Libro matemáticabásica (3)

Libro digital de Matemática Básica: (MA420) Línea Ingeniería
Item Type info:eu-repo/semantics/book
Authors Alva Cabrera, Rubén Jesús; Arrue Reyes, José; Callo Moscoso,
Luis Alberto; Cárdenas Zavala, Germain Leonardo; Fernández
Quispe, Nedín Esteban; Figueroa Neyra, Walter Antonio; Flores
Osorio, Alejandro Isaías; Medina Martínez, Antonio Marcos;
Mejía Delgado, Elías; Novoa Allagual, Armando Alfredo; Reynaga
Alarcón, Carlos; Ruiz Herrera, Jenniel; Serquén Pisfil, Alejandro;
Sueros Zarate, Jonathan Abrahán; Tiza Domínguez, Mario Saul;
Benturo Balavarca, Juan Carlos; Quinch Flores, Eduardo
Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Rights info:eu-repo/semantics/openAccess; Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International
Download date 01/09/2021 20:53:41
Item License http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
Link to Item http://hdl.handle.net/10757/653944

UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420)
Profesores MA420 i
Libro Digital
Matemática Básica (MA420)
Línea Ingeniería
Autores:
Alva Cabrera, Rubén Jesús
Arrue Reyes, José
Benturo Balavarca, Juan Carlos
Callo Moscoso, Luis Alberto
Cárdenas Zavala, Germain Leonardo
Fernández Quispe, Nedín Esteban
Figueroa Neyra, Walter Antonio
Flores Osorio, Alejandro Isaías
Medina Martínez, Antonio Marcos
Mejía Delgado, Elías
Novoa Allagual, Armando Alfredo
Quincho Flores, Eduardo
Reynaga Alarcón, Carlos
Ruiz Herrera, Jenniel
Serquén Pisfil, Alejandro
Sueros Zarate, Jonathan Abrahán
Tiza Domínguez, Mario Saul
UNIVERSIDAD PERUANA DE
CIENCIAS APLICADAS

Profesores MA420 ii
Índice: Pág.
Introducción ............................................................................................................................... ix
Plano cartesiano y rectas ............................................................................................................. 1
➢ Motivación ......................................................................................................................................2
➢ Distancia y punto medio .................................................................................................................3
➢ Pendiente de un segmento de recta...............................................................................................3
➢ Ecuación de la recta ........................................................................................................................4
➢ Forma punto – pendiente de la recta .............................................................................................4
➢ Forma pendiente – intersección con el eje 𝑦..................................................................................5
➢ Ecuación general de la recta ...........................................................................................................5
➢ Recta vertical y horizontal...............................................................................................................5
➢ Rectas paralelas y perpendiculares.................................................................................................6
➢ Practiquemos en clase ....................................................................................................................6
➢ Respuestas ......................................................................................................................................7
➢ Practiquemos más en casa..............................................................................................................7
➢ Respuestas ......................................................................................................................................8
➢ Ejercicios resueltos en vídeo ..........................................................................................................8
La circunferencia .......................................................................................................................... 9
➢ Motivación ...................................................................................................................................10
➢ Ecuación de la circunferencia........................................................................................................11
➢ Ejemplos .......................................................................................................................................11
➢ Practiquemos en clase ..................................................................................................................13
➢ Respuestas ....................................................................................................................................14
➢ Practiquemos más en casa ...........................................................................................................14
➢ Respuestas ...................................................................................................................................14
➢ Ejercicios resueltos en vídeo ........................................................................................................15
La parábola ................................................................................................................................ 16
➢ Motivación ....................................................................................................................................17
➢ Definición geométrica de una parábola........................................................................................18
➢ Parábola con eje focal vertical y vértice en el origen de coordenadas.........................................20
➢ Parábolas trasladadas con eje focal paralelo al eje 𝑦 ...................................................................20
➢ Parábola con eje focal horizontal y vértice en el origen de coordenadas ....................................21
➢ Parábolas trasladadas con eje focal paralelo al eje 𝑥 ...................................................................22
➢ Respuestas ...................................................................................................................................23
➢ Practiquemos más en casa............................................................................................................23
➢ Respuestas ....................................................................................................................................24

Profesores MA420 iii
La elipse .................................................................................................................................... 27
➢ Motivación ....................................................................................................................................28
➢ Definición geométrica de una elipse.............................................................................................29
➢ Elipse con centro 𝐶(ℎ; 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑥..................................................................30
➢ Elipse con centro 𝐶(ℎ; 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑦..................................................................31
➢ Practiquemos en clase y respuestas .............................................................................................32
➢ Practiquemos más en casa y respuestas.......................................................................................33
Resolución de problemas con cónicas ......................................................................................... 36
➢ Practiquemos en clase .................................................................................................................36
➢ Respuestas ....................................................................................................................................37
➢ Practiquemos más en casa............................................................................................................38
➢ Respuestas ...................................................................................................................................39
Matrices .................................................................................................................................... 41
➢ Motivación ....................................................................................................................................42
➢ Matrices ........................................................................................................................................42
➢ Orden de una matriz .....................................................................................................................42
➢ Matriz por extensión ....................................................................................................................43
➢ Tipos de matrices ..........................................................................................................................43
➢ Operaciones con matrices.............................................................................................................44
➢ Suma de matrices..........................................................................................................................44
➢ Multiplicación de una matriz por un escalar.................................................................................44
➢ Multiplicación de matrices............................................................................................................45
➢ Ejercicios resueltos........................................................................................................................45
➢ Determinantes ..............................................................................................................................48
➢ Practiquemos más en casa ...........................................................................................................49
➢ Respuestas ...................................................................................................................................50
Vectores en 2D .......................................................................................................................... 52
➢ Motivación ....................................................................................................................................53
➢ Vectores en 2D, Magnitud Escalar, Magnitud Vectorial...............................................................54
➢ Magnitud o longitud de un vector ................................................................................................54
➢ Operaciones algebraicas sobre vectores ......................................................................................54
➢ Dirección de un vector..................................................................................................................55
➢ Vector en términos de su componente horizontal y vertical .......................................................55
➢ Vector unitario en la dirección de un vector ................................................................................56
➢ Vectores en términos de 𝐢 y 𝐣 .......................................................................................................56

Profesores MA420 iv
➢ Forma componente de un vector .................................................................................................56
➢ Definición del producto punto......................................................................................................56
➢ Ángulo entre dos vectores............................................................................................................56
➢ Vectores ortogonales y paralelos..................................................................................................57
➢ La proyección de un vector sobre otro vector..............................................................................57
➢ Propiedades de vectores...............................................................................................................57
➢ Respuestas ...................................................................................................................................58
➢ Practiquemos más en casa y respuestas.......................................................................................58
Vectores en 3D .......................................................................................................................... 60
➢ Sistema tridimensional de coordenadas cartesianas ...................................................................61
➢ Planos coordenados......................................................................................................................62
➢ Distancia y punto medio de un segmento en 3D .........................................................................62
➢ Vectores en 3D..............................................................................................................................63
➢ Magnitud o módulo de un vector en 3D.......................................................................................64
➢ Vector unitario ..............................................................................................................................64
➢ Vector unitario en la dirección de un vector ................................................................................65
➢ Vectores unitarios canónicos........................................................................................................65
➢ Igualdad de vectores.....................................................................................................................65
➢ Operaciones con vectores en 3D ..................................................................................................66
➢ Adición – sustracción ....................................................................................................................66
➢ Producto de un escalar por un vector...........................................................................................66
➢ Producto escalar o punto..............................................................................................................66
➢ Ángulo entre vectores...................................................................................................................66
➢ Producto vectorial.........................................................................................................................67
➢ Propiedades del producto vectorial..............................................................................................68
➢ Respuestas ...................................................................................................................................68
Sistemas de ecuaciones lineales (SEL) ......................................................................................... 70
➢ Motivación ....................................................................................................................................71
➢ Sistemas de ecuaciones lineales (SEL) ..........................................................................................71
➢ Clasificación del sistema de ecuaciones lineales ..........................................................................72
➢ Operaciones elementales de filas (renglones)..............................................................................73
➢ Forma escalonada por filas de una matriz....................................................................................73
➢ Practiquemos en más casa y respuestas.......................................................................................75
Funciones: Dominio y rango ....................................................................................................... 78
➢ Motivación ....................................................................................................................................79

Profesores MA420 v
➢ Definición de función ....................................................................................................................80
➢ Gráfica de una función..................................................................................................................81
➢ Criterio de la recta vertical............................................................................................................81
➢ Dominio y rango de forma geométrica.........................................................................................82
➢ Dominio de forma algebraica........................................................................................................82
➢ Practiquemos en más en casa y respuestas .................................................................................84
Propiedades de funciones .......................................................................................................... 86
➢ Motivación ...................................................................................................................................87
➢ Propiedades de funciones.............................................................................................................87
➢ Ceros de una función ....................................................................................................................87
➢ Intervalos positivos o negativos de una función...........................................................................88
➢ Continuidad de una función..........................................................................................................88
➢ Intervalos de monotonía de una función......................................................................................91
➢ Extremos de una función ..............................................................................................................91
➢ Máximo absoluto de una función .................................................................................................91
➢ Mínimo absoluto de una función..................................................................................................92
➢ Máximo relativo o local de una función........................................................................................92
➢ Mínimo relativo o local de una función ........................................................................................93
➢ Practiquemos en más casa............................................................................................................95
➢ Respuestas ...................................................................................................................................96
Funciones básicas, seccionadas y técnicas de graficación parte I .................................................. 97
➢ Motivación ...................................................................................................................................98
➢ Funciones básicas .........................................................................................................................98
➢ Función constante.........................................................................................................................98
➢ Función identidad .........................................................................................................................99
➢ Función cuadrática........................................................................................................................99
➢ Función raíz cuadrada...................................................................................................................99
➢ Función valor absoluto................................................................................................................100
➢ Función recíproca........................................................................................................................100
➢ Funciones seccionadas................................................................................................................101
➢ Definición de función seccionada ...............................................................................................101
➢ Técnicas de graficación ...............................................................................................................101
➢ Traslación Horizontal ..................................................................................................................101
➢ Traslación Vertical.......................................................................................................................102
➢ Practiquemos en clase ................................................................................................................103
➢ Respuestas .................................................................................................................................104

Profesores MA420 vi
➢ Practiquemos más en casa..........................................................................................................104
➢ Respuestas .................................................................................................................................105
➢ Ejercicios resueltos en vídeo ......................................................................................................106
Técnicas de graficación parte II ................................................................................................. 107
➢ Motivación .................................................................................................................................108
➢ Reflexión respecto al eje 𝑥 .........................................................................................................108
➢ Reflexión respecto al eje 𝑦..........................................................................................................109
➢ Alargamientos y compresiones verticales ..................................................................................110
➢ Practiquemos en clase y respuestas ..........................................................................................112
➢ Practiquemos más en casa y respuestas ....................................................................................113
Función inyectiva e inversa – Operaciones con funciones .......................................................... 116
➢ Motivación .................................................................................................................................117
➢ Función inyectiva o uno a uno ....................................................................................................117
➢ Criterio de la recta horizontal (CRH) ...........................................................................................117
➢ Función inversa ...........................................................................................................................118
➢ Principio de reflexión ..................................................................................................................118
➢ Regla de correspondencia de la función inversa ........................................................................119
➢ Operaciones con funciones (Suma, resta, producto y cociente) ................................................119
➢ Respuesta ...................................................................................................................................121
➢ Practiquemos más en casa .........................................................................................................122
➢ Respuestas .................................................................................................................................123
Composición de funciones ........................................................................................................ 126
➢ Motivación .................................................................................................................................127
➢ Composición de funciones..........................................................................................................127
➢ Respuestas .................................................................................................................................129
➢ Practiquemos más en casa y respuestas ....................................................................................129
Función cuadrática y problemas de optimización ...................................................................... 131
➢ Motivación ..................................................................................................................................132
➢ Función cuadrática: Forma normal.............................................................................................132
➢ Valor del máximo o mínimo absoluto de una función cuadrática..............................................133
➢ Respuestas .................................................................................................................................135

Profesores MA420 vii
➢ Respuestas ..................................................................................................................................136
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas – Funciones exponenciales ......................................... 138
➢ Definición de logaritmo...............................................................................................................139
➢ Leyes de los logaritmos...............................................................................................................139
➢ Ecuaciones logarítmicas..............................................................................................................140
➢ Ecuaciones exponenciales ..........................................................................................................141
➢ Motivación sobre función exponencial.......................................................................................142
➢ Definición de función exponencial..............................................................................................142
➢ Gráfica de funciones exponenciales............................................................................................143
➢ Definición de función exponencial natural ................................................................................143
➢ Practiquemos en clase y respuestas ...........................................................................................145
➢ Practiquemos más en casa .........................................................................................................145
➢ Respuestas .................................................................................................................................146
Funciones logarítmicas ............................................................................................................. 149
➢ Motivación .................................................................................................................................150
➢ Función logaritmo .......................................................................................................................151
➢ Función logaritmo natural ..........................................................................................................152
➢ Gráficas de funciones logaritmo .................................................................................................152
➢ Practiquemos más en casa y respuestas.....................................................................................154
Problemas de modelación con funciones exponenciales y logarítmicas ..................................... 157
➢ Respuestas .................................................................................................................................158
➢ Practiquemos más en casa ......................................................................................................159
➢ Respuestas ..................................................................................................................................160
Funciones trigonométricas seno, coseno y sus inversas ............................................................. 163
➢ Motivación ..................................................................................................................................164
➢ Circunferencia unitaria................................................................................................................164
➢ La circunferencia unitaria de 16 puntos......................................................................................165
➢ Función seno ...............................................................................................................................165
➢ Características de la función seno...............................................................................................166
➢ Función inversa del seno o función arcoseno.............................................................................166
➢ Función coseno ...........................................................................................................................168
➢ Características de la función coseno...........................................................................................168

Profesores MA420 viii
➢ Función inversa del coseno o función arcocoseno .....................................................................169
Resolución de triángulos rectángulos ..................................................................................... 174
➢ Motivación .................................................................................................................................175
➢ ¿Qué es un ángulo de elevación? ...............................................................................................175
➢ ¿Qué es un ángulo de depresión?...............................................................................................175
➢ Problemas resueltos ...................................................................................................................175
➢ Ley de senos y cosenos ..............................................................................................................179
➢ Respuestas ..................................................................................................................................183
Funciones sinusoidales y ecuaciones trigonométricas ............................................................... 184
➢ Motivación ..................................................................................................................................185
➢ Definición de función sinusoidal.................................................................................................186
➢ Definición de ecuación trigonométrica.......................................................................................187
➢ Respuestas .................................................................................................................................190
Anexo: Problemas de razonamiento cuantitativo ...................................................................... 194
➢ Definición ....................................................................................................................................195
➢ Dimensiones, nivel y temas del nivel .........................................................................................195
➢ Problemas propuestos ...............................................................................................................201
➢ Respuestas .................................................................................................................................202
➢ Rúbrica de razonamiento cuantitativo .......................................................................................203

Profesores MA420 ix
Introducción:
Este texto, al cual llamaremos libro digital, está diseñado para utilizarse en el curso de Matemática
Básica para ingeniería (MA420), curso que se dicta en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
(UPC).
El contenido obedece a un objetivo fundamental: preparar adecuadamente a los alumnos para llevar
con éxito los cursos siguientes en cada una de sus carreras y por lo tanto contiene temas que servirán
de base a los mismos, además que la metodología usada obedece a un aprestamiento que el alumno
adquirirá para lograr su adaptación al proceso universitario.
El presente libro está pensado para que el docente, en cada sesión dedique un tiempo a:
✓ repasar lo más importante de los temas que se trabajaron en las sesiones anteriores.
✓ motivar el tema que corresponde a la sesión, ya sea presencial o virtual.
✓ que el alumno resuelva personalmente, en grupo o con las diferentes dinámicas que se puedan
emplear, los ejercicios y problemas planteados en cada sesión, a estos espacios de aprendizaje
los hemos llamado practiquemos en clase.
Después de cada sesión de clase el alumno tiene como reto seguir aprendiendo, para ello este libro
proporciona una lista de ejercicios propuestos a los que hemos llamado practiquemos más en casa y
a la vez una lista de ejercicios resueltos en vídeo, los cuales ayudarán al estudiante reforzar lo
aprendido en clase.
El libro también proporciona al estudiante todas las respuestas de los ejercicios y problemas
propuestos con la finalidad de que el estudiante pueda comprobar su autoaprendizaje y de ser
necesario revisarlas con el profesor Asistente de Aprendizaje a Distancia (AAD).
El éxito del curso no radica únicamente en el esfuerzo hecho para ofrecer este libro o en las clases
prácticas e integrales que trabajamos en este curso previo a las evaluaciones. Tampoco estará
centrado en el Profesor o en el asistente (AAD), sino fundamentalmente está dado por el esfuerzo y la
dedicación del alumno para lograr su propio aprendizaje. Los espacios para procurar aprendizaje están
propuestos, el aprovecharlos es lo que permitirá alcanzar el éxito deseado. En este aspecto hay una
frase de una canción que resume todo lo que se quiere indicar aquí: “…tienes que amar el tiempo de
los intentos…”, el procurarse un horario fijo de estudio y llevarlo a cabo, el participar constantemente
en clase, el preguntar, el trabajar correctamente en grupo, el investigar, el leer, el adelantar…, son los
tiempos de los intentos que se deben apreciar, si se logra esto, el éxito vendrá por añadidura.
Finalmente, en cada uno de los temas hacemos referencia al libro de James Stewart, séptima edición,
libro que nos sirvió como referencia básica para diseñar este texto y que sirve para que el estudiante
siga complementando sus aprendizajes dentro y fuera del salón de clase.
Mg. Alejandro Serquén Pisfil
Coordinador del equipo de autores
UPC, 2021

Profesores MA420 1
Plano cartesiano - distancia y punto
medio-pendiente de una recta-rectas
paralelas y perpendiculares
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica los conceptos de distancia
entre dos puntos, punto medio y ecuaciones de una recta en la resolución de ejercicios, demostrando
responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1.1. Distancia y punto medio.
• Definiciones y notaciones
• Ejemplos
1.2. Ecuación de la recta
• Pendiente de un segmento
• Definición de pendiente
• Ecuación de la recta punto pendiente
• Rectas verticales y horizontales
• Rectas paralelas y perpendiculares
1.3. Practiquemos en clase
• Ejercicios
1.4. Practiquemos más en casa
• Ejercicios

Profesores MA420 2
Motivación
Las siguientes figuras muestran situaciones en las que la pendiente es importante. Por ejemplo, los carpinteros
usan el término inclinación para la pendiente de un techo o una escalera; el término pendiente se usa también
para la pendiente de una carretera.
Una recta se usa para modelar la relación entre dos cantidades (o variables) que se relacionan linealmente, la
pendiente de la recta en muchas aplicaciones es la rapidez de cambio de una cantidad con respecto a la otra. Por
ejemplo: la figura adjunta muestra la cantidad de gas en un tanque que se está llenando, la pendiente entre los
puntos indicados es:
𝑚 =
6 galones
3 minutos
= 2 gal/min
La pendiente es la rapidez a la que se está llenando el tanque, es decir 2 galones por minuto.

Profesores MA420 3
El plano coordenado es el vínculo entre el álgebra y la geometría. En el plano coordenado podemos trazar gráficas
de ecuaciones algebraicas. Las gráficas, a su vez, nos permiten “ver” la relación entre las variables de la ecuación.
En esta sección estudiamos la distancia entre dos puntos del plano cartesiano, punto medio de un segmento,
pendiente de un segmento y finalmente las diferentes formas de escribir la ecuación de la recta.
1.1 DISTANCIA Y PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS
Si se conocen las coordenadas de dos puntos del plano, se puede hallar la
distancia que los separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es
consecuencia directa del teorema de Pitágoras. Consideremos que los
puntos 𝑃(𝑥1; 𝑦1) y 𝑄(𝑥2; 𝑦2) son conocidos y se quiere hallar la distancia
entre 𝑃 y 𝑄. En la Figura 1 los puntos 𝑃 y 𝑄 se han representado en el
plano y se muestra el segmento 𝑃𝑄 cuya longitud se desea hallar. El
segmento 𝑃𝑄 es la hipotenusa del triángulo rectángulo 𝑃𝑅𝑄. Los catetos
de este triángulo miden respectivamente |𝑥2 − 𝑥1| y |𝑦2 − 𝑦1|. Al aplicar
el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo 𝑃𝑅𝑄 se obtiene la fórmula
para la distancia entre 𝑃 y 𝑄, la cual escribimos como sigue:
Siendo 𝑃(𝑥1; 𝑦1) y 𝑄(𝑥2; 𝑦2) los extremos de un segmento, llamemos a
𝑀(𝑥; 𝑦) punto medio (ver figura 2), que es el punto que divide al
segmento 𝑃𝑄 en dos partes iguales.
El punto medio de un segmento es único y equidista de los extremos del
segmento.
En resumen: las coordenadas del punto medio del segmento 𝑃𝑄 son:
1.2 ECUACIÓN DE LA RECTA
• Pendiente de un segmento de recta
Consideremos un segmento de recta determinado por dos puntos del
plano 𝑃1(𝑥1;𝑦1) y 𝑃2 (𝑥2;𝑦2). La pendiente de este segmento es un
número real que mide la inclinación del segmento con respecto a la
horizontal.
Figura 3: Segmento 2
1P
P
1
x 2
x
x
( )
1
1;y
x
P
( )
2
2;y
x
Q
( )
y
x
M ;
Figura 2: Punto medio entre dos puntos
R
Figura 1: Distancia entre dos puntos
𝑑(𝑃; 𝑄) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑀(𝑥; 𝑦) = (
𝑥1 + 𝑥2
2
;
𝑦1 + 𝑦2
2
)
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
𝑦1
𝑦2
𝑦
𝑥

Profesores MA420 4
• Definición de Pendiente
La pendiente 𝑚 del segmento no vertical determinado por los puntos 𝑃1 (𝑥1; 𝑦1) y 𝑃2 (𝑥2; 𝑦2) es el número:
¿Un segmento vertical tendrá pendiente?, explique su respuesta:
Si observamos en la figura adjunta, los puntos de un segmento vertical son tal que la
abscisa siempre es el mismo valor, entonces para el par de puntos (𝑎; 𝑦1) y (𝑎; 𝑦2) la
posible pendiente sería 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑎−𝑎
=
𝑦2−𝑦1
0
de donde observamos que no existe un
valor posible para 𝑚. Así los segmentos verticales no tienen pendiente.
Observación: del signo de la pendiente dependerá si el segmento (o recta) es creciente, decreciente o constante.
Es decir:
Si 𝑚 > 0, el segmento (o recta) es creciente.
Si 𝑚 < 0, el segmento (o recta) es decreciente.
Si 𝑚 = 0, el segmento (o recta) es constante.
• Ecuación de la Recta: Forma Punto – Pendiente de la Recta
De la Figura 5, se tiene la pendiente:
𝑃 = (𝑥; 𝑦) Punto arbitrario en la recta.
𝑃0 = (𝑥0; 𝑦0) Punto conocido (punto de paso).
Despejando se tiene la siguiente ecuación:
La cual representa a la recta en su forma punto – pendiente.
Figura 5: Forma punto - pendiente
( )
2
;y
a
( )
1
;y
a
a
0
x x
0
y
P
L
0
P
Figura 4: Recta vertical
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
𝐿: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) … … … (∗)
y
𝑦
𝑥
𝑥

Profesores MA420 5
• Ecuación de la Recta: Forma Pendiente – Intersección con el eje 𝒚
De la Figura 6, se tiene que la recta pasa por el punto (0; 𝑏) y si
remplazamos en la ecuación dada en (*) obtenemos:
𝐿: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 0)
Luego al despejar, se obtiene:
La cual representa a la recta en su forma pendiente intersección al eje 𝑦.
• Ecuación General de la Recta
La ecuación general de una recta es la expresión de la forma:
Dónde: 𝑎 y 𝑏 no son ceros al mismo tiempo.
Si 𝑏 ≠ 0, entonces la ecuación general se puede escribir de la siguiente forma:
• Recta Vertical y Horizontal
En el caso de los segmentos y las rectas verticales el concepto de pendiente
no se define.
Establezca una característica para las rectas verticales, ayudándose de la
recta que pasa por 𝑥 = 2, como se muestra en la Figura 7.
Por lo tanto, las rectas verticales poseen ecuaciones del tipo:
El caso de las rectas horizontales es más sencillo porque ellas sí poseen
pendiente. Su pendiente es cero entonces haciendo 𝑚 = 0 en cualquiera de
las ecuaciones vistas anteriormente se aprecia que la ecuación de las rectas
horizontales tiene la forma:
Figura 6: Forma pendiente – intersección
Figura 7: Recta vertical
Figura 8: Recta horizontal
L
pendiente
:
m
b
0
y
𝐿: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 … … . . (∗∗)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 + (−
𝑐
𝑏
)
𝑥 = 𝑥0; 𝑥0 ∈ ℝ
𝑦 = 𝑦0; 𝑦0 ∈ ℝ
𝑦
𝑥

Profesores MA420 6
• Rectas Paralelas y Perpendiculares
Cuando se conocen las ecuaciones de dos rectas 𝐿1 y 𝐿2 con pendientes 𝑚1 y 𝑚2
respectivamente, es muy simple determinar cuándo se trata de rectas paralelas, en
este caso sus pendientes son iguales, es decir:
La perpendicularidad entre rectas requiere que las pendientes satisfagan la
condición:
1.3 PRACTIQUEMOS EN CLASE
EJERCICIOS
1. Sean 𝐴(1; 1), 𝐵(−3; 4) 𝑦 𝐶(4; 5) los vértices de un triángulo. Determine la longitud del segmento que une
el vértice 𝐴 y el punto medio del lado 𝐵𝐶.
2. Determine la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto (6; −2) y su pendiente es −1/2.
3. Determine la ecuación de una recta que pasa por los puntos (−3; 4) 𝑦 (4; 5). Escriba la ecuación de la recta
en las 3 formas estudiadas y trace su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
4. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 5) y es paralela a la recta 8𝑥 − 4𝑦 = −12. Trace
su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
5. Sean las rectas 𝐿1: 10𝑥 − 4𝑦 = 10 y 𝐿2: 6𝑥 + 9𝑦 = 18. Determine la ecuación de una recta que pasa por
el punto de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2, y es perpendicular a la recta 𝐿1.
6. Determine una ecuación de la recta cuya gráfica se muestra a
continuación. Además, determine las coordenadas de los
puntos de corte con los ejes.
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
2
L
1
L
2
L
1
L
Figura 9: Rectas paralelas
Figura 10: Rectas perpendiculares
𝑚1 = 𝑚2 𝑥
𝑦
𝑦
𝑥

Profesores MA420 7
RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. 3,54 u
2. 𝑦 + 2 = −
1
2
(𝑥 − 6)
3. Los tres tipos de ecuaciones son:
Forma Punto – Pendiente de la Recta: 𝑦 − 5 =
1
7
(𝑥 − 4)
Forma Pendiente – Intersección con el eje y: 𝑦 =
𝑥
7
+
31
7
Ecuación General de la Recta: 𝑥 − 7𝑦 + 31 = 0
Para graficar cada recta, halle los puntos de corte con los ejes.
4. 𝑦 − 5 = 2(𝑥 − 2), para graficar halle los puntos de corte con los ejes.
5. 𝑦 −
20
19
= −
2
5
(𝑥 −
27
19
)
6. 𝑦 − 3 = −
2
3
(𝑥 + 1)
1.4 PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
Resuelve los siguientes ejercicios y si tienes dudas aprovecha la asesoría virtual con tu profesor AAD para
asegurar que tus soluciones son correctas y retroalimentar tu aprendizaje.
1. Los puntos 𝐴(0; 0), 𝐵(5; 2) y 𝐶(−1; −2) son los vértices de un triángulo. Determine la longitud del
segmento que une el vértice 𝐴 y el punto medio del lado BC.
2. Dados los puntos: 𝐴 (−7; 4), 𝐵 (2; 8) y 𝐶(0; −2)
a. Determine la distancia y el punto medio entre los puntos 𝐴 y 𝐶 .
b. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 𝐵 y 𝐶.
3. Dadas las rectas 𝐿1: 8𝑥 − 6𝑦 = 24 y 𝐿2: 9𝑥 − 6𝑦 = −18 , determine la ecuación de la recta que pasa
por el punto de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2, y es perpendicular a la recta 𝐿2.
4. Si la recta 𝐿1 pasa por los puntos (1; −1) y (6; 14) y la recta 𝐿2 pasa por los puntos (9; 3) y (−6;8).
¿Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas?
5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento 𝐴𝐵, con 𝐴(−1; 4) y
𝐵(3; 2), y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 3𝑦 + 2𝑥 = 3. Trace su gráfica indicando los
puntos de corte con los ejes coordenados.
6. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 5) y es paralela a la recta cuya ecuación es
−4𝑥 + 6𝑦 = 24. Trace su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
7. Determine la ecuación de la recta formada por los puntos que equidistan de los puntos (1; 6) y de (5; 2).

Profesores MA420 8
RESPUESTAS PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. 2u
2. a. 𝑑(𝐴; 𝐶) = √85 𝑢 = 9,22 𝑢. Punto medio de 𝐴 y 𝐶 es: 𝑀 (−
7
2
; 1) b. 𝐿: 5𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
3. 𝑦 = −
2
3
𝑥 − 88
4. Las rectas 𝐿1 y 𝐿2 son perpendiculares.
5. 𝐿: 𝑦 − 3 =
3
2
(𝑥 − 1). Para graficar, halle los puntos de corte con los ejes.
6. 𝐿: 𝑦 =
2
3
𝑥 +
11
3
. Para graficar, halle los puntos de corte con los ejes.
7. 𝐿: −𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
EJERCICIOS RESUELTOS EN VIDEO
Habilidad Enlace Código QR
Determinar la ecuación de la recta
en sus tres formas.
https://tinyurl.com/y2pn9vbv
Determinar la ecuación de la recta
y graficarla en el plano cartesiano.
https://tinyurl.com/y2s2kyd2
MÁS EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS EN:
Bibliografía Básica:
STEWART James, Redlin, Lothar; WATSON, Saleem y ROMO MUÑOZ, Jorge
Humberto (2017) Precálculo: matemáticas para el cálculo. México, D.F.: Cengage
Learning. (515 STEW/P 2017)
RECTAS: Revisar páginas desde 106 hasta 116.

Profesores MA420 9
La circunferencia
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica el concepto de
circunferencia en la soluciona ejercicios, demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia
cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1.1. La circunferencia
• Ecuación de la circunferencia
• Ejemplos
• Ejercicios
• Ejercicios

Profesores MA420 10
MOTIVACIÓN
La Rueda
Una rueda es un objeto mecánico que tiene forma de un disco y que se
instala en un eje para que gire a su alrededor, las ruedas son una pieza
más dentro de una máquina más compleja.
Las ruedas primitivas estaban hechas con madera y presentaban un
orificio en su centro, que permitía que sean insertadas en un eje. Un paso
decisivo para el desarrollo de la rueda fue la inclusión de radios o rayos,
que son las barras que unen, de manera rígida, el centro de la rueda con
su región perimetral. Los radios ayudaron a la construcción de vehículos
más ligeros y, por lo tanto, más veloces.
Un radio o rayo de una rueda es cada una de las barras que une rígidamente la zona
central con la perimetral (contorno de la rueda).
Rayo
Contorno

Profesores MA420 11
• ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Después de los puntos, los objetos matemáticos más simples son las curvas (suponiendo que una recta es un tipo
especial de curva). Sin embargo, una curva, por más sencilla que pueda parecer, está formada por infinitos
puntos. Por suerte, muchas curvas tienen la característica de que todos sus puntos cumplen una cierta condición;
si esta condición la podemos representar mediante una ecuación, entonces decimos que dicha ecuación es “la
ecuación de la curva” y también que “la curva es la gráfica de la ecuación”.
En esta sección se abordará una de las curvas más importantes, por su simplicidad geométrica y por su utilidad:
la circunferencia.
Definición:
Se llama circunferencia al conjunto de puntos 𝑃(𝑥; 𝑦) del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo
𝐶(ℎ; 𝑘) llamado centro. La distancia 𝑟 de cualquier punto sobre la circunferencia al centro se le llama radio.
Para determinar la ecuación de la circunferencia necesitamos expresar la definición anterior mediante una
ecuación, para ello, veamos los elementos de la definición anterior en un plano cartesiano, tal como aparece en
la Figura 2.
De la Figura 2, se tiene que el valor del radio es la distancia entre los
puntos 𝐶 y 𝑃, es decir:
De donde se deduce la ecuación de la circunferencia:
EJEMPLOS
Ejemplo 1. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (3; 2) y radio 4. Además, trace su gráfica
indicando las coordenadas de los puntos de corte con los ejes.
Solución
Hallamos los elementos de la circunferencia:
Centro: 𝐶 = (ℎ; 𝑘) = (3; 2)
Radio: 𝑟 = 4
Entonces la ecuación de la circunferencia es:
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 2)2
= 42
= 16 … (∗)
Figura 2: La circunferencia
𝑑(𝐶; 𝑃) = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
𝑦
𝑥

Profesores MA420 12
Calculamos los puntos de corte con los ejes:
• Corte con eje 𝑥: se hace 𝑦 = 0 y se reemplaza en la ecuación (*):
(𝑥 − 3)2
+ (−2)2
= 16 ⇒ 𝑥 = 3 ± 2√3
Luego los puntos de corte son: 𝑃1 = (3 − 2√3; 0) y 𝑃2 = (3 + 2√3; 0) o de forma aproximada:
(−0,46;0) y (6,46; 0).
• Corte con eje 𝑦: se hace 𝑥 = 0 y se reemplaza en la ecuación (*):
(−3)2
+ (𝑦 − 2)2
= 16 ⇒ 𝑦 = 2 ± √7
Luego los puntos de corte son 𝑃3 = (0; 2 − √7 ) y 𝑃4 = (0; 2 + √7) o de forma aproximada:
(0; −0,65) y (0; 4,65).
Trazamos la gráfica: Para hacer una buena gráfica se recomienda
usar compás, se debe ubicar las coordenadas del centro y trazar
la circunferencia de tal manera que pase por los puntos indicados
y cortes hallados (no olvidar que la distancia entre los puntos de
la circunferencia y el centro es igual al valor del radio).
NOTA: Se debe notar que la circunferencia pasa por los puntos
IZQUIERDA, DERECHA, ABAJO y ARRIBA del centro, además de los
puntos de corte, tal como se muestra en la figura.
Ejemplo 2. Dada la circunferencia de ecuación 𝑥2
+ 2𝑥 + 𝑦2
− 6𝑦 + 6 = 0, calcule las coordenadas del centro,
el valor de su radio y trace su gráfica.
Solución:
Completando cuadrados se tiene:
(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) + (𝑦2
− 6𝑦 + 9) = −6 + 1 + 9
(𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 3)2
= 4
Observamos que se trata de una circunferencia de centro 𝐶 = (−1; 3) y radio 𝑟 = 2.
Calculamos los puntos de corte:
Corte con eje 𝑥: se hace 𝑦 = 0
(𝑥 + 1)2
+ (−3)2
= 4 ⇒ (𝑥 + 1)2
= −5 < 0 (Por lo cual, no existe corte con eje 𝑥.)
Corte con eje 𝑦: se hace 𝑥 = 0
(1)2
+ (𝑦 − 3)2
= 4 ⇒ 𝑦 = 3 ± √3
Luego los puntos de corte son 𝑃1 = (0; 3 − √3) y 𝑃2 = (0; 3 + √3) o de forma aproximada: (0; 1,27) y
(0; 4,73)
Trazamos la gráfica:

Profesores MA420 13
Ejemplo 3. Determine la ecuación de la circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros tiene como puntos
extremos a: (1; 3) y (5; 7).
Solución:
De la figura adjunta, podemos deducir que el centro de la circunferencia es el punto medio del segmento
𝐴𝐵. .
AB
𝐶 = (ℎ; 𝑘) = (
1 + 5
2
;
3 + 7
2
) = (3; 5)
Su radio puede ser encontrado hasta de tres formas distintas, una de ella es:
2𝑟 = 𝑑(𝐴; 𝐵) = √(5 − 1)2 + (7 − 3)2 = 4√2 ⇒ 𝑟 = 2√2,
Luego se tiene 𝑟2
= 8.
Finalmente, la ecuación de la circunferencia es:
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 5)2
= 8
PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. Determine la ecuación estándar de la circunferencia. Si los puntos 𝐴(−3; −3) y 𝐵(5; 3) son los extremos de
uno de sus diámetros.
2. Dada la ecuación general de la circunferencia 𝐶: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 – 4𝑦 – 3 = 0. Determine su ecuación
estándar, las coordenadas del centro y el valor de su radio.
3. Determine las coordenadas del centro, radio, corte con los ejes coordenadas y trace la gráfica de la
circunferencia de ecuación (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 + 1)2
= 16.
4. La figura muestra la gráfica de una circunferencia, donde los puntos 𝐴 y 𝐵 son extremos de uno de sus
diámetros. Determine su ecuación y las coordenadas de los puntos de corte con el eje Y (aproxime a dos
cifras decimales).
𝐴
𝐵

Profesores MA420 14
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 0)2
= 25
2. (𝑥 + 3)2
+ (𝑦 − 2)2
= 16, 𝐶 = (−3;2) y 𝑟 = 4
3. 𝐶 = (2; −1) y 𝑟 = 4
4. (𝑥 + 1,5)2
+ (𝑦 − 2)2
= 9
PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto (−5; 4).
2. Determine la ecuación de la circunferencia, si los puntos extremos de uno de los diámetros son 𝐴(3; 4) y
𝐵(−5; −2). Trace su gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
3. Determine la ecuación canónica o estándar de la circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 − 10𝑦 + 33 = 0 y trace su
gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.
4. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es 𝐶(0; 0) y cuyo radio es igual a la distancia entre
el origen de coordenadas y la recta 6𝑥 − 8𝑦 − 12 = 0.
Nota: La distancia entre un punto 𝑃(𝑥0; 𝑦0) y una recta 𝐿: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 es: 𝑑(𝑃; 𝐿) =
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐|
√𝑎2+𝑏2
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. 𝑥2
+ 𝑦2
= 41
2. (𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 1)2
= 25.
3. (𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 5)2
= 1.
4. 𝑥2
+ 𝑦2
=
36
25

Profesores MA420 15
Determinar la ecuación de una
circunferencia.
https://tinyurl.com/y6k9x8dc
Trazar la gráfica de una
circunferencia.
https://tinyurl.com/y2yn375r
CIRCUNFERENCIA: Revisar páginas desde 88 hasta 90. Y los ejercicios de la página
94, desde el ejercicio 87 hasta el 108.

Profesores MA420 16
La parábola con eje focal paralelo al eje 𝑥
y al eje 𝑦
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica el concepto de parábola
en la resolución de ejercicios, demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1.1. Definición geométrica de la parábola
1.2. Ecuaciones y gráficas de parábolas
• Parábola con eje focal vertical y vértice en el origen de coordenadas
• Parábolas trasladadas con eje focal paralelo al eje 𝑦
• Parábola con eje focal horizontal y vértice en el origen de coordenadas
• Parábolas trasladadas con eje focal paralelo al eje 𝑥
• Ejercicios
• Ejercicios

Profesores MA420 17
Motivación
Las principales aplicaciones de las parábolas comprenden su uso
como reflectores del sonido, la luz, las ondas de radio y otras ondas
electromagnéticas. Si se rota una parábola en un espacio
tridimensional con respecto a su eje, la parábola genera un
paraboloide de revolución. Si se coloca una fuente de señales en el
foco de un paraboloide reflectora, la señal se refleja fuera de la
superficie en forma de líneas paralelas al eje de simetría, como se
muestra en la Figura 1. Esta propiedad se utiliza en las luces de las
linternas, los faros, reflectores, repetidoras de microondas y
receptores satelitales.
El principio también funciona para señales que viajan en sentido
contrario; las señales paralelas que llegan al eje del reflector
parabólico se dirigen hacia el foco del reflector. Esta propiedad se
utiliza para intensificar las señales que se reciben de los
radiotelescopios y las antenas de televisión satelital, para
concentrar calor en hornos solares y para magnificar el sonido de
los micrófonos de la línea de banda. Ver Figura 2.
La gráfica de la parábola podría ser representada con la siguiente ecuación:
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Es una curva de la forma de U llamada parábola que abre ya sea hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si el
signo del coeficiente principal “𝑎” es positivo o negativo.
En esta sección estudiaremos parábolas desde un punto de vista geométrico más que algebraico. Empezaremos
con la definición geométrica de una parábola y mostraremos cómo esto nos lleva a la fórmula algebraica con la
que ya estamos familiarizados.
Figura 2. Reflector parabólico
Figura 1. Paraboloide reflector

Profesores MA420 18
1.1. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE UNA PARÁBOLA
Desde el punto de vista geométrico una parábola es la curva de intersección entre un
plano y un cono, de tal manera que el plano sea paralelo a una generatriz del cono
(ver figura)
Definición: Una parábola es el conjunto de puntos 𝑃(𝑥; 𝑦) del plano que equidistan
de un punto fijo 𝐹 (llamado foco) y de una recta fija 𝐿 (llamada directriz), es decir:
Esta definición está ilustrada en la Figura 3. El vértice de la parábola se encuentra a la mitad entre el foco y la
directriz, y el eje de simetría es la recta que pasa por el foco perpendicular a la directriz.
Figura 3. Elementos de la parábola1
Para comenzar pongamos nuestra atención a parábolas que están situadas con el vértice en el origen de
coordenadas, del plano cartesiano XY, y que tienen un eje de simetría vertical u horizontal. Si el foco de dicha
parábola es el punto 𝐹(0; 𝑝), entonces el eje de simetría debe ser vertical y la directriz tiene la ecuación 𝑦 = −𝑝.
La Figura 4 ilustra el caso 𝑝 > 0.
2
Figura 4. Parábola con vértice en el origen y 𝒑 > 𝟎
1
Fuente: http://190.90.112.209/precalculo_-_matematicas_para_el_calculo-1.pdf
2
𝑑(𝑃; 𝐹) = 𝑑(𝑃; 𝐿)

Profesores MA420 19
Si 𝑃(𝑥; 𝑦) es cualquier punto en la parábola, entonces la distancia de 𝑃 al foco 𝐹(0; 𝑝) (usando la fórmula de
distancia) es:
𝑑(𝑃; 𝐹) = √𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2
La distancia de 𝑃 a la directriz 𝐿 es:
𝑑(𝑃; 𝐿) = |𝑦 − (−𝑝)| = |𝑦 + 𝑝|
Por la definición de una parábola estas dos distancias deben ser iguales:
√𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2 = |𝑦 + 𝑝|
𝑥2
+ (𝑦 − 𝑝)2
= |𝑦 + 𝑝|2
= (𝑦 + 𝑝)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑝𝑦 + 𝑝2
= 𝑦2
+ 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑥2
− 2𝑝𝑦 = 2𝑝𝑦
Si 𝑝 > 0, entonces la parábola abre hacia arriba, si 𝑝 < 0 hacia abajo. La gráfica es simétrica con respecto al eje
𝑌.
Podemos usar las coordenadas del foco para estimar el “ancho” de una parábola cuando tracemos su gráfica. El
segmento de recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje, con puntos extremos en la parábola, se llama
lado recto, y su longitud es el diámetro focal (o ancho focal) de la parábola. De la Figura 5 podemos ver que la
distancia de un punto extremo Q del lado recto a la directriz también es p
2 (por la definición de una parábola),
de modo que el diámetro focal es p
4 .
Figura 5. Lado recto de una parábola3
3
𝑥2
= 4𝑝𝑦

Profesores MA420 20
1.2. ECUACIONES Y GRÁFICAS DE PARÁBOLAS
A continuación, analizaremos la ecuación y sus características de una parábola.
• Parábola con eje focal vertical y vértice en el origen de coordenadas
Gráfica de la parábola
La parábola se abre hacia arriba si 𝑝 > 0 o hacia abajo si 𝑝 < 0.
Ecuación canónica de la parábola es:
Propiedades:
❖ Vértice: 𝑉(0; 0)
❖ Foco: 𝐹(0; 𝑝)
❖ Ecuación del eje focal: 𝑥 = 0
❖ Ecuación de la directriz: 𝑦 = −𝑝
❖ Longitud del ancho focal o lado recto: 𝑑(𝐿; 𝑅) = |4𝑝|
• Parábolas trasladadas con eje focal paralelo al eje 𝒚
La parábola se abre hacia arriba si 𝑝 > 0 o hacia abajo si 𝑝 < 0.
Ecuación estándar de la parábola es:
𝑝 < 0
𝑥2
= 4𝑝𝑦
(𝑥 − ℎ)2
= 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

Profesores MA420 21
Propiedades:
❖ Vértice: 𝑉(ℎ; 𝑘)
❖ Foco: 𝐹(ℎ; 𝑘 + 𝑝)
❖ Ecuación del eje focal: 𝑥 = ℎ
❖ Ecuación de la directriz: 𝑦 = 𝑘 − 𝑝
Si reflejamos la gráfica de la Figura 4 con respecto a la recta 𝑦 = 𝑥, se tiene que intercambiar las variables
𝑥 por 𝑦. Esto resulta una parábola con eje focal horizontal.
• Parábola con eje focal horizontal y vértice en el origen de coordenadas
La parábola se abre hacia la derecha si 𝑝 > 0 o se abre hacia izquierda si 𝑝 < 0.
Ecuación canónica de la parábola es:
Propiedades:
❖ Vértice: 𝑉(0; 0)
❖ Foco: 𝐹(𝑝; 0)
❖ Ecuación del eje focal: 𝑦 = 0
❖ Ecuación de la directriz: 𝑥 = −𝑝
𝑦2
= 4𝑝𝑥

Profesores MA420 22
• Parábolas trasladadas con eje focal paralelo al eje 𝒙
La parábola se abre hacia la derecha si 𝑝 > 0 o hacia izquierda si 𝑝 < 0.
Ecuación estándar de la parábola es:
❖ Vértice: 𝑉(ℎ; 𝑘)
❖ Foco: 𝐹(ℎ + 𝑝; 𝑘)
❖ Ecuación del eje focal: 𝑦 = 𝑘
❖ Ecuación de la directriz: 𝑥 = ℎ − 𝑝
1.3. PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. En cada caso determine la ecuación estándar de la parábola que satisface las condiciones dadas:
a. Vértice(4; 3), se abre hacia arriba y la longitud del lado recto es 8 unidades.
b. Foco (2; −1) y la ecuación de la directriz es 𝑥 = 6.
2. A partir de la gráfica, determine la ecuación de la parábola.
a. b.
(𝑦 − 𝑘)2
= 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Profesores MA420 23
3. Determine las coordenadas del vértice, foco, ecuación del eje focal y de la directriz, longitud del lado y trace
la gráfica de la siguiente cónica (𝑦 + 2)2
= 8𝑥. Además, determine los puntos de corte con los ejes
coordenados.
4. Determine las coordenadas del vértice, foco, ecuación del eje focal y de la directriz, longitud del lado recto y
trace la gráfica de la siguiente cónica 𝑥2
+ 2𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0. Además, determine los puntos de corte con
los ejes coordenados.
1. 𝐚. (𝑥 − 4)2
= 8(𝑦 − 3); 𝐛. (𝑦 + 1)2
= −8(𝑥 − 4)
2. 𝐚. (𝑦 + 2)2
= 4(𝑥 − 1) ; 𝐛. (𝑥 + 1)2
= −8(𝑦 − 3)
3. V(0; −2), F(2; −2), 𝐿𝑓: 𝑦 = −2, 𝐿𝑑: 𝑥 = −2, |4𝑝| = 8, puntos de corte (
1
2
; 0) y (0; −2).
4. 𝑉(−1; 3), 𝐹(−1;2) , 𝐿𝑓: 𝑥 = −1, 𝐿𝑑: 𝑦 = 4, |4𝑝| = 4, puntos de corte (−2√3 − 1; 0), (2√3 − 1; 0)
y (0;
11
4
).
Nota: 𝐿𝑓: Eje focal, 𝐿𝑑: Directriz, |4𝑝| = Longitud del lado recto (diámetro focal)
1.4. PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. En cada caso determine la ecuación de una parábola que satisface las condiciones dadas:
a. Foco (– 4; 2), directriz 𝑥 = 4.
b. Vértice (2; −3), se abre a la izquierda y ancho focal 8.
c. Vértice (3; 4) y foco (5; 4).
2. A partir de la gráfica, determine la ecuación de la parábola.
3. En cada caso determine las coordenadas del vértice, foco, ecuación del eje focal y de la directriz, longitud del
lado recto y trace la gráfica. Además, determine los puntos de corte con los ejes coordenados.
a. (𝑦 − 1)2
= −4(𝑥 + 2)
b. (𝑥 + 2)2
= 6(𝑦 + 3)
a.
b.

Profesores MA420 24
c. 𝑥2
+ 4𝑥 − 6𝑦 + 7 = 0
d. 𝑦2
− 8𝑦 + 4𝑥 = 0
RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. 𝐚. (𝑦 − 2)2
= −16(𝑥) ; 𝐛. (𝑦 + 3)2
= −8(𝑥 − 2); 𝐜. (𝑦 − 4)2
= 8(𝑥 − 3)
2. 𝐚. (𝑥 − 3)2
= 8(𝑦 + 1) ; 𝐛. (𝑦 − 1)2
= −2(𝑥 − 3)
3.
a.
• V(-2;1)
• F(-3;1)
• 𝐿𝑓: y = 1
• 𝐿𝑑: 𝑥 = −1
• |4𝑝| = 4
• Punto de corte:
(−
9
4
; 0)
b.
• V(-2;-3),
• F(−2; −
3
2
)
• 𝐿𝑓: 𝑥 = −2
• 𝐿𝑑:𝑦 = −
9
2
• |4𝑝| = 6
• Puntos de corte:
(−3√2 − 2; 0),
(3√2 − 2; 0) y
(0; −
7
3
)
c.
• V(−2;
1
2
)
• 𝐹(−2;2)
• 𝐿𝑓: 𝑥 = −2
• 𝐿𝑑: 𝑦 = −1
• |4𝑝| = 6
(0;
7
6
)
d.
• 𝑉(4; 4)
• 𝐹(3; 4)
• 𝐿𝑓: 𝑦 = 4
• 𝐿𝑑: 𝑥 = 5
• |4𝑝| = 4
(0; 0),(0; 0) 𝑦
(0; 8)
Observación: La gráfica de una parábola debe pasar por el vértice, los extremos del lado recto y por los
puntos de corte con los ejes si es que los tiene.
Determinar la ecuación de una parábola
a partir de su gráfica.
https://tinyurl.com/y6bmjmkx
a partir de condiciones dadas.
https://tinyurl.com/yxf366oe
Determinar los elementos de una
parábola a partir de su ecuación
estándar.
https://tinyurl.com/y3dces7n

Profesores MA420 25
Graficar una parábola a partir de
condiciones dadas.
https://tinyurl.com/yxbot7gd
Graficar una parábola a partir de su
ecuación estándar.
https://tinyurl.com/y52k6lom
Graficar una parábola a partir de
condiciones dadas.
https://tinyurl.com/y2tz2adq
a partir de su gráfica.
https://tinyurl.com/y3ws4ods
Completar cuadrados para determinar
los elementos y la gráfica de una
parábola.
https://tinyurl.com/y56ehg64

Profesores MA420 26
Bibliografía básica:
LA PARÁBOLA: Revisar páginas desde 782 hasta 790. Pág. 810.
Pág. 813 – 815, ejercicios 2, 13 al 20, 30, 34, 39, 40, 45, 46, 47, 50, 54, 66.

Profesores MA420 27
La elipse con eje focal paralelo al eje 𝑥 y
al eje 𝑦
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica el concepto de elipse en
la resolución de ejercicios, demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.
CONTENIDO
MOTIVACIÓN
1.1. Definición y elementos.
• Definiciones
• Excentricidad
1.2. Elipse con centro 𝐶(ℎ; 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑥
1.3. Elipse con centro 𝐶(ℎ; 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑦
• Ejercicios
• Ejercicios

Profesores MA420 28
MOTIVACIÓN
Aplicación 1: Orbita de un satélite artificial
La idea de poner objetos en el espacio en órbitas alrededor de la tierra ocurrió después de finalizar la Segunda
Guerra Mundial. En 1945 un oficial de radar de la RAF (Real Fuerza Aérea), llamado Arthur C. Clarke, escribió un
artículo en la revista Wirelees World que hablaba de colocar tres repetidores separados 120° entre sí, a una
distancia de 36 000 km de la Tierra (Peredo, 2004).
La figura 1 muestra las posiciones de varios cientos de satélites en
órbita alrededor de la Tierra. Cada punto representa la posición de
un satélite en la tarde del 23 de junio de 2004. En órbitas bajas,
solo a unos cuantos cientos de kilómetros sobre el nivel del mar,
se encuentran satélites de comunicación para sistemas de
telefonía, la Estación Espacial Internacional, el telescopio espacial
Hubble y otras aplicaciones (puntos amarillos). El círculo perfecto
de satélites a una distancia de aproximadamente 5,6 radios
terrestres sobre la superficie (puntos verdes) está compuesto por
los satélites geoestacionarios, los cuales orbitan a la misma
velocidad angular que la Tierra y así permanecen sobre el mismo
punto en el suelo. Los satélites entre la órbita geoestacionaria y la
órbita baja (puntos rojos) son sobre todo aquellos usados para el
Sistema de Posicionamiento Global, pero también se incluyen
algunos que llevan instrumentos de investigación (Bauer, 2011)
Aplicación 2: La litotricia
En Medicina, la litotricia es un procedimiento médico que utiliza ondas de choque para romper cálculos en el
riñón, la vejiga o el uréter (el conducto que lleva la orina de los riñones a la vejiga) y después del procedimiento,
los diminutos pedazos de los cálculos salen del cuerpo a través de la orina. El aparato utilizado para este
procedimiento es llamado litotriptor el cual tiene la forma de un elipsoide (ver figuras).
Figura 1: Las posiciones de algunos satélites
alrededor de la Tierra el 23 de junio de 2004
(Bauer, 2011)

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1.1. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE UNA ELIPSE
Desde el punto de vista geométrico una elipse es la curva de intersección
entre un plano y un cono, de tal manera que el plano corte a todas las
generatrices del cono. (El plano no debe de pasar por el vértice del cono).
(ver figura)
Definición: Una elipse es un conjunto de puntos
𝑃(𝑥; 𝑦) del plano XY tal que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos 𝐹1 y 𝐹2 , llamados focos, es una
constante, es decir:
𝑑(𝐹1; 𝑃) + 𝑑(𝑃; 𝐹2) = cte = 2𝑎
De la figura, definimos:
❖ Centro: 𝐶(0; 0)
❖ Vértices: 𝑉1 𝑦 𝑉2
❖ Focos: 𝐹1 y 𝐹2
❖ Eje focal: Eje que contiene a los focos y a los vértices
de la elipse.
❖ 𝑎 = 𝑑(𝑉1;𝐶) = 𝑑(𝐶; 𝑉2)
𝑏 = 𝑑(𝐴; 𝐶) = 𝑑(𝐶; 𝐵)
𝑐 = 𝑑(𝐹1; 𝐶) = 𝑑(𝐶; 𝐹2)
Observe que 𝑎 es mayor que 𝑏, 𝑐. Además, 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son números positivos
❖ El segmento 𝑉1𝑉2 es llamado “eje mayor” y su longitud es 2𝑎.
❖ El segmento 𝐴𝐵 es llamado “eje menor” y su longitud es 2𝑏.
❖ Relación Pitagórica: En la figura, si ubicamos el punto 𝑃 junto al punto 𝐵 , es fácil observar que el
triángulo𝐹1𝑃𝐹2 es isósceles y que el triángulo 𝑃𝐶𝐹2 es rectángulo, recto en 𝐶, es decir se cumple la relación.
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
❖ Excentricidad: Denotada por la letra “𝑒” y se calcula mediante la fórmula:
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2−𝑏2
𝑎
La excentricidad es un número entre 0 y 1 (0 < 𝑒 < 1) y nos indica la forma de una elipse; una elipse será más
redondeada (semejante a una circunferencia) si el número 𝑒 se aproxima al valor de cero. Por ejemplo, la
excentricidad de la órbita de la tierra es muy pequeña, de manera que la órbita es casi circular ya que su
excentricidad es menor a 0,2.

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En nuestro curso estudiaremos elipses con eje focal paralelo al eje 𝑋 y al eje 𝑌. A continuación, presentamos
ambos casos:
1.2. ELIPSE CON CENTRO 𝐶(ℎ; 𝑘) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE 𝒙
Gráfica de la elipse
En este caso, la ecuación estándar que representa a la elipse es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 ; 𝑎 > 𝑏
Propiedades:
❖ Centro: 𝐶(ℎ; 𝑘)
❖ Vértices: 𝑉1(ℎ − 𝑎; 𝑘) y 𝑉2(ℎ + 𝑎; 𝑘)
❖ Focos: 𝐹1(ℎ − 𝑐; 𝑘) y 𝐹2(ℎ + 𝑐; 𝑘)
❖ El segmento 𝑉1𝑉2 es llamado “eje mayor” y su longitud es 𝟐𝒂
❖ El segmento 𝐴𝐵 es llamado “eje menor” y su longitud es 𝟐𝒃
❖ En este caso la ecuación del eje focal es: 𝒚 = 𝒌
Si el centro de la elipse está en 𝐶(0; 0) en este caso, la ecuación se denomina canónica:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 ; 𝑎 > 𝑏
1
,
0
=
e 5
,
0
=
e 68
,
0
=
e 86
,
0
=
e

Profesores MA420 31
ELIPSE CON CENTRO 𝐶(ℎ; 𝑘) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE 𝒚
Gráfica de la elipse
En este caso, la ecuación estándar que representa a la elipse es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1 ; 𝑎 > 𝑏
Propiedades:
❖ Centro: 𝐶(ℎ; 𝑘)
❖ Vértices: 𝑉1(ℎ; 𝑘 − 𝑎) y 𝑉2(ℎ; 𝑘 + 𝑎)
❖ Focos: 𝐹1(ℎ; 𝑘 − 𝑐) y 𝐹2(ℎ; 𝑘 + 𝑐)
❖ El segmento𝑉1𝑉2 es llamado “eje mayor” y su longitud es: 𝟐𝒂
❖ El segmento 𝐴𝐵 es llamado “eje menor” y su longitud es: 𝟐𝒃
❖ En este caso la ecuación del eje focal es: 𝒙 = 𝒉
Si el centro de la elipse está en 𝐶(0; 0) en este caso, la ecuación se denomina canónica:
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 ; 𝑎 > 𝑏

Profesores MA420 32
1.3. PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. Determine la ecuación estándar o canónica de la elipse, si se sabe que el eje mayor tiene sus puntos
extremos en (−2; −1) y (8; −1), y el valor de su excentricidad es 0,4.
2. Determine la ecuación estándar o canónica de la elipse, donde los focos están en (3; −2) y (3; 2). Además,
la longitud del eje mayor es 8 unidades.
3. A partir de la gráfica, determine la ecuación de la elipse:
4. Dada la ecuación de la elipse
(𝑥+2)2
9
+
(𝑦−1)2
16
= 1, describa sus elementos y trace su gráfica. Además,
determine los puntos de corte con los ejes coordenados.
5. Dada la ecuación de la elipse 4𝑥2
+ 9𝑦2
− 16𝑥 + 18𝑦 − 11 = 0, describa sus elementos y trace su gráfica.
Además, determine los puntos de corte con los ejes coordenados.
RESPUESTA DE PRACTIQUEMOS EN CLASE
1.
(𝑥−3)2
25
+
(𝑦+1)2
21
= 1.
2.
𝑦2
16
+
(𝑥−3)2
12
= 1.
3. 𝐚.
(𝑦−1)2
9
+
(𝑥+2)2
4
= 1; 𝐛.
(𝑥−1)2
25
+
(𝑦+2)2
9
= 1.
4. C(−2; 1), 𝐹1:(−2;1 − √7), 𝐹2:(−2;1 + √7), 𝑉1:(−2; −3), 𝑉2:(−2; 5), 𝐿𝑓: 𝑥 = −2. puntos de corte
(
−3√15
4
− 2; 0), (
3√15
4
− 2; 0), (0;
−4√5
3
+ 1) y (0;
4√5
3
+ 1).
5. C(2; −1); 𝐹1: (2 − √5; −1), 𝐹2: (2 + √5; −1), 𝑉1:(−1; −1), 𝑉2: (5; −1), 𝐿𝑓: 𝑦 = −1. puntos de corte
(
−3√3
2
+ 2; 0), (
3√3
2
+ 2; 0), (0;
−2√5
3
− 1) y (0;
2√5
3
− 1).
a. b.

Profesores MA420 33
1.4. PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. Determine la ecuación estándar de la elipse con centro en (−1;3), uno de sus focos se ubica en el punto
(−1;0) y con uno de sus vértices en el punto (−1; 7). Además, determine los puntos de corte con los ejes
y grafique.
2. Dada la ecuación de la elipse
(𝑥−3)2
25
+
(𝑦+2)2
9
= 1, describa sus elementos y trace su gráfica. Además,
determine los puntos de corte con los ejes coordenados.
3. Dada la ecuación de la elipse 25𝑥2
+ 36𝑦2
+ 100𝑥 + 72𝑦 − 764 = 0, describa sus elementos y trace su
gráfica. Además, determine los puntos de corte con los ejes coordenados.
4. A partir de la gráfica, determine la ecuación de la elipse:
RESPUESTA DE PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1.
(𝑦−3)2
16
+
(𝑥+1)2
7
= 1, puntos de corte (−
11
4
; 0), (
3
4
; 0), (0;
−4√42
7
+ 3) y (0;
4√42
7
+ 3).
2. 𝐶(3; −2), 𝐹1:(−1; −2), 𝐹2: (7; −2), 𝑉1: (−2;−2), 𝑉2:(8; −2), 𝐿𝑓: 𝑦 = −2, puntos de corte (
−5√5
3
+
3; 0), (
5√5
3
+ 3; 0), (0;
−22
5
) y (0;
2
5
).
3. 𝐶(−2;−1), 𝐹1: (−2 − √11; −1), 𝐹2: (−2 + √11; −1), 𝑉1: (−8;−1), 𝑉2:(4; −1), 𝐿𝑓: 𝑦 = −1, puntos
de corte (
−12√6
5
− 2; 0), (
12√6
5
− 2; 0), (0;
−10√2
3
− 1) y (0;
10√2
3
− 1).
4.
(𝑦−2)2
25
+
(𝑥+3)2
16
= 1

Profesores MA420 34
Determinar la ecuación estándar
de una elipse a partir de
condiciones dadas.
https://tinyurl.com/yxvx89xk
Determinar los elementos y trazar
la gráfica de una elipse a partir de
su ecuación estándar.
https://tinyurl.com/yyl95hye
Determinar la ecuación estándar
de una elipse a partir de
condiciones dadas.
https://tinyurl.com/yykr9vko
Determinar los elementos y trazar
la gráfica de una elipse a partir de
su ecuación estándar.
https://tinyurl.com/y3stlxjx
Completar cuadrados para
determinar la ecuación estándar
de una elipse y trazar su gráfica
(eje vertical).
https://tinyurl.com/y3ppsyqo
Identificar los elementos y graficar
una elipse a partir de su ecuación
estándar (eje horizontal).
https://tinyurl.com/y4v8wggp

Profesores MA420 35
Bibliografía básica:
LA ELIPSE: Revisar páginas desde 790 hasta 799. Pág. 808 y 809
Pág. 814 – 816, ejercicios 3, 5 - 12, 31, 32, 35, 36, 43, 44, 48, 51, 52, 97

Profesores MA420 36
Resolución de problemas con cónicas
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de modelación con
cónicas (la parábola y la elipse), demostrando responsabilidad y capacidad de aprender por su propia cuenta.
• Problemas
• Problemas
PRACTIQUEMOS EN CLASE
1. La figura muestra la imagen de un arco parabólico que tiene 20 m de
altura y 30 m de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la
parábola.
a. Considere un sistema de referencia adecuado y encuentre la
ecuación del arco parabólico mostrado en la figura.
b. ¿A qué altura sobre la base tiene la parábola un ancho de 18
metros?
2. La figura muestra una lámpara con un reflector parabólico. La bombilla
eléctrica está colocada en el foco y el diámetro focal es 16 centímetros.
a. Considere un sistema de referencia adecuado y determine la
ecuación del arco parabólico mostrado en la figura.
b. ¿Cuál es la longitud del ancho de abertura 𝐶𝐷 del reflector
parabólico?
3. Muchas veces las operaciones mineras se despliegan sobre áreas
irregulares, con equipo y materia prima en diferentes arreglos. Cubrir
pilas de almacenamiento bajo estas condiciones es un desafío para la
Ingeniería. La tecnología Freedome permite construir domos en una
variedad de dimensiones y formas: irregulares, circulares,
paraboloides, elípticas o longitudinales.
El Domo San Cristóbal (Bolivia) es de tipo paraboloide, su base tiene
140 m de diámetro y su altura es de 59_m.
ecuación del arco parabólico1
descrito por el Domo de San
Cristóbal (Ver figuras).
1
La sección transversal es una vista al interior cortando a través del mismo. Recuperado: shorturl.at/lDF35

Profesores MA420 37
b. Determine la altura “𝑟” (desde el punto 𝑄 hasta la base del domo), si la distancia del punto 𝑄 al eje
focal es 28 m.
4. Se desea conocer el área de la cancha del estadio Elías Aguirre de
Chiclayo, si se sabe que la cancha está inscrita en una elipse cuyo
eje mayor mide 120 metros, el eje menor mide 80 metros y los
centros de los arcos están ubicados en los focos de la elipse tal
como se muestra en la figura.
a. Determine la ecuación de la elipse.
b. Determine el área de la cancha de fútbol.
1.
a. Eligiendo como (0; 0) el centro de la base del arco parabólico se tiene 𝑥2
= −
45
4
(𝑦 − 20). Defina las
variables y restricciones. Nota: puede elegir el (0; 0) en otro punto del arco parabólico y obtendrá otra
ecuación valida.
b. A 12,8m de altura sobre la base la parábola tiene un ancho de 18 m.
2.
a. Eligiendo como (0; 0) el punto O del arco parabólico se tiene 𝑦2
= 16𝑥. Defina las variables y
restricciones. Nota: puede elegir el (0; 0) en otro punto del arco parabólico y obtendrá otra ecuación
valida.
b. La longitud del del segmento CD es 43,82 cm. aproximadamente.
3.
= −
4900
59
(𝑦 − 59). Defina las
ecuación valida.
b. La altura ℎ mide 49,56 m aproximadamente.
4.
a. Considere un sistema Eligiendo como (0; 0) el centro de la cancha del estadio se tiene
𝑥2
3600
+
𝑦2
1600
= 1.
Defina las variables y restricciones. Nota: puede elegir el (0; 0) en otro punto del arco parabólico y
obtendrá otra ecuación valida.
b. El área del estadio Elías Aguirre de Chiclayo es de 4770,28 metros cuadrados aprox.

Profesores MA420 38
PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. En la imagen, se muestra un arco parabólico que tiene 25m de altura
y 30 de ancho. Si en la parte superior del arco se ubica el vértice de la
parábola.
ecuación del arco parabólico.
b. ¿A qué altura sobre la base tiene la parábola un ancho de 14m?
2. Un puente colgante es un puente cuyo tablero, en vez de estar apoyado sobre pilas o arcos se sujeta
mediante cables o piezas atirantadas desde una estructura a la que van sujetas. Desde la antigüedad este
tipo de puentes han sido utilizados por la humanidad para salvar obstáculos. Con el paso de los siglos, la
introducción y mejora de distintos materiales de construcción, ha permitido que este tipo de puentes sean
capaces de soportar el tráfico rodado o líneas de ferrocarril. En el puente colgante de la figura adjunta, los
cables de suspensión de acero tienen forma parabólica. La distancia entre los pilones (torres de apoyo), es
de 60 metros, el punto más bajo de los cables está a 15 metros por debajo del extremo superior de los pilones
y a 6 metros de AB.
a. Considere un sistema de referencia adecuado y determine la ecuación del arco parabólico mostrado en
la figura.
b. ¿Cuál es la longitud de los postes MN y PQ sabiendo que se encuentran a 5 metros de cada pilón?
3. Los pobladores del puerto de Pacasmayo desean promover
el turismo de su pueblo, para lo cual han decidido construir
una entrada que tenga la forma de un arco semielíptico,
con un aviso de entrada al puerto que mida 18 m de largo
y esté sostenido por cables a ambos lados (ver figura
adjunta).
a. Determine la ecuación del arco semielíptico.
b. ¿A qué altura sobre la carretera tendrán que colocar
el aviso?

Profesores MA420 39
4. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La longitud de la base del puente es de 30
metros y la parte más alta del puente está a 10 metros sobre el pavimento, como se muestra la figura.
a. Considere un sistema de referencia adecuado y
determine la ecuación del arco semielíptico.
b. Analice la ecuación hallada en la parte (a) y
determine la altura desde el pavimento al arco
del puente que se encuentra a 6 metros del
centro de la base del pavimento.
RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1.
= −9(𝑦 − 25). Defina las
ecuación valida.
b. A una altura 19,56 m aproximadamente el arco parabólico tiene un ancho de 14 m.
2.
a. Eligiendo como (0; 0) el centro del tramo AB del arco parabólico se tiene 𝑥2
= 60(𝑦 − 6). Defina las
ecuación valida.
b. La medida de la altura de los postes MN y PQ es de 16,42m aproximadamente.
3.
a. Considere Eligiendo como (0; 0) el centro de la base del arco semielítico se tiene
𝑥2
225
+
𝑦2
400
= 1. Defina
las variables y restricciones. Nota: puede elegir el (0; 0) en otro punto del arco parabólico y obtendrá
otra ecuación valida.
b. El aviso se colocará a16 m sobre la carretera aproximadamente.
4.
a. Eligiendo como (0; 0) el centro de la base del arco semielíptico se tiene
𝑥2
225
+
𝑦2
100
= 1. Defina las
ecuación valida.
b. La altura desde el pavimento al arco del puente que se encuentra a 6 metros del centro de la base del
pavimento es 9,17 metros aproximadamente.

Profesores MA420 40
Determinar la ecuación de un
problema de modelación con
parábola.
https://bit.ly/3sRm16S
parábola.
https://bit.ly/39W4amI
parábola.
https://bit.ly/3668xu0
PROBLEMAS CON CÓNICAS: Revisar las páginas 789- 790 y página 799.

Profesores MA420 41
Matrices y determinantes
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica el concepto de matrices,
operaciones con matrices y determinantes en la resolución de ejercicios, mostrando responsabilidad y
capacidad de aprender por su propia cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1. Matrices
• Definición
• Orden de una matriz
• Matriz por extensión
• Tipos de matrices
• Traspuesta de una matriz
2. Operaciones con matrices
• Suma de matrices
• Multiplicación de una matriz por un escalar
• Multiplicación de matrices
3. Determinantes
• Definición
• Determinante de orden 2 × 2 y 3 × 3
4. Practiquemos en clase
• Ejercicios
5. Practiquemos más en casa
• Ejercicios
6. Respuestas

Profesores MA420 42
MOTIVACIÓN
Una matriz es simplemente un conjunto rectangular de números. Las matrices se usan para organizar
información en categorías que corresponden a las filas y columnas de la matriz. Por ejemplo, un científico podría
organizar información sobre una población de ballenas en peligro como sigue:
Ésta es una forma compacta de decir que hay 12 machos inmaduros, 15 hembras inmaduras, 18 machos adultos,
etc.
En general las matrices son de suma importancia en las ciencias, como la ingeniería, la economía y otras ciencias
aplicadas. Son útiles para representar datos en forma ordenada, para modelar problemas y resolver sistemas de
ecuaciones lineales, para indicar las interrelaciones que existen en los diferentes sectores de la economía (Matriz
Insumo – Producto), entre otras aplicaciones.
1. MATRICES
Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, ordenados en filas y columnas.
❖ Generalmente las matrices se escriben de la forma: 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛
Donde: 𝑎𝑖𝑗 indica la posición 𝑖- ésima fila con la 𝑗- ésima columna de sus elementos, por ejemplo: 𝑎21 nos
indica la posición fila 2- columna 1.
𝑚 × 𝑛: Nos indica el orden de la matriz, es decir, 𝑚 filas y 𝑛 columnas (manteniendo el orden “primero las
filas y luego las columnas”)
❖ Las matrices se denotan con letras mayúsculas, por ejemplo, 𝐴, 𝐵, etc.
❖ Si el número de filas es igual al número de columnas, es decir 𝑚 = 𝑛, las matrices reciben el nombre de
matrices cuadradas.
• Orden de una Matriz
El orden de una matriz es el número de filas por el número de columnas que tiene dicha matriz, y se representa
por 𝑚 × 𝑛.
Ejemplo 1: La matriz 𝐴 = [
1 5 2
2 −1 4
] es de orden 2 × 3 porque hay 2 filas y 3 columnas. Además, por ejemplo,
el valor en la posición 𝑎12 es 5.
[
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒏
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 ⋯ 𝒂𝟐𝒏
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 ⋯ 𝒂𝒎𝒏
]
𝑚 filas
𝑛 columnas
Orden 𝑚 × 𝑛

Profesores MA420 43
• Matriz por extensión
Dada la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛
donde 𝑎𝑖𝑗 define los elementos de la matriz entonces podremos determinar dichos
elementos.
Ejemplo 2: Dada la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]2×3
donde 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 entonces halle la matriz 𝐴 por extensión.
Primero debemos observar que la matriz tiene dos filas y tres columnas, es decir, es de la forma:
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
]
Luego usamos la condición dada para hallar el valor de cada elemento, es decir:
𝑎11 = 2(1) − 1 = 1 ; 𝑎12 = 2(1) − 2 = 0 ; 𝑎13 = 2(1) − 3 = −1
𝑎21 = 2(2) − 1 = 3 ; 𝑎22 = 2(2) − 2 = 2 ; 𝑎23 = 2(2) − 3 = 1
Finalmente, la matriz por extensión es: 𝐴 = [
1 0 −1
3 2 1
]
• Tipos de Matrices
Matriz Nula: Es aquella matriz donde todos sus elementos son ceros y se representa por 𝑶, es decir.
𝑶 = [
0 0 ⋯ 0
0 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0
]
𝑚×𝑛
Las siguientes matrices son ejemplos de matrices nulas: 𝐴 = [
0 0
0 0
]
2×2
y 𝐵 = [
0 0
0 0
0
0
]
2×3
Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la diagonal principal son todos unos, mientras que
en los demás son todos ceros. Se denota con la letra 𝐼.
𝐼 = [
1 0 ⋯ 0
0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 1
]
Son ejemplos de matriz identidad:
𝐼2 = [
1 0
0 1
], 𝐼3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] , 𝐼4 = [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
] . . .
Matriz Traspuesta: Dada la matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] de orden 𝑚 × 𝑛, se llama matriz traspuesta de 𝐴 y se representa
por 𝐴𝑇
a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz. Es decir.
Diagonal principal
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22
⋯ 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋱
⋯
⋮
𝑎𝑚𝑛
] ⇒ 𝐴𝑇
= [
𝑎11 𝑎21
⋯ 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22
⋯ 𝑎𝑚2
⋮
𝑎1𝑛
⋮
𝑎2𝑛
⋱
⋯
⋮
𝑎𝑚𝑛
]

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