo thành cơ sở của τ . Như vậy họ con σ của
τ là tiền cơ sở của τ nếu mọi G τ∈ và mọi x G∈ tồn tại 1 2, ,..., nW W W σ∈ sao cho
1 2 nx W W W G∈ ⊂∩ ∩...∩ .
Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó.
1.1.4. Cơ sở địa phương
Một họ x các lân cận của x được gọi là một cơ sở địa phương của x nếu mọi lân cận
V của x đều tồn tại lân cận xU ∈  sao cho U V⊂ .
1.1.5. Điểm giới hạn
Cho A là một tập con của không gian tôpô X và x X∈ . Nếu mọi lân cận V của x ta
đều có ( ){ }V x A ≠ ∅∩ thì x được gọi là điểm giới hạn hay điểm tụ của tập A.
1.1.6. Phần trong, bao đóng, trù mật
Cho X là không gian tôpô và tập A X⊂ .
• Ta gọi phần trong của tập A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu
là 0
A .
• Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A .
• Tập con A được gọi là trù mật hay trù mật khắp nơi trong X nếu A X= .
• Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x X∈ và mọi lân cận
V của x, V A ≠ ∅∩ .
1.1.7. Định nghĩa các iT −không gian
Cho X là không gian tôpô, khi đó

10. • X được gọi là 0T − không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X∈ có một lân
cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x.
• X được gọi là 1T − không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì ,x y X∈ có một lân cận
của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x.
• X được gọi là 2T −không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau
bất kì ,x y X∈ tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U V = ∅∩ .
• X gọi là 3T − không gian hay không gian chính quy nếu X là 1T − không gian và với
mọi x X∈ và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U, V
sao cho ,x U F V∈ ⊂ và U V = ∅∩ .
• X gọi là 1
3
2
T −không gian hay không gian hoàn toàn chính quy hay không gian
Tychonoff nếu X là 1T − không gian và với mọi x X∈ và mọi tập con đóng F của X
không chứa x, tồn tại hàm liên tục : [0,1]f X → sao cho ( ) 0, ( ) 1f x f y= = với mọi
y F∈ .
1.1.8. Tích của các không gian
Cho ( ){ }, I
Xα α α
τ ∈
là một họ các không gian tôpô.
Đặt I
X Xαα∈
= ∏ và : X Xα απ → là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α . Các không gian
Xα gọi là không gian tọa độ. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép
chiếu απ liên tục.
Như vậy, tôpô tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập 1
( )Uα απ −
, ,U Iα ατ α∈ ∈ hay có cơ sở
là họ tất cả các tập dạng 1
1 2
1
( ), , , ,...,i i i i
n
n
i
U U Iα α α απ τ α α α−
=
∈ ∈ .
Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff. Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ
không gian đã cho.
1.2. Một số lớp không gian tôpô
1.2.1. Không gian compact
1.2.1.1. Định nghĩa không gian compact